Material com euqaçoes exponenciais e logaritmos

1. 1
MATERIAL PARA O 1º BIMESTRE -
MATEMÁTICA
2º ANO DO ENSINO MÉDIO
DOCENTE: IVE PINA
POTÊNCIA, EQUAÇÃO EXPONENCIAL E LOGARITMO
REVISÃO DE POTENCIAÇÃO
Podemos dizer que potenciação representa uma multiplicação de fatores iguais, se
temos a seguinte multiplicação: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2, podemos representá-la usando a
potência 26
, onde 2 é a base e 6 o expoente (Leia: dois elevado a sexta potência).
I - Potências de Base Real com Expoente Inteiro
Nestas condições há quatro situações em particular que iremos tratar. A saber,
quando o expoente é maior que um, quando é igual a um, quando é igual a zero e
quando é negativo.
1) Expoente Maior que 1
a) De forma geral:
, isto é, a multiplicação de n fatores iguais a α.
Este é o caso de mais fácil compreensão, pois o conceito da potenciação está bem
claro. Observe a expressão abaixo:
26
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64
42
= 4 x 4 = 16
53
= 5 x 5 x 5 = 125
102
= 10 x 10 = 100
122
= 12 x 12 = 144
35
= 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243
63
= 6 x 6 x 6 = 216
b) Apesar de estarmos trabalhando com expoentes inteiros, as bases podem ser
decimais:
3,23
= 3,2. 3,2. 3,2 = 32,768
1,2² = 1,2 . 1,2 = 1,44
0,6³ = 0,6. 0,6. 0,6 = 0,216
0,25
= 0,2. 0,2. 0,2. 0,2. 0,2 = 0,00032
c) Assim como também podem ser fracionárias:
4
1
2
1
.
2
1
2
1
2






125
8
5
2
.
5
2
.
5
2
5
2
3






25
36
5
6
.
5
6
5
6
2






243
32
3
2
.
3
2
.
3
2
.
3
2
.
3
2
3
2
5






d) Assim como podem ser negativas. Temos 2 casos:
i) Base negativa e expoente ímpar, resultado negativo.
(-3)3
= (-3) x (-3) x (-3) = -27
(-4)5
= (-4) x (-4) x (-4) x (-4) x (-4) = -1024
(-2)7
= (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = -128
-33
= -27

2. 2
ii) Base negativa e expoente par, resultado positivo.
(-2)4
= (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = + 16
(-6)2
= (-6) x (-6) = + 36
(-7)2
= (-7) x (-7) = + 49
-24
= -16
2) Expoente Igual a 1
Todo número diferente de zero e elevado a um é o próprio número.
21
= 2
31
= 3
151
= 15
201
= 20
121
= 12
3) Expoente Igual a 0
Todo número diferente de zero e elevado a zero é um.
20
= 1
30
= 1
100
= 1
40
= 1
1250
= 1
OBS: Base zero e qualquer número no expoente, o resultado será zero.
05
= 0
012
= 0
0100
= 0
07
= 0
025
= 0
4) Expoente Negativo
Quando o expoente é um número negativo: invertemos a base e mudamos o sinal do
expoente para positivo.
 
16
1
2
1
2
4
4








 
27
1
3
1
3
3
3








 
32
1
2
1
2
5
5








 
9
1
3
1
3
2
2








10244
4
1 5
5







  813
3
1 4
4








4
9
2
3
3
2
22













64
125
4
5
5
4
33














II - Potência de um Expoente Racional
Revendo as raízes:
416 
(4.4 = 16)
2164

(2.2.2.2 = 16)
283

(2.2.2 = 8)
56254

(5.5.5.5 = 625)
32435

(3.3.3.3.3 = 243)
4643

(4.4.4 = 64)
3
5
9
25

(5.5 = 25 e 3.3 = 9)
551

005

16 não existe
283

(-2).(-2).(-2) = - 8
115

(-1)(-1)(-1)(-1)(-1) = -1
2550 
(5.5.2 = 50)
33
2354 
(3.3.3.2 = 54)
6354 
(3.3.3.2 = 54)
3
32
27
24 3
3 
(2.2.2.3 = 24
e 3.3.3 = 27)

