Aula sobre desconto

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Aula sobre desconto

  1. 1. Washington Franco Mathias José Maria GomesMatemática Financeira Com + de 600 exercícios resolvidos e propostos 5ª Edição
  2. 2. Capítulo 2 DESCONTOSMathiasGomes
  3. 3. Descontos Quando se faz uma aplicação com vencimento pré-determinado, o aplicador: • Recebe um compromisso da aplicação; • Que é uma nota promissória; • Ou uma letra de câmbio. => Obter parte do principal e dos juros, em troca do título, é uma operação de “desconto”.MathiasGomes
  4. 4. Descontos Uma empresa faz uma venda a prazo, com venci- mento pré-determinado: • Recebe do comprador uma duplicata. => A empresa pode ir a um banco e transferir a posse da duplicata em troca de dinheiro. Esta á uma operação de “descontar uma duplica- ta”.MathiasGomes
  5. 5. Desconto Racional EXEMPLO Ou Desconto “por dentro”. • É o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor atual de um compromisso que seja saldado em n períodos antes do seu vencimento. Nin Dr = 1 + in Dr = valor do desconto N = valor nominal (montante) n = número de períodos antes do vencimento i = taxa de descontoMathiasGomes
  6. 6. Exemplo Uma pessoa pretende saldar um título de $ 5.500,00, 3 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros cor- rente é de 40% a.a., qual o desconto e quanto vai obter ? Resolução: Dr { N Vr 3 MesesMathiasGomes
  7. 7. Exemplo Temos: N = 5.500,00 n = 3 meses Calculando a taxa proporcional a 1 mês: 0,40 i12 = 12 Podemos calcular: Nin a) O desconto: Dr = 1 + in 0 , 40 5 . 500 x x3 Dr = 12 0 , 40Mathias 1+ x3Gomes 12
  8. 8. Exemplo 5.500,00x0,10 Dr = 1+ 0,10 550,00 Dr = = $500,00 1,10 b) O valor descontado: Vr = 5.500,00 - 500,00 = $ 5.000,00 $ 5.000,00 é o próprio valor atual do compromisso. De fato, nos próximos 3 meses e à taxa de 40% a.a., a aplicação de $ 5.000,00 iria render: J = Cin J = 5.000,00 x 0,40/12 x 3 = $ 500,00MathiasGomes
  9. 9. Desconto Comercial EXEMPLO Ou Desconto “por fora”. • É o valor que se obtém pelo cálculo do juro simples sobre o valor nominal do compromisso que seja saldado em n períodos antes do seu vencimento. Dc = N.i.n Dc = desconto comercial N = valor nominal (montante) n =número de períodos antes do vencimento i = taxa de descontoMathiasGomes
  10. 10. Exemplo Consideremos o exemplo do item anterior, em que o título de $ 5.500,00 é descontado à taxa de 40% a.a., 3 meses antes do vencimento, qual é o desconto e quanto vai obter ? Resolução: procedendo de modo análogo, temos: Dc { N Vc 3 MesesMathiasGomes
  11. 11. Exemplo a) O desconto: Dc = Nin Dc = 5.500,00 x 0,40/12 x 3 = $ 550,00 b) O valor descontado comercial: Vc = N (1 − in) 0,40 Vc = 5.500,00 x(1 − x3) 12 Vc = 5.500,00 x0,9 Vc = $4950,00 Então a pessoa vai receber $ 4.950,00 pelo desconto co- mercial, que é menos que os $ 5.000,00 que receberia se o des- conto fosse racional.MathiasGomes
  12. 12. Exemplo É evidente, portanto, que ao se fazer um desconto comer- cial a taxa de desconto utilizada não é mais igual à taxa de juros capaz de reproduzir o montante. Observe-se que, se o banco ga- nha $ 550,00 sobre um valor de $ 4.950,00, em 3 meses, a taxa de juros de operação é: 55000 , i = = 0,1111 ao trimestre 4.95000 , ou i ≅ 0,44 ao ano Note-se então que, no desconto comercial, é preciso dis- tingüir entre a taxa de desconto utilizada na operação e a taxa implícita que é cobrada de fato.MathiasGomes
