Divisão: Dificuldades e Caminhos

UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

Denise Gomes da Silva

ALGORITMO DA DIVISÃO:
Uma abordagem conceitual nos anos iniciais do Ensino
Fundamental

Rio de Janeiro
2012


Fundamental

Monografia apresentada à banca examinadora do
Curso Superior de Licenciatura em Matemática do
Campus Praça XI da Universidade Estácio de Sá,
como requisito parcial à obtenção do título de
Graduado com Licenciatura Plena em Matemática.

Orientador: Prof. MSc. Maria Inmaculada Chao
Cabanas
Universidade Estácio de Sá

Rio de Janeiro
2012
i


Fundamental

Esta monografia foi apresentada em 15 de Junho de 2012 e julgada adequada para
obtenção do título de Graduado com Licenciatura em Matemática, por ter sido aprovada em
sua forma final pela banca examinadora do Curso de Licenciatura em Matemática da
Universidade Estácio de Sá.

BANCA EXAMINADORA:

______________________________________________________
Orientador – Prof. MSc. Maria Inmaculada Chao Cabanas

____________________________________________________
Examinador – Prof. Helena Theodoro Lopes

____________________________________________________
Examinador – Prof. Vinícius Ribeiro Pereira

Rio de Janeiro
2012
ii

Dedico este trabalho de conclusão da graduação aos meus pais, irmãos,
familiares e amigos que de muitas formas me incentivaram e ajudaram para que
fosse possível a concretização deste trabalho.

iii

AGRADECIMENTOS

Agradeço a toda a minha família, e, em especial aos meus pais, Vera Lucia
Gomes e Adhemar Souza por me mostrarem o valor de uma conquista, do conhecimento e do
amor, sempre me incentivando a crescer e por todo amor e dedicação que sempre tiveram
comigo.
Às minhas irmãs Dirlene Gomes e Adriana Gomes, por todo
companheirismo, amor e amizade nos momentos mais difíceis.
À minha vovó Dirlene Augusta, por me ensinar a ter paciência.
À minha guia espiritual, por entender minhas fraquezas e acompanhar-me
nessa jornada.
Aos meus amigos, pela verdadeira amizade, e, em especial aos que estavam
sempre ao meu lado.
À minha professora e orientadora, Maria Inmaculada, pela sabedoria,
paciência e estímulo na realização da pesquisa.
Aos membros da banca examinadora, pela assistência, disposição e
contribuições.
À professora orientadora da intervenção, Helena Theodoro Lopes pela força
e compreensão da nossa ausência nas aulas da disciplina.
Por fim, a todos contribuíram direta ou indiretamente para que esse trabalho
fosse realizado meu eterno agradecimento.

iv

“A melhor escola ainda é o lar, onde a criatura deve
receber as bases do sentimento e do caráter. Os
estabelecimentos de ensino, propriamente do mundo,
podem instruir, mas só o instituto da família pode
educar. E por essa razão que a universidade poderá fazer
o cidadão, mas somente o lar pode edificar o homem.”
(Emmanuel – Francisco Cândido Xavier)

v

SUMÁRIO

RESUMO ................................................................................................................................vii

ABSTRACT ...........................................................................................................................viii

LISTA DE ILUSTRAÇÕES ..................................................................................................ix

1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................1

2 REVISÃO DE LITERATURA ............................................................................................6

3 AS DIFICULDADES APRESENTADAS PELOS ALUNOS NA REALIZAÇÃO DO
ALGORITMO DA DIVISÃO .................................................................................................9

3.1 Fundamentação teórica ...................................................................................................16
3.2 Metodologia ...................................................................................................................18
3.3 Análise ............................................................................................................................19
3.3.1 O que observamos a partir dessas análises ............................................................29

4 DIFICULDADES RELACIONADAS COM A PRÁTICA PEDAGÓGICA ................32

5 POSSÍVEIS CAMINHOS PARA O ENSINO DO ALGORITMO DA DIVISÃO .......39

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS .............................................................................................54

7 REFERÊNCIAS ..................................................................................................................57

8 ANEXO ..............................................................................................................................60

vi

RESUMO

O presente trabalho tem como objetivo mostrar as dificuldades dos alunos dos anos iniciais do
ensino fundamental na realização do algoritmo da divisão, explicando as possíveis causas que
os levam a apresentarem tal dificuldade e, ainda, analisar as dificuldades relacionadas à
prática pedagógica, por meio de questionamentos e de reflexões sobre a abordagem do
conceito da divisão em sala de aula. Para tal realizou-se uma pesquisa qualitativa cujo foco é a
resolução de problemas através dos conhecimentos prévios, no qual envolvem as ideias de
partição e cotição presentes na divisão, e, com isso, analisou-se como os alunos compreendem
as diferentes abordagens de um conteúdo e que estratégias didáticas utilizam para resolver
esses problemas. Com base nessas estratégias apresentamos o algoritmo das subtrações
sucessivas. A pesquisa fundamentou-se na Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud que
visa à análise do erro e a intervenção pedagógica como metodologia de ensino. Diante das
estratégias didáticas observamos que os alunos possuem múltiplas experiências cotidianas
relacionadas ao conhecimento matemático que lhes permitiram resolver problemas variados
de divisão sem a utilização do algoritmo tradicional. Essas experiências são necessárias para
nortear o trabalho pedagógico diante da resolução de problemas em consonância com as
tendências metodológicas, com a história da matemática, com o uso de material didático
concreto, com as novas tecnologias e com os jogos. Após a análise dos aspectos didáticos
presentes no contexto histórico e na prática pedagógica atual acerca do ensino dos conteúdos
e conceitos necessários a realização do algoritmo da divisão apontou-se possíveis caminhos
para seu ensino, todavia entendemos que a qualidade do ensino depende da integração entre a
escola, a família e a sociedade.

Palavras-chave: Algoritmo da divisão, Teoria dos Campos Conceituais, Prática pedagógica.

vii

ABSTRACT

The purpose of this thesis is to show the difficulties of many students at the beginning of
their Elementary School regarding algorithm division. It will explain the possible causes of
these difficulties and analyze the problems related to pedagogical practices by mean of
considering the issues of, and reflecting on, the concept of divisions in the classroom. It
was archived a qualitative research whose focus is the solving of problems thought
previous knowledge involving partition and metrics present in division. Furthermore, how
the students understand the different approaches of this content, and which strategies may
be used to solve these problems. Based on these findings the successive subtraction method
is presented. The research was underpinned by the theory of Conceptual Fields made by
Vergnaud, that consists of the analysis of error and pedagogical intervention as a teaching
method. Faced with these strategies, we observe that the students have multiple everyday
experiences related to the mathematic knowledge that allow us to solve many problems of
division without the utilization of traditional algorithm. These experiences are necessary to
lead the pedagogical work according to the market tendencies, the history of the
mathematic, the use of teaching material, the new technologies and games within
Elementary education. After analysing all the teaching aspects presents in the historical
context and in the current pedagogical practice, it was possible to propose some methods
for teaching algorithm division. However, we understand that the teaching quality depends,
primarily, on the integration between school, family and society.

Keywords: Algorithm division, Theory of Conceptual Fields and Pedagogical practice.

viii

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Página
Figura 1: Abordagem tradicional do ensino do algoritmo....................................................... 13

Figura 2: Abordagem tradicional do ensino do algoritmo....................................................... 13

Figura 3: O ensino do algoritmo com o uso do material dourado............................................ 14







Figura 10: Soma sucessiva....................................................................................................... 22

Figura 11: Subtração sucessiva................................................................................................ 23

Figura 12: Contagem por agrupamento................................................................................... 24


Figura 14: Decomposição / algoritmo da divisão.................................................................... 25

Figura 15: Resolução por tabela............................................................................................... 26

Figura 16: Algoritmo da divisão por subtrações sucessivas.................................................... 27

Figura 17: Método de tentativas............................................................................................... 28




Figura 21: Material concreto.................................................................................................... 30

Figura 22: Material concreto.................................................................................................... 31

ix



Figura 25: Algoritmo da divisão por subtrações sucessivas.................................................... 32

Figura 26: Divisão com zero no quociente.............................................................................. 36

Figura 27: Ábaco Oriental........................................................................................................ 39

Figura 28: Ábaco Ociental....................................................................................................... 39

Figura 29: Termos da divisão................................................................................................... 40

Figura 30: Relação entre os termos da divisão........................................................................ 40

Figura 31: Relação entre os termos da divisão........................................................................ 41

Figura 32: Bingo alternativo.................................................................................................... 44

Figura 33: Jogo virtual............................................................................................................. 45

Figura 34: Ábaco alternativo.................................................................................................... 45

Figura 35: Folha de atividade................................................................................................... 45


Figura 37: Material dourado.................................................................................................... 46


Figura 39: Adição..................................................................................................................... 47

Figura 40: Subtração................................................................................................................ 48

Figura 41: Subtração................................................................................................................ 49

