Matemática 2008

1. UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB
DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO – CAMPUS VII.
SENHOR DO BONFIM
A LINGUAGEM NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS:
ESTUDO DAS DIFICULDADES DE ALUNOS DA 7ª SÉRIE DO COLÉGIO
ESTADUAL JOSÉ DA SILVA MARQUES EM CAMPO FORMOSO-BA
SENHOR DO BONFIM, 2008

2. DIANA CARLA MIRANDA DA SILVA
A LINGUAGEM NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS:
ESTUDO DAS DIFICULDADES DE ALUNOS DA 7ª SÉRIE DO COLÉGIO
ESTADUAL JOSÉ DA SILVA MARQUES EM CAMPO FORMOSO-BA
Monografia apresentada ao Departamento de
Educação – Campus VII da Universidade do
Estado da Bahia, como parte das exigências da
disciplina TCC – Trabalho de Conclusão de Curso
em Licenciatura em Matemática.
Orientadora: Profª Maria Celeste de Souza Castro
SENHOR DO BONFIM, 2008

3. DIANA CARLA MIRANDA DA SILVA
A LINGUAGEM NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS:
ESTUDO DAS DIFICULDADES DE ALUNOS DA 7ª SÉRIE DO COLÉGIO
ESTADUAL JOSÉ DA SILVA MARQUES EM CAMPO FORMOSO-BA
Monografia apresentada ao Departamento de
Educação – Campus VII da Universidade do
Estado da Bahia, como parte das exigências da
disciplina TCC – Trabalho de Conclusão de Curso
em Licenciatura Plena em Matemática.
BANCA EXAMINADORA
______________________________________________
Profª. Maria Celeste de Souza Castro (orientadora)
______________________________________________
Profª. Mirian Brito de Santana (membro)
______________________________________________
Profª. Rita de Cássia Braz Conceição Melo (membro)

4. DEDICATÓRIA
Ao meu pai, Adelfo Luis (in memoriam) que me ensinou o
valor da vida, onde estiver sempre terá meu amor.
À minha mãe, Maria Miranda que foi minha parceira
incondicional durante essa jornada.
A todos que estiveram sempre presentes, dividindo comigo
as angústias, decepções, incertezas e conquistas.

5. AGRADECIMENTOS
Ao Senhor Deus, pela saúde e oportunidade que tive para começar; pelo consolo e
apoio quando tive que parar; pela força e coragem para reconquistar e concluir este
curso de Licenciatura Plena em Matemática.
À minha Orientadora Maria Celeste de Souza Castro, pela amizade, paciência e
empenho ao direcionar meu trabalho, servindo-me de exemplo de dedicação e
profissionalismo.
À Coordenadora do curso Professora Elizete Brito pela amizade e o otimismo que
semeou em meu caminho por meio do exemplo e das palavras que me inspiraram
confiança nos momentos difíceis.
A todos os Professores do curso por ter me permitido conhecer novos caminhos no
exercício da profissão.
Aos professores integrantes da banca de avaliação que aceitaram amavelmente o
convite e cujas críticas pertinentes e sugestões valiosas contribuíram para a elaboração
final deste trabalho
À professora e aos alunos que participaram da nossa pesquisa pela colaboração
imprescindível.
Aos amigos e colegas de curso pelos bons e maus momentos compartilhados, em
especial a Valdenira pela amizade e apoio nos momentos mais difíceis.
A todos que direta ou indiretamente contribuíram para a realização do curso e
conclusão deste trabalho.

6. RESUMO
Este trabalho estuda as dificuldades que os alunos de uma turma de 7ª série enfrentam
diante da resolução de problemas matemáticos e tem como principal foco a relação que
estes alunos estabelecem com a linguagem no processo de resolução dos problemas.
A pesquisa foi feita através de uma metodologia com caráter qualitativo fundamentada
numa perspectiva intervencionista por meio de instrumentos de coleta de dados como
entrevista com a professora regente da turma, observação-participante, diário de bordo
e coleta de documentos escritos pelos alunos. A entrevista foi realizada com a
finalidade de se estabelecer um mapeamento a cerca dos anseios e atitudes da
professora considerada importante para o direcionamento dos trabalhos da pesquisa; a
observação participante abrange tanto as atividades realizadas pela professora em sala
de aula como as desenvolvidas pela pesquisadora, fruto da intervenção conjunta com a
professora onde foram utilizados também o diário de bordo e a coleta de documentos
dos alunos. As atividades foram elaboradas compreendendo os conteúdos
programados pela professora e foram replanejadas a partir de uma análise de cada
uma. O estudo está embasado numa análise interpretativa considerando aspectos
como escrita, oralidade e capacidade de leitura e interpretação dos alunos em relação a
textos matemáticos, bem como a contribuição das atividades de intervenção com
enfoque nos elementos objetos desta análise. Foram levantadas sugestões de
trabalhos que venham complementar este estudo em relação à atividades envolvendo
resolução de problemas.
Palavras-chave: comunicação; linguagem matemática; resolução de problemas.

7. SUMÁRIO
RESUMO
INTRODUÇÃO..................................................................................................................9
CÁPITULO I
O ENSINO DE MATEMÁTICA – AS DIFICULDADES VIVENCIADAS
EM SALA DE AULA.......................................................................................................11
CAPÍTULO II
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA......................................................................................14
2.1. Comunicação e Linguagem Matemática..................................................................14
2.2. Linguagem na Resolução de Problemas..................................................................17
CAPÍTULO III
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS.......................................................................21
3.1. Entrevista semi-estruturada.....................................................................................22
3.2. Observação participante..........................................................................................22
3.3. Diário de Bordo........................................................................................................24
3.4. Documentos escritos pelos alunos..........................................................................25
CAPÍTULO IV
ANÁLISE DE DADOS E INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS..............................27
4.1. Um olhar sobre o ensino aprendizagem dos alunos – A visão do professor...........27
4.2. Uma visão do contexto de sala de aula...................................................................30
4.3. Atividades de intervenção........................................................................................31
4.3.1. Atividade 1 – Representação decimal dos números racionais..........................31
4.3.2. Atividade 2 – Representação percentual dos números racionais.....................48
4.3.2.1. A escrita. Interpretação do texto.......................................................................49

8. 4.3.2.2. A oralidade – Discussão do texto......................................................................53
4.3.2.3. Resolução de problemas a partir do texto..........................................................54
4.3.3. Atividade 3 – Representação percentual dos números racionais –
Dando significado aos problemas do livro didático.....................60
4.3.4. Atividade 4 – Introdução aos números irracionais..............................................66
CONCLUSÃO................................................................................................................70
REFERÊNCIAS.............................................................................................................72
ANEXOS........................................................................................................................76
ANEXO 1 – Roteiro para a entrevista com a professora
ANEXO 2 – Atividade 1 – Representação decimal dos números racionais
ANEXO 3 – Atividade 2 – Representação percentual dos números racionais - Texto
ANEXO 4 – Questões para análise do texto
ANEXO 5 – Atividade 3 – Representação percentual dos números racionais – Problema
do livro didático
ANEXO 6 – Tabela de IR de 2008
ANEXO 7 – Atividade 4 – Introdução aos números irracionais

9. 9
INTRODUÇÃO
As dificuldades vivenciadas em sala de aula a cerca do baixo desempenho dos alunos
na aprendizagem de matemática vem sendo discutidas de modo significativo. Vários
autores já se manifestaram a respeito, como Bicudo (1999), Smole & Diniz (2001),
Cagliari (2002), Rabelo (2002), Zuchi (2004), Carvalho (2005), Koch (2006), entre
outros. Esses autores destacam a importância que a linguagem desempenha na
resolução de problemas matemáticos.
D’Ambrósio (1986, apud Rabelo, 2002, p. 82) diz que “(...) O verdadeiro espírito da
matemática é a capacidade de modelar situações reais, codificá-la adequadamente, de
maneira a permitir a utilização das técnicas e resultados conhecidos em um contexto
novo (...)” Desta forma o autor destaca o uso da linguagem nesse processo, o que para
Zuchi (2004) desempenha um papel importante na constituição do conhecimento
matemático.
Tomando como base os conceitos aqui colocados e entendendo que as dificuldades na
linguagem podem interferir na aprendizagem de conceitos matemáticos é que trazemos
nesse trabalho reflexões acerca das dificuldades que os alunos enfrentam na resolução
de problemas.
No primeiro momento, deste trabalho constrói-se uma síntese da situação educacional
em torno das dificuldades vivenciadas por professores e alunos quanto à aprendizagem
dos conceitos matemáticos com ênfase na relação que os alunos estabelecem com a
linguagem no processo de resolução de problemas. Constroem-se ainda as questões
norteadoras que envolvem o assunto e os objetivos que se deseja alcançar.
No capitulo II apresenta-se os principais conceitos fundamentais que compreendem
comunicação e linguagem matemática, e a linguagem na resolução de problemas.

10. 10
No capítulo III são apresentados os procedimentos metodológicos, os instrumentos
utilizados para recolhimento de dados e elaboração deste estudo.
No capítulo IV, Os dados coletados e observados são apresentados de forma
ordenada, são descritos, explicitados e por fim interpretados, desvelando-se como
resultado da pesquisa.
Por fim, na conclusão apresentam-se algumas considerações referentes à elaboração
da presente monografia.

11. 11
CAPITULO I
O ENSINO DE MATEMÁTICA – AS DIFICULDADES VIVENCIADAS EM SALA DE
AULA
É comum ouvir de professores de matemática que seus alunos enfrentam dificuldades
em aprender conceitos matemáticos, justificando que quando estes se deparam com
problemas matemáticos não sabem resolvê-los. Os alunos, por sua vez, alegam que a
matemática é uma disciplina extremamente difícil e por isso não conseguem resolver
tais problemas argumentando que não sabem qual o caminho para a resolução.
O dilema das dificuldades de aprendizagem de matemática contextualizada em sala de
aula está retratado em dados de pesquisa realizada em 2003 pelo INEP – Instituto
Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais. A pesquisa que foi realizada tomando
como base as avaliações realizadas pelo Sistema de Avaliação Escolar da Educação
Básica – SAEB mostrou que 52% dos alunos da 4ª e 8ª séries do ensino fundamental,
na disciplina de matemática, estavam em situação classificada pelo estudo como
“crítica” ou “muito crítica”, sendo que este nível atingia 63% dos alunos da 3ª série do
ensino médio. O estudo apontou que estes alunos não conseguiam transpor o que era
solicitado no enunciado de uma questão, compatível com sua série, para uma
linguagem matemática.
A pesquisa retrata fielmente o que acontece na sala de aula. Durante a realização do
Estágio1 vivenciamos essas situações onde o aluno não sabe como resolver a questão
e solicita ajuda para a compreensão dos enunciados. A partir daí se começou a
questionar porque os alunos não compreendem com clareza o que o professor e os
livros didáticos querem lhes comunicar.
1
Componente obrigatório da grade curricular do curso de Licenciatura em Matemática realizado em
2007.

