Apresentação sobre o tema da minha tese de mestrado. Fundamentalmente um modelo de agentes ou microsimulação. A proposta é criar um mercado artificial onde as interações entre os agentes é capaz de produzir uma série temporal de preços com características encontradas em séries temporais observadas nos mercados reais.

1. Sobre o comportamento end´gendo do mercado
o
de a¸˜es: simula¸oes e experimentos
co
c˜
Wilson Freitas
Departamento de F´
ısica — PUC–Rio
2 de novembro de 2012

2. Agenda
Motiva¸˜o
ca
Modelagem End´gena
o
Algoritmo
Resultados
Experimentos
Conclus˜es e extens˜es
o
o

3. Motiva¸˜o
ca
Porque modelos baseados em agentes?
Modelar o comportamento dos investidores em um mercado
de a¸˜es atrav´s de uma representa¸˜o idealizada que leve em
co
e
ca
conta o processo complexo de decis˜o.
a
Extrair informa¸˜es do mercado artifical e comparar
co
qualitativamente com dados obtidos em mercados reais, para
que se entenda quais fatores s˜o relevantes na dinˆmica do
a
a
mercado.
Gerar uma s´rie artificial que contenha as principais
e
caracter´
ısticas observadas nas s´ries emp´
e
ıricas no regime
normal do mercado.

4. Pressupostos b´sicos I
a
Carteira de investimentos
wi (t) = Ci (t) + Ri (t)
= Ci (t) + pt Si (t)
V´
ınculos
Ci (t) > 0
Si (t) > 0
para qualquer t.
Quantidades conservadas
N
N
Ci (t) = C
i=0
para qualquer t.
Si (t) = S
i=0

5. Pressupostos b´sicos II
a
Agentes possuem avers˜o ao risco
a
Agentes s˜o heterogˆneos
a
e
Estrat´gias fixas de investimento
e
Mercado centralizado
N˜o h´ troca de informa¸˜o direta entre os agentes
a a
ca

6. Tipos de agentes do mercado
Agentes s˜o dividos de acordo com suas estrat´gias de
a
e
investimentos:
Agentes Aleat´rios: n˜o tˆm estrat´gia de investimentos bem
o
a e
e
definida podem negociar por necessidade, instinto ou
ignorˆncia. Representam a maioria dos agentes.
a
Agentes T´cnicos: utilizam indicadores baseados na s´rie passada
e
e
dos pre¸os.
c
Agentes Fundamentalistas: avaliam diversas informa¸˜es a respeito
co
do ativo para estimar o pre¸o fundamental de um
c
ativo.
Os agentes fundamentalistas n˜o foram considerados na modelagem.
a

7. Flutua¸oes estoc´sticas e heterogeneidade end´gena
c˜
a
o
Flutua¸oes estoc´sticas
c˜
a
os agentes atuam no regime normal do mercado
as informa¸˜es externas de menor impacto s˜o tratadas como
co
a
ru´
ıdos estoc´sticos
a
atua¸˜o dos agentes aleat´rios
ca
o
Heterogeneidade end´gena
o
diferentes estrat´gias de investimento que caracterizam os
e
tipos de agentes do mercado: aleat´rios (indecisos) e t´cnicos
o
e
diferentes graus de avers˜o ao risco
a
A diversidade se d´ apenas por fatores inerentes aos agentes.
a

8. Avers˜o ao Risco
a
taxa de capital em rela¸˜o ao investimento em risco do agente
ca
i
Ci (t)
γi (t) =
Ri (t)
cada agente possui um valor ´timo γi∗
o

9. Avers˜o ao Risco
a
Compra:
Φ(γi (t + 1), γi∗ ) = 1 − exp −
ˆ
γi (t + 1)
ˆ
γi∗
Venda:
Φ(γi (t + 1), γi∗ ) = 1 − exp −
ˆ
onde
γi (t + 1) ≡
ˆ
1
,
γi (t + 1)
ˆ
γi (t + 1)
ˆ
γi∗
γi∗ ≡
1
γi∗
A avers˜o ao risco regula como as ordens de mercado ser˜o
a
a
atenuadas.

