Monografia Evarista Matemática 2012

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Matemática 2012

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Monografia Evarista Matemática 2012

  1. 1. 0 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO – CAMPUS VII CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA EVARISTA DE SOUZA SOARESUM ESTUDO DAS DIFICULDADES ALGÉBRICAS DE ALUNOS DO 8º ANO DA ESCOLA MUNICIPAL ANTONIO BASTOS DE MIRANDA – SENHOR DO BONFIM - BA SENHOR DO BONFIM 2012
  2. 2. 1 EVARISTA DE SOUZA SOARESUM ESTUDO DAS DIFICULDADES ALGÉBRICAS DE ALUNOS DO 8º ANO DA ESCOLA MUNICIPAL ANTONIO BASTOS DE MIRANDA – SENHOR DO BONFIM - BA Monografia apresentada ao Departamento de Educação da Universidade do Estado da Bahia– UNEB/CAMPUS VII, como parte dos requisitos para conclusão do Curso de Licenciatura em Matemática. Orientador: Prof. Wagner Santana Senhor do Bonfim 2012
  3. 3. 2 EVARISTA DE SOUZA SOARESUM ESTUDO DAS DIFICULDADES ALGÉBRICAS DE ALUNOS DO 8º ANO DA ESCOLA MUNICIPAL ANTONIO BASTOS DE MIRANDA – SENHOR DO BONFIM - BA APROVADA _______ DE _______________DE 2012. BANCA EXAMINADORA _______________________________________________ Profº. (orientador): Wagner Ferreira de Santana Universidade do Estado da Bahia- UNEB ________________________________________________ Profª. Alayde Ferreira dos Santos Universidade do Estado da Bahia- UNEB _________________________________________________ Profª. Elizete Barbosa de Brito Universidade do Estado da Bahia- UNEB
  4. 4. 3 Dedicatória.Dedico a meus pais que tanto me ensinaram aos meus irmãos, sobrinhos, afilhados, amigos e ao meu esposo Edgar.
  5. 5. 4 AGRADECIMENTOS: Em primeiro lugar agradeço ao meu Deus, que me proporcionou sabedoriapara a concretização deste trabalho. Muito tenho a agradecer aos meus pais, Joselito e Almerinda, pelo grandeincentivo, apoio e carinho, certamente essa vitória também é deles. Agradeço aos meus professores, que foram modelos referenciais na minhaformação educacional e na prática da sala de aula. Em especial, aos professores docurso de MATEMÁTICA, prof. Elizete, prof. Geraldo Caetano, Prof. Mirian Brito, prof.Alayde, prof. Ivan, e prof. Danton pela dedicação e carinho. Ao meu orientador Wagner Santana, agradeço de modo especial peloincentivo e dedicação, bem como, pela compreensão das minhas limitações. Agradeço ao Edgar pela força diária, compreensão e apoio constante nesseperíodo de aperfeiçoamento. Agradeço aos meus colegas de curso, dentre eles destaco Manuela, Eliene,Isaac, Aparecida, Nilson, Genilma, Auristela e Galdino que dividiam comigo asangustias e as alegrias no decorrer do curso. À minha colega de trabalho Marlúcia Candeias e a seu filho pela ajudaespiritual assim como na leitura de minhas produções, amiga, obrigada! Este singelo agradecimento estende-se também aos alunos com os quais tivea grata satisfação de conviver ao longo da minha atividade docente e queinfluenciaram em minha investigação. A todos que direta ou indiretamente influenciaram para a concretização destetrabalho, OBRIGADA!
  6. 6. 5“Se realmente entendemos o problema, aresposta virá dele, porque a resposta nãoestá separada do problema”. (Krishnamurt)
  7. 7. 6 RESUMOEste estudo buscou identificar e analisar algumas das possíveis causas dasdificuldades de aprendizagem em álgebra vivenciadas pelos alunos do 8º ano daEscola Municipal Antonio Bastos de Miranda, localizada no distrito de Missão doSahy, Senhor do Bonfim Bahia. Como recursos foram utilizados questionárioscontendo questões abertas e fechadas além de um pré-teste, que consistia emavaliar conceitos básicos da Matemática de modo a adentrar pelas possíveis causasdas dificuldades discentes com relação á álgebra, além de buscarmos detectar quaisseriam essas dificuldades. Os resultados mostraram-nos que existem dificuldadescom relação à linguagem, com relação à interpretação dos enunciados, com relaçãoá álgebra dissociada da geometria, as possíveis causas detectadas decorreram danão compreensão de conceitos básicos aritméticos, dificuldade na leitura einterpretações de enunciados além de não associarem situações vivenciadas emálgebra com o seu dia a dia. Com isso, espera-se que com esses dados, reflexõessejam feitas sobre o processo de ensino aprendizagem da álgebra.Palavras-chave: História da Álgebra; Ensino algébrico; Dificuldade deaprendizagem;
  8. 8. 7 ABSTRACTThis study sought to identify and analyze some of the possible causes of learningdifficulties experienced by students in algebra in 8th year of the Municipal SchoolAntonio Bastos of the Miranda, located in the Mission Sahy district, Senhor doBonfim, Bahia. As resources were used questionnaires containing open and closedquestions as well as a pretest, which was to assess the basic concepts ofmathematics in order to come into the possible causes of the difficulties students withrelationship to algebra, and we seek to detect what these difficulties. The resultsshowed us that there are difficulties related to language, with respect to theinterpretation of utterances in relation algebra will be separated from geometry, thepossible causes identified arose from not understanding the basic concepts ofarithmetic, difficulty in reading and interpretation of utterances as well as do notinvolve situations experienced in algebra with their day to day. Thus, it is expectedthat with these data, reflections are made on the process of teaching and learning ofalgebra.Keywords: History of Algebra, Algebraic Education, Learning disabilities;
  9. 9. 8 SUMÁRIOINTRODUÇÃO......................................................................................................... 10CAPÍTULO I – PROBLEMATIZAÇÃO......................................................................12CAPÍTULO II FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ........................................................ 15 2.1. ÁLGEBRA NA EDUCAÇÃO E SUAS IMPLICAÇÕES HISTÓRICAS....... 15 2.1.1. Um breve enfoque das concepções algébricas e do seu surgimento............................................................................................17 2.1.2. O surgimento da álgebra .....................................................................18 2.1.3. Implicações para o Ensino algébrico ..................................................20 2.2. DIFICULDADE DE APRENDIZAGEM: UMA ABORDAGEM AOS ESTUDOS NA ÁREA................................................................................. 23 2.2.1. Pensamento, linguagem e formação de conceitos no processo aprendizagem: breve enfoque ........................................................... 26CAPÍTULO III – UMA ABORDAGEM A METODOLOGIA UTILIZADA.................. 29 3.1. Tipo de pesquisa .......................................................................................29 3.2 . Lócus ........................................................................................................30 3.3. Sujeitos da Pesquisa ..................................................................................31 3.4. Métodos Utilizados......................................................................................31CAPÍTULO IV – ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS.............................33 4.1. Descrição e análise do questionário ..........................................................33 4.2. Descrição e análise do pré-teste ................................................................39CONSIDERAÇÕES FINAIS.......................................................................................46REFERENCIAS.........................................................................................................48ANEXOS ...................................................................................................................52
  10. 10. 9 LISTA DE GRÁFICOSGRÁFICO 1- sexo ....................................................................................... 34GRÁFICO 2 - Idade ..................................................................................... 34GRÁFICO 3 – Já repetiu o ano por causa da Matemática? ........................ 35GRÁFICO 4- Justificando porque não gosta de Matemática....................... 35GRÁFICO 5- Quando não entende o conteúdo o que faz?......................... 36GRÁFICO 6- Representar algebricamente você considera ........................ 37GRÁFICO 7- Você acha a álgebra importante em seu dia a dia................. 38GRÁFICO 8- Representação e resolução algébrica ................................... 40GRÁFICO 9- Representação da área.......................................................... 41GRÁFICO 10- representação do perímetro.................................................. 42GRÁFICO 11- representação algébrica........................................................ 43GRÁFICO 12- Encontrando valor numérico para a variável x...................... 44
  11. 11. 10 INTRODUÇÃO Esta pesquisa relaciona-se com a Educação Matemática, remetendo a esteestudo problemas envolvendo aprendizagem direcionando a Álgebra. A mesmabaseou-se na busca por respostas quanto às dificuldades discentes no campoalgébrico no Município de Senhor do Bonfim, mais precisamente na EscolaMunicipal Antonio Bastos de Miranda, num contexto de duas turmas do 8º ano,totalizando assim 26 alunos participantes. A inquietação para este estudo aconteceu no período de estágio enquantoestudante do curso de Matemática e se concretizou no momento em que assumiuma turma de 8º ano regendo uma classe. O horror que os conteúdos algébricosocasionavam nos alunos, no período citado acima, era inquietante, e a partir daíiniciou-se os primeiros passos para este estudo. Dentro dessa perspectiva, este trabalho baseou-se na problemática emenfoque para buscar compreender quais seriam as causas das dificuldades destesalunos e quais seriam essas dificuldades com relação à Algebra. Para isso, Autorescomo: D’Ambrósio (2005), Baumgart (1992), Boyer (1974), Brasil (1998), Vygotsky(2001), Fiorentini et al (2004), Garcia (1998) dentre outros, foram utilizados parafundamentar a nossa pesquisa, auxiliando assim, o nosso objeto de estudo. Dividimos este trabalho em quatro Capítulos. O capítulo I destaca a causa, omotivo desta pesquisa, nele justificamos e apresentamos à problemática, bem como,traçamos os objetivos que incitaram esse estudo. O capítulo II trata-se da Fundamentação Teórica. Nela, buscamos fazer umaanálise critica sobre o que outros pesquisadores já haviam escrito sobre a temáticapara fundamentarmos o nosso trabalho. Está dividida em dois subtítulos. O primeirocontendo três tópicos tratando da definição do termo álgebra e de um breve enfoqueda história da Álgebra por considerarmos que a História se configura de sumaimportância para a compreensão das conjecturas abordadas no ensino da Álgebra.O segundo refere-se a uma abordagem às dificuldades Matemática com ênfase nosconceitos e linguagens algébricas.