Figura 42: Multiplicação.......................................................................................................... 49





x

Figura 47: Jogo virtual.......................................................................................................... 59



xi

1. INTRODUÇÃO

O presente trabalho busca relacionar as dificuldades que os alunos dos anos
iniciais do ensino fundamental apresentam na realização do algoritmo da divisão,
identificadas em pesquisas no campo do ensino da matemática. Com base nessas pesquisas
esperamos levantar as possíveis causas que levam esses alunos a apresentarem tal dificuldade.
Atuando como estagiária por quase dois anos pela Secretaria Municipal de
Educação do Estado do Rio de Janeiro através do Programa Reforço Escolar 1 no Projeto
Acelera Brasil: aceleração de aprendizagem para o corpo discente do 3° e 4° anos com
defasagem idade/ano escolar ou analfabeto funcional 2, foi possível observar algumas das
necessidades e dificuldades dos alunos nessa etapa da vida escolar e constatar que não houve
mudanças significativas na metodologia de ensino aplicada no período em que estive na
condição de discente desta mesma Unidade Escolar até os dias atuais. Por compreender a
importância desse algoritmo para a resolução de problemas e por identificar dificuldades
pessoais no que diz respeito ao desenvolvimento cognitivo e à prática pedagógica, questiona-
se o porquê das dificuldades quanto ao domínio pleno do algoritmo da divisão. Portanto,
antes do inicio dos trabalhos de Reforço Escolar foi preciso, obviamente, conhecer os alunos
por intermédio dos professores regentes a fim de identificar as características dos
selecionados para o Projeto e, posteriormente, conhecer os alunos, a fim de analisar suas
dúvidas no campo da matemática. Ao realizar tal investigação nota-se que quase todos os
alunos desconhecem os algoritmos e o restante apenas reproduzia o método de resolução das
quatro operações fundamentais.
Nesse contexto, esta pesquisa se justifica quanto à importância de se
entender o que leva os alunos a terem dificuldades na compreensão do algoritmo da divisão e
que implicações trazem o desconhecimento desse algoritmo, pelo aluno, para outros
conhecimentos matemáticos nas suas relações. Com isso, buscamos responder: Quais as
dificuldades demonstradas pelos alunos em relação ao algoritmo da divisão? O que contribui,
nas aulas de matemática, para que os alunos desenvolvam essa relação de dificuldade com o

1
O Programa Reforço Escolar é composto de vários projetos que têm como objetivo proporcionar um salto de
qualidade na educação carioca. O Programa Reforço Escolar se organiza com projetos e ações voltados para:
realfabetização, aceleração de aprendizagem e qualificação da aprendizagem.
2
Analfabeto funcional é a denominação dada à pessoa que, mesmo com a capacidade de decodificar
minimamente as letras, geralmente frases, sentenças, textos curtos e os números, não desenvolve a habilidade de
interpretação de textos e de fazer as operações matemáticas.

1

algoritmo? O objetivo dessa pesquisa é identificar o que impede a compreensão do conteúdo
por parte dos alunos e analisar a abordagem do mesmo por parte dos professores.
A relevância desse tema está embasada na ampliação do conhecimento
sobre esses conceitos pelo professor para que a transmissão do conhecimento não ocorra de
maneira linear, mas sim, desenvolver de modo gradual as estruturas numéricas e evidenciar as
relações entre a adição e a multiplicação e entre a subtração e a divisão. Assim como, nas
avaliações em larga escala que apontam para a dificuldade dos alunos na compreensão do
algoritmo da divisão e pesquisas que mostram a dificuldade dos professores para ensinar o
algoritmo. Sabemos que boas práticas pedagógicas, no ensino do sistema de numeração e
fatos básicos, contribuem para a compreensão do algoritmo.
O algoritmo da divisão é a operação em que os alunos do Ensino
Fundamental apresentam maiores dificuldades. Tal problema se agrava no 6º ano do Ensino
Fundamental por não compreenderem a lógica do processo. Compreendê-lo não se resume na
resolução da técnica operatória, mas sim generalizá-lo a situações cotidianas de modo
significativo.
Não basta apenas saber o algoritmo da divisão, deve-se instigar o aluno a ser
crítico, apontador de problemas, consciente e apto a reconhecer quando e em
quais situações do cotidiano a divisão pode ser útil. “Multiplicar e dividir
deve envolver situações em que os alunos possam lidar com grupos
equivalentes, com a disposição retangular, com razões, comparações e
produtos cartesianos. (Piano, Loureiro e Langer , 2011, apud CARVALHO
e GONÇALVES, 2003, s.p.)

É um algoritmo extremamente complexo tanto para quem está aprendendo
e, sobretudo para quem está ensinando, pois requer várias estratégias que possibilitem que a
criança vivencie as várias etapas desse algoritmo que vão desde a manipulação concreta à
organização mental das etapas.
A nossa realidade escolar não atende às demandas sociais, visto que o corpo
discente não é instigado a criar estratégias, a comprovar, a justificar, a argumentar, a
raciocinar, a organizar, a interpretar e a tratar dados e informações. Lembramos que o
conhecimento matemático é indissociável a vida cotidiana, seja para fins de integração social
com a construção da cidadania ou para a formação profissional que possui extensos campos
de aplicação como indústrias, comércios e áreas tecnológicas. Por isso, essa pesquisa faz
questionamentos e traz reflexões, especificamente voltadas para as práticas pedagógicas e a
aquisição do conhecimento em função do algoritmo da divisão com os números naturais,
procurando entender as dificuldades por parte de alunos e professores para que o
desenvolvimento de ambos ocorra concomitantemente com a qualidade do ensino.
2

A origem do algoritmo da divisão data dos primórdios da própria
matemática, ou seja, nasceu da necessidade de resolver problemas cujas existências
continham fins práticos. Sendo assim, podemos afirmar que conceitos matemáticos foram
desenvolvidos paulatinamente ao longo do tempo e a sua aplicabilidade está historicamente
ligada ao comércio, à contagem e a mensuração. Exatamente, por isso, é relevante a busca das
relações existentes entre as operações e a contextualização dos conteúdos, não sendo
concebida exclusivamente como uma técnica operatória.
Ao longo da história muito se discutiu sobre as técnicas de divisão, dentre
elas a tabela da divisão, o processo longo com e sem operação inversa, o processo curto com
ou sem operação inversa, o processo das subtrações sucessivas, o processo da divisão por
números compostos, os cálculos mentais variados e o processo por estimativas com ou sem
operação inversa, no qual, alguns autores da época levantaram a necessidade da aplicação
dessas técnicas associadas à resolução de problemas. Notamos a preocupação com a
concepção conceitual desse algoritmo na alusão de Smith (1827, apud SALVADOR, 2011,
p.2), “a conveniência de fazer o estudioso compreender a natureza e a utilização da tabela de
divisão antes de fazê-lo memorizar é suficientemente óbvio”. Numa história mais recente, a
partir dos anos 50, as técnicas operatórias não eram justificadas, mas sim, utilizadas técnicas
de verificação de resultados e treinamentos para decorar resultados de cálculos mentais e
escritos. A resolução de problemas só era utilizada para a prática das técnicas operatórias. No
final dos anos 60 o ensino das operações tem como base a teoria dos conjuntos não sendo
excitado o cálculo mental. Após os anos 80 questiona-se a importância da resolução de
problemas para o ensino das operações e sua relação com a realidade. Nos dias atuais, o uso
de resolução de problema nas aulas de matemática é muito mal interpretado e serve apenas
como exercício de fixação de conteúdos. Infelizmente, a nossa educação estacionou nos anos
80, ignorando a prática dessa metodologia que tem como objetivo auxiliar a construção de
conceitos, procedimentos e atitudes relacionadas ao campo das ciências exatas e
especialmente da área da Matemática.
Opostamente, alguns educadores discutem as técnicas operatórias, citadas
no parágrafo anterior, desenvolvidas durante o século XIX, enquanto outros se esforçam para
melhorar sua prática pedagógica. Uma tendência crescente que demonstra esse esforço é a
divisão por estimativas que vem ganhando espaço por ser um método de fácil compreensão e
lógico, e que estimula o cálculo mental, pois se fundamenta no fato de que existem diferentes
maneiras de calcular além de auxiliar a compreensão do significado dessa operação, e ainda,

3

estimular a tomada de decisões por parte dos alunos. Mas para que isso ocorra é preciso que o
professor respeite as diferentes estimativas e discuta estratégias.
Diferentemente do que esperamos, a escola nos ensina a sermos obedientes
e darmos respostas que dizem ser certas, a fim de obter algum benefício próprio, pois são
impostas condições cuja intensão é conseguir alguma recompensa, evitando o
desenvolvimento do pensamento lógico e da capacidade crítica das crianças. O que falar então
da formação dos professores que receberam influência dessa educação de “méritos e
deméritos” conforme disse Kamii (1990) em seu livro sobre as relações da criança com o
número que nos informa que devemos levar em consideração a experiência intercultural e o
nível socioeconômico dos discentes, pois podem auxiliar o desenvolvimento lógico-
matemático.
Para que seja compreendido conceitualmente, o algoritmo da divisão
necessita de conhecimentos anteriores, tais como o sistema de numeração decimal, os fatos
básicos e o significado das operações. Mas, outro fator, não menos importante, deve ser
levado em consideração quando falamos em desenvolvimento do raciocínio lógico e
estruturação do pensamento.
Os alunos trazem para a escola conhecimentos, ideias e intuições,
construídas através das experiências que vivenciam em seu grupo
sociocultural. Eles chegam à sala de aula com diferenciadas ferramentas
básica para, por exemplo, classificar, ordenar, quantificar e medir. Além
disso, aprendem a atuar de acordo com os recursos, dependências e
restrições de seu meio. (Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática
/Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1997, p.25)

O ato de contar, por exemplo, é essencial para início do processo de ensino e
aprendizagem conceitual do número que ocorre espontaneamente em brincadeiras do
cotidiano infantil, por isso, deve ser associada a palavras, símbolos e quantidades para que o
ensino se produza de modo satisfatório. A criança deve ser estimulada a contar nos dedos e
essa atitude não pode ser considerada uma deficiência de aprendizagem, visto que são gestos
naturais e importantes para a evolução das noções numéricas.
Os conhecimentos prévios que os alunos trazem das vivências cotidianas
são necessários para nortearem o trabalho do professor no processo de ensino e aprendizagem
e servirão para incitar uma reflexão sobre a prática da resolução de problemas, que quando
executado de modo eficaz amplia os conhecimentos matemáticos. Nos anos iniciais do ensino
fundamental, o uso do material didático concreto se faz presente em consonância com a
resolução de problemas a fim de auxiliar a construção conceitual.

4

Não podemos afirmar qual a melhor técnica para o ensino do algoritmo da
divisão, mas dois aspectos essenciais contribuem para que boas aulas sejam dadas. Um
aspecto importante é conhecer a história de vida dos alunos e o outro é conhecer de forma
profunda o conteúdo e como ensiná-lo. Após esses aspectos preliminares outros devem ser
trabalhados com os conteúdos, são as tendências metodológicas como a resolução de
problemas, a história da matemática, as novas tecnologias e os jogos.