12. 12
Esta realidade é fundamentada por Cagliari (2002), que aponta que a dificuldade do
aluno não está na falta de conhecimento dele e, sim no impasse lingüístico criado pela
formulação das questões que lhe são apresentadas.
Diante destas questões surge a proposta de investigar as dificuldades enfrentadas por
alunos da 7ª série do ensino fundamental, em resolver problemas matemáticos, tendo
como enfoque do estudo a relação que estes alunos estabelecem com a linguagem no
processo de resolução. A opção por desenvolver a pesquisa com alunos da 7ª série
parte do pressuposto de que os conteúdos trabalhados nesta série são considerados
bastante abstratos impossibilitando desta forma, a inserção de textos matemáticos.
Segundo Bicudo (1999), a linguagem é um ato de comunicação entre pessoas, e,
sobretudo, sistematizante do pensar. Desta forma a autora destaca a importância da
linguagem na vida do ser humano.
Sendo a linguagem um instrumento essencial para a compreensão do mundo das
relações torna-se fundamental sua utilização no contexto educacional. Vários estudos
sublinham a importância da linguagem na área de ensino, considerando-a, sobretudo,
no ensino da matemática. Como ressalta Cagliari (2002, p. 27), “[...] A matemática não
se faz só com números, mas também com a linguagem [...]”.
Diante disso, destacamos Smole e Diniz, que defendem:
[...] Os alunos devem aprender a ler matemática e ler para aprender matemática
durante as aulas dessa disciplina, pois para interpretar um texto matemático o
leitor precisa familiarizar-se com a linguagem e os símbolos próprios desse
componente curricular, encontrando sentido no que lê, compreendendo o
significado das formas escritas que são inerentes ao texto matemático,
percebendo como ele se articula e expressa conhecimentos (SMOLE; DINIZ,
2001, p. 71).
Embora existam muitos estudos que tratam a linguagem como ferramenta fundamental
para o ensino da matemática muitos dos insucessos de aprendizagem dos conceitos
matemáticos são relacionados, por muitos autores como Bicudo (1999), Smole e Diniz

13. 13
(2001), Carvalho (2005) Rabelo (2002), Menezes (2000), entre outros, à deficiência de
linguagem.
Considerando que a linguagem ocupa um lugar de importante destaque na
aprendizagem dos conceitos matemáticos e concordando com a existência de um
impasse lingüístico, então se procurou respostas sobre as dificuldades buscando
desenvolver atividades de intervenção para melhor compreender a questão das
dificuldades de resolução de problemas apresentados pelos alunos. Diante disso foram
estabelecidas as seguintes questões norteadoras:
• Como se configura esta linguagem com os alunos da 7ª série do Colégio José da
Silva Marques em Campo Formoso-Ba na resolução de problemas matemáticos?
• Qual a relação que estes alunos estabelecem com a linguagem em termos de
seus componentes e suas funções na decodificação da linguagem matemática?
• Como uma atividade interventora pode contribuir para a melhoria desta relação
e, conseqüentemente, do ensino de matemática?
Estas questões serviram como eixo que norteou o estudo e para isso foi delimitado o
seguinte objetivo: analisar a relação que os alunos da 7ª série do colégio José da Silva
Marques em Campo Formoso-Ba estabelecem com a linguagem na resolução de
problemas de matemática. Para atingir este objetivo se procurou:
• Analisar a capacidade do aluno na leitura, interpretação e compreensão de
textos matemáticos;
• Analisar os problemas matemáticos trazidos pelo livro didático adotado pela
escola;
• Verificar a capacidade do aluno de comunicação oral e escrita através da
socialização de idéias e estratégias utilizadas por ele na resolução de problemas;
• Analisar a contribuição ou não das atividades de intervenção.

14. 14
CAPITULO II
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Neste capitulo serão trabalhados os conceitos comunicação e linguagem matemática e
linguagem na resolução de problemas utilizando teóricos que nos oferece uma clareza
quanto ao tema objeto da pesquisa.
2.1. Comunicação e Linguagem Matemática
A comunicação entre seres humanos é um processo que envolve a troca de
informações, e que para isso utiliza símbolos como suporte para este fim, como gestos
com as mãos, mensagens enviadas através da fala ou da escrita, ou qualquer outra
coisa que permita uma pessoa interagir com outra e efetuar algum tipo de troca
informacional. Para Zuchi (2004, p. 49) o meio mais eficiente de comunicação é através
da linguagem, pois segundo Freitas (1995, apud Zuchi 2004), é por meio da linguagem
que a criança é exposta ao conhecimento humano e adquire conceitos sobre o mundo
que a rodeia.
A linguagem como elemento essencial na comunicação dos seres humanos, ganha um
destaque especial no contexto educacional. Como bem coloca Menezes (2000b)
quando diz que ensinar e aprender constituem atos essencialmente comunicativos e
que os principais agentes envolvidos são os professores e os alunos.
Diante da importância que assume a linguagem nas práticas educativas, Cagliari (2002
p. 25) completa: “A escola usa e abusa da força da linguagem para ensinar e para
deixar bem claro o lugar de cada um na instituição e até na sociedade, fora dos seus
muros”.

15. 15
Sendo a escola o lugar onde o principal instrumento de comunicação é a linguagem
cabe aos seus principais agentes, professores e alunos, criar processos de maneira
que estes processos resultem em aprendizagem significativa.
Considerando que existem inúmeras formas de linguagem utilizadas para a
aprendizagem dos conteúdos escolares, como a oral e escrita, utilizada pela Língua
Portuguesa e outras disciplinas; a utilização de desenhos que estão presentes no
estudo de outros componentes curriculares; existe também, a linguagem matemática
que é constituída por fórmulas e símbolos presente na Matemática, uma das principais
disciplinas do currículo escolar e que na maioria das vezes é vista com certa aversão.
Muito freqüentemente se ouve falar na matemática como uma ciência com uma
linguagem de difícil compreensão por se tratar de uma ciência abstrata. De fato a
matemática tem uma linguagem própria, e:
Sendo a matemática uma área do saber de enorme riqueza, é natural que seja
pródiga em inúmeras facetas; uma delas é, precisamente, ser possuidora de
uma linguagem própria, que em alguns casos e em certos momentos históricos
se confundiu com a própria matemática (MENEZES 2000a).
A linguagem matemática é expressa pelo discurso matemático. Assim a simbologia
matemática como expressão de uma linguagem, é invenção do ser humano com a
intenção de assegurar uma capacidade maior de sintetizar idéias matemáticas e que foi
sendo transformada ao longo do tempo.
Podemos tomar um exemplo de síntese da linguagem matemática trazida por Boyer
(1974) que mostra a representação de frações unitárias (com o numerador 1) indicada
pelos egípcios. O recíproco de qualquer inteiro era indicado simplesmente colocando
sobre a notação para o inteiro um sinal oval alongado. A fração 1 / 8 era indicada por
, e 1 / 20 por . Estas representações foram sendo modificadas chegando á
representação numerador sobre denominador que utilizamos nos dias atuais.

16. 16
Alguns estudos mostram que os livros de matemática escritos durante a Idade Média
traziam as idéias matemáticas expressas por extenso. Naquela época, a subtração era
indicada pela palavra latim minus. Com o tempo passou-se a abreviar as palavras e
minus foi substituída por sua inicial com um traço em cima. Mais tarde passou-se a usar
apenas um traço para indicar a subtração, sinal este utilizado até hoje. O sinal de
adição (+) é uma derivação da letra t da palavra et.
A compreensão e o manuseio da simbologia matemática, geralmente são vistos como
possíveis apenas para os gênios. As fórmulas e os símbolos matemáticos são
complicados para a maioria das pessoas. Mas assim como em outras áreas do
conhecimento que se utiliza de linguagem própria, a simbologia utilizada pela
matemática também é possível de ser compreendia, bastando para isso uma
aprendizagem adequada. Zucchi (2004, p. 51) alerta sobre o uso excessivo da
simbologia matemática. Para a autora “muitas vezes, o excesso de simbologia gera
dificuldades desnecessárias para o aluno, chegando, inclusive a impedir que ele
compreenda a idéia representada pelo símbolo”.
Desta forma Cândido entende que:
A tarefa dos professores em relação à linguagem matemática deve desdobrar-
se em duas direções. Em primeiro lugar, na direção do trabalho sobre os
processos de escrita e representação, sobre a elaboração dos símbolos, sobre
o esclarecimento quanto às regras que tornam certas formas de escrita
legítimas e outras inadequadas. Em segundo, em direção ao trabalho sobre o
desenvolvimento de habilidades de raciocínio que, para as crianças, se inicia
com o apoio da linguagem oral e vai, com o tempo incorporando textos e
representações mais elaborados (CÂNDIDO, 2001, p. 17).
Diante do exposto, entende-se que o uso da linguagem matemática não pode está
desvinculado do processo de comunicação oral e escrita, pois se assim for constitui-se
num problema para o processo de ensino e aprendizagem dos conceitos matemáticos.

