Este documento descreve o modelo matemático de um oscilador harmônico simples e forçado, apresentando as equações diferenciais que governam esses sistemas e discutindo o efeito de ressonância.

1. Oscilações
e
Ressonância

2. Oscilador Harmônico
Simples
𝑭 𝒓𝒆𝒔𝒕
Para este modelo, iremos supor
que a mola não possuí massa e a
Força Restauradora é
𝑭 𝒓𝒆𝒔𝒕 diretamente proporcional à
posição em relação ao ponto de
equilíbrio
𝑭 𝒓𝒆𝒔𝒕
𝑭 𝒓𝒆𝒔𝒕 = −𝒌𝒙
𝑭 𝒓𝒆𝒔𝒕

3. Segunda Lei de Newton
𝑑 2 𝑥(𝑡)
𝑚 2 = −𝑘𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
Força Resultante Força Restauradora

4. 𝑑 2 𝑥(𝑡)
𝑚 2 = −𝑘𝑥(𝑡)
𝑑𝑡

5. 𝑑 2 𝑥(𝑡)
𝑚 2 = −𝑘𝑥(𝑡)
𝑑𝑡

6. 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑘
𝑑𝑡 2 = − 𝑚 𝑥(𝑡)

7. 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑘
𝑑𝑡 2 = − 𝑚 𝑥(𝑡)
• Duas constatações óbvias
• Esta é uma equação diferencial
• A solução dela é uma função x(t) que satisfaça a equação
anterior

8. 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑘
𝑑𝑡 2 = − 𝑚 𝑥(𝑡)
• Ela nos diz que se derivarmos duas vezes essa função x(t),
obteremos essa mesma função multiplicada por uma constante
• Qual a função que ao ser derivada, fica sempre muito parecida ?!

9. 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑘
𝑑𝑡 2 = − 𝑚 𝑥(𝑡)
• Ela nos diz que se derivarmos duas vezes essa função x(t),
obteremos essa mesma função multiplicada por uma constante
• Qual a função que ao ser derivada, fica sempre muito parecida ?!
• 𝑥 𝑡 = 𝑒 λ𝑡
• λ é alguma constante

10. 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑘
𝑑𝑡 2 = − 𝑚 𝑥(𝑡)
• Vamos colocar essa possível solução na equação diferencial e ver o
que acontece
• 𝑥 𝑡 = 𝑒 λ𝑡