5

2. REVISÃO DE LITERATURA

Inicialmente essa pesquisa preocupa-se em fundamentar o estudo do
algoritmo da divisão num contexto histórico com as ideias de Salvador em seu artigo
realizado para XIII Conferência Interamericana de Educação Matemática (2011).
Para nortear o primeiro capítulo da pesquisa utilizaremos como base o PCN
– Parâmetros Curriculares Nacionais (1997) de Matemática do Ensino Fundamental – 1º ao 5º
ano, por ser um referencial de qualidade que visa auxiliar a prática pedagógica no qual
Friederich, Kruger, Nehring (2009), no X Encontro Gaúcho de Educação Matemática com o
artigo: Compreendendo os parâmetros curriculares nacionais como articulador da prática do
professor dos anos iniciais em relação à matemática, onde destacam que o PCN “[...] propõem
uma discussão em relação à importância que a Matemática desempenhe, equilibrada e
indissociavelmente, seu papel na formação de capacidades intelectuais, na estruturação do
pensamento, na agilização do raciocínio dedutivo do aluno, na sua aplicação a problemas,
situações da vida cotidiana e atividades do mundo do trabalho e no apoio à construção de
conhecimentos em outras áreas curriculares”. Em consonância, o Plano de Desenvolvimento
da Educação (2011) – Prova Brasil3 visa possibilitar ao professor fazer uma reflexão sobre a
prática e a resolução de problemas significativos.
Na área de educação diversas pesquisas como as realizadas por Agranionih,
Enricone e Zatti (2009/2010), Piano, Zampieri e Langer (2011) mencionam a análise do erro
com a finalidade de entender as dificuldades no ensino e aprendizagem. Seguindo esse
raciocínio, destaco ainda o livro: A Criança e o Número de Kamii (1990), por abordar
processos que envolvem a construção do conceito do número pelas crianças e por ajudar o
docente a entender a lógica existente nos erros.
Matemática nas Séries Iniciais - O Sistema de Numeração Decimal é o livro
de Golbert (2011), que evidencia a aprendizagem dos conceitos e dos procedimentos
matemáticos mediados pelo professor de forma prazerosa e com o uso de recursos didáticos.
Nos artigos de Mendonça (1996), Melo, Nieradka e Lubeck (2009) complementam a abordam
do ensino do sistema de numeração decimal e algoritmos convencionais nos anos iniciais do
ensino fundamental essenciais ao ensino do algoritmo da divisão.

3
Avaliação Nacional do Rendimento Escolar – Anresc realizada a cada dois anos com o objetivo de avaliar a
Matemática (foco na resolução de problemas) aplicada somente a estudantes de 4ª série/5º ano e 8ª série/9º ano
de escolas rede pública de ensino com mais de 20 estudantes matriculados por série alvo da avaliação.

6

Lima (2010) e Moreira (2002); apontam as dificuldades dos alunos do
primeiro ciclo do ensino fundamental com relação ao ensino e aprendizagem da matemática,
onde afirmam que devemos repensar as condições de aprendizagem conceitual, de maneira
que se torne mais acessível à compreensão do aluno. Ambos embasam seus estudos na Teoria
de Vergnaud4, porém com orientações distintas. Lima foca o ensino do algoritmo da divisão
em torno de suas ideias de partição e cotição. Compartilham dessa ideia Carvalho e Gonçalves
que participaram do VI Encontro Nacional de Professores do 1º Ciclo — A Matemática no 1º
Ciclo (2003), sobre a construção dos conceitos da multiplicação e divisão, onde exprimem a
necessidade de variar os problemas com a abordagem de diferentes tipos de situações para
conduzirem a formalização do conceito. Já Moreira segue a teoria cognitivista de Vergnaud
voltado ao ensino das ciências e faz referências à aprendizagem significativa, resolução de
problemas e representações mentais.
Nos capítulos subsequentes trataremos da ação pedagógica e, para tal
usaremos o livro: A matemática na escola – Aqui e agora de Zunino (1995), onde é relatado a
relação entre o conhecimento matemático usado no cotidiano com o conhecimento
matemático escolar. A autora nos sugere inovações pedagógicas cujo foco é à operação
intelectual, ou seja, levar a criança a pensar a respeito do que estão aprendendo. Ainda nesse
contexto, as autoras Marques e Utsumi em seu artigo Quien sabe, hace...? Y quién no sabe?
Enseña? Consideraciones sobre la enseñanza de la División en la escuela primaria, onde
discute a forma como é ensinado o algoritmo da divisão.
Temos ainda Belfort e Mandarino (2005/2008) com O Algoritmo da
Divisão: Processo Longo do livro Números naturais: Conteúdo e forma, que norteia o ensino
dos algoritmos. Esses são materiais do Pró-Letramento5 em Matemática onde apontam
melhorias na qualidade do ensino e aprendizagem da matemática, já que oferece suporte à
ação pedagógica nas séries iniciais do ensino fundamental. O Pró-Letramento é uma das
atividades do LIMC6.

4
Gérard Vergnaud é um matemático, filósofo e psicólogo francês. É autor da teoria dos Campos Conceituais, um
dos precursores da didática da matemática moderna e um dos principais pilares de fundamentação teórica das
pesquisas na área de educação matemática em nível internacional.
5
O Pró-Letramento - Mobilização pela Qualidade da Educação - um programa de formação continuada de
professores das séries iniciais do ensino fundamental, para melhoria da qualidade de aprendizagem da
leitura/escrita e matemática. O programa realizado pelo MEC, em parceria com universidades que integram a
Rede Nacional de Formação Continuada e com adesão dos estados e municípios. Podem participar todos os
professores que estão em exercício, nas séries iniciais do ensino fundamental das escolas públicas.
6
Atua no desenvolvendo e na aplicação de materiais didáticos, auxiliando na formação e aperfeiçoamento de
professores da educação básica aliando, desta forma, a prática de pesquisa com a atuação na educação básica.
7

E finalmente, Gallego (2007) que nos traz uma definição das ideias de
partição e cotição presentes na divisão.

8

3. AS DIFICULDADES APRESENTADAS PELOS ALUNOS NA REALIZAÇÃO
DO ALGORITMO DA DIVISÃO

Voltando a análise preliminar feita por mim no início dos trabalhos de
Reforço Escolar, com o auxílio material dourado 7 disponível na própria unidade escolar, foi
observado que não houve aquisição dos conceitos do algoritmo da divisão por conta da falta
de compreensão de alguns conteúdos que são indispensáveis para realizá-lo, tais como o
sistema de numeração decimal que junta à concepção de decomposição e composição de
números, noções de agrupamentos e valor posicional, e ainda, desconhecem os fatos básicos e
as operações de adição, subtração e multiplicação. A manipulação do material concreto pelos
alunos mediante orientação pedagógica forneceu algumas respostas corretas assim como
alguns cálculos mentais na sua maioria incorretos. Mas isso não foi o suficiente para que
conseguissem executar os registros por intermédio do algoritmo da divisão. Isso ocorre
quando se considera como foco no processo de ensino e aprendizagem apenas a prática da
técnica operatória.
[...] é fundamental que o professor, antes de elaborar situações de ensino,
investigue qual é o domínio que cada criança tem sobre o assunto que vai
explorar e em que situações algumas concepções são ainda instáveis, quais
as possibilidades e as dificuldades de cada uma para enfrentar este ou aquele
desafio. (Friederich, Kruger e Nehring, 2009, p.4)

Foi a partir dessa constatação que surgiu o interesse pelo tema abordado
nessa pesquisa, pois o ocorrido me fez lembrar o período em que fui aluna e também
apresentei muitas dificuldades em compreender o algoritmo da divisão.
De acordo com o Plano de Desenvolvimento da Educação – Prova Brasil
(2011), o conhecimento dos números e das operações é indispensável para as situações
vivenciadas pelo aluno em seu cotidiano, pois esses conhecimentos estão presentes em
cálculos, representações de medidas, localização, acontecimentos e pessoas. Portanto, é
preciso que os alunos reconheçam as propriedades do sistema de numeração decimal, dentre
elas as noções de agrupamento, troca na base 10 e o princípio do valor posicional. O aluno
deve compreender que cada agrupamento de 10 requer a troca do algarismo com relação a sua
posição cujo valor posicional corresponderá às unidades, dezenas e centenas. Usamos nove
algarismos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9) para a representação de qualquer número, porém em

7
O Material Dourado Montessori destina-se a atividades que auxiliam o ensino e a aprendizagem do sistema de
numeração decimal-posicional e dos métodos para efetuar as operações fundamentais, ou seja, os algoritmos.

