SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 68
Baixar para ler offline
Cálculo Diferencial e Integral I
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
01/06/2022
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento
Esboço do Gráfico de uma Função
Os passos
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Os passos
Para esboçar o gráfico de uma função, determinaremos/verificaremos:
seu domínio;
sua paridade;
seus pontos de descontinuidade e a existência de assíntotas verticais;
suas interseções com os eixos coordenados;
seu comportamento no infinito (existência de assíntota horizontal);
existência de assíntotas oblíquas;
seus intervalos de monotonicidade (crescimento e decrescimento);
seus extremantes;
seus pontos de inflexão
suas concavidades;
seu esboço gráfico.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Os passos
Para esboçar o gráfico de uma função, determinaremos/verificaremos:
seu domínio;
sua paridade;
seus pontos de descontinuidade e a existência de assíntotas verticais;
suas interseções com os eixos coordenados;
seu comportamento no infinito (existência de assíntota horizontal);
existência de assíntotas oblíquas;
seus intervalos de monotonicidade (crescimento e decrescimento);
seus extremantes;
seus pontos de inflexão
suas concavidades;
seu esboço gráfico.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Os passos
Para esboçar o gráfico de uma função, determinaremos/verificaremos:
seu domínio;
sua paridade;
seus pontos de descontinuidade e a existência de assíntotas verticais;
suas interseções com os eixos coordenados;
seu comportamento no infinito (existência de assíntota horizontal);
existência de assíntotas oblíquas;
seus intervalos de monotonicidade (crescimento e decrescimento);
seus extremantes;
seus pontos de inflexão
suas concavidades;
seu esboço gráfico.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Os passos
Para esboçar o gráfico de uma função, determinaremos/verificaremos:
seu domínio;
sua paridade;
seus pontos de descontinuidade e a existência de assíntotas verticais;
suas interseções com os eixos coordenados;
seu comportamento no infinito (existência de assíntota horizontal);
existência de assíntotas oblíquas;
seus intervalos de monotonicidade (crescimento e decrescimento);
seus extremantes;
seus pontos de inflexão
suas concavidades;
seu esboço gráfico.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Os passos
Para esboçar o gráfico de uma função, determinaremos/verificaremos:
seu domínio;
sua paridade;
seus pontos de descontinuidade e a existência de assíntotas verticais;
suas interseções com os eixos coordenados;
seu comportamento no infinito (existência de assíntota horizontal);
existência de assíntotas oblíquas;
seus intervalos de monotonicidade (crescimento e decrescimento);
seus extremantes;
seus pontos de inflexão
suas concavidades;
seu esboço gráfico.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Os passos
Para esboçar o gráfico de uma função, determinaremos/verificaremos:
seu domínio;
sua paridade;
seus pontos de descontinuidade e a existência de assíntotas verticais;
suas interseções com os eixos coordenados;
seu comportamento no infinito (existência de assíntota horizontal);
existência de assíntotas oblíquas;
seus intervalos de monotonicidade (crescimento e decrescimento);
seus extremantes;
seus pontos de inflexão
suas concavidades;
seu esboço gráfico.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Os passos
Para esboçar o gráfico de uma função, determinaremos/verificaremos:
seu domínio;
sua paridade;
seus pontos de descontinuidade e a existência de assíntotas verticais;
suas interseções com os eixos coordenados;
seu comportamento no infinito (existência de assíntota horizontal);
existência de assíntotas oblíquas;
seus intervalos de monotonicidade (crescimento e decrescimento);
seus extremantes;
seus pontos de inflexão
suas concavidades;
seu esboço gráfico.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Os passos
Para esboçar o gráfico de uma função, determinaremos/verificaremos:
seu domínio;
sua paridade;
seus pontos de descontinuidade e a existência de assíntotas verticais;
suas interseções com os eixos coordenados;
seu comportamento no infinito (existência de assíntota horizontal);
existência de assíntotas oblíquas;
seus intervalos de monotonicidade (crescimento e decrescimento);
seus extremantes;
seus pontos de inflexão
suas concavidades;
seu esboço gráfico.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Os passos
Para esboçar o gráfico de uma função, determinaremos/verificaremos:
seu domínio;
sua paridade;
seus pontos de descontinuidade e a existência de assíntotas verticais;
suas interseções com os eixos coordenados;
seu comportamento no infinito (existência de assíntota horizontal);
existência de assíntotas oblíquas;
seus intervalos de monotonicidade (crescimento e decrescimento);
seus extremantes;
seus pontos de inflexão
suas concavidades;
seu esboço gráfico.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Os passos
Para esboçar o gráfico de uma função, determinaremos/verificaremos:
seu domínio;
sua paridade;
seus pontos de descontinuidade e a existência de assíntotas verticais;
suas interseções com os eixos coordenados;
seu comportamento no infinito (existência de assíntota horizontal);
existência de assíntotas oblíquas;
seus intervalos de monotonicidade (crescimento e decrescimento);
seus extremantes;
seus pontos de inflexão
suas concavidades;
seu esboço gráfico.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Os passos
Para esboçar o gráfico de uma função, determinaremos/verificaremos:
seu domínio;
sua paridade;
seus pontos de descontinuidade e a existência de assíntotas verticais;
suas interseções com os eixos coordenados;
seu comportamento no infinito (existência de assíntota horizontal);
existência de assíntotas oblíquas;
seus intervalos de monotonicidade (crescimento e decrescimento);
seus extremantes;
seus pontos de inflexão
suas concavidades;
seu esboço gráfico.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Os passos