  12. 12. 11 O capítulo III refere-se à Metodologia utilizada, o caminho seguido. Referenciae expõe os métodos utilizados na busca por respostas, tecemos informações sobreo lócus, sujeitos da pesquisa, amostras a serem utilizados, fatores essenciais para aobtenção dos resultados. No capítulo IV foram analisados e discutidos os dados coletados por meio daentrevista e do pré-teste representados qualitativamente tomando por base afundamentação teórica. Por fim, nas Considerações Finais, expomos nossas constatações baseadasnos objetivos propostos, expondo conclusões que puderam ser notadas no decorrere na finalização desta pesquisa.
  13. 13. 12 CAPÍTULO I PROBLEMATIZAÇÃO Ao longo do tempo, a Matemática vem se consolidando cada vez mais na vidadas pessoas, podendo ser notada em diversas situações da vida cotidiana. Noentanto, o ensino-aprendizagem da matemática ainda representa inúmerosproblemas para profissionais da área e alunos, principalmente, quando se refere aoensino-aprendizagem da álgebra. Meira (1996, p. 165) comenta que “um extenso conjunto de pesquisas sobre aaprendizagem e o ensino da álgebra tem demonstrado as dificuldades de alunos etambém de professores com este campo”. Não é diferente do que vemos nos relatos de professores e no própriodiscurso de alunos no dia-a-dia escolar. As dificuldades e aversões Matemáticas,comumente são destacadas nas escolas. Mesmo após muitos trabalhos depesquisa, a busca incessante pela qualificação profissional por parte de professores,o discurso com relação às dificuldades na disciplina de Matemática ainda sãoimensas. Quando se trata de álgebra as discussões se intensificam ainda mais, asreclamações por parte dos alunos por estarem estudando algo que para eles nãotem significado e por outro lado os professores, queixando-se do não interesse eposteriormente a não compreensão do que se é trabalhado em sala de aula. “A introdução da álgebra no cotidiano escolar é um momento de grandeansiedade para muitos alunos, pois eles são desafiados a abandonar o raciocíniopuramente aritmético e começar a pensar algebricamente”. Borba (2011, p.2) A álgebra talvez por ser um ramo da Matemática que possui uma linguagemprópria composta de signos e símbolos que requer uma interpretação oral e escritana maioria das vezes de forma abstrata, leva os alunos ao baixo rendimento.Segundo Ponte (2005, p.10) apud Beltrame (2009, p.19) isso se deve porque eles“não conseguem ver uma letra como representando um número desconhecido eassim não percebem o sentido de uma expressão algébrica”.
  14. 14. 13 Outro fator, que devemos levar em consideração com relação às dificuldadesde aprendizagem e assimilação de conceitos algébricos é com relação à forma comoa álgebra é retratada, ou seja, o modo como os conteúdos são abordados e o meiocultural dos alunos, pois, os mesmos podem ser fatores de grande influencia nestaproblemática. Com isso, D’Ambrosio leva-nos a reflexão da necessidade de se abandonaras teorias “congeladas”, pois segundo o mesmo o Ensino da Matemática tem seapresentado de forma mecânica desprovendo os alunos a associarem-na comsituações que eles vivenciam na sua vida diária. A matemática dos sistemas escolares é congelada. São teorias em geral antigas, desligadas da realidade. Foram concebidas e desenvolvidas em outros tempos, outros espaços. Será que essa matemática, que chamamos de acadêmica, é importante para todos os povos? Sem dúvida. A sociedade moderna não funciona sem essa matemática, a tecnologia moderna não se aplica sem essa matemática, as teorias científicas não podem ser trabalhadas sem essa matemática. Mesmo as artes e as humanidades estão impregnadas dessa matemática (D’Ambrosio 1998. p. 3). O fato é preocupante, pois Alves (2003, p.24) afirma que quando aaprendizagem não é incorporada com algo que o aluno ache interessante: Dentro de pouco tempo quase tudo aquilo que lhes foi aparentemente ensinado terá sido esquecido. Não por burrice. Mas por inteligência. O corpo não suporta carregar o peso de um conhecimento morto que ele não consegue integrar com a vida. Nesse sentido, a necessidade de uma proposta pedagógica que vise aresignificação do aprendizado da álgebra faz-se de suma importância, visto que, amesma ao longo do tempo tem alcançado um espaço privilegiado nos currículosescolares e as dificuldades de aprendizagem ainda permanecem. Assim, diante das situações acima citadas e pela percepção visível daaversão de muitos estudantes com relação à mesma, além da não compreensão deseus conceitos e estruturas por parte dos discentes observadas desde o período deestágio enquanto Licencianda do Curso de Matemática e se concretizando enquantoprofessora do Ensino Fundamental, é que surgiu a inquietação de estudo na área daálgebra. Despertou-nos para buscarmos respostas às problemáticas correlacionadas
  15. 15. 14à aprendizagem algébrica, mais precisamente a dificuldade discente neste campo, oalgébrico. Detectando a problemática, utilizamos o questionamento abaixo como onorteador desta pesquisa: Qual seria a origem das dificuldades dos alunos quanto aos conteúdos econceitos algébricos, e quais são estas dificuldades? A necessidade de compreender quais eram as dificuldades dos estudantescom relação aos conteúdos e conceitos algébricos, bem como, quais as origens detais dificuldades, considerando o problema central e partindo da questão geradoradesta pesquisa, foram delineados os objetivos que seguem abaixo: - Pesquisar as origens das dificuldades dos alunos para atividades que envolvam expressão algébrica; - Identificar as dificuldades dos alunos quanto à interpretação da linguagem algébrica na resolução de problemas. - observar a concepção que estes alunos têm de álgebra e como eles enxergam um número representado por uma variável Espera-se que esse estudo muito possa contribuir à Educação Matemáticano ensino-aprendizagem da Álgebra. Serão apontadas as análises dos resultadosobtidos a partir da realização de um pré-teste e um questionário, de modo a explorarde maneira intencional as dificuldades encontradas na aprendizagem algébrica. Acontribuição ao Lócus da pesquisa será por esta prover aos professores umareflexão quanto a sua postura metodológica para o ensino algébrico e os alunosquanto a uma meditação das origens de suas dificuldades de modo que possibiliteuma construção de resignificação da Álgebra através deles, alunos.
  16. 16. 15 CAPÍTULO II FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Levando em consideração o nosso problema, cujo objetivo é analisar aspossíveis dificuldades discentes com relação à aprendizagem da álgebra,recorremos à busca de algo que pudesse referenciar a nossa pesquisa, algo quepudesse fundamentar os resultados que posteriormente encontraríamos ou não.Para isso nos fundamentamos em: D’Ambrósio (2005), Baumgart (1992), Boyer(1974), Brasil (1998), Vygotsky (2001), Fiorentini et al (2004), Garcia (1998) dentreoutros. Portanto, nesse capítulo abordaremos a crescente presença da álgebra naEducação, através de breves relatos sobre a história e concepções algébricas, bemcomo implicações para o ensino e em seguida um enfoque sobre as dificuldades deaprendizagem Matemática evidenciando conceitos e linguagens algébricas.2.1. ÁLGEBRA NA EDUCAÇÃO E SUAS IMPLICAÇÕES HISTÓRICAS D’Ambrósio salienta que de um modo geral, a Matemática se impõe como forte presença em todas as áreas do conhecimento e em todas as ações do mundo moderno. Sua presença no fundo será certamente intensificada, mas não na forma praticado hoje. Será sem dúvidas, parte integrante dos instrumentos comunicativos, analíticos e materiais. (2005, p.46) A álgebra, não diferentemente, até mesmo por ser parte da Matemática temse apresentado ao longo dos tempos como de fundamental importância, mostrando-se como instrumento de grande utilidade no processo de resolução de problemas,bem como na formação do pensamento algébrico, por meio da compreensão devariáveis e conceitos. Nesse sentido, os Parâmetros Curriculares Nacionais destacam que o estudode estruturas abstratas deve favorecer no aluno:
  17. 17. 16 [...] a compreensão de conceitos como o de variável e de função: a representação de fenômenos na forma algébrica e na forma gráfica; a formulação e a resolução de problemas por meio de equações (ao identificar parâmetros, incógnitas, variáveis) e o conhecimento da sintaxe (regras para resolução) de uma equação. Para apoiar a compreensão desses conceitos pode-se lançar mão da construção e interpretação de planilhas, utilizando recursos tecnológicos como a calculadora e o computador. (BRASIL, 1998, p.84) A importância de se buscar meios que atribuam à compreensão dos conceitose da álgebra propriamente dita, conforme visto nas definições dos PCNs sãoimprescindíveis. Avanços têm aparecido ao longo dos tempos e segundo Telles(2004), os matemáticos têm aprendido a superar muitas dificuldades mesmo quelentamente, trocando palavras por letras e por sinais, fazendo surgir às noções daÁlgebra, ou melhor, equações compostas por símbolos como as conhecemos hoje.A chamada “Álgebra simbólica”. Apesar destes avanços destacados por Telles, para Santos (2004, p.19) aálgebra ainda é carente de discussões no campo da Educação Matemática, o quedenota a possibilidade da não reflexão crítica sobre esse ensino e ocasiona que omesmo passa a ser limitado, de forma “mecânica e automatizada, dissociada dequalquer significação social e lógica, enfatizando simplesmente a memorização e amanipulação de regras, macetes, símbolos e expressões”. Miorim (1998, p. 40). Com relação ao ensino da Matemática, Castro (2003) apud Gil (2008),destaca que o mesmo tem sofrido inúmeras mudanças que, na maior parte dasvezes, são lançadas pelo governo, e as escolas, preparadas ou não, precisamatender essas mudanças. Desta forma, a Álgebra entra no currículo escolar,deixando de ser privilégio de poucos estudiosos e tornando-se uma disciplina que éconsiderada pré-requisito para a formação do cidadão comum. Portanto, considerando que a Álgebra normalmente introduzida no 8º ano doEnsino Fundamental ser uma das áreas da Matemática exigidas como pré-requisitoda formação do cidadão conforme citado por Castro (2003), é interessante quefaçamos um apanhado histórico da introdução da Álgebra, ainda que substancial.
