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Oscilações
     e
Ressonância
Oscilador Harmônico
      Simples
          𝑭 𝒓𝒆𝒔𝒕
                   Para este modelo, iremos supor
                   que a mola não possuí massa e a
                   Força Restauradora é
 𝑭 𝒓𝒆𝒔𝒕            diretamente proporcional à
                   posição em relação ao ponto de
                   equilíbrio


      𝑭 𝒓𝒆𝒔𝒕

                         𝑭 𝒓𝒆𝒔𝒕 = −𝒌𝒙
 𝑭 𝒓𝒆𝒔𝒕
Segunda Lei de Newton

       𝑑 2 𝑥(𝑡)
     𝑚       2 = −𝑘𝑥(𝑡)
          𝑑𝑡

   Força Resultante   Força Restauradora
𝑑 2 𝑥(𝑡)
𝑚       2 = −𝑘𝑥(𝑡)
     𝑑𝑡
𝑑 2 𝑥(𝑡)
𝑚       2 = −𝑘𝑥(𝑡)
     𝑑𝑡
𝑑 2 𝑥(𝑡)    𝑘
   𝑑𝑡 2 = − 𝑚 𝑥(𝑡)
𝑑 2 𝑥(𝑡)    𝑘
                 𝑑𝑡 2 = − 𝑚 𝑥(𝑡)

• Duas constatações óbvias

    • Esta é uma equação diferencial

    • A solução dela é uma função x(t) que satisfaça a equação
      anterior
𝑑 2 𝑥(𝑡)    𝑘
                 𝑑𝑡 2 = − 𝑚 𝑥(𝑡)

• Ela nos diz que se derivarmos duas vezes essa função x(t),
  obteremos essa mesma função multiplicada por uma constante

• Qual a função que ao ser derivada, fica sempre muito parecida ?!
𝑑 2 𝑥(𝑡)    𝑘
                 𝑑𝑡 2 = − 𝑚 𝑥(𝑡)

• Ela nos diz que se derivarmos duas vezes essa função x(t),
  obteremos essa mesma função multiplicada por uma constante

• Qual a função que ao ser derivada, fica sempre muito parecida ?!


    • 𝑥 𝑡 = 𝑒 λ𝑡
        • λ é alguma constante
𝑑 2 𝑥(𝑡)    𝑘
                 𝑑𝑡 2 = − 𝑚 𝑥(𝑡)

• Vamos colocar essa possível solução na equação diferencial e ver o
  que acontece



    • 𝑥 𝑡 = 𝑒 λ𝑡
𝑑 2 𝑒 λ𝑡      𝑘
    2
           =−     𝑒
                      λ𝑡

 𝑑𝑡           𝑚
2 λ𝑡
𝑑 𝑒      𝑘
    2
      =−     𝑒
                 λ𝑡

 𝑑𝑡      𝑚
2 λ𝑡
𝑑 𝑒      𝑘
    2
      =−     𝑒
                 λ𝑡

 𝑑𝑡      𝑚
2 λ𝑡
  𝑑 𝑒      𝑘
      2
        =−     𝑒
                   λ𝑡

   𝑑𝑡      𝑚


 2 λ𝑡
          𝑘 λ𝑡
λ 𝑒     =− 𝑒
          𝑚
2 λ𝑡
          𝑘 λ𝑡
𝑚λ 𝑒    =− 𝑒
          𝑚
2 𝑒 λ𝑡
              𝑘 λ𝑡
𝑚λ          =− 𝑒
              𝑚
2 𝑒 λ𝑡 +
           𝑘 λ𝑡
λ            𝑒 =0
           𝑚
2 𝑒 λ𝑡 +
           𝑘 λ𝑡
λ            𝑒 =0
           𝑚
2 𝑒 λ𝑡 +
           𝑘 λ𝑡
λ            𝑒 =0
           𝑚
• Fatorando 𝑒 λ𝑡
2 𝑒 λ𝑡 +
           𝑘 λ𝑡
λ            𝑒 =0
           𝑚
• Fatorando 𝑒 λ𝑡


       𝑘 λ𝑡
   2 + )𝑒
(λ          =0
       𝑚
𝑘 λ𝑡
   2 + )𝑒
(λ          =0
       𝑚
2
     𝑘 λ𝑡
(λ + )𝑒 = 0
     𝑚
𝑘 λ𝑡
   2+ ) 𝑒 = 0
(λ
      𝑚


  =0    ≠0
𝑘 λ𝑡
   2+ ) 𝑒 = 0
(λ
      𝑚


  =0    ≠0
2
     𝑘
(λ + ) = 0
     𝑚
2
                      𝑘
                 (λ + ) = 0
                      𝑚
• Resolvendo essa equação do segundo
  grau, obtemos como raízes


