Teoria dos jogos

INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL
EDKALLENN LIMA
BACHAREL EM SISTEMAS DE INFORMAÇÃO (UFAC)
ESPECIALISTA EM DESENVOLVIMENTO WEB E COMPUTAÇÃO
FORENSE.
PPGI-UFAM
2º Semestre de 2015.

Busca Competitiva ou Teoria dos Jogos
Inteligência Artificial

Inteligência Artificial – PPGI - UFAM Aluno: Edkallenn Lima
Agenda
 Notas históricas
 Jogos - Teoria dos Jogos
 Tipos de Jogos
 Algoritmos de jogos e programas de computador
 Árvore de Jogo - Decisões ótimas em jogos -
Decisões imperfeitas
 Jogos Estocásticos - Jogos parcialmente
observáveis
 Programas de Jogos de última geração
 Equilíbrio de Nash
 Dilema dos prisioneiros

O que pensamos quando
imaginamos a “teoria dos jogos”?

 Mas a teoria dos jogos é muito mais do que
apenas diversão e jogos
 É uma teoria com fortes fundamentos
matemáticos com desdobramentos em
diversos ramos do conhecimento.
 Como Economia, Negócios, Biologia,
Computação e Engenharia, Logística, Filosofia,
Política e até mesmo defesa nacional!

Um pouco de História
 Registros antigos sobre teoria dos jogos remontam ao
século XVIII
 Em correspondência dirigida a Nicolas Bernoulli, James
Waldegrave analisa um jogo de cartas chamado “le Her”
e fornece uma solução que é um equilíbrio de estratégia
mista
 No início do século XIX, há o trabalho de Augustin
Cournot sobre duopólio
 Em 1913, Ernest Zermelo publicou o primeiro teorema
matemático da teoria dos jogos
 Émile Borel, que reinventou as soluções minimax
publicou artigos sobre jogos estratégicos e achava que
guerra e economia podiam ser estudadas de maneira

Um pouco de História
 Neste início a Teoria dos Jogos chamou pouca atenção
 Isso mudou com o grande matemático John Von Neumann
 Em 1928 ele demonstrou que todo jogo finito de soma zero com
duas pessoas possui uma solução em estratégias mistas
 Junto com o economista Oskar Morgenstern, publicou o clássico
“The Theory of Games and Economic Behaviour” em 1944 e, com
isto, a teoria dos jogos invadiu a economia e a matemática aplicada
 Em 1950, o matemático John Forbes Nash Júnior publicou quatro
artigos importantes para a teoria dos jogos
 Nash provou a existência de um equilíbrio de estratégias mistas para
jogos não-cooperativos, denominado equilíbrio de Nash
 Nash recebeu, em 1994, junto John Harsanyi, o Nobel de Economia.

Mas, o que são jogos?

Primeiro, o que jogos NÃO
SÃO...
 Aparentemente, temos uma noção intuitiva do
que é um jogo
 Mas definições intuitivas não funcionam como
base para hipóteses científicas
 Precisamos saber o que, formalmente, são os
jogos
 Ou o que eles não são...

Jogos não são...
 Decisões isoladas, ou de agente único não são
jogos
 Ex: decidir qual carro comprar
 Decisões isoladas tomadas por agentes
inteligentes/racionais baseadas em sensores e
premissas
 Ou seja, decisões isoladas não constituem
jogos...