  18. 18. 17 2.1.1. Um breve enfoque das concepções algébricas Quando nos referimos ao termo álgebra um dos primeiros questionamentosque nossos alunos nos fazem é: “o que é álgebra?”. Do mesmo modo muitos delesse arriscam e a definem como a “parte da Matemática que trabalha com letras enúmeros”. Assim, achamos por bem buscarmos defini-la para melhor compreendermosas suas “raízes”, pois segundo Cury (2002): [...] conhecer as concepções de Álgebra e de Educação Algébrica é um elemento importante para as novas reformulações curriculares, pois permite discussões sobre as finalidades do estudo dessa disciplina e sobre as inter- relações existentes entre os conteúdos estudados no curso superior e aqueles apresentados nos níveis fundamental e médio. (p.12) . No dicionário Aurélio, encontramos que álgebra “é a parte da Matemáticaque estuda as leis e processos formais de operações com entidades abstratas”(Ferreira, 1986). Na Wikipédia, enciclopédia livre a álgebra é definida como “o ramoque estuda as generalizações dos conceitos e operações de aritmética. Hoje em diao termo é bastante abrangente e pode se referir a várias áreas da matemática, ounão”. Da Rocha Falcão (1993, p. 86) caracteriza a álgebra como “um conjunto deconceitos e procedimentos (algoritmos) matemáticos que permitem a representaçãoprévia e a resolução de um determinado tipo de problema, para o qual osprocedimentos aritméticos mostram-se insuficiente”. Os PCNs (Parâmetros Curriculares Nacionais) por sua vez, vão além ao quetange a método de resolução, processo de representação de algoritmos. Segundo omesmo é por meio da Álgebra que se desenvolve habilidades abstratas quando adefinem como “uma área da matemática que desenvolve a capacidade de abstraçãoe generalização” (BRASIL, 1998). Assim, (BAUMGART, 1992, v. 4, p. 3) apud (Tedesco, 2009), enfatiza que adefinição de álgebra para ser satisfatória requer que seja feita em duas fasesconforme podemos observar na citação que se segue. Ainda que originalmente “álgebra” refira-se a equações, a palavra hoje tem um significado muito mais amplo, e uma definição satisfatória requer um
  19. 19. 18 enfoque em duas fases: (1) Álgebra antiga (elementar) é o estudo das equações e métodos de resolvê-las. (2) Álgebra moderna (abstrata) é o estudo das estruturas matemáticas tais como grupos, anéis, corpos – para mencionar apenas algumas. [...] (BAUMGART, 1992, v. 4, p. 3). Nesse mesmo sentido, destacado por (BAUMGART, 1992) de o conceito deálgebra ir além do campo aritmético estendendo-se ao absorto, Coxford (1995, p. 9),também estende este conceito destacando-a como: “a arte de manipular somas, produtos e potências de números. As regras para essas manipulações valem para todos os números, de modo que as manipulações podem ser levadas a efeito com letras que representam os números. Revela-se então que as mesmas regras valem para diferentes espécies de números [...] e que as regras inclusive se aplicam a coisas [...] que de maneira nenhuma são números”. Por fim, são inúmeras as definições para o campo algébrico, todasdestacando a sua abstração e importância no ramo Matemático por facilitar aresolução de operações que a aritmética não resolveria além de destacar também aevolução da Álgebra, que passou da elementar que engloba as equações até àÁlgebra Moderna envolvendo estruturas, que abrangem campos bem maisabstratos. Muito embora, talvez pelo fato de retratar grande dificuldade decompreensão, fazem com que a álgebra seja questionada de “pra que surgiu, comosurgiu”?2.1.2. O surgimento da álgebra A álgebra inicia suas origens com os cálculos de equações, na verdade opróprio nome álgebra refere-se a equações embora atualmente conforme podemosver acima, tem assumido proporções de grandes extensões quanto a suaimportância no campo Matemático. A sua origem e evolução advém das necessidades surgidas ao longo dotempo por diferentes povos. Segundo Boyer (1974) a evolução da notação algébricaé classificada por três estágios: o retórico (ou verbal), o sincopado (no qual eramusadas abreviações de palavras) e o simbólico.
  20. 20. 19 Há relatos em Baumgart (1992) de que álgebra surgiu no Egito quase aomesmo tempo em que na Babilônia, no entanto não havia sofisticação no método deresolução usado pelos egípcios em comparação com os babilônicos. A álgebragrega conforme foi formulada pelos pitagóricos e por Euclides era geométrica, noentanto baseava-se no método de resolução de equações anteriormente usadopelos babilônicos. Diofanto (250 a. C) introduziu o estilo sincopado de escreverequações, sua abordagem é inteligente, mas não desenvolveu um métodosistemático de encontrar soluções gerais e sua abordagem também seguia as linhasbabilônicas. A Álgebra chega à Europa, por volta de 1100 d.C, no entanto, haviauma regressão tanto em conteúdo como em estilo. Diofanto e Brahmagupta nosseus estudos contemporâneos e o seu método sincopado não contribuíram parauma eventual irrupção da Álgebra. O renascimento algébrico se deu na Itália (1200-1300), com o Líber abaci (1 202) de Fibonacci (Leonardo de Pisa), no qual o autorresolvia equações usando o estilo retórico de al-Khowarizmi, defendendo o uso denumerais indo-arábicos, dos quais havia tomado conhecimento em suas viagenscomo comerciante. A álgebra moderna notada por seu simbolismo foi introduzidopelo Francês François Viète por volta de 1500 foi ele quem introduziu letras prarepresentar números, muito embora todo o avanço conseguido por Viète ainda nãoestava completo e Descartes complementa-a transformando a álgebra geométricados gregos em uma geometria algébrica. Ele utilizou a álgebra para representarpartes da geometria tais como: curvas, retas, cones e etc., dando importantecontribuição para a álgebra que utilizamos nos dias atuais. (p. 11-15) Os avanços ocorridos historicamente na Educação Algébrica no Brasil e emoutros países Miguel, Fiorentini e Miorim (1993, p.84) as classificam em concepções.Concepções essas que definem o processo evolutivo do ensino da Álgebra.Segundo eles, A primeira concepção predominou do século XIX até meados doséculo XX. Trata-se da concepção lingüístico-pragmática, que constitui a crença deque a obtenção, ainda que mecânica, das técnicas requeridas pelo transformismoalgébrico, ou melhor, a obtenção de expressões iguais mediante o emprego deregras e propriedades seria suficiente para que o aluno fosse capaz de resolverproblemas, ainda que estes fossem quase sempre artificiais.
