ESCALONAMENTO DE MATRIZES

1. n. 3 – ESCALONAMENTO: cálculo de matrizes inversas
Escalonamento: Método de eliminação de Gauss
A eliminação de Gauss é um método, segundo o qual é
permitido efetuar 3 tipos de operações, sem que o
determinante se altere:
1) trocar linhas de lugar;
[
1 1 1
2 −1 1
5 2 4
1
3
6
] { 𝐿2 ↔ 𝐿3 [
1 1 1
5 2 4
2 −1 1
1
6
3
]
2) multiplicar uma linha por um número qualquer não-
nulo;
[
1 1 1
5 2 4
2 −1 1
1
6
3
] { 𝐿3 = 4 𝐿3 [
1 1 1
5 2 4
8 −4 4
1
6
12
]
3) somar a uma linha, outra linha multiplicada por um
número qualquer não nulo.
[
1 1 1
5 2 4
8 −4 4
1
6
12
] { 𝐿2 = 5 𝐿3 − 8 𝐿2 [
1 1 1
0 −36 −12
8 −4 4
1
12
12
]

2. Obs.: começar sempre pela primeira coluna e ir zerando os
elementos abaixo do primeiro elemento da coluna.
Uma matriz é denominada escalonada, ou forma escada,
quando o número de zeros no lado esquerdo do primeiro
elemento não nulo da linha, aumenta a cada linha.
Nesse caso, a quarta linha não aumentou o número de
zeros por terem esgotado as colunas, mas ainda assim é uma
matriz escalonada.
Exercício – Escalone as matrizes a seguir:
a. 𝐴 = [
1 1 1
2 −1 1
5 2 4
1
3
6
]
b. 𝐵 = [
1 2 −1
2 4 −2
3 6 1
3
6
9
]

3. c. 𝐶 = [
1 2 3
2 1 1
3 −1 2
1
2
1
]
Resolução do exercício:
a.
[
𝟏 𝟏 𝟏
𝟐 −𝟏 𝟏
𝟓 𝟐 𝟒
𝟏
𝟑
𝟔
] →
𝑳𝟐 = −𝟐 𝑳𝟏 + 𝑳𝟐
𝑳𝟑 = −𝟓 𝑳𝟏 + 𝑳𝟑
[
𝟏 𝟏 𝟏
𝟎 −𝟑 −𝟏
𝟎 −𝟑 −𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
]
[
𝟏 𝟏 𝟏
𝟎 −𝟑 −𝟏
𝟎 −𝟑 −𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
] → 𝑳𝟑 = − 𝑳𝟐 + 𝑳𝟑 [
𝟏 𝟏 𝟏
𝟎 −𝟑 −𝟏
𝟎 𝟎 𝟎
𝟏
𝟏
𝟎
]
b.
[
𝟏 𝟐 −𝟏
𝟐 𝟒 −𝟐
𝟑 𝟔 𝟏
𝟑
𝟔
𝟗
] →
𝑳𝟐 = −𝟐 𝑳𝟏 + 𝑳𝟐
𝑳𝟑 = −𝟑 𝑳𝟏 + 𝑳𝟑
[
𝟏 𝟐 −𝟏
𝟎 𝟎 𝟎
𝟎 𝟎 𝟒
𝟑
𝟎
𝟎
]
[
𝟏 𝟐 −𝟏
𝟎 𝟎 𝟎
𝟎 𝟎 𝟒
𝟑
𝟎
𝟎
] → 𝑳𝟐 ↔ 𝑳𝟑 [
𝟏 𝟐 −𝟏
𝟎 𝟎 𝟒
𝟎 𝟎 𝟎
𝟑
𝟎
𝟎
]
c.
[
𝟏 𝟐 𝟑
𝟐 𝟏 𝟏
𝟑 −𝟏 𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
] →
𝑳𝟐 = −𝟐 𝑳𝟏 + 𝑳𝟐
𝑳𝟑 = −𝟑 𝑳𝟏 + 𝑳𝟑
[
𝟏 𝟐 𝟑
𝟎 −𝟑 −𝟓
𝟎 −𝟕 −𝟕
𝟏
𝟎
−𝟐
]