Jogos, jogos, jogos...
 Em ambientes multiagentes, há pouca
previsibilidade
 Ações dos outros agentes
 É preciso tratar as contingências
 Em ambiente competitivos, há conflito de
objetivos
 Ex. negociação em comércio eletrônico
 Nestes casos, temos “Busca contra adversário,
ou simplesmente “jogo”

Jogos, jogos, jogos...
 Os ambientes competitivos em que os objetivos
dos agentes estão em conflito e dão origem a
problemas de busca competitiva são conhecidos
como jogos (Russel & Novig, 2013)
 A teoria de jogos (matemática), um ramo da
economia, visualiza qualquer ambiente
multiagente como um jogo, desde que o impacto
de cada agente sobre os outros seja
“significativo”, não importando se os agentes são
cooperativos ou competitivos. (Russel & Novig,
2013)

Jogos...
 Em IA, os jogos mais comuns são de um tipo
especializado denominado “jogos
determinísticos de revezamento de dois
jogadores de soma zero com informações
perfeitas” (como o Xadrez)
 Nesse tipo de jogo dois agentes agem
alternadamente e em que os valores de utilidade
no fim do jogo são sempre iguais e opostos (ou
simétricos).
 Ou seja, se um ganha o outro perde

Tipo de jogo estudado pela IA
 Dois jogadores (Two-player)
 Soma-zero (Zero-sum): se um ganha, o outro perde
 Discreto (discrete): todos os estados do jogo bem
como as decisões possíveis são valores discretos
 Finite (finito): somente um número finito de estados e
decisões
 Determinístico (deterministic): sem “lançamento de
dados”
 Observável (perfect information): observável por
ambos os jogadores

Teoria dos jogos
 A Teoria dos Jogos estuda cenários onde existem
vários interessados em otimizar os próprios ganhos, as
vezes em conflito entre si.
 Por exemplo, imagine que em sua empresa você tem
dúvidas sobre qual ação tomar para aumentar o seu
lucro: reduzir o preço, lançar outro produto ou fazer uma
campanha de marketing?

Teoria dos Jogos
 Teoria dos Jogos é isso: entender que sua
decisão não é independente e ambos os
ganhos dependem da combinação de muitas
ações em cadeia até chegar em um
equilíbrio.
 Este equilíbrio é o chamado Equilíbrio de Nash

Teoria dos Jogos
 Para pesquisadores de IA, a natureza abstrata
dos jogos os torna um assunto atraente para
estudo.
 É fácil representar o estado de um jogo e, em
geral, os agentes se restringem a um pequeno
número de ações cujos resultados são
definidos por regras precisas.
 Os jogos físicos (como críquete, rúgbi ou
futebol) têm descrições complicadas, uma faixa
grande de ações e regras imprecisas

Jogos e a atenção da IA
 Com exceção do futebol de robôs, esses jogos
físicos não atraíram muito interesse na
comunidade de IA.

Jogos e a IA
 Jogos são interessantes porque são MUITO
difíceis de resolver
 Ex: o xadrez tem um fator médio de
ramificação de cerca de 35, e as partidas com
frequência chegam até a 50 movimentos por
cada jogador
 A árvore de busca tem aproximadamente 35100
ou 10154 nós (embora o grafo de busca tenha
“apenas” cerca de 1040 nós distintos).

Formalmente
 Elementos essenciais da formulação de um
jogo
 Estado inicial: posições do tabuleiro + de quem é
a vez
 Estado final: posições em que o jogo acaba
 Operadores: jogadas legais para um dado estado
da partida
 Função de utilidade (objetivo ou payoff): valor
numérico para os estados finais (pontuação)
 Xadrez = +1, 0, -1; gamão = [-192,+192]

Formalmente
 A teoria dos jogos pode ser definida como a teoria dos
modelos matemáticos que estuda a escolha de decisões
ótimas sob condições de conflito.
 O elemento básico em um jogo é o conjunto de
jogadores que dele participam.
 Cada jogador tem um conjunto de estratégias.
 Quando cada jogador escolhe sua estratégia, temos
então uma situação ou perfil no espaço de todas as
situações (perfis) possíveis
 Cada jogador tem (matematicamente) uma função
utilidade que atribui um número real (o ganho ou payoff
do jogador) a cada situação do jogo