9

alguns números o agrupamento das unidades, das dezenas e das centenas são exatos e, quando
isso acontece, imediatamente, esse agrupamento deve unir-se à ordem seguinte, no sentido da
direita para a esquerda. A ausência de quantidade em alguma ordem deve ser preenchida pelo
zero (0), ou seja, devemos acrescentar um símbolo para escrever esse “vazio”. Se isso não
ocorre é porque o aluno não compreende o processo de contagem dos objetos.
Sabemos que a aprendizagem da matemática é um processo contínuo, por
isso a abordagem dos números na reta numérica pode auxiliar o processo de contagem visto
que na reta a representação é mais eficaz para o domínio numérico, já que mostra a posição do
número, a sua ordenação e proporciona a comparação, assim como cálculos de adição e
subtração. Trata-se de uma representação mais abstrata que requer o uso de materiais
concretos, porém quando bem trabalhados propicia que o aluno faça a correspondência entre
os números e os cálculos de modo gradual. “Os vínculos que são estabelecidos entre as
crianças e os objetos a serem conhecidos são influenciados pelos significados sociais”.
(Golbert, 2011, p.16)
Ao adentrarem o âmbito escolar, o aluno já elabora hipóteses acerca do
número. Fazem comparações quando julgam que um número é maior do que o outro pela
quantidade de algarismos que possui ou, numa outra circunstância, quando os números
possuem a mesma quantidade de algarismos conjecturam o valor numérico que o algarismo da
esquerda ocupa para analisar seu tamanho em relação ao outro, isso mesmo sem ter o conceito
formalizado de valor posicional de um número.
[...] as situações que as crianças observam e vivenciam (a mãe fazendo
compras, a numeração das casas, os horários das atividades da família, sua
idade, etc...), os cálculos que elas próprias fazem (soma de pontos de um
jogo, controle de quantidade de figurinhas que possuem) e as referências que
conseguem estabelecer (estar distante de, estar próximo de) serão
transformadas em objeto de reflexão e se integrarão às suas primeiras
atividades matemáticas escolares. (PCN Brasil, 1997, apud FRIEDERICH,
KRUGER e NEHRING, 2009, p.4)

A composição e a decomposição dos números em soma é uma das primeiras
habilidades matemáticas a serem desenvolvidas na escola. Quando o aluno as reconhece fica
mais fácil a compreensão do valor posicional em suas diversas ordens e tipos, mas desde que
sejam envolvidos em atividades onde possam observar, comparar, interpretar e explorar
situações contextualizadas para que as propriedades e características do sistema de numeração
decimal não passem despercebidas. Caso não haja reconhecimento do valor posicional, a
criança não entende a escrita do número e pensa estar faltando algarismos, como por exemplo,
ao ler o número mil e vinte e quatro escreve exatamente como se fala, ou seja, escreve o

10

número mil, ao lado o número vinte e por fim o quatro. Estamos falando de um número com
sete algarismos ao invés de quatro algarismos.
O trabalho com a composição e decomposição dos números em unidade,
dezena e centena não é único método, existem outros como o da calculadora “quebrada” 8 que
ajudam a desenvolver o cálculo mental. O domínio das estruturas do sistema de numeração
decimal, ou seja, a contagem por agrupamentos, a composição e a decomposição e o valor
posicional são fundamentais para que a criança o utilize em cálculos e na resolução de
problemas. Para isso a abordagem deve favorecer a correspondência entre os conteúdos
matemáticos e o método revisto algumas vezes em sala de aula.
O ensino dos fatos básicos pode funcionar como um aliado à composição e a
decomposição de números uma vez que o trabalho seja acerca do entendimento de que a
multiplicação agiliza o processo da soma. E esse é outro fator que dificulta a realização dos
algoritmos pelo aluno. Fala-se tanto em resolução de problemas e contextualização, mas o
ensino dos fatos básicos nas escolas parece não acompanhar essas tendências. O professor
deve incentivar o aluno a contar e facilitar esse aprendizado que muitas vezes é decorado
pelos alunos de forma penosa, ao invés de ser memorizado de forma natural e gradual com
trabalhos contínuos na sala de aula. Relações devem ser feitas no ensino e aprendizagem dos
fatos básicos, como por exemplo, mostrar que o fato básico de dois tem como resultados os
números pares. Já no fato básico de três, a multiplicação de dois números ímpares tem como
resposta números ímpares, assim como, um número par multiplicado por um número ímpar
tem como resultado números pares. Para o fato básico de quatro evidenciamos ser o dobro do
fato básico de dois e, que a fato básico de cinco tem resultados terminados em zero ou cinco,
no qual um número par multiplicado por cinco resulta num resultado terminado em zero e o
número cinco multiplicado por um número ímpar resulta num terminado em cinco. Podemos
usar também o método das somas sucessivas que apesar de ser mais trabalhosa é muito
utilizada nas escolas.
Essas são formas de instigar o aluno a confirmar essas afirmações e criar
condições para que ele a compreenda, e assim, o ensino atinja o estágio da aprendizagem.
Mas é claro que para o ensino dos fatos básicos de seis, sete, oito e nove é melhor utilizar o
método de multiplicação com as mãos que estimula o raciocínio do aluno por meio do cálculo
mental. Este método consiste em associar cada dedo a um número que vai do seis a dez. O

8
A calculadora “quebrada” consiste em usar operações matemáticas (soma, subtração, divisão e divisão) e os
números disponíveis para obter os números solicitados.

11

dedo mínimo valerá seis, o anular sete, o médio oito, o indicador nove e o polegar dez.
Quando quisermos multiplicar dois números unimos os dedos correspondentes a esses
números e os dedos que estiverem na parte inferior somado aos dedos unidos serão
multiplicados por dez, e os que estiverem na parte superior, também serão multiplicados,
porém a quantidade de dedos que sobrarem em cada mão será multiplicada entre si. Os
resultados obtidos na parte inferior e na parte superior devem ser somados para que o cálculo
seja concluído.
Nos fatos básicos da divisão devemos trabalhar a ideia de medir e a ideia de
repartir. Usamos situações do cotidiano e materiais concretos para que seja feito o
agrupamento de quantidades que auxilia a compreensão da ideia de repartir e subtrações
sucessivas para a ideia de medir (quantos cabem?). Na verdade pouco importa o meio usado
para a resolução do problema desde que a divisão seja reconhecida pelo aluno.
O trabalho docente parte do ponto que o aluno já sabe, pois já possuem
recursos de cálculo mental que podem ajuda-los a resolver os problemas, mas muitos não
sabem utilizá-los espontaneamente. Cabe ao professor acompanhar as atividades realizando
intervenções particulares que favorecerão as diferentes maneiras de divisões. Diante de tal
reflexão afirma Golbert (2011), “a partir da observação da atividade matemática dos alunos e
das interferências sobre as suas diferentes interpretações, o desafio pedagógico a ser
enfrentado era o de conduzir abstrações reflexivas, da atividade inicial, para uma matemática
progressiva”. Logicamente existem outros métodos, técnicas e recursos didáticos e
tecnológicos para o ensino e aprendizagem dos fatos básicos, mas os citados aqui, além de
exemplos, estão ao alcance de todos os professores, ou seja, independe de recursos para a sua
realização.
O aluno que compreende o sistema de numeração decimal e suas relações
realiza os cálculos das quatro operações fundamentais de modo rápido e eficaz. Segundo o
PCN de Matemática (1997, p.78)
Assim como outros procedimentos de cálculo, as técnicas operatórias
usualmente ensinadas na escola também apoiam-se nas regras do sistema de
numeração decimal e na existência de propriedades e regularidades presentes
nas operações. Porém, muitos dos erros cometidos pelos alunos são
provenientes da não disponibilidade desses conhecimentos ou do não
reconhecimento de sua presença no cálculo. Isso acontece, provavelmente,
porque não se exploram os registros pessoais dos alunos, que são formas
intermediárias para se chegar ao registro das técnicas usuais.

Quando são formalizados os primeiros procedimentos de cálculo
verificamos a importância do sistema de numeração decimal. Nos algoritmos da adição e da
12

subtração, a criança tem muita dificuldade em compreender o que significa “vai um” ou “pede
um emprestado”, pelo fato do sistema de numeração e as operações de adição e subtração
serem transmitidos como algo dissociável. Assim ocorre com as expressões “pula uma
casinha para esquerda” e “abaixa um” associadas à multiplicação e a divisão,
respectivamente. Por isso, essas expressões “vai um”, “pede um emprestado”, “pula uma
casinha para esquerda” e “abaixa um” apenas constitui uma repetição de regras onde o “um
(a)” tem valor desconhecido. Por não serem instigadas a pensar, apenas reproduzem a técnica
operatória sem ao menos entender o seu significado.
A operação de adição precisa ser relacionada com o sistema de numeração
decimal por suas noções de agrupamento; a subtração relacionada com o sistema de
numeração decimal por seu reagrupamento em ordem inferior, e com a adição por ser sua
operação inversa. O mesmo ocorre com o algoritmo da multiplicação que necessita ser
relacionada com a adição para ser compreendido, haja vista que o enfoque da multiplicação é
embasado na soma de parcelas iguais. Destacamos ainda que a multiplicação é a operação
inversa da divisão.
O ensino do algoritmo da divisão, que é o objeto de estudo, tem seu
princípio relacionado à “ideia de repartir” e a “ideia de medir” por seu natural ao cotidiano da
criança. Mas não podemos esquecer que também é necessário relacioná-la com o sistema de
numeração decimal, com a adição, a subtração e a multiplicação. Para ilustrar essas relações
vejamos o exemplo abaixo retirado do site do Instituto de Ciências Matemáticas e de
Computação (ICMC/USP), do Programa Educ@r 9.

Essa é uma abordagem tradicional do ensino do algoritmo:

Figura 1: Abordagem tradicional do ensino do algoritmo

Figura 2: Abordagem tradicional do ensino do algoritmo

13

Sem dúvidas essa é uma técnica de divisão rápida e eficiente. Porém não é
bem compreendida pelos alunos. Por que dividimos 7 por 6? Por que abaixamos o 9 e não o
98? Por que dizemos: 3 vezes 6 é 18, para 19 falta 1? Para responder a essas perguntas
vejamos o esquema abaixo:

Vamos representar o número 798 com o material dourado:

Figura 3: O ensino do algoritmo com o uso do material dourado

Para dividir 798 por 6 vamos distribuir igualmente 798 em 6 grupos:


Começaremos distribuindo as centenas.


Desagrupamos a centena restante transformando-a em 10 dezenas. Agora
temos 19 dezenas.


9
Curso para professores de 1ª a 4ª série do Ensino Fundamental à distância e gratuito. Atualmente o curso está
suspenso, mas o material está disponível no site da ICMC/USP.

14

Distribuímos as dezenas.


Desagrupamos a dezena restante transformando-a em 10 unidades. Agora
temos 18 unidades.


Finalmente distribuímos as unidades.


