Apostila formulada por duas amigas e eu. Requisito para aprovação no curso de Pesquisa Operacional, componente do curso de graduação em Tecnologia em Agronegócios da Fatec de Itapetininga. Fique a vontade para utilizar em suas pesquisas, porém, lembre-se de realizar as devidas citações.

1. 0
CENTRO PAULA SOUZA
FACULDADE DE TECNOLOGIA DE ITAPETININGA
CURSO SUPERIOR DE TECNOLOGIA EM AGRONEGÓCIOS
FELIPE JOSÉ DE LAZARI
ALINE BRASIL NEVES
RAQUEL APARECIDA PEREIRA ALVES
PESQUISA OPERACIONAL
EMBASAMENTO E TOMADA DE DECISÃO
Itapetininga, SP
Junho/2008

2. 1
FELIPE JOSÉ DE LAZARI
ALINE BRASIL NEVES
RAQUEL APARECIDA PEREIRA ALVES
PESQUISA OPERACIONAL
EMBASAMENTO E TOMADA DE DECISÃO
Apostila apresentada à disciplina de
PESQUISA
OPERACIONAL
para
avaliação semestral
Orientador: Prof. Msc. Marcelo
dos Santos Silvério
Itapetininga, SP
Junho/2008

3. 2
SUMÁRIO
1 PESQUISA OPERACIONAL: ........................................................................ 4
1.1CONCEITOS E APLICABILIDADE........................................................... 4
1.2 DIVISÃO DA PESQUISA OPERACIONAL.............................................. 5
1.3 CUSTOS FIXOS E VARIAVEIS .............................................................. 5
1.4 PERT-CPM
( PROGRAM EVALUATION AND REVIEW TECHNIQUE
- CRITICAL PATH METHOD ) ................................................................................. 8
1.5 PROGRAMAÇÃO LINEAR...................................................................... 8
2 RECEITAS, CUSTOS E PONTOS DE RUPTURA ........................................ 9
2.1 RECEITA............................................................................................... 11
2.2 CUSTOS ............................................................................................... 11
2.3 LUCROS ............................................................................................... 12
3 EXEMPLO: CUSTOS RECEITA E PONTO DE RUPTURA ........................ 16
3.1 ENCONTRANDO A FUNÇÃO CUSTOS ............................................... 16
3.2 RECEITA............................................................................................... 17
3.3 PONTO DE RUPTURA ......................................................................... 18
3.4 PONTO DE EQUILÍBRIO ...................................................................... 19
4 IDENTIFICANDO OS CUSTOS ................................................................... 23
4.1 FUNÇÃO RECEITA E PONTO DE EQUILÍBRIO .................................. 26
5 TOMADA DE DECISÃO .............................................................................. 29
6 PROBLEMA DE APLICAÇÃO .................................................................... 36
6.1 CURVA DOS CUSTOS ......................................................................... 37
6.2 FUNÇÃO LUCRO.................................................................................. 38
7 PROGRAMAÇÃO LINEAR (P.L.) ............................................................... 41
7.1 PROBLEMA DE APLICAÇÃO: .............................................................. 41

4. 3
7.2 VARIÁVEIS DE RESTRIÇÃO ............................................................... 42
7.3 SOLUÇÃO ÓTIMA ................................................................................ 44
7.4 REGIÃO SIMPLEX ................................................................................ 46
8 LINDO.......................................................................................................... 50
9 AJUSTAMENTO DE CURVAS. .................................................................. 55
OPÇÃO DE AJUSTE DOS EIXOS .............................................................. 58
9.1 PONTOS DE MÁXIMO E MÍNIMO LOCAIS .......................................... 63
10 REDES PERT/CPM ................................................................................... 69
10.1 PROBLEMA DE APLICAÇÃO ............................................................. 69
10.1 TEMPO CEDO, TEMPO TARDE, FOLGA E CAMINHO CRÍTICO ..... 71
10.1.1 Tempo cedo................................................................................. 71
10.1.2 Tempo tarde ................................................................................ 72
10.1.3 Folga ............................................................................................ 73
10.2 CAMINHO CRÍTICO............................................................................ 74
10 CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................... 76
REFERÊNCIAS .............................................................................................. 77

5. 4
1 PESQUISA OPERACIONAL
1.1CONCEITOS E APLICABILIDADE.
Pesquisa Operacional (P.O.) é um ramo interdisciplinar da matemática aplicada
que faz uso de modelos matemáticos, estatísticos e de algoritmos na ajuda à tomada
de decisões. Com o objetivo de melhorar e aperfeiçoar o desempenho, fornece
ferramentas quantitativas no processo de tomada de decisão.
É constituída por um conjunto de disciplinas isoladas, tais como Programação
Linear, Teoria das Filas, Simulação, Programação Dinâmica, Teoria dos Jogos, entre
outras.
De uma maneira geral, todas as disciplinas que constituem a PO se apóiam
em quatro ciências fundamentais: Economia, Matemática, Estatística e Informática.
Sua área de atuação é muito abrangente, desde fabricas, hospitais, fazendas
em geral, escritórios, estradas, e muitas outras.
Foi introduzida durante a Segunda Guerra Mundial, quando um grupo de
cientistas foi convocado na Inglaterra para estudar problemas de estratégia e de tática
associados com a defesa do país.
O objetivo era utilizar os escassos recursos militares de forma eficaz.
A convocação deste grupo foi à primeira atividade formal de pesquisa
operacional.
Como os resultados foram positivos os Estados Unidos motivou-se a utilizá-lo.
A Pesquisa Operacional é originária da Inglaterra, mas sua propagação devese principalmente à equipe de cientistas liderada por George B. Dantzig, dos Estados
Unidos, convocada durante a Segunda Guerra Mundial.
A pesquisa foi concluída em 1947, e deu-se o nome de Método Simplex.
Com o aumento da velocidade de processamento e quantidade de memória
dos computadores atuais, houve um grande progresso na Pesquisa Operacional. Este
progresso é devido também à larga utilização de microcomputadores, que se tornaram
unidades isoladas dentro de empresas. Isso faz com que os modelos desenvolvidos
pelos profissionais de Pesquisa Operacional sejam mais rápidos e versáteis, além de

6. 5
serem também interativos, possibilitando a participação do usuário ao longo do
processo de cálculo.
Nesta apostila abordaremos algumas áreas da PO, sendo elas a programação
linear, o ajustamento de curvas, os pontos de equilíbrio ou ruptura, as redes
PERT/COM e, principalmente, a importância destas ferramentas para a tomada de
decisão.
1.2 DIVISÃO DA PESQUISA OPERACIONAL
P.O. pode ser dividida entre disciplinas isoladas, tais como Programação
Linear, Teoria das Filas, Simulação, Programação Dinâmica, Teoria dos Jogos, entre
outras.
1.3 CUSTOS FIXOS E VARIAVEIS
Os custos fixos são aqueles que ocorrem todos os meses independentes da
quantidade produzida, já os custos variáveis variam de acordo com a quantidade
produzida.
Ocorrem também os custos diretos e indiretos, geralmente os custos diretos
são variáveis como podemos observar nestes dados específicos.
Suponhamos que os seguintes Custos de Produção de determinado Período precisam ser
alocados os quatro diferentes produtos elaborados pela empresa:
Matéria-Prima - R$ 2.500.000,00
Embalagens - R$ 600.000,00
Materiais de Consumo - R$ 100.000,00
Mão-de-obra - R$ 1.000.000,00
Salários da Supervisão - R$ 400.000,00
Depreciação das Máquinas - 300.000,00

7. 6
Energia Elétrica - R$500.000,00
Aluguel do Prédio - R$ 200.000,00
Total - R$ 5.600.000,00
O responsável por Custos faz os levantamentos e as análises necessárias e
verifica o seguinte:
Matéria-Prima e Embalagens: podem ser apropriadas perfeitas e diretamente
aos quatro produtos, já que foi possível identificar quanto cada um consumiu.
Materiais de Consumo: alguns são lubrificantes de máquinas, e não há como
associá-los a cada produto diretamente, e outros são de tão pequeno valor que
ninguém se preocupou em associá-los a cada produto.
Mão-de-obra: é possível associar parte dela diretamente com cada produto,
pois houve uma medição de quanto cada operário trabalhou em cada um e
quanto custa cada operário para a empresa. Mas parte dela refere-se aos
chefes de equipes de produção, e não há possibilidade de se verificar quanto
atribuir diretamente aos produtos ($ 200.000 dos $ 1.000.000).
Salários da Supervisão: muito mais difícil ainda de se alocar por meio de uma
verificação direta e objetiva do que a mão-de-obra dos chefes de equipes de
produção, já que essa supervisão é a geral da fábrica. Representa esse custo
o gasto da supervisão dos chefes de equipes e, por isso mesmo, muito mais
difícil é a alocação aos produtos.
Depreciação das máquinas: a empresa deprecia linearmente em valores iguais
por período, e não por produto. Haveria possibilidade de apropriar diretamente
a cada produto se a depreciação fosse contabilizada de outra forma.
Energia Elétrica: parte dela é possível alocar a 3 dos 4 produtos, já que a
máquina que mais consome energia elétrica possuí um medidor próprio, e a
empresa faz verificações de quanto consome para cada item elaborado.
Porém, o resto da energia só é medido globalmente, e não há forma direta de
alocação ($ 350.000 são alocáveis e $ 150.000 não).
Aluguel do Prédio: impossível de se medir diretamente quanto pertence a cada
produto.