  21. 21. 20 A outra concepção destacada pelos autores como fundamentalista-estruturalsurgiu com o advento da Matemática Moderna. Essa concepção do Ensino algébricobaseava-se na ideia de que, se o aluno conseguisse justificar a passagem dotransformismo algébrico por meio da introdução de propriedades estruturais, fariamcom que os mesmos também conseguissem aplicar essas estruturas em diferentescontextos. (p.84) Por fim, uma terceira concepção, a qual foi chamada pelos autores defundamentalista-analógica. Esta tenta fazer um resumo das concepções anteriores,procurando recuperar o valor instrumental da Álgebra, mantendo o caráterfundamentalista de justificação, mas agora não mais de forma lógico-estrutural, esim, na maioria das vezes, em recursos analógicos geométricos e, portanto, visuais.(Fiorentini, Miorin, Miguel, 1993. p.84) “A Álgebra, nos dias de hoje, ocupa um lugar privilegiado nos livros didáticos,mas as reflexões realizadas sobre o seu ensino ainda não foram suficientes paraminimizar o problema das dificuldades de compreensão dos seus conceitos eprocedimentos” (Gil, 2008, p.24).2.1.3. Implicações para o Ensino algébrico De acordo com Miguel, Fiorentini e Miorim (1992) citado por Gil (2008) a preocupação legal em introduzir a Álgebra no ensino brasileiro ocorre com a Carta Régia de 19 de agosto de1799). A Álgebra seria introduzida na forma de aulas avulsas, ao lado de outras disciplinas como a Aritmética, a Geometria e a Trigonometria que já faziam parte do ensino. Estas áreas do conhecimento eram trabalhadas em compartimentos estanques. E foi no início do século XIX que, pela primeira vez, o estudo de Álgebra é introduzido no ensino secundário brasileiro. Em 1927, Euclides Roxo, diretor do Externato Pedro II, propôs à congregação do colégio uma alteração radical no ensino da Matemática. Conforme Valente (2002),no documento Euclides Roxo coloca a urgência de adotar métodos de ensino da Matemática Elementar introduzidos na Alemanha, destacando que parte da orientação era acabar com a divisão da Matemática em partes distintas e separadas como vinha sendo trabalhada ( p.21 ). O Ensino da álgebra desde que introduzido separadamente tem assumidoscaráter muitas vezes considerado descontextualizado. “Do início do estudo daÁlgebra até o início da década de 60, quando se inicia o Movimento da Matemática
  22. 22. 21Moderna, o seu ensino era predominantemente de caráter mecânico e reprodutivo,sem clareza alguma, já que seu ensino era, na maioria das vezes, apresentado pormeio de procedimentos que conduziam a uma aprendizagem mecânica” (Miguel,Fiorentini e Miorim (1992)). Beltrame (2009) destaca Lelis e Imenes quando citam que, Em muitas escolas, o ensino da Matemática é abordado como conjunto de técnicas, aplicações de fórmulas, com grandes quantidades de exercícios, que se resumem em “calcular”, “obter”, “efetuar”, em contextos exclusivamente matemáticos, com o objetivo de buscar resultados, importando-se apenas com o “como fazer”, sem se preocupar com o “porque fazer assim” ou pra que fazê-lo. (Lelis e Imenes 2001 citado por Beltrame p.23, 2009). Essa postura mecanizada citada pelos autores destacados acima, se perduraaté aos dias de hoje e para Nogueira, (2005) um dos desafios principais do professoré buscar estratégias que facilitem a ação pedagógica em sala de aula, propiciandoao aluno situações que envolvam conteúdos essenciais à aprendizagem e garantama autonomia de pensamento. Ele destaca ainda que atividades que permitam condições suficientes para oaluno interpretar situações-problema, que desenvolvam habilidades comoorganização, atenção e concentração são imprescindíveis. Visto que, “a álgebra éuma área da matemática que desenvolve a capacidade de abstração egeneralização” (BRASIL, 1998). Ele enfatiza a necessidade de uma “proposta que envolva situações-problemas que provoquem no aluno a formação do pensamento e da linguagemalgébrica encaminhando-os para o desenvolvimento de conceitos científicos nomovimento do pensamento teórico”. Os Parâmetros Curriculares Nacionais destacam que o uso de situaçõesproblemas envolvendo álgebra, garantem um ensino e posteriormente umaprendizado relativamente significativos: É importante destacar que as situações de aprendizagem precisam estar centradas na construção de significados, na elaboração de estratégias e na resolução de problemas em que o aluno desenvolve processos importantes como intuição, analogia, indução e dedução, e não atividades voltadas para a memorização, desprovidas de compreensão ou de um trabalho que privilegie uma formalização precoce dos conceitos (PCN, 1998, p. 63).
  23. 23. 22 “Estudar álgebra não significa apenas manipular símbolos e equações, seuensino deve ser baseado em construções de noções algébricas pela observação deregularidades em tabelas, gráficos e situações do cotidiano dos alunos” (Freire &Filho, 2006, p. 162). Para Vygotsky (2001) é importante que o indivíduo interiorize a experiênciaadquirida culturalmente. Ou seja, interiorize os elementos simbólicos da linguagemalgébrica, para utiliza-los como instrumento do “pensar e do agir” na resolução dosproblemas, ao qual o sujeito venha a se deparar relacionando esses problemas comsuas práticas diárias. Os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental tambémfazem menção a atitudes investigativas como forma de estimular os discentes aidentificar e compreender o jogo intelectual, característico da Matemática: [...] identificar os conhecimentos matemáticos como meios para compreender e transformar o mundo à sua volta e perceber o caráter de jogo intelectual, característico da Matemática, como aspecto que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas. (BRASIL, 2001, p.47). Para (Fiorentini et al), a necessidade de desenvolver primeiramente o espíritode investigação sugerido pelos Pcn’s é imprescindível, visto que para eles favoreceo desenvolvimento do pensamento e da linguagem em álgebra. “A realização de atividades investigativas e exploratórias que visam levar os alunos a pensar genericamente, perceber regularidades e explicitá-las através de estruturas ou expressões matemáticas, pensar analiticamente, estabelecer relações entre grandezas variáveis pode ser uma alternativa poderosa para o desenvolvimento inter-relacionado do pensamento e da linguagem algébrica do aluno”. (Fiorentini et al, 2004).Logo, é de fundamental importância que se busque estratégia de forma que: O ensino da álgebra continue garantindo que os alunos trabalhem com problemas, que lhes permitam dar significados à linguagem e às ideias matemáticas. Ao se proporem situações-problema bastante diversificadas, o aluno poderá reconhecer diferentes funções de Álgebra (ao resolver problemas difíceis do ponto de vista aritmético, ao modelizar, generalizar e demonstrar propriedades e fórmulas, estabelecer relações entre grandezas). (PCN, 1998, p. 84). Devemos, pois, considerar que os atos da atividade de ensino devem estarvoltados para essa apropriação da linguagem e das formas de pensar da álgebra
  24. 24. 23pelo estudante e também da relação do sujeito com as situações-problemapropostas. Nesse mesmo sentido de aprendizagem Fiorentini (1995) destaca que, a aprendizagem efetiva da Matemática não consiste apenas no desenvolvimento de habilidades (como do cálculo ou da resolução de problemas), ou na fixação de alguns conceitos através da memorização ou da realização de uma série de exercícios, como entende a teoria tradicional tecnicista. O aluno aprende significativamente Matemática, quando consegue atribuir sentido e significados às ideias Matemáticas – mesmo aquelas mais puras (isto é, abstraídas de uma realidade mais concreta) – e, sobre elas, é capaz de pensar, estabelecer relações, justificar, analisar, discutir e criar. (p.32) Logo, a necessidade de se fazer atribuir sentido e significado nas ideiasmatemáticas, visto que, considerando as ideias de Fiorentini, favorecerá umaprendizado significante sendo o aluno capaz de desenvolver opiniões críticas,capazes de criar novas formas de pensar, agir e estabelecer relações Matemáticascom outras situações vivenciadas e que de certa forma virá a proporcionar noindivíduo a ideia de soma, adição de conhecimento, conhecimento esse repleto designificados.2.2. DIFICULDADES DE APRENDIZAGEM MATEMÁTICA: UMA BREVE ABORDAGEM AOS ESTUDOS NA ÁREA De maneira geral tem se discutido com bastante frequência com relação àsdificuldades de aprendizagem. Seja essa dificuldade em Matemática ou em outrasdisciplinas, pesquisadores e estudiosos constantemente buscam respostas paraestas dificuldades e muitas já foram às causas citadas por eles. Para Sanchez (2004) as dificuldades de aprendizagem em Matemática podemse revelar em vários aspectos, dentre elas, ele destaca: Dificuldades em relação ao desenvolvimento cognitivo e à construção da experiência matemática;
  25. 25. 24 Dificuldades na resolução de problemas, o que implica a compreensão do problema, compreensão e habilidade para analisar o problema e raciocinar matematicamente. Dificuldades relativas à própria complexidade da matemática, como seu alto nível de abstração e generalização, a complexidade dos conceitos e algoritmos. Podem ocorrer dificuldades mais intrínsecas, como bases neurológicas, alteradas. Atrasos cognitivos generalizados ou específicos. Problemas lingüísticos que se manifestam na matemática; dificuldades atencionais e motivacionais; dificuldades na memória, etc. Dificuldade originada no ensino inadequado ou insuficiente seja porque à organização do mesmo não está bem sequenciado, ou não se proporcionam elementos de motivação suficientes; seja porque os conteúdos não se ajustam às necessidades e ao nível de desenvolvimento do aluno, ou não estão adequados ao nível de abstração, ou não se treinam as habilidades prévias; seja porque a metodologia é muito pouco motivadora e muito pouco eficaz. (p. 174) Observamos que as dificuldades citadas por Sanchez se estendem desdeproblemas cognitivos, neurológicos, de complexidade própria da Matemática, da nãocompreensão do problema proposto até destacar dificuldade gerada pelo ensino.Machado (1992, p. 31), nesse sentido enfatiza que vários autores dizem que: Os alunos se dispersam quando o ensino da Matemática se faz rotineiro, ocultando consciente e inconscientemente sua verdadeira força e beleza, complicando-a inutilmente com fórmulas que não sabem de onde vem. O ensino tem que alcançar uma investigação em que o aluno sinta a sensação de estar fazendo algo com isso, em que se sinta mais confiante colocando em prática o seu trabalho efetivo e com isso, faça-o perceber o seu próprio rendimento. Assim, ele sugere que o ensino passe a favorecer no aluno a sensação deque ele está inserido naquele contexto Matemático, que ele perceba que estárendendo, aprendendo, porque se diferente certamente ele se dispersará e o ensinoda Matemática ficará apenas na rotina. Observamos que Sanchez também faz referência a problemas relacionados àdificuldade de ordem cognitiva, atencional, motivacional e neurológica como causasdas dificuldades. E nesse mesmo sentido, Garcia (1998) apud (Salvan, 2004, pp. 20-21)destaca doenças patogênicas como algumas das possíveis causas de muitasdificuldades em Matemática referenciando a:
  26. 26. 25 -“Alexia, que se caracteriza como impossibilidade de ler, cegueira verbal completa acompanhada de mudez”. Nesse caso há uma perturbação de percepção e memória. - Descalculia, incapacidade para realização de cálculos. - Síndrome do Déficit de Concentração: incapacidade de concentrar-se, de prestar atenção em algo. Agitação e nervosismo. -Desaritmética, dificuldade para escrever ou ler números, ainda que haja facilidade para realizar cálculos, impossibilidade de se relacionar com números. Quanto às dificuldades voltadas para álgebra, são destacadas por (Da RochaFalcão, 2003; Lelis e Imenes, 1997), que elas ocorrem em virtude dos alunos nãoconseguirem utilizar a sua linguagem e assim não conseguirem também relacioná-lacom situações práticas e outros conteúdos matemáticos. Santos (2004), citando Lins e Gimenez (1997) destaca que o fracasso emálgebra significa um fracasso absoluto na escola e que um dos principais obstáculosa este aprendizado é que “a álgebra escolar representa o mais severo corte(momento de seleção) da educação matemática escolar” (p.9). Outros autores destacam outra forma de analisar as dificuldades partindo docontexto histórico cultural, pois, (Araújo & Cardoso, 2006) afirmam que, A aprendizagem ocorre num contexto social. O conhecimento existe nas relações sociais dos grupos em que as pessoas participam. A aprendizagem como um fenômeno construído socialmente é uma forma diferente de analisar as dificuldades dos alunos em relação à Matemática. Ela tem ligação com a forma de organização social do homem e com a organização individual do pensamento. (p.12) Partindo da aprendizagem por meio do contexto social, conforme citado por(Araújo & Cardoso, 2006), em que se dá por meio da organização e formação do
  27. 27. 26pensamento de forma individual e construído socialmente é que passaremos abuscar entender como a linguagem e o pensamento favorecem a formação deconceitos e concomitantemente da aprendizagem.2.2.1. Pensamento, linguagem e formação de conceitos no processo aprendizagem: um breve enfoque. Inicialmente buscamos no dicionário Aurélio a definição de Linguagem epensamento respectivamente nessa ordem e encontramos para Linguagem que “étodo sistema de signos que serve de meio de comunicação entre indivíduos e podeser percebido pelos diversos órgãos dos sentidos, o que leva a distinguir-se umalinguagem visual, uma linguagem auditiva, uma linguagem tátil, etc., ou, ainda,outras mais complexas, constituídas, ao mesmo tempo, de elementos diversos”. E para pensamento conseguimos encontrar duas que nos parecem maisaceitáveis para defini-lo: “é o poder de formular conceitos”. E “é um processo mentalque se concentra nas ideias”. Para Leontiev (1983) o pensamento humano é entendido como: […] produto do desenvolvimento socio-histórico, como uma forma teórica peculiar da atividade humana que não é mais que um derivado da atividade prática; incluindo naquele nível de desenvolvimento que o pensamento adquire uma independência relativa, a prática continua sendo a base e o critério de sua autenticidade. (p.29, tradução nossa) Davydov (1982) caracteriza pensamento, como um tipo de toda atividademental que está aliado ao processo de formação de conceitos bem como asgeneralizações e abstrações. Com relação à linguagem, Vygotsky (1998), destaca que a aquisição damesma passa por três fases: a linguagem social, que seria esta que tem por funçãodenominar e comunicar, e seria a primeira linguagem que surge. Depois teríamos alinguagem egocêntrica e a linguagem interior, intimamente ligada ao pensamento. “O desenvolvimento do pensamento é determinado pela linguagem, isto é,pelos instrumentos linguísticos do pensamento e pela experiência sociocultural dacriança.” Vygotsky (1987, p. 44)
  28. 28. 27 Em Rizzon (2008) encontramos a importância da linguagem como meio deinteração enfatizada por Vygotsky e seus colaboradores: Inicialmente, os aspectos motores e verbais do comportamento são misturados. A fala envolve os elementos referenciais, a conversação orientada pelo objeto, as expressões emocionais e outros tipos de fala social. Em virtude de a criança estar cercada de membros mais velhos da família, a fala começa, cada vez mais, a adquirir traços demonstrativos, o que permite que a criança indique o que está fazendo e quais são suas necessidades. Após algum tempo, a criança, fazendo distinções para os outros com auxilio da fala, começa, internamente, a fazer distinções para si mesma. Desta forma, a fala deixa de ser apenas um meio para dirigir o comportamento dos outros e começa a desempenhar a função de autodireção. (VYGOTSKY; LURIA; LEONTIEV, 1988, p. 30) Com relação à formação de conceitos associado à linguagem Vygotsky(1991), destaca que, Todas as funções psíquicas superiores são processos mediados, e os signos constituem o meio básico para dominá-las e dirigi-las. O signo mediador é incorporado à sua estrutura como uma parte indispensável, na verdade a parte central do processo como um todo. Na formação de conceitos, esse signo é a palavra, que em princípio tem o papel de meio na formação de um conceito e, posteriormente, torna-se seu símbolo. (VYGOTSKY, 1991, p. 48) O que é inegável, baseado na afirmação de Vygotsky, é que a linguagem,tanto falada quanto escrita, é uma ferramenta de extrema importância na relaçãoentre “professor e aluno, nas mediações na sala de aula”. Isso nos leva a crer queno processo ensino aprendizagem, a linguagem não antecede necessariamente opensamento, embora a apropriação da linguagem possa potencializar e promover odesenvolvimento do pensamento. Conforme Kopnin (1978), “Não podemos imaginar o conhecimento do homemsem a linguagem, pois a linguagem consubstancia nas palavras o resultado dopensamento" (p. 150). Fiorentini e Miorim (1993) defendem que a linguagem algébrica é resultado deuma forma especial de pensamento, dado que, para expressar o pensamentoalgébrico existe uma linguagem possível e integrada historicamente na cultura deuma determinada comunidade de prática. Assim, o desenvolvimento do pensamento
  29. 29. 28algébrico pode ocorrer desde os primeiros anos de escolaridade. Eles destacamainda, que o pensamento algébrico se desenvolve à medida que, gradualmente, oaluno desenvolve uma linguagem mais apropriada a ele. Assim, se de um lado a introdução precoce e sem suporte empírico a umalinguagem simbólica e abstrata pode funcionar como obstáculo ao desenvolvimentodo pensamento algébrico, de outro, o menosprezo ou recusa ao modo simbólico eformal de pensar algebricamente, pode representar também um freio ao plenodesenvolvimento do pensamento algébrico. (Fiorentini & Miorim, 1993). Desta forma, vale frisar que segundo Vygotsky (2001) o domínio da álgebraeleva ao nível superior do pensamento, [...] permitindo entender qualquer operação matemática como caso particular de operação de álgebra, facultando uma visão mais livre, mais abstrata e generalizada e, assim, mais profunda e rica das operações com números concretos. (p. 267) Observa-se que linguagem e pensamento andam junto, um favorecendo odesenvolvimento do outro. Considerando, pois, o poder de abstração egeneralização da álgebra, quando se compreende o que se está estudando de formaa compreender as operações de modo a formar conceitos, partindo das ideias deVygotsky, certamente este aluno elevará o seu nível de pensamento.
  30. 30. 29 CAPÍTULO III UMA ABORDAGEM À METODOLOGIA UTILIZADA É através da pesquisa que se desenvolve o avanço científico e tecnológiconas diferentes áreas do conhecimento, (ALVES, 2003). Para Severino (2007), não haveria sentido em pesquisar, em construir oconhecimento novo, se não se tivesse em vista o benefício social do mesmo. Netto (2008) por sua vez, destaca que os resultados de uma pesquisa paraserem favoráveis e contributivos ao conhecimento humano, são necessários aopesquisador a noção em grau, profundidade e extensão em que se pretende abordardeterminado assunto em uma investigação. Assim sendo, cabe ao pesquisador um trabalho de organização,determinando o que Gil (1987, p.27), define como ter que determinar o método,podendo este ser definido como o "... caminho para se chegar a determinado fim”. Gil nos remete a importância de se definir as estratégias metodológicas queviabilizam o processo de identificação, coleta, registro, descrição e interpretação dosdados coletados, ou seja, o caminho que ele se refere, induz ao pesquisador aidentificação do melhor procedimento que se ajuste as especificidades dos objetivosda pesquisa.3.1. TIPO DE PESQUISA Este estudo se caracteriza por uma pesquisa com abordagem qualitativa dotipo descritiva, com método de observação, fundamentado a uma pesquisabibliográfica. Segundo Triviños (1987), a pesquisa qualitativa permite analisar os aspectosimplícitos ao desenvolvimento das práticas organizacionais, e a abordagemdescritiva é praticada quando o que se pretende buscar é o conhecimento dedeterminadas informações que não podem ser numericamente caracterizado.