3. 3
Podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um radical e vice-
versa:
Exemplos:
5
2
5 2
44 
4 74
7
33 
4
3
4 3
22 
9333 25
10
5 10

3999 2
1
5,0

2
1
16
1
16
1
161616 44
1
4 14
1
25,0






 


Potência de uma Raiz
Ao elevarmos um radical a uma dada potência, estaremos obtendo o mesmo resultado
que obteríamos se elevássemos apenas o seu radicando a esta mesma potência:
Exemplo:
Exercícios:
1) Calcule o valor das potências:
a) 25
b) 132
c) (1,1)2
d) (0,4)5
e)
3
4
1






f)
2
7
5






g)  2
5
h) 2
5
i)  3
2
j) 251
k) 90
l) 031
m) 143
n) (-1)13
o)   2
5

p) (-2)-5
q) (-3)-4
r)
3
3
1






s)
4
3
2








2) Calcule ou simplifique as raízes:
a) 3
125
b) 4
81
c) 49
d) 3
1
e) 7
0
f) 1
12
g) 3
125
h) 5
32
i) 9
1
j) 4
16
k) 12
l) 18
m) 3
24
n) 4
32
o) 40
p)
25
48
q) 3
8
81

3) Represente os radicais sob a forma de potência e resolva quando possível:
a) 5 10
2
b) 3 9
5
c) 7 7
)2(
d)  3
2
e) 5
2
f) 3
3
g) 5
h) 3
8
REVISÃO DE EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
1) Calcule as seguintes equações exponenciais:
a) 22242 2
 xxx
(2.2 = 4)
b) 23393 2
 xxx
(3.3 = 9)
c) 622642 6
 xxx
(2.2.2.2.2.2= 64)
d) 433813 4
 xxx
(3.3.3.3 = 81)

4. 4
e) 2²55255  xxx
(5.5 = 2)
f) 32282 3
 xxx
(2.2.2 = 8)
g)   5
2
10
102222210244 102102
 xxxxx
(2.2 = 4 e 2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 = 1024)
h)   2
5
5233332439 5252
 xxxxx
(3.3 = 9 e 3.3.3.3.3 = 243)
i)   2
9
9222225124 9292
 xxxxx
(2.2 = 4 e 29
=512)
j)   2
3
32555512525 3232
 xxxxx
(5.5 = 25 e 5.5.5 = 125)
k)   3
2
23101010101001000 2323
 xxxxx
(10.10.10 = 1000 e 10.10 = 100)
l)   6
5
5622223264 5656
 xxxxx
(2.2.2.2.2.2=64 e 2.2.2.2.2=32)
m) 533
3
1
3
3
1
3
243
1
3 5
5
5
5






 
xxxxx
(3.3.3.3.3 = 243)
n) 255
5
1
5
5
1
5
25
1
5 2
2
2
2






 
xxxxx
(5.5 = 25)
o) 5
2
1
2
1
2
2
1
32
2
1
5
5

























x
xxx
(2.2.2.2.2 = 32)
p) 13333 1
 xxx
q) 03313 0
 xxx
r) 1
4
1
4
1
100
25
4
1
25,0
4
1
25
25


























x
xxx
s)   2
2
1
2
1
2
1
10
5
4
1
5,0
225
5





























x
xx
x
(2.2 = 4)
t) 3
3
5
3
5
5
3
3
5
5
3
3
5
125
27
3
5
33
3
3





































x
xxxx
(3.3.3 = 27 e 5.5.5 = 125)
u)   6
5
3
5
22222324 3
5
23 523
 xxxxx
(2.2 =4 e 2.2.2.2.2 = 32)
v)
 
9
4
3
4
355
5
1
5
5
1
5
5
1
5
625
1
125
3
4
3
3
4
3
3
4
3
3 4
3
3









xxxx
xxx
(5.5.5 = 125 e 2.2.2.2 = 625)
w)   4
3
2
1
3
2
5555525 2
1
3
2
2 13 23
 x
x
x
xx
(5.5 = 25)