17. 17
2.2. A Linguagem na Resolução de Problemas
A matemática ensinada nas escolas passa atualmente por um momento crucial, uma
vez que se constitui em uma das disciplinas em que os alunos apresentam mais
insucesso, de tal forma que ela tem sido freqüentemente apontada como uma disciplina
que contribui significativamente para a elevação das taxas de retenção. E mesmo
quando o aluno é aprovado, seu conhecimento se mostra insuficiente para a aplicação
de seus conceitos no cotidiano.
Dados do Pisa2 – Programa Internacional de Avaliação, divulgados pela OCDE –
Organização para a Cooperação e o Desenvolvimento Econômico, mostram o baixo
desempenho em leitura e matemática dos alunos brasileiros em 2006, sendo que o pior
resultado é apresentado em matemática. Segundo a pesquisa, numa escala que vai até
seis, 73% dos brasileiros estão situados no nível um ou abaixo disso. Isso significa que
só conseguem responder questões com contextos familiares e perguntas definidas de
forma clara. Embora o resultado seja ruim os dados apontam uma melhora em relação
à pesquisa realizada em 2003 pelo INEP3.
Diante das situações apresentadas pela pesquisa, citadas no capítulo anterior
procurou-se buscar referencial metodológico para o enfrentamento do problema. Alguns
educadores matemáticos apresentam a resolução de problemas como alternativa de
trazer o aluno para o contexto de produção, indagação e reflexão dos conceitos
matemáticos serem estudados. Bicudo em um de seus trabalhos em educação
matemática já traz como foco de estudo a resolução de problemas justificando o porque
da sua escolha:
O ponto central de nosso interesse em trabalhar o ensino-aprendizagem de
matemática através da resolução de problemas baseia-se na crença de que a
razão mais importante para esse tipo de ensino é a de ajudar os alunos a
2
Fonte: Folha de São Paulo Online – Dezembro de 2007
3
Dados já apresentados anteriormente

18. 18
compreender os conceitos, os processos e as técnicas operatórias necessárias
dentro do trabalho feito em cada unidade temática. (BICUDO, 1999, p. 208)
Nos PCN – Parâmetros Curriculares Nacionais, esta proposta encontra destaque:
[...] O ponto de partida da atividade matemática não é a definição, mas o
problema. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, idéias e métodos
matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou
seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de
estratégia para resolvê-las (BRASIL, 1998, p. 40).
Embora a resolução de problemas matemáticos seja antiga, pois estes estão presentes
nos textos de matemática desde a antiguidade (3000 a. C) tendo diferentes significados
dos seus conceitos em diferentes épocas. Os alunos ainda hoje, apresentam
dificuldades em operar os algoritmos quando estes vêem problematizados.
Segundo Cagliari (2002, p. 26), “[...] os problemas de matemática em geral têm uma
função cabalística: eles são literais nos valores numéricos, mas herméticos nas
relações entre esses números [...]” Para o autor ou se formulam questões mais abertas
ou o professor terá que ensinar o aluno a interpretar um problema, em primeiro lugar
como lê este problema e estabelecer as relações entre os números que dão sentido ao
problema.
Bicudo (1999), completa esta afirmação quando diz que a dificuldade dos alunos em ler
e compreender textos de problemas pode estar no fato de professores e livros didáticos
ainda trazerem problemas matemáticos de forma mecânica o que dificulta a
compreensão do aluno. Segundo a autora:
Como a escola é comprometida com o saber, a decoração de textos ou partes
de livros didáticos, a repetição de informações apresentadas nas aulas foram
mecanismos que camufla os insucessos na apropriação do saber. A
memorização pode ocorrer sem compreensão. A falta de compreensão pode
chegar a ponto de impedir que a informação tenha algum significado para o
aluno e de comprometer sua transformação em conhecimento (BICUDO, 1999,
p.15).

19. 19
Já para Smole (2001), esta dificuldade está, entre outros fatores, ligada à ausência de
um trabalho específico com o texto do problema, e para que estas dificuldades sejam
superadas, são necessários cuidados com a leitura que o professor faz do problema,
que seja feito um projeto de intervenções didáticas destinadas a conduzir o aluno a ler e
compreender problemas de matemática com autonomia.
Polya (1978, p. 4), um dos pioneiros a trazer resolução de problema como proposta
para o ensino de matemática ressalta que “é uma tolice responder uma pergunta que
não tenha sido compreendida [...]” quando destaca os quatro estágios que compõem o
processo de resolução de problemas:
1- Compreensão do problema – O aluno analisa de forma detalhada o enunciado e
identifica as principais partes para encontrar os dados contidos no problema a
partir da leitura deste problema;
2- Estabelecimento de um plano – Neste estágio o aluno usa experiências já vividas
para disponibilizar métodos de solução que surgem após várias tentativas ou
repentinamente.
3- Execução do plano – Nesta fase o aluno examina os detalhes e seleciona o
método e o aplica para encontrar a solução.
4- Verificação da solução – O aluno verifica e interpreta a solução encontrada
checando se o resultado encontrado está correto e se há outro caminho para a
resolução do problema.
A linguagem no contexto aqui discutido é introduzida como a principal ferramenta no
âmbito de resolução de problemas. Segundo Bicudo (1999, p. 208), “ao invés de fazer
da resolução de problemas o foco do ensino da matemática, professores, autores de
livros, promotores de currículos e avaliadores de aprendizagem deveriam fazer da
compreensão (grifo nosso) seu ponto central e seu objetivo”.

20. 20
Os PCN sustentam essas reflexões quando alertam:
Só há problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que
lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada; aproximações
sucessivas ao conceito são construídas para resolver um certo tipo de
problema; num outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu para resolver
outros, o que exige transferências, retificações, rupturas, segundo um processo
análogo ao que se pode observar na história da matemática; o aluno não
constrói um conceito em resposta a um problema, mas constrói um campo de
conceitos que tomam sentido num campo de problemas [...], a resolução de
problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como
aplicação de aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se pode
aprender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas (BRASIL, 1998, p.
41).
Para Rabelo (2002, p. 25) existem duas questões básicas que geram dificuldades aos
alunos na resolução de problemas. Segundo o autor, a primeira, diz respeito à
dificuldade que os alunos têm de leitura e, portanto, de análise, causada,
principalmente, pela barreira da linguagem escrita, a segunda, diz respeito à
discriminação que o aluno tem pelos problemas matemáticos, muitas vezes típicos e
únicos trabalhados na escola.
Muitas vezes os problemas são colocados em sala de aula apenas como exercício, e
segundo Vasconcelos (2000), a resolução de problemas deve ser vista como
fundamental, e não como algo que se faz, eventualmente, no final de alguns capítulos
como aplicação dos assuntos matemáticos que até então foram aprendidos. A autora
ainda ressalta que é necessário encorajar os alunos a valorizar a matemática, a ganhar
confiança em suas capacidades matemáticas, tornar-se solucionadores de problemas
matemáticos e comunicar-se matematicamente. Menezes (2000b), completa que “a
importância do estudo do discurso da aula de Matemática advém do relevo que a
linguagem assume na interação comunicativa”.

21. 21
CAPITULO III
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
Nesta pesquisa foi desenvolvido um estudo de caráter qualitativo uma vez que se
pretendeu uma observação mais detalhada e uma compreensão mais ampla de um
contexto educativo.
O lócus da pesquisa foi o Colégio Estadual José da Silva Marques localizado na cidade
de Campo Formoso-BA, onde foi realizada uma pesquisa-ação com uma turma de 7ª
série, considerando que a sala de aula com os sujeitos que a compõem constitui um
campo de pesquisa que direciona a observação a todos os acontecimentos provocados
pelos sujeitos no decorrer das atividades investigativas, desde os mais importantes aos
considerados triviais. Diante desta perspectiva de pesquisa, os sujeitos interagindo com
os instrumentos de pesquisa, vale citar o que diz D’Ambrósio (1996, p 103) “é
focalizada no indivíduo, com toda a sua complexidade...”
Fiorentini e Lorenzato (2006) definem este tipo de pesquisa da seguinte forma:
É um tipo especial de pesquisa participante, em que o pesquisador se introduz
no ambiente a ser estudado não só para observá-lo e compreendê-lo, mas,
sobretudo para mudá-lo em direções que permitam a melhoria das práticas e
maior liberdade de ação e de aprendizagem dos participantes (FIORENTINI;
LORENZATO, 2006 p. 112).
Quanto aos instrumentos de investigação foram utilizadas as técnicas de entrevista
semi-estruturada, observação participante, diário de bordo e documentos escritos pelos
alunos.

22. 22
3.1. Entrevista semi-estruturada
Segundo Ludke e André (1986), a entrevista constitui um dos instrumentos básicos para
a coleta de dados numa pesquisa sendo uma das principais técnicas de trabalho em
todos os tipos de pesquisa. Segundo as autoras a entrevista apresenta vantagens
sobre outros tipos de técnicas, pois permite ao investigador coletar imediatamente e de
forma corrente a informação desejada com qualquer informante sobre questões
variadas.
A entrevista semi-estruturada é um tipo de instrumento de coleta de dados com
questões organizadas previamente podendo ser alteradas de acordo com o
desenvolvimento da entrevista. Segundo Fiorentini (2006) ela articula tanto a entrevista
estruturada que traz perguntas precisas, previamente formuladas e organizadas, e não
estruturada que não apresenta um roteiro definido de questões permitindo ao
entrevistador um diálogo aberto com o informante podendo este abordar livremente um
determinado assunto.
Este instrumento foi utilizado com a professora e teve como finalidade a coleta de
informações consideradas relevantes para diagnóstico e a partir deste direcionar a
dinâmica dos trabalhos que foram desenvolvidos.
3.2. Observação participante
Segundo Marconi (1996), a observação participante consiste na participação real do
pesquisador com o meio em que estão inseridos os sujeitos participantes da
investigação. Ele se introduz neste meio e participa das atividades normais deste.
Os trabalhos de investigação aconteceram no período de 17 de março a 26 de maio de
2008 durante as atividades de planejamento e no contexto da sala de aula,
direcionados por uma intervenção conjunta (professor e pesquisador).

23. 23
Inicialmente foi realizada uma observação em sala de aula das atividades propostas e
desenvolvidas pela professora regente. Esta observação teve por objetivo analisar a
capacidade do aluno na leitura e compreensão de textos matemáticos. Em seguida foi
feita a análise dessas atividades cujo objeto de análise se deu através de um olhar
crítico em torno das próprias atividades observadas, uma vez que estas não
corresponderam ao objetivo traçado pela pesquisadora.
A partir dessa análise foi proposto um planejamento de novas atividades, proposta esta
feita em conjunto com a professora de onde surgiram novas análises e novos
planejamentos. Esse processo foi composto por quatro atividades, cada uma planejada
analisada e replanejada, desta forma foi desenvolvido um ciclo sucessivo como propõe
Fiorentini e Lorenzato (2006) que associam os momentos da pesquisa-ação ao
movimento de uma espiral auto-reflexiva.
Neste contexto houve o envolvimento da investigadora dentro do campo de estudo no
processo de coleta de dados, deixando claro o objetivo da investigação como destaca
Marconi (1996, p. 82), “O objetivo inicial seria ganhar a confiança do grupo, fazer os
indivíduos compreenderem a importância da investigação, sem ocultar seu objetivo”.
A turma participante da atividade investigativa e interventora é composta por 35 alunos
que foram divididos em dupla para a realização dos trabalhos por se considerar a forma
mais adequada à proposta da investigação. Inicialmente a pesquisa aconteceu durante
o horário normal da aula, sendo posteriormente, a partir das atividades de intervenção,
desenvolvida em turno oposto. Esta mudança ocorreu devido à alteração constante do
horário de aulas da escola sendo que na ultima alteração houve incompatibilidade de
horários com outras atividades já desenvolvidas paralelamente pela pesquisadora.
Todas as atividades de intervenção foram desenvolvidas dentro do conteúdo já
programado pela professora regente a ser trabalhado na unidade. As atividades aqui
trabalhadas compreendem NÚMEROS RACIONAIS: Representação decimal dos