10. Estrat´gias
e
Os agentes processam informa¸˜es e constroem suas
co
estrat´gias
e
Xi (t) = F [Ci (t), Si (t), pt , It , ηi (t)]
Xi (t) define a fra¸˜o do patrimˆnio do agente que ele est´
ca
o
a
disposto a negociar no instante t
Xi (t) > 0
Xi (t) = 0
Xi (t) < 0
−→
−→
−→
COMPRA
NEUTRO
VENDA

11. Estrat´gias
e
Timming – Quando e como?
Xi (t) = σi (t)Λi (t)
σi (t) = τi (t)si (t) ´ o termo de ativa¸˜o da estrat´gia
e
ca
e
τi (t)
0
1
0
1
si (t)
+1
+1
-1
-1
σi (t)
0
+1
0
-1
A¸˜o
ca
NEUTRO
COMPRA
NEUTRO
VENDA
σi (t) ´ definido por uma estrat´gia de investimento.
e
e
Agentes Aleat´rios: τi (t) e si (t) s˜o vari´veis aleat´rias de
o
a
a
o
Bernoulli com p = 0.5.
Agentes T´cnicos: σi (t) ´ definido por estrat´gias baseadas
e
e
e
em indicadores da an´lise t´cnica de
a
e
investimento.

12. Estrat´gias
e
Volume – Quer pagar quanto?
Λi (t) ∈ (0, 1), determina a fra¸˜o do patrimˆnio que ser´
ca
o
a
utilizada pelo agente em uma negocia¸˜o.
ca
Λcompra (t; γi∗ ) = fc 1 − exp −
i
Λvenda (t; γi∗ ) = fv 1 − exp −
i
γi (t + 1)
ˆ
γi∗
γi (t + 1)
ˆ
γi∗
fc e fv s˜o respectivamente fra¸˜es do capital e das a¸˜es que
a
co
co
os agentes tˆm inten¸˜o de negociar, de acordo com o sinal de
e
ca
σi (t).
Essas fra¸˜es s˜o governadas por novas informa¸˜es sobre o
co
a
co
ativo que chegam ao mercado. Devido ao car´ter aleat´rio
a
o
dessas informa¸˜es:
co
fc , fv ∼ U(0, 1)

13. Estrat´gias de An´lise T´cnica
e
a
e
M´dia m´vel
e
o
O indicador ´ a m´dia m´vel da s´rie de pre¸os para um
e
e
o
e
c
per´
ıodo τ .
τ −1
p(t − i)
Mτ (t) =
τ
i=0
A estrat´gia de ativa¸˜o ´ definida a partir de duas m´dias
e
ca e
e
m´veis:
o
1. M´dia m´vel curta Mc de per´
e
o
ıodo τc
2. M´dia m´vel longa Ml de per´
e
o
ıodo τl
3. τc < τl

 +1 quando Mc ⊗ Ml
−1 quando Ml ⊗ Mc
σi (t) =

0 para qualquer outro estado
Objetivo: Acompanhar a tendˆncia no movimento passado
e
dos pre¸os
c
a(t) ⊗ b(t) ≡ a(t − 1) ≤ b(t − 1) ∧ a(t) > b(t)

14. Estrat´gias de An´lise T´cnica
e
a
e
M´dia m´vel
e
o
Yahoo INC.
35
30
25
20
1
0
-1
Jul/96
Ago/96
Set/96
Out/96
Nov/96
Dez/96
Jan/97
Fev/97
Mar/97

15. Estrat´gias de An´lise T´cnica
e
a
e
M´dia m´vel exponencial
e
o
O indicador ´ a m´dia m´vel exponencial (EWMA) da s´rie de
e
e
o
e
pre¸os.
c
Eα (t) = αp(t) + (1 − α)Eα (t − 1)
2
onde α = τ +1
A estrat´gia de ativa¸˜o ´ definida a partir de duas m´dias
e
ca e
e
m´veis:
o
1. M´dia m´vel curta Ec de coeficiente αc
e
o
2. M´dia m´vel longa El de coeficiente αl
e
o
3. αc > αl ⇒ τc < τl

 +1 quando Ec ⊗ El
−1 quando El ⊗ Ec
σi (t) =

0 para qualquer outro estado
Objetivo: Acompanhar a tendˆncia no movimento passado
e
dos pre¸os
c

16. Estrat´gias de An´lise T´cnica
e
a
e
M´dia m´vel exponencial
e
o
Yahoo INC.
35
30
25
20
1
0
-1
Jul/96
Ago/96
Set/96
Out/96
Nov/96
Dez/96
Jan/97
Fev/97
Mar/97

