O documento apresenta cálculos de operações com números complexos, resolvendo as expressões (a) a (e). A expressão (a) calcula a soma de z1 e z3, resultando em 1 + i. A expressão (b) calcula a diferença entre z1 e z4, resultando em 4 - 3i. A expressão (c) calcula o produto entre z2 e z3, resultando em -16 - 13i.
11. Teremos, assim:
𝒂 + 𝒃𝒊 = 𝟑 + 𝟐𝒊 = 𝒛
Com isso:
𝒛 = 𝟑 𝟐 + 𝟐 𝟐
𝒛 = 𝟗 + 𝟒
𝒛 = 𝟏𝟑
Resposta:
Assim:
𝒛 𝒛 + 𝒛 = 𝟏𝟖 + 𝟏𝟐𝒊, corresponde a:
𝑎 + 𝑏𝑖(2𝑎) = 18 + 12𝑖
2𝑎² + 2𝑎𝑏𝑖 = 18 + 12𝑖
Parte real Parte real
P. Imaginária P. Imaginária
by Renata Pinto
6) Calcule |z| sabendo que 𝒛 𝒛 + 𝒛 = 𝟏𝟖 + 𝟏𝟐𝒊.
Sabemos que 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 e que 𝒛 = 𝒂 − 𝒃𝒊
Pelas propriedades dos conjugados, temos:
1)𝑧 + 𝑧 = 2𝑎(𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑧)
Igualando as partes:
Parte Real: 2𝑎² = 18 ≫ 𝒂 = 𝟑
Parte Imaginária: 2𝑎𝑏𝑖 = 12𝑖, substituindo a:
2.3𝑏𝑖 = 12𝑖 ≫ 6𝑏𝑖 = 12𝑖 ≫ 𝒃 = 𝟐
12. 7) Determinar 𝒙 ∈ 𝑹 de modo que (𝟒 + 𝟑𝒊)(𝒙 − 𝟔𝒊)seja
imaginário puro.
Aplicamos as propriedades da multiplicação:
𝑎 + 𝑏𝑖 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑏𝑑𝑖²
= 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖
Resposta:
4 + 3𝑖 𝑥 − 6𝑖 = 4𝑥 − 20𝑖 + 3𝑥𝑖 − 18𝑖2
= 4𝑥 + 18 + −20 + 3𝑥 𝑖
Parte Real Parte Imaginária
Devemos encontrar um x para que a parte real seja zero. Então:
𝟒𝒙 + 𝟏𝟖 = 𝟎 → 𝒙 = −
𝟏𝟖
𝟒
→ 𝒙 = −
𝟗
𝟐
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O enunciado pede que o resultado seja um
“imaginário puro”, para isso devemos fazer
com que a parte real seja igual a zero.
15. 𝑎)| 𝒁| = 2
𝑏)| 𝒁| ≤ 5
𝑐)| 𝒁| > 3
𝑑) 𝟑 < | 𝒁| < 5
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9) Represente o conjunto de números complexos que
são soluções da equação (graficamente):
16. Sabendo que a correspondência entre Complexo na forma de
Par Ordenado (um ponto de um gráfico) e a Forma Algébrica é:
𝒛 𝒂, 𝒃 = 𝒂 + 𝒃𝒊
𝒛 −𝟐, −𝟏 = −𝟐 − 𝒊
Temos:
𝑧 − 𝑧0 = 4
𝑧 − −2 − 𝑖 = 4
𝒛 + 𝟐 + 𝒊 = 𝟒
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10) Encontre a equação ou uma equação para um círculo de
raio 4 com centro (-2,-1) em função dos complexos.
17. Seja 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, então
𝒛 + 𝟑𝒊 = 𝒂 − 𝒃𝒊 + 𝟑𝒊 = 𝒂 + 𝒃𝒊 − 𝟑𝒊 = 𝒛 − 𝟑𝒊
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11) Mostre que 𝒛 + 𝟑𝒊 = 𝒛 − 𝟑𝒊.
12) Se 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 é um número complexo escrever 𝒛−𝟏
em
função de z.
Pelo inverso temos que:
𝒛−𝟏 =
𝟏
𝒛
o que nos leva a função
𝒛
|𝒛|²