Em cada um dos 6 grupos temos 133 unidades. Esta divisão é exata, isto é,
seu resto é zero.
Notamos que além da compreensão dos princípios básicos10 do sistema de
numeração decimal verificamos as noções das operações de adição, subtração e multiplicação.
Quando distribuímos e desagrupamos as quantidades temos a adição representada, pois
contamos e somamos para nos certificarmos da sua exatidão. Quando desmembramos o

10
Mendonça (1996, p.59) refere-se às características que constituem o sistema de numeração decimal. Para
exprimir usa o número 125:
Princípio de agrupamento: em 125 – 5 elementos não agrupados, 2 grupos de dez e 1 grupo de 10x10 ou 100
elementos.
Princípio aditivo: 100+20+5
Princípio multiplicativo: 1x100 + 2x10 + 5
Princípio posicional: O número assume o valor posicional de acordo com a ordem que ocupa dentro da classe.
15

número em unidades, dezenas e centenas nas ilustrações relacionadas ao material dourado
tratamos da operação de multiplicação relacionada à adição de parcelas iguais. E finalmente,
usamos a subtração que possui uma relação direta com a divisão no que diz respeito ao
conceito de reagrupamento em ordem inferior. Ao distribuir as 7 centenas para 6 grupos sobra
1 centena e esta é “emprestada” para as dezenas para que uma redistribuição seja feita.
A partir dessas ideias aqui discutidas será feito um estudo que irá analisar
tais dificuldades na apropriação do algoritmo da divisão com o diagnóstico das concepções.

3.1. Fundamentação Teórica
O algoritmo da divisão é considerado pelos professores o assunto de maior
complexidade, pois além da problemática da falta de assimilação de conhecimentos prévios
indispensáveis para a sua realização, há o fato de o erro ser considerado um fracasso do
ensino.
[...] a primeira coisa que devemos examinar é a própria noção de que erro é
inequivocamente um indício de fracasso. A segunda questão intrigante é que,
curiosamente, o fracasso é sempre o fracasso do aluno. O que gostaria de
demostrar é que a constatação de um erro não nos indica, de imediato, que
não houve aprendizagem, tampouco nos sugere inequivocamente fracasso,
seja da aprendizagem, seja do ensino. (Carvalho, 1997, p. 12.)

Conforme Agranionih, Enricone e Zatti (2009), “ao analisar as possíveis
causas dos erros e dificuldades dos alunos na aprendizagem da matemática, há um conjunto
de variáveis em jogo, que se referem à própria natureza dos conceitos matemáticos, à forma
de ensiná-los ou às condições do aluno para aprender”. Nesse sentido, o erro pode ser
entendido como uma fase do processo de ensino e aprendizagem e sua análise usada como
técnica de ensino que auxiliará o desenvolvimento da prática pedagógica.
Segundo Teixeira (2006, apud ZATTI, AGRANIONIH e ENRICONE,
2010, p.117), “[...] a análise de erros é um método de investigação que tem colaborado
significativamente na compreensão da natureza dos erros referentes ao ensino e aprendizagem
da Matemática”. É através da análise de um erro que podemos entender o que foi assimilado
pelo aluno perante aquele conhecimento e, se possível, por meio desse erro, provocar
questionamentos que levem a uma resposta adequada e lógica.
O importante é que o professor pesquise sobre as dificuldades encontradas
em suas práticas pedagógicas, através da observação e da análise dos erros cometidos pelos
alunos durante a resolução de um problema, que se espera ser diversificado e contextualizado,
com o objetivo de atuar de maneira consciente às situações propostas para o desenvolvimento
do ensino e da aprendizagem. Pois a intenção é de investigar como se processa o
16

desenvolvimento de aprendizagem da criança “valorizando o erro como meio para
compreender a construção de conceitos matemáticos” (Lima, 2010, p.1).
Com essa pesquisa pretende-se entender como o aluno compreende as
diferentes abordagens acerca de um mesmo conteúdo e que táticas utilizam e como as
utilizam para resolver tal problema. Essa tendência educacional referente à análise do erro e a
intervenção pedagógica é denominado por Gérard Vergnaud de Teoria do Campo Conceitual
que vem sendo estudados por diversos teóricos aqui citados.
Sua teoria trata do gerenciamento do ensino, das estratégias e das
intervenções realizadas pelo professor. Essa teoria busca compreender os
processos de conceitualização, situando e estudando as filiações e rupturas
entre conhecimentos, do ponto de vista de seu conteúdo conceitual. (Lima,
2010, p.2)

Essa teoria visa à compreensão de como um indivíduo adquire
conhecimento através das experiências vividas nos âmbitos escolar e social. Ela parte do
princípio que a construção do conhecimento ocorre na medida em que os alunos pensam sobre
os assuntos, vivenciam situações verdadeiras e são capazes de estabelecer relações entre os
conteúdos estudados. Mas, o conhecimento deve ser entendido como a habilidade de resolver
problemas matemáticos, precisamente o conhecimento referente ao algoritmo da divisão, e a
compreensão das informações contidas nos registros. Na vivência social os alunos costumam
resolver situações reais, através do cálculo mental, com o uso de estratégias que lhe são
peculiares e diferentes das técnicas ensinadas em sala de aula, através dos algoritmos. E por
sua vez, o professor não compreende essas técnicas por não identificarem nelas as variedades
de conceitos existentes no algoritmo da divisão.
Vergnaud (1983a, p. 393; 1988, p. 141; 1990, p. 145; 1993, p. 8; 1997, p. 6,
apud MOREIRA, 2002, p.10) define conceito como um sistema de três elementos de um
conjunto tomado numa ordem determinada e que são dependentes entre si: situação,
representado por S; invariantes operatórios, representado por I; representações simbólicas,
representado por R, ou seja, C = (S, I, R).
a) No primeiro conjunto compreende-se que um campo conceitual existe quando se
explora uma variedade de situações que leve o aluno a uma flexibilidade cognitiva.

b) No segundo conjunto compreende-se que para resolver as situações o aluno deve
distinguir os conceitos implícitos ou explícitos – é o significado do conceito, que no
caso dessa pesquisa são as ideias do algoritmo da divisão, tais como a ideia de repartir
e a ideia de medir, que abrangem problemas do tipo: grupos equivalentes, preços,

17

comparação multiplicativa e disposição retangular. Em função disso, o aluno pode
utilizar operações e raciocínios diversos para resolver tal situação cujo resultado pode
ser eficaz ou não. Se o esquema utilizado não for o mais adequado o aluno pode
modificar sua estratégia.

c) No terceiro conjunto compreende-se como a exposição simbólica do conceito do
esquema – é o significante.

Nesse contexto Lima (2010, p.6) nos ajuda a concluir:
O professor, nesse contexto, deve assumir o papel de mediador favorecendo
que a criança chegue a solução de problemas com estratégias diretas, bem
como que seja capaz de fazer uso de diferentes estratégias para chegar a
maturidade de seus saberes, demonstrando evolução nos conceitos
matemáticos.

Não é fácil transformar a prática pedagógica de um dia para o outro, mas
sim, utilizar novas estratégias de ensino, cometer os erros que são naturais no início de
qualquer trabalho e saber recomeçar. Essa é a única forma de adquirir domínio do assunto e
melhorar a prática em sala de aula. E o ponto de partida para isso é não propor situações em
que as crianças não consigam resolver, visto que a resolução de problemas deve possuir
caráter incitativo. Caso contrário, torna-se desinteressante e a aprendizagem não ocorrerá.

3.2. Metodologia

Antes da análise qualitativa dos registros cujo objetivo é entender como o
aluno compreende as diferentes abordagens acerca de um mesmo conteúdo e que táticas
utilizam e como as utilizam para resolver tal problema foi certificado junto aos professores
que os conteúdos já tinham sido trabalhados em sala de aula. Outra consideração a ser feita é
que não há registros nas fichas individuais que indique que os alunos selecionados para a
análise possuam déficit cognitivo 11. Mas entendemos que ninguém aprende ao mesmo tempo,
porém todos podem aprender. De acordo com essa abordagem Siegler (1995, apud
GOLBERT, 2011, p.8), “sustenta ser praticamente impossível distinguir desenvolvimento
cognitivo e acadêmico na aprendizagem, uma vez que ambos refletem influências biológicas e
culturais, de modo indissociável”.

11
O termo déficit cognitivo é empregado para descrever desde problemas do intelecto a distúrbios globais.
18

São alunos de áreas conflagradas que na sua maioria nunca saíram dela, ou
seja, todas as atividades em família e de lazer são vivenciadas na própria comunidade em que
vivem. A análise foi feita com 20 alunos do 4º ano da Escola Municipal Cruzada São
Sebastião localizada em Parada de Lucas onde atendem ao 1º ciclo do ensino fundamental. A
escolha por esse ano de escolaridade se justifica por serem alunos que já são avaliados pela
Prova Brasil, por participarem do Projeto Acelera Brasil, do qual faço parte como estagiária a
um ano e meio, e por que já possuem o algoritmo da divisão mais consolidados do que os
alunos do 3º ano.
O teste composto de seis questões foi aplicado durante o período de um ano
e meio com os alunos dos horários matutino e vespertino e divididos em 4 grupos de 5 alunos.
Assim foi possível mediar as relações entre a teoria e a prática, a fim de instigar o raciocínio e
a interação entre eles. Ele abrange as ideias que envolvem a aprendizagem da divisão: a ideia
de medir e a ideia de repartir, com o objetivo de diversificar a resolução de problemas. O teste
tem como base o artigo de Carvalho e Gonçalves (2003) intitulado “Multiplicação e divisão:
conceitos em construção…” onde afirmam que o professor deve conhecer como as crianças
agem diante de determinadas situações propostas e quais estratégias são utilizadas para a
resolução, para assim, fazer uma breve reflexão sobre a aprendizagem dos conceitos de
divisão. Trata-se de problemas cotidianos que envolvem as ideias de partição e medição do
algoritmo da divisão nos quais terão duas horas para resolver. Essas ideias envolvem tipos de
problemas como preço, grupo equivalente, comparação multiplicativa e disposição retangular.
O que queremos com essa experiência é levantar como os alunos reagem
durante uma situação em que devem utilizar seus conhecimentos sobre as ideias da divisão e
que estratégias utilizarão para tal. Assim como, verificar a prática da técnica operatória. Ou
seja, pretendemos perceber, com base na Teoria do campo Conceitual, a capacidade dos
alunos em estabelecer relações entre o conteúdo estudado e a prática.

