Números complexos praticando1

642 visualizações

Publicada em

Resolução detalhada do Praticando 1 - semana 10, sobre Números Complexos - Eixo Relações Numéricas

Publicada em: Educação
0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
642
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
247
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
5
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Números complexos praticando1

  1. 1. 1) Sejam 𝒛 𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊; 𝒛 𝟐 = 𝟒 − 𝒊; 𝒛 𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊 e 𝒛 𝟒 = 𝟐𝒊 calcule: a) 𝒛 𝟏 + 𝒛 𝟑 Temos que: 𝒛 𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊 e 𝒛 𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊, então: 𝒛 𝟏 + 𝒛 𝟑= 𝟒 + 𝟓𝒊 + −𝟑 − 𝟒𝒊 Lembrando as propriedades da adição: 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑑 𝑖 Resposta: 4 + 5𝑖 + −3 − 4𝑖 = 4 + 5𝑖 − 3 − 4𝑖 = 4 − 3 + 5 − 4 𝑖 = 𝟏 + 𝒊 by Renata Pinto
  2. 2. 1) Sejam 𝒛 𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊; 𝒛 𝟐 = 𝟒 − 𝒊; 𝒛 𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊 e 𝒛 𝟒 = 𝟐𝒊 calcule: b) 𝒛 𝟏 − 𝒛 𝟒 Temos que: 𝒛 𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊 e 𝒛 𝟒 = 𝟐𝒊, então: 𝒛 𝟏 − 𝒛 𝟒= 𝟒 + 𝟓𝒊 − 𝟐𝒊 Lembrando as propriedades da subtração: 𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 − 𝑐 + 𝑏 − 𝑑 𝑖 Resposta: 4 + 5𝑖 − 2𝑖 = 4 − 5 − 2 𝑖 = 𝟒 − 𝟑𝒊 by Renata Pinto
  3. 3. 1) Sejam 𝒛 𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊; 𝒛 𝟐 = 𝟒 − 𝒊; 𝒛 𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊 e 𝒛 𝟒 = 𝟐𝒊 calcule: c) 𝒛 𝟐 𝒛 𝟑 Temos que: 𝒛 𝟐 = 𝟒 − 𝒊 e 𝒛 𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊, então: 𝒛 𝟐 𝒛 𝟑 = 𝟒 − 𝒊 −𝟑 − 𝟒𝒊 Lembrando as propriedades da multiplicação: 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑏𝑑𝑖² = 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖 Resposta: 4 − 𝑖 −3 − 4𝑖 = −12 − 16𝑖 + 3𝑖 + 4𝑖2 = 12 − 4 + −16 + 3 𝑖 = −𝟏𝟔 − 𝟏𝟑𝒊 by Renata Pinto