24. 24
números racionais e representação percentual dos números racionais, e INTRODUÇÃO
AOS NÚMEROS IRRACIONAIS.
A primeira atividade foi composta por três problemas baseados no conteúdo que estava
sendo estudado (Representação decimal dos números racionais) selecionados do livro
didático adotado pela escola e utilizado em sala de aula. Esta atividade teve como
objetivo analisar além da capacidade do aluno na leitura e interpretação de textos
matemáticos, os problemas apresentados pelo livro didático.
A segunda atividade envolveu o conteúdo Representação percentual dos números
racionais. A partir da análise da primeira atividade se propôs uma nova perspectiva de
trabalho onde se priorizou a leitura e interpretação de texto bem como a
contextualização do conteúdo a ser trabalhado para que o aluno tivesse uma melhor
compreensão do assunto. Nesta etapa se buscou a mobilização do aluno na
socialização de suas idéias e estratégias tanto na escrita como oralmente.
A terceira atividade ainda aborda o conteúdo trabalhado na segunda. Foi selecionado
um problema proposto pelo livro didático que envolve imposto de renda sendo feitas
algumas adaptações na abordagem deste problema. Nesta etapa se pretendeu fazer
um estudo prévio com caráter investigativo do assunto abordado pela questão para só a
partir deste estudo se fazer a resolução do problema.
A quarta atividade foi desenvolvida com a finalidade de introduzir números irracionais e
traz uma atividade de caráter investigativo.
3.3. Diário de Bordo
É um instrumento de coleta de dados que permite ao investigador anotar durante as
observações os acontecimentos observados. Segundo Fiorentini e Lorenzato(2006):

25. 25
É um dos instrumentos mais ricos de informação durante o trabalho de campo.
É nele que o pesquisador registra observações de fenômenos, faz descrições
de pessoas e cenário, descreve episódios ou retrata diálogos (FIORENTINI;
LORENZATO, 2006 p. 119).
Durante a observação participante nas reuniões de planejamento e durante as
atividades em sala de aula foi utilizado o diário de bordo. Nas reuniões foram feitas
anotações em torno das propostas de ensino do professor e das intervenções proposta
pelo investigador, e na sala de aula registramos observações em torno da exposição e
execução das atividades que foram propostas. Neste contexto foi observado o diálogo
dos alunos entre si e com o pesquisador a cerca da comunicação matemática: como
interpretaram e compreenderam os enunciados do problema e como desenvolveram as
estratégias para chegar ao resultado.
3.4. Documentos escritos pelos alunos
Segundo Guba e Lincoln (apud Ludke; André, 1986) o uso de documentos em pesquisa
apresentam vantagens por constituírem numa fonte de riqueza e estabilidade que
resiste ao longo do tempo podendo serem consultados várias vezes, e, inclusive servir
como base para outros estudos.
Para isto, foi solicitado dos alunos que fizessem anotações durante a execução das
tarefas a cerca de como entenderam o problema, quais estratégias utilizaram para a
resolução do problema e da apresentação dos resultados obtidos. Nesta etapa
pretendeu-se analisar os documentos escritos pelas duplas considerando aspectos
como a capacidade de leitura e interpretação do enunciado do problema e também, da
capacidade da linguagem escrita.
Dentre os 35 alunos que compõe a sala de aula apenas 10 alunos, ou seja, cinco
duplas foram selecionadas previamente e de modo aleatório para a coleta de
documentos para análise de todas as atividades. Todos os alunos tiveram
conhecimento desta metodologia de trabalho havendo um entendimento da turma. Esta

26. 26
estratégia foi utilizada por se entender que um número maior de material poderia
dificultar o processo de análise, já que se trata de uma pesquisa de cunho qualitativo
dentro de uma complexidade e se pretendeu obter uma maior qualidade nas análises
desses documentos; bem como um controle maior da evolução/contribuição das
atividades. Contudo, quando foi utilizada a transcrição de alguns diálogos nas
atividades de intervenção são mencionados outros alunos uma vez que a intervenção
foi feita coletivamente.

27. 27
CAPÍTULO IV
ANÁLISE DE DADOS E INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS
Os resultados deste estudo estão organizados em três etapas. A primeiro corresponde
à entrevista realizada com a professora; Na segunda etapa serão analisadas as
atividades propostas e desenvolvidas pela professora; e a terceira discorrerá sobre as
atividades de intervenção propostas pela pesquisadora em conjunto com a professora e
estão classificadas em atividade 1, atividade 2, atividade 3 e atividade 4.
4.1. Um olhar sobre o ensino aprendizagem dos alunos – A visão do professor
A entrevista com a professora regente ocorreu no próprio espaço da escola lócus da
pesquisa. Os pontos foram abordados tomando como base um roteiro pré-estabelecido
(ANEXO 1). Houve algumas mudanças na direção das perguntas ao longo da conversa,
como era de se esperar, por se tratar de uma entrevista semi-estruturada. Com esta
dinâmica foi possível construir um mapeamento referente ao trabalho da professora,
seus anseios e atitudes diante de sua metodologia de ensino.
Através da entrevista realizada com a professora pôde-se observar que existe uma
preocupação com a escolha da metodologia de trabalho. Existe uma sintonia com a
proposta trazida pela pesquisa quando a mesma destaca a resolução de problemas e a
e o uso da linguagem como aspectos importantes para a aprendizagem de matemática.
“Considero importante, primeiramente que os alunos tenham domínio das operações, de resolução de
problemas e interpretação da linguagem”.

28. 28
Entretanto há uma incoerência entre as falas, pois é relatado que dificilmente se
trabalha através de resolução de problemas.
“Raras vezes trabalho com resolução de problemas”.
Percebe-se uma compreensão equivocada quanto à utilização de novas metodologias
de ensino quando a escassez de material é apontada como causa da falta de
criatividade para a utilização de uma nova metodologia e que na maioria das vezes as
aulas transcorrem através de aulas expositivas, considerando que o importante é que
durante a aula se use uma linguagem acessível ao aluno.
“Ninguém nos disponibiliza material, falta fonte para se trabalhar com metodologias diferentes todos os
dias. Mas eu acredito que o importante é usar uma linguagem simples na explicação dos conteúdos para
que o aluno entenda. Muitas vezes isso é mais eficiente que qualquer tipo de metodologia, às vezes
funciona até melhor que utilizar material concreto, por exemplo”.
Sobre a abordagem dos conteúdos matemáticos através de resolução de problemas,
Bicudo entende que:
[...] Ensinar matemática através da resolução de problemas é a abordagem
mais consistente com as recomendações do NCTM e dos PCN, pois conceitos
e habilidades matemáticas são aprendidos no contexto e resolução de
problemas (BICUDO, 1999, p. 207).
Quanto às atividades em grupo há uma ênfase na aprendizagem individualizada,
todavia a comunicação das experiências matemáticas entre os alunos é considerada
importante.
“Trabalho mais individualmente. Às vezes trabalho com eles também em grupo ou em dupla, mas é raro.
Porque eles ficam muito acomodados, uns se encostando aos outros e sempre quem acaba fazendo a
atividade é aquele que sabe mais, então o que sabe menos não aprende.”

29. 29
“Sim, considero importante que eles se comuniquem. Porque um pode transmitir o que aprendeu para o
outro. Eles aprendem uns com os outros. Outro dia quando um aluno foi no quadro resolver uma questão
e explicou como fez, outro aluno falou: ‘Ah! professora agora eu já sei responder’”.
Sobre essa comunicação Toledo (1997), orienta que após o aluno resolver um
problema sozinho se deve formar duplas para a discussão das idéias e estratégias
utilizadas, pois isso ajuda o aluno a se expressar e entender o ponto de vista de outras
pessoas. Já para Cavalcante (2001, p. 127) para que se exista a comunicação oral a
resolução dos problemas deve ser feita em grupos. A autora diz que “[...] Propor que
resolvam em pequenos grupos é uma forma de assegurar que todas as crianças falem
e sejam ouvidas, recebendo do interlocutor suas opiniões”.
Quando perguntada sobre os critérios utilizados para a seleção dos problemas a serem
trabalhados em sala de aula, a professora diz que procura fazer todos os problemas
trazidos pelo livro didático, embora em outro trecho da entrevista diga que estes
problemas trazidos pelo livro estejam com alto nível de dificuldade, inclusive para o
próprio professor.
Diniz (2001, p. 101) traz uma reflexão em torno dos problemas dos livros didáticos.
Segundo ela, “é preciso destacar que não é possível realizar o trabalho que se propôs
com todos os problemas de livro. Há problemas tão pobres e desinteressantes, que não
permitem qualquer exploração”. Esta dinâmica será percebida ao longo da pesquisa.
Com referência à exploração de problemas existe um entendimento de que o aluno
deve ler o problema e interpretá-lo para descobrir as estratégias de resolução.
“Como eu exploro? Ah, o aluno deve primeiramente ler o problema, depois interpretar para descobrir
quais as operações que ele deve utilizar para resolver o problema”.
Existe uma coerência entre fala da professora, a proposta da pesquisa e com o que
defende Carvalho (2005 p. 18). Para a autora “Na resolução de problemas, o aluno

30. 30
deve ler e interpretar as informações nele contidas, criar uma estratégia de solução,
aplicar e confrontar a solução encontrada [...]”.
Outra observação considerada relevante diz respeito ao fato de ser dito que é
priorizado mais a escrita do que a oralidade.
“O que eu puder fazer para que eles se comuniquem eu faço, embora seja raro. Quando estimulo a
comunicação, desenvolvo mais a escrita, mas também trabalho com a oralidade”
Considera-se que ambas sejam importantes para a aprendizagem dos conceitos
matemáticos. Como ressalta Cândido (2001, p. 23) “... A escrita junta-se ao oral e ao
desenho pra ser usada como mais um recurso de representação das idéias dos
alunos”.
Quanto à linguagem, oralidade e comunicação, a professora aponta que os alunos que
se comunicam têm mais facilidade na resolução dos problemas o que reforça a teoria
de Carvalho (2005) que destaca que a linguagem desempenha um papel fundamental
na resolução de problemas matemáticos.
4.2. Uma visão do contexto de sala de aula
Após a entrevista, foi realizada uma observação das atividades realizadas pela
professora em sala de aula que tinha por objetivo analisar a capacidade do aluno em
ler, interpretar e compreender textos matemáticos.
Esta observação teve duração de duas semanas e traz alguns elementos que precisam
ser considerados:
1)As atividades foram aplicadas após uma aula expositiva;
2) O livro didático foi utilizado como base para a seleção das atividades;