3.3 Análise
Com a finalidade de analisar aos procedimentos registrados referentes à
compreensão dos alunos frente à resolução de problemas envolvendo as ideias da divisão
foram propostas algumas situações que serão analisadas. A princípio alguns alunos não
entenderam o enunciado por não possuírem o domínio da escrita e da leitura. Essa situação é
proveniente das aprovações automáticas, na rede pública de ensino. Como dito anteriormente,
são alunos com defasagem idade/ano escolar ou analfabeto funcional na faixa etária de 11 a

19

14 anos. Por isso foi necessário ler as questões de forma explicativa. Houve a preocupação em
propor questões cujo problema estivesse inserido no cotidiano do aluno.
Foram informados que poderiam utilizar técnica própria para a resolução e
que poderiam começar pelas questões que quisessem, o que os empolgou, haja vista que a
maioria deles não entende o algoritmo da divisão. Os procedimentos utilizados pelos alunos
foram distintos, como veremos em seguida.

Questão 1: Rui comprou vários álbuns e ficou com 120 fotos. Se cada álbum tiver 30 fotos,
quantos álbuns Rui comprou?
Dentre os 4 grupos foram utilizados três métodos de resolução.
1. Soma sucessiva
Depois de identificada a situação problema, alguns alunos sugeriram somar
de trinta em trinta até que o total chegasse a cento e vinte, porém fizeram as contas sem
verificar o limite da soma, que é chegar a cento e vinte. Perguntei o que o problema propusera
e pedi que lessem novamente. Eles me responderam que deveriam encontrar o total de álbuns.
“Então, quantos “trinta” cabem em cento e vinte?” O grupo contou quantas vezes o trinta foi
somado e informou o total de quatro. Abaixo verificamos a resolução:

Figura 10: Soma sucessiva

Expliquei que as cento e vinte fotos tinham sido distribuídas em quatro
álbuns e perguntei o que isso significava, se havia outra operação que podíamos usar para
resolver tal problema. Então uns alunos responderam: “Dividir?Ah professora! Não sei fazer
conta de dividir”. Mostrei a eles a forma de resolução através do algoritmo da divisão por
subtrações sucessivas e disseram: “Professora é a conta ao contrário!”.

20

Nessa resolução o esquema utilizado pelos alunos foi o de compor através
da soma unitária das parcelas a partir do valor de referência 30 até o 120 que é o limite. Este
método foi utilizado por dois grupos.

2. Subtração sucessiva
Oposto ao processo anterior sugeriu-se resolver o problema subtraindo trinta
de cento e vinte, até que essa possibilidade se esgotasse. Ao subtrair escreviam ao lado “1
álbum” , e assim, chegaram a um total de quatro álbuns. Vejamos:

Figura 11: Subtração sucessiva

Essa resolução é muito interessante visto que essa técnica é empregada no
algoritmo da divisão por subtração sucessiva. Disse a eles que poderíamos utilizar outra
operação para resolver esse problema, no entanto, muito semelhante. Também nesse grupo
apresentei a resolução pelo algoritmo da divisão por subtração sucessiva.

Após essa mostrar a resolução alguns alunos perguntaram: “É assim que
divide?... É fácil!”, e também: “A professora não ensinou assim”. Esclareci que essa é outra
forma de fazer a operação de divisão e que as duas formas são corretas, tanto a resolução da
professora, quanto a que estava sendo apresentada a eles, e que a diferença estava no
procedimento. Nessa resolução o esquema utilizado pelos alunos foi o de decompor o número
através da subtração a partir do valor de referência 120 até o 30 que é o limite.

21

3. Contagem por agrupamento
Essa é uma resolução bem comum quando se inicia o ensino da divisão com
a ideia de medir, “quantos cabem?”. Pois o aluno usa a noção de agrupamento e de contagem
na sua resolução ao relacionar o álbum com as fotos. Os alunos desenharam cinco álbuns e
foram preenchendo-o com as fotos. Desenharam as fotos uma a uma até o total de cinquenta
fotos, ou seja, dez em cada álbum. Como o total são cento e vinte fotos perceberam que
podiam aumentar a quantidade para dez que resultava em cinquenta. Após colocaram mais
dez. As vinte fotos restantes distribuíram nos álbuns de dois em dois. Porém, a soma dos
totais em cada álbum eram vinte e quatro fotos. Conforme figura:

Figura 12: Contagem por agrupamento

Então, perguntei aos alunos se a quantidade de álbuns deveria aumentar ou
diminuir, já que havia vinte e quatro fotos em cada álbum e de acordo com o problema esse
total deveria ser de trinta. Em função disso fiz a seguinte pergunta: “O que o problema nos
informa sobre a quantidade de fotos em cada álbum?”. Todos concluíram que deviam
diminuir a quantidade de álbuns. Quando iam desenhar novamente os álbuns, sugeri que
suprimissem um álbum e distribuíssem as vinte e quatro fotos nos álbuns restantes. As fotos
foram recolocadas duas a duas. Após a nova contagem perceberam que haviam achado a
resposta do problema, como visto abaixo:

Figura 13: Contagem por agrupamento

Propus outra resolução. Sugeri outra forma de cálculo para o problema, com
o cuidado de seguir o raciocínio empregado pelos alunos. Vejamos as subtrações sucessivas:

22

A reação dos alunos foi imediata e um comentário merece atenção: “É como
se tivesse dividindo aos poucos?”. A pergunta mostra que os alunos estão começando a fazer
conjecturas acerca do algoritmo. Os elucidei que conforme fôssemos estimando valores essa
quantidade deveria ser diminuída do total que tínhamos.
Nessa resolução o esquema utilizado pelos alunos foi o de composição
aditiva por agrupamento através de quantidades fixas no qual geram subtotais e aproximações
de quantidades, ou seja, usaram o que chamamos de ensaio e erro. Esse esquema é
enriquecido pelos procedimentos de reagrupamento realizados para ajustar a contagem à
resposta.

Questão 2: O Rui tem ao todo 60 fotos arrumadas igualmente em 5 álbuns. Quantas fotos
têm cada álbum?
Dentre os 4 grupos foram utilizados dois métodos de resolução.
1. Decomposição / Algoritmo da divisão
Nessa questão, os alunos conseguiram compreender bem o enunciado. E ao
perguntar-lhes qual estratégia poderíamos utilizar para resolvê-la foram decididos. “Dividir!”.
Aqui está sendo abordada a ideia “de repartir”, que é o primórdio do ensino da divisão e é
inerente ao cotidiano do ser humano.
A resolução por intermédio do algoritmo mostrou muitas dificuldades, pois
não entendem a técnica operatória e precisaram recordá-la. Nesse momento foi preciso a
orientação pedagógica. Então disse: “Como poderíamos fazer essa?”. Um aluno recordou que
sessenta poderia ser decomposto de dez em dez. Disse isso porque sabia que 2x5 é igual a 10,
portanto saberia dividir. O grupo aceitou a sugestão e apresentaram a resolução abaixo:

Figura 14: Decomposição / algoritmo da divisão
23

Optaram por essa técnica por julgar ser mais fácil a divisão de dez por
cinco, ao invés de sessenta por cinco. Após efetuaram a soma dos resultados. O fizeram pela
divisão por subtração sucessiva, pois já compreendiam.
Nessa resolução o esquema utilizado pelos alunos foi o de decomposição e
de composição aditiva através de agrupamentos com 10 e pela representação direta do
algoritmo da divisão com distribuição em pequenas quantidades. Esse esquema é enriquecido
pelos procedimentos de reagrupamento realizados para ajustar a contagem à resposta.

2. Tabela
Os alunos criam métodos baseados em quantidades pequenas para facilitar o
cálculo. Como são sessenta fotos, as separam de dez em dez na forma de tabela com cinco
colunas como vemos abaixo:

Figura 15: Resolução por Tabela

A resolução é bem simples e rápida como o algoritmo da divisão. Por isso
mostrei como seria feito o cálculo pelo algoritmo da divisão por subtração sucessiva,
novamente com a preocupação em manter o raciocínio empregado pelo aluno:

de composição aditiva através de agrupamentos com 10 e pela representação em tabela com
distribuição em pequenas quantidades com somas parciais. Esse esquema é enriquecido pelos
procedimentos de reagrupamento realizados para ajustar a contagem à resposta. Esse método
foi utilizado por três grupos.

24

Questão 3: Cada caderno custa 2 reais. Quantos cadernos podemos comprar com 14 reais?
Dentre os 4 grupos foi utilizado um método de resolução.
1. Raciocínio por inter-relação
A resolução dessa questão foi a mais rápida, pois foi feita de imediato por
eles através do cálculo mental com a associação de cada dedo da mão com o valor do caderno
que são dois reais. Todos os quatros grupos realizaram a resolução do problema por esse
método.
Como haviam somado o número dois, sete vezes, lhes perguntei em que
operação realizamos somas de parcelas iguais de modo simples, ou seja, de que outra forma
podíamos representar aquela operação por meio de conta. Houve um silêncio. Então
perguntei: “Quantas vezes repetimos o número dois?”, e responderam: “sete”. Comentei:
“Então podemos dizer que o dois foi repetido sete vezes, sete vezes o dois”. Logicamente,
depois desse comentário alguns alunos disseram que se tratava do fato básico de dois e que
2x7 totalizava 14. Diante dessa conclusão, dois alunos me perguntaram se poderiam resolver
o problema pela divisão. Então fizemos a questão pelo algoritmo da divisão por subtrações
sucessivas. Segue a resolução feita por eles:

Figura 16: Algoritmo da divisão por subtrações sucessivas

Estavam inseguros, pois haviam resolvido pelo algoritmo da subtração
sucessiva poucas vezes e foi necessário encorajá-los, pois como já mencionamos nessa
pesquisa, o erro faz parte do processo de ensino e aprendizagem.
de composição aditiva com o limite em 14 através de agrupamentos de 2 feitos mentalmente e
relacionados com os dedos das mãos.