  4. 4. 1) Sejam 𝒛 𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊; 𝒛 𝟐 = 𝟒 − 𝒊; 𝒛 𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊 e 𝒛 𝟒 = 𝟐𝒊 calcule: d) 𝒛 𝟑 𝒛 𝟏 Temos que: 𝒛 𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊 e 𝒛 𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊, então: 𝒛 𝟑 𝒛 𝟏 = −𝟑−𝟒𝒊 𝟒+𝟓𝒊 Lembrando as propriedades da divisão: 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑐 + 𝑑𝑖 × 𝑐 − 𝑑𝑖 𝑐 − 𝑑𝑖 = 𝑎𝑐 − 𝑎𝑑𝑖 − 𝑏𝑐𝑖 − 𝑏𝑑𝑖² 𝑐² + 𝑑²𝑖² = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 + (𝑏𝑐 − 𝑎𝑑)𝑖 𝑐² + 𝑑² = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 𝑐² + 𝑑² + 𝑏𝑑 − 𝑎𝑑 𝑐² + 𝑑² 𝑖 Resposta: −3 − 4𝑖 4 + 5𝑖 = −3 − 4𝑖 4 + 5𝑖 × 4 − 5𝑖 4 − 5𝑖 = −12 − 15𝑖 − 16𝑖 − 20𝑖² 4² + 5²𝑖² = −12 − 20 + (−16 − 15)𝑖 16 + 25 = −𝟑𝟐 − 𝒊 𝟒𝟏 by Renata Pinto
  5. 5. 1) Sejam 𝒛 𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊; 𝒛 𝟐 = 𝟒 − 𝒊; 𝒛 𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊 e 𝒛 𝟒 = 𝟐𝒊 calcule: e) 𝒛 𝟏 − 𝒛 𝟑 Temos que: 𝒛 𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊 e 𝒛 𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊, então: 𝒛 𝟏 − 𝒛 𝟑= 𝟒 + 𝟓𝒊 − −𝟑 − 𝟒𝒊 Lembrando as propriedades da subtração: 𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 − 𝑐 + 𝑏 − 𝑑 𝑖 Resposta: 4 + 5𝑖 − −3 − 4𝑖 = 4 + 3 + 5 + 4 𝑖 = 𝟕 + 𝟗𝒊 by Renata Pinto Atenção à regra dos sinais
  6. 6. 2) Demonstre as propriedades: a) 𝒛 𝟏 + 𝒛 𝟐 = 𝒛 𝟐 + 𝒛 𝟏  Propriedade da adição - comutativa b) 𝒛 𝟏. 𝒛 𝟐 = 𝒛 𝟐. 𝒛 𝟏  Propriedade da multiplicação - comutativa c) 𝒛 𝟏. 𝒛 𝟐 + 𝒛 𝟑 = 𝒛 𝟏 𝒛 𝟐 + 𝒛 𝟏 𝒛 𝟑  ∀ 𝒛 𝟏, 𝒛 𝟐, 𝒛 𝟑 ∈ ∁ » Propriedade da multiplicação - distributiva d) 𝒛 + 𝒛 = 𝟐. 𝐚(𝐩𝐚𝐫𝐭𝐞 𝐫𝐞𝐚𝐥 𝐝𝐞 𝒛)  1ª Propriedade dos conjugados 𝒂 + 𝒃𝒊 + 𝒂 − 𝒃𝒊 = 𝒂 + 𝒂 + 𝒃𝒊 − 𝒃𝒊 = 𝟐𝒂 e) 𝒛 𝟏 + 𝒛 𝟐 = 𝒛 𝟏 + 𝒛 𝟐  3ª Propriedade dos conjugados f) |𝒛 𝟏 + 𝒛 𝟐| ≤ |𝒛 𝟐| + |𝒛 𝟏|  3ª Propriedade dos módulos by Renata Pinto
  7. 7. Resposta: 𝒛 = 𝒙² − 𝟑𝒚 ↔ 𝑧 = 2 + 3𝑖 2 − 3 1 − 𝑖 Usando as propriedades da multiplicação, vamos calcular 0 x² = 2 + 3𝑖 2 x² = 2 + 3𝑖 2 + 3𝑖 = 4 + 6𝑖 + 6𝑖 + 9𝑖² = 4 + 9 + 6 + 6 𝑖 = −5 + 12𝑖, sendo, então: 𝑥² = −5 + 12𝑖, substituindo na equação, teremos: 𝑧 = −5 + 12𝑖 − 3 1 − 𝑖 = −5 + 12𝑖 − 3 + 3𝑖 = −𝟖 + 𝟏𝟓𝒊 by Renata Pinto 3) Se 𝒙 = 𝟐 + 𝟑𝒊 e 𝒚 = 𝟏 − 𝒊, calcule 𝒛 = 𝒙² − 𝟑𝒚.
