Este documento contém três questões sobre sistemas oscilatórios com molas. A primeira pergunta calcula a frequência natural de oscilação de um cilindro suspenso por duas molas, dando o resultado de 3,9 Hz. A segunda pergunta substitui sistemas de molas em paralelo e série por molas equivalentes únicas. A terceira pergunta determina a constante máxima de mola aceitável para uma plataforma de pesagem de 4 toneladas com frequência menor que 3 Hz, calculando também a frequência quando carregada com um

1. 6a Tarefa
Questão 1)Calcule a frequência natural fn de oscilação vertical do cilindro
carregado por molas quando ele é posto em movimento. As duas molas estão
tracionadas o tempo todo.
Resolução:
Definindo-se o eixo x direcionado para a direita e o eixo y direcionado para
cima.
No equilíbrio, no cilindro atuam a força peso, uma tração(T1 ) para cima e
outra para baixo(T2 ).
Assim, inicialmente temos:
Fresultante = P + T2 − T1
1

2. Sendo : T1 = T2 = kx0
Movimentando-se o cilindro de x para baixo, a força resultante é dada por:
Fresultante = P − T1 − T2
Sendo: T1 = k(x − x0 ) T2 = k(x + x0 )
Assim,Fresultante = P − (kx − kx0 + kx + kx0 ) = P − 2kx
Como −(w0 )2 = − 2k e w0 = 2πfn
m
Chegamos então que: fn = w0 2π
Substituindo pelos valores da questão:
√ 2k
fn = m
2π
= 3, 9Hz
Questão 2)Substitua as molas em cada um dos dois casos mostrados por
uma única mola de rigidez k(constante de mola equivalente) que fará com
que cada massa vibre com a sua frequência original.
Resolução:
2

3. Com as molas em paralelo, podemos ver que:
FR = −(k1 x1 + K2 x2 )
Como x1 = x2 então:
FR = −(k1 + k2 )x
Assim, keq = k1 + k2
Molas em série:
xtotal = x1 + x2
Ftotal
keq
= F1 + F2
k
1
k
2
Como não há massa no ponto de encontro entre as molas, ΣF = 0
1
keq
= k11 + k12
keq = kk1 k22
1 +k
Questão 3)Durante o projeto do sistema de apoio com molas para a plata-
forma de pesagem de 4t, decide-se que a frequência da vibração livre vertical
na condição descarregada não deve exceder 3 ciclos por segundos.
(a)Determine a constante de mola máxima aceitável k para cada uma das
três molas idênticas.
(b)Para esta constante de mola, qual seria a frequência natural fn da vibra-
ção vertical da plataforma carregada com caminhão 40t.
Resolução:
Sendo k a constante da mola, como as molas estão em paralelo:
keq = 3k
Então, temos que a frequência angular de oscilação da plataforma sem nada
em cima é:
3k
ω= M
Como ω = 6π e M = 10t:
2 2
a) k = 6 π3 M = 474 kN
m
b) Com um caminhão sobre a plataforma, temos que, sendo m = 40t:
1 3k
f= 2π M +m
→ f = 0.905Hz
3

4. 4