Para esboçar o gráfico de uma função, determinaremos/verificaremos:
seu domínio;
sua paridade;
seus pontos de descontinuidade e a existência de assíntotas verticais;
suas interseções com os eixos coordenados;
seu comportamento no infinito (existência de assíntota horizontal);
existência de assíntotas oblíquas;
seus intervalos de monotonicidade (crescimento e decrescimento);
seus extremantes;
seus pontos de inflexão
suas concavidades;
seu esboço gráfico.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Example 1.
Esboçar o gráfico da função f(x) = (x2 − 1)3.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Solução:
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Solução:
Domínio: Claramente, temos Dom(f) = R.
Paridade: f(−x) = ((−x)2 − 1)3 = (x2 − 1)3 = f(x). Portanto, a função é par e
seu gráfico possui simetria com respeito ao eixo das ordenadas (eixo-y).
Pontos de descontinuidade: Não existem pois a função é contínua.
Intersecções com os eixos coordenados: se x = 0, então y = −1 e, se y = 0, então
x = ±1; a curva passa pelos pontos (1, 0), (−1, 0) e (0, −1).
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Solução:
Domínio: Claramente, temos Dom(f) = R.
Paridade: f(−x) = ((−x)2 − 1)3 = (x2 − 1)3 = f(x). Portanto, a função é par e
seu gráfico possui simetria com respeito ao eixo das ordenadas (eixo-y).
Pontos de descontinuidade: Não existem pois a função é contínua.
Intersecções com os eixos coordenados: se x = 0, então y = −1 e, se y = 0, então
x = ±1; a curva passa pelos pontos (1, 0), (−1, 0) e (0, −1).
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Solução:
Domínio: Claramente, temos Dom(f) = R.
Paridade: f(−x) = ((−x)2 − 1)3 = (x2 − 1)3 = f(x). Portanto, a função é par e
seu gráfico possui simetria com respeito ao eixo das ordenadas (eixo-y).
Pontos de descontinuidade: Não existem pois a função é contínua.
Intersecções com os eixos coordenados: se x = 0, então y = −1 e, se y = 0, então
x = ±1; a curva passa pelos pontos (1, 0), (−1, 0) e (0, −1).
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Solução:
Domínio: Claramente, temos Dom(f) = R.
Paridade: f(−x) = ((−x)2 − 1)3 = (x2 − 1)3 = f(x). Portanto, a função é par e
seu gráfico possui simetria com respeito ao eixo das ordenadas (eixo-y).
Pontos de descontinuidade: Não existem pois a função é contínua.
Intersecções com os eixos coordenados: se x = 0, então y = −1 e, se y = 0, então
x = ±1; a curva passa pelos pontos (1, 0), (−1, 0) e (0, −1).
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Solução:
Domínio: Claramente, temos Dom(f) = R.
Paridade: f(−x) = ((−x)2 − 1)3 = (x2 − 1)3 = f(x). Portanto, a função é par e
seu gráfico possui simetria com respeito ao eixo das ordenadas (eixo-y).
Pontos de descontinuidade: Não existem pois a função é contínua.
Intersecções com os eixos coordenados: se x = 0, então y = −1 e, se y = 0, então
x = ±1; a curva passa pelos pontos (1, 0), (−1, 0) e (0, −1).
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Comportamento no infinito: lim
x→±∞
(x2
− 1)3
= lim
x→±∞
x6
= +∞. Com isso, não
existem assíntotas horizontais.
Pontos críticos de f:
Temos que f′
(x) = 6x(x2
− 1)2
.
Logo, resolvendo a equação f′
(x) = 0, obtemos x = 0, x = 1 e x = −1, que são os
pontos críticos de f.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Comportamento no infinito: lim
x→±∞
(x2
− 1)3
= lim
x→±∞
x6
= +∞. Com isso, não
existem assíntotas horizontais.
Pontos críticos de f:
Temos que f′
(x) = 6x(x2
− 1)2
.
Logo, resolvendo a equação f′
(x) = 0, obtemos x = 0, x = 1 e x = −1, que são os
pontos críticos de f.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Comportamento no infinito: lim
x→±∞
(x2
− 1)3
= lim
x→±∞
x6
= +∞. Com isso, não
existem assíntotas horizontais.
Pontos críticos de f:
Temos que f′
(x) = 6x(x2
− 1)2
.
Logo, resolvendo a equação f′
(x) = 0, obtemos x = 0, x = 1 e x = −1, que são os
pontos críticos de f.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Comportamento no infinito: lim
x→±∞
(x2
− 1)3
= lim
x→±∞
x6
= +∞. Com isso, não
existem assíntotas horizontais.
Pontos críticos de f:
Temos que f′
(x) = 6x(x2
− 1)2
.
Logo, resolvendo a equação f′
(x) = 0, obtemos x = 0, x = 1 e x = −1, que são os
pontos críticos de f.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Máximos e mínimos relativos de f:
Temos que: f′′
(x) = 6(x2
− 1)(5x2
− 1).
Logo, f′′
(0) > 0 e 0 é ponto de mínimo relativo de f; f′′
(±1) = 0 e, neste caso, o
teste da segunda derivada nada nos diz.
Usando, então, o teste da primeira derivada para analisar a mudança de sinal, temos:
f′
(x) < 0, para todo x < 0; então x = −1 não é ponto extremo de f.
f′
(x) > 0, para todo x > 0; então x = 1 não é ponto extremo de f.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Máximos e mínimos relativos de f:
Temos que: f′′
(x) = 6(x2
− 1)(5x2
− 1).
Logo, f′′
(0) > 0 e 0 é ponto de mínimo relativo de f; f′′
(±1) = 0 e, neste caso, o
teste da segunda derivada nada nos diz.
Usando, então, o teste da primeira derivada para analisar a mudança de sinal, temos:
f′
(x) < 0, para todo x < 0; então x = −1 não é ponto extremo de f.
f′
(x) > 0, para todo x > 0; então x = 1 não é ponto extremo de f.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Máximos e mínimos relativos de f:
Temos que: f′′
(x) = 6(x2
− 1)(5x2
− 1).
Logo, f′′
(0) > 0 e 0 é ponto de mínimo relativo de f; f′′
(±1) = 0 e, neste caso, o
teste da segunda derivada nada nos diz.
Usando, então, o teste da primeira derivada para analisar a mudança de sinal, temos:
f′
(x) < 0, para todo x < 0; então x = −1 não é ponto extremo de f.
f′
(x) > 0, para todo x > 0; então x = 1 não é ponto extremo de f.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Máximos e mínimos relativos de f:
Temos que: f′′
(x) = 6(x2
− 1)(5x2
− 1).
Logo, f′′
(0) > 0 e 0 é ponto de mínimo relativo de f; f′′
(±1) = 0 e, neste caso, o
teste da segunda derivada nada nos diz.
Usando, então, o teste da primeira derivada para analisar a mudança de sinal, temos:
f′
(x) < 0, para todo x < 0; então x = −1 não é ponto extremo de f.
f′
