Modelagem Analítica – Queueing Theory (Part I)

Proibida cópia ou divulgação sem
permissão escrita do CMG Brasil.
M
Etéocles da Silva Cavalcanti
Professor Adjunto do Departamento de Informática
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Áreas de atuação : Modelagem e Avaliação de Sistemas
e Planejamento de Capacidade
Modelagem Analítica
Queueing Theory
Maio de 2016

Abstrat
Não é um assunto novo e nem uma novidade, mas ...
modelos de filas são ferramentas importantes para os profissionais que atuam na área de Capacity
Planning e estão cada vez mais inseridos em muitos produtos e ferramentas, mas ...
quando modelos analíticos estão disponíveis para serem utilizados, tornam-se um problema sério pelo
fato de há uma barreira quanto do seu uso e seus resultados, normalmente por falta de conhecimento,
conceito, premissas, métricas estatísticas e sobre os modelos.
Esse assunto realmente tem uma complexidade teórica estatística muito alta e se entramos nos
detalhes teóricos passamos a temer sobre seu uso e resultados. O objetivo é apresentar de uma forma
simples e direta que modelagem analítica é ainda uma ferramenta importante e que devemos e
podemos utilizá-la se tivermos conhecimento melhor do seu uso e seus resultados.
A simples construção de ferramentas que calcule todas as métricas estatísticas dos componentes de
um sistema de fila, gera a oportunidade de realizarmos simulações com pequenas mudanças de
parâmetros.
Nos estudos de capacidade a utilização de teoria das filas passam a ter mais consistência e sua
flexibilidade nas análises e/ou questionamentos complexos trazem respostas rápidas e consistentes aos
nossos gestores na tomada de decisão.

The start ....
Em 1984 um treinamento em São Paulo com nada menos ...
Dr. Arnold O. Allen - Probability, Statistics and Queueing Theory

ACREDITAR QUE ... (Você)
• O método era realmente válido e consistente
• Os dados levantados eram corretos
• As estatísticas geradas eram consistentes
• Se tinha o domínio do assunto e resposta para tudo
• As fórmulas e modelos não eram complicados
• Você tinha conhecimento e experiência.
• Era fácil convencer sua gerencia e colegas que a
modelagem realizada representava bem o sistema atual
e que se poderia adotar como válida ...

O que você imagina de uma fila

Pesadelos de seu gerente ...
Esse tal modelo de fila funciona mesmo? (Estou preocupado)
Como eu vou explicar essas fórmulas para o CIO?
Ontem tivemos um problema de loop e esse modelo também
poderia prever isso?
Funciona para qualquer sistema, dia, hora e nos picos do mês?
Quanto custa ter uma ferramenta dessas? Qual o retorno?
Quantos modelos teremos que ter e qual será usado?
.... Conclusão ...
Faz o seguinte vai gerando modelos que um dia a gente usa isso
em algum estudo de capacidade, vamos testar bastante ...

Oportunidades (analise)
• Existe muito material disponíveis na internet de
diversos profissionais de universidades , empresas,
pesquisadores, artigos, livros, vídeo aula ... (analise)
• Bons livros e artigos de fácil acesso (analise)
• Estudos de modelagem analítica está cada vez mais
sendo utilizadas em trabalhos de TCC, mestrado e
doutorado. (analise)
• Simuladores (free) disponíveis para uso (analise)
• Vamos deixar de ser alunos e passar a ser estudantes

Teoria da Filas >> Antes de pensar em usar
• Conhecer bem o processo de chegadas de um
determinado evento e o tempo de atendimento ou
capacidade de atendimento do serviço.
• Validar se a característica tanto de chegada e de
atendimento seguem ou podem ser modeladas como
distribuições de probabilidade teórica. Teste de
aderência simples podem ser realizados.
• Não devemos ser teóricos demais para não gerar
complexidades nas premissas >> aprenda a usar.

Fórmulas e Notações Utilizadas
Vamos encontrar uma diversidade muito grande de maneiras de
realizar e apresentar notações para realizar o mesmo cálculo e em
cada livro ou material nos deparamos com notações com uma
extrema complexidade e que nos encorajam a desistir da ideia.
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )1
1
0
1
0
≥
+−
+++−





=
=
∑=
+−
n
tpp
tptptp
dt
tdp
dt
tdp
k
i
i
knnn
n
µλ
µλµλ

Recomendação (Buscar referências consagradas)
“Probability, Statistics, and Queueing Theory”
Arnold O. Allen
“The Art of Computer Systems Performance Analysis “
Raj Jain
Apesar de também terem algumas notações diferentes ambos
apresentam de forma prática e objetiva sobre o assunto e com um
resumo completo de todas as estatísticas disponíveis de diversos
modelos, bem como o formulário.

Um sistema de filas
Fila Servidor
Taxa chegada Na fila Taxa Atendimento saída
Tempo e número na fila
Sistema
Tempo e número no Sistema
λ µ

Modelos e nomenclaturas
Kendall definiu uma nomenclatura para a identificação de modelos
1/2/3/4/5/6
1 - distribuição de probabilidades dos intervalos entre chegadas
2 - distribuição de probabilidades dos tempos de atendimentos
3 - número de atendentes ou servidores
4 - capacidade do sistema
5 - tamanho da população
6- disciplina da fila
Mais comuns : M/M/1 , M/M/C , M/M/1/K , M/M/C/K ...
Em muitos casos algumas informações são omitidas
Normalmente se houve: “ a chegada segue uma distribuição de Poisson e o
tempo de atendimento segue uma distribuição exponencial.” ISSO DEVE
SER BEM ANALISADO ANTES DE USAR O METODO

