5 sistemas com dois grau de liberdade

Vibração e Ruido

Universidade Metodista de Angola
Faculdade de Engenharia Mecâtronica
Prof. MSc. Davyd da Cruz Chivala

1

Programa
 4-Sistemas com dois graus de Liberdade
 4.1-Introdução
 4.2- Equação do movimento
 4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais
 4.4- Transformação de coordenadas.
Desacoplamento
 4.5-Resposta a uma solicitação inicial
 4.6-Sistemas Semi-definidos
 4.7-Resposta a solicitação harmonica
 4.8- Metodos de determinação das frequencias
naturais
 4.8.1-Equação de Dunkerley
 Metodo de Rayleigh
Davyd da Cruz Chivala 2

4-Sistemas com dois grau de Liberdade
4.1-Introdução

 Inumeros sistemas podem ser facilmente modelados
com um grau de liberdade, ou seja existe nestes
sistemas uma equação que relaciona todas as
coordenadas que definem a dinamica do sistema.

 No caso de sistema com dois graus de liberdade, nestes
sistemas não existe esta equação, e assim os elementos
possuem dinamica distintas.

 Sistemas com dois graus de liberdade tem doid estados
naturais de vibração e que são conehcidos por modos
naturais de vibração.

4.2-Equação do movimento

 Considere o sistema seguinte



 Pelas equação de Newton temos:

m1 1 = f1 (t ) − c1 x1 − k1 x1 − k 2 ( x1 − x2 ) − c2 ( x1 − x2 )
x   
 (1)
m2 2 = f 2 (t ) − c3 x2 − k3 x2 − k 2 ( x2 − x1 ) − c2 ( x2 − x1 )
x   
 Que pode ser escrita da seguinte forma:

m1 1 + (c1 + c2 )x1 + (k1 + k 2 )x1 − c2 x2 − k 2 x2 = f1 (t )
x  
 (2)
m2 2 + (c2 + c3 )x2 + (k 2 + k3 )x2 − c2 x1 − k 2 x1 = f 2 (t )
x  
 As equações (1) e (2) não são independentes pois
possuem termos de x1 e x2, e nestas condições o
sistema diz-se acoplado.



 A equação dois na pode ser escrita na forma matricial
fazendo

m1 0  c1 + c2 − c2 
 0 m  = [M ]  − c  = [C ]
c2 + c3 
  2  2

 k1 + k 2 − k2  (3)
 −k  = [K ]
k 2 + k3 
 2

 As matrizes apresentadas acima são as matrizes de
massa, amortecimento e de rigidez.



 x1 (t )  f1 (t )
  = {x(t )}   = { f (t )} (3)
 x2 (t )  f 2 (t )

 { ( )} { ( )}
Os vectores x t ; f t são os vectores de
deslocamento e de força. Assim a equação (2) escreve-
se:
 [ ]{ ( )} [ ]{ ( )} [ ]{ ( )} { ( )}
M  t + C x t + K x t = f t
x  (4)


4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais

• Na ausencia de amortecimento e de forças
perturbadoras exteriores o sistema se reduz



 E as equações reduzem-se
m11 + (k1 + k 2 )x1 − k 2 x2 = 0
x
m2 2 − k 2 x1 + (k 2 + k3 )x2 = 0
 (5)
x
 Que representam duas equações diferencias
homogenias e simultâneas.
 Se k1 + k 2 = k11 ; k 2 + k3 = k 22 e − k 2 = k12 = k 21 que
são os elementos da matriz de rigidez e que

 m1 = m11 , m2 = m22 e 0 = m12 = m21 os
elementos da matriz de massas e teremos:



m11 1 + k11 x1 − k12 x2 = 0
x
 (6)
m22 2 − k 21 x1 + k 22 x2 = 0
x
 Assumindo que as massas m1 e m2 podem possuir
frequencias e angulo de fase inicial iguais teremos:

x1 (t ) = X 1 cos(ωt + φ )
 (7)
x2 (t ) = X 2 cos(ωt + φ )

 Ande X1 e X2 representam as amplitudes


 Subistituindo (7) em (6) temos:
[{− m ω + (k + k )}X − k X ]cos(ωt + φ ) = 0
1
2
1 2 1 2 2

[− k X + {− m ω + (k + k )}X ]cos(ωt + φ ) = 0

2 2 2
2
2 3 2
(8)

 Uma vez em que os termos de cossenos não podem ser
iguais a zero, então teremos:
{− m ω + (k + k )}X − k X = 0
1
2
1 2 1 2 2

− k X + {− m ω + (k + k )}X = 0
 2 (9)
2 2 2 2 3 2



 Verifica-se que a eq.(9) é uma equação algebrica
simultanea, e que a solução trivial desta é X1=X2=0,
neste caso não existe vibração. A solução não trivial
calcula-se fazendo o determinante dos coeficientes de
X1 e X2 igual a zero.

