Slides Lição 5, Betel, Ordenança para uma vida de vigilância e oração, 2Tr24....
Hipérbole Definição Equações
1.
2. Se o plano secante não é paralelo a uma geratriz e corta
ambas as folhas do cone, a cônica é uma hipérbole.
Definição: Dados dois pontos e do plano, chama-se
hipérbole ao conjunto dos pontos do plano tais que
1F 2F
1 2, ,d P F d P F é constante.
P
ORIGEM
4.
1F 2F
a
c
Do triângulo retângulo obtido no
esquema ao lado, chamaremos
de b o cateto ainda indefinido e
escreveremos que
2 2 2
b c a
b
2 2
b c a
2 2
c a b
5.
a a
c a c a
Pela definição de hipérbole
1 2, , constante:dist P F dist P F
1 2, , 2dist P F dist P F a
para 1 2, ,dist P F dist P F
P
V
2c a a c a 2a
daí
•Focos: F1 e F2
•Ponto Genérico: P (x, y)
•Distância Focal: d(F1, F2)
6.
a a
,P x y
V
,0c ,0c
1 2, , 2 ,dist P F dist P F a
sabemos que
então vale que
2 22 2
2x c y x c y a
7. 2 2
2 22 2
2x c y x c y a
22 2 2 2 2 2
( ) 4 4 ( )x c y a a x c y x c y
2 2
2 2 2 2
2 ( )x c y a x c y
2
2 2 2 2 2 2
2 4 4 ( ) 2x xc c a a x c y x xc c
2 2 2
( )a x c y xc a
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 4
2 2a x a xc a c a y x c a xc a
2 2 2 2 2 2 2 2
a c x a y a a c
2 2 2 2 2 2 4 2 2
a x x c a y a a c
8. 2 2 2 2 2 2
b x a y a b
2 2 2 2 2 2
a b a b a b
2 2 2 2 2 2
b x a y a b
lembrando que resulta2 2 2
,c a b
2 2
2 2
1
x y
a b
2 2 2 2 2 2
b x a y a b
2 2 2 2 2 2 2 2
a c x a y a a c
9. y
x
.
HIPÉRBOLES EM POSIÇÃO-PADRÃO
0,c
0, c
a
a
bb
2 2
2 2
1
x y
a b
2 2
2 2
1
y x
a b
aa
b
b
. ,0c ,0c
y
x
.
.
b
y x
a
b
y x
a
a
y x
b
a
y x
b
..
.
.
10. Uma técnica para esboçar hipérboles
Determine se o eixo focal está sobre o eixo ou eixo .
Determine os valores e e desenhe um retângulo...
Desenhe as assíntotas ao longo das diagonais do retângulo.
Usando o retângulo e as assíntotas como guia, esboce o
gráfico da hipérbole.
x y
a b
11. Exemplo 3: Esboce os gráficos das hipérboles
mostrando os vértices, focos e assíntotas.
2 2
1
4 16
x y
(a) 2 2
1y x (b)
12. Exemplo 4: Determine a equação da hipérbole com vértice
e assíntotas 0, 8
4
.
3
y x
13. Isolando o y na equação da hipérbole com eixo real sobre o
eixo x e com centro na origem, obtemos as retas mostradas
em I. Como a é um valor fixo, vemos que, conforme x vai
ficando muito grande, os valores de x2 – a2 vão se
aproximando de x2 porque a2 vai se tornando desprezível.
Podemos concluir que y sempre se aproximará das retas II e
III, mas nunca as tocará. As retas II e III são as assíntotas da
hipérbole.
22
(I) ax
a
b
y x
a
b
y (II) x
a
b
y (III)
Assíntotas da hipérbole
14. Quando o eixo real está sobre o eixo y e o centro na origem,
as retas IV e V são as assíntotas da hipérbole.
Um caso especial é o de hipérbole equilátera: quando o centro
está na origem, a é igual a b e suas assíntotas são y = x.
x
b
a
y (IV) x
b
a
y (V)
Assíntotas da hipérbole
15. Para hipérboles com centro qualquer, podemos chegar às
assíntotas de maneira análoga e obter VI (eixo real horizontal)
e VII (eixo real vertical). As assíntotas de uma hipérbole
equilátera de centro qualquer são y – yo = (x – xo).
Assíntotas da hipérbole
)((VI) oo xx
a
b
yy )((VII) oo xx
b
a
yy
17. TEOREMA (Propriedade de Reflexão da Hipérbole): Uma reta
tangente à hipérbole em um ponto P faz ângulos iguais com
as retas que unem P aos focos.
..
Reta tangente em P
P
.