  31. 31. 30 Minayo, (2007) também, menciona que existe uma relação dinâmica entre omundo real e o sujeito, isto é, um vínculo indissociável entre o mundo objetivo e asubjetividade do sujeito que não pode ser traduzido em números. De forma mais ampla e resumida podemos perceber o sentido do métodoqualitativo através do trecho citado por Lakatos (1986), conforme abaixo: A interpretação dos fenômenos e a atribuição de significados são básicas no processo de pesquisa qualitativa. Não requer o uso de métodos e técnicas estatísticas. O ambiente natural é a fonte direta para coleta de dados e o pesquisador é o instrumento-chave. É descritiva. Os pesquisadores tendem a analisar seus dados indutivamente. O processo e seu significado são os focos principais de abordagem (LAKATOS et al, 1986). Este trabalho apresenta cunho bibliográfico. Para (MINAYO, 2007; LAKATOSet al, 1986), tudo o que for elaborado, embasado a partir de material já publicado,constituído principalmente de livros, artigos de periódicos e atualmente com materialdisponibilizado na Internet, terá aspecto bibliográfico. Entende-e desta forma que fundamentar bibliograficamente é entender aprática que se dar da realidade utilizando meios posteriormente estudados e oupublicados com o propósito de afirmar ou até mesmo negar o que foi escrito deforma cuidadosa. O caráter descritivo também utilizado se dá com o intuito de confrontar ateoria à prática, cujo objetivo principal é estudar as características específicas de umgrupo (Gil, 1996). Ludke e André (1986, p.11) afirmam que os problemas devem ser estudadosno ambiente em que eles ocorrem naturalmente.3.2. LÓCUS A instituição escolhida para a realização da pesquisa foi a Escola MunicipalAntonio Bastos de Miranda, situada em Missão do Sahy, interior do Municipio deSenhor do Bonfim Bahia. A mesma oferece os cursos de Ensino Fundamental além
  32. 32. 31de uma extensão denominada anexo, que oferece Educação Infantil e Ciclo Básicode Aprendizagem. A escola (sede) onde realizamos a nossa pesquisa é composta por cantina,três sanitários, sem área de lazer, um laboratório de informática, uma secretaria equatro salas de aula. A mesma é composta por um grupo de aproximadamente 20professores e 400 alunos, distribuídos entre os três turnos (matutino, vespertino enoturno). Esta pesquisa se limitou a estudar o problema em foco em duas turmas de 8ºano no curso das séries finais do Ensino Fundamental nesta instituição de ensino,no turno matutino.3.3. SUJEITOS DA PESQUISA Os sujeitos da pesquisa foram alunos de duas turmas do 8º ano da escolasupracitada no turno matutino, totalizando 26 alunos participantes. Os mesmosapresentam as características necessárias para a realização desta investigação e,sobretudo a disponibilidade para participar da pesquisa.3.4. MÉTODOS UTILIZADOS Para a coleta de dados utilizamos um questionário e outra atividade ao qualchamamos de pré-teste com questões fechadas e abertas. As questões fechadas(nas quais os sujeitos da pesquisa poderiam escolher uma ou mais alternativa dasopções destacadas pelo pesquisador) tiveram o objetivo de conhecer o perfil doaluno e, por meio dele, observar o que pode vir a influenciar esse aluno na suaafinidade com os estudos e mais especificamente com a Matemática. O pré-teste,utilizando questões abertas (neste caso os sujeitos respondiam com suas própriaspalavras, eles usavam os seus conhecimentos prévios, sem opções dadas pelopesquisador) teve por objetivo verificar o conhecimento do aluno em relação àaplicabilidade de conceitos básicos da Matemática, símbolos, termos algébricos enuméricos, incluindo linguagem, simbologia, conteúdos, interpretação, resolução eanálise de problemas, para assim analisarmos a formação do pensamento e dalinguagem algébrica.
  33. 33. 32 Logo, os caminhos citados acima, visam delinear reflexões acerca deadquirirmos conhecimentos específicos com relação ao objeto de estudo.
  34. 34. 33 CAPÍTULO IV ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS Nesse capítulo apresentaremos as análises dos resultados obtidos napesquisa com alunos, com o intuito de verificar as dificuldades discentes, no quetange ao campo algébrico. Para a obtenção de resultados foram aplicados um questionário e umaatividade a qual chamamos de pré-teste. O primeiro contendo questões abertas efechadas, com o objetivo de conhecer o perfil do aluno e sua relação com aMatemática, e o segundo contendo questões abertas, uma vez que pretendíamosavaliar a aplicabilidade de conceitos básicos da Matemática tais como: símbolos,termos algébricos e numéricos, incluindo linguagem, simbologia, conteúdos,interpretação, resolução e análise de problemas para assim verificarmos asdificuldades tão frequentes no campo algébrico. Portanto, dividiremos esse capítulo em duas subseções ao qual analisaremosos métodos citados acima. Subseção I – Questionário e subseção II – Pré-teste. Asanálises serão feitas qualitativamente e quantitativamente. Para cada questãodestacaremos os objetivos e posteriormente os resultados da coleta.4.1. Descrição e análise do questionário – I A pesquisa foi realizada em duas turmas de 8º ano da Escola MunicipalAntonio Bastos de Miranda, totalizando 26 alunos participantes desta pesquisa. As duas primeiras questões tiveram por objetivo, conhecer o perfil dospesquisados. Identificamos o sexo e a idade dos mesmos, para desta formatraçarmos os aspectos sociográficos, e obtivemos os resultados aos quais podemosobservar nos gráficos abaixo. • Sexo: Para o primeiro tópico, observamos que coincidentemente 50% dospesquisados são do sexo masculino e os outros 50% do sexo feminino.
  35. 35. 34 GRÁFICO 1: SEXO feminino 50% 50% masculino Fonte: Questionário aplicado aos sujeitosQuanto à idade, dividimos por faixa etária. • Idade: ( ) 11 a 14 anos ( )15 a 17 anos ( ) mais de 17 A faixa etária dos mesmos, conforme podemos observar no gráfico,predominou a dos 11 aos 14 anos totalizando assim 84% do grupo pesquisado, 16%apresentaram faixa etária dos 15 aos 17 anos e 0% (nenhum) apresenta mais de 17anos. GRÁFICO 2: IDADE 0% 11 a 14 anos 16% 15 a 17 anos 84% mais de 17 anos Fonte: Questionário aplicado aos sujeitos A partir da terceira questão, o nosso objetivo era averiguar a relação destessujeitos com a Matemática. • Já repetiu o ano alguma vez por causa da Matemática? Caso a resposta seja sim indique quantas vezes. Nesse tópico observamos que uma demanda de 23% enfatizou que járepetiram o ano por causa de Matemática. Desses 23% quando questionados acitarem o número de vezes, 11,5% assinalaram que já haviam repetido por duasvezes, 3,8% uma vez e 7,7% não indicaram o número de vezes aos quais haviamrepetido. Os dados nos levam a crer que estes alunos já repetiram por no máximoduas vezes o ano.
  36. 36. 35 A maioria dos entrevistados, um montante de 77% afirmou nunca ter repetidoo ano, conforme podemos examinar no gráfico. GRÁFICO 3: Já repetiu o ano alguma vez por causa da Matemática 23% sim 77% não Fonte: Questionário aplicado aos sujeitos • Gosta de Matemática: ( ) sim ( ) não Caso não goste, justifique: ( ) tenho dificuldade em resolver problemas envolvendo as quatro operações; ( ) não consigo entender o que o professor ensina então nem me esforço ( ) me esforço e mesmo assim não consigo Para essa questão, apenas 19,2% afirmaram gostar de Matemática os outros80,8% asseguraram não gostar e posteriormente assinalaram as justificativas paraessa negação de forma que os resultados podem ser analisados no gráfico que sesegue. GRÁFICO 4: Justifique por que não gosta de Matemática me esforço e mesmo assim não consigo entender 24% 48% não consigo entender o que o professor ensina então nem me 28% esforço tenho dificuldade em resolver problemas envolvendo as quatro operações; Fonte: Questionário aplicado aos sujeitos Observa-se que 28% simplesmente por achar que não entenderá o conteúdoexplicado pelo professor “mantém-se no conformismo” de não se esforçar por nãocompreender o que o professor irá ensinar em um pensamento a priori, o que nosfaz pensar que nem ao menos tentam compreender. Os outros 24% já relatam que o
  37. 37. 36motivo de não gostar é por ter dificuldade envolvendo as quatro operações. Noentanto, a maioria dos que afirmaram não gostar, 48%, justificaram a sua aversãopela Matemática pelo fato de que mesmo esforçando-se, não compreendem oconteúdo abordado em sala. Como cita Orton (1990), apud ARAÚJO (1990, p.338) "é possível que nãoentendendo a matemática, os alunos se sintam frustrados, experimentem ansiedadee cheguem a rechaçar a matemática como atividade significativa e valiosa". Para os tópicos seguintes tivemos por objetivo, analisar a relação desse alunomais precisamente com a álgebra, uma vez que pretendíamos analisar sobre o quepensa este sujeito sobre esse tópico Matemático. • Quando seu professor inicia um conteúdo de álgebra, explica-o e você não entende. O que faz? ( ) peço que explique novamente, pois não entendi. ( ) deixo pra lá, é difícil e sei que não vou compreender.GRÁFICO 5: Quando seu professor inicia um conteúdo de Álgebra, explica-o e você não entende. O que faz? peço que explique novamente, pois não 46% entendi 54% deixo pra lá, é difícil e sei que não vou compreender. Fonte: Questionário aplicado aos sujeitos Observando o gráfico acima, notamos que aproximadamente 54% pedem aoprofessor para explicar novamente, quando não compreendem, os demais 46 %deixam de lado por acharem que não vão compreender. Vale ressaltar, que apesar da maioria destacar que solicita ao professor queexplique novamente o conteúdo, deve-se considerar que o fato de acharem que nãocompreenderão o conteúdo, um número considerável (46%), simplesmente nãobusca aprender, proporcionando desta forma, um distanciamento do aprendizadoem virtude da pré-concepção de que a álgebra é difícil.