{ }
 − m1ω 2 + (k1 + k 2 ) − k2 
=0
{ }
det 
 − k2 − m2ω + (k 2 + k3 ) 
2

 Ou (10)

(m1m2 )ω 4 − {(k1 + k2 )m2 + (k2 + k3 )m1}ω 2 + {(k1 + k2 )(k2 + k3 ) − k22 } = 0


 Resolvendo (10) obtemos:

1  (k1 + k 2 )m2 + (k 2 + k3 )m1 
ω ,ω = 
2
1
2
2 
2 m1m2 
2 12
1  (k1 + k 2 )m2 + (k 2 + k3 )m1   (k1 + k 2 )(k 2 + k3 ) − k  
2 2
   − 4  
2
2 

m1m2   m1m2  


 Pode verificar que teremos: X 1(1) e X 21) correspondentes a
(

ω
 1 e X 1(2 ) e X 22 ) correspondentes a ω2
(



 Atendendo ao facto de que (8) é homegenea somente

 {
os racios r1 = X 21) X 1(1)
(
} e {
r2 = X 22 ) X 1(2 )
(
} são
calculaveis.

X 21) − m1ω12 + (k1 + k 2 )
(
k2
r1 = (1) = = (12)
X1 k2 − m2ω1 + (k 2 + k3 )
2

X 22 ) m1ω2 + (k1 + k 2 )
( 2
k2
r2 = (2 ) = =
X1 k2 − m2ω2 + (k 2 + k3 ) (13)
2



 Verifica-se que os resultados de (12) e (13) são
identicos.
 Os modos normais de vibração correspondentes a ω12 e
a ω2 e são expressos por:
2

 (1)  X 1(1)   X 1(1) 
X =  (1)  =  (1) 
 X 2  r1 X 1 
 (2 )  X 1(2 )   X 1(2 ) 
X =  (2 )  =  (2 ) 

 X 2  1r2 X 1  (2 )
() e X
 Os vectores X que denotam os modos
normais de vibração são conhecidos por Vectores
modais


 A solução da vibração livre é dada por

 (1)  x1(1) (t )  X 1(1) cos(ω1t + φ1 ) 
x (t ) =  (1)  =  (1)
  primeiro modo (14)
 x2 (t ) r1 X 1 cos(ω1t + φ1 )

 (2 )  x1(2 ) (t )  X 1(2 ) cos(ω2t + φ2 )  segundo modo (15)
x (t ) =  (2 )  = 


 x2 (t ) r2 X 1 cos(ω2t + φ2 )
(2 )

Nas equações (14) e (15) as constantes X 1(1) , X 1(2 ) , φ1 e φ2

São determinados por condiçãoes iniciais


x1 (t = 0 ) = X 1(1) = const.qualquer e x1 (t = 0 ) = 0


x2 (t = 0 ) = r1 X 1(1) e x2 (t = 0 ) = 0




 A solução por sobreposição dos dois movimentos é dado
por:
  (1)  (2 )
x (t ) = x (t ) + x (t )
 Rescrevendo teremos:

x1 (t ) x1(1) (t ) + x1(2 ) (t ) = X 1(1) cos(ω1t + φ1 ) + X 1(2 ) cos(ω2t + φ2 ) (11)
=
x2 (t ) = x21) (t ) + x22 ) (t ) = r1 X 1(1) cos(ω1t + φ1 ) + r2 X 1(2 ) cos(ω2t + φ2 )
( (

 Se tivermos as condições iniciais
x1 (t = 0 ) = x1 (0 ) x1 (t = 0 ) = x1 (0 )
 

x2 (t = 0 ) = x2 (0 ) x2 (t = 0 ) = x2 (0 ) (12)
 


 Subistituimos (12) em (11) para calcular as constantes

(1) (2 )
 X 1 , X 1 , φ1 , eφ2 :

x1 (0 ) = X 1(1) cos φ1 + X 1(2 ) cos φ2
x1 (0 ) = −ω1 X 1(1) sin φ1 − ω2 X 1(2 ) sin φ2

 (13)
x2 (0 ) = r1 X 1(1) cos φ1 + r2 X 1(2 ) cos φ2
x2 (0 ) = −ω1r1 X 1(1) sin φ1 − ω2 r2 X 1(2 ) sin φ2




 Resorvendo (13) obtemos:

(1)
[{ (1)
} {
X 1 = X 1 cos φ1 + X 1 sin φ1
2 (1)
}]2 12
=
{r2 x1 (0) − x2 (0)} 
12
1 
2
 