17. Estrat´gias de An´lise T´cnica
e
a
e
Momento
O indicador Momento mede a velocidade do movimento
passado dos pre¸os
c
Rτ (t) =
A estrat´gia de ativa¸˜o
e
ca

 +1
−1
σi (t) =

0
p(t) − p(t − τ )
τ
´ definida como:
e
quando Rτ (t) ⊗ 0
quando 0 ⊗ Rτ (t)
para qualquer outro estado
Objetivo: Informar os pontos de inflex˜o no comportamento
a
dos pre¸os
c

18. Estrat´gias de An´lise T´cnica
e
a
e
Momento
Yahoo INC.
35
30
25
20
20
10
0
-10
1
0
-1
Jul/96
Ago/96
Set/96
Out/96
Nov/96
Dez/96
Jan/97
Fev/97
Mar/97

19. Estrat´gias de An´lise T´cnica
e
a
e
´
Indice de for¸a relativa – RSI
c
O indicador RSI ´ calculado a partir de:
e
RSIτ (t) = 100 −
100
1 + RSτ (t)
RSτ (t) ´ a raz˜o entre a m´dia de retornos positivos e
e
a
e
negativos em um per´
ıodo τ
RSτ (t) =
τ
i=1 (xt−i −xt−i−1 )I (xt−i >xt−i−1 )
τ
i=1 I (xt−i >xt−i−1 )
τ
i=1 (xt−i−1 −xt−i )I (xt−i ≤xt−i−1 )
τ
i=1 I (xt−i ≤xt−i−1 )
A estrat´gia de ativa¸˜o ´ definida como:
e
ca e

 +1 quando RSIτ (t) < Linf
−1 quando RSIτ (t) > Lsup
σi (t) =

0 quando Linf < RSIτ (t) < Lsup
onde RSIτ (t), Linf , Lsup ∈ [0, 100] e Linf < Lsup

20. Estrat´gias de An´lise T´cnica
e
a
e
´
Indice de for¸a relativa – RSI
c
Objetivo: Medir a for¸a entre compradores e vendedores
c
informando o potencial crescimento do ativo.
Yahoo INC.
35
30
25
20
80
70
60
50
40
30
20
10
1
0
-1
Jul/96
Ago/96
Set/96
Out/96
Nov/96
Dez/96
Jan/97
Fev/97
Mar/97

21. Estrat´gias de An´lise T´cnica
e
a
e
Parˆmetros utilizados nas estrat´gias
a
e
Indicador
M´dia m´vel
e
o
M´dia m´vel exponencial
e
o
´
Indice de For¸a Relativa
c
Momento
Estrat´gia
e
MA(5,21)
EMA(5,21)
RSI(21,30,70)
MO(21)

22. Estrat´gias de An´lise T´cnica
e
a
e
Heterogeneidade dos sinais
O gr´fico mostra a heterogeneidade na emiss˜o de sinais pelas
a
a
estrat´gias t´cnicas no mercado artificial.
e
e

23. Estrat´gias de An´lise T´cnica
e
a
e
Heterogeneidade dos sinais
Histograma do n´mero de agentes que atuam simultaneamente
u
no mercado artificial, com N = 1000 e φ = 0.3.
N ´ o n´mero de agentes no mercado e φ ´ o percentual de agentes no mercado que utiliza estrat´gias t´cnicas.
e
u
e
e
e

24. Algoritmo

25. Algoritmo
Inicializa¸˜o do mercado
ca
utiliza¸˜o de uma s´rie real na inicializa¸˜o dos indicadores de
ca
e
ca
an´lise t´cnica
a
e
defini¸˜o do pre¸o inicial p0
ca
c
defini¸˜o do capital total e da quantidade total de a¸˜es
ca
co
existentes no mercado: C = p0 S

26. Algoritmo
Inicializa¸˜o dos agentes
ca
Os N agentes do mercado s˜o inicializados com as mesmas
a
C
S
quantidades de capital e de a¸˜es, Ci,t=0 = N , Si,t=0 = N .
co
Agentes s˜o divididos em duas popula¸˜es: φN agentes
a
co
t´cnicos e (1 − φ)N agentes aleat´rios. Os agentes t´cnicos
e
o
e
s˜o subdivididos igualmente em n = 4 grupos de acordo com
a
a estrat´gia t´cnica utilizada.
e
e
Os valores de γi∗ s˜o distribu´
a
ıdos segundo uma distribui¸˜o
ca
Gama