31. 31
3) Nessas atividades foram trabalhadas questões mais tradicionais e diretas como, por
exemplo: Escreva as frações abaixo na forma decimal, Destaque as dízimas periódicas
simples das compostas;
4) Não houve resolução por parte dos alunos
5) A resolução foi feita pela professora no quadro ela mesma fazendo a leitura das
questões e buscando a participação dos alunos na interpretação das mesmas.
O método de resolução de problemas aqui não foi utilizado, havendo apenas resolução
de exercícios, contradizendo esta situação Carvalho (2005), diz que é importante
contextualizar as operações a serem trabalhadas em uma atividade sob pena de se
está apenas reforçando um exercício.
Durante esta observação percebeu-se que foram poucos os alunos que participaram
efetivamente da aula e estes alunos apresentaram certa facilidade de comunicação
oral.
Não foi possível fazer uma análise atendendo ao primeiro objetivo da pesquisa através
das atividades que foram trabalhadas durante as aulas como previsto, ou seja, não foi
possível detectar nesse momento se os alunos seriam capazes de compreender os
enunciados de problemas. Diante disso surgiu a proposta de desenvolver uma nova
atividade onde se pudesse fazer esse tipo de análise.
4.3. Atividades de Intervenção
4.3.1. Atividade 1 – Representação decimal dos números racionais
Essa atividade foi desenvolvida no horário normal de aula. A turma foi dividida em dupla
e entregue para cada dupla uma folha com as questões e mais duas folhas em branco

32. 32
onde eles deveriam fazer as anotações. Antes do início do trabalho, foram escolhidas
aleatoriamente 05 (cinco) duplas para recolhimento das atividades. A orientação da
atividade era feita pela pesquisadora e professora havendo um acompanhamento maior
da pesquisadora com as duplas selecionadas que foram classificadas em:
JA e WD - LE e JAN - MAY e MA - LU e RAF - JAC e RAV
Os códigos acima foram adotados diante da necessidade de preservação da identidade
dos alunos participantes da pesquisa como orientam Fiorentini e Lorenzato (2006) que
defendem que no relato de pesquisa é necessário que se preserve a integridade física e
a imagem pública dos sujeitos. Para a identificação da fala da pesquisadora durante os
diálogos foi utilizada a letra P.
Foram selecionados quatro problemas do livro didático4 utilizado em sala de aula e
solicitado aos alunos que lessem as questões propostas, escrevessem o que
entenderam e após a resolução explicassem como chegaram ao resultado. (ANEXO 2).
No desenvolvimento da atividade cada dupla leu também os enunciados em voz alta
para a pesquisadora.
A realização dessa atividade teve como finalidade analisar além da capacidade do
aluno de leitura e interpretação de enunciado dos problemas, a clareza das questões
apresentadas pelo livro didático, motivo pelo qual se decidiu utilizá-lo nessa etapa da
investigação.
4
BONJORNO, José Roberto. Matemática: fazendo a diferença/ José Bonjorno, Regina Azenha Bonjorno,
Ayrton Alivares –. 1 ed. – São Paulo: FTD, 2006.

33. 33
O primeiro problema pede para encontrar a média da idade e da altura das atletas de
um time de basquete através da leitura dos dados apresentados em forma de tabela.
Das cinco duplas, apenas duas (JA e WD, MAY e MA) leram e interpretaram o
problema corretamente como mostram os textos abaixo:
Interpretação da dupla JA e WD
Interpretação da dupla MAY e MA
Apesar de terem compreendido o enunciado do problema as duplas acima
apresentaram resultados errados. O resultado da soma da idade seria 103 que
dividindo por 5 teria como resultado da média da idade 20,6 anos. Ambas as duplas
apresentaram como resultado 2,6. A segunda dupla fez a soma corretamente errando
apenas na divisão enquanto que a primeira errou também na soma.

34. 34
JA e WD MAY e MA
Os alunos enfrentaram dificuldade em interpretar seus resultados, ou não se atentaram
para a verificação deste. Não cumprindo, desta forma, a última fase de resolução de
problema trazida por Polya (1978) e citado no início deste trabalho que trata da
verificação e interpretação do resultado, verificando se este está correto.
Houve uma intervenção no sentido de fazer com que esses alunos relacionassem suas
respostas com o que estava sendo solicitado no problema, verificando se havia ou não
uma relação entre as mesmas. Caso não houvesse eles deveriam analisar
cuidadosamente o problema e buscar uma nova estratégia de resolução.
JA e WD
P – A resposta foi qual?
WD – Dois vírgula seis.
JA – Que é a média da idade das jogadoras.
P – Certo. Jogadoras de que?
JA – De basquete.
P – Uma pessoa com menos de três anos de idade pode jogar basquete?
WD – Depende da disposição (risos).
JA – Não. São pequenininhas de mais, a resposta está errada.
MAY e MA
MA – Dois vírgula seis.

35. 35
P – Dois vírgula seis, o que?
MAY – Anos.
P – É uma criança não é?
MAY – É.
MA – Então ainda não joga basquete.
P – Exatamente. Isso mostra que nós erramos em algum lugar na divisão. Vamos fazê-la novamente?
MAY – Vamos.
Esta intervenção encontra embasamento no que diz Carvalho (2005, p. 20), “Se o
problema não tem insuficiência de dados e tem uma resposta, o que há são diferentes
estratégias para se chegar à solução, por isso o aluno deve ser questionado sobre a
forma como ele resolveu o problema para repensar a sua resposta”.
Os alunos cometem erros, por enfrentarem dificuldades em operar com número
decimal. Essas dificuldades são expressas pelos próprios alunos como se pode
observar pelos diálogos durante a intervenção do pesquisador:
JA e WD
P – Como vocês obtiveram um número decimal como resultado da soma?
JA – Porque na hora de dividir tivemos que colocar a vírgula entre o dois e o seis, por isso tinha que
colocar a vírgula também entre o 10 e o 3.
..........................................................................................................................................................
WD – Ah, mas eu não sei resolver essa conta não!!
JA – Professora a gente não sabe onde colocar a vírgula.
MAY e MA
MAY – E agora professora, como é que faz? Aqui tem uma vírgula, mas eu não sei como eu coloco. A
gente coloca um zero ou não?

36. 36
Após uma breve intervenção os alunos conseguem solucionar a questão sem
apresentarem muitas dificuldades. Sobre os erros do aluno e a intervenção do professor
Carvalho se manifesta:
O aluno que se sente acolhido pelo professor e pela classe não tem medo ou
vergonha de explicitar seu raciocínio, não tem medo de errar. Se o aluno erra
ao dar uma resposta e explica como “pensou” para encontrá-la, o professor
sabe onde e quando intervir, identificando as relações que o aluno está fazendo
para construir as respostas (CARVALHO, 2005, p. 20).
A dupla JA e WD encontraram a média da altura das jogadoras sem dificuldade, porém
a dupla MAY e MA ainda apresentaram dificuldade ainda com a operação com os
números decimais.
MAY e MA
Os alunos LE e JAN demonstraram dificuldade em compreender como se encontra a
média. Isso fica perceptível quando apresentaram como resultado da média da idade
das jogadoras 10,3. Resultado que após o aluno refazer a soma encontra o resultado
103. Para esses alunos o resultado da soma seria a média que após uma rápida
intervenção percebem que para encontrar a média tem que dividir pelo número de
jogadoras. A partir dessa intervenção os alunos fizeram a resolução encontrando
corretamente tanto a média da idade quanto a média da altura das jogadoras
apresentadas pela questão.

37. 37
A dupla LU e RAF de início não tentou resolver o problema, solicitando a ajuda da
pesquisadora. Uma das alunas que compõe a dupla apresentou resistência em resolver
o problema e se mostrou incomodada com a atividade demonstrando insegurança em
resolver os problemas propostos. Mesmo quando solicitado para que essa aluna fizesse
a leitura do problema ela resistiu.
LU – Professora, nós não estamos entendendo é nada! Meu Deus! Se eu soubesse que ia fazer esse
negócio aqui eu nem tinha vindo hoje.
P – Calma! Por que tanta angústia?
LU – Eu não entendo nada. Explique pra ela (apontando para a colega) porque eu não vou entender
mesmo.
....................................................................................................................................................
P – Leia a questão então.
LU – Não, a RAF lê. Vai RAF lê!
Essa dupla resolveu a questão com o auxílio da pesquisadora. Sobre esta situação
Toledo e Toledo (1997, p. 84) ressalta que “cabe ao professor criar um ambiente de
tranqüilidade, em que o aluno não tenha medo de estabelecer e testar hipóteses
mesmo correndo o risco de errar”. A autora ressalta ainda que cabe ao professor
também mostrar possíveis estratégias de resolução.
Já a dupla JAC e RAV nem tentaram resolver o problema nem aceitaram a ajuda da
pesquisadora.
JAC – Uns problemas, chatos, difíceis!
Percebe-se uma certa discriminação quanto ao problema proposto. Sobre isso Rabelo
(2002), traz uma reflexão:
Como a ênfase do ensino está na informação, procura-se fornecer o maior
número possível de problemas típicos. Mas esses são enfrentados com certa
discriminação pelo próprio fato de serem desconhecidos (RABELO, 2002 p. 64).