5. 5
x) 031232 00
 xxx
y) 210 x
Exercícios:
1) Resolva em IR as seguintes equações exponenciais:
a) 497 x
b) 162 x
c) 273 x
d) 2562 x
e) 644 x
f) 324 x
g) 279 x
h) 25664 x
i) 1000100 x
j) 125625 x
k)
16
1
2 x
l) 81
3
1






x
m) 125
5
1






x
n)
8
1
4 x
o) 77 x
p) 16 x
q) 25,08 x
r)  
32
1
5,0 
x
s) )25,0(
4
1

x
t) 3
2562 x
u)
27
1
9 x
v)   5,026

x
w)   34
93 
x
x) xx
34 
y) 142 x
2) (FCC – UFS – PM – SE – 2002 – Curso de Formação de Soldados) Se x é um
número real tal que 10248 x
, então:
(A) 30  x (B) 53  x (C) 85  x (D) 108  x (E) 10x
3) (VUNESP – SEE – 1998 – Professor de Matemática) Uma solução da equação
exponencial 04,05 x
é:
(A) x = 2 (B) x = 1 (C) x = 0 (D) x = -1 (E) x = -2
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Como resolver esse tipo de problema?
210 x
Por tentativa:
...16,3101010 2
1
5,0

...995,11000101010 1010 310
3
3,0

...
210 ...3010,0

Foi fácil?
Os logaritmos surgiram, entre outros motivos, para facilitar o cálculo em equações
exponenciais de maior complexidade.
Através do conceito de logaritmos e de algumas tabelas especiais, o cálculo de
equações exponenciais foi bastante facilitado quando as bases não podem ser
facilmente igualadas.
Logaritmos apresentam várias aplicações nas ciências (química, física, engenharia,
em mecanismos de criptografia, etc.), veja alguns exemplos:

6. 6
 Medição de terremotos pela movimentação das placas tectônicas: escala
Richter.
 A força física envolvida em certos sons é uma potência de base 10, uma
conversa em voz alta é 106,5. A intensidade de um som é o logaritmo decimal
(na base 10) de sua intensidade física.
 Crescimento populacional.
 A meia-vida de uma substância química.
 Altura de uma criança.
Conceito de Logaritmo
Lei do Logaritmo: Sejam a e b números reais positivos e b ≠ 1. Chama-se logaritmo
de a na base b o expoente x tal que bx
= a. Em símbolos: abxa x
b log .
Nomenclaturas:
 a é chamado de logaritmando
 b é chamado de base do logaritmo
 x é chamado de logaritmo de a na base b
Exemplos:
a) 416log2  (24
= 16)
b) 2
25
1
log5  (
25
1
5 2

)
c) 01log7  (70
= 1)
d)
3
1
5log 3
5  ( 33
1
55  )
e) 225log255 5
2

f) 2
9
1
log
9
1
3 3
2

g) 4
16
1
log
16
1
2
1
2
1
4






Ou seja, logaritmos podem simbolizar potências de outra forma. Como 10² = 100,
então veremos que 2100log  .
Eles são mais curtos que as potências. Imaginem que as potências indicam a altura de
um foguete que, depois de lançado, atinge 10 m em 1 segundo, 100 m em 2
segundos, e assim, sucessivamente. Diz-se, então, que o tempo é sempre o logaritmo
da altitude.
Se o foguete está a 10.000 m acima do solo, o tempo que levou então foi de 4
segundos. Portanto, o logaritmo de 10.000 é 4.
Assim, para compreender o que é um logaritmo, considere uma potência de base
positiva e diferente de 1. Por exemplo: 2³ = 8. Ao expoente dessa potência damos o
nome de logaritmo. Dizemos que 3 é o logaritmo de 8 na base 2. Em símbolos:
38log82 2
3

Logaritmo decimal: Chama-se logaritmo decimal aquele de base 10. Indica-se o
logaritmo decimal de um número a simplesmente por log a (a base 10 fica
subentendida). Ou seja, log a = a10log .
Exemplo: 3
1000
1
log
000.1
1
log 10  (
000.1
1
10 3

)