                                                          𝑘
             𝑘                                       −𝑖       t
λ = −𝑖                                 𝑥1 𝑡 = 𝑐1 𝑒        𝑚
             𝑚


E


         𝑘                                                𝑘
λ= 𝑖                                                  𝑖       t
         𝑚                              𝑥2 𝑡 = 𝑐2 𝑒       𝑚
• Pelo princípio da superposição, a solução geral é a
  soma das soluções independentes


                    𝑘                    𝑘
               −𝑖       t            𝑖       t
  𝑥 𝑡 = 𝑐1 𝑒        𝑚       + 𝑐2 𝑒       𝑚
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  𝑥 𝑡 = 𝑐1 𝑒        𝑚       + 𝑐2 𝑒       𝑚




• Usando a fórmula de Euller
       𝑒 𝑖𝑥 = cos 𝑥 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑥

       𝑒−𝑖𝑥 = cos 𝑥 − 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑥
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                    𝑘                    𝑘
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• Reorganizando tudo, chegamos em....
𝑥 𝑡 = 𝑐1 cos   𝑘                  𝑘
                   𝑚 𝑡 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛       𝑚𝑡
Oscilador Forçado e
     Amortecido

   𝑑 2 𝑥(𝑡)            𝑑𝑥
 𝑚       2 = −𝑘𝑥 𝑡 − 𝑐 𝑑𝑡 + 𝐹(𝑡)
      𝑑𝑡

Força        Força          Força         Força
Resultante   Restauradora   Dissipativa   Externa
Efeito de Ressonância
• Força externa do tipo

                   𝐹 𝑡 = 𝐹0 𝑠𝑒𝑛(ω𝑡)


      𝑑 2 𝑥(𝑡)             𝑑𝑥
    𝑚       2
               = −𝑘𝑥 𝑡 − 𝑐    + 𝐹(𝑡)
         𝑑𝑡                𝑑𝑡

  Força                   Força          Força         Força
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         𝑑𝑡                𝑑𝑡

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     𝑑 2 𝑥(𝑡)             𝑑𝑥
   𝑚       2
              = −𝑘𝑥 𝑡 − 𝑐    + 𝐹0 𝑠𝑒𝑛(ω𝑡)
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Força                       Força
             Restauradora                 Externa
Resultante                  Dissipativa
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• Não vou resolver essa
  equação diferencial, mas
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Efeito de Ressonância