  38. 38. 37 • Representar algebricamente uma situação, você considera: ( ) muito fácil ( )difícil ( ) não serve para nada Para esse questionamento, a maioria dos entrevistados optou por considerara Álgebra difícil (69%) ou que não serve para nada (23%). Apenas (4%) considerama Álgebra um conteúdo fácil e os outros 4% não opinaram. Segue gráfico. GRÁFICO 6: Representar algebricamente uma situação, você considera: 4% 4% muito fácil difícil 23% não serve para 69% nada não opinaram Fonte: Questionário aplicado aos sujeitos Observamos, pois, a existência de uma grande rejeição com relação àimportância atribuída a situações algébricas. Estes alunos, talvez pelo fato de nãoverem significado, ou até mesmo perceberem a falta de aplicabilidade destesconteúdos com situações vivenciadas em suas vidas diárias, destacam, que aálgebra é difícil ou que não serve para nada. Assim, de acordo com os PCN’s: [...] para que a aprendizagem possa ser significativa é preciso que os conteúdos sejam analisados e abordados de modo a formarem uma rede de significados. Se a premissa de que compreender é apreender o significado, e de que para apreender o significado de algum objeto ou acontecimento é preciso vê-lo em suas relações com outros objetos ou acontecimentos, é possível dizer a ideia de conhecer assemelha-se a ideia de tecer uma teia. (BRASIL, 1998, p. 75) Portanto, foi com o objetivo de analisar se o aluno estava compreendendo arelação da Álgebra com o seu dia a dia, ou melhor, se os conteúdos trabalhadosestavam favorecendo a formação neste aluno a teia citada pelos PCN’s,considerando a não importância atribuída a álgebra por meio das questõesanteriores, foi que indagamos o tópico abaixo. • Você acha que a Álgebra é importante no seu dia-a-dia? ( ) sim ( ) mais ou menos ( ) nem um pouco
  39. 39. 38 GRÁFICO 7: Você acha que a Álgebra é importante no seu dia-a-dia? Por quê? sim 42% 23% mais ou menos 35% nem um pouco Fonte: Questionário aplicado aos sujeitos Os resultados para esta questão nos levam a crer que a grande maioria nãoassocia a Álgebra no seu dia a dia, visto que, 42 % afirmam que a Álgebra não énem um pouco importante. Considerando as justificativas destacadas por eles aoserem solicitados a apresentarem o porquê de suas respostas foram enfatizadas asjustificativas que serão destacadas abaixo: Um dos sujeitos da pesquisa ao qual chamamos de S1 justificou da seguinteforma: “__ pelo que eu entendo, não dá pra fazer nada com um cálculo com tantaletra misturada com número”. Trinta e cinco por cento demonstram insegurança em sua afirmaçãoassinalando que a álgebra é “mais ou menos” importante, porque não são todas asvezes que a utilizam a não ser na escola. Apenas 23% afirmaram que a álgebra ésim importante no seu dia a dia e mesmo assim as justificativas dadas por eles nãodemonstram segurança quanto à importância da álgebra de maneira única edissociável, já que ao longo dos tempos tem se apresentado com destaque nocurrículo escolar. Uma das justificativas de outro sujeito envolvido na pesquisa quechamamos de S2 destacou que: “__É importante sim, porque a álgebra faz parte daMatemática e a Matemática está presente em nossa vida”. Por fim, com o objetivo de conhecer qual é a compreensão de definição queestes sujeitos fazem da álgebra, foi questionado o que eles entendem por álgebraatravés de uma questão aberta. Escolhemos três definições das fornecidas pelosalunos, uma vez que as respostas variavam seguindo as mesmas ideias das citadasabaixo. Utilizaremos A1 para a definição do aluno um, A2 para a definição do alunodois e A3 para a definição do aluno três, na transcrição das respostas.
  40. 40. 39O que você entende por álgebra?Para esta questão eles deram as seguintes definições:A1: Não entendo nadaA2: Álgebra trabalha com letras e números e as vezes só com letras.A3: É um cálculo cheio de letras Para Oliveira (2002), algumas barreiras se configuram na Álgebra pelo fato doaluno trazer para o contexto algébrico, dificuldades herdadas do aprendizado nocontexto aritmético ou por estenderem para o estudo algébrico, procedimentosaritméticos que não procedem. Observa-se, que estes alunos não diferentemente do que esperávamosmantém uma relação aversiva a Matemática e distanciam-se da álgebra porsimplesmente achá-la difícil além de percebermos também que a grande maiorianão compreende o seu significado, a sua importância o que favorece para asdificuldades destes alunos. 4.2. Descrição e análise do Pré-teste – II Este bloco é formado por 5 (cinco) questões. Para as questões 1, 4 e 5 oaluno precisaria representar algebricamente o problema proposto e apenas naquestão 1 e 5 ele deveria ainda, encontrar valores reais para as variáveis. Para a segunda questão o aluno deveria representar algebricamente a áreade uma figura cujos lados são definidos apenas por incógnitas. Da mesma forma, foiproposta para a questão três. A diferença é que ao invés de área foi requerido àrepresentação do perímetro de uma figura que também aparece com as medidasdos seus lados representadas por incógnitas, diferenciando-se da questão anteriorpor envolver adição e multiplicação de números inteiros. Os objetivos propostos paraestas questões é identificar e observar como estes sujeitos utilizam e interpretam alinguagem algébrica, bem como, a aplicabilidade de conceitos básicos, tais como:símbolos, interpretações, raciocínio lógico e etc., com outras áreas da Matemática,mais precisamente a - Geometria. Para assim, tentarmos descobrir origens epossíveis dificuldades no aprendizado da Álgebra.
  41. 41. 40QUESTÕES 1. Leia a história dos namorados e responda: a) Usando símbolos matemáticos, COMO VOCÊ representaria esta história? ________________ b) Quantos reais cada um tem? Calcule. O gráfico 8 indica o percentual dos resultados obtidos na realização da resultadosquestão 1a e b que propõe a representação algébrica de situações, a partir dalinguagem corrente, bem como a resolução de modo a encontrar valores reais paraas variáveis. Gráfico 8: Representações e Resolução alg algébrica 60% 40% 20% 0% questão 1 a deixaram erraram acertaram cálculo acertaram questão 1 b em branco incompleto por teste aritmético Fonte: Pré-teste aplicado aos sujeitos Conforme podemos observar n gráfico acima, a grande maioria errou na norepresentação algébrica bem como na resolução da mesma Observou mesma. Observou-se que osmesmos tiveram dificuldade na interpretação do problema proposto visto que proposto,aproximadamente 50% erraram tanto a questão a como a b e para a questão 1bmais de 30% ou deix deixou em branco ou não finalizou a questão deixando deixando-aincompleta. Apenas 27% representaram a questão “a” corretamente, utilizandorepresentação algébrica. No entanto, desses 27% apenas 8% acertaram a questão“b”. De modo que os demais ou deixaram o cálculo incompleto, erraram ou . deixaramsimplesmente não tentaram resolver. Quando indicamos que 12% acertaram por indução aritmética e não pormétodos algébricos nos referimos aos cálculos por “teste aritmético uma vez que aritmético”eles utilizaram o raciocínio aritmético buscando e testando valores que pudessem
  42. 42. 41sanar a dificuldade do problema proposto conforme podemos observar na figura 1abaixo: Fonte: Pré-teste aplicado aos sujeitos Isso implica dizer, que esses alunos não se desvincularam da ideia aritmética ,na resolução de um problema que possui aspectos algébricos. Para a questão 2, conforme citado anteriormente foi sugerido a representaçãodo cálculo de área de acordo com os dados fornecidos. A nossa ideia era identificarse este aluno traz os métodos utilizados na resolução de cálculo de área utilizandonúmero para a representação em uma situação algébrica apenas com incógnita. 2. Área de um retângulo é dada multiplicando se o comprimento pela largur multiplicando-se largura. Como podemos representar a área da figura abaixo abaixo? a Área: __________________ b b a GRÁFICO 9: Análise da questão 2 – Representação de área 100% 50% Análise Da questão 2: 0% Representação da área ERRARAM ACERTARAM DEIXARAM EM BRANCO Fonte: Pré-teste aplicado aos sujeitos Conforme observado no gráfico acima se identifica, que 65% erraram tal rvado ,questão, 27% deixaram em branco e apenas 8% acertaram. Desses 17 alunos (65%) que erraram, onze alunos resolveram o perímetro aoinvés da área também demonstrando dificuldade quanto ao conceito de ambos ostermos ou não interpretaram o enunciado, visto que, foi afirmado na própria questão enunciado,
  43. 43. 42que área é dada por meio da multiplicação do comprimento pela largura, uma vezque a área é retangular. Desses onze teve caso em que eles não se contiveram em . esrepresentar apenas “2a+2b como resposta e representaram a área da figura 2a+2b”sugerida como “2a+2b=4ab Outros ainda, talvez por estarem acostum 4ab”. acostumados a teremsempre um resultado final para seus cálculos, já que, até o 8º ano os cálculos e,aritméticos estavam sempre presentes com seus respectivos resultados implicou emtentarem finalizar a questão de alguma maneira conforme podemos observar nafigura 2 abaixo: Fonte: Pré-teste aplicado aos sujeitos teste O raciocínio puramente aritmético ainda predomina no raciocino lógicos destesalunos, o que ocasiona a observação da falta de compreensão e junção deconceitos geométricos com conceitos algébricos, na resolução dos problemaspropostos. Para a terceira questão as medidas da figura foram representadas p questão, porexpressões envolvendo adição e multiplicação de termos algébricos. 3. Calcule o perímetro do retângulo ao lado: Observa-se para esta questão, conforme dados percentuais do gráfico 10 que23% acertaram. Os outros demonstraram falta de compreensão da quest questão já que38,5% não responderam 27% erraram e 12% deixaram o cálculo incompleto. GRÁFICO 10: Análise da questão 3 – Representação do perímetro 60% 40% analise da questão 20% 3: Representação 0% do perímetro erraram acertaram deixaram em branco cálculo incompleto Fonte: Pré-teste aplicado aos sujeitos
  44. 44. 43 A questão 4, assim como a questão 1, requeria dos pesquisados a ,representação por meio de símbolos, utilizando o raciocínio algébrico por meio de esentação utilizandoproblemas envolvendo respostas não aritméticas. Para isso, foi feito a seguinteindagação: uma caneta custa x reais e uma lapiseira custa y reais. Qual é a maexpressão que você pode escrever para representar: de a) O custo de 2 canetas e 5 lapiseiras. ___________________ b) A diferença entre o preço de uma caneta e o preço de 2 lapiseiras. ______ Observa-se nas tabelas e gráfico abaixo que a grande maioria tentou resolver.Os acertos (50%) da questão 4 a foram superiores aos erros (35%). O fato dos erros )(43%) da questão 4 b ultrapassar os acertos (37%) se deram em decorrência delesnão associarem o termo “diferença” ao sinal de subtração ( - ), o que implica a nãocompreensão de termos ut utilizados na linguagem matemática. E para tanto os resultados foram os destacados no gráfico 11, abaixorelacionado para melhor visualização visualização. Gráfico 11: Representações algébricas 60% 40% questão 4a 20% questão 4b 0% Deixaram em Erraram Acertaram incompleto branco Fonte: Pré-teste aplicado aos sujeitos Para a questão 5 foi solicitado Qual deverá ser o valor de x para que a solicitado:balança mantenha-se equilibrada? Por quê? se x 2 10
  45. 45. 44Nesta, a maioria deles também tentou responder, conforme podemos averiguar nográfico abaixo. GRÁFICO 12: Valor numérico da variável x 60% 40% questão 5: 20% 0% Erraram Acertaram Deixaram em branco Fonte: Pré-teste aplicado aos sujeitos Mais de 50% acertaram e 15% erraram. 12 alunos dos que acertaram nãodiferente da primeira questão não se apegaram ao método de resolução utilizadacomumente para equações, eles deram suas respostas por meio do raciocínio lógicoconforme podemos observar nas figuras selecionadas abaixo em que eles justificamsuas respostas. Fonte: Pré-teste aplicado aos sujeitos Para esta resposta o aluno usou propriedades aditivas, ele pensou em umnúmero que adicionado a 2 se igualasse a 10 e logo encontrou o resultado, damesma forma o aluno de número 2 da figura abaixo também utilizou o mesmoraciocínio, no entanto pelo processo inverso. Fonte: Pré-teste aplicado aos sujeitos sujeitos da pesquisa Fonte: Pré-teste aplicado aos Vale ressaltar que apenas 2 alunos dos 14 que acertaram resolveramutilizando as técnicas convencionais algébricas comumente ensinadas na escolapara a resolução de equação.