4. [
𝟏 𝟐 𝟑
𝟎 −𝟑 −𝟓
𝟎 −𝟕 −𝟕
𝟏
𝟎
−𝟐
] → 𝑳𝟑 = −𝟕 𝑳𝟐 + 𝟑 𝑳𝟑 [
𝟏 𝟐 𝟑
𝟎 −𝟑 −𝟓
𝟎 𝟎 𝟏𝟒
𝟏
𝟎
−𝟔
]
Cálculo de matriz inversa: Eliminação de Gauss-Jordan
Este procedimento consiste em converter a matriz aumentada,
numa matriz escalonada, aplicando as operações elementares.
Exemplo
Dada uma determinada matriz:
 Primeiro construímos a matriz aumentada. A matriz
aumentada consiste em dois blocos, separados por uma
linha tracejada. O bloco do lado esquerdo é a matriz que foi
dada, o bloco do lado direito é a matriz identidade.
[
2 −3 4 | 1 0 0
−1 2 −3 | 0 1 0
3 2 −1 | 0 0 1
]
 Agora, devemos operar com as linhas de modo que
consigamos transformar o bloco do lado esquerdo em uma
matriz identidade:
[
1 0 0 | ? ? ?
0 1 0 | ? ? ?
0 0 1 | ? ? ?
]

5.  depois de feitas as operações com as linhas da matriz para
obter a matriz unidade, no lado esquerdo do bloco, a matriz
que resultar no bloco do lado direito, será a matriz inversa
de A:
[
1 0 0 | ? ? ?
0 1 0 | ? ? ?
0 0 1 | ? ? ?
]
Exercício: Utilizando o escalonamento, obtenha as matrizes
inversas de:
a. 𝐷 = [
1 1 1
1 1 0
1 0 1
] R: 𝐷−1
= [
−1 1 1
1 0 −1
1 −1 0
]
b. 𝐾 = [
2 −3 4
−1 2 −3
3 2 −1
] R: 𝐾−1
=
[
−
2
3
5
6
1
6
5
3
−
7
3
1
3
−
4
3
−
13
6
1
6]
c. 𝐽 = [
1 0 2
2 1 3
3 1 0
] R: 𝐽−1
=
[
−
3
5
−
2
5
2
5
9
5
6
5
−
1
5
1
5
1
5
−
1
5]

6. d. 𝑀 = [
3 0 1 0
−2 0 2 0
0 1 0 1
0 −1 0 1
] R: 𝑀−1
=
[
1
4
−
1
8
0 0
0 0
1
2
−
1
2
1
4
3
8
0 0
0 0
1
2
1
2 ]
Resoluções dos exercícios:
Utilizando o escalonamento, obtenha as matrizes inversas de:
a. 𝐷 = [
1 1 1
1 1 0
1 0 1
]
Construindo a matriz aumentada:
𝐷 = [
1 1 1 | 1 0 0
1 1 0 | 0 1 0
1 0 1 | 0 0 1
]
[
1 1 1 | 1 0 0
1 1 0 | 0 1 0
1 0 1 | 0 0 1
] →
𝐿1 = 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑝𝑖𝑣ô
𝐿2 = 𝐿1 − 𝐿2
𝐿3 = 𝐿1 − 𝐿3
[
1 1 1 | 1 0 0
0 0 1 | 1 −1 0
0 1 0 | 1 0 −1
]
[
1 1 1 | 1 0 0
0 0 1 | 1 −1 0
0 1 0 | 1 0 −1
] → 𝐿2 ↔ 𝐿3 [
1 1 1 | 1 0 0
0 1 0 | 1 0 −1
0 0 1 | 1 −1 0
]
[
1 1 1 | 1 0 0
0 1 0 | 1 0 −1
0 0 1 | 1 −1 0
] →
𝐿2 = 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑝𝑖𝑣ô
𝐿1 = 𝐿1 − 𝐿2
[
1 0 1 | 0 0 1
0 1 0 | 1 0 −1
0 0 1 | 1 −1 0
]
[
1 0 1 | 0 0 1
0 1 0 | 1 0 −1
0 0 1 | 1 −1 0
] →
𝐿3 = 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑝𝑖𝑣ô
𝐿1 = 𝐿1 − 𝐿3
[
1 0 0 | −1 1 1
0 1 0 | 1 0 −1
0 0 1 | 1 −1 0
]