25

Questão 4: Rita comprou 5 canetas e pagou 15 reais. Se cada caneta custa o mesmo preço,
quanto pagou por cada caneta?
Dentre os 4 grupos foram utilizados dois métodos semelhantes de resolução.
1. Método Aleatório das Tentativas
Esse método consiste em partir de uma quantidade aleatória, que no caso
dos alunos foi o número cinco, e verificar se houve sucesso na resolução. Caso contrário,
analisa-se a questão e um novo número é escolhido. Primeiramente, disseram que a caneta
custava cinco reais, provavelmente influenciados pelos números que estão no enunciado.
Mesmo sabendo do erro não me opus à escolha, e sim, pedi que verificassem. Ao somarem
notaram que o valor ultrapassava o limite que o problema propusera. Então perguntei: “O
valor deve ser menor ou maior do que cinco?”. De imediato responderam que o valor deveria
diminuir e usaram o número 2 como parâmetro. Dessa vez o valor foi menor, porém mais
próximo ao valor esperado do que a primeira tentativa. Vejamos a resolução:

Figura 17: Método de tentativas Figura 18: Método de tentativas Figura 19: Método de tentativas

Concluíram que se cada caneta custasse dois reais seria o total de dez reais.
Um aluno completou: ”Tem dez reais, se botar mais um real para cada um, dá quinze...” e
através da tentativa e erro solucionaram a questão. O esquema utilizado foi um método
aleatório de tentativas, que apesar de trabalhoso é essencial para a construção do raciocínio
conceitual. Um grupo usou essa técnica.
Uma variação dessa mesma técnica também foi apresentada pelos outros
grupos. Ao verificar que o valor inicial de cinco reais por caneta ultrapassava o valor de
quinze reais em dez reais foi sugerido por alguns alunos outra forma de resolver. O valor
excedido foi retirado de um em um real em cada uma das canetas até que a soma total fosse
quinze reais. Vejamos a resolução:

Figura 20: Método de tentativas
26

Questão 5: A girafa tem 6 metros de altura. O canguru tem 2 metros. Quantas vezes a
girafa é maior que o canguru?
Dentre os 4 grupos foi utilizado um método de resolução.
1. Comparação entre medidas
Esse é o tipo de problema que precisa do apoio de materiais concretos para
que possa ser visualizada pelos alunos. A questão foi a que apresentou a maior dificuldade
pelos alunos. Pois ela lida com a ideia “de medir” da divisão pela comparação multiplicativa.
No primeiro momento me deram como resposta: “Quatro”. Expliquei que o problema não
pedia a quantidade em metros de quanto a girafa era maior que o canguru, e sim, quantas
vezes a girafa era maior que o canguru. Por isso perguntei: “Quantos dois cabem no número
seis?” Para que eles visualizassem o que o problema confeccionei junto com eles tiras
dividida em seis partes e tiras dividida em duas partes. “A tira com seis partes representa a
girafa e a tira com duas partes, o canguru. Quantas tiras com duas partes cabem na tira com
seis partes?” Sobrepuseram as tiras e responderam: “Três!”. Então perguntei: “Quantas
vezes a girafa é maior que o canguru?” Resposta: “Três!”.

Figura 21: Material concreto

Por não compreenderem o que o problema pedia fizeram uma comparação
aditiva das alturas. Ao ler novamente o problema e enfatizar as expressões “quantos cabem” e
“quantas vezes” os alunos ficaram pensativos, porém continuaram sem entender. Por isso foi
preciso improvisar uma representação concreta do problema.
Os informei que havia uma resolução mais prática e simplificada, que é pelo
algoritmo da divisão. Então mostrei pela divisão por subtração sucessiva.

27

Ao final da resolução concluíram que: “A girafa tem o triplo do tamanho do
canguru”.

Questão 6: Doze crianças estão em filas. Sabendo que são 3 filas, quantas crianças estão
em cada fila?
Dentre os 4 grupos foram utilizados quatro métodos de resolução, sendo
dois semelhantes.
1. Contagem por agrupamento
Nessa questão não houve muitas dúvidas. Foram usados por eles doze lápis
para representar as pessoas e feitas distribuições de quantidades um a um até o limite proposto
pelo problema. Veja a resolução:

Figura 22: Material concreto
Outros grupos resolveram com desenhos de “bolinhas” e “tracinhos”
desenhados um a um até que fossem agrupadas até o limite proposto pelo problema. Veja as
resoluções:

Figura 23: Contagem por agrupamento Figura 24: Contagem por agrupamento

Nessa resolução o esquema utilizado pelos alunos foi o de criar
agrupamentos através de representações feitas com ilustrações e com objetos concretos numa
distribuição em pequenas quantidades somadas simultaneamente.
Em todos os três grupos foram lembrados o algoritmo da divisão por
subtração sucessiva e os fatos básicos, pois já haviam visto algumas vezes. Dois grupos
usaram a resolução por meio de ilustrações.

2. Raciocínio por inter-relação / algoritmo da divisão
Essa resolução foi semelhante à questão da compra dos cadernos, mas com
erros por falta de atenção. Os dedos das mãos foram relacionados à quantidade de filas
quando deveria ser relacionado à quantidade de pessoas nas filas. Essa confusão gerou um
resultado correto, “quatro”, porém com entendimento incorreto do enunciado. Os elucidei:

28

“O problema nos propõe que são 12 pessoas distribuídas igualmente em 3 filas”. Então um
aluno disse: “É conta de dividir!”. “Sim!”. Novamente verificamos o problema pelo
algoritmo da divisão por subtração sucessiva:

Figura 25: Algoritmo da divisão por subtrações sucessivas

Nessa resolução o esquema utilizado pelos alunos foi o de criar
agrupamentos mediante o desenho de doze “bolinhas” e utilizando a contagem, semelhante a
figura 24.

3.3.1. O que observamos a partir dessas análises
Os quatro grupos com cinco alunos continham crianças com
desenvolvimento cognitivo em estágios diferenciados, porém nenhum deles deixou de
participar das atividades.
Por meio dessa análise as crianças demonstram que as estratégias usadas
para resolver problemas de tipo e de ideias diferentes estão relacionadas com as
representações mentais das situações propostas. Algumas respostas foram imediatas, outras
necessitaram de manipulação concreta de recursos.
A riqueza desse trabalho se dá pelo fato da criança recorrer a estratégias e
métodos próprios uma vez que as ideias de partição e cotição exigem muito do nível de
desenvolvimento cognitivo por serem complexos. E isso ajuda o professor a desenvolver
atividades em que seja possível o progresso no desenvolvimento dos conceitos pelos alunos.
Nesse sentido, usamos o processo de divisão por subtrações sucessivas para se chegar à
formalização desses conceitos e finalmente compreender a técnica operatória, ou seja, o
algoritmo.
O cálculo mental e o cálculo por estimativas foram utilizados intuitivamente
pelos alunos quando tratávamos de problemas cujas situações já haviam sido experimentadas
em seus cotidianos. Um exemplo disso são as questões 3 e 4 que envolvem a divisão com as
noções de preço, no qual a questão 3 envolve a ideia de medição e a questão 4 a ideia de
partição. Como estão ligadas diretamente ao cotidiano forneceram respostas repentinas. A
questão 3 mostra que os alunos possuem as noções de multiplicidade antes mesmo desses
29

conceitos serem formalizados pela escola. Nessa resolução foi possível relacionar a ligação
entre a multiplicação e a divisão como operações inversas com a ajuda da técnica de divisão
por subtrações sucessivas. As resoluções da questão 4 foi muito interessantes por suas
conclusões. Em uma delas a segunda tentativa foi suficiente para a resolução. A relação de 1
real para 1 caneta é semelhante a atribuição de cada dedo com o valor monetário de 2 reais, da
questão 3. Ainda para a questão 4, outro grupo utilizou o cálculo por estimativas, no entanto,
ao verificar que o valor excedia o valor procurado em 10 reais, optaram pela subtração
sucessiva até que chegassem ao valor encontrado. A divisão por subtração sucessiva nessa
segunda resolução foi efetuada a partir de uma representação mental já existente, pois na
própria resolução do aluno o método de subtração sucessiva é usado.
As questões do tipo grupos equivalentes com as ideias de medição e a ideia
de partição estão presentes nas questões 1 e 2, respectivamente. A questão 1 aborda a ideia de
medição que é a ideia da divisão menos ensinada pelos professores. Por isso, recorreram as
técnicas da soma sucessiva, da subtração sucessiva e de agrupamentos. A alternativa
encontrada para a solução desse problema, que diferentemente dos problemas do tipo preço,
não foram imediatas e exigiram esquemas mentais que a princípio lhes pareceram diferentes
pelas representações distintas de uma mesma ideia. Já na questão 2, a ideia de repartir foi
rapidamente reconhecida pelos alunos por ser mais explorada em sala. Porém, a resolução
pelo algoritmo não foi satisfatória e optaram por outras técnicas, até que fosse possível efetuar
a divisão com em número menor. Houve, também, a resolução por meio da distribuição de
quantidades em tabela, que é a resolução mais elementar quando se inicia o trabalho com a
divisão como partilha e, por isso, a mais usada pelos grupos.
Esses problemas foram excelentes para ilustrar a aplicação dos conceitos
que são indispensáveis para a realização do algoritmo da divisão, o reconhecimento da soma,
da subtração, da multiplicação e, sobretudo, do sistema de numeração decimal pelo aluno,
bem como a relação entre eles.
Considerada a mais complexa, a questão 5 envolve os conceitos do campo
multiplicativo, tais como dobro, triplo entre outros. A dificuldade durante a resolução de um
problema com essas características não está na falta de habilidade para efetuar operações, mas
sim, na dificuldade em que o aluno tem para entender o enunciado e traduzi-lo em operações
matemáticas adequadas. Por isso, é compreensível que as expressões “quantos cabem” e
“quantas vezes” não façam muito sentido a princípio. Mas com a manipulação das tiras ficou
mais fácil a representação mental do problema, que exige um desenvolvimento cognitivo alto.