38. 38
O segundo problema pede para o aluno desenhar uma reta como todos os elementos
(origem e seta indicando o sentido positivo) adotando dois centímetros como unidade
de medida. Na letra a é solicitado que o aluno marque dois pontos que distem 6 cm da
origem e em seguida aponte qual é abcissa de cada um desses pontos. Na letra b,
pede que sejam marcados os pontos A, B e C de abcissas respectivamente iguais a -2,
+1 e +2 cm.
Apenas as duplas JA e WD, MAY e MA resolveram o problema, ambas com a
intervenção da pesquisadora. Os alunos alegaram não saber como resolver a questão e
mesmo com a ajuda se mostraram confusos na interpretação do problema. Os alunos
reclamam que a questão traz muita informação, e ainda apresentam desconhecimento
de algumas palavras contidas no enunciado do problema. Smole e Diniz atribuem essas
dificuldades enfrentadas pelo aluno à forma como os problemas são escritos:
O estilo no qual os problemas de matemática geralmente são escritos, a falta de
compreensão de um conceito envolvido no problema, o uso de termos
específicos de matemática que, portanto, não fazem parte do cotidiano do
aluno... – podem constituir-se em obstáculos para que ocorra a compreensão
(SMOLE; DINIZ 2001, p. 72).
P – Agora vamos entender.
WD – Professora é muita coisa que essa questão pede!
...........................................................................................................................................
P – Já leram?
MAY – Já, mas não entendemos. É muita coisa pra gente compreender.
Para essas duplas, foi solicitado que refizessem a leitura e a partir daí se auxiliou cada
uma na interpretação do problema direcionando os alunos a considerarem cada uma
das informações trazidas pela questão por parte. Ambas as duplas compreendem a
origem como sendo o zero. Os alunos JA e WD disseram não saber o significado da

39. 39
palavra extremidade, e a MAY e MA mostram não ter segurança do significado dessa
palavra.
JA e WD
WD – “... marque uma seta em uma das extremidades para indicar o sentido positivo...” Mas eu não sei o
que significa extremidade.
P – Vocês sabem o significado da palavra extremidade JA?
JA – hummm... Não
P – Extremidade, como o nome já diz é relativo aos extremos, ou seja, são as pontas da reta.
O aluno WD marcou uma seta em cada uma das extremidades da reta, considerando o
que foi explicado sobre o significado da palavra extremidade pela pesquisadora:
“Extremidade, como o nome já diz é relativo aos extremos, ou seja, são as pontas da
reta”. Houve uma priorização no que se escutou e não foi feito uma nova leitura do do
problema para compreensão do mesmo.
P – Porque você colocou a seta nas duas pontas?
WD – Porque são as duas extremidades.
Foi solicitado aos alunos que refizessem a leitura do problema e tentassem
compreender o que estava sendo solicitado:
P – Vamos entender a questão. Ela diz que é para colocar a seta onde mesmo?
JA– Em uma das extremidades.
P – Certo, e o que mais ela diz?
JA – Para indicar o sentido positivo.
P – Então onde fica a seta?
WD – Já sei, no sentido a direita do zero.
P – Isso! Agora tentem resolver a letra a
Após algum tempo os alunos chamam a pesquisadora e apresentam seu resultado e
justificando o mesmo.

40. 40
JA e WD
WD – Professora, eu já sei. Os dois pontos é três e menos três, porque a unidade de medida é dois
centímetros, como a distância é seis centímetros a gente divide por dois.
MAY e MA
P – E ela pede pra colocar a seta onde?
MAY – nas extremidades.
P – E vocês sabem o que são extremidades?
MAY – Aqui? (a aluna aponta para as duas pontas da reta)
Uma observação considerada relevante: A dupla marcou a seta no sentido negativo da
reta. Essa atitude não foi de desconhecimento dos alunos e sim de não ter feito uma
leitura correta do problema.
P – A questão pede pra colocar a seta em que sentido?
MAY – No sentido positivo.
P – E os valores que estão à esquerda do zero são positivos ou negativos?
MAY – Negativos.
P – Então, se eu quero colocar a minha seta no sentido positivo eu devo colocá-la pra que lado do zero?
MA – À direita.
Ambas as duplas disseram desconhecer o significado das palavras abscissas e
respectivamente. E isso fica claro nas respostas apresentadas.

41. 41
Para resolver a primeira questão, a Dupla MAY e MA desenhou uma reta com o
primeiro ponto a partir da origem representado pela letra B e o segundo ponto
representado pela letra A.
MAY e MA
P – Com esses pontos que você colocou a distância de zero a B é quanto?
MA – É dois centímetros.
P – E de A?
MA – Quatro centímetros.
P – E qual é a distância que a questão atribui de zero a cada ponto?
MAY – Seis centímetros, a questão diz “distem” que quer dizer distância não é?
Após a intervenção a dupla apresentou como resultado os pontos -3 e 3.
Na resolução da segunda questão, a dupla JA e WD desenhou a reta colocando o zero
no centro, coloca uma seta em cada uma das extremidades da reta e marca os três
pontos A, B e C, porém nenhum desses pontos são respectivamente iguais aos valores
-2, +1 e +2 como solicita a questão.
Os alunos explicaram (por escrito) que pelo que entenderam da questão teria que
colocar o ponto A antes do -2, o ponto B depois do -2 e o ponto C depois do +2. A partir

42. 42
da interpretação da resposta da dupla foi feita uma intervenção como mostra o diálogo
a seguir:
P – Agora a questão diz que esses pontos devem ter abscissas respectivamente iguais a...?
WD – A menos dois, um e dois.
P – Vocês sabem o que significa a palavra respectivamente?
JA – Eu não sei.
WD – Significa que vem depois, não é não?
P – Será?
P – Respectivamente significa que cada letra tem que se corresponder com cada número dado na ordem
em que estão.
WD – então o A tem que se relacionar com o dois...
P – Com o dois ou o menos dois?
WD – Ah, o menos dois, e o B com o um e o C com o dois. É isso?
A dupla MAY e MA se mostram confusos em resolver a segunda questão.
MA - Professora essa questão aqui é na mesma reta, não é?
Esse questionamento do aluno mostra que os problemas trazidos pelo livro didático
apresentam ambigüidade. O aluno só chega a uma conclusão de que não é possível
representar a situação apresentada na segunda questão na mesma reta que a situação
apresentada pela primeira, a partir de uma análise detalhada com ajuda do
pesquisador. De fato, o problema não deixa claro essa condição. Concordamos com
Diniz (2001) quando diz que não se pode atribuir o fracasso da resolução de um
problema convencional à falta de interpretação de textos do aluno. Existem casos que,
de fato existe uma imprecisão nos textos dos problemas a serem trabalhados.
O terceiro problema pede para verificar se a dízima 6,32455532... encontrada a partir
do cálculo de √40, é uma dízima infinita e periódica ou infinita e não periódica.

43. 43
Das cinco duplas selecionadas apenas uma (LU e RAF) não respondeu a questão. As
demais duplas utilizaram conhecimento adquirido durante a aula para sistematizarem
suas respostas.
Duas das quatro duplas (JA e WD, MAY e MA) afirmam que a representação é uma
dízima infinita e periódica. Esses alunos Justificam a infinidade da dízima pela
existência da reticência, e não periodicidade pela existência de partes não periódica.
A dupla JA e WD atribui a repetição do número 5 como sendo período, mas como
existem números antes e depois destes que não se repetem os alunos concluem que a
dízima é não periódica.
JA e WD
A dupla MAY e MA vão além e já atribuem essa dízima como sendo um número
irracional.
MAY e MA
Analisando a resposta da dupla LE e JAN se percebe que a resposta está confusa, não
se compreende o que de fato os alunos querem responder.

44. 44
LE e JAN
A partir de um diálogo com os alunos se constata que os alunos sabem qual a resposta,
porém apresentam dificuldade em se expressar na escrita. Rabelo (2002, p. 63) explica
essa situação lembrando que “Durante toda a tarefa da aprendizagem, o aluno
encontra-se constantemente sob ‘pressão verbal’ e por isso se esbarra na barreira
idiomática – a linguagem escrita”.
P – Qual é a resposta?
JAN – É uma dizima não periódica.
P – Por quê ela é não periódica?
LE – Ah porque os números não se repetem.
Pela resposta da dupla JAC e RAV se percebe uma falta de dedicação em responder a
questão, como que querendo concluir logo a atividade.
JAC e RAV
O quarto problema diz que a idade de Ana Paula dividida pela idade de Andréia gerou a
dízima 0,3888... e pede para que se encontre a idade de cada uma.
Para solucionar este problema os alunos teriam que encontrar como resultado uma
fração, onde o numerador seria a idade de Ana Paula e o denominador seria a idade de
Andréia. Nas atividades anteriores e que a professora quem respondeu no quadro
tinham questões que envolviam fração geratriz, porém tinham resolução de forma direta
como, por exemplo, encontre a fração que gerou a dízima 1,222...

45. 45
As duplas LU e RAF, JAC e RAV se recusaram a resolver o problema e as outras
duplas que se dispuseram a resolver o problema apresentaram dificuldade tanto na
compreensão do enunciado quanto na resolução. Pois este apresenta uma situação
diferente dos exemplos apresentados pelo livro e trabalhados durante a aula.
Os alunos JA e WD disseram não compreender o problema. Entenderam que o
problema lembra de fração geratriz pela palavra gerou. Embora eles lembrassem que
já haviam sido trabalhados em sala de aula exemplos de fração geratriz, não
conseguiram compreender que, no contexto do problema, o resultado da idade de Ana
e de Andréia forma uma fração que é a fração geratriz.
JA e WD
WD – Não entendemos essa questão.
P – Leia ela pra mim.
O aluno WD lê a questão corretamente
P – O que entendeu?
WD – Não entendi nada.
P – E você JA, entendeu o que?
JA – Também nada.
P – Lembram que a professora trabalhou com vocês em sala a fração geratriz?
JA – Sim.
P – Essa questão lembra a vocês alguma coisa sobre fração geratriz?
W – Sim, existe a palavra gerou que significa gerar como a professora falou.
P – Isso!!
WD – Mas lá a gente achava uma fração, aqui ta pedindo pra achar a idade!
A dupla LE e JAN não compreenderam o problema e mesmo quando os alunos foram
orientados pela pesquisadora mostraram total desconhecimento do assunto. É como se
nunca tivessem visto o conteúdo.
P – Vocês podem ler a questão pra mim?
A leitura foi feita pelo aluno LE

46. 46
P – O que é que ela está pedindo?
LE – Não sei, eu não lembro desse assunto.
..........................................................................................
P – Mas vocês sabem o que quer dizer fração geratriz?
J AN – Também não.
Após a intervenção da pesquisadora os alunos entenderam que o problema tem como
solução uma fração, onde o numerador é a idade de Ana Paula e o denominador é a
idade de Andréia, porém mesmo assim disseram não saber como resolver.
P – A idade de Ana Paula dividida pela idade de Andréia... Isso não pode ser representado por uma
fração?
LE – Pode.
P – por que?
LE – Por que um ta dividindo pelo outro.
P – E quem está no numerador e quem está no denominador?
LE – Eu não lembro disso.
P – E você JAN?
JAN – Não
P – O numerador fica sobre o denominador. Então vocês podem me dizer onde fica o número que
representa a idade de cada uma?
LE – Sei não.
P – Qual idade vai ser dividida?
JAN – A idade de Ana Paula. Então é ela que fica em cima?
P – Sim, o número que divide é sempre o numerador.
LE – Entendi, mas eu não lembro como se resolve a fração geratriz
P – Você não lembra como acha a geração geratriz, é isso?
LE – Sim.
MAY e MA
A dupla leu e interpretou corretamente a questão, porém apresentou dificuldade na
resolução pelo fato do problema apresentar uma dízima com parte não periódica.
MAY – Professora eu compreendi a questão só que eu não sei como resolver porque tem uma parte não
periódica e a gente não aprendeu fazer assim.
P – O que vocês entenderam?