Formalmente
 Há, portanto, o conjunto finito de jogadores: 𝐺 = {𝑔1, 𝑔2, … , 𝑔 𝑛}
 Cada jogador 𝑔𝑖 possui um conjunto finito 𝑆 = {𝑆𝑖1, 𝑆𝑖2, … , 𝑆𝑖𝑛}
de opções denominadas estratégias puras
 O conjunto de todos os perfis de estratégia pura formam, o
produto cartesiano
𝑆 =
𝑖=1
𝑛
𝑆𝑖 = 𝑆1 × 𝑆2 × ⋯ × 𝑆 𝑛
 Denominado espaço de estratégia pura do jogo.
 Para cada jogador 𝑔1 ∈ 𝐺, existe uma função utilidade
𝑢𝑖: 𝑆 → ℝ
𝒔 ↦ 𝑢𝑖 𝒔
 Que associa o ganho (payoff) 𝑢𝑖 𝒔 do jogador 𝑔1 a cada perfil
de estratégia pura 𝑠 ∈ 𝑆

Ex: Dilema dos prisioneiros (Al e
Bob)

Matriz de payoffs (Al e Bob)
 Nesta matriz, os números de cada célula
representam os payoffs de Al e Bob para as
escolhas de Al e Bob

Outro exemplo
 (A batalha dos sexos) Um homem e a sua mulher desejam sair para
passear.
 O homem prefere assistir a um jogo de futebol enquanto que sua
mulher prefere ir ao cinema.
 Se eles forem juntos para o futebol, então o homem tem satisfação
maior do que a mulher.
 Por outro lado, se eles forem juntos ao cinema, então a mulher tem
satisfação maior do que o homem.
 Finalmente, se eles saírem sozinhos, então ambos ficam igualmente
insatisfeitos.
 Esta situação também pode ser modelada como um jogo
estratégico. Temos:

A batalha dos sexos

Representação dos jogos
 Forma normal
 O jogo (ou modo estratégia) normal é uma matriz
a qual mostra os jogadores, estratégias, e
pagamentos.
 Para dois jogadores, um escolherá as linhas e o
outro escolherá as colunas. Os pagamentos são
registrados no seu interior
 Nesta forma presume-se que cada jogador atue
simultaneamente ou, ao menos, sem conhecer a
ação dos outros.
 Se os jogadores têm alguma informação acerca
das escolhas dos outros jogadores, o jogo é
habitualmente apresentado na forma extensiva

Representação dos jogos
 Forma Extensiva
 A forma extensiva de um jogo tenta capturar jogos onde a ordem
é importante.
 Os jogos aqui são apresentados como árvores (como
apresentado na figura a esquerda). Onde cada vértice (ou nodo)
representa um ponto de decisão para um jogador.
 O jogador é especificado por um número listado no vértice. Os
pagamentos são especificados na parte inferior da árvore.

Tipos de Jogos
 Mais comuns:
 Jogos de soma nula e soma não-nula
 Jogos Simétricos e assimétricos
 Jogos cooperativos
 Jogos transparentes (de informação perfeita ou complete
information, onde os payoffs são conhecidos, mas as ações
não)
 Jogos Estratégicos (estáticos)
 jogadores fazem um lance sem saber as jogadas dos outros
 Jogos simultâneos e sequenciais (uma vez; repetidos-
finitos e infinitos)
 Jogos Perfect Information (Informação perfeita:- todos os
jogadores conhecem os movimentos prévios feitos por
todos os outros jogadores)
 Jogos infinitamente longos

Jogos soma zero (soma nula)
 Um jogo de soma zero se refere a jogos em
que o ganho de um jogador representa
necessariamente na perda para o outro jogador
 O benefício total para todos os jogadores, para
cada combinação de estratégias, sempre
somam zero
 Exemplos: Poker, Go e Xadrez.
 O Dilema do prisioneiro é um jogo de soma
diferente de zero.