7. Portanto, a matriz inversa de 𝐷 = [
1 1 1
1 1 0
1 0 1
] é 𝐷−1
= [
−1 1 1
1 0 −1
1 −1 0
]
b. 𝐾 = [
2 −3 4
−1 2 −3
3 2 −1
]
𝐾 = [
2 −3 4 | 1 0 0
−1 2 −3 | 0 1 0
3 2 −1 | 0 0 1
]
[
2 −3 4 | 1 0 0
−1 2 −3 | 0 1 0
3 2 −1 | 0 0 1
] → 𝐿1 ↔ 𝐿2
[
−1 2 −3 | 0 1 0
2 −3 4 | 1 0 0
3 2 −1 | 0 0 1]
[
−1 2 −3 | 0 1 0
2 −3 4 | 1 0 0
3 2 −1 | 0 0 1]
→ 𝐿1 = 𝐿1 (−1)
[
1 −2 3 | 0 −1 0
2 −3 4 | 1 0 0
3 2 −1 | 0 0 1]
[
1 −2 3 | 0 −1 0
2 −3 4 | 1 0 0
3 2 −1 | 0 0 1]
→
𝐿2 = 𝐿2 − 2𝐿1
𝐿3 = 𝐿3 − 3𝐿1
[
1 −2 3 | 0 −1 0
0 1 −2 | 1 2 0
0 8 −10 | 0 3 1]
[
1 −2 3 | 0 −1 0
0 1 −2 | 1 2 0
0 8 −10 | 0 3 1]
→
𝐿1 = 2 𝐿2 + 𝐿1
𝐿3 = 𝐿3 − 8 𝐿2
[
1 0 −1 | 2 3 0
0 1 −2 | 1 2 0
0 0 6 | −8 −13 1]
[
1 0 −1 | 2 3 0
0 1 −2 | 1 2 0
0 0 6 | −8 −13 1]
→
𝐿1 = 6 𝐿1 + 𝐿3
𝐿2 = 3 𝐿2 + 𝐿3
[
6 0 0 | 4 5 1
0 3 0 | −5 −7 1
0 0 6 | −8 −13 1]

8. [
6 0 0 | 4 5 1
0 3 0 | −5 −7 1
0 0 6 | −8 −13 1]
→
{
𝐿1 =
1
6
𝐿1
𝐿2 =
1
3
𝐿2
𝐿3 =
1
6
𝐿3
[
1 0 0 |
2
3
5
6
1
6
0 1 0 | −
5
3
−
7
3
1
3
0 0 1 | −
4
3
−
13
6
1
6]
Portanto, a matriz inversa de 𝐾 = [
2 −3 4
−1 2 −3
3 2 −1
] é 𝐾−1
=
[
−
2
3
5
6
1
6
5
3
−
7
3
1
3
−
4
3
−
13
6
1
6]
c. 𝐽 = [
1 0 2
2 1 3
3 1 0
]
[
1 0 2 | 1 0 0
2 1 3 | 0 1 0
3 1 0 | 0 0 1
] →
𝐿2 = −2𝐿1 + 𝐿2
𝐿3 = −3 𝐿1 + 𝐿3
[
1 0 2 | 1 0 0
0 1 −1 | −2 1 0
0 1 −6 | −3 0 1]
[
1 0 2 | 1 0 0
0 1 −1 | −2 1 0
0 1 −6 | −3 0 1]
→ 𝐿3 = −𝐿2 + 𝐿3
[
1 0 2 | 1 0 0
0 1 −1 | −2 1 0
0 0 −5 | −1 −1 1]
[
1 0 2 | 1 0 0
0 1 −1 | −2 1 0
0 0 −5 | −1 −1 1]
→ 𝐿2 = 5 𝐿2 − 𝐿3
[
1 0 2 | 1 0 0
0 5 0 | −9 6 −1
0 0 −5 | −1 −1 1 ]
[
1 0 2 | 1 0 0
0 5 0 | −9 6 −1
0 0 −5 | −1 −1 1 ]
→ 𝐿1 = 5𝐿1 + 2 𝐿3
[
5 0 0 | 3 −2 2
0 5 0 | −9 6 −1
0 0 −5 | −1 −1 1 ]