47. 47
MAY – Aqui nós vamos ter que encontrar uma fração, não é isso?
P – E você sabe como faz?
MAY – Não
MA – Nós nunca fizemos um exemplo com essa parte não periódica aqui.
Como todos os alunos apresentaram grandes dificuldades com o problema foi feita uma
intervenção da pesquisadora fazendo a leitura e resolução do problema no quadro com
a participação dos alunos na leitura e no processo de resolução. Segundo Carvalho
(2005), para que o aluno possa ler e entender o problema é interessante que esse
problema seja explorado oralmente.
Processo de resolução do problema:
x = 0,3888
100x = 38,88
(nessa etapa com a resolução que foi trabalhada em sala de aula era só
subtrair a 2ª linha pela 1ª para encontrar 99x e do outro lado da igualdade
apenas o número inteiro. O que nessa questão não é possível, pois existe
na dízima uma parte não periódica, necessitando para isso mudança de
estratégia. Tarefa que nenhuma das duplas conseguiu fazer)
x = 0,3888
100x = 38,88
100x = 38 + 0,88 → x = 0,88 → 10x = 8,88 → 9x = 8 → x = 8/9
100x = 38 + 8
9
900x = 342 + 8
900x = 350
x = 350
900
x=7
18

48. 48
Todos os alunos apresentaram dificuldade em compreender o mmc, alegando que
nunca estudaram esse assunto. Foi necessário se trabalhar o processo de resolução de
mmc para solucionar o problema.
Alguns alunos ainda enfrentam dificuldade em apontar a idade de Ana Paula e a idade
de Andréia.
A partir dessa análise houve um planejamento de uma atividade com uma nova
perspectiva, onde há a priorização de trabalhar o conteúdo através da leitura e
interpretação de texto desta forma contextualizando o conteúdo a ser trabalhado.
4.3.2. Atividade 2 – Representação percentual dos números racionais
Nesta etapa se introduziu o conteúdo através de um texto com a finalidade de discutir o
conteúdo dentro de um contexto. Para isso foi selecionado um texto que trata da
inflação dos preços dos ingressos no Campeonato Paulista, extraído da Folha Online
em 12 de abril de 2008 (ANEXO 3). A escolha deste texto teve como critério a busca de
um material em que se pudesse abordar o conteúdo a ser estudado e que tivesse uma
linguagem acessível ao nível escolar dos alunos. Segundo Dante (2005, p. 24) 5, “Os
alunos podem melhorar a leitura e interpretação de textos lendo notícias de jornais e
revistas que contenham dados numéricos”.
Para direcionar o estudo foram estabelecidas as seguintes estratégias metodológicas:
• Leitura (em dupla) do texto e discussão sobre o tema abordado;
• Escrita da interpretação de cada dupla;
5
Manual Pedagógico do Professor

49. 49
• Discussão do texto com mediação da professora (Socialização da interpretação
de cada dupla);
• Análise do texto tendo como orientação algumas questões exploratórias;
• Estudar, a partir das questões exploratórias, as formas de resolução de
porcentagem.
Inicialmente, foi solicitado aos alunos que, lessem o texto discutissem entre si, em
seguida escrevessem o que entenderam. Para Smole (2001, p. 47) “... Desenvolver
habilidades de leitura e escrita deve ser tarefa de todos os professores em qualquer
área do conhecimento”. Segundo a mesma autora o trabalho de escrita em sala de aula
leva o aluno a descobrir a importância da língua escrita enquanto aprendem as idéias
matemáticas.
4.3.2.1. A escrita – Interpretação do texto
A maioria das duplas apresenta as interpretações em forma de resumos, mostrando
apenas cópias de trechos do texto e não a compreensão do aluno em relação ao texto.
Isso demonstra a pouca habilidade do aluno em compreensão de texto, ou de se
expressar através da escrita. O que coube algumas intervenções.
LU e RAF

50. 50
Smole (2001, p. 41) se manifesta à cerca da escrita da seguinte forma: “A escrita em
matemática também é marcada por idas e vindas, no qual os cuidados do professor são
determinantes[...]” Já sobre compreensão de texto essa mesma autora diz que a
compreensão de um texto é difícil por envolver interpretação. Decodificação, análise,
síntese, seleção e autocorreção. Quanto maior a compreensão do texto mais o leitor
poderá aprender a partir da leitura deste texto.
Algumas duplas apresentam, ainda que discretamente, uma interpretação própria como
pode ser observado nos textos abaixo:
Primeiro parágrafo – JA e WD
Primeiro parágrafo – MAY e MA
Primeiro parágrafo – LE e JAN

51. 51
Embora o estudo tenha sido em dupla as respostas têm características individuais como
“entendi que” com exceção da interpretação apresentada pela dupla MAY e MA que
traz uma impessoalidade no texto mostrando uma interpretação própria.
Como mostram os textos acima, os alunos JA e WD entenderam que o aumento do
valor dos ingressos aumentam por conta dos clássicos, enquanto que LE e JAN
disseram que o que aumenta são as vendas do ingresso; ambas as duplas fizeram uma
interpretação equivocada do texto.Sobre interpretação de texto koch diz:
[...] atividade de interpretação do texto deve sempre fundar-se na
suposição de que o produtor tem determinadas intenções e de uma
compreensão adequada exige justamente, a captação dessas intenções
por parte de quem lê: é preciso compreender-se o querer dizer com um
querer fazer (KOCH, 2006, p. 160).
Ainda sobre interpretação de texto Bicudo (1999) diz que o aluno age, observa e
seleciona os aspectos que mais chamam sua atenção estabelecendo relações dos
aspectos do objeto de estudo até chegar uma interpretação própria. E a autora faz um
alerta para os resultados desta interpretação. “Este processo é complicado e a
interpretação pode não ser a esperada pelo professor; como os ‘tropeços’ fazem parte
da construção do conhecimento, são acolhidos como naturais” (p.158).
De fato os resultados obtidos não foram os esperados. Diante disso foram elaboradas
duas questões que direcionassem a interpretação dos alunos e em seguida foram
iniciadas as discussões a partir de uma nova leitura do texto.
A primeira questão trazia uma pergunta direta sobre o tema principal do texto. São
apresentadas algumas respostas consideradas relevantes
JA e WD

52. 52
LU e RAF
MAY e MA
A primeira dupla apresentou uma visão geral do texto. A segunda seguiu os passos da
primeira, entretanto cometeu um equívoco dizendo que o texto fala dos aumentos dos
ingressos. A resposta pode levar o leitor a entender que o texto fala do aumento da
quantidade de ingressos vendidos. A terceira dupla também mostrou uma interpretação
equivocada quando disse que são os preços da meia-entrada que estão alto. Esses
equívocos mostram que os alunos não compreenderam com clareza o tema abordado
pelo texto.
Na segunda questão foi perguntado sobre a causa do aumento dos ingressos para as
semifinais do Paulista.
Foram apresentadas respostas diferentes, o que dá um entendimento de que cada
dupla interpretou um texto de forma peculiar. Os alunos JA e WD que já tinham
respondido no primeiro momento da interpretação do texto continuaram afirmando que
o aumento dos ingressos é devido o aumento de clássicos, a dupla MAY e MA disseram
que é por conta do aumento de ingressos pago com carteira de estudante, enquanto
que LU e RAF entendem que o aumento foi devido a não apresentação das carteiras de
estudante nos estádios.

53. 53
4.3.2.2. A oralidade – Discussão do texto
Após a escrita foi solicitado que cada dupla apresentasse sua interpretação fazendo a
leitura do seu texto e respondendo as questões que lhes foram propostas. Cada dupla
leu o que havia entendido do texto e foi feita uma discussão, sobre o tema abordado
com mediação da pesquisadora onde foi apontado pelos alunos que existia um
conteúdo matemático presente no texto e que se tratava de porcentagem.
Alguns alunos se mostraram entusiasmados em lê e outros apresentaram medo ou
timidez de expor suas idéias em relação ao texto, chegando a pedir para o colega fazer
a leitura, porém durante o trabalho em dupla esses alunos discutiram sobre o texto
naturalmente. A atitude desses alunos reforça a proposta da pesquisa de levar os
alunos a desenvolverem os trabalhos em dupla. Essa postura é defendida por
Cavalcante quando diz:
As crianças que não gostam de se expor nos momentos de discussão na classe
precisam de um espaço assegurado de discussão nos grupos e duplas. Essa é
uma forma de garantir que falem e sejam ouvidas, opinem e recebam
sugestões e pontos de vista de seu interlocutor (CAVALCANTE, 2001, p. 127).
Iniciou-se a discussão do texto onde cada dupla defendeu suas idéias como se observa
através do diálogo a seguir:
P – Quem quer ler a letra b?
WD – “Segundo o texto, qual a causa do aumento do valor do ingresso para as semifinais do paulista?”.
WD – Eu respondi que é porque agora os estádios estão maiores, estão tendo mais clássicos e mais
reformas nos estádios do Rio de Janeiro e em São Paulo.
MAY - Mas não é por isso não!
WD – É sim. Porque o texto também fala dos clássicos, por isso que a gente colocou essa resposta.
P – E qual foi a outra resposta?
MAY - Porque a maioria dos ingressos é vendida com carteira de estudante.

54. 54
Foi feita uma nova leitura do texto em voz alta por um dos alunos e a partir daí se
desencadeou uma nova discussão. Ao se discutir novamente o texto alguns alunos
alegaram desconhecimento do significado das palavras majoração, tendência,
disseminação e defasagem. A partir da nova interpretação todos concluíram que o
aumento dos ingressos era provocado em parte pelo aumento de ingressos vendidos
pela metade do preço (meia-entrada), o que para os clubes não é rentável. Concluíram
ainda que um dos meios utilizados para se pagar meia-entrada é com a apresentação
da carteira de estudante.
4.3.2.3. Resolução de problemas a partir do texto
Seguindo a orientação de Dante (2005), que diz que após solicitar a leitura de um texto,
o professor pode formular questões e problemas sobre ele. Após a discussão do texto
através de elementos não exatamente matemáticos, foi feita uma análise do texto a
partir da resolução de alguns problemas.
O primeiro problema que traz as informações presentes no segundo parágrafo do texto,
diz que o preço mínimo do preço da arquibancada subiu de R$ 15,00 para R$ 20,00.
Pede para aluno dizer de quanto foi o aumento e se esse aumento pode ser
representado em porcentagem.
Como era de se esperar, os alunos não apresentaram dificuldades em responder o
valor do aumento, inclusive justificando a resposta.
Quanto à segunda pergunta, após resolver o problema, a dupla JA e WD diz que não é
possível representar o valor em porcentagem dando seguinte justificativa: “Não, porque
a gente encontra um período e não uma porcentagem”.