  13. 13. Desconto Bancário EXEMPLO Corresponde ao desconto comercial acrescido de uma taxa pré-fixada, cobrada sobre o valor nomi- nal. Db = N.(in+h) Db = desconto bancário N = valor nominal (montante) n = número de períodos antes do vencimento i = taxa de desconto h = taxa de despesas administrativas (taxa de despesas ban- cárias)MathiasGomes
  14. 14. Exemplo Um título de $ 5.500,00 foi descontado no Banco X, que cobra 2% como despesa administrativa. Sabendo-se que o título foi descontado 3 meses antes de seu vencimento e que a taxa cor- rente em desconto comercial é de 40% a.a., qual o desconto bancário ? Quanto recebeu o proprietário do título ? Resolução: Lembrando que: h = 0,02 e procedendo de modo análogo ao exemplo an- terior: a) Desconto bancário: Db = N (in + h) Db = 5.500,00 (0,40/12 x3 + 0,02) Db = 5.500,00 (0,10 + 0,02) Db = $ 660,00MathiasGomes
  15. 15. Exemplo b) Valor descontado bancário: Vb = N [1 - (in + h)] Vb = 5.500,00 [1 - (0,40/12 x 3 + 0,02] Vb = 5.500,00 x 0,88 Vb = $ 4.840,00 Compara-se este valor que o proprietário recebeu ao descontar seu título 3 meses antes com aquele obtido via des- conto comercial ($ 4.950,00). Mais uma vez notamos que a ta- xa de desconto não corresponde à taxa implícita na operação: 66000 , i" = ≅ 0,1364 ao trimestre 4.84000 , i" ≅ 0,5456 ao anoMathiasGomes
  16. 16. Exemplo É preciso, portanto, no caso dos descontos comercial e bancário, calcular a taxa que realmente está sendo cobrada na operação.MathiasGomes
  17. 17. Taxa de Juros Efetiva EXEMPLO É a taxa de juros que, aplicada sobre o valor descontado (comercial ou bancário), gera no período, um montante igual ao valor nominal. N −1 if = V n onde: if = taxa efetiva N = valor nominal V = valor atual (comercial ou bancário) n = número de períodos antes do vencimentoMathiasGomes
  18. 18. Exemplo Sendo o valor de desconto comercial de $ 4.950,00, o título de $ 5.500,00 saldado 3 meses antes de seu vencimento, qual é a taxa de juros efetiva para desconto comercial utilizada ? Resolução: Aplicando diretamente a fórmula, temos: N −1 if = V c n 5 .500 ,00 −1 4950 ,00 1,1111 − 1 if = ; if = 3 3 if = 0,03703 a.m . = 0, 44 a.a. Observe-se que este é o mesmo resultado já obtido anterior- mente, por cálculo direto.MathiasGomes
  19. 19. Exemplo Analogamente, com um título de $ 5.500,00 descontado 3 me- ses antes do vencimento e com um valor de desconto bancário de $ 4.850,00, qual a taxa efetiva para desconto bancário ? Resolução: Aplicando diretamente a fórmula, temos: N −1 if = V b n 5 .500 ,00 −1 4840 ,00 1,1364 − 1 if = ; if = 3 3 if = 0,045 a.m. = 0,54 a.a. Verifica-se mais uma vez que o resultado é o mesmo que o obti- do anteriormente por raciocínio direto.MathiasGomes
  20. 20. Relação entre o Desconto Comercial e o Desconto EXEMPLO Racional Dc = Dr (1+in) Dc = Desconto Comercial Dr = Desconto Racional n = número de períodos antes do vencimento i = taxa de desconto => o Desconto Comercial pode ser entendido co- mo sendo o montante do Desconto Racional cal- culado para o mesmo período e à mesma taxa.MathiasGomes
  21. 21. Exemplo O desconto comercial de um título descontado 3 meses antes de seu vencimento e à taxa de 40% a.a. é de $ 550,00. Qual é o desconto racional ? Resolução: Aplicando diretamente a fórmula, temos: Dc = Dr (1 + in ) 0,40 550,00 = Dr (1 + x3) 12 550,00 = Dr (1 + 0,10) 550,00 Dr = = $500,00 1,10MathiasGomes

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