Este documento apresenta resoluções de exercícios sobre osciladores amortecidos. A primeira questão prova que a energia de um oscilador com amplitude constante pode ser escrita como E = 1/2 mω02A2e-2γt. A segunda questão mostra que a dissipação média de potência é definida por P = -dE/dt = 2γE = E/τ. A terceira questão prova que esta dissipação de potência é igual ao trabalho médio realizado pela força amortecedora.

1. 12.54 Suponha que, para um oscilador amortecido, γ seja muito pequeno
comparado com ω0, de modo que a amplitude permanece praticamente con-
stante durante uma oscila¸c˜ao.
(a) Verifique que a energia do oscilador amortecido pode ser escrita na forma
E = 1
2 mω0
2
A2
e−2γt
.
Resposta: Sendo a amplitude constante no perodo, podemos usar que E =
1
2 KB2
( em que B ´e a amplitude do movimento para aquele perodo) para aquele
perodo. Da, segue que E = 1
2 mω0
2
A2
e−2γt
.
(b) A dissipa¸c˜ao m´edia de potˆencia ´e definida por P = −dE
dt . Prove que
P = 2γE = E
τ
Resposta: Derivando o E encontrado na quest˜ao anterior:
P = −
dE
dt
= 2γ
1
2
mω0
2
A2
e−2γt
= 2γE
(c) Prove que esta dissipa¸c˜ao de potˆencia ´e igual ao trabalho m´edio efetuado
pela for¸ca amortecedora, na unidade de tempo.
A potˆencia da for¸ca dissipadora ´e:
P = Fv = (2mγv)v
Como v = ω0Ae−γt
:
P = mγω2
0A2
e−2γt
12.55 Prove que, para um oscilador for¸cado, Pmed = 1
2 (Pmed)rev quando a reat-
ncia ´e igual a resistˆencia X = ±R ou (ω2
f − ω2
0) = ±2γωf . A diferen¸ca (∆ω)1
2
entre os dois valores de ωf , para essa situa¸c˜ao, ´e chamada largura de banda do
oscilador e a raz˜ao Q = ω
(∆ω) 1
2
´e chamado fator Q do oscilador. Prove que, para
pequeno amortecimento, (∆ω)1
2
= 2γ e assim, Q = ω0
2γ
Resolu¸c˜ao:
X = R ⇒ ω2
f ± 2γωf − ω0 = 0 ⇒ ωf = ±γ + γ2 + ω2
0 ⇒ (∆ω)1
2
= 2γ
Como ω ≈ ω0 ⇒ Q = ω0
2γ
12.56 (a)Calcule os valores m´edios das energias cin´etica e potencial das os-
cila¸ces for¸cadas de um oscilador amortecido. (b) Obtenha o quociente entre a
soma dessas duas energias e o trabalho realizado pela for¸ca aplicada num per-
odo. Esse fator ´e ´util para indicar o desempenho do oscilador. Prove que, para
pequenos amortecimentos, esse fator ´e igual a Q
2τ .
Resolu¸c˜ao:
(a)
< Ep >=< kx2
2 >= KA2
4 =
mω2
0 A2
4
< Ec >=< mv2
2 >=
mω2
f A2
4
1

2. (b)q =
1
4
m(ω2
0 + ω2
f )A2
/ZA2
wf πcos(α)
γpequeno
=
ω2
f + ω2
0
4ωf
=
2ω2
4ω
=
Q
2τ
2