8. 7
Após essas análises, podemos verificar que alguns custos podem ser
diretamente apropriados aos produtos, bastando haver uma medida de consumo
(quilogramas de materiais consumidos, embalagens utilizadas, horas de mão-de-obra
utilizadas e até quantidade de energia elétrica consumida). São os Custos Diretos com
relação aos produtos.
Outros realmente não oferecem condição de uma medida objetiva e qualquer
tentativa de alocação tem de ser feita de maneira estimada e muitas vezes arbitrária
(como o aluguel, a supervisão, as chefias, etc.). São os Custos Indiretos com relação
aos produtos. A classificação de Direto e Indireto que estamos fazendo é com relação
ao produto feito, e não à produção no sentido geral ou aos departamentos dentro da
fábrica. Alguns custos têm características especiais. Por exemplo, vimos que parte
dos Materiais de Consumo poderia ser apropriada diretamente, mas, dada sua
irrelevância, verificou-se não valer a pena esse trabalho; muitas vezes a relação
"custo-benefício" é desfavorável para itens de pequena importância.
Outros, como a Depreciação, poderiam também ser apropriados de maneira
mais direta, porém, pela própria natureza na maior parte das vezes considerado útil
tal procedimento. O próprio valor da depreciação como um todo é tão estimado e
arbitrariamente fixado que chega a ser pouco útil a alocação direta.
Finalmente, certos custos, como a Energia Elétrica, são relevantes, mas não
tratados como diretos, já que para tanto seria necessária à existência de um sistema
de mensuração do quanto é aplicado a cada produto. Por ser caro esse sistema ou
de difícil aplicação, ou ainda por não ser muito diferente o valor assim obtido daquele
que se calcularia com base na potência de cada máquina e no volume de sua
utilização, prefere-se fazer a apropriação de forma indireta.
Pode-se inclusive dizer também que, entre os Indiretos, existem os menos
Indiretos (quase Diretos), como Materiais de Consumo, e os mais indiretos, como
Supervisão da fábrica, Imposto Predial ou Corpo de Segurança.
Todos os custos podem ser classificados em Fixos e Variáveis ou em Diretos e
Indiretos ao mesmo tempo. Assim, a matéria-prima é um Custo Direto e Variável, os
materiais de consumo são normalmente Custos Indiretos e Variáveis, os seguros da
fábrica são Custos Indiretos e Fixos, etc.

9. 8
1.4 PERT-CPM (PROGRAM EVALUATION AND REVIEW TECHNIC – CRITICAL
PATH METHOD)
É um método de planejamento e replanejamento e avaliação de processo, com
a finalidade de controlar a execução de um programa ou projeto.
Em alguns países ele é tão utilizado que as grandes administrações púbicas
exigem que os fornecedores utilizem esta forma de controle.
O PERT foi desenvolvido pela NASA com a finalidade de controlar o tempo e a
execução de tarefas realizadas pela primeira vez.
O CPM foi criado na empresa norte-americana Dupont com o objetivo de
realizar as paradas de manutenção no menor prazo possível e com o nível constante
de utilização dos recursos.
Os dois métodos são quase idênticos e foram criados no ano de 1958.
1.5 PROGRAMAÇÃO LINEAR
Foi criada em 1946, com a finalidade de diminuir custos e aumentar os lucros
de situações reais.
Programação Linear técnica de planejamento que vem se constituindo como
uma das mais poderosas em quase todo ramo da atividade humana. Seus benefícios
são exatamente aqueles procurados por qualquer empresa: diminuição dos custos e
aumento dos lucros. Em algumas organizações ela está, inclusive, embutida em suas
rotinas informatizadas de planejamento diário dos processos de operação.
Algumas de suas aplicações são:
- Formulação de alimentos, rações e adubos
- Transportes
- Localizações industriais
- Carteiras de ações
- Alocação de recursos em fábricas, fazendas, escritórios, etc
- Designação de pessoas e tarefas.

10. 9
2 RECEITAS, CUSTOS E PONTOS DE RUPTURA
Suponhamos que a quantidade mensal vendida de morangos transgênicos
azuis esteja relacionada com o preço unitário do mesmo segundo o gráfico
Quantidade Q
1500
250
Preço em reais
Pelo gráfico acima, podemos notar os preços para a quantidade 0 e também
para o preço 0. Porém, se quisermos descobrir qual seria o preço para a quantidade
de 290 unidades, deveríamos formular uma equação a qual representasse o gráfico
acima. Podemos formulá-la com a utilização de uma derivada, ou seja, uma taxa de
variação que represente a inclinação da curva numa relação quantidade, podemos
então utilizar a fórmula:
Q(p)= ap+b
Onde a =
∆Q Qf − Qi 0 − 1500 − 1500
=
=
=
= −6
∆p pf − pi 250 − 0
250
B= ponto onde o valor de p=0, ou seja, onde a curva intersecciona o eixo das
ordenadas, no caso do nosso exemplo, o eixo Q, portanto, se substituirmos o valor de

11. 10
“a” na fórmula Q(p) = ap+b, o que nos daria a função Q(p) = -6p + b, e substituirmos
na fórmula os valores de Q(p), ou seja, a imagem que se encontra no eixo das
ordenadas, e substituirmos “p”, por um ponto no domínio, o qual gerou a imagem
selecionada no eixo Q, teremos uma única incógnita, a própria b.
Demonstração
- substituição 1, “a”:
Q(p) = ap + b →Q(p) = -6p + b
- substituição 2 (para esta substituição, é necessário que conheçamos o valor
tanto do domínio quando da imagem em questão do ponto que desejamos destacar
na função, sendo assim, é aconselhável que, utilizemo-nos de pontos de fácil
localização no gráfico e dos quais tenhamos certeza da exatidão. É aconselhável
portanto, que utilizemos pontos dos eixos. Em nosso exemplo, utilizaremos os pontos
dos eixos Q= 0 e p = 250
Q(p) = -6p + b→ 0= -6.250 + b
Em seguida, isolamos a incógnita para podermos obter o seu valor como a
constante que é
-b = -1500
-b = -1500 (-1) agora, multiplicamos a equação toda por -1 para que valor de b
não seja negativo, portanto, o valor de b é
b=1500
Possuímos então o valor das duas constantes da equação, o valor de a, que é
-6 e o valor de b, que é 1500, sendo assim, podemos substituí-los na fórmula Q(p) =
ap + b, que teremos agora a função:

12. 11
Q(p) = -6p + 1500
Onde “p” é o preço, ou seja, a série de pontos presentes no domínio da função
que se encontra no eixo das abscissas e Q é a quantidade, ou seja, a imagem
presente no eixo das ordenadas que se relaciona ao preço gerando a curva da função.
2.1 RECEITA
Entendemos por receita os lucros, em relação à quantidade vendida de um
determinado bem, ou serviço, desconsiderando seus custos. Pode-se compreender
como os lucros brutos de um exercício.
Para equacionarmos a receita somente necessitamos de uma equação
simples, onde os preços (p) são multiplicados pela quantidade (Q). Portanto, a
equação formulada será:
R= p.Q → p(-6p + 1500) → R= -6p² + 1500p
2.2 CUSTOS
Podemos admitir 3 formas básicas de custos:
- Custos fixos: aqueles que independem de produção, ou seja, são gastos
com plantas, parcelas de máquinas adquiridas em leasing...
- Custos variáveis: aqueles que dependem da produção, que aumentam e
diminuem em relação à produção, ou seja, matéria prima, mão de obra para a
produção, frete.