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Oscilações

  • 1. Oscilações e Ressonância
  • 2. Oscilador Harmônico Simples 𝑭 𝒓𝒆𝒔𝒕 Para este modelo, iremos supor que a mola não possuí massa e a Força Restauradora é 𝑭 𝒓𝒆𝒔𝒕 diretamente proporcional à posição em relação ao ponto de equilíbrio 𝑭 𝒓𝒆𝒔𝒕 𝑭 𝒓𝒆𝒔𝒕 = −𝒌𝒙 𝑭 𝒓𝒆𝒔𝒕
  • 3. Segunda Lei de Newton 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑚 2 = −𝑘𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 Força Resultante Força Restauradora
  • 4. 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑚 2 = −𝑘𝑥(𝑡) 𝑑𝑡
  • 5. 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑚 2 = −𝑘𝑥(𝑡) 𝑑𝑡
  • 6. 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑘 𝑑𝑡 2 = − 𝑚 𝑥(𝑡)
  • 7. 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑘 𝑑𝑡 2 = − 𝑚 𝑥(𝑡) • Duas constatações óbvias • Esta é uma equação diferencial • A solução dela é uma função x(t) que satisfaça a equação anterior
  • 8. 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑘 𝑑𝑡 2 = − 𝑚 𝑥(𝑡) • Ela nos diz que se derivarmos duas vezes essa função x(t), obteremos essa mesma função multiplicada por uma constante • Qual a função que ao ser derivada, fica sempre muito parecida ?!
  • 9. 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑘 𝑑𝑡 2 = − 𝑚 𝑥(𝑡) • Ela nos diz que se derivarmos duas vezes essa função x(t), obteremos essa mesma função multiplicada por uma constante • Qual a função que ao ser derivada, fica sempre muito parecida ?! • 𝑥 𝑡 = 𝑒 λ𝑡 • λ é alguma constante
  • 10. 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑘 𝑑𝑡 2 = − 𝑚 𝑥(𝑡) • Vamos colocar essa possível solução na equação diferencial e ver o que acontece • 𝑥 𝑡 = 𝑒 λ𝑡
  • 11. 𝑑 2 𝑒 λ𝑡 𝑘 2 =− 𝑒 λ𝑡 𝑑𝑡 𝑚
  • 12. 2 λ𝑡 𝑑 𝑒 𝑘 2 =− 𝑒 λ𝑡 𝑑𝑡 𝑚
  • 13. 2 λ𝑡 𝑑 𝑒 𝑘 2 =− 𝑒 λ𝑡 𝑑𝑡 𝑚
  • 14. 2 λ𝑡 𝑑 𝑒 𝑘 2 =− 𝑒 λ𝑡 𝑑𝑡 𝑚 2 λ𝑡 𝑘 λ𝑡 λ 𝑒 =− 𝑒 𝑚
  • 15. 2 λ𝑡 𝑘 λ𝑡 𝑚λ 𝑒 =− 𝑒 𝑚
  • 16. 2 𝑒 λ𝑡 𝑘 λ𝑡 𝑚λ =− 𝑒 𝑚
  • 17. 2 𝑒 λ𝑡 + 𝑘 λ𝑡 λ 𝑒 =0 𝑚
  • 18. 2 𝑒 λ𝑡 + 𝑘 λ𝑡 λ 𝑒 =0 𝑚
  • 19. 2 𝑒 λ𝑡 + 𝑘 λ𝑡 λ 𝑒 =0 𝑚 • Fatorando 𝑒 λ𝑡
  • 20. 2 𝑒 λ𝑡 + 𝑘 λ𝑡 λ 𝑒 =0 𝑚 • Fatorando 𝑒 λ𝑡 𝑘 λ𝑡 2 + )𝑒 (λ =0 𝑚
  • 21. 𝑘 λ𝑡 2 + )𝑒 (λ =0 𝑚
  • 22. 2 𝑘 λ𝑡 (λ + )𝑒 = 0 𝑚
  • 23. 𝑘 λ𝑡 2+ ) 𝑒 = 0 (λ 𝑚 =0 ≠0
  • 24. 𝑘 λ𝑡 2+ ) 𝑒 = 0 (λ 𝑚 =0 ≠0
  • 25. 2 𝑘 (λ + ) = 0 𝑚
  • 26. 2 𝑘 (λ + ) = 0 𝑚 • Resolvendo essa equação do segundo grau, obtemos como raízes 𝑘 𝑘 −𝑖 t λ = −𝑖 𝑥1 𝑡 = 𝑐1 𝑒 𝑚 𝑚 E 𝑘 𝑘 λ= 𝑖 𝑖 t 𝑚 𝑥2 𝑡 = 𝑐2 𝑒 𝑚
  • 27. • Pelo princípio da superposição, a solução geral é a soma das soluções independentes 𝑘 𝑘 −𝑖 t 𝑖 t 𝑥 𝑡 = 𝑐1 𝑒 𝑚 + 𝑐2 𝑒 𝑚
  • 28. • Pelo princípio da superposição, a solução geral é a soma das soluções independentes 𝑘 𝑘 −𝑖 t 𝑖 t 𝑥 𝑡 = 𝑐1 𝑒 𝑚 + 𝑐2 𝑒 𝑚 • Usando a fórmula de Euller 𝑒 𝑖𝑥 = cos 𝑥 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒−𝑖𝑥 = cos 𝑥 − 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑥
  • 29. • Pelo princípio da superposição, a solução geral é a soma das soluções independentes 𝑘 𝑘 −𝑖 t 𝑖 t 𝑥 𝑡 = 𝑐1 𝑒 𝑚 + 𝑐2 𝑒 𝑚 • Usando a fórmula de Euller 𝑒 𝑖𝑥 = cos 𝑥 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒−𝑖𝑥 = cos 𝑥 − 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑥 • Reorganizando tudo, chegamos em....
  • 30. 𝑥 𝑡 = 𝑐1 cos 𝑘 𝑘 𝑚 𝑡 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 𝑚𝑡
  • 31. Oscilador Forçado e Amortecido 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑑𝑥 𝑚 2 = −𝑘𝑥 𝑡 − 𝑐 𝑑𝑡 + 𝐹(𝑡) 𝑑𝑡 Força Força Força Força Resultante Restauradora Dissipativa Externa
  • 32. Efeito de Ressonância • Força externa do tipo 𝐹 𝑡 = 𝐹0 𝑠𝑒𝑛(ω𝑡) 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑑𝑥 𝑚 2 = −𝑘𝑥 𝑡 − 𝑐 + 𝐹(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Força Força Força Força Resultante Restauradora Dissipativa Externa
  • 33. Efeito de Ressonância • Força externa do tipo 𝐹 𝑡 = 𝐹0 𝑠𝑒𝑛(ω𝑡) 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑑𝑥 𝑚 2 = −𝑘𝑥 𝑡 − 𝑐 + 𝐹(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Força Força Força Força Resultante Restauradora Dissipativa Externa
  • 34. Efeito de Ressonância 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑑𝑥 𝑚 2 = −𝑘𝑥 𝑡 − 𝑐 + 𝐹0 𝑠𝑒𝑛(ω𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Força Força Força Força Restauradora Externa Resultante Dissipativa
  • 35. Efeito de Ressonância • Não vou resolver essa equação diferencial, mas tá resolvida AQUI