9. [
5 0 0 | 3 −2 2
0 5 0 | −9 6 −1
0 0 −5 | −1 −1 1 ]
→
{
𝐿1 =
1
5
𝐿1
𝐿2 =
1
5
𝐿2
𝐿3 = −
1
5
𝐿3
[
1 0 0 |
3
5
−
2
5
2
5
0 1 0 | −
9
5
6
5
−
1
5
0 0 1 |
1
5
1
5
−
1
5]
Portanto, a matriz inversa de 𝐽 = [
1 0 2
2 1 3
3 1 0
] é 𝐽−1
=
[
−
3
5
−
2
5
2
5
9
5
6
5
−
1
5
1
5
1
5
−
1
5]
d. 𝑀 = [
3 0 1 0
−2 0 2 0
0 1 0 1
0 −1 0 1
]
[
3 0 1 0 | 1 0 0 0
−2 0 2 0 | 0 1 0 0
0 1 0 1 | 0 0 1 0
0 −1 0 1 | 0 0 0 1
] →
𝐿2 = 2𝐿1 + 3𝐿2
𝐿4 = 𝐿3 + 𝐿4
[
3 0 1 0 | 1 0 0 0
0 0 8 0 | 2 3 0 0
0 1 0 1 | 0 0 1 0
0 0 0 2 | 0 0 1 1
]
[
3 0 1 0 | 1 0 0 0
0 0 8 0 | 2 3 0 0
0 1 0 1 | 0 0 1 0
0 0 0 2 | 0 0 1 1
] → 𝐿2 ↔ 𝐿3 [
3 0 1 0 | 1 0 0 0
0 1 0 1 | 0 0 1 0
0 0 8 0 | 2 3 0 0
0 0 0 2 | 0 0 1 1
]
[
3 0 1 0 | 1 0 0 0
0 1 0 1 | 0 0 1 0
0 0 8 0 | 2 3 0 0
0 0 0 2 | 0 0 1 1
] →
𝐿1 = 8𝐿1 − 𝐿3
𝐿2 = 2𝐿2 − 𝐿4
[
24 0 0 0 | 6 −3 0 0
0 2 0 0 | 0 0 1 −1
0 0 8 0 | 2 3 0 0
0 0 0 2 | 0 0 1 1
]
[
24 0 0 0 | 6 −3 0 0
0 2 0 0 | 0 0 1 −1
0 0 8 0 | 2 3 0 0
0 0 0 2 | 0 0 1 1
] →
𝐿1 =
1
24
𝐿1
𝐿2 =
1
2
𝐿2
𝐿3 =
1
8
𝐿3
𝐿4 =
1
2
𝐿4 [
1 0 0 0 |
6
24
−3
24
0 0
0 1 0 0 | 0 0
1
2
−
1
2
0 0 1 0 |
2
8
3
8
0 0
0 0 0 1 | 0 0
1
2
1
2 ]

10. [
1 0 0 0 |
1
4
−
1
8
0 0
0 1 0 0 | 0 0
1
2
−
1
2
0 0 1 0 |
1
4
3
8
0 0
0 0 0 1 | 0 0
1
2
1
2 ]
Portanto, a matriz inversa de 𝑀 = [
3 0 1 0
−2 0 2 0
0 1 0 1
0 −1 0 1
] é 𝑀−1
=
[
1
4
−
1
8
0 0
0 0
1
2
−
1
2
1
4
3
8
0 0
0 0
1
2
1
2 ]

11. SISTEMAS ESCALONADOS. Disponível em: <http://www.ime.unicamp.br/~ms211/sistemaslin.pdf> Acesso em: 12 ago. 2016.
Referências Bibliográficas
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. São Paulo: Harper & Row, 1980.
CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, 1990.

12. ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. São Paulo: Bookman, 2008.
KOLMAN, B.; HILL, R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 6ª ed. Rio de
Janeiro: Prentice-Hall, 1998.
LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1972.
STEINBRUCH, A. ; WINTERLE, P. Álgebra linear. São Paulo: Pearson-Makron Books,
2010.