(x) > 0, para todo x > 0; então x = 1 não é ponto extremo de f.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Máximos e mínimos relativos de f:
Temos que: f′′
(x) = 6(x2
− 1)(5x2
− 1).
Logo, f′′
(0) > 0 e 0 é ponto de mínimo relativo de f; f′′
(±1) = 0 e, neste caso, o
teste da segunda derivada nada nos diz.
Usando, então, o teste da primeira derivada para analisar a mudança de sinal, temos:
f′
(x) < 0, para todo x < 0; então x = −1 não é ponto extremo de f.
f′
(x) > 0, para todo x > 0; então x = 1 não é ponto extremo de f.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Máximos e mínimos relativos de f:
Temos que: f′′
(x) = 6(x2
− 1)(5x2
− 1).
Logo, f′′
(0) > 0 e 0 é ponto de mínimo relativo de f; f′′
(±1) = 0 e, neste caso, o
teste da segunda derivada nada nos diz.
Usando, então, o teste da primeira derivada para analisar a mudança de sinal, temos:
f′
(x) < 0, para todo x < 0; então x = −1 não é ponto extremo de f.
f′
(x) > 0, para todo x > 0; então x = 1 não é ponto extremo de f.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Existência de assíntotas oblíquas:
m = lim
x→±∞
f(x)
x
= lim
x→±∞
x6
x
= ±∞ e, portanto, não existe assíntota oblíqua.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Existência de assíntotas oblíquas:
m = lim
x→±∞
f(x)
x
= lim
x→±∞
x6
x
= ±∞ e, portanto, não existe assíntota oblíqua.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Pontos de inflexão e Concavidade
f′′
(x) = 6(x2
− 1)(5x2
− 1) = 0 implica que x = ±1 e x = ±
√
5
5
.
f′′
(x) > 0, se x ∈ (−∞, −1) ∪
(
−
√
5
5
,
√
5
5
)
∪ (1, ∞) e f′′
(x) < 0 se
x ∈
(
−1, −
√
5
5
)
∪
(√
5
5
, 1
)
.
Conclusão:
f tem C.P. nos intervalos (−∞, −1),
(
−
√
5
5
,
√
5
5
)
e (1, ∞).
f tem C.N. nos intervalos
(
−1, −
√
5
5
)
e
(√
5
5
, 1
)
.
e as abscissas dos pontos de inflexão de f são x = ±1 e x = ±
√
5
5
.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Pontos de inflexão e Concavidade
f′′
(x) = 6(x2
− 1)(5x2
− 1) = 0 implica que x = ±1 e x = ±
√
5
5
.
f′′
(x) > 0, se x ∈ (−∞, −1) ∪
(
−
√
5
5
,
√
5
5
)
∪ (1, ∞) e f′′
(x) < 0 se
x ∈
(
−1, −
√
5
5
)
∪
(√
5
5
, 1
)
.
Conclusão:
f tem C.P. nos intervalos (−∞, −1),
(
−
√
5
5
,
√
5
5
)
e (1, ∞).
f tem C.N. nos intervalos
(
−1, −
√
5
5
)
e
(√
5
5
, 1
)
.
e as abscissas dos pontos de inflexão de f são x = ±1 e x = ±
√
5
5
.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Pontos de inflexão e Concavidade
f′′
(x) = 6(x2
− 1)(5x2
− 1) = 0 implica que x = ±1 e x = ±
√
5
5
.
f′′
(x) > 0, se x ∈ (−∞, −1) ∪
(
−
√
5
5
,
√
5
5
)
∪ (1, ∞) e f′′
(x) < 0 se
x ∈
(
−1, −
√
5
5
)
∪
(√
5
5
, 1
)
.
Conclusão:
f tem C.P. nos intervalos (−∞, −1),
(
−
√
5
5
,
√
5
5
)
e (1, ∞).
f tem C.N. nos intervalos
(
−1, −
√
5
5
)
e
(√
5
5
, 1
)
.
e as abscissas dos pontos de inflexão de f são x = ±1 e x = ±
√
5
5
.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Pontos de inflexão e Concavidade
f′′
(x) = 6(x2
− 1)(5x2
− 1) = 0 implica que x = ±1 e x = ±
√
5
5
.
f′′
(x) > 0, se x ∈ (−∞, −1) ∪
(
−
√
5
5
,
√
5
5
)
∪ (1, ∞) e f′′
(x) < 0 se
x ∈
(
−1, −
√
5
5
)
∪
(√
5
5
, 1
)
.
Conclusão:
f tem C.P. nos intervalos (−∞, −1),
(
−
√
5
5
,
√
5
5
)
e (1, ∞).
f tem C.N. nos intervalos
(
−1, −
√
5
5
)
e
(√
5
5
, 1
)
.
e as abscissas dos pontos de inflexão de f são x = ±1 e x = ±
√
5
5
.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Pontos de inflexão e Concavidade
f′′
(x) = 6(x2
− 1)(5x2
− 1) = 0 implica que x = ±1 e x = ±
√
5
5
.
f′′
(x) > 0, se x ∈ (−∞, −1) ∪
(
−
√
5
5
,
√
5
5
)
∪ (1, ∞) e f′′
(x) < 0 se
x ∈
(
−1, −
√
5
5
)
∪
(√
5
5
, 1
)
.
Conclusão:
f tem C.P. nos intervalos (−∞, −1),
(
−
√
5
5
,
√
5
5
)
e (1, ∞).
f tem C.N. nos intervalos
(
−1, −
√
5
5
)
e
(√
5
5
, 1
)
.
e as abscissas dos pontos de inflexão de f são x = ±1 e x = ±
√
5
5
.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Pontos de inflexão e Concavidade
f′′
(x) = 6(x2
− 1)(5x2
− 1) = 0 implica que x = ±1 e x = ±
√
5
5
.
f′′
(x) > 0, se x ∈ (−∞, −1) ∪
(
−
√
5
5
,
√
5
5
)
∪ (1, ∞) e f′′
(x) < 0 se
x ∈
(
−1, −
√
5
5
)
∪
(√
5
5
, 1
)
.
Conclusão:
f tem C.P. nos intervalos (−∞, −1),
(
−
√
5
5
,
√
5
5
)
e (1, ∞).
f tem C.N. nos intervalos
(
−1, −
√
5
5
)
e
(√
5
5
, 1
)
.
e as abscissas dos pontos de inflexão de f são x = ±1 e x = ±
√
5
5
.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Pontos de inflexão e Concavidade
f′′
(x) = 6(x2
− 1)(5x2
− 1) = 0 implica que x = ±1 e x = ±
√
5
5
.
f′′
(x) > 0, se x ∈ (−∞, −1) ∪
(
−
√
5
5
,
√
5
5
)
∪ (1, ∞) e f′′
(x) < 0 se
x ∈
(
−1, −
√
5
5
)
∪
(√
5
5
, 1
)
.
Conclusão:
f tem C.P. nos intervalos (−∞, −1),
(
−
√
5
5
,
√
5
5
)
e (1, ∞).
f tem C.N. nos intervalos
(
−1, −
√
5
5
)
e
(√
5
5
, 1
)
.
e as abscissas dos pontos de inflexão de f são x = ±1 e x = ±
√
5
5
.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Esboço do gráfico de f (figura ao lado):
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Esboço do gráfico de f (figura ao lado):
x
y
−1
−1 1
f(x) = (x2 − 1)3
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Example 1.
Esboçar o gráfico da função f(x) = −7 + 12x − 3x2 − 2x3.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Solução:
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Solução:
Domínio: Claramente, temos Dom(f) = R.
Paridade: f(−x) = −7 + 12(−x) − 3(−x)2 − 2(−x)3 = −7 − 12x − 3x2 + 2x3.
Portanto, a função não é par e nem ímpar.
Pontos de descontinuidade: Não existem pois a função é contínua.
Intersecções com os eixos coordenados: se x = 0, então y = −7 e se y = 0, então
x = 1 ou x = −7/2 (Verifique!);
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Solução:
Domínio: Claramente, temos Dom(f) = R.
Paridade: f(−x) = −7 + 12(−x) − 3(−x)2 − 2(−x)3 = −7 − 12x − 3x2 + 2x3.
Portanto, a função não é par e nem ímpar.
Pontos de descontinuidade: Não existem pois a função é contínua.
Intersecções com os eixos coordenados: se x = 0, então y = −7 e se y = 0, então
x = 1 ou x = −7/2 (Verifique!);
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Solução:
Domínio: Claramente, temos Dom(f) = R.
Paridade: f(−x) = −7 + 12(−x) − 3(−x)2 − 2(−x)3 = −7 − 12x − 3x2 + 2x3.
Portanto, a função não é par e nem ímpar.
Pontos de descontinuidade: Não existem pois a função é contínua.