13. 12
- Custos casuais: aqueles que não são nem fixos nem variáveis, são custos
que não podem ser previstos com muita antecedência à produção, pois se manifestam
durante o processo de forma a serem computados quando surgem.
Adotando o exemplo de produção citado a cima, podemos calcular seus custos.
Para a produção de tal mercadoria, vamos tomar por hipótese a existência de apenas
custos variáveis, e que estes custos sejam de $20,00 por unidade produzida. Sendo
assim, qual é a função que determina os custos para a produção?
Podemos equacionar estes custos, tendo em vista de que eles variam em
relação à quantidade, então teremos a função que os determina:
C= 20Q → 20(-6p + 1500) → C = -120p + 30000
Onde “Q” é a incógnita referente à quantidade produzida.
2.3 LUCROS
Podemos classificar como lucro, todo o resíduo da produção que fora suficiente
para suprir as despesas com a produção e “sobraram’ ao fim do processo produtivo.
Se o resultado da produção, no âmbito financeiro, é a receita, o lucro é a receita
menos os custos totais, ou seja, os custos variáveis mais os custos fixos mais os
custos casuais.
Podemos equacionar este lucro utilizando um “sistema de funções’, ou seja,
subtraindo uma função da outra, no nosso caso, subtraindo da função receita, ou seja,
R= p.Q, a função custo, C= Cfix+Cvar+Ccas.
Podemos então afirmar que:

14. 13
L= R-C → L= Q.p – Cfix + Cvar + Ccas
Exemplo:
Adotando o gráfico de produção, qual é a função lucro?
A solução para isso é subtrairmos da função receita, citada acima a função
custo, que para o nosso exemplo, como já foi dito, é apenas variado.
Portanto teremos na função lucro:
L= R – C → L = p.Q – 20Q → L = (-6p + 1500)p -20(-6p + 1500) → L= -6p² +
1500p + 120p -30000 → L= -6p² + 1620p – 30000
Podemos, para esta função, formular o seguinte gráfico
Quantidade
Lucros
90000
80000
70000
60000
50000
40000
30000
20000
10000
Preço
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
320
340
360
380
400
420
440
460
480
-10000
Agora, podemos determinar qual é o melhor nível de produção, ou seja, no qual
se produza a quantidade que assegure o maior lucro. Para tal, devemos notar que, a
partir de um determinado ponto no gráfico a função que representa os lucros torna-se
decrescente.

15. 14
As derivadas nos demonstram a taxa de variação instantânea de uma função,
sendo assim, se a mesma é negativa, a função será decrescente e, se positiva, a
função é crescente. Levando esta teoria em consideração, o que acontece se a
derivada for igual a zero?
A resposta é, temos um ponto de máximo ou mínimo local, ou seja, é a partir
deste ponto que o sinal da derivada se altera.
Sendo assim, podemos utilizar a derivada para sabermos até que ponto é viável
produzir ou, melhor ainda, qual é o ponto ótimo de produção, o ponto onde a
quantidade produzida pode nos oferecer o maior lucro possível, este é o ponto de
máximo, e podemos encontrá-lo na função lucro através de sua derivada, ou seja,
derivamos a função e, se sabemos que o valor que desejamos é o de 0 para aquela
determinada derivada, determinamos isso igualando-a à 0:
Para tanto, primeiro derivaremos a função lucro, utilizando a aclamada “regra
do tombo”:
L = -6p² + 1620p – 30000 → L’= -12p + 1620 → -12p + 1620 = 0 → -12p = 1620 →
→ p = 135
Sendo assim, podemos interpretar o resultado como sendo o ponto p=135 no
domínio, o ponto onde a derivada da função, ou seja, a reta tangente, possui uma
inclinação igual a zero, sendo este um ponto de máximo.

16. 15
Para sabermos qual é o lucro obtido com esta produção, podemos colocar o
valor do p encontrado, ou seja, p = 135, na função lucro:
L = -6.135² + 1620.135 – 30000 → L = $ 79350,00

17. 16
3 EXEMPLO: CUSTOS RECEITA E PONTO DE RUPTURA
Agora, buscaremos o ponto de ruptura em um caso onde, além dos custos
variáveis, teremos custos fixos.
Consideramos uma companhia que fabrica panelas. O arrendamento do galpão
e do maquinário necessários para começar a produção são os custos fixos, pois tais
custos existem ainda que nenhuma panela seja produzida. Os custos de matéria prima
são variáveis, pois tais quantias dependem de quantas panelas serão feitas. Suponha
que os custos fixos para esta companhia sejam de R$ 8.700,00 e os custos variáveis
de R$ 4,00 por panela.
A receita desta empresa é de R$9,00 por panela (sendo x o número de panelas
vendidas, a receita é dada por R(x) = 9x.
3.1 ENCONTRANDO A FUNÇÃO CUSTOS
Como bem sabemos, a função custos é a somatória dos custos variáveis,
custos fixos e custos casuais. No exemplo anterior, nossos custos eram apenas
variáveis, agora, agregaremos custos fixos, ou seja, aqueles que independem da
quantidade produzida:
Custos fixos = 8700
Custos variáveis = 4 por panela, se afirmamos que cada panela pode ser
representada pela incógnita x, então também podemos afirmar que a função dos
custos variáveis é de Cvar = 4x, ou seja, para a variação de cada x há uma variação
de R$ 4,00
O nosso objetivo agora é criar uma função que represente todos os custos, ou
seja, somarmos as duas funções.

18. 17
Custos Fixos + Custos variados → 8700 + 4x
Com isso, podemos então classificar a junção destas duas funções em uma
única função, a qual chamaremos apenas de C(x), e ela é:
C(x) = 4x + 8700
3.2 RECEITA
A receita permanece com sua forma inalterada, sendo o bruto recebido por
quantidade vendida. Em nosso exemplo, a função receita se dá por R(x) = 9x
Podemos colocar ambas as funções num mesmo gráfico e compararmos as
disposições das mesmas

19. 18
Sabendo que, a função lucro apresenta-se como receita – Custos, podemos
definir a função lucro por um sistema de funções onde:
L = 9x – (4x + 8700) → L = 5x – 8700.
3.3 PONTO DE RUPTURA
Ponto de ruptura é a quantidade a partir da qual o lucro é positivo, ou seja, a
quantidade “x” para a qual a função lucro apresenta um resultado > 0. Porém, o ponto
de ruptura em si é situado no ponto do domínio da função lucro onde a imagem é 0,
ou seja, podemos encontrá-lo igualando a função lucro à 0:
L = 5x – 8700 → 5x – 8700 = 0→ 5x = 8700 → x =
଼଻଴଴
ହ
→ x = 1740
Isso significa que, no ponto do domínio da função lucro x=1740, o resultado é
zero

20. 19
3.4 PONTO DE EQUILÍBRIO
Observe o que acontece quando utilizamos o ponto x = 1740 nas funções:
Custos

21. 20
Receitas:
Perceba que em ambas as funções, o ponto x do domínio em questão encontrase em destaque.
Observe agora o que acontece quando sobrepomos as funções custos e
receitas num mesmo gráfico com o ponto, o qual chamamos equilíbrio, em destaque.

22. 21
Veja que, o ponto de equilíbrio, se sobrepõe nas funções. Isto ocorre porquê
eles possuem o mesmo domínio e a mesma imagem, sendo assim, tem o mesmo
resultado em funções diferentes. Note que, as funções as quais estamos falando são
as funções Custos e Receitas.
Chamamos este ponto de ponto de equilíbrio, pois é o ponto no qual as receitas
satisfazem os custos, para sabermos qual é o valor deste ponto no domínio das
respectivas funções, somente necessitamos encontrar o ponto de ruptura da função
lucro, ou seja, aquele no qual a função lucro é igual à 0, sendo assim, poderemos
utilizar o valor do domínio em ambas as funções e conferirmos o ponto de equilíbrio
de forma que, em ambas, a imagem deve ser a mesma.
Após o ponto de equilíbrio, podemos afirmar que a diferença entre as funções
Custos e Receitas, é o valor dos Lucros

23. 22
Recapitulando:
O ponto de equilíbrio é o ponto onde as funções Receitas e Custos se
satisfazem, sendo que, para o ponto do domínio em questão, possuem nas
respectivas funções, uma mesma imagem, sendo esta imagem a referente ao ponto
de ruptura da função lucro, que se dá pela mesma igualada à zero.

24. 23
4 IDENTIFICANDO OS CUSTOS
Existem situações onde os custos não são apresentados de maneira explicita,
sejam eles custos fixos ou variáveis. Vejamos o Exemplo abaixo:
O preço de custo de mini tubérculos de batata-semente hidropônica varia com
a quantidade “q” de unidades produzidas. Assim, se nossa empresa produzir 10.000
peças, o custo de produção será $ 200.000,00 e se ela produzir 24.000 peças, o custo
será de $ 368.000,00. Porém, nossa empresa possui custos fixos e variados, pois
precisamos pagar o aluguel do galpão onde trabalhamos e o leasing de algumas das
máquinas além da matéria prima para a produção.
Quais os custos fixos e variáveis de nossa produção?
Nesta situação, não podemos, de imediato, identificar quais são os custos de
produção, porém, com a ajuda da matemática, poderemos criar uma função que
represente os custos, onde tanto os custos fixos, quanto os variáveis, serão
devidamente fixados. Para tal, comecemos os cálculos!
Primeiramente, o texto traz uma informação muito importante, a informação
sobre os custos totais, ou seja, ele nos diz que, se produzirem 10.000 peças, o custo
será de $ 200.000,00 e se produzirem 24.000 peças, o custo será de $ 368.000.
Podemos admitir que:
C(q) = custos totais → C(q) = Cvar + Cfix → C(q) = c.q + Cfix
Os custos totais são a soma dos custos fixos e variáveis, e os custos variáveis
são aqueles que dependem da produção “q”, ou seja, há um valor fixo para cada
unidade produzida
Encontrando o custo de produção do problema
Segundo o problema apresentado no exemplo acima, temos um custo total para
certa quantidade de produção, porém, possuiremos então em nossa função duas
incógnitas:

25. 24
C(q) = c.q + Cfix
-Para a produção de q = 10000 teremos C = 200000, substituindo na função:
200000 = 10000c + Cix
-Para a produção de q = 24000 teremos C = 368000, substituindo na função:
368000 = 24000c + Cfix
Com estas duas funções, podemos aplicar uma operação matemática
conhecida como sistema de equações, onde a idéia é eliminarmos uma incógnita das
equações para podermos identificar o valor da outra.
Portanto, mãos à obra!
Se transformarmos uma das funções acima numa função negativa,
multiplicando-a por -1, o que alteraria seu sinal porém manteria seus números
intactos, poderemos então subtraí-la da outra função
Veja como faremos isso:
200000 = 10000c + Cfix
368000 = 24000c + Cfix
Note que em ambas as funções existe uma incógnita em comum, “Cfix”, sendo
assim, poderemos eliminá-la das funções multiplicando uma delas por -1 e subtraindoa da função que permanecer positiva:
200000 = 10000c + Cfix
-200000 = -10000c - Cfix
(-1)
→
368000 = 24000c+ Cfix
368000 = 24000c + Cfix

26. 25
-Se subtrairmos uma função da outra teremos a função:
168000 = 14000c
Note que eliminamos a incógnita Cfix. Isto foi possível porque subtraímos uma
função da outra, e, em uma delas, esta incógnita possuía um sinal positivo, já na outra,
um sinal negativo, sendo assim, seu valor tornou-se 0, e 0 adicionado a um outro
número, é inexpressivo.
-Agora poderemos encontrar o valor da incógnita “c”, que na verdade é a
constante do custo variável:
168000 = 14000c → 14000c = 168000 → c =
ଵ଺଼଴଴଴
ଵସ଴଴଴
→ c = 12
-Agora que conhecemos o valor da constante c, que é 12, poderemos substituir
em qualquer uma das duas funções e encontrarmos o valor da outra incógnita, Cfix,
que também é uma constante na função:
Tomemos para o cálculo a função 368000 = 24000c + Cfix
Substituindo o valor de “c”
368000 = 24000.12 + Cfix → -Cfix = 288000 – 368000 → -Cfix = -80000 →
Cfix =
ି଼଴଴଴଴
ିଵ
→ Cfix = 80000
-Com estes cálculos simples, conseguimos identificar as duas incógnitas, que
na verdade eram constantes, de nossa função custo que é:
C(q) = 12q + 80000

27. 26
Dica:
Para verificarmos a exatidão de nossos cálculos, podemos utilizar uma das
quantias as quais sabemos o valor do custo, substituindo a quantidade na função
custo. Veja:
q = 10000
C(q) = 12.10000 + 80000 → C(q) = 120000 + 80000 → C(q) = 200000
Note que o resultado da função custo para uma quantidade de 10000 foi de $
200.000,00, como citado no problema, portanto, podemos afirmar que a função custo
que se encaixa a este problema é a:
C(q) = 12q + 80000
4.1 FUNÇÃO RECEITA E PONTO DE EQUILÍBRIO
Ainda levando em consideração o exemplo utilizado na demonstração anterior,
suponhamos que a receita por unidade ‘q’ vendida seja de $ 17,00. Qual será o ponto
de equilíbrio?
-Retomemos os exemplos anteriores, onde comprovamos que o ponto de
equilíbrio entre as funções receita e custos é o ponto de ruptura da função lucro, sendo
assim, para encontrarmos o nosso ponto de equilíbrio, primeiro deveremos encontrar
a função lucro.

28. 27
Lembremos que:
A função Custo é :
- C(q) = 12q + 80000
A função receita é a relação entre o valor a ser vendido e a quantidade vendida,
ou seja, se afirmamos que cada unidade que vendemos é transacionada a um valor
de $ 17,00 então nossa função receita será este valor fixado por cada unidade
vendida. Poderemos então representar matematicamente esta situação pela equação:
- R(q) = 17q
Sendo assim, podemos representar então nossa função lucro:
- L(q) = R(q) – C(q) → L(q) = 17q – (12q + 80000) → L(q) = 17q – 12q - 80000→
L(q) = 5q – 80000
Agora que já possuímos a equação Lucro, igualemo-na à zero e então
possuiremos o ponto de ruptura:
- L(q) = 5q – 80000 → 5q – 80000 = 0 → 5q = 80000 → q =
଼଴଴଴଴
ହ
→ q = 16000
Com estes cálculos, pudemos encontrar o ponto de ruptura da função lucro,
sendo assim, resta-nos empregá-lo nas funções Custo e Receita e compararmos os
resultados, se forem iguáis, este será o ponto de equilíbrio:
R(16000) = 17.16000 → R(16000) = 272000
C(16000) = 12,16000 + 80000 → C(16000) = 272000

29. 28
- Sendo iguais os resultados em ambas as funções, este é nosso ponto de
equilíbrio.
Veja o Gráfico:
Lembrando:
- A partir do ponto de equilíbrio, a diferença entre as curvas geradas pela função
Custos e a função Receita é igual aos lucros.

30. 29
5 TOMADA DE DECISÃO
Neste exemplo empregaremos os cálculos de lucros para a tomada de decisão.
Veja o exemplo abaixo:
Para custear seus estudos um estudante resolve vender caixas de damasco.
Se trabalhar para o proprietário de uma quitanda, ele receberá fixo por dia R$ 5,00 até
cumprir uma meta de 20 caixas diárias vendidas. A partir da 21ª caixa, o patrão lhe
pagará R$ 0,70 por cada caixa vendida acima da meta. Por outro lado, ele sabe que
pode comprar direto do produtor cada caixa de damascos e vendê-las, descontados
os impostos, com lucro de R$ 0,50, revertido exclusivamente para ele.
Qual é a melhor situação para o estudante ser proprietário de seu negócio e de
ser empregado?
Temos uma questão de tomada de decisão direta, agora teremos que analisar
a situação antes de agir, primeiramente, devemos notar os lucros que o estudante
possuiria em ambos os casos, para tal, devemos equacioná-los.
-Empregado:
Neste caso ele possui uma renda fixa diária de R$ 5,00 antes de atingir a meta
de 20 caixas de damascos, ou seja, vendendo ou não o produto, esta é uma renda
certa, após cumprir a meta, terá uma comissão de R$ 0,70 por caixa
- Autônomo:
Neste caso, seu lucro por caixa vendida é de R$ 0,50
Para qual situação é mais propício ser autônomo e para qual é melhor ser
empregado?

31. 30
A chave para a solução do problema é o ponto de equilíbrio entre os lucros,
podemos equacionar as duas situações:
- Empregado
Para menos de 20 caixas seu lucro é fixo, ou seja, L = 5
Para mais de 20 caixas seu lucro é de R$ 0,70 por caixa. Para equacionarmos
esta situação, teremos de usar um pouco de lógica:
Se o estudante vender 20 caixas, ainda não possuirá esta “renda premio”, sua
comissão. Somente à partir da 21ª caixa, ela existe, então, somente a partir deste
ponto. Porém, o valor de R$ 5,00 será fixo, ou seja, se ele vender uma quantidade “q’
de caixas de damasco sendo que esta é maior do que 20, sua renda será de R$ 0.70
mais os R$ 5,00 que já lhe eram garantidos. Podemos então criar a equação:
R = 0.7(q – 20) + 5
Pois só existirá esta renda quando o valor de “q” for maior que 20, porém, é
válido lembrar que, para este caso, pode haver uma delimitação do domínio da função
onde teríamos a seguinte função:
R = 0,7q +5
D ={ q E R/ q >20}
- Autônomo
Neste caso, independente da quantidade “q”, sua renda é de R$ 0,50 por
unidade, então a função q se encaixa é:
L = 0,5q
Tomando a decisão

32. 31
Para sabermos qual é a melhor situação para o estudante, devemos encontrar
o ponto de equilíbrio das funções, porém, veja primeiro o gráfico abaixo.
Note que as funções se cruzam 2 vezes, isso nos diz que não existe apenas 1
ponto de equilíbrio, mas sim 2 pontos. Para podermos encontrar estes pontos, observe
também que as funções se cruzam em situações diferentes, sendo uma antes da
comissão - como autônomo pois a curva em questão é uma constante - e a outra, com
a comissão.
Para encontrarmos os pontos de equilíbrio, podemos adotar a forma de
resolução empregada nos exemplos anteriores, com o ponto de ruptura. Porém, não
encontraremos agora uma fórmula de lucros, pois este não é nosso objetivo, mas sim,
a diferença entre as funções, portanto, calculemos.

