A posição, velocidade e aceleração de uma partícula em movimento harmônico simples podem ser representadas pela projeção de um vetor girante. A velocidade angular do vetor é igual à frequência angular do movimento oscilatório, pois a cada volta do vetor a projeção repete a mesma posição, velocidade e aceleração.

1. ıcios Resolvidos - 5o Tarefa
Exerc´ .
1 de abril de 2013
Quest˜o 3 Demonstre que a posi¸ao, a velocidade e a acelera¸ao de uma part´
a c˜ c˜ ıcula que realiza um mo-
vimento harmˆnico simples podem ser representadas pela proje¸˜o de vetores girantes. Neste caso, qual a
o ca
rela¸ao entre a velocidade angular do vetor girante e a frequˆncia angular do movimento oscilat´rio?
c˜ e o
Solu¸˜o
ca
obs: No referencial considerado, usaremos A = Aˆ
i
Considerando um vetor girante sobre o ponto de equil´ ıbrio do MHS(x = 0), podemos es-
crever que, num instante qualquer em que o vetor faz um angulo de θ com o eixo x,sempre
ˆ
medido no sentido trigonom´trico a partir do primeiro quadrante, a proje¸˜o horizontal da
e ca
ponta do vetor ´
e
x = A cos θ = A cos (ωt + φ0 )
pois do MCU temos θ = ωt + φ0 , onde φ0 ´ o angulo inicial do movimento do vetor. Derivando
e ˆ
essa equa¸ao, e em seguida derivando novamente o resultado, chegamos a
c˜
dx
= v = −Aω sin (ωt + φ0 )
dt
dv
= a = −Aω 2 cos (ωt + φ0 )
dt
Assim, verificamos que a proje¸ao da ponta do vetor se comporta como uma part´
c˜ ıcula em MHS,
sendo que a frequˆncia angular do movimento ´ a mesma do vetor, pois s´ uma vez a cada
e e o
volta do vetor a proje¸˜o ter´ a mesma posi¸ao,velocidade e acelera¸˜o que uma certa posi¸˜o
ca a c˜ ca ca
na volta anterior.