Métricas e componentes comuns num sistema de filas
Chegada : λ (unid. / unid. tempo) Atendimento: µ (unid. / unid. tempo)
tempo médio entre chegadas na fila e tempo médio de atendimento.
Ocupação do sistema ou (“índice de congestionamento” ou “taxa de utilização”.
Probabilidade do sistema estar vazio ou ocioso.
Probabilidade da fila estar vazia.
Número médio provável no sistema.
Tempo médio provável no sistema.
Número médio provável na fila.
Tempo médio provável na fila.
Número provável na fila não vazia.
Tempo provável na fila não vazia.
Probabilidade de um cliente esperar mais que t unid. de tempo no sistema.
Probabilidade de um cliente esperar mais que t unid. de tempo na fila.
Probabilidade de que o número de clientes no sistema seja superior a um valor “n”
Probabilidade de haver n clientes no sistema

Fonte : Raj Jain

Fórmula de Litle
Semelhante na Física onde >> distância = velocidade * tempo
Em um sistema de filas de espera.
Número médio no sistema = taxa de chegada * tempo médio no sistema
Número médio na fila de espera = taxa de chegada * tempo médio na fila
Número médio de clientes em atendimento = taxa de chegada * tempo médio de
atendimento Ls= λ* Ws Lq = λ* Wq L = λ*W
Look: Uma monitoração de uma controladora de disco mostra que o tempo
médio request de um I/O foi de 100 milissegundos. A taxa de I/O por segundo é
de 100 request por segundo. Logo o numero médio de request dessa
controladora é igual a taxa de chegada x o tempo de resposta = 100 * 0,1 = 10
request

Tools (experimente)
Para utilizar a teoria de filas em estudos de capacidade a sugestão é criar através de
uma programação simples ou através de uma planilha eletrônica.
O uso simplesmente de uma ferramenta pronta pode gerar dúvidas se as formulas
e/ou processos de geração dos indicadores não estiverem claros e em conformidade
com seu material de apoio ( Lembre que estamos procurando aprender)
Para haver uma situação que nos leve a praticar o método, estarei disponibilizando
uma planilha para testes e estudos. Ajudará na compreensão das modelagens a
serem feitas e gaste mais tempo na Analise (ela é a mais importante).
Sempre procure validar a modelagem evitando que o sua má utilização gere um
desconforto ou descrédito quanto de seu uso, você e os resultados.
Conhecer o processo é a chave de sucesso em modelagem analítica e em bons
resultados em muitas analises.

Case 1 e 2 - Modelo M/M/1
O tempo médio que uma query gasta em um sistema de banco de
dados é de 0,5 segundos e taxa de chegada é de 100 por minuto.
Com base nessas informações o que podemos determinar?
Taxa de atendimento é de 1/0,5 = 2 /seg
Taxa de chegada é de 100/60 = 4 /seg
Numa opção de uma melhora no sistema duas vezes mais rápido
quais seriam os indicadores com essa alteração? ( 4 / seg )

Caso 3 e 4 Modelos M/M/c
Um sistema de disco é composto por 3 drives compartilhando uma
fila comum. O tempo médio de serviço de I/O é de 50 milissegundos.
Os I/Os chegam ao sistema numa taxa de 30 por segundo. Com base
nessas informações o que podemos determinar?
Taxa de atendimento é de 1/0,05 = 20 /seg
Taxa de chegada é de = 30 / seg
Como ficaria o modelo se a quantidade de I/O fosse dividida em 3
discos com fila única? Usar o modelo M/M/1
Taxa de chegada : 30 / 3 = 10 / seg e serviço o mesmo 20 seg

By Eteocles M/M/3 = 30,000 I/Os / segundos
Sistema = 20,000 I/Os / segundos
Utilização 50,00% Ociosos 21,05%
Todos Ocupados os Discos 23,68%
3 Servidores
Fila Numero 0,237 I/Os
Tempo 0,008 segundos
Chegada E[s]= 0,050 /segundos Output
= 30,000 Fila > > > > > > > > > >
= 20,000 /segundos
Sistema Numero 1,737 I/Os
Tempo 0,058 segundos

Lembre que
Teoria das filas está presente em nosso dia a dia, no banco, no trânsito, na nossa
empresa, em qualquer situação em que necessitamos aguardar em algum tipo de
serviço ou atendimento. Teoria das filas já está mais do que consolidado quanto do
seu uso e confiabilidade
Porque usar ? Qual o motivo de aprender a usar Teoria das Filas?
Otimizar um processo ou sistema que irá trazer melhorias no :
•Uso racional dos serviços disponíveis,
•Tempo de espera ou atendimento ajustados aos nossos clientes,
•Rapidez no atendimento,
•Gerenciamento consistente e dinâmico em nossos sistemas
•Planejar a capacidade de capacidade dentro de fatos consistentes e justificados
•Conhecimento e controle do sistema do sistema
•Estudos de performance de forma rápida e consistente.

Só não erra na vida aquele que faz nada ... eu
Só não erra nunca quem nunca faz nada (Willian Connor Magee)
Se desafie
Corra riscos
Aprenda fazendo
Cresça em conhecimento
Estude sempre
Ensine a pescar

Nunca troque o que mais quer na
vida por aquilo que mais quer no
momento. Momentos passam, a vida
continua.

Dúvidas e Perguntas
Etéocles da Silva Cavalcanti
eteocles@dainf.ct.utfpr.edu.br Depto de Informática
eteocles@utfpr.edu.br Institucional UTFPr

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