27. Algoritmo
Emiss˜o ordens e limpeza do mercado
a
As ordens de mercado emitidas pelos

 Xi (t) Ci (t) ,

p(t)
∆Si (t) =
Xi (t)Si (t),


0,
Demanda: D(t) =
Oferta: O(t) =
agentes:
σi (t) > 0
σi (t) < 0
σi (t) = 0
i:∆Si (t)>0 ∆Si (t)
i:∆Si (t)<0 ∆Si (t)
Limpeza do mercado:
D(t) > O(t)
D(t) < O(t)
Ordem
VENDA
∆Si (t)
<0
COMPRA
>0
COMPRA
>0
VENDA
<0
∆Si (t)
∆Si (t)
O(t)
∆Si (t)
D(t)
∆Si (t)
D(t)
∆Si (t)
O(t)

28. Algoritmo
Regra de forma¸˜o de pre¸o
ca
c
Requisitos
´ fun¸˜o do excesso de demanda: D(t) − O(t)
e
ca
C´lculo do novo pre¸o
a
c
p(t + 1) = p(t) 1 + ζ(t)
D(t) − O(t)
V (t)
V (t) = min(D(t), O(t)) ´ o volume negociado
e
ζ(t) = ζ0 + κVτ (t)
Vτ (t) ´ a volatilidade na escala τ
e

29. Resultados
Parˆmetros utilizados
a
Parˆmetro
a
N
C
S
ζ
κ
φ
p0
Run-02
103
4 × 106
4 × 105
0.02
0
0.3
40.0
Run-03
103
4 × 106
4 × 105
0.02
0
0.2
40.0
Run-21
103
4 × 106
4 × 105
0.02
1
0.3
40.0
A tabela mostra os parˆmetros que foram utilizados nas
a
simula¸˜es.
co

30. Resultados
Compara¸˜o com s´ries reais
ca
e
S´ries de pre¸os recosntru´
e
c
ıdas a partir dos retornos normalizados.

31. Resultados
S´rie de retornos normalizados
e
6
4
Yahoo
2
0
-2
-4
-6
6
4
Run-02
2
0
-2
-4
-6
t

32. Resultados
Histograma dos retornos normalizados

33. Resultados
Histograma acumulados das caudas

34. Resultados
Histograma acumulados das caudas

35. Resultados
Correla¸˜o linear dos retornos
ca
Autocorrelação dos retornos
1
Autocorrelação dos retornos
1
Run−02
Yahoo
0.8
0.6
!(")
!(")
0.6
0.4
0.2
0
0
20
40
60
80
100
"
Autocorrelação dos retornos
Run−02
Run−21
0.8
!(")
0.6
0.4
0.2
0
0
20
40
60
"
−0.2
0
20
40
60
80
100
"
1
−0.2
0.4
0.2
0
−0.2
Run−21
Yahoo
0.8
80
100
presen¸a de correla¸˜o
c
ca
residual em escala de
tempo da ordem da janela
das estrat´gias t´cnicas
e
e
Run-02 κ = 0
Run-21 κ = 1

36. Resultados
Correla¸˜o n˜o-linear dos retornos
ca a
Autocorrelação do módulo dos retornos
1
Autocorrelação do módulo dos retornos
1
Yahoo
Run−02
0.8
0.6
!(")
!(")
0.6
0.4
0.2
0
0
20
40
60
80
100
"
0
20
40
60
80
correla¸˜o n˜o linear
ca a
somente para κ = 1
Autocorrelação do módulo dos retornos
Run−02
Run−21
0.8
agentes t´cnicos n˜o
e
a
introduzem correla¸˜o
ca
n˜o linear significativa
a
0.6
!(")
−0.2
"
1
0.4
0.2
0
−0.2
0.4
0.2
0
−0.2
Yahoo
Run−21
0.8
0
20
40
60
"
80
100
100

37. Resultados
Mercado com agentes aleat´rios
o
Distribuição de retornos
Run−41 − Autocorrelação dos retornos
0.1
1
Run−41
Gaussiana
0.8
0.6
ρ(τ)
Frequência
0.01
0.4
0.001
0.2
1e−04
−0.2
0
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
σ
1
2
3
4
5
6
0
20
40
60
80
100
τ
Run−41 − Autocorrelação do módulo dos retornos
1
N˜o apresenta correla¸˜o e
a
ca
grandes flutua¸˜es
co
0.8
ρ(τ)
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
0
20
40
60
τ
80
100