11. 𝑑 2 𝑒 λ𝑡 𝑘
2
=− 𝑒
λ𝑡
𝑑𝑡 𝑚

12. 2 λ𝑡
𝑑 𝑒 𝑘
2
=− 𝑒
λ𝑡
𝑑𝑡 𝑚

13. 2 λ𝑡
𝑑 𝑒 𝑘
2
=− 𝑒
λ𝑡
𝑑𝑡 𝑚

14. 2 λ𝑡
𝑑 𝑒 𝑘
2
=− 𝑒
λ𝑡
𝑑𝑡 𝑚
2 λ𝑡
𝑘 λ𝑡
λ 𝑒 =− 𝑒
𝑚

15. 2 λ𝑡
𝑘 λ𝑡
𝑚λ 𝑒 =− 𝑒
𝑚

16. 2 𝑒 λ𝑡
𝑘 λ𝑡
𝑚λ =− 𝑒
𝑚

17. 2 𝑒 λ𝑡 +
𝑘 λ𝑡
λ 𝑒 =0
𝑚

18. 2 𝑒 λ𝑡 +
𝑘 λ𝑡
λ 𝑒 =0
𝑚

19. 2 𝑒 λ𝑡 +
𝑘 λ𝑡
λ 𝑒 =0
𝑚
• Fatorando 𝑒 λ𝑡

20. 2 𝑒 λ𝑡 +
𝑘 λ𝑡
λ 𝑒 =0
𝑚
• Fatorando 𝑒 λ𝑡
𝑘 λ𝑡
2 + )𝑒
(λ =0
𝑚

21. 𝑘 λ𝑡
2 + )𝑒
(λ =0
𝑚

22. 2
𝑘 λ𝑡
(λ + )𝑒 = 0
𝑚

23. 𝑘 λ𝑡
2+ ) 𝑒 = 0
(λ
𝑚
=0 ≠0

24. 𝑘 λ𝑡
2+ ) 𝑒 = 0
(λ
𝑚
=0 ≠0

25. 2
𝑘
(λ + ) = 0
𝑚

26. 2
𝑘
(λ + ) = 0
𝑚
• Resolvendo essa equação do segundo
grau, obtemos como raízes
𝑘
𝑘 −𝑖 t
λ = −𝑖 𝑥1 𝑡 = 𝑐1 𝑒 𝑚
𝑚
E
𝑘 𝑘
λ= 𝑖 𝑖 t
𝑚 𝑥2 𝑡 = 𝑐2 𝑒 𝑚

27. • Pelo princípio da superposição, a solução geral é a
soma das soluções independentes
𝑘 𝑘
−𝑖 t 𝑖 t
𝑥 𝑡 = 𝑐1 𝑒 𝑚 + 𝑐2 𝑒 𝑚

28. • Pelo princípio da superposição, a solução geral é a
soma das soluções independentes
𝑘 𝑘
−𝑖 t 𝑖 t
𝑥 𝑡 = 𝑐1 𝑒 𝑚 + 𝑐2 𝑒 𝑚
• Usando a fórmula de Euller
𝑒 𝑖𝑥 = cos 𝑥 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑒−𝑖𝑥 = cos 𝑥 − 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑥

29. • Pelo princípio da superposição, a solução geral é a
soma das soluções independentes
𝑘 𝑘
−𝑖 t 𝑖 t
𝑥 𝑡 = 𝑐1 𝑒 𝑚 + 𝑐2 𝑒 𝑚
• Usando a fórmula de Euller
𝑒 𝑖𝑥 = cos 𝑥 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑒−𝑖𝑥 = cos 𝑥 − 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑥
• Reorganizando tudo, chegamos em....

30. 𝑥 𝑡 = 𝑐1 cos 𝑘 𝑘
𝑚 𝑡 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 𝑚𝑡

31. Oscilador Forçado e
Amortecido
𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑑𝑥
𝑚 2 = −𝑘𝑥 𝑡 − 𝑐 𝑑𝑡 + 𝐹(𝑡)
𝑑𝑡
Força Força Força Força
Resultante Restauradora Dissipativa Externa

32. Efeito de Ressonância
• Força externa do tipo
𝐹 𝑡 = 𝐹0 𝑠𝑒𝑛(ω𝑡)
𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑑𝑥
𝑚 2
= −𝑘𝑥 𝑡 − 𝑐 + 𝐹(𝑡)
𝑑𝑡 𝑑𝑡
Força Força Força Força
Resultante Restauradora Dissipativa Externa

33. Efeito de Ressonância
• Força externa do tipo
𝐹 𝑡 = 𝐹0 𝑠𝑒𝑛(ω𝑡)
𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑑𝑥
𝑚 2
= −𝑘𝑥 𝑡 − 𝑐 + 𝐹(𝑡)
𝑑𝑡 𝑑𝑡
Força Força Força Força
Resultante Restauradora Dissipativa Externa

34. Efeito de Ressonância
𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑑𝑥
𝑚 2
= −𝑘𝑥 𝑡 − 𝑐 + 𝐹0 𝑠𝑒𝑛(ω𝑡)
𝑑𝑡 𝑑𝑡
Força Força
Força Força
Restauradora Externa
Resultante Dissipativa

35. Efeito de Ressonância
• Não vou resolver essa
equação diferencial, mas
tá resolvida AQUI

36. Efeito de Ressonância