Jogos simultâneos e
sequenciais
 Jogos simultâneos são jogos onde ambos os
jogadores movem-se simultaneamente, ou se
eles não se movem simultaneamente, ao
menos os jogadores desconhecem
previamente as ações de seus adversários
(dilema prisioneiro)
 Jogos sequenciais (ou dinâmicos) são jogos
onde o próximo jogador tem conhecimento da
jogada de seu antecessor (jogo da velha)

Jogos simétricos e assimétricos
 Jogo simétrico é aquele no qual os
pagamentos para os jogadores em uma
estratégia particular dependem somente da
estratégia escolhida, e não de quem está
jogando.
 Ex: Prisioneiro, caça ao veado
 Os jogos assimétricos mais comuns são jogos
onde existem grupos de estratégias diferentes
para cada jogador

Informação perfeita, imperfeita e
completa
 Um jogo é de informação perfeita se todos os
jogadores conhecem os movimentos prévios
feitos por todos os outros jogadores
 A maioria dos jogos estudados na teoria dos
jogos são de informação imperfeita
 Muitos dos jogos populares são jogos de
informação perfeita incluindo xadrez, go.
 Informação completa requer que cada jogador
conheça as estratégias e pagamentos dos
outros jogadores, mas não necessariamente
suas ações

Algoritmo minimax
 Ideia: maximizar a utilidade (ganho) supondo que
o adversário vai tentar minimizá-la (todos jogam
otimamente!)
 O agente é MAX e o adversário é MIN
 Minimax faz busca cega em profundidade
 Ele utiliza recursividade simples dos valores
minimax de cada estado sucessor, implementando
diretamente as equações da definição.
 A recursão percorre todo o caminho descendente
até as folhas da árvore e, depois, os valores
minimax são propagados de volta pela árvore, à
medida que a recursão retorna.

Ex: Jogo da Velha

Melhoramento do minimax
 Para melhorar (combinar duas
técnicas)
1) Podar a arvore onde a busca seria
irrelevante: poda alfa-beta (alfa-beta
pruning)
2) Substituir a profundidade n de min-
max(n) pela estimativa de min-max(n):
função de avaliação

Funções de utilidade
 Funções de Utilidade são, essencialmente,
heurísticas!
 A função de utilidade deve refletir todos os
aspectos vinculados aos possíveis resultados
de um jogo, incluindo o sentimento de
satisfação de um jogador frente ao que ocorre
com seus adversários.
 Para o jogo da velha, a árvore de jogo é
relativamente pequena, menos de 9! = 362.880
nós terminais.

Árvore de Busca
 Mas, para o xadrez, há mais de 1040 nós, de
modo que é melhor pensar na árvore de jogo
como sendo uma construção teórica que não
podemos perceber no mundo físico.
 Mas, independentemente do tamanho da
árvore de jogo, é trabalho de MAX a busca de
uma boa jogada.
 Usamos o termo árvore de busca para uma
árvore que está sobreposta à árvore de jogo
completa, examinando os nós o suficiente para
permitir que um jogador determine que lance
fazer.

A poda (o corte)
 A poda nos permite ignorar partes da árvore de
busca que não fazem diferença para a escolha
final
 As funções de avaliação de heurísticas nos
oferecem a oportunidade de fazer uma
aproximação da verdadeira utilidade de um
estado sem realizar uma busca completa.

Exemplo de poda

Decisões ótimas em jogos
 Em um problema de busca normal, a solução
ótima seria uma sequência de ações que levasse
a um estado objetivo — um estado terminal que
representa uma vitória.
 Por outro lado, em um jogo, MIN tem alguma
relação com esse estado.
 Portanto, MAX deve encontrar uma estratégia de
contingência que especifique o movimento de
MAX no estado inicial e depois os movimentos de
MAX nos estados resultantes de cada resposta
possível de MIN
 E depois os movimentos de MAX nos estados
resultantes de cada resposta possível de MIN a
esses movimentos, e assim por diante.

Decisões ótimas em jogos
 Uma árvore de jogo de duas jogadas.
 Os nós ∆ são “nós de MAX”, nos quais é a vez de MAX
efetuar um movimento, e os nós ∇ são “nós de MIN”.
 Os nós terminais mostram os valores de utilidade para MAX;
os outros nós estão identificados com seus valores minimax.