55. 55
Nesse momento o aluno ainda não entendia que o valor em decimal poderia ser
representado em forma de percentual. Os demais alunos disseram que sim, é possível
encontrar um valor percentual, porém não justificaram.
Todos os alunos utilizaram o processo de razões equivalentes como estratégia de
resolução, conhecimento já adquirido em séries anteriores. Embora a estratégia
utilizada tenha sido a mesma cada dupla apresentou resultados diferentes como pode
ser observado nas figuras a seguir:
LE e JAN MAY e MA

56. 56
LU e RAF JAC e RAV
Em seguida cada dupla apresentou seus resultados e estratégias de resolução, pois
segundo Cândido:
A oportunidade para os alunos falarem nas aulas de matemática faz com que
eles sejam capazes de conectar sua linguagem, seu conhecimento e suas
experiências pessoais com a linguagem da classe e da área do conhecimento
que se está trabalhando (CÂNDIDO, 2001, p. 17).
A dupla LE e JAN apresentaram 133; MAY e MA, 133,33; LU e RAF, 1,333...; JA e WD,
133,3; e JAC e RAV, 1333. Os alunos utilizaram todos os dados contidos no problema,
contudo um dos dados que eles deveriam utilizar não estava explícito no problema.
RESOLUÇÃO CORRETA: 5/15 = x/100 → 15x = 500 → x = 33,33, logo houve um
aumento de 33,33%
LU – A gente pegou os dois valores que a gente tinha que é quinze reais e vinte reais, aí ficou quinze
sobre vinte e fez a conta por cem sobre x que é o valor desconhecido que a gente quer encontrar.
P – E os outros como entenderam?
MA – Nós entendemos assim também.
P – E os outros?
WD – Eu não entendi esse problema não

57. 57
Os demais alunos responderam que entenderam da mesma forma que LU e RAF.
Todos apresentaram resultados errados devido a um erro de estratégia de resolução
fruto de uma compreensão equivocada do problema. Segundo Bicudo (1999, p. 157) “A
falta de compreensão pode chegar a ponto de impedir que a informação tenha algum
significado para o aluno e de comprometer sua transformação em conhecimento”.
Como a maioria dos alunos teve a mesma compreensão do problema e utilizou a
mesma estratégia de resolução, o trabalho do erro aconteceu de maneira coletiva,
ajudando os alunos na interpretação do problema e fazendo com que eles
descobrissem que os resultados apresentados estavam errado e que deveriam buscar
outra estratégia.
Uma observação interessante: diante da proposta de se fazer uma nova leitura do
problema e buscar um outro olhar na interpretação, um aluno fez um questionamento:
MA – Professora, mas é assim mesmo que resolve. No problema a gente só tem dois valores: o quinze e
o vinte que fica quinze sobre vinte, e a gente coloca o x sobre cem pra dizer que é a porcentagem. Não
tem outro jeito de resolver.
Esse questionamento do aluno nos remete ao que diz Stancanelli (2001) quando trata
de problemas sem solução. Segundo ela quando se trabalha com esse tipo de
problema ajuda o aluno a aprender a duvidar, e que isso faz parte do pensamento
crítico. No nosso caso o problema tem solução, mas o aluno duvida da existência de
uma nova solução para o problema deixando claro que tem uma posição quanto à
situação envolvida. Para Cândido (2001), se os alunos são encorajados a se comunicar
matematicamente, eles têm a oportunidade de organização de pensamento e aquisição
de novos conhecimentos.
Através de uma nova leitura e interpretação, os alunos identificaram os elementos
contidos no problema discernindo quais elementos deveriam usar e como deveriam ser
usados. Dessa forma refletiram o que de fato se estava procurando e assim chegaram à
solução do problema. Desta forma os alunos utilizam todos os estágios propostos por

58. 58
Polya (1978): compreensão, estabelecimento e execução de um plano, e verificação da
solução.
MA – O aumento do ingresso foi de cinco reais.
P – E você quer encontrar o que mesmo?
MA – A porcentagem.
.........................................................................................................................................................................
P – E essa porcentagem representa que valor?
JAC – Cinco reais.
P – Que foi o aumento, não é isso?
JAC – É.
.........................................................................................................................................................................
P – E esse aumento foi em cima de que?
JA – De quinze reais.
P – Certo. Então como deve ficar a minha primeira fração?
JA – Ah!! Então é cinco sobre quinze.
.........................................................................................................................................................................
P – A outra fração representa o que?
Os alunos ficam em silêncio
P – A outra fração representa a por...
MAY – Porcentagem.
P – Isso. E como é que a gente representa essa fração?
RAF – Cem sobre x.
....................................................................................................................................................................
P – Vamos supor que eu tenha isso aqui, (escrevo 2% no quadro) como eu leio?
ALUNOS – dois por cento
P – O que quer dizer a palavra “cento”?
KE – Cem.
P – Isso, cem. E se eu digo dois por cento, eu quero dizer o que?
MA – Que é dois por cem.
P – E como eu represento isso sobre fração?

59. 59
RO – Dois sobre cem.
P – Então voltando para o nosso problema, eu quero encontrar uma porcentagem não é? Então o
número que eu quero achar tem que ser sobre cem. Certo?
ALUNOS – Certo.
P – Então a minha segunda fração é o valor que eu quero achar sobre cem. É isso mesmo?
ALUNOS – É.
P – E eu tenho esse valor sobre cem?
MAY – Não, é o que nós vamos achar.
P – Como eu não sei ainda quem é esse valor eu o chamo de que?
WD – De x. Então a fração fica x sobre cem.
O segundo problema que traz um trecho do nono parágrafo do texto diz que no estádio
do Morumbi 48% dos 41.211 bilhetes no clássico de São Paulo com o Corinthians
foram vendidos com meia-entrada. Daí surge a pergunta em relação ao número de
meia-entrada que foi vendido no estádio.
Este problema foi resolvido sem dificuldades em relação ao conceito de porcentagem.
Embora o problema apresente um dado com um valor relativamente alto e não tenha o
mesmo formato do problema anterior, os alunos resolveram-no sem embaraço. Isso
mostra já existe uma compreensão no processo de resolução de problemas envolvendo
porcentagem.
Após o problema ter sido resolvido utilizando o processo de resolução em que os
alunos já estavam habituados (processo de razões equivalentes) os alunos utilizaram
outro processo de resolução: primeiro transformando a porcentagem em um número
decimal e em seguida multiplicando pelo valor dado. Desta forma eles perceberam que
existe uma outra forma de resolver um problema envolvendo porcentagem e
compreenderam melhor que um número racional também pode ser representado em
forma percentual.

60. 60
Foram resolvidos outros problemas de forma manual e também utilizando a calculadora
com a finalidade de desenvolver a habilidade dos alunos também em operar esse
instrumento. Para Dante6:
[...] Quando a criança já tiver dominando as várias idéias associadas às
operações e o relacionamento entre as operações e suas regras de cálculo, é
importante iniciá-la no uso da calculadora. Esse instrumento é mais um recurso
didático que pode ser utilizado para facilitar a aprendizagem da Matemática.
(DANTE, 2005, p. 21)
4.3.3. Atividade 3 – Representação percentual dos números racionais – Dando
significado aos problemas do livro didático
A atividade anterior teve uma boa contribuição para a aprendizagem dos alunos no que
diz respeitos aos conceitos de porcentagem. Porém, houve a necessidade de se
trabalhar algo que envolvesse uma maior complexidade.
Diante disso foi selecionado um problema trazido pelo livro didático escola já citado
anteriormente, onde aborda imposto de renda (ANEXO 4). O problema traz uma tabela
de Imposto de Renda referente a 2005 e pede para calcular primeiramente o valor do
imposto a ser pago por um contribuinte que tenha tido uma renda líquida de R$
2.500,00, e depois calcular o valor pago pelo mesmo contribuinte caso ele tivesse
ganho R$ 200,00 a menos. O problema fornece a fórmula para resolução: i (base de
cálculo) . alíquota – parcela a deduzir.
A proposta do trabalho não foi fazer a resolução do problema de forma mecânica, mas
dar um significado a este problema e assim contribuir para uma aprendizagem
significativa. Primeiramente foi feito um estudo sobre o conceito de Imposto de Renda
para só depois foi realizado o trabalho de resolução do problema.
6
Manual Pedagógico do Professor

61. 61
Inicialmente foi solicitado aos alunos que respondessem qual o significado das palavras
imposto e renda separadamente.
Embora não se tenha trabalhado ainda a idéia de Imposto de Renda, os alunos MA e
MAY trouxeram em sua resposta uma relação de imposto com o salário do cidadão.
Já os alunos JA, WD, LE e JAN entendem imposto como sendo juros.
JA e WD
LE e JAN
Os alunos apresentaram suas respostas, daí se surgiu uma discussão a cerca da
palavra, chegando a conclusão de se trata de uma taxa que o cidadão paga ao
governo.
Algumas colocações dos alunos merecem destaque:
WD – Minha mãe falou que quando ela foi comprar uma chuteira para mim ela pagou um monte de
dinheiro de imposto
.........................................................................................................................................................................

62. 62
MAY - Professora, Pra que o governo quer o nosso dinheiro?
P – O valor arrecadado dos impostos que a gente paga o governo tem que aplicar na saúde, na
educação e em obras sociais. Por exemplo, construir hospitais, escolas, melhorar o serviço da saúde, da
educação e outros serviços.
JÁ – Então, tudo que o governo faz para a gente é com o dinheiro do imposto que a gente paga.
P – Exatamente!
LE – Pois o governo não esta fazendo muita coisa não.
.........................................................................................................................................................................
LE – É, até uma bala a gente paga imposto, não é professora?
Diante das falas dos alunos observadas no diálogo acima se confirma o que defende
Koch:
Ao professor cabe a tarefa de despertar no educando uma atitude crítica diante
da realidade em que se encontra inserido preparando-o para ‘ler o mundo’: a
princípio, o seu mundo, mas daí em diante, paulatinamente, todos os mundos
possíveis (KOCH, 2006 p. 159).
Após a discussão foi iniciado o estudo do conceito de renda, utilizando o mesmo
processo que foi utilizado para o estudo do conceito de imposto. Alguns alunos
entendem renda como sendo um desconto.
JA e WD
Outros, como algo a receber.
LE e JAN