7. 7
Exemplo: Como calcular os logaritmos:
a) 4log2 = x 22242 2
 xxx
b) 625log125 = x   3
4
435555625125 4343
 xxxxx
c)
243
1
log81 = x   4
5
5433
3
1
3
243
1
81 54
5
4






 
xxxxx
d) 3
2 16log = x
3
4
2222162 3
4
3 43
 xxxx
e) 4
000.1log = x
4
3
10101010100010 4
3
4 34
 xxxx
f)
729
64
log
8
27 = x 2
3
6
2
3
2
3
3
2
2
3
729
64
8
27
6363








































x
xxx
Exercício: Calcule os logaritmos:
a) 49log7
b) 216log6
c) 024.1log128
d)
9
4
log
2
3
e) 5
2 16log
f) 000.10log
g) 4log4
h) 1log5
i) 243log3
j) 6
000.1log
k) 3
5
625log
l) 3log243
m) 128log32
n)
16
625
log
25
4
o) 001,0log
p) 09,0log 3,0
q) 008,0log 0016,0
r)
625
81
log 6,0
Tabela de logaritmos decimais
nº / base 2 3 4 5 6 7 8 9
2 1,0000 0,6309 0,5000 0,4307 0,3869 0,3562 0,3333 0,3155
3 1,5850 1,0000 0,7925 0,6826 0,6131 0,5646 0,5283 0,5000
4 2,0000 1,2619 1,0000 0,8614 0,7737 0,7124 0,6667 0,6309
5 2,3219 1,4650 1,1610 1,0000 0,8982 0,8271 0,7740 0,7325
6 2,5850 1,6309 1,2925 1,1133 1,0000 0,9208 0,8617 0,8155
7 2,8074 1,7712 1,4037 1,2091 1,0860 1,0000 0,9358 0,8856
8 3,0000 1,8928 1,5000 1,2920 1,1606 1,0686 1,0000 0,9464
9 3,1699 2,0000 1,5850 1,3652 1,2263 1,1292 1,0566 1,0000
10 3,3219 2,0959 1,6610 1,4307 1,2851 1,1833 1,1073 1,0480
11 3,4594 2,1827 1,7297 1,4899 1,3383 1,2323 1,1531 1,0913
12 3,5850 2,2619 1,7925 1,5440 1,3869 1,2770 1,1950 1,1309
13 3,7004 2,3347 1,8502 1,5937 1,4315 1,3181 1,2335 1,1674
14 3,8074 2,4022 1,9037 1,6397 1,4729 1,3562 1,2691 1,2011
15 3,9069 2,4650 1,9534 1,6826 1,5114 1,3917 1,3023 1,2325
16 4,0000 2,5237 2,0000 1,7227 1,5474 1,4248 1,3333 1,2619
17 4,0875 2,5789 2,0437 1,7604 1,5812 1,4560 1,3625 1,2895

