O documento apresenta 15 questões sobre relações trigonométricas, com cálculos envolvendo seno, cosseno, tangente e outros conceitos trigonométricos. As questões abordam tópicos como estimativa do raio da Terra, movimento de triângulos, relações entre funções trigonométricas e coordenadas em gráficos e círculos trigonométricos. O gabarito com as respostas corretas é fornecido no final.

1. LISTAS DE EXERCÍCIOS
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

2. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
1
01. (Fuvest 2013) Uma das primeiras estimativas do raio da Terra é atribuída a Eratóstenes, estudioso grego que viveu,
aproximadamente, entre 275 a.C. e 195 a.C. Sabendo que em Assuã, cidade localizada no sul do Egito, ao meio dia do
solstício de verão, um bastão vertical não apresentava sombra, Eratóstenes decidiu investigar o que ocorreria, nas
mesmas condições, em Alexandria, cidade no norte do Egito. O estudioso observou que, em Alexandria, ao meio dia
do solstício de verão, um bastão vertical apresentava sombra e determinou o ângulo θ entre as direções do bastão e
de incidência dos raios de sol. O valor do raio da Terra, obtido a partir de θ e da distância entre Alexandria e Assuã foi
de, aproximadamente, 7500 km.
O mês em que foram realizadas as observações e o valor aproximado de θ são
(Note e adote: distância estimada por Eratóstenes entre Assuã e Alexandria 900 km;
≈ 3.
π = )
a) junho; 7°
b) dezembro; 7°
c) junho; 23°
d) dezembro; 23°
e) junho; 0,3°
02. (Fuvest 2019) Um triângulo retângulo com vértices denominados A, B e C apoia‐se sobre uma linha horizontal,
que corresponde ao solo, e gira sem escorregar no sentido horário. Isto é, se a posição inicial é aquela mostrada na
figura, o movimento começa com uma rotação em torno do vértice C até o vértice A tocar o solo, após o que passa
a ser uma rotação em torno de A, até o vértice B tocar o solo, e assim por diante.
Usando as dimensões indicadas na figura (AB 1
= e BC 2),
= qual é o comprimento da trajetória percorrida pelo
vértice B, desde a posição mostrada, até a aresta BC apoiar‐se no solo novamente?
a)
3
2
π
b)
3 3
3
π
+
c)
13
6
π
d)
3 3
2
π
+
e)
8 2 3
3
π
+

3. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
2
03. (Unicamp 2019) Sejam k e θ números reais tais que sen θ e cos θ são soluções da equação quadrática
2
2x x k 0.
+ + = Então, k é um número
a) irracional
b) racional não inteiro
c) inteiro positivo
d) inteiro negativo
04. (Fgv 2018) Um triângulo isósceles ABC, com AB AC 1,
= = é tal que cada ângulo da base BC mede o dobro do
ângulo de vértice A. Se cos18 m,
° = então, o quadrado de BC é igual a
a) 2
2 1 m 1 m
 
+ − −
 
 
b) 2
2 1 m 1 m
 
− + −
 
 
c) 2
2 2m
−
d) 2
4 2m
−
e) 2
4 4m
−
05. (Unesp 2018) A figura indica os gráficos das funções I, II e III. Os pontos A(72 , 0,309),
° B
B(x , 0,309)
− e
C
C(x , 0,309) são alguns dos pontos de intersecção dos gráficos.
Nas condições dadas, B C
x x
+ é igual a
a) 538°
b) 488°
c) 540°
d) 432°
e) 460°
06. (Unicamp 2018) Seja x um número real tal que sen x cos x 0,2.
+ =
Logo, | sen x cos x |
− é igual a
a) 0,5.
b) 0,8.
c) 1,1.
d) 1,4.

4. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
3
07. (Fuvest 2016) No plano cartesiano, um círculo de centro P (a, b)
= tangencia as retas de equações y x
= e x 0.
=
Se P pertence à parábola de equação 2
y x
= e a 0,
> a ordenada b do ponto P é igual a
a) 2 2 2
+
b) 3 2 2
+
c) 4 2 2
+
d) 5 2 2
+
e) 6 2 2
+
08. (Insper 2016) Na figura, em que está representada a circunferência trigonométrica, P é a extremidade de um arco
trigonométrico da 1ª volta cuja medida, em radianos, é igual a .
α Observe que P é um ponto do 2º quadrante
localizado no interior do retângulo ABCD.
As coordenadas dos vértices do retângulo são dadas por:
2 3
A ; ,
2 2
 
