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APOSTILA DE EXERCÍCIOS
SOMA DE ARCOS
SOMA DE ARCOS
1
01. (Ita 2020) Seja a um número real satisfazendo 0 a .
2
π
< < Então, a soma de todos os valores de x [0, 2 ]
π
∈ que
satisfazem a equação cosxsen(a x) sena
+ = é igual a
a) 5 2a.
π +
b) 5 a.
π +
c) 5 .
π
d) 5 a.
π −
e) 5 2a.
π −
02. (Ita 2019) Considere um retângulo ABCD em que o comprimento do lado AB é o dobro do comprimento do lado
BC. Sejam M o ponto médio de BC e N o ponto médio de CM. A tangente do ângulo MÂN é igual a
a)
1
.
35
b)
2
.
35
c)
4
.
35
d)
8
.
35
e)
16
.
35
03. (Eear 2019) Simplificando a expressão sen(2 x) sen(3 x),
π π
− + + obtém-se
a) sen x
b) sen x
−
c) 2 sen x
d) 2 sen x
−
04. (Espcex 2018) Sendo
1
M arctg(X), N arctg
X
 
= =  
 
e P tg(M N),
= − o valor de 30P para X 15
= é
a)
224
.
30
b)
45
.
6
c) 45.
d) 224.
e) 225.
05. (Espcex 2018) Considere o triângulo com ângulos internos x, 45° e 120 .
° O valor de 2
tg (x) é igual a
a) 3 2.
−
b) 4 3 7.
−
c) 7 4 3.
−
d) 2 3.
−
e) 2 4 3.
−
SOMA DE ARCOS
2
06. (Acafe 2017) Se 2 3 4
2 2 sen 2(sen ) 2(sen ) 2(sen ) 10,
θ θ θ θ
+ + + + + =
 com 0 2,
θ π
< < então, | cos (2 ) |
θ é
a) 17 25.
b) 3 5.
c) 9 5.
d) 7 25.
07. (Ita 2017) O maior valor de tgx, com
1 3
x arcsen
2 5
 
=  
 
e x 0, ,
2
π
 
∈  
 
é
a)
1
.
4
b)
1
.
3
c)
1
.
2
d) 2.
e) 3.
08. (Col. naval 2017) Observe a figura a seguir.
A figura acima representa o trapézio escaleno de altura 6 cm, com base menor medindo 13 cm, um dos ângulos
internos da base maior medindo 75° e lado transversal oposto a esse ângulo igual a 12 cm. Qual a área, em 2
cm ,
desse trapézio?
a) 120
b) 118
c) 116
d) 114
e) 112
09. (Ita 2016) Se tgx 7
= e
3
x , ,
2
π
π
 
∈  
 
então sen3x é igual a
a)
14
.
8
−
b)
14
.
8
c)
14
.
4
d)
14
.
4
−
e)
14
.
6
SOMA DE ARCOS
3
10. (Ita 2016) Um triângulo retângulo tem perímetro igual a 5,
 em que  é comprimento da hipotenusa. Se α e β
são seus ângulos agudos, com ,
α < β então sen( )
β − α é igual a
a) 5 2 5.
−
b) 6 3 5.
− +
c) 16 5 35.
−
d) 20 5 44.
−
e) 18 5 40.
−
11. (Eear 2016) O valor de cos 735° é
a)
1
4
b)
3
4
c)
2 6
4
+
d)
2 6
8
+
12. (Ime 2015) Os lados a, b e c de um triângulo estão em PA nesta ordem, sendo opostos aos ângulos internos 𝐴𝐴
̂, 𝐵𝐵
�e
𝐶𝐶
̂, respectivamente. Determine o valor da expressão:
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
𝐴𝐴
�−𝐶𝐶
�
2
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
𝐴𝐴
�+𝐶𝐶
�
2
a) 2
b) 2
c) 2 2
d) 3
e) 4
13. (Ime 2015) A função 𝑓𝑓: ℝ → ℝ é definida por:
8 3senx sen3x
f(x) n
8 4senx 2sen2xcosx
+ −
=
− +
 .
Marque a opção verdadeira
a) f não tem raízes reais
b) f é uma função ímpar
c) f é uma função par
d) f(x) 1
≤
e) f é sobrejetora
SOMA DE ARCOS
4
14. (Ime 2014) Para o número complexo z que descreve o lugar geométrico representado pela desigualdade
z 26i 10,
− ≤ sejam 1
α e 2
α os valores máximo e mínimo de seu argumento. O valor de 1 2
α α
− é
a) 1 5
tan
12
π −  
−  
 
b) 1 5
2 tan
13
−  
⋅  
 
c) 1 5
tan
13
−  
 
 
d) 1 5
2 tan
12
−  
⋅  
 
e) 1 12
2 tan
5
−  
⋅  
 
15. (Ime 2014) Sejam f(x) sen(logx)
= e g(x) cos(logx)
= duas funções reais, nas quais logx representa o logaritmo
decimal de x. O valor da expressão ( )
1 x
f(x) f(y) g g x y
2 y
 
 
⋅ − − ⋅
 
 
 