8. 8
18 4,1699 2,6309 2,0850 1,7959 1,6131 1,4854 1,3900 1,3155
19 4,2479 2,6801 2,1240 1,8295 1,6433 1,5131 1,4160 1,3401
20 4,3219 2,7268 2,1610 1,8614 1,6720 1,5395 1,4406 1,3634
21 4,3923 2,7712 2,1962 1,8917 1,6992 1,5646 1,4641 1,3856
22 4,4594 2,8136 2,2297 1,9206 1,7251 1,5885 1,4865 1,4068
23 4,5236 2,8540 2,2618 1,9482 1,7500 1,6113 1,5079 1,4270
24 4,5850 2,8928 2,2925 1,9746 1,7737 1,6332 1,5283 1,4464
25 4,6439 2,9299 2,3219 2,0000 1,7965 1,6542 1,5480 1,4650
26 4,7004 2,9656 2,3502 2,0244 1,8184 1,6743 1,5668 1,4828
27 4,7549 3,0000 2,3774 2,0478 1,8394 1,6937 1,5850 1,5000
28 4,8074 3,0331 2,4037 2,0704 1,8597 1,7124 1,6025 1,5166
29 4,8580 3,0650 2,4290 2,0922 1,8793 1,7304 1,6193 1,5325
30 4,9069 3,0959 2,4534 2,1133 1,8982 1,7479 1,6356 1,5480
31 4,9542 3,1257 2,4771 2,1337 1,9165 1,7647 1,6514 1,5629
32 5,0000 3,1546 2,5000 2,1534 1,9343 1,7810 1,6667 1,5773
33 5,0444 3,1827 2,5222 2,1725 1,9514 1,7968 1,6815 1,5913
34 5,0875 3,2098 2,5437 2,1911 1,9681 1,8122 1,6958 1,6049
35 5,1293 3,2362 2,5646 2,2091 1,9843 1,8271 1,7098 1,6181
36 5,1699 3,2619 2,5850 2,2266 2,0000 1,8416 1,7233 1,6309
37 5,2095 3,2868 2,6047 2,2436 2,0153 1,8556 1,7365 1,6434
38 5,2479 3,3111 2,6240 2,2602 2,0302 1,8693 1,7493 1,6555
39 5,2854 3,3347 2,6427 2,2763 2,0447 1,8827 1,7618 1,6674
40 5,3219 3,3578 2,6610 2,2920 2,0588 1,8957 1,7740 1,6789
41 5,3576 3,3802 2,6788 2,3074 2,0726 1,9084 1,7859 1,6901
42 5,3923 3,4022 2,6962 2,3223 2,0860 1,9208 1,7974 1,7011
43 5,4263 3,4236 2,7131 2,3370 2,0992 1,9329 1,8088 1,7118
44 5,4594 3,4445 2,7297 2,3512 2,1120 1,9447 1,8198 1,7223
45 5,4919 3,4650 2,7459 2,3652 2,1245 1,9562 1,8306 1,7325
46 5,5236 3,4850 2,7618 2,3789 2,1368 1,9675 1,8412 1,7425
47 5,5546 3,5046 2,7773 2,3922 2,1488 1,9786 1,8515 1,7523
48 5,5850 3,5237 2,7925 2,4053 2,1606 1,9894 1,8617 1,7619
49 5,6147 3,5425 2,8074 2,4181 2,1721 2,0000 1,8716 1,7712
50 5,6439 3,5609 2,8219 2,4307 2,1833 2,0104 1,8813 1,7804
51 5,6724 3,5789 2,8362 2,4430 2,1944 2,0206 1,8908 1,7895
52 5,7004 3,5966 2,8502 2,4550 2,2052 2,0305 1,9001 1,7983
53 5,7279 3,6139 2,8640 2,4669 2,2159 2,0403 1,9093 1,8070
54 5,7549 3,6309 2,8774 2,4785 2,2263 2,0499 1,9183 1,8155
55 5,7814 3,6476 2,8907 2,4899 2,2365 2,0594 1,9271 1,8238
56 5,8074 3,6640 2,9037 2,5011 2,2466 2,0686 1,9358 1,8320
57 5,8329 3,6801 2,9164 2,5121 2,2565 2,0777 1,9443 1,8401
58 5,8580 3,6960 2,9290 2,5229 2,2662 2,0867 1,9527 1,8480
59 5,8826 3,7115 2,9413 2,5335 2,2757 2,0954 1,9609 1,8558
60 5,9069 3,7268 2,9534 2,5440 2,2851 2,1041 1,9690 1,8634
61 5,9307 3,7419 2,9654 2,5542 2,2943 2,1126 1,9769 1,8709