30

Esse conceito deve ser trabalhado com muita cautela, pois já não é simples compreender a
associação das expressões “ganhar” ou “perder” com a adição e a subtração, respectivamente.
Assim como, não é simples compreender a associação das expressões “vezes mais” ou “vezes
menos” com a multiplicação e a divisão.
A questão 6, assim como as questões 3 e 4, também é muito presente no
cotidiano. Em função disso, não ofereceu maiores dificuldades em sua resolução, senão pelo
fato de alguns alunos não entenderem o enunciado por falta de atenção, mas isso foi resolvido
com uma nova leitura. Essa foi a questão que mais ofereceu variedades de resoluções, foram
usados objetos, ilustrações e o próprio algoritmo da divisão, o que é bastante natural após
rever a subtração sucessiva algumas vezes.
Observamos que a maioria das questões foi resolvida sem a realização do
algoritmo da divisão, o que confirma o desconhecimento e a falta de compreensão pelo aluno
do algoritmo. No entanto, é observável que as ideias de partição e cotição presentes na divisão
estão presentes em suas experiências cotidianas. E exatamente, nesse contexto, foi possível
apresentar a técnica operatória da divisão por subtrações sucessivas. Notamos, também, que o
cálculo por estimativas está presente nas resoluções das questões 1 e 4. Com as resoluções da
divisão pelas subtrações sucessivas os alunos percebem que dividir é subtrair a mesma
quantidade até o limite do dividendo e estabelecer relações entre a multiplicação do quociente
pelo divisor.
Com base nos PCN de matemática (1997, p.51), essas atividades com
variedades de situações favorecem a compreensão de que diferentes problemas podem ser
resolvidos com uma única operação e que diferentes operações podem resolver um mesmo
problema.
O procedimento usado para introduzir a divisão das subtrações sucessivas
será mostrado no capítulo 5.

31

4. DIFICULDADES RELACIONADAS COM A PRÁTICA PEDAGÓGICA

Tradicionalmente, a maioria das escolas do ensino fundamental concentram
os trabalhos das operações com números naturais em “fazer contas”. Quando falamos no
algoritmo da divisão, que dentre as operações é a mais complexa, nos deparamos com um
cálculo que exige uma compreensão sólida do sistema de numeração decimal e das demais
operações. E para exemplificar essa complexidade chamamos a atenção quanto ao processo
das operações de adição, subtração e multiplicação que são ensinadas antes da operação de
divisão, cujo início do processo é da direita para a esquerda. Entretanto, na divisão, o processo
ocorre no sentido contrário no qual as unidades são divididas por último. Para que possam
treinar são feitas divisões de diversas formas: divisão exata, divisão parcial exata, divisão
inexata, divisão parcial inexata, com números que possuam ordens nulas e com números
pertencentes às classes simples e de milhar. Ou então, fragmentar um número por ser
considerado grande como se dentro de um mesmo algoritmo houvesse outros algoritmos com
números menores.
Alguns professores acreditam que ensinar significa explicar e aprender
significa exercitar, por isso os conteúdos são explicados e exercitados isoladamente uma vez
que deveriam ser vistos como um todo integrado. Todas essas designações dão a impressão de
que existem vários algoritmos que são semelhantes entre si. Isso obriga o aluno a seguir
rigorosamente os “passos” da divisão, pois, caso contrário, respostas incoerentes ocorrem e
estes alunos, que não compreendem o processo, não terão condições de percebê-las. Para que
visualizemos as consequências desse ensino linear que não valoriza e nem desenvolve o
cálculo por estimativas e estratégias de verificação de resultado, vejamos o exemplo:

Figura 26: Divisão com zero no quociente

Quando as 5 unidades não foram suficientes para serem divididas por 12 não
foi feito o registro no quociente de zero unidades. O resto passou a
representar 50 décimos com o acréscimo do zero e, o quociente que
apresentava 2 dezenas, ficou sem o algarismo das unidades e com os 4
décimos resultantes da divisão de 50 décimos por 12 (Marques e Utsumi,
2003, p. 4).

É um paradoxo pensar que crianças que aprenderam técnicas operatórias
consigam resolver problemas eficazmente, assim como, pensar que vão estabelecer relações

32

entre os conhecimentos cujos conteúdos são passados de forma linear. Não se pode confundir
treinar com aprender, pois apenas reproduziram algo que não compreenderam associados a
expressões sem significado. Essas expressões são as mais absurdas, tais como: “vai um”,
“pede um emprestado”, “pula uma casinha para esquerda”, “abaixa um” entre outros. Além de
decodificar todas essas afirmações precisam aplicá-las em situações problemas que não são
inerentes a sua realidade.
As crianças dos anos iniciais do ensino fundamental estão numa fase da vida
em que passam por muitas transformações e descobertas, principalmente em seu
desenvolvimento cognitivo, por isso temos que ter muito cuidado quando falamos dos
conceitos matemáticos, visto que elas podem não estar preparadas para receber tal
conhecimento. Segundo Marques e Utsumi (2003) esse pode ser um motivo pelo qual as
crianças não se interessam em aprender matemática. Por isso, o conteúdo deve ser carregado
de significado bem como o conhecimento do campo de atuação e o porquê de todas essas
técnicas.
Ao priorizarmos a resolução do algoritmo da divisão como metodologia de
ensino não levamos em consideração as potencialidades dos alunos para resolver problemas.
Vimos no capítulo anterior que os problemas podem ser resolvidos por diferentes
procedimentos e, a partir desses procedimentos, observar se os alunos estão em condições de
resolver problemas de divisão antes de aprender o algoritmo tradicional. Assim, estaremos
priorizando a aquisição desse conhecimento através da percepção e, também, favorecendo a
construção de novos conhecimentos. Sendo, assim, o domínio do algoritmo da divisão
ocorrerá por consequência do trabalho com a resolução de problemas, pois quando a criança
generaliza esse conhecimento percebe que a técnica operatória não é a única forma de
aprender a dividir, além de entender o papel das demais operações na construção desse
conhecimento.
Devemos conhecer a importância e o uso da matemática na sociedade,
entender o papel do aluno, discutir práticas pedagógicas voltadas para a compreensão
conceitual e buscar novas metodologias. Para que entendamos como a matemática está
presente em nossa vida social observemos as crianças que apesar de não terem muita
consciência demonstram muita experiência fora do âmbito escolar. “As crianças têm múltiplas
experiências relacionadas com o conhecimento matemático e estas experiências tinham que
constituir-se em objetivo de análise no meio escolar” (Zunino, 1995, p. 7).

33

Em suas concepções professores dizem que a matemática é importante para
o desenvolvimento de um raciocínio rápido e ativo. Já os responsáveis pelos alunos ressaltam
a necessidade da matemática para as relações financeiras do cotidiano, para as profissões e
para a aquisição do conhecimento de outras disciplinas. Essas opiniões vão de encontro com a
opinião dos alunos que não entendem o papel da matemática na sociedade e apenas a
relaciona com atividades de trabalho. Sabemos que as crianças aprendem com as influências
do meio familiar e social, no entanto, na escola são levadas a reproduzir técnicas, ao invés de
desenvolverem o raciocínio. O resultado disso é que a maioria das crianças não entende a sua
participação na escola e por sua vez os pais concordam com a metodologia escolar. São
poucas as crianças que questionam a utilidade da matemática ensinada na escola, assim como,
a minoria dos pais questiona o sistema de ensino por não estimular a criança a pensar, a
pesquisar, a interpretar e a participar das aulas. Conforme Zunino (1995, p.7) “[...] é
necessário fazer um esforço para que as crianças descubram desde o princípio que a utilidade
da matemática ultrapassa os muros da escola”.
Encontrar resultados não significa ter consciência do cálculo e não encontrar
a operação que resolva o problema não significa que não se consiga resolvê-lo, contudo
quando os alunos criam estratégias didáticas para resolver o problema é necessária a
comparação entre elas. Com isso, descobrirão as operações inversas, aprenderão a verificar
seus resultados e estimarão mentalmente uma aproximação. As crianças não devem confiar
nos resultados obtidos através dos procedimentos adquiridos por meio da repetição, mas
elaborar estruturas lógicas, relacioná-las e acreditar que elas podem ser usadas na resolução
dos problemas matemáticos.
O conhecimento matemático se constrói à medida que os âmbitos social,
familiar e escolar se integram e tornam o ensino mais interessante e significativo.
Descobrir, investigar, discutir, interpretar conceitos que definem uma
concepção da aprendizagem e do ensino muito distinta daquela que postula
“explicar, repetir, memorizar”. São duas concepções que coexistem hoje
contraditoriamente em nossas escolas. Se as crianças, as escolas e os pais
continuarem discutindo, pesquisando, descobrindo e interpretando nossa
realidade educativa talvez consigamos unir nossos esforços para
construirmos juntos uma nova maneira de ensinar e aprender (Zunino, 1995,
p.16).

Na alusão de Zunino ficam bem explícitas as transformações que estão
ocorrendo no sistema educacional, mas ainda há muito que fazer. Precisamos entender quais
conteúdos exigem mais do intelecto e que conteúdos são mais difíceis de serem transmitidos.
Nesse sentido, alunos e professores estão em consonância quando se fala no ensino e
34

Divisão: Dificuldades e Caminhos

Divisão: Dificuldades e Caminhos

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Destaque

Destaque (16)

Semelhante a Divisão: Dificuldades e Caminhos

Semelhante a Divisão: Dificuldades e Caminhos (20)

Último

Último (20)

Divisão: Dificuldades e Caminhos