33. 32
Primeiramente, calculemos o ponto de equilíbrio para as vendas até 20 caixas,
onde temos as funções:
- Empregado:
R= 5
- Autônomo:
R = 0,5q
- Utilizando o sistema de funções:
R = 5 (-1)
R = -5
→
R = 0,5q
→ R = 0,5q - 5
R = 0,5q
- Igualamos o valor da renda à 0:
R = 0,5q – 5 → 0,5q – 5 = 0 → 0,5q = 5 → q =
ହ
଴,ହ
→ q = 10
Agora sabemos que para “q” < =20, o ponto de equilíbrio entre as funções é q
= 10. Para confirmarmos estes cálculos, substituamos em ambas as funções o valor
de “q”
R = 5, para esta função não há o que substituir, pois é uma constante
R = 0,5.5 → R = 5
Agora, temos a confirmação do nosso ponto de equilíbrio, que chamaremos de
Equilíbrio 1

34. 33
Façamos o mesmo para o ponto de equilíbrio com q >20
- Empregado:
R = 0,7(q-20) + 5
- Autônomo:
R = 0,5q
- Aplicando o sistema
Desta vez, apresentaremos uma outra forma de aplicar-se sistema de funções,
o que pode tornar mais fácil a compreensão da resolução do problema, apenas
igualaremos as funções. Observe:
0,7(q – 20) + 5 = 0.5q→ 0,7q – 14 +5 = 0,5q → 0,7q – 9 = 0,5q → 0,7q – 0,5q
= 9 → 0,2q = 9 → q =
ଽ
଴,ଶ
→ q = 45
Encontrado o ponto de equilíbrio, apliquemo-lo às funções para validá-lo:
R = 0,7(45 – 20) + 5 → R = 0,7.25 + 5 → R = 22,5
R = 0,5.45 → R = 22,5
Validado o ponto, então teremos o nosso novo ponto de equilíbrio, o qual
chamaremos Equilíbrio 2
Agora, visualizamos o gráfico novamente:

35. 34
Agora podemos notar quais são os pontos de equilíbrio do problema, e notando
a diferença nas curvas de empregado e autônomo, podemos perceber até que ponto
vale a pena ele ser empregado e autônomo
Analisando os dados e chegando à uma conclusão
Podemos ver no gráfico, a diferença entre as curvas, podemos nos orientar por
ela para tomarmos a decisão, ou seja, até onde vale a pena continuar trabalhando
como empregado e a partir de onde vale a pena começar o próprio negócio.
Note que, no gráfico, a partir de 0, a renda como empregado é maior que a
renda como autônomo, mas só até a ponto de vender 10 caixas de damasco, onde a
renda como autônomo é superior, o que deixa de ser verdade a partir da venda de 45
caixas, onde a renda como empregado, torna a ser maior.
Portanto, podemos afirmar que,:

36. 35
-para vender até 10 caixas, vale à pena ser um empregado;
-para vender acima de 10 caixas, porém, abaixo de 45, vale à pena ser um
empreendedor;
-porém, para superar a margem de 45 caixas, é muito melhor ser um
empregado, pois a renda é superior a do empreendedor.

37. 36
6 PROBLEMA DE APLICAÇÃO
Neste exemplo, demonstraremos o gráfico de uma produção e você deverá
encontrar a função lucro, o que lhe dará o ponto de ruptura.
Os custos totais de produção da nossa empresa de rações são mostrados no
gráfico a seguir, juntamente com a receita total.
$
R
eceita
c
ustos
0
40
2
kg
de ração
Solução;
Para resolvermos este problema, primeiramente temos de definir quais funções
geraram as curvas da receita e dos custos. Para tal, utilizaremos a derivada destas
curvas.
Como são “retas”, podemos deduzir que as equações são de 1º grau, ou seja,
sua fórmula é : Y = ax +b

38. 37
Onde:
- x é a variável, o nosso caso, Kg de ração;
- b é a constante, que pode tanto ser definida como o ponto onde a curva
intersecciona o eixo das ordenadas como o valor obtido pela adoção de x = 0
- a é o coeficiente angular da reta, ou seja, sua derivada, a taxa de variação
instantânea da curva
- Y é preço de produção e o valor da renda, para as respectivas curvas
6.1 CURVA DOS CUSTOS
Podemos agora encontrar a função que gerou esta curva.
Primeiramente, vamos calcular o valor de a, para tal, utilizaremos a derivada
da curva:
௱௒
a = ௱௫ → a =
௬௙ି௬௜
௫௙ି௫௜
→a=
଼଴ି଺଴
ସ଴ି଴
ଶ଴
→ a = ସ଴ → a = 0,5
Em seguida, encontraremos o valor de “b”, para tal, selecionaremos valores de
x e Y que estejam evidentes no gráfico para substituirmos, em nosso caso, optamos
pelos valores de Y = 80 e x = 40
Y = ax + b → 80 = 0,5.40 + b → b + 20 = 80 → b = 80 – 20 → b = 40
Sendo determinadas as constantes, podemos formar a função que deu origem
à curva:
Y = 0,5x + 40
Habilitando à ao problema, teremos:

39. 38
C(kg) 0,5kg + 40
Curva da receita
Para a curva da receita, utilizaremos a mesma técnica de resolução:
-a=
௱௒
௱௫
→a=
௬௙ି௬௜
௫௙ି௫௜
→a=
଼଴ି଴
ଷଶି଴
→ a = 2,5
Em seguida, encontraremos o valor de “b”, para tal, selecionaremos valores de
x e Y que estejam evidentes no gráfico para substituirmos, em nosso caso, optamos
pelos valores de Y = 80 e x = 32
- Y = ax + b → 80 = 2,5.32 + b → 80 + b = 80 → b = 80 – 80 → b = 0
Sendo determinadas as constantes, podemos formar a função que deu origem
à curva:
Y = 2,5x
Habilitando à ao problema, teremos:
R(kg) = 2,5 kg
6.2 FUNÇÃO LUCRO
Para formularmos a função Lucro, devemos lembrar que, lucro é igual à
receita menos despesas portanto:
L = R(kg) – C(kg) → L = 2,5kg – (0,5kg + 40) → L = 2,5kg – 0,5kg – 40 →

40. 39
L = 2kg – 40
Determinada a função Lucro, igualamo-la a zero e então encontraremos o ponto
de ruptura, conseqüentemente, o ponto de equilíbrio entre as curvas dos custos e da
receita:
L = 2kg – 40 → 2kg – 40 = 0 → 2kg = 40 → kg =
ସ଴
ଶ
→ kg = 20
Sabemos que nosso ponto de ruptura é em kg = 20, agora, para validá-lo como
ponto de equilíbrio entre as funções, coloquemo-lo nas respectivas funções.
R(kg) = 2,5kg → R(kg) = 2,5.20 → R(kg) =50
C(kg) = 0,5kg + 40 → C(kg) = 0,5.20 + 40 → C(kg) = 10 + 40 → C(kg) = 50
Veja agora no gráfico:

41. 40

42. 41
7 PROGRAMAÇÃO LINEAR (P.L.)
A programação linear é a área mais utilizada em P.O.
Ela surgiu na 2ª Guerra Mundial com o intuito de otimizar soluções de
problemas que possam ser modelados matematicamente.
7.1 PROBLEMA DE APLICAÇÃO:
Desejamos otimizar o lucro pela utilização de duas opções de cultura: milho e
trigo. As restrições referem-se ao espaço utilizado sendo que as partes de milho e
trigo não podem ultrapassar a dimensão disponível para o plantio que é de 200 ha.
Sabe-se que cada hectare de milho consome R$1.000,00 com gastos de preparação
de terreno e 20 homens/horas de utilização de mão de obra. Já o trigo consome R$
1.200,00 para o preparo e exige 30 homens/horas como mão de obra. Está disponível
um total de R$ 240.000,00 para o plantio e manejo e um total de 5040 homens/horas
para mão de obra. Por fim, o lucro esperado é de R$ 600,00 por hectare de milho e
R$ 850,00 por hectare de trigo.
Solução:
Para começarmos a resolver este problema, devemos primeiro identificar qual
seu objetivo:
Segundo o texto, o objetivo do problema é otimizar o lucro, ou seja, maximizálo
Em P.L., possuímos variáveis de decisão, como o que produzir, assim como e
descrito no texto, por tanto, nossas variáveis de decisão para o problema serão o
Milho e o Trigo. Para efeito de equacionamento, delimitaremos as incógnitas do trigo
e do milho por T e M respectivamente.
Adotaremos uma equação chamada “função objetivo”, que representa o que
estamos procurando, no nosso caso, é a maximização dos lucros. Portanto, nossa

43. 42
função objetivo será uma função lucro, devemos lembrar que nossa produção é de
trigo e milho, então os lucros só podem ser provenientes daí, ou seja, nosso lucro é
obtido da função gerada pela soma das receitas líquidas geradas de ambas as
opções, o que pode ser traduzido pela função:
L = 600M + 850T
Já que o texto nos diz que, é esperado para cada hectare de milho um lucro de
R$ 600,00 e para cada hectare de trigo um lucro de R$ 850,00, a cada hectare de
ambos
os
produtos
que
aumentarmos,
teremos
um
lucro
potencializado
proporcionalmente, sendo assim, podemos afirmar que estes valores são constantes
dentro de nosso problema, sendo as variáveis a quantia de hectares dedicados as
respectivas culturas
7.2 VARIÁVEIS DE RESTRIÇÃO
Podemos notar que o texto nos expressa que não temos todo o espaço do
mundo, nem todo o dinheiro do mundo tão quanto temo toda a mão-de-obra do mundo
para nosso empreendimento. Portanto, temos alguma restrições, sendo estas citadas
no problema, são essas:
- Espaço
- Mão de obra
- Recursos financeiros
A tabela a seguir demonstra os recursos disponíveis e a necessidade que cada
cultura demonstra por estes recursos por hectare