9. 9
62 5,9542 3,7567 2,9771 2,5643 2,3034 2,1209 1,9847 1,8783
63 5,9773 3,7712 2,9886 2,5743 2,3123 2,1292 1,9924 1,8856
64 6,0000 3,7856 3,0000 2,5841 2,3211 2,1372 2,0000 1,8928
65 6,0224 3,7997 3,0112 2,5937 2,3298 2,1452 2,0075 1,8998
66 6,0444 3,8136 3,0222 2,6032 2,3383 2,1531 2,0148 1,9068
67 6,0661 3,8273 3,0330 2,6125 2,3467 2,1608 2,0220 1,9136
68 6,0875 3,8408 3,0437 2,6217 2,3550 2,1684 2,0292 1,9204
69 6,1085 3,8540 3,0543 2,6308 2,3631 2,1759 2,0362 1,9270
70 6,1293 3,8671 3,0646 2,6397 2,3711 2,1833 2,0431 1,9336
71 6,1497 3,8801 3,0749 2,6486 2,3790 2,1906 2,0499 1,9400
72 6,1699 3,8928 3,0850 2,6572 2,3869 2,1978 2,0566 1,9464
73 6,1898 3,9053 3,0949 2,6658 2,3946 2,2049 2,0633 1,9527
74 6,2095 3,9177 3,1047 2,6743 2,4021 2,2119 2,0698 1,9589
75 6,2288 3,9299 3,1144 2,6826 2,4096 2,2187 2,0763 1,9650
76 6,2479 3,9420 3,1240 2,6908 2,4170 2,2256 2,0826 1,9710
77 6,2668 3,9539 3,1334 2,6990 2,4243 2,2323 2,0889 1,9770
78 6,2854 3,9656 3,1427 2,7070 2,4315 2,2389 2,0951 1,9828
79 6,3038 3,9772 3,1519 2,7149 2,4386 2,2455 2,1013 1,9886
80 6,3219 3,9887 3,1610 2,7227 2,4457 2,2519 2,1073 1,9943
81 6,3399 4,0000 3,1699 2,7304 2,4526 2,2583 2,1133 2,0000
82 6,3576 4,0112 3,1788 2,7380 2,4594 2,2646 2,1192 2,0056
83 6,3750 4,0222 3,1875 2,7456 2,4662 2,2708 2,1250 2,0111
84 6,3923 4,0331 3,1962 2,7530 2,4729 2,2770 2,1308 2,0166
85 6,4094 4,0439 3,2047 2,7604 2,4795 2,2831 2,1365 2,0219
86 6,4263 4,0545 3,2131 2,7676 2,4860 2,2891 2,1421 2,0273
87 6,4429 4,0650 3,2215 2,7748 2,4925 2,2950 2,1476 2,0325
88 6,4594 4,0754 3,2297 2,7819 2,4988 2,3009 2,1531 2,0377
89 6,4757 4,0857 3,2379 2,7889 2,5052 2,3067 2,1586 2,0429
90 6,4919 4,0959 3,2459 2,7959 2,5114 2,3124 2,1640 2,0480
91 6,5078 4,1060 3,2539 2,8028 2,5176 2,3181 2,1693 2,0530
92 6,5236 4,1159 3,2618 2,8095 2,5237 2,3237 2,1745 2,0580
93 6,5392 4,1257 3,2696 2,8163 2,5297 2,3293 2,1797 2,0629
94 6,5546 4,1355 3,2773 2,8229 2,5357 2,3348 2,1849 2,0677
95 6,5699 4,1451 3,2849 2,8295 2,5416 2,3402 2,1900 2,0726
96 6,5850 4,1546 3,2925 2,8360 2,5474 2,3456 2,1950 2,0773
97 6,5999 4,1641 3,3000 2,8424 2,5532 2,3509 2,2000 2,0820
98 6,6147 4,1734 3,3074 2,8488 2,5589 2,3562 2,2049 2,0867
99 6,6294 4,1827 3,3147 2,8551 2,5646 2,3614 2,2098 2,0913
nº Base 10 nº Base 10 nº Base 10
1 0 34 1,531479 67 1,826075
2 0,30103 35 1,544068 68 1,832509
3 0,477121 36 1,556303 69 1,838849
4 0,60206 37 1,568202 70 1,845098