  8. 8. 4) Se o complexo 𝒂 + 𝒃𝒊 é produto dos dois complexos 𝒛 = 𝟐 + 𝒊 e 𝒘 = 𝟑 − 𝟒𝒊, calcule o valor de 𝒂 − 𝒃. Resposta: O enunciado nos diz que: 𝒂 + 𝒃𝒊 = 𝒛 × 𝒘 ou 𝒂 + 𝒃𝒊 = 𝟐 + 𝒊 𝟑 − 𝟒𝒊 , aplicando a propriedade da multiplicação, teremos: 𝒂 + 𝒃𝒊 = 𝟐 + 𝒊 𝟑 − 𝟒𝒊 = 𝟔 − 𝟖𝒊 + 𝟑𝒊 − 𝟒𝒊2 = 𝟔 + 𝟒 + 𝟑 − 𝟖 𝒊 = 𝟏𝟎 − 𝟓𝒊, ou seja, 𝒂 + 𝒃𝒊 = 𝟏𝟎 − 𝟓𝒊, onde: 𝒂 = 𝟏𝟎 e 𝒃 = −𝟓 O enunciado pede o valor de 𝒂 − 𝒃, isto é: 𝒂 − 𝒃 = 𝟏𝟎 − −𝟓 = 𝟏𝟎 + 𝟓 = 𝟏𝟓 by Renata Pinto
  9. 9. 5) Calcule o valor de: a) 𝒊 𝟏𝟕𝟗 Resposta: 179: 4 = 44 𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝟑. Então: 𝑖179 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑖3 𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜𝑠 𝑙𝑒𝑣𝑎 a −𝑖. 𝑖179 = 𝑖3 = −𝒊 by Renata Pinto Basta dividirmos o expoente por 4 e usarmos o resto como referencia. Colinha: 𝑖 = −1 𝑖² = −1 𝑖³ = −𝑖 𝑖4 = 1
  10. 10. 5) Calcule o valor de: b) 𝒊 𝟗𝟕+𝒊 𝟗𝟖 𝒊 Resposta: 97: 4 = 24, 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝟏 𝑒 98: 4 = 24, 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝟐. Então, aplicando a propriedade da divisão, teremos: 𝒊 + 𝒊 𝟐 𝒊 = 𝒊 + 𝒊 𝟐 𝒊 × 𝒊 𝒊 = 𝒊 𝟐 + 𝒊 𝟑 𝒊 𝟐 = −𝟏 − 𝒊 −𝟏 = 𝟏 + 𝒊 by Renata Pinto Colinha: 𝑖 = −1 𝑖² = −1 𝑖³ = −𝑖 𝑖4 = 1
  11. 11. Teremos, assim: 𝒂 + 𝒃𝒊 = 𝟑 + 𝟐𝒊 = 𝒛 Com isso: 𝒛 = 𝟑 𝟐 + 𝟐 𝟐 𝒛 = 𝟗 + 𝟒 𝒛 = 𝟏𝟑 Resposta: Assim: 𝒛 𝒛 + 𝒛 = 𝟏𝟖 + 𝟏𝟐𝒊, corresponde a: 𝑎 + 𝑏𝑖(2𝑎) = 18 + 12𝑖 2𝑎² + 2𝑎𝑏𝑖 = 18 + 12𝑖 Parte real Parte real P. Imaginária P. Imaginária by Renata Pinto 6) Calcule |z| sabendo que 𝒛 𝒛 + 𝒛 = 𝟏𝟖 + 𝟏𝟐𝒊. Sabemos que 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 e que 𝒛 = 𝒂 − 𝒃𝒊 Pelas propriedades dos conjugados, temos: 1)𝑧 + 𝑧 = 2𝑎(𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑧) Igualando as partes: Parte Real: 2𝑎² = 18 ≫ 𝒂 = 𝟑 Parte Imaginária: 2𝑎𝑏𝑖 = 12𝑖, substituindo a: 2.3𝑏𝑖 = 12𝑖 ≫ 6𝑏𝑖 = 12𝑖 ≫ 𝒃 = 𝟐
  12. 12. 7) Determinar 𝒙 ∈ 𝑹 de modo que (𝟒 + 𝟑𝒊)(𝒙 − 𝟔𝒊)seja imaginário puro. Aplicamos as propriedades da multiplicação: 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑏𝑑𝑖² = 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖 Resposta: 4 + 3𝑖 𝑥 − 6𝑖 = 4𝑥 − 20𝑖 + 3𝑥𝑖 − 18𝑖2 = 4𝑥 + 18 + −20 + 3𝑥 𝑖 Parte Real Parte Imaginária Devemos encontrar um x para que a parte real seja zero. Então: 𝟒𝒙 + 𝟏𝟖 = 𝟎 → 𝒙 = − 𝟏𝟖 𝟒 → 𝒙 = − 𝟗 𝟐 by Renata Pinto O enunciado pede que o resultado seja um “imaginário puro”, para isso devemos fazer com que a parte real seja igual a zero.