=  
 
 
2 3
B ; ,
2 2
 
= −
 
 
 
2 3
C ,
2 2
 
=
− −
 
 
 
2 3
D ; .
2 2
 
= −
 
 
 
Assim, é necessariamente verdadeira a desigualdade
a)
2
2 3
π π
α
< <
b)
2 3
3 4
π π
α
< <
c)
3 5
4 6
π π
α
<
d)
5
6
π
α π
< <
e)
7
6
π
π α
< <

5. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
4
09. (Fgv 2015) Na figura, ABCD representa uma placa em forma de trapézio isósceles de ângulo da base medindo
60 .
° A placa está fixada em uma parede por AD, e PA representa uma corda perfeitamente esticada, inicialmente
perpendicular à parede.
Nesse dispositivo, o ponto P será girado em sentido horário, mantendo-se no plano da placa, e de forma que a corda
fique sempre esticada ao máximo. O giro termina quando P atinge M, que é o ponto médio de CD. Nas condições
descritas, o percurso total realizado por P, em cm, será igual a
a)
50
3
π
b)
40
3
π
c) 15π
d) 10π
e) 9π
10. (Fuvest 2015) Sabe-se que existem números reais A e 0
x , sendo A 0,
> tais que 0
senx 2 cosx A cos(x x )
+ = −
para todo x real. O valor de A é igual a
a) 2
b) 3
c) 5
d) 2 2
e) 2 3
11. (Insper 2014) Na figura abaixo, em que o quadrado PQRS está inscrito na circunferência trigonométrica, os arcos
𝐴𝐴𝐴𝐴
� e 𝐴𝐴𝐴𝐴
� têm medidas iguais a α e ,
β respectivamente, com 0 .
α β π
< < <
Sabendo que cos 0,8,
α = pode-se concluir que o valor de cos β é
a) −0, 8 b) 0, 8 c) −0, 6 d) 0, 6 e) −0, 2

6. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
5
12. (Insper 2014) Considere o produto abaixo, cujos fatores são os cossenos de todos os arcos trigonométricos cujas
medidas, em graus, são números inteiros pertencentes ao intervalo [91, 269].
P cos91 cos92 cos93 ... cos268 cos269
= °⋅ °⋅ °⋅ ⋅ °⋅ °
Nessas condições, é correto afirmar que
a)
1
1 P .
4
− < < −
b)
1
P 0.
4
− < <
c) P 0.
=
d)
1
0 P .
4
< <
e)
1
P 1.
4
< <
13. (Fgv 2013) No círculo trigonométrico de raio unitário indicado na figura, o arco 𝐴𝐴𝐴𝐴
� mede .
α
Assim, PM é igual a
a) 1 tg α
− −
b) 1 cos α
−
c) 1 cos α
+
d) 1 sen α
+
e) 1 cotg α
− +
14. (Insper 2012) O professor de Matemática de Artur e Bia pediu aos alunos que colocassem suas calculadoras
científicas no modo “radianos” e calculassem o valor de sen .
2
π
Tomando um valor aproximado, Artur digitou em sua
calculadora o número 1,6 e, em seguida, calculou o seu seno, encontrando o valor A. Já Bia calculou o seno de 1,5,
obtendo o valor B. Considerando que
2
π
vale aproximadamente 1,5708, assinale a alternativa que traz a correta
ordenação dos valores A, B e sen .
2
π
a) sen A B.
2
π
< < b) A sen B.
2
π
< < c) A B sen .
2
π
< < d) B sen A.
2
π
< < e) B A sen .
2
π
< <

7. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
6
15. (Unicamp 2011) Na execução da cobertura de uma casa, optou-se pela construção de uma estrutura, composta
por barras de madeira, com o formato indicado na figura abaixo.
Desprezando a espessura das barras de madeira, e supondo que α = 15º, podemos dizer que
a) v = w cos(15º) e u = w sen(15º)/4
b) v = w sen(15º) e u = w/[4tg(15º)]
c) v = w/[2cos(345º)] e u = w tg(195º)/4
d) v = w/[2cos(345º)] e u = w sen(165º)/4
GABARITO
1 - A 2 - C 3 - B 4 - E 5 - C
6 - D 7 - B 8 - B 9 - A 10 - C
11 - C 12 - B 13 - C 14 - E 15 - C