10. 10
5 0,69897 38 1,579784 71 1,851258
6 0,778151 39 1,591065 72 1,857332
7 0,845098 40 1,60206 73 1,863323
8 0,90309 41 1,612784 74 1,869232
9 0,954243 42 1,623249 75 1,875061
10 1 43 1,633468 76 1,880814
11 1,041393 44 1,643453 77 1,886491
12 1,079181 45 1,653213 78 1,892095
13 1,113943 46 1,662758 79 1,897627
14 1,146128 47 1,672098 80 1,90309
15 1,176091 48 1,681241 81 1,908485
16 1,20412 49 1,690196 82 1,913814
17 1,230449 50 1,69897 83 1,919078
18 1,255273 51 1,70757 84 1,924279
19 1,278754 52 1,716003 85 1,929419
20 1,30103 53 1,724276 86 1,934498
21 1,322219 54 1,732394 87 1,939519
22 1,342423 55 1,740363 88 1,944483
23 1,361728 56 1,748188 89 1,94939
24 1,380211 57 1,755875 90 1,954243
25 1,39794 58 1,763428 91 1,959041
26 1,414973 59 1,770852 92 1,963788
27 1,431364 60 1,778151 93 1,968483
28 1,447158 61 1,78533 94 1,973128
29 1,462398 62 1,792392 95 1,977724
30 1,477121 63 1,799341 96 1,982271
31 1,491362 64 1,80618 97 1,986772
32 1,50515 65 1,812913 98 1,991226
33 1,518514 66 1,819544 99 1,995635
Situação inicial: Como resolver esse tipo de problema?
210 x
Agora sabemos que xx
 2log210 . Olhando na tabela: log 2 = 0,30103.
Propriedade dos Logaritmos
Da definição, decorre imediatamente que para números reais positivos, a e b, com
b≠1:
L.1. 1log bb
Exemplos: 110log  , 12log2  , 13log3  , 15log 5

L.2. 01log b
Exemplos: 01log2  , log 1 = 0, 01log5  , 01log
3
1 

11. 11
L.3. caca bb  loglog
Exemplos: 16log16log 22  cc
L.4. aya b
y
b log.log  , ( y , com y  IR)
Exemplos:
1) Ida:
2
5
32log2log 4
5
4 
Volta:
2
5
2
1
.52log.52log 4
5
4 
2) Ida:
2
3
27log3log 9
3
9 
Volta:
2
3
2
1
.33log.33log 9
3
9 
3) 585,17925,0.23log.23log 4
2
4 
4) 2175,87425,1.546log.546log 9
5
9 
5) Sabendo-se que 3log ab , calcular 5
log ab .
153.5log5log 5
 aa bb .
L.5. yby
b log
Exemplos:
1) 31.33log.33log27log 3
3
33  .
2)
2
5
1.
2
5
2log.
2
5
2log2log32log 2
2
5
2
5
22 
L.6. ab ab
log
aa bb loglog 
Exemplos:
1)
125log5
5 = 125
2)
2log7
7 = 2
3) Calcular o valor da expressão:
2log4 5
5
16555
16log2log2log4 5
4
55

4) Calcular o valor da expressão:
1,0log2
10
 
01,0101010 01.0log1,0log1,0log2 2

5) Calcular o valor da expressão: 1log6log3 86
5log3
E .
E = 5 + 1 – 0 = 6
L.7. caac bbb logloglog 
Exemplos:
1) Ida: 32log8log)2.4(log 3
222 
Volta: 31212log2log4log)2.4(log 2
2222 

12. 12
2) Ida: 778125log)125.625(log 55 
Volta: 7345log5log125log625log)125.625(log 3
5
4
5555 
3) Ida: 1293,535log)5.7(log 22 
Volta: 1293,53219,28074,25log7log)5.7(log 222 
4) Sabendo-se que 898,05log6  e 386,02log6  , calcular 10log6 .
284,1898,0386,05log2log)5.2(log10log 6666 
OBS: )(log cab  não existe propriedade específica.
Exemplo: )24(log2  = 6log2
L.8. ca
c
a
bbb logloglog 
Exemplos:
1) Ida: 22log4log
2
8
log 2
222 
Volta: 21312log2log8log
2
8
log 3
2222 
2) Ida: 15log
125
625
log 52 
Volta: 1345log5log125log625log
125
625
log 3
5
4
5552 
3) Ida: ...)666,1log(
3
5
log  Não tem na tabela.
Volta: 221849,0477121,069897,03log5log
3
5
log 
4) Ida: )6,0log(
5
3
log  Não tem na tabela.
Volta: 221849,069897,0477121,05log3log
5
3
log 
5) Sabendo-se que 898,05log6  e 386,02log6  , calcular:
a) 5,2log6
512,0386,0898,02log5log
2
5
log5,2log 6666 
b) 4,0log6
512,0898,0386,05log2log
5
2
log4,0log 6666 
OBS: )(log cab  não existe propriedade específica.
Exemplo: )39(log3  = 6log3