  13. 13. Lembrando que no exercício 1: 𝒛 𝟏 = 𝟒 + 𝟓𝒊; 𝒛 𝟐 = 𝟒 − 𝒊; 𝒛 𝟑 = −𝟑 − 𝟒𝒊 e 𝒛 𝟒 = 𝟐𝒊 by Renata Pinto 8) Represente graficamente: 𝒛 𝟓 = 𝟏−𝒊 𝟐 ; 𝒛 𝟔 = 𝟐 − 𝟑𝒊; 𝒛− = 𝒛 𝟔 −𝟏 e 𝒛 𝟏, 𝒛 𝟐, 𝒛 𝟑, 𝒛 𝟒 do exercício 1.
  14. 14. Continuando... Para representarmos: 𝒛− = 𝒛 𝟔 −𝟏 , devemos observar que: 𝒛− = (𝟐 − 𝟑𝒊)−𝟏 temos que, o inverso de um Número Complexo é: 𝒛− = 𝟏 𝟐 − 𝟑𝒊 = 𝟏 𝟐 − 𝟑𝒊 × 𝟐 + 𝟑𝒊 𝟐 + 𝟑𝒊 = 𝟐 + 𝟑𝒊 𝟒 − 𝟗𝒊² = 𝟐 + 𝟑𝒊 𝟒 − 𝟗(−𝟏) = 𝟐 + 𝟑𝒊 𝟏𝟑 Graficamente, teremos: by Renata Pinto 𝑧−1 = 1 𝑧 = 1 𝑎 + 𝑏𝑖 = 1 𝑎 + 𝑏𝑖 × 𝑎 − 𝑏𝑖 𝑎 − 𝑏𝑖 = 𝑎 − 𝑏𝑖 𝑎² − 𝑏2 𝑖² = 𝑎 − 𝑏𝑖 𝑎² − 𝑏2(−1) = 𝑎 − 𝑏𝑖 𝑎² + 𝑏²
  15. 15. 𝑎)| 𝒁| = 2 𝑏)| 𝒁| ≤ 5 𝑐)| 𝒁| > 3 𝑑) 𝟑 < | 𝒁| < 5 by Renata Pinto 9) Represente o conjunto de números complexos que são soluções da equação (graficamente):
  16. 16. Sabendo que a correspondência entre Complexo na forma de Par Ordenado (um ponto de um gráfico) e a Forma Algébrica é: 𝒛 𝒂, 𝒃 = 𝒂 + 𝒃𝒊 𝒛 −𝟐, −𝟏 = −𝟐 − 𝒊 Temos: 𝑧 − 𝑧0 = 4 𝑧 − −2 − 𝑖 = 4 𝒛 + 𝟐 + 𝒊 = 𝟒 by Renata Pinto 10) Encontre a equação ou uma equação para um círculo de raio 4 com centro (-2,-1) em função dos complexos.
  17. 17. Seja 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, então 𝒛 + 𝟑𝒊 = 𝒂 − 𝒃𝒊 + 𝟑𝒊 = 𝒂 + 𝒃𝒊 − 𝟑𝒊 = 𝒛 − 𝟑𝒊 by Renata Pinto 11) Mostre que 𝒛 + 𝟑𝒊 = 𝒛 − 𝟑𝒊. 12) Se 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 é um número complexo escrever 𝒛−𝟏 em função de z. Pelo inverso temos que: 𝒛−𝟏 = 𝟏 𝒛 o que nos leva a função 𝒛 |𝒛|²

×