38. Resultados
Equil´
ıbrio na dinˆmica do pre¸o
a
c
Pre¸o converge rapidamente para o valor de equil´
c
ıbrio: p (t) =
¯
C
S

39. Experimentos
Mercado aberto
110
100
90
p(t)
80
70
60
50
40
30
0
1000
2000
3000
4000
5000
t
6000
7000
8000
9000
10000

40. Resultados
Riqueza × Estrat´gias
e
Run−03 − Evolução da riqueza
Run−02 − Evolução da riqueza
11000
14000
Aleatório
MA(5,21)
EMA(5,21)
RSI(21,30,70)
MO(21)
10500
12000
9500
11000
wi(t) médio
10000
wi(t) médio
Aleatório
MA(5,21)
EMA(5,21)
RSI(21,30,70)
MO(21)
13000
9000
10000
8500
9000
8000
8000
7500
7000
7000
6000
0
1000
2000
3000
4000
5000
t
6000
7000
8000
9000
10000
0
1000
2000
3000
Run−98 − Evolução da riqueza
5000
t
6000
7000
8000
9000
10000
7000
8000
9000
10000
Run−21 − Evolução da riqueza
10500
20000
Aleatório
MA(5,21)
EMA(5,21)
RSI(21,30,70)
MO(21)
10000
Aleatório
MA(5,21)
EMA(5,21)
RSI(21,30,70)
MO(21)
18000
16000
9000
14000
wi(t) médio
9500
wi(t) médio
4000
8500
8000
12000
10000
7500
8000
7000
6000
0
1000
2000
3000
4000
5000
t
6000
7000
8000
9000
10000
0
1000
2000
3000
4000
5000
t
6000
RSI na grande maioria das vezes apresenta o melhor desempenho.

41. Experimentos
Variando φ
0.3
Distribuição de retornos
Run−07
0.25
1
Run−02
Run−03
Run−07
Gaussiana
0.2
0.15
0.1
0.05
Run−03
250
300
350
400
450
500
550
600
650
250
300
350
400
450
500
550
600
650
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
200
0.1
Frequência
Run−02
0
200
0.18
0.15
0.12
0.09
0.06
0.03
0
200
0.01
0.001
1e−04
250
300
350
400
450
Número de Agentes
500
550
600
650
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
σ
1
2
3
4
5
6
a distribui¸˜o de retornos
ca
depende da atividade
simultˆnea dos agentes.
a
Run-03 0.2
Run-02 0.3
Run-07 0.5

42. Experimentos
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1600
Distribuição de retornos
1
Run−01
Gaussiana
Run−02
Run−06
1800
0.18
0.15
0.12
0.09
0.06
0.03
0
300
2000
2200
2400
2600
2800
0.1
3000
Frequência
Run−02
Run−06
Variando n´mero de agentes
u
350
400
450
500
0.01
550
0.1
0.001
Run−01
0.08
0.06
0.04
0.02
0
1e−04
20
25
30
35
40
45
Número de Agentes
50
55
60
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
σ
1
2
3
4
5
6
distribui¸˜o de retornos
ca
apresenta comportamento
n˜o realista quando N
a
cresce.
Run-01 100
Run-02 1000
Run-06 5000

43. Conclus˜es e Extens˜es
o
o
Conclus˜es
o
Os agentes t´cnicos tˆm um desempenho superior aos agentes aleat´rios.
e
e
o
A introdu¸˜o de agentes t´cnicos induz mem´ria no sistema e esta ´
ca
e
o
e
explorada pelos mesmos.
A presen¸a de agentes t´cnicos faz com que as grandes flutua¸oes no
c
e
c˜
pre¸o apare¸am espontaneamente.
c
c
Na condi¸˜o de mercado fechado e revers˜o a m´dia a estrat´gia t´cnica
ca
a
e
e
e
RSI apresentou melhor desempenho.
Extens˜es
o
Explorar a diversidade das estrat´gias.
e
Modelagem mais realista para o processo de forma¸˜o de pre¸os do
ca
c
mercado.
An´lisar o desempenho das estrat´gias em novas condic˜es do mercado.
a
e
o