Complexidade do minimax
 O algoritmo minimax executa uma exploração
completa em profundidade da árvore de jogo.
 Se a profundidade máxima da árvore é m e
existem b movimentos válidos em cada ponto, a
complexidade de tempo do algoritmo minimax é O(
bm). (exponencial)
 A complexidade de espaço é O( bm) para um
algoritmo que gera todos os sucessores de uma
vez ou O( m) para um algoritmo que gera ações,
uma de cada vez.
 É claro que, em jogos reais, o custo de tempo é
totalmente impraticável

Jogos estocásticos
 Na vida real, existem muitos eventos externos
imprevisíveis que podem nos colocar em
situações inesperadas.
 Muitos jogos refletem essa imprevisibilidade,
incluindo um elemento aleatório, como o
lançamento de dados.
 Nós os chamamos de jogos estocásticos.

Equilíbrio de Nash
 Uma solução estratégica ou equilíbrio de Nash
de um jogo é um ponto onde cada jogador não
tem incentivo de mudar sua estratégia se os
demais jogadores não o fizerem.

Equilíbrio de Nash

Programas de jogos de última
geração
 Xadrez: Deep Blue (aposentado) derrotou o campão
mundial Gary Kasparov.
 30 processadores em paralelo usando busca alfa-beta.
 Buscava 30 bilhões de posições por movimento
 14 camadas de profundidade
 Hydra (sucessor do Deep Blue). Executa em cluster de
processador de 64 bits em forma de chips FPGA
 200 milhões de avaliações por segundo, mas alcança 18
camadas de profundidade
 RYBKA, vencedor do campeonato Mundial de Xadrez
de computador de 2008/2009 (Intel Xeon de 8-core e
3,2 Ghz)
 Função de avaliação melhorada
 A partir de então, os avanços são no software

Deep Blue da IBM

Programas de jogos de última
geração
 Damas: CHINOOK, executa em PC’s e utiliza
busca alfa-beta
 Derrotou o campeão humano em 1990
 Base de dados de 39 trilhões de posições finais
 Gamão: inclusão da incerteza no lançamento dos
dados torna a busca profunda um luxo dispendioso
 Programas buscam melhorar a função de avaliação
 Go: o jogo de tabuleiro mais popular da Ásia
 O tabuleiro 19X19 gera um fator de ramificação de 361, um
valor assustador para os métodos de busca alfa-beta
comuns
 A função de avaliação é difícil por causa do controle de
território
 Os programas atuais, em tabuleiro 9 x 9 estão ainda em

Amplitude da Teoria dos Jogos
 Conflitos entre países, entre grupos sociais e
entre grupos étnicos;
 Políticas de preço, de mercado financeiro e de
expansão de mercado;
 Políticas de impostos e taxas;
 Políticas sociais e de saúde;
 Campanhas eleitorais e outras disputas de
poder entre facções políticas;
 Práticas esportivas;
 Dinâmica de comportamento animal.

Conclusões
 A Teoria dos Jogos é uma área excitante (e
enorme) para se trabalhar dentro da IA
 Ela ilustra várias questões importantes da IA
 Além de servir para inúmeras outras áreas da
ciência e da humanidade.

OBRIGADO!

Referências
 AIMA: Ler capítulo “Adversarial Search”
 Tutorial “Game Tree Search Algorithms, including
Alpha-Beta Search”, disponível em
http://www.autonlab.org/tutorials/
 Russell, S., e P. Norvig. Inteligência artificial.
CAMPUS - RJ, 2004.
 Sartini et al. Uma introdução a Teoria dos Jogos. II
Bienal da SBM – Universidade Federal da Bahia.
2004.
 http://www.pucsp.br/~logica/Fuzzy.htm
 http://www.matematicauva.org/semana2011/palestr
as/carpegiani.pdf

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