 
é
a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
e) 0
GABARITO
1 - E 2 - C 3 - D 4 - D 5 - C
6 - D 7 - B 8 - D 9 - B 10 - B
11 - 12 - C 13 - B 14 - D 15 - E

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Soma de arcos 1

  • 2. SOMA DE ARCOS 1 01. (Ita 2020) Seja a um número real satisfazendo 0 a . 2 π < < Então, a soma de todos os valores de x [0, 2 ] π ∈ que satisfazem a equação cosxsen(a x) sena + = é igual a a) 5 2a. π + b) 5 a. π + c) 5 . π d) 5 a. π − e) 5 2a. π − 02. (Ita 2019) Considere um retângulo ABCD em que o comprimento do lado AB é o dobro do comprimento do lado BC. Sejam M o ponto médio de BC e N o ponto médio de CM. A tangente do ângulo MÂN é igual a a) 1 . 35 b) 2 . 35 c) 4 . 35 d) 8 . 35 e) 16 . 35 03. (Eear 2019) Simplificando a expressão sen(2 x) sen(3 x), π π − + + obtém-se a) sen x b) sen x − c) 2 sen x d) 2 sen x − 04. (Espcex 2018) Sendo 1 M arctg(X), N arctg X   = =     e P tg(M N), = − o valor de 30P para X 15 = é a) 224 . 30 b) 45 . 6 c) 45. d) 224. e) 225. 05. (Espcex 2018) Considere o triângulo com ângulos internos x, 45° e 120 . ° O valor de 2 tg (x) é igual a a) 3 2. − b) 4 3 7. − c) 7 4 3. − d) 2 3. − e) 2 4 3. −
  • 3. SOMA DE ARCOS 2 06. (Acafe 2017) Se 2 3 4 2 2 sen 2(sen ) 2(sen ) 2(sen ) 10, θ θ θ θ + + + + + =  com 0 2, θ π < < então, | cos (2 ) | θ é a) 17 25. b) 3 5. c) 9 5. d) 7 25. 07. (Ita 2017) O maior valor de tgx, com 1 3 x arcsen 2 5   =     e x 0, , 2 π   ∈     é a) 1 . 4 b) 1 . 3 c) 1 . 2 d) 2. e) 3. 08. (Col. naval 2017) Observe a figura a seguir. A figura acima representa o trapézio escaleno de altura 6 cm, com base menor medindo 13 cm, um dos ângulos internos da base maior medindo 75° e lado transversal oposto a esse ângulo igual a 12 cm. Qual a área, em 2 cm , desse trapézio? a) 120 b) 118 c) 116 d) 114 e) 112 09. (Ita 2016) Se tgx 7 = e 3 x , , 2 π π   ∈     então sen3x é igual a a) 14 . 8 − b) 14 . 8 c) 14 . 4 d) 14 . 4 − e) 14 . 6
  • 4. SOMA DE ARCOS 3 10. (Ita 2016) Um triângulo retângulo tem perímetro igual a 5,  em que  é comprimento da hipotenusa. Se α e β são seus ângulos agudos, com , α < β então sen( ) β − α é igual a a) 5 2 5. − b) 6 3 5. − + c) 16 5 35. − d) 20 5 44. − e) 18 5 40. − 11. (Eear 2016) O valor de cos 735° é a) 1 4 b) 3 4 c) 2 6 4 + d) 2 6 8 + 12. (Ime 2015) Os lados a, b e c de um triângulo estão em PA nesta ordem, sendo opostos aos ângulos internos 𝐴𝐴 ̂, 𝐵𝐵 �e 𝐶𝐶 ̂, respectivamente. Determine o valor da expressão: 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝐴𝐴 �−𝐶𝐶 � 2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝐴𝐴 �+𝐶𝐶 � 2 a) 2 b) 2 c) 2 2 d) 3 e) 4 13. (Ime 2015) A função 𝑓𝑓: ℝ → ℝ é definida por: 8 3senx sen3x f(x) n 8 4senx 2sen2xcosx + − = − +  . Marque a opção verdadeira a) f não tem raízes reais b) f é uma função ímpar c) f é uma função par d) f(x) 1 ≤ e) f é sobrejetora
  • 5. SOMA DE ARCOS 4 14. (Ime 2014) Para o número complexo z que descreve o lugar geométrico representado pela desigualdade z 26i 10, − ≤ sejam 1 α e 2 α os valores máximo e mínimo de seu argumento. O valor de 1 2 α α − é a) 1 5 tan 12 π −   −     b) 1 5 2 tan 13 −   ⋅     c) 1 5 tan 13 −       d) 1 5 2 tan 12 −   ⋅     e) 1 12 2 tan 5 −   ⋅     15. (Ime 2014) Sejam f(x) sen(logx) = e g(x) cos(logx) = duas funções reais, nas quais logx representa o logaritmo decimal de x. O valor da expressão ( ) 1 x f(x) f(y) g g x y 2 y     ⋅ − − ⋅         é a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 GABARITO 1 - E 2 - C 3 - D 4 - D 5 - C 6 - D 7 - B 8 - D 9 - B 10 - B 11 - 12 - C 13 - B 14 - D 15 - E