= {r2 x1 (0 ) − x2 (0 )} +
2

(r2 − r1 )  ω1 2

(2 )
[{ (2 )
} {
X 1 = X 1 cos φ2 + X 1 sin φ2
2 (2 )
}]2 12
=
{r1 x1 (0) − x2 (0)} 
12
1 
2
 
= {− r1 x1 (0 ) + x2 (0 )} +
2

(r2 − r1 )  ω2 2




 X 1(1) sin φ1  −1  − r2 x1 (0 ) + x2 (0 ) 
 
φ1 = tan  (1)
−1
 = tan  
 X 1 cos φ1  ω1 [r2 x1 (0 ) + x2 (0 )]
 X 1(2 ) sin φ2  −1  r1 x1 (0 ) + x2 (0 ) 
 
φ2 = tan  (2 )
−1
 = tan  
 X 1 cos φ2  ω2 [− r1 x1 (0 ) + x2 (0 )]



 Exemplo: Para a figura abaixo, calcule as frequencias
naturais e os modos de vibração.



 Equação do movimento
m1 + 2kx1 − kx2 = 0
x
m2 − kx1 + 2kx2 = 0
x
 Assumindo soluções harmonicas dada por:
x1 (t ) = X 1 cos(ωt + φ )
x2 (t ) = X 2 cos(ωt + φ )

 A equação das frequencias é dada por
(− mω 2
+ 2k ) −k
= 0 ou m 2ω 4 − 4kmω 2 + 3k 2 = 0

−k (− mω 2
+ +2k ) Davyd da Cruz Chivala 23


 As frequencias serão dadas por:

[ ]
12
 4mk − 16k m − 12k m

2 2 2 2 12 
 k
ω1 =   =

 2m 2 
 m

[ ]
12
 4mk + 16k 2 m 2 − 12k 2 m

2 12 
 3k
ω2 =   =

 2m 2 
 m
 Os racios r1 e r2 serão:
(1)
X2 − mω12 + 2k k
r1 = (1) = = =1
X1 k − mω1 + 2k
2

X 22 ) − mω2 + 2k
( 2
k
r2 = (2 ) = = = −1
X1 k − mω2 + 2k
2 Davyd da Cruz Chivala 24


 os modos naturais são dados por:

 (1)  k 
 X 1 cos  m t + φ1 

 (1)   
 Primeiro modo x (t ) =  
 X (1) cos k t + φ 
 
 1  m 1

  
 (2 )  3k 
 X 1 cos 
 m t + φ2  
 (2 )
x (t ) = 
  

− X (2 ) cos 3k t + φ 
 Segundo modo
 
 1  m 2

  


 graficamente teremos:



 A equação que representa a dinamica do sisrema é:
 k   3k 
x1 (t ) = X 1
(1) 
cos (2 )
t + φ1  + X 1 cos


 m t + φ2 
 m   
 k   3k 
x2 (t ) = X 1
(1) 
cos 
(2 )
t + φ1  − X 1 cos
 m t + φ2 

 m   


4.3.1-Sistemas torcionais
 Considere o sistema torcional abaixo


 os treis eixos the constantes de rigidez kt1 ; kt 2 ekt 3 os
discos tem momentos de inercia J1eJ 2 e sofrem os
torques de M t1eM t 2

 A equação diferencial do movimento é dada por
J1θ = −kt1θ1 + kt 2 (θ 2 − θ1 ) + M t1

1

J θ = −k θ − k (θ − θ ) + M

2 2 t3 2 t2 2 1 t2


 rearranjando a equação teremos:
J1θ + (kt1 + kt1 )θ1 − kt 2θ 2 = M t1

1

J θ − k θ + (k + k )θ = M

2 2 t2 1 t2 t3 2 t2


 Exemplo2: calcule a frequencia natural e os modos de
vibração do sistema torcional abaixo, sabendo que

 J1 = J 0 , J 2 = 2J 0 e kt1 = kt 2 = kt


vibração do sistema torcional abaixo, sabendo que
J 0θ + 2ktθ1 − ktθ 2 = 0

1

2 J 2θ2 − ktθ1 + ktθ 2 = 0


2ω 4 J 0 − 5ω 2 J 0 kt + kt = 0
2 2

ω1 =
kt
4J0
(
5 − 17 ) ω2 =
kt
4J0
5 + 17 ( )
r =
θ( )
2
1
= 2−
(5 − 17 )
r2 =
θ( )2
2
= 2−
(5 + 17 )
θ (1 )
θ1(2 )
1
1 4 Davyd da Cruz Chivala 4 32

vibração do sistema abaixo:


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