  46. 46. 45 Contudo é visto que o raciocínio utilizado na resolução dos problemaspropostos é essencialmente na maioria dos casos aritmético. As dificuldades destacadas ao longo da pesquisa são as mais diversas, nãopoderíamos destacar apenas uma como a mais grave, até porque o conjunto dasdificuldades necessita de uma reflexão, pois, à medida que o tempo vai passando asmudanças ocorrem. Conforme observamos nos estudos da Evolução do Ensino daálgebra, muitas são as implicações históricas e sociais, aos quais poderíamosdestacar, como um dos fatores. Outro aspecto observado é o meio em que osalunos vivem frente à desestruturação familiar, também são fatores queconsideramos originar as dificuldades de aprendizagem referentes à álgebra. Enfim,muitos alunos até afirmam gostar da Matemática, no entanto, as dificuldadesapresentadas quando se é apresentada situações abstratas ainda sãofrequentemente perceptíveis visto que, eles enxergam que a aplicabilidade daálgebra, só se acomete nas avaliações da escola, que não lhes trarão nenhumacontribuição. Isso favorece para tornar o conteúdo desmotivador e sem significação.
  47. 47. 46 CONSIDERAÇÕES FINAIS Ao longo desta pesquisa, buscamos refletir, compreender e principalmenteprocurar respostas para as inquietações que surgem em virtude das dificuldadesdiscentes com relação à Álgebra. Assim, este estudo permitiu a visualização substancial da realidade de alunosdo 8º ano da Escola Municipal Antonio Bastos de Miranda, quanto às dificuldadesem álgebra. Para chegarmos às respostas, inicialmente elaboramos e aplicamos umquestionário aos quais estes alunos respondiam e depois devolviam paraanalisarmos a relação deles, com a Matemática. Posteriormente foi aplicada umaatividade contendo questões envolvendo estruturas algébricas, símbolos, linguagemMatemática e etc., ao qual chamamos pré-teste, para observarmos a desenvolturadeste aluno com relação a estes conteúdos. Notamos através do questionário que a grande maioria afirmou não gostar daMatemática, e chegou-se à conclusão que eles não gostam porque não sabem, oumelhor, observamos que a raiz destas dificuldades se perdura desde os tempos dealfabetização aritmética, o aluno não dominando as noções básicas de aritmética (asquatro operações). E, quando ele se depara com situações abstratas ele logo deimediato julga-se que não vai aprender e nem ao menos se esforça para isso. Outradificuldade é com relação a conceitos e linguagem matemática, encontramos nelesgrandes dificuldades por não lembrarem conceitos básicos para resolver osproblemas, confundiam-se quanto à distinção entre área e perímetro, além dequererem encontrar a todo custo um resultado numérico sem a presença devariáveis para o problema, bem como a não compreensão de alguns termosutilizados na Linguagem Matemática, tais como: produto, quociente e diferença.Percebe-se uma dissociação da álgebra e da Geometria, são duas áreas daMatemática que estiveram sempre juntas e observa-se que estes alunos não asunem no processo de resolução de problemas algébricos. Outra dificuldade perceptível foi com relação à leitura e posteriormente ainterpretação dos enunciados, pois, quando foi aplicado o pré-teste, muitos delesdeixaram as questões em branco, isso implica, a não interpretação dos enunciados
  48. 48. 47e concomitantemente a não realização do problema. Todavia, vale ressaltar, que osque responderam demonstraram um raciocínio lógico aritmético bastante aguçado,porém sem utilizar a linguagem simbólica o que para Fiorentini, Miorim e Miguelapud Tedesco (2009), é de suma importância para a formação de um pensamentoabstrato: A linguagem simbólica, na álgebra, desempenha um papel essencial para a formação do pensamento abstrato, pois é através dele que se pode solucionar um problema matemático, abrangendo todo o contexto da situação, além de simplificar os cálculos. Essa capacidade permite que se façam transformações simbólicas das expressões, por outras mais objetivas, fáceis, mas que possuem o mesmo significado. É possível trabalhar com quantidades variáveis, possibilitando compreensões de casos, nos quais existam movimento e variação. (Tedesco, 2009, p. 4) Um ponto positivo ao qual observamos, é que não existe tanta distorçãoquanto ao processo idade/série. A grande maioria encontra-se no seu períodoescolar normal, salvo os que repetiram a série por 2 anos. Outra dificuldade ao qual merece menção é com relação à álgebra associadacom o dia a dia destes alunos, pois eles não associam, decodificam, para fazer asprovas sem existir nenhum significado para eles. Sabemos que, o que não nosinteressa não nos chama atenção, facilmente sairá da nossa cabeça ou às vezesnem buscamos entender. Desta forma, considerando que em Matemática o aprendizado é contínuo esucessivo, ou melhor, um conteúdo depende de outros e percebendo um déficitaltíssimo com relação à assimilação de conteúdos anteriores, sugerimos a reposiçãodestes em horários opostos considerando é claro a disponibilidade de professor eespaço físico das escolas para assim, tentarmos amenizar a deficiência que seapodera dos nossos alunos não só em álgebra, mas em todos os conteúdosMatemáticos. Em longo prazo, sugerimos ainda uma verificação da aprendizagemnas séries iniciais, por meio de outras pesquisas, visando melhorar as inquietaçõesquanto às dificuldades de aprendizagem existentes nas series finais do EnsinoFundamental. Para tanto, foram citadas, análises, compreensões, inquietações e dúvidasalcançadas por meio deste estudo. Dizer que chegamos à receita para sanar taisdificuldades ainda não, até por que a ciência é uma sequencia de buscas, muitoembora, me proporcionou uma valia inquestionável, tanto no campo profissionalcomo pessoal.
  49. 49. 48ReferenciasALVES, Magda. Como escrever teses e monografias (um roteiro passo a passo). Rio deJaneiro: Elsevier, 2003 – 5ª reimpressão.ALVES, Rubem. A alegria de ensinar. Campinas: Papirus, 2003.BAUMGART, J. K. Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula. Álgebra.Trad. Hyigino H. Domingues. São Paulo: Atual. 1992.BELTRAME, Juliana Thais. A álgebra nos livros didáticos: um estudo das variáveis, segundoo modelo 3UV. Disponível em:<http://www.pucsp.br/pos/edmat/mp/dissertacao/juliana_thais_beltrame.pdf > acesso em: 23out. 2011.Borba, V. M. (3 a 6 de julho de 2011). Dificuldade de aprendizagem em algébra elementar:problema de ensino ou de aprendizagem? Maringá, Paraná, Brasil.Disponível em: <http://www.abrapee.psc.br/xconpe/trabalhos/1/110.pdf > acesso em: 13 dez. 2011.BOYER, Carl B. História da Matemática. Trad. Elza Gomide. São Paulo: Edgard Blucher.1974. 488p.BRASIL. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E CULTURA. Secretaria de Educação Fundamental.Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática, 5ª a 8ª séries. Brasília, 1998.COXFORD, A. et al. As idéias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995.CURY, H. N., LANNES, W., BROLEZZI, A. C., Carlos, R. V. Álgebra E Educação Algébrica:Concepções de Alunos e Professores De Matemática. Educação Matemática em Revista,Rio Grande do Sul, v.4, n.4, p.9-15, 2002.DA ROCHA FALCÃO, J. T. A álgebra como ferramenta de representação de problemas.Em D., SCHLIEMANN, A. D, D. W. CARRAHER, A. G. SPINILLO, L. L MEIRA & J. T. DAROCHA FALCÃO. Estudos em Psicologia da Educação Matemática. pp 85 – 107; Recife,Editora Universitária da UFPE, 1993.

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