44. 43
Milho
Trigo
Máximo
disponível
Homens/Hora
20
30
5040
Área
1
1
200 ha
Gastos
1000
1200
240000
Sendo essa a nossa realidade, podemos equacionar o que podemos ou não
fazer, de modo a restringirmos nossas ações dentro da realidade:
Portanto
Na situação de área, podemos encontrar a inequação:
M + T ≤ 200
Na situação de gastos, cabe a inequação:
1000M + 1200T ≤ 240000
E para a situação de mão de obra, a inequação:
20M + 30T ≤ 5040
Estamos trabalhando com a realidade, portanto, ao há como produzirmos um
número negativo de produtos, portanto, devemos gerar inequações de não
negatividade:
M≥0
T≥0

45. 44
7.3 SOLUÇÃO ÓTIMA
Para encontrarmos a solução ótima, faremos uso da região simplex, tal como
descrito abaixo:
- Primeiramente, devemos encontrar as coordenadas, em eixos cartesianos,
das inequações de restrição:
1ª inequação
Para encontrarmos os pontos cartesianos, primeiramente transformamos estas
inequações em equações, depois, isolamos uma das incógnitas, em seguida,
adotamos o valor de uma delas como sendo 0, assim como no exemplo abaixo:
M + T ≤ 200 → M + T = 200 → M = 200 – T → M = 200 – 0 → M = 200
M = 200 – T → 0 = 200 – T → T = 200
Para a segunda inequação, faremos o mesmo processo, note que, após
chegarmos ao cálculo em azul, utilizamos o mesmo para identificar as duas
coordenadas, este processo deve ser mantido.
2ª Inequação:
1000M + 1200T ≤ 240000 → 1000M + 1200T = 240000 → 1000M = 240000 –
1200T → M =
ଶସ଴଴଴଴ିଵଶ଴଴்
ଵ଴଴଴
→ M = 240 – 1,2T → M = 240 – 1,2.0 → M = 240
M = 240 – 1,2T → 0 = 240 – 1,2T → 1,2T = 240 → T =
ଶସ଴
ଵ,ଶ
→ T = 200

46. 45
3ª Inequação
20M + 30T ≤ 5040 → 20M + 30T = 5040 → 20M = 5040 – 30T → M =
ହ଴ସ଴ିଷ଴்
ଶ଴
→ M = 252 – 1,5T → M = 252 – 1,5.0 → M = 252
M = 252 – 1,5T → 0 = 252 – 1,5T → 1,5T = 252 → T =
ଶହଶ
ଵ,ହ
→ T = 168
Após encontradas todas as coordenadas, devemos traçar um gráfico onde
estas coordenadas tem relação aos eixos, afinal, igualamos sempre uma das
incógnitas a zero, ou seja, seu valor como imagem da outra incógnita era zero.
Veja o gráfico abaixo:

47. 46
7.4 REGIÃO SIMPLEX
A região simplex e a região onde as possibilidades são reais, nesta região,
qualquer emprego das culturas seria admissível. Ela se encontra abaixo de todas as
curvas, os pontos prováveis de otimização se encontram nos cruzamentos das curvas
e nos cruzamentos com os eixos, veja no gráfico abaixo
Estes pontos representam coordenadas, mas além disso, representam
quantidades de produção, agora, devemos descobrir quais são as coordenadas que
estes pontos representam, para tal, devemos identificar as intersecções entre funções
que estes pontos representam, após identificadas, devemos descobrir qual o valor
destas coordenadas, veja o exemplo de resolução a seguir:
Ponto 1:
Cruzamento entre as inequações 1 e 3

48. 47
Para encontrarmos as coordenadas deste ponto, utilizaremos o sistema de
funções, o mesmo que já utilizamos para identificar o ponto de equilíbrio para os
custos e receitas. Veja:
Inequação 1: M + T ≤ 200
Inequação 3: 20M + 30T ≤ 5040
Para iniciarmos a resolução, devemos aplicar um sistema de modo a eliminar
uma das incógnitas. Observe:
20M + 30T ≤ 5040
20M + 30T ≤ 5040
→
M + T ≤ 200 (-20)
→
10T ≤ 1040
-20M – 20T ≤ -4000
O segundo passo é transformarmos esta inequação em uma equação e
encontrarmos sua raiz:
10T ≤ 1040 → 10T = 1040 → T =
ଵ଴ସ଴
ଵ଴
→ T = 104
Agora que encontramos o valor de T, se o substituirmos numa das funções,
poderemos encontrar o valor de M:
M + T ≤ 200 → M + T = 200 → M + 104= 200 → M = 200 – 104 → M = 96
Nosso objetivo com este problema é maximizar os lucros, portanto, devemos
empregar estes resultados na função objetivo, que é a função lucro. Observe:
L = 600M + 850T → L = 600.96 + 850 . 104 → L = 146000

49. 48
Com a produção de 96 hectares de milho e 104 hectares de trigo, possuiremos
um lucro de R$ 146.000,00.
Testemos agora os outros pontos identificados na região simplex
Ponto 2
T = 168
M=0
Neste caso, como é um ponto no eixo, é óbvio que o valor da outra
coordenada que não seja a que nomeia o eixo seja zero, portanto, dispensa cálculos.
Empreguemos então os valores das coordenadas na função lucro:
L = 600M + 850T → L = 0.600 + 168.850 → L = 142800
Com a produção de apenas 168 hectares de trigo, nosso lucro será de R$
168.000,00
Ponto 3
Mais uma vez, um ponto no eixo. Observe:
T=0
M = 200
Substituindo na função lucro:
L = 600M + 850T → L = 600.200 = 850.0 → L =120000

50. 49
Produzindo apenas 200 hectares de milho, obteremos um lucro de R$
120.000,00
Portanto, analisando as possibilidades de produção na qual o desempenho
seria o melhor, ou seja, os pontos obtidos na região simplex, podemos afirmar que o
melhor consórcio de produção será o de 96 hectares de milho e 104 hectares de trigo,
onde obteremos um lucro de R$ 146.000,00.

51. 50
8 LINDO
O programa LINDO é um software criado para solucionar problemas de
programação linear. Ele é capaz de resolvê-los eliminando os cálculos e, em
conseqüência, poupando tempo.
Utilizaremos agora este programa para resolver o seguinte problema:
Problema da formulação de uma ração ideal a custo mínimo. Sabe-se que um
determinado animal de grande porte necessita diariamente de no mínimo 140 mg de
vitamina tipo 1, 190 mg de vitamina tipo 2 e 80 mg de vitamina tipo 3. Serão
misturados dois tipos de alimentos, A e B, para compor a ração do animal. O custo do
quilograma do alimento A é de R$5,00 e o custo do quilograma do alimento B, R$4,00.
Sabemos que cada kg do produto A contém 2 mg de vitamina tipo 1, 5 mg de vitamina
tipo 2 e nenhuma mg do tipo 3. Além disso, o composto B contém 2 mg de vitamina
tipo 1, 1 mg de vitamina tipo 2 e 4 mg de vitamina tipo 3. Vamos procurar encontrar
qual a composição ideal de alimentos A e B de forma que sejam satisfeitas as
necessidades mínimas do animal em questão e que o custo de produção seja o menor
possível.
O programa LINDO é um programa que segue uma linguagem de
programação, diferentemente das maravilhosas interfaces que podemos encontrar na
maioria dos programas da atualidade. Apesar disso, ele não deixou de ser um
poderoso aliado na programação linear.
Por tanto, devemos dizer ao programa tudo o que ele deve fazer.
- Tudo o que é escrito no programa é compreendido como uma variável do
problema, a não ser que esteja entre pontos de exclamações, então as frases, títulos,
ou qualquer outras coisas digitadas serão apenas compreendidas como um texto
ilustrativo.
Como no exemplo acima, devemos primeiramente dizer ao programa o que
queremos daquele problema, para tal, devemos encontrar a função objetivo, as
variáveis de restrição e descrevermo-las em linguagem de programação.

52. 51
O problema nos diz que desejamos minimizar os custos, portanto, devemos
identificar quais os custos empregados e sobre o que são empregados e, colocarmos
na linguagem de interpretação do programa.
Sabemos que há um custo a compra do alimento A, e outro na compra do
alimento B, portanto, como na função objetivo citada no problema de programação
liear anterior, devemos criar a função objetivo, que no caso, para a interpretação do
programa, deve ser colocada no algoritmo da seguinte forma:
MIN5A+4B
Efetuada esta parte do algoritmo, deveos então definir as variáveis de
restrição, segundo o texto elas são:
A
B
Mínimo
Necessário
Vitamina 1
2
2
140mg
Vitamina 2
5
1
190mg
Vitamina 3
0
4
80mg
Note que agora queremos encontrar o mínimo necessário, para tanto,
deveremos alterar as inequações de restrição, portanto serão elas:
2A + 2B ≥ 140
5A +1B ≥ 190
4B ≥ 80
- é necessário demonstrar ao programa as restrições presentes no problema.
Seguindo nosso exemplo, devemos digitar, em linhas separadas, as restrições,
assim como é descrito no algoritmo abaixo:

53. 52
Subject to
2A+2B>=140
5A+1.1B>=190
4B>=80
A frase Subject to (sujeito à) indica a restrição do problema à realidade
apresentada pela situação.
Nesta sessão, também devemos colocar as inequações de não negatividade:
B>=0
A>=0
- Após inseridas todas as informações no programa, devemos “informá-lo” que
já pode tomar sua decisão, para tal, sinalizamos na linguagem de programação o fim
com a palavra END, com isso, teremos então o seguinte algoritmo:
!QUALQUER COISA QUE VOCÊ QUEIRA ESCREVER QUE NÃO TENHA UM VALOR A SER
CALCULADO!
MIN 5A+4B
SUBJECT TO
2A+2B>=140
5A+1.1B>=190
4B>=80
B>=0
A>=0
END

54. 53
Finalizando o algoritmo, podemos pedir para que o programa calcule a solução
ótima clicando no alvo que é descrito na imagem abaixo
Após clicarmos, o programa nos fornecerá um relatório, em inglês, com os
resultados para a programação linear, como é demonstrado abaixo
LP OPTIMUM FOUND AT STEP
2
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
VARIABLE
310.0000
VALUE
REDUCED COST
A
30.000000
0.000000
B
40.000000
0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS
DUAL PRICES
2)
0.000000
-1.875000
3)
0.000000
-0.250000
4)
80.000000
0.000000
NO. ITERATIONS=
2

55. 54
Teremos no relatório as seguintes informações importantes:
LP OPTIMUM FOUND AT STEP
2:
Significa que o algoritmo simplex utilizado pelo programa encontrou a
solução com dois passos (vértice)
OBJECTIVE FUNCTION VALUE:
Indica que o valor ótimo da função objetivo, neste caso, é de 310.000
VARIABLE VALUE E REDUCET COST:
Temos uma tabela que apresenta os valores ótimos das variáveis
básicas. Portanto A = 30 e B = 40. A coluna REDUCED COST é o custo
reduzido, quando ela apresenta dados diferentes de 0 significa o quanto que a
variável correspondente deveria ser aumentado para sua solução seja diferente
de zero. Neste caso, como A e B são diferentes de zero a coluna REDUCED
COST aparece nula.
ROW SLACK OR SURPLUS E DUAL:
ROW são as linhas, SLACK é a folga, significa o limite da restrição. No
caso de SLACK = 80 mostra que a restrição da equação 4b>=80 tem folga de
80 na vitamina 3. DUAL PRICE = -1.875 representa o aumento da função
objetiva (lucro) se aumentar em 1 no limite das restrições (no caso -1.875, quer
dizer que diminui para cada 1 que aumentar.

56. 55
9 AJUSTAMENTO DE CURVAS.
Utilizado para projeções em cima de dados anteriores, o ajustamento de curvas
é muito utilizado na tomada de decisão, justamente por poder “prever” uma situação
muito próxima à realidade.
Exemplo:
Um determinado hedger, ao ser contratado por um produtor de soja deve fazer
uma previsão para os valores, no mercado futuro, do derivativo. Sendo assim, ele
decide coletar dados no site da bolsa de valores. Os dados que este hedger
conseguiu foram em intervalos de semanas, porém, ele não pode obter dados de toas
as semanas, sendo assim, em alguns casos ele teve de utilizar dados diários, portanto,
ele admitiu que uma semana possuiria o valor absoluto de 1 e, um dia, o valor
aproximado de 0.142857143. O hedger determinou a semana na qual foi contratado
como a semana 0, e pesquisou o mercado por mais 8 semanas, os resultados obtidos
por esta pesquisa foram:
Semana
Oscilação
-2
54
-1
0
-0,2
-1,38
0
0
0,5
2,44
1
0
3
-96
4
-180
6,5
-134,06
8
504
Qual será a projeção de preços para o derivativo de soja:

57. 56
Resolução:
A intenção deste problema é saber quais serão os valores do derivativo, para
optarmos pelo melhor dia de fazer o hedge, podemos obter estes valores, mesmo que
aproximados, por um ajuste da curva gerada através dos pontos que são as semanas
pesquisadas em relação às oscilações analisadas nas mesmas.
O método que utilizaremos para fazer o ajuste desta curva será o oferecido pelo
programa Graph 4.3, seguindo os procedimentos citados a baixo:
Para tanto, temos alguns procedimentos à cumprir, a questão é que temos
dados referentes a tempo e a valores de oscilação, ou seja, temos dados de ordem
cronológica. A primeira coisa à ser feita e determinarmos qual dos valores assumirá
os eixos x e y do programa. Para nosso problema, determinamos os dados de ordem
cronológica para o eixo x, e os dados das oscilações para o eixo y.
Agora, deveremos colocar os dados na opção “série de pontos”, que se
encontra no ícone citado na imagem abaixo:
Após selecionada a opção, surgirá uma tabela com as indicações x e y. Nesta
tabela devemos inserir os dados como domínio e imagem, ou seja, definir para qual
dia do eixo x há o determinado valor de oscilação no eixo y:

58. 57
Após selecionados os respectivos domínio e imagem, podemos confirmar a
série de pontos, o resultado será o surgimento de pontos no gráfico. Ajuste os valores
dos eixos para melhor se adaptarem a visualização do gráfico:

59. 58
Opção de ajuste dos eixos:
Para acessar esta opção é necessário somente clicar duas vezes sobre a
opção eixos:

60. 59

61. 60
Após ajustados os eixos, a série de pontos poderá ser melhor visualizada:
Depois de inserida a série de pontos, deveremos ajustar a curva na opção
“ajuste de curvas”:
Obs: Para esta opção ser acessível, é necessário destacar a série de pontos
sobre a qual se deseja realizar um ajuste, clicando sobre ela no menu do lada
esquerdo da interface do programa.

62. 61
Após selecionar a opção, um menu de opções de ajuste surgirá:
Agora você precisará de um pouco de paciência, pois terá de testar as curvas
disponíveis para descobrir qual delas melhor se encaixa.

63. 62
Selecionando uma curva, uma função respectiva a ela surgirá também, junto
desta função haverá uma letra “R”
Este “R” é o ponto culminante para o ajustamento, é ele quem indica o desvio
da curva em relação aos pontos. Para que a curva seja o mais fiel a série possível, é
imprescindível que o valor do “R” seja igual à 1.
Observe o ajustamento feito com uma função polinomial de 4º grau sobre a
série de pontos:
Olhando mais de perto, vejamos o valor de “R”:

64. 63
Temos um ajustamento fiel à série de pontos originais, sendo assim, este
pode ser utilizado pelo nosso hedger em sua projeção. Segundo o programa, a função
que
gerou
este
ajustamento
foi:
f(x)=
1.0000015x^4-6.9999684x^3-
1.0002437x^2+7.0000612x+0.0011301744 (onde x^n é o mesmo que x elevado à n)
9.1 PONTOS DE MÁXIMO E MÍNIMO LOCAIS
Muitas vezes é necessário sabermos quais são os máximos e mínimos
presentes numa função num determinado domínio. Sendo assim, veja o exemplo
abaixo:
No espaço de tempo que o hedger estava procurando o melhor dia para
transacionar sua soja, um especulador decidiu ganhar dinheiro no mercado através
de transações de Day trade, quais foram os melhores dias para a compra e para a
venda do derivativo nesse espaço de tempo.
Comprar na alta e vender na baixa, agora necessitamos dos pontos onde
seria melhor a compra, ou seja, os pontos de mínimo, o os pontos onde seria melhor
a venda do derivativo, para tal, podemos fazer um cálculo de derivada da função a
qual gerou a curva. Para efeito de cálculos e demonstrações, faremos alguns
arredondamentos na função original, tornando assim mais fácil a compreensão da
solução.
Portanto, adotaremos para efeito de cálculo a função geradora da curva
como:
f(x) = x^4 – 7x^3 – x^2 + 7x
(onde x^n é o mesmo que x elevado à n)

65. 64
Sua derivada então será:
f(‘x) = 4x^3 – 21x^2 – 2x + 7
Que nos dará a seguinte curva:
Sendo seus pontos de máximo e mínimo locais definidos com muitas casas
decimais, arredondar-nos-emos a apenas 2 casas, as quais seriam aproximadamente:
Máximo: x = -3,59
Mínimo: x = 0,70
O que nos proporcionaria uma imagem aproximada, colocando-os na função
original de:

66. 65
Máximo: f(x) = 451,96 em oscilação
Mínimo: f(x) = 2,25
em oscilação
Note que, devido ao arredondamento dos valores, nosso gráfico ficou
totalmente inadequado à realidade, ou seja, os pontos de máximo e mínimo
diferenciam-se muito da realidade dos dados. Portanto, a solução mais viável é utilizar
a função “calc’ do programa graph e, já que afirmamos a existência de pontos de
máximo e mínimo com muitas casas decimais, procuremos o mais próximo possível
de um resultado de derivada de imagem 0. Para isso, necessitaremos agir
intuitivamente, observando domínio e imagem da função gerada pelo ajuste das
curvas e, inferindo valores do domínio para tentarmos chegar o mais próximo do valor
zero da derivada.
Primeiramente, devemos destacar a função que gerou o ajuste de curva no
programa clicando sobre ela, em seguida, identificar a opção “calc”:
Destacando a função
A opção “calc” se encontra no seguinte item da barra superior da interface do
programa:

67. 66
Clicando neste ícone, aparecerá um novo menu onde a opção “cálculo” estará
contida:
Clicando na opção “cálculo”, na barra esquerda aparecerão alguns campos
sendo eles:
Valor de x: o qual você pode determinar
Valor da imagem deste x determinado: automático
Valor da derivada do x determinado: automático
Valor da derivada segunda do x determinado: automático

68. 67
Infelizmente, apenas o valor da imagem pode ser determinado, o que dificulta
nosso trabalho, portanto, a inferência de domínios, sendo os mesmos encontrados
intuitivamente é imprescindível para a obtenção dos pontos mais próximos de máximo
e mínimo locais. Por tanto, vamos inferir (Não se preocupe em errar e, não espere que
isto seja rápido, podem existir inúmeras situações que nos aproximem do resultado,
sendo que devemos testá-las até encontrar um resultado satisfatório ou, até acabar
nossa paciência e decidir ficar co o mais próximo resultado, lembrando que nosso guia
para encontrarmos os pontos de máximo e mínimo é a derivada com imagem 0)!!!
Observação: Levando em consideração esta técnica, note que é mais fácil de
obtermos o ponto de mínimo local, porém, com a utilização da derivada, pudemos
encontrar com mais facilidade o valor de um possível ponto de máximo, portanto, seria
aconselhável que você testasse ambas as técnicas para um melhor desempenho na
sua decisão final.
Para está técnica de inferência, destacamos a aproximação de um ponto de
mínimo onde :
E seu gráfico é (note a curva da derivada):

69. 68
Veja que a inclinação da reta tangente, ou seja, da derivada, é próxima de 0,
sendo assim, podemos deduzir que próximo a este ponto do domínio existe um outro
ponto com infinitas casa decimais onde a reta tangente tem um coeficiente angular
igual à zero, o que podemos considerar um ponto de mínimo.

70. 69
10 REDES PERT/CPM
Adotaremos agora um exemplo prático da utilização das redes PERT/CPM
10.1 PROBLEMA DE APLICAÇÃO
Três estudantes do curso de tecnologia em agronegócios, para poderem ser
aprovados na matéria de Pesquisa Operacional, têm de fazer uma apostila contendo
os principais temas abordados no curso que fora ministrado durante o semestre. Eles
então se organizam em 14 tarefas cujas quais foram determinadas por letras, sendo
elas as descritas na tabela a seguir:
A
Início da pesquisa divisão das tarefas
B
Direcionamento dos temas a pesquisar
C
Pesquisa história da PO
D
Pesquisa custos
E
Pesquisa receitas
F
Pesquisa bibliográfica
G
Pesquisa programação linear
H
Pesquisa ajuste de curvas
I
Síntese da bibliografia
J
Síntese das pesquisas realizadas
K
Redação da apostila
L
Redação dos sumários e referências
M
Correção dos estudos promovidos
N
Impressão e entrega da apostila
A decorrência das atividades será na seguinte ordem de eventos:

71. 70
EVENTOS
ANTERIOR
DECORRENTES
SUCESSOR
A
B,C
A
B
D, E
A
C
F
B
D
G
B
E
H
C
F
I
D
G
J
E
H
M
F
I
K, L
G
J
M
I
K
N
I
L
N
H,J
M
N
K, L, M
N

72. 71
Para esta pesquisa, foi determinado um tempo de decorrência citado na rede
PERT/CPM abaixo:
Qual será o caminho crítico deste grupo?
1
0.1 TEMPO CEDO, TEMPO TARDE, FOLGA E CAMINHO CRÍTICO
10.1.1 tempo cedo
O tempo cedo é o tempo onde somamos o tempo de duração de uma atividade
ao tempo de duração acumulado de suas antecessoras. As atividades na REDE
PERT/CPM são as setas que apresentam os números, e os círculos que estas setas
unem, são chamados de eventos, os eventos podem ser considerados o início das
atividades, que culminam dentro da rede a um outro evento e, sucessivamente, a uma
outra atividade até o termino do programa.
Para calcularmos o tempo cedo, devemos somar o valor acumulado de tempo
cedo da atividade anterior ao tempo necessário à atividade em decorrência, este valor
deve ser marcado sobre o evento no qual a atividade se finda. Veja o exemplo:

73. 72
7
8
4
12
12+6=18
20
6
0
11
11+9=20
2
Observe que para o primeiro evento, o tempo cedo é igual a zero, isso porque
não há nenhuma atividade antes desta, o tempo cedo deve ser calculado até o ultimo
evento. Quando chegamos num ponto ode duas atividades culminam para o mesmo
evento, o tempo cedo é calculado com o valor acumulado maior do evento anterior e
o tempo da atividade, referente ao evento em uso, que culmina ao evento final:
10.1.2 Tempo tarde
O tempo tarde é calculado na regressão ao final dos cálculos de tempo cedo,
ou seja, ao chegar, ao chegar a última atividade, devemos retornar ao início das
atividade, o primeiro evento. Quando chegamos numa bifurcação, assim como no
tempo cedo, ficamos com o maior valor de tempo tarde. O tempo tarde é o contrário
do tempo cedo, ao invés de somarmos o valor a próxima atividade a ser computada,
subtraímos este valor, de modo que estamos voltando até chegarmos ao tempo tarde
de zero na primeira atividade. O tempo tarde deve iniciar-se na ultima atividade de
modo a ser o primeiro tempo tarde o mesmo valor do último tempo cedo

74. 73
O tempo tarde segundo o método americano, deve ser marcado sobre o tempo
cedo como na figura:
ܶ݁݉‫݁݀ݎܽܶ ݋݌‬
ܶ݁݉‫݋݀݁ܿ ݋݌‬
ଵସ
ଵଶ
ଶ଴
ଶ଴
ଵଵ
ଶଷ
ଵଵ
ଶଷ
10.1.3 Folga
Como o próprio nome já diz, a folga é uma sobra, em nosso caso, uma sobra
de tempo. Para encontrarmos as folgas, devemos subtrair o valor do tempo cedo, do

75. 74
valor do tempo tarde, de modo de que o resultado será o valor da folga. Nós
demarcamos as folgas como na imagem abaixo:
்௘௠௣௢ ௧௔௥ௗ௘
்௘௠௣௢ ஼௘ௗ௢
/ Folga
10.2 CAMINHO CRÍTICO
Caminho crítico é a sucessão de eventos onde não se possui folgas, ou seja,
onde os tempos cedo e tarde são iguais. Este caminho também é conhecido como
gargalo. O bom desenvolvimento destas atividades nos tempos estimados é
fundamental para o sucesso do empreendimento.
Agora, voltando a questão chave, qual é o caminho crítico dos nossos
estudantes?

76. 75
Agora que já sabemos como calcular os tempos cedo e tarde e as folgas,
podemos formular a rede dos eventos que estes estudantes terão para a criação de
sua apostila, seguindo os passos supracitados, a rede de eventos destes alunos
deverá ficar da seguinte forma:
Sendo esta nossa rede, para definirmos o caminho crítico, é só analisarmos a
sucessão de eventos, a partir do evento A, que não possuem folga. Portanto, o
caminho crítico de nossos estudantes é:
A, B, E, H, M e N

77. 76
10 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Como em todas as áreas que envolvem a tomada de decisão, a pesquisa
operacional, no agronegócio, tem um papel fundamental como bússola do tecnólogo,
seja ela aplicada na tomada de decisão de quanto empregar de certa cultura em sua
área disponível, ou até mesmo do melhor momento calculável para a venda do seu
derivativo agrícola, ela se demonstra uma ferramenta eficaz em sua função primordial,
o embasamento na tomada de decisão.

78. 77
REFERÊNCIAS
INSTITUTO DE DESENVOLVIMENTO GRENCIAL- Pesquisa Operacional: Definição- Disponível
em: <www.indg.com.br/po/definicao.asp>. Acesso em 20 de jun, 2008.
FUNDAÇÃO
EDUCACIONAL
DE
CAETÉ
–
CPM-
Disponível
em:
<www.caetenews.com.br/fec/cfp/mecanica/apostila_manut/cpm.html>. Acesso em 19 de jun, 2008.