13. 13
L.9. Mudança de base:
b
a
a
k
k
b
log
log
log  , ( k , com k  IR*

, e k ≠ 1)
Exemplos:
1) Ida:
6
5
32log64 
Volta:
6
5
2log
2log
64log
32log
32log 6
2
5
2
2
2
64 
2) Ida:
2
1
4
2
9log
2:
2:
81 
Volta:
2
1
4
2
3log
3log
81log
9log
9log
2:
2:
4
3
2
3
3
3
81 
3) Sabendo-se que 898,05log6  e 386,02log6  , calcular:
a) 5log2
5log2 = 32,2
386,0
898,0
2log
5log
6
6

b) 2log5 =
43,0
898,0
386,0
5log
2log
6
6

Exercícios:
1) SAERJ – 1° BIM – 2012 (2° ANO)
2) (SAERJ-2014) Qual é o valor de log3 9 √ ?
A) 2 √ B) 9 C) 5 D) 7 E) 1
2 2
3) (SAERJ-2014) Qual é o valor da expressão log2 16 – log2 4 + log2 2?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 10 E) 11
4) (SAERJ-2013) André observou no enunciado de um exercício que os valores
aproximados dos logaritmos de 2 e 3 na base 10 são, respectivamente, log 2 ≅ 0,30 e
log 3 ≅ 0,48. Porém, na resolução desse exercício, André precisou fazer uso do valor
de log 6. André encontrou corretamente esse valor e finalizou a resolução do
exercício. O valor encontrado por André para log 6 foi
A) 0,144 B) 0,780 C) 0,810 D) 0,900 E) 1,080

14. 14
5) SAERJ – 1º BIM – 2011 (2º ANO)
6) SAERJ – 1º BIM – 2012 (2° ANO)
7) SAERJ – 2° BIM – 2012 (2° ANO)
8) (SAERJ-2013) Qual é o valor aproximado do log 27?
A) 0,11 B) 1,44 C) 2,52 D) 3,48 E) 4,32
Considere: log 3 = 0,48
9) (SAERJ-2014) Se log3 = 0,4 e log7 = 0,8 , o valor aproximado de log189 é
A) 3,6 B) 2,0 C) 0,96 D) 0,864 E) 0,0512
10) (SAERJ-2013) Qual é o valor aproximado do log 21?
A) 0,36 B) 0,40 C) 1,32 D) 2,52 E) 3,36
Considere:
log 3 = 0,48 e log 7 = 0,84
11) (SAERJ-2013) A expressão log2 6 + 2log2 5, equivale a
A) log2 16 B) log2 22 C) log2 75 D) log2 150 E) log2 900
12) SAERJ – 1° BIM – 2012 (2° ANO)
13) (SAERJ-2013) Qual é o valor aproximado do log 12?
A) 0,69 B) 1,08 C) 1,30 D) 1,80 E) 4,60
Considere: log 2 = 0,30 e log 24 = 1,38

15. 15
14) SAERJ – 1° BIM – 2012 (2° ANO)
15) (SAERJ-2013) Qual é o valor aproximado do log5 11?
A) 0,34 B) 0,67 C) 0,73 D) 1,48 E) 1,74
Considere: log 5 = 0,70 e log 11 = 1,0
16) Sabendo-se que 464,15log3  , calcule:
a) 25log3
b) 125log3
c)
5
1
log3
17) Calcule o valor de:a)
3log5
5
b)
3log5
25
18) Resolva a expressão:
5log3log10
275
34
949log1log 
19) Sabendo-se que 9log ab , calcule 6
log ab .
20) Sabendo-se que 8log 2
ab e que a > 0, calcule 3
log ab .
21) Sabendo-se que 9log ab , calcule
3
log ab .

16. 16