Intersecções com os eixos coordenados: se x = 0, então y = −7 e se y = 0, então
x = 1 ou x = −7/2 (Verifique!);
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Solução:
Domínio: Claramente, temos Dom(f) = R.
Paridade: f(−x) = −7 + 12(−x) − 3(−x)2 − 2(−x)3 = −7 − 12x − 3x2 + 2x3.
Portanto, a função não é par e nem ímpar.
Pontos de descontinuidade: Não existem pois a função é contínua.
Intersecções com os eixos coordenados: se x = 0, então y = −7 e se y = 0, então
x = 1 ou x = −7/2 (Verifique!);
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Solução:
Domínio: Claramente, temos Dom(f) = R.
Paridade: f(−x) = −7 + 12(−x) − 3(−x)2 − 2(−x)3 = −7 − 12x − 3x2 + 2x3.
Portanto, a função não é par e nem ímpar.
Pontos de descontinuidade: Não existem pois a função é contínua.
Intersecções com os eixos coordenados: se x = 0, então y = −7 e se y = 0, então
x = 1 ou x = −7/2 (Verifique!);
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Comportamento no infinito: lim
x→±∞
(x2
− 1)3
= lim
x→±∞
−2x3
= ∓∞. Com isso, não
existem assíntotas horizontais.
Pontos críticos de f:
Temos que f′
(x) = 12 − 6x − 6x2
.
Logo, resolvendo a equação f′
(x) = 0, obtemos x = −2 e x = 1, que são os pontos
críticos de f.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Comportamento no infinito: lim
x→±∞
(x2
− 1)3
= lim
x→±∞
−2x3
= ∓∞. Com isso, não
existem assíntotas horizontais.
Pontos críticos de f:
Temos que f′
(x) = 12 − 6x − 6x2
.
Logo, resolvendo a equação f′
(x) = 0, obtemos x = −2 e x = 1, que são os pontos
críticos de f.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Comportamento no infinito: lim
x→±∞
(x2
− 1)3
= lim
x→±∞
−2x3
= ∓∞. Com isso, não
existem assíntotas horizontais.
Pontos críticos de f:
Temos que f′
(x) = 12 − 6x − 6x2
.
Logo, resolvendo a equação f′
(x) = 0, obtemos x = −2 e x = 1, que são os pontos
críticos de f.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Comportamento no infinito: lim
x→±∞
(x2
− 1)3
= lim
x→±∞
−2x3
= ∓∞. Com isso, não
existem assíntotas horizontais.
Pontos críticos de f:
Temos que f′
(x) = 12 − 6x − 6x2
.
Logo, resolvendo a equação f′
(x) = 0, obtemos x = −2 e x = 1, que são os pontos
críticos de f.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Máximos e mínimos relativos de f:
Temos que: f′′
(x) = −6 − 12x.
Logo, f′′
(1) < 0 e 1 é a abscissa do ponto de máximo relativo de f. f′′
(2) > 0 e 2 é
abscissa do ponto de mínimo.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Máximos e mínimos relativos de f:
Temos que: f′′
(x) = −6 − 12x.
Logo, f′′
(1) < 0 e 1 é a abscissa do ponto de máximo relativo de f. f′′
(2) > 0 e 2 é
abscissa do ponto de mínimo.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Máximos e mínimos relativos de f:
Temos que: f′′
(x) = −6 − 12x.
Logo, f′′
(1) < 0 e 1 é a abscissa do ponto de máximo relativo de f. f′′
(2) > 0 e 2 é
abscissa do ponto de mínimo.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Existência de assíntotas oblíquas:
m = lim
x→±∞
f(x)
x
= lim
x→±∞
=
−2x3
x
= −∞ e, portanto, não existem assíntotas
oblíquas.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Existência de assíntotas oblíquas:
m = lim
x→±∞
f(x)
x
= lim
x→±∞
=
−2x3
x
= −∞ e, portanto, não existem assíntotas
oblíquas.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Pontos de inflexão e Concavidade
f′′
(x) = −6 − 12x = 0 implica que x = −
1
2
.
f′′
(x) > 0 se x < −
1
2
e f′′
(x) < 0 se x > −
1
2
.
Conclusão: o gráfico de f tem
C.P. em
(
−∞, −
1
2
)
.
C.N. em
(
−
1
2
, ∞
)
.
A abscissa do ponto de inflexão de f é −
1
2
.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Pontos de inflexão e Concavidade
f′′
(x) = −6 − 12x = 0 implica que x = −
1
2
.
f′′
(x) > 0 se x < −
1
2
e f′′
(x) < 0 se x > −
1
2
.
Conclusão: o gráfico de f tem
C.P. em
(
−∞, −
1
2
)
.
C.N. em
(
−
1
2
, ∞
)
.
A abscissa do ponto de inflexão de f é −
1
2
.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Pontos de inflexão e Concavidade
f′′
(x) = −6 − 12x = 0 implica que x = −
1
2
.
f′′
(x) > 0 se x < −
1
2
e f′′
(x) < 0 se x > −
1
2
.
Conclusão: o gráfico de f tem
C.P. em
(
−∞, −
1
2
)
.
C.N. em
(
−
1
2
, ∞
)
.
A abscissa do ponto de inflexão de f é −
1
2
.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Pontos de inflexão e Concavidade
f′′
(x) = −6 − 12x = 0 implica que x = −
1
2
.
f′′
(x) > 0 se x < −
1
2
e f′′
(x) < 0 se x > −
1
2
.
Conclusão: o gráfico de f tem
C.P. em
(
−∞, −
1
2
)
.
C.N. em
(
−
1
2
, ∞
)
.
A abscissa do ponto de inflexão de f é −
1
2
.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Pontos de inflexão e Concavidade
f′′
(x) = −6 − 12x = 0 implica que x = −
1
2
.
f′′
(x) > 0 se x < −
1
2
e f′′
(x) < 0 se x > −
1
2
.
Conclusão: o gráfico de f tem
C.P. em
(
−∞, −
1
2
)
.
C.N. em
(
−
1
2
, ∞
)
.
A abscissa do ponto de inflexão de f é −
1
2
.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Pontos de inflexão e Concavidade
f′′
(x) = −6 − 12x = 0 implica que x = −
1
2
.
f′′
(x) > 0 se x < −
1
2
e f′′
(x) < 0 se x > −
1
2
.
Conclusão: o gráfico de f tem
C.P. em
(
−∞, −
1
2
)
.
C.N. em
(
−
1
2
, ∞
)
.
A abscissa do ponto de inflexão de f é −
1
2
.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Pontos de inflexão e Concavidade
f′′
(x) = −6 − 12x = 0 implica que x = −
1
2
.
f′′
(x) > 0 se x < −
1
2
e f′′
(x) < 0 se x > −
1
2
.
Conclusão: o gráfico de f tem
C.P. em
(
−∞, −
1
2
)
.
C.N. em
(
−
1
2
, ∞
)
.
A abscissa do ponto de inflexão de f é −
1
2
.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Esboço do gráfico de f (figura ao lado):
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Exemplo
Esboço do gráfico de f (figura ao lado):
x
y
7
2
1
−7
2
f(x) = −7 + 12x − 3x2 − 2x3
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
Esboço do Gráfico de uma Função
Referências
M. B. Gonçalves and D. M. Flemming.
Cálculo A.
Pearson Education, 5 edition, 2007.
H. L. Guidorizzi.
Um curso de cálculo, volume 1.
Grupo Gen-LTC, 5 edition, 2000.
A. Howard.
Cálculo, um novo horizonte, volume 1.
Bookman, Porto Alegre, 2000.
E. L. Lima.
Curso de Análise, volume 1.
IMPA, Rio de Janeiro, 2000.
5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

Mais conteúdo relacionado

Semelhante a S10 construção de grafico.pdf

FunçãO QuadráTica Os Talentosos
FunçãO QuadráTica   Os TalentososFunçãO QuadráTica   Os Talentosos
FunçãO QuadráTica Os TalentososEduardo Bel
 
FunçãO QuadráTica Os Talentosos
FunçãO QuadráTica   Os TalentososFunçãO QuadráTica   Os Talentosos
FunçãO QuadráTica Os TalentososEduardo Bel
 
Teste 4 - álgebra + funções (5.1-5.3) + critérios de correção
Teste 4 - álgebra + funções (5.1-5.3) + critérios de correçãoTeste 4 - álgebra + funções (5.1-5.3) + critérios de correção
Teste 4 - álgebra + funções (5.1-5.3) + critérios de correçãoPedro Teixeira
 
Objeto de aprendizagem funcao afim
Objeto de aprendizagem  funcao afimObjeto de aprendizagem  funcao afim
Objeto de aprendizagem funcao afimWashington Damasceno
 
Texto complementar nº 1 - Gráficos
Texto complementar nº 1 - GráficosTexto complementar nº 1 - Gráficos
Texto complementar nº 1 - GráficosBrenno Machado
 
Mat ppt8
Mat ppt8Mat ppt8
Mat ppt8zozima
 
Função afim-linear-constante-gráficos
Função  afim-linear-constante-gráficosFunção  afim-linear-constante-gráficos
Função afim-linear-constante-gráficosmarmorei
 
Matemática no winplot - sandra de souza
Matemática no winplot  - sandra de souzaMatemática no winplot  - sandra de souza
Matemática no winplot - sandra de souzaSandraGorito
 
Funções - Teoria II
Funções - Teoria II Funções - Teoria II
Funções - Teoria II numerosnamente
 
Apresentaogeometriaanaltica 1
Apresentaogeometriaanaltica 1Apresentaogeometriaanaltica 1
Apresentaogeometriaanaltica 1carlos132132
 
Apresentação geometria analítica
Apresentação geometria analíticaApresentação geometria analítica
Apresentação geometria analíticaprofluizgustavo
 
Gráficos de funções de 1° e 2° graus
Gráficos de funções de 1° e 2° grausGráficos de funções de 1° e 2° graus
Gráficos de funções de 1° e 2° grausAgapito Ribeiro Junior
 
Função Quadrática - 2
Função Quadrática - 2Função Quadrática - 2
Função Quadrática - 2numerosnamente
 

Semelhante a S10 construção de grafico.pdf (20)

FunçãO QuadráTica Os Talentosos
FunçãO QuadráTica   Os TalentososFunçãO QuadráTica   Os Talentosos
FunçãO QuadráTica Os Talentosos
 
FunçãO QuadráTica Os Talentosos
FunçãO QuadráTica   Os TalentososFunçãO QuadráTica   Os Talentosos
FunçãO QuadráTica Os Talentosos
 
Cursocalc1ead
Cursocalc1eadCursocalc1ead
Cursocalc1ead
 
Teste 4 - álgebra + funções (5.1-5.3) + critérios de correção
Teste 4 - álgebra + funções (5.1-5.3) + critérios de correçãoTeste 4 - álgebra + funções (5.1-5.3) + critérios de correção
Teste 4 - álgebra + funções (5.1-5.3) + critérios de correção
 
Funções trigonométricas
Funções trigonométricasFunções trigonométricas
Funções trigonométricas
 
Objeto de aprendizagem funcao afim
Objeto de aprendizagem  funcao afimObjeto de aprendizagem  funcao afim
Objeto de aprendizagem funcao afim
 
Texto complementar nº 1 - Gráficos
Texto complementar nº 1 - GráficosTexto complementar nº 1 - Gráficos
Texto complementar nº 1 - Gráficos
 
Mat ppt8
Mat ppt8Mat ppt8
Mat ppt8
 
(Apostila função)
(Apostila função)(Apostila função)
(Apostila função)
 
(Apostila função)
(Apostila função)(Apostila função)
(Apostila função)
 
Função afim-linear-constante-gráficos
Função  afim-linear-constante-gráficosFunção  afim-linear-constante-gráficos
Função afim-linear-constante-gráficos
 
Matemática no winplot - sandra de souza
Matemática no winplot  - sandra de souzaMatemática no winplot  - sandra de souza
Matemática no winplot - sandra de souza
 
Aula 6 - Derivadas.pptx
Aula 6 - Derivadas.pptxAula 6 - Derivadas.pptx
Aula 6 - Derivadas.pptx
 
Funções - Teoria II
Funções - Teoria II Funções - Teoria II
Funções - Teoria II
 
4 max-min
4 max-min4 max-min
4 max-min
 
4 max-min
4 max-min4 max-min
4 max-min
 
Apresentaogeometriaanaltica 1
Apresentaogeometriaanaltica 1Apresentaogeometriaanaltica 1
Apresentaogeometriaanaltica 1
 
Apresentação geometria analítica
Apresentação geometria analíticaApresentação geometria analítica
Apresentação geometria analítica
 
Gráficos de funções de 1° e 2° graus
Gráficos de funções de 1° e 2° grausGráficos de funções de 1° e 2° graus
Gráficos de funções de 1° e 2° graus
 
Função Quadrática - 2
Função Quadrática - 2Função Quadrática - 2
Função Quadrática - 2
 

Mais de IntegrePrograma

Mais de IntegrePrograma (7)

GCET146 S14b.pdf
GCET146 S14b.pdfGCET146 S14b.pdf
GCET146 S14b.pdf
 
GCET146 S14a.pdf
GCET146 S14a.pdfGCET146 S14a.pdf
GCET146 S14a.pdf
 
GCET146 S13.pdf
GCET146 S13.pdfGCET146 S13.pdf
GCET146 S13.pdf
 
S11 teorema de lhospital.pdf
S11 teorema de lhospital.pdfS11 teorema de lhospital.pdf
S11 teorema de lhospital.pdf
 
GCET146 Slides S09b.pdf
GCET146 Slides S09b.pdfGCET146 Slides S09b.pdf
GCET146 Slides S09b.pdf
 
GCET146 Cálculo I Semana08.pdf
GCET146 Cálculo I Semana08.pdfGCET146 Cálculo I Semana08.pdf
GCET146 Cálculo I Semana08.pdf
 
GCET149_Slides aula 14.pdf
GCET149_Slides aula 14.pdfGCET149_Slides aula 14.pdf
GCET149_Slides aula 14.pdf
 

Último

472037515-Coelho-Nelly-Novaes-Literatura-Infantil-teoria-analise-e-didatica-p...
472037515-Coelho-Nelly-Novaes-Literatura-Infantil-teoria-analise-e-didatica-p...472037515-Coelho-Nelly-Novaes-Literatura-Infantil-teoria-analise-e-didatica-p...
472037515-Coelho-Nelly-Novaes-Literatura-Infantil-teoria-analise-e-didatica-p...GisellySobral
 
Periodo da escravidAo O Brasil tem seu corpo na América e sua alma na África
Periodo da escravidAo O Brasil tem seu corpo na América e sua alma na ÁfricaPeriodo da escravidAo O Brasil tem seu corpo na América e sua alma na África
Periodo da escravidAo O Brasil tem seu corpo na América e sua alma na Áfricajuekfuek
 
QUESTÃO 4 Os estudos das competências pessoais é de extrema importância, pr...
QUESTÃO 4   Os estudos das competências pessoais é de extrema importância, pr...QUESTÃO 4   Os estudos das competências pessoais é de extrema importância, pr...
QUESTÃO 4 Os estudos das competências pessoais é de extrema importância, pr...azulassessoria9
 
Aspectos históricos da educação dos surdos.pptx
Aspectos históricos da educação dos surdos.pptxAspectos históricos da educação dos surdos.pptx
Aspectos históricos da educação dos surdos.pptxprofbrunogeo95
 
FUNDAMENTOS DA PSICOPEDAGOGIA - material
FUNDAMENTOS DA PSICOPEDAGOGIA - materialFUNDAMENTOS DA PSICOPEDAGOGIA - material
FUNDAMENTOS DA PSICOPEDAGOGIA - materialDouglasVasconcelosMa
 
O que é, de facto, a Educação de Infância
O que é, de facto, a Educação de InfânciaO que é, de facto, a Educação de Infância
O que é, de facto, a Educação de InfânciaHenrique Santos
 
EB1 Cumeada Co(n)Vida à Leitura - Livros à Solta_Serta.pptx
EB1 Cumeada Co(n)Vida à Leitura - Livros à Solta_Serta.pptxEB1 Cumeada Co(n)Vida à Leitura - Livros à Solta_Serta.pptx
EB1 Cumeada Co(n)Vida à Leitura - Livros à Solta_Serta.pptxIlda Bicacro
 
Modelos de Inteligencia Emocional segundo diversos autores
Modelos de Inteligencia Emocional segundo diversos autoresModelos de Inteligencia Emocional segundo diversos autores
Modelos de Inteligencia Emocional segundo diversos autoresAna Isabel Correia
 
Slides Lição 7, Betel, Ordenança para uma vida de fidelidade e lealdade, 2Tr2...
Slides Lição 7, Betel, Ordenança para uma vida de fidelidade e lealdade, 2Tr2...Slides Lição 7, Betel, Ordenança para uma vida de fidelidade e lealdade, 2Tr2...
Slides Lição 7, Betel, Ordenança para uma vida de fidelidade e lealdade, 2Tr2...LuizHenriquedeAlmeid6
 
Química-ensino médio ESTEQUIOMETRIA.pptx
Química-ensino médio ESTEQUIOMETRIA.pptxQuímica-ensino médio ESTEQUIOMETRIA.pptx
Química-ensino médio ESTEQUIOMETRIA.pptxKeslleyAFerreira
 
O Reizinho Autista.pdf - livro maravilhoso
O Reizinho Autista.pdf - livro maravilhosoO Reizinho Autista.pdf - livro maravilhoso
O Reizinho Autista.pdf - livro maravilhosoVALMIRARIBEIRO1
 
Gramática - Texto - análise e construção de sentido - Moderna.pdf
Gramática - Texto - análise e construção de sentido - Moderna.pdfGramática - Texto - análise e construção de sentido - Moderna.pdf
Gramática - Texto - análise e construção de sentido - Moderna.pdfKelly Mendes
 
ATIVIDADE 1 - ENF - ENFERMAGEM BASEADA EM EVIDÊNCIAS - 52_2024
ATIVIDADE 1 - ENF - ENFERMAGEM BASEADA EM EVIDÊNCIAS - 52_2024ATIVIDADE 1 - ENF - ENFERMAGEM BASEADA EM EVIDÊNCIAS - 52_2024
ATIVIDADE 1 - ENF - ENFERMAGEM BASEADA EM EVIDÊNCIAS - 52_2024azulassessoria9
 
EBPAL_Serta_Caminhos do Lixo final 9ºD (1).pptx
EBPAL_Serta_Caminhos do Lixo final 9ºD (1).pptxEBPAL_Serta_Caminhos do Lixo final 9ºD (1).pptx
EBPAL_Serta_Caminhos do Lixo final 9ºD (1).pptxIlda Bicacro
 
Livro infantil: A onda da raiva. pdf-crianças
Livro infantil: A onda da raiva. pdf-criançasLivro infantil: A onda da raiva. pdf-crianças
Livro infantil: A onda da raiva. pdf-criançasMonizeEvellin2
 
Apresentação sobre Robots e processos educativos
Apresentação sobre Robots e processos educativosApresentação sobre Robots e processos educativos
Apresentação sobre Robots e processos educativosFernanda Ledesma
 
425416820-Testes-7º-Ano-Leandro-Rei-Da-Heliria-Com-Solucoes.pdf
425416820-Testes-7º-Ano-Leandro-Rei-Da-Heliria-Com-Solucoes.pdf425416820-Testes-7º-Ano-Leandro-Rei-Da-Heliria-Com-Solucoes.pdf
425416820-Testes-7º-Ano-Leandro-Rei-Da-Heliria-Com-Solucoes.pdfCarinaSofiaDiasBoteq
 
Descrever e planear atividades imersivas estruturadamente
Descrever e planear atividades imersivas estruturadamenteDescrever e planear atividades imersivas estruturadamente
Descrever e planear atividades imersivas estruturadamenteLeonel Morgado
 
Aparatologia na estética - Cavitação, radiofrequência e lipolaser.pdf
Aparatologia na estética - Cavitação, radiofrequência e lipolaser.pdfAparatologia na estética - Cavitação, radiofrequência e lipolaser.pdf
Aparatologia na estética - Cavitação, radiofrequência e lipolaser.pdfAbdLuxemBourg
 
História concisa da literatura brasileira- Alfredo Bosi..pdf
História concisa da literatura brasileira- Alfredo Bosi..pdfHistória concisa da literatura brasileira- Alfredo Bosi..pdf
História concisa da literatura brasileira- Alfredo Bosi..pdfGisellySobral
 

Último (20)

472037515-Coelho-Nelly-Novaes-Literatura-Infantil-teoria-analise-e-didatica-p...
472037515-Coelho-Nelly-Novaes-Literatura-Infantil-teoria-analise-e-didatica-p...472037515-Coelho-Nelly-Novaes-Literatura-Infantil-teoria-analise-e-didatica-p...
472037515-Coelho-Nelly-Novaes-Literatura-Infantil-teoria-analise-e-didatica-p...
 
Periodo da escravidAo O Brasil tem seu corpo na América e sua alma na África
Periodo da escravidAo O Brasil tem seu corpo na América e sua alma na ÁfricaPeriodo da escravidAo O Brasil tem seu corpo na América e sua alma na África
Periodo da escravidAo O Brasil tem seu corpo na América e sua alma na África
 
QUESTÃO 4 Os estudos das competências pessoais é de extrema importância, pr...
QUESTÃO 4   Os estudos das competências pessoais é de extrema importância, pr...QUESTÃO 4   Os estudos das competências pessoais é de extrema importância, pr...
QUESTÃO 4 Os estudos das competências pessoais é de extrema importância, pr...
 
Aspectos históricos da educação dos surdos.pptx
Aspectos históricos da educação dos surdos.pptxAspectos históricos da educação dos surdos.pptx
Aspectos históricos da educação dos surdos.pptx
 
FUNDAMENTOS DA PSICOPEDAGOGIA - material
FUNDAMENTOS DA PSICOPEDAGOGIA - materialFUNDAMENTOS DA PSICOPEDAGOGIA - material
FUNDAMENTOS DA PSICOPEDAGOGIA - material
 
O que é, de facto, a Educação de Infância
O que é, de facto, a Educação de InfânciaO que é, de facto, a Educação de Infância
O que é, de facto, a Educação de Infância
 
EB1 Cumeada Co(n)Vida à Leitura - Livros à Solta_Serta.pptx
EB1 Cumeada Co(n)Vida à Leitura - Livros à Solta_Serta.pptxEB1 Cumeada Co(n)Vida à Leitura - Livros à Solta_Serta.pptx
EB1 Cumeada Co(n)Vida à Leitura - Livros à Solta_Serta.pptx
 
Modelos de Inteligencia Emocional segundo diversos autores
Modelos de Inteligencia Emocional segundo diversos autoresModelos de Inteligencia Emocional segundo diversos autores
Modelos de Inteligencia Emocional segundo diversos autores
 
Slides Lição 7, Betel, Ordenança para uma vida de fidelidade e lealdade, 2Tr2...
Slides Lição 7, Betel, Ordenança para uma vida de fidelidade e lealdade, 2Tr2...Slides Lição 7, Betel, Ordenança para uma vida de fidelidade e lealdade, 2Tr2...
Slides Lição 7, Betel, Ordenança para uma vida de fidelidade e lealdade, 2Tr2...
 
Química-ensino médio ESTEQUIOMETRIA.pptx
Química-ensino médio ESTEQUIOMETRIA.pptxQuímica-ensino médio ESTEQUIOMETRIA.pptx
Química-ensino médio ESTEQUIOMETRIA.pptx
 
O Reizinho Autista.pdf - livro maravilhoso
O Reizinho Autista.pdf - livro maravilhosoO Reizinho Autista.pdf - livro maravilhoso
O Reizinho Autista.pdf - livro maravilhoso
 
Gramática - Texto - análise e construção de sentido - Moderna.pdf
Gramática - Texto - análise e construção de sentido - Moderna.pdfGramática - Texto - análise e construção de sentido - Moderna.pdf
Gramática - Texto - análise e construção de sentido - Moderna.pdf
 
ATIVIDADE 1 - ENF - ENFERMAGEM BASEADA EM EVIDÊNCIAS - 52_2024
ATIVIDADE 1 - ENF - ENFERMAGEM BASEADA EM EVIDÊNCIAS - 52_2024ATIVIDADE 1 - ENF - ENFERMAGEM BASEADA EM EVIDÊNCIAS - 52_2024
ATIVIDADE 1 - ENF - ENFERMAGEM BASEADA EM EVIDÊNCIAS - 52_2024
 
EBPAL_Serta_Caminhos do Lixo final 9ºD (1).pptx
EBPAL_Serta_Caminhos do Lixo final 9ºD (1).pptxEBPAL_Serta_Caminhos do Lixo final 9ºD (1).pptx
EBPAL_Serta_Caminhos do Lixo final 9ºD (1).pptx
 
Livro infantil: A onda da raiva. pdf-crianças
Livro infantil: A onda da raiva. pdf-criançasLivro infantil: A onda da raiva. pdf-crianças
Livro infantil: A onda da raiva. pdf-crianças
 
Apresentação sobre Robots e processos educativos
Apresentação sobre Robots e processos educativosApresentação sobre Robots e processos educativos
Apresentação sobre Robots e processos educativos
 
425416820-Testes-7º-Ano-Leandro-Rei-Da-Heliria-Com-Solucoes.pdf
425416820-Testes-7º-Ano-Leandro-Rei-Da-Heliria-Com-Solucoes.pdf425416820-Testes-7º-Ano-Leandro-Rei-Da-Heliria-Com-Solucoes.pdf
425416820-Testes-7º-Ano-Leandro-Rei-Da-Heliria-Com-Solucoes.pdf
 
Descrever e planear atividades imersivas estruturadamente
Descrever e planear atividades imersivas estruturadamenteDescrever e planear atividades imersivas estruturadamente
Descrever e planear atividades imersivas estruturadamente
 
Aparatologia na estética - Cavitação, radiofrequência e lipolaser.pdf
Aparatologia na estética - Cavitação, radiofrequência e lipolaser.pdfAparatologia na estética - Cavitação, radiofrequência e lipolaser.pdf
Aparatologia na estética - Cavitação, radiofrequência e lipolaser.pdf
 
História concisa da literatura brasileira- Alfredo Bosi..pdf
História concisa da literatura brasileira- Alfredo Bosi..pdfHistória concisa da literatura brasileira- Alfredo Bosi..pdf
História concisa da literatura brasileira- Alfredo Bosi..pdf
 

S10 construção de grafico.pdf

  • 1. Cálculo Diferencial e Integral I Universidade Federal do Recôncavo da Bahia 01/06/2022 Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento
  • 2. Esboço do Gráfico de uma Função Os passos 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 3. Esboço do Gráfico de uma Função Os passos Para esboçar o gráfico de uma função, determinaremos/verificaremos: seu domínio; sua paridade; seus pontos de descontinuidade e a existência de assíntotas verticais; suas interseções com os eixos coordenados; seu comportamento no infinito (existência de assíntota horizontal); existência de assíntotas oblíquas; seus intervalos de monotonicidade (crescimento e decrescimento); seus extremantes; seus pontos de inflexão suas concavidades; seu esboço gráfico. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 4. Esboço do Gráfico de uma Função Os passos Para esboçar o gráfico de uma função, determinaremos/verificaremos: seu domínio; sua paridade; seus pontos de descontinuidade e a existência de assíntotas verticais; suas interseções com os eixos coordenados; seu comportamento no infinito (existência de assíntota horizontal); existência de assíntotas oblíquas; seus intervalos de monotonicidade (crescimento e decrescimento); seus extremantes; seus pontos de inflexão suas concavidades; seu esboço gráfico. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 5. Esboço do Gráfico de uma Função Os passos Para esboçar o gráfico de uma função, determinaremos/verificaremos: seu domínio; sua paridade; seus pontos de descontinuidade e a existência de assíntotas verticais; suas interseções com os eixos coordenados; seu comportamento no infinito (existência de assíntota horizontal); existência de assíntotas oblíquas; seus intervalos de monotonicidade (crescimento e decrescimento); seus extremantes; seus pontos de inflexão suas concavidades; seu esboço gráfico. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 6. Esboço do Gráfico de uma Função Os passos Para esboçar o gráfico de uma função, determinaremos/verificaremos: seu domínio; sua paridade; seus pontos de descontinuidade e a existência de assíntotas verticais; suas interseções com os eixos coordenados; seu comportamento no infinito (existência de assíntota horizontal); existência de assíntotas oblíquas; seus intervalos de monotonicidade (crescimento e decrescimento); seus extremantes; seus pontos de inflexão suas concavidades; seu esboço gráfico. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 7. Esboço do Gráfico de uma Função Os passos Para esboçar o gráfico de uma função, determinaremos/verificaremos: seu domínio; sua paridade; seus pontos de descontinuidade e a existência de assíntotas verticais; suas interseções com os eixos coordenados; seu comportamento no infinito (existência de assíntota horizontal); existência de assíntotas oblíquas; seus intervalos de monotonicidade (crescimento e decrescimento); seus extremantes; seus pontos de inflexão suas concavidades; seu esboço gráfico. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 8. Esboço do Gráfico de uma Função Os passos Para esboçar o gráfico de uma função, determinaremos/verificaremos: seu domínio; sua paridade; seus pontos de descontinuidade e a existência de assíntotas verticais; suas interseções com os eixos coordenados; seu comportamento no infinito (existência de assíntota horizontal); existência de assíntotas oblíquas; seus intervalos de monotonicidade (crescimento e decrescimento); seus extremantes; seus pontos de inflexão suas concavidades; seu esboço gráfico. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 9. Esboço do Gráfico de uma Função Os passos Para esboçar o gráfico de uma função, determinaremos/verificaremos: seu domínio; sua paridade; seus pontos de descontinuidade e a existência de assíntotas verticais; suas interseções com os eixos coordenados; seu comportamento no infinito (existência de assíntota horizontal); existência de assíntotas oblíquas; seus intervalos de monotonicidade (crescimento e decrescimento); seus extremantes; seus pontos de inflexão suas concavidades; seu esboço gráfico. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 10. Esboço do Gráfico de uma Função Os passos Para esboçar o gráfico de uma função, determinaremos/verificaremos: seu domínio; sua paridade; seus pontos de descontinuidade e a existência de assíntotas verticais; suas interseções com os eixos coordenados; seu comportamento no infinito (existência de assíntota horizontal); existência de assíntotas oblíquas; seus intervalos de monotonicidade (crescimento e decrescimento); seus extremantes; seus pontos de inflexão suas concavidades; seu esboço gráfico. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 11. Esboço do Gráfico de uma Função Os passos Para esboçar o gráfico de uma função, determinaremos/verificaremos: seu domínio; sua paridade; seus pontos de descontinuidade e a existência de assíntotas verticais; suas interseções com os eixos coordenados; seu comportamento no infinito (existência de assíntota horizontal); existência de assíntotas oblíquas; seus intervalos de monotonicidade (crescimento e decrescimento); seus extremantes; seus pontos de inflexão suas concavidades; seu esboço gráfico. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 12. Esboço do Gráfico de uma Função Os passos Para esboçar o gráfico de uma função, determinaremos/verificaremos: seu domínio; sua paridade; seus pontos de descontinuidade e a existência de assíntotas verticais; suas interseções com os eixos coordenados; seu comportamento no infinito (existência de assíntota horizontal); existência de assíntotas oblíquas; seus intervalos de monotonicidade (crescimento e decrescimento); seus extremantes; seus pontos de inflexão suas concavidades; seu esboço gráfico. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 13. Esboço do Gráfico de uma Função Os passos Para esboçar o gráfico de uma função, determinaremos/verificaremos: seu domínio; sua paridade; seus pontos de descontinuidade e a existência de assíntotas verticais; suas interseções com os eixos coordenados; seu comportamento no infinito (existência de assíntota horizontal); existência de assíntotas oblíquas; seus intervalos de monotonicidade (crescimento e decrescimento); seus extremantes; seus pontos de inflexão suas concavidades; seu esboço gráfico. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 14. Esboço do Gráfico de uma Função Os passos Para esboçar o gráfico de uma função, determinaremos/verificaremos: seu domínio; sua paridade; seus pontos de descontinuidade e a existência de assíntotas verticais; suas interseções com os eixos coordenados; seu comportamento no infinito (existência de assíntota horizontal); existência de assíntotas oblíquas; seus intervalos de monotonicidade (crescimento e decrescimento); seus extremantes; seus pontos de inflexão suas concavidades; seu esboço gráfico. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 15. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Example 1. Esboçar o gráfico da função f(x) = (x2 − 1)3. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 16. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Solução: 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 17. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Solução: Domínio: Claramente, temos Dom(f) = R. Paridade: f(−x) = ((−x)2 − 1)3 = (x2 − 1)3 = f(x). Portanto, a função é par e seu gráfico possui simetria com respeito ao eixo das ordenadas (eixo-y). Pontos de descontinuidade: Não existem pois a função é contínua. Intersecções com os eixos coordenados: se x = 0, então y = −1 e, se y = 0, então x = ±1; a curva passa pelos pontos (1, 0), (−1, 0) e (0, −1). 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 18. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Solução: Domínio: Claramente, temos Dom(f) = R. Paridade: f(−x) = ((−x)2 − 1)3 = (x2 − 1)3 = f(x). Portanto, a função é par e seu gráfico possui simetria com respeito ao eixo das ordenadas (eixo-y). Pontos de descontinuidade: Não existem pois a função é contínua. Intersecções com os eixos coordenados: se x = 0, então y = −1 e, se y = 0, então x = ±1; a curva passa pelos pontos (1, 0), (−1, 0) e (0, −1). 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 19. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Solução: Domínio: Claramente, temos Dom(f) = R. Paridade: f(−x) = ((−x)2 − 1)3 = (x2 − 1)3 = f(x). Portanto, a função é par e seu gráfico possui simetria com respeito ao eixo das ordenadas (eixo-y). Pontos de descontinuidade: Não existem pois a função é contínua. Intersecções com os eixos coordenados: se x = 0, então y = −1 e, se y = 0, então x = ±1; a curva passa pelos pontos (1, 0), (−1, 0) e (0, −1). 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 20. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Solução: Domínio: Claramente, temos Dom(f) = R. Paridade: f(−x) = ((−x)2 − 1)3 = (x2 − 1)3 = f(x). Portanto, a função é par e seu gráfico possui simetria com respeito ao eixo das ordenadas (eixo-y). Pontos de descontinuidade: Não existem pois a função é contínua. Intersecções com os eixos coordenados: se x = 0, então y = −1 e, se y = 0, então x = ±1; a curva passa pelos pontos (1, 0), (−1, 0) e (0, −1). 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 21. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Solução: Domínio: Claramente, temos Dom(f) = R. Paridade: f(−x) = ((−x)2 − 1)3 = (x2 − 1)3 = f(x). Portanto, a função é par e seu gráfico possui simetria com respeito ao eixo das ordenadas (eixo-y). Pontos de descontinuidade: Não existem pois a função é contínua. Intersecções com os eixos coordenados: se x = 0, então y = −1 e, se y = 0, então x = ±1; a curva passa pelos pontos (1, 0), (−1, 0) e (0, −1). 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 22. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Comportamento no infinito: lim x→±∞ (x2 − 1)3 = lim x→±∞ x6 = +∞. Com isso, não existem assíntotas horizontais. Pontos críticos de f: Temos que f′ (x) = 6x(x2 − 1)2 . Logo, resolvendo a equação f′ (x) = 0, obtemos x = 0, x = 1 e x = −1, que são os pontos críticos de f. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 23. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Comportamento no infinito: lim x→±∞ (x2 − 1)3 = lim x→±∞ x6 = +∞. Com isso, não existem assíntotas horizontais. Pontos críticos de f: Temos que f′ (x) = 6x(x2 − 1)2 . Logo, resolvendo a equação f′ (x) = 0, obtemos x = 0, x = 1 e x = −1, que são os pontos críticos de f. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 24. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Comportamento no infinito: lim x→±∞ (x2 − 1)3 = lim x→±∞ x6 = +∞. Com isso, não existem assíntotas horizontais. Pontos críticos de f: Temos que f′ (x) = 6x(x2 − 1)2 . Logo, resolvendo a equação f′ (x) = 0, obtemos x = 0, x = 1 e x = −1, que são os pontos críticos de f. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 25. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Comportamento no infinito: lim x→±∞ (x2 − 1)3 = lim x→±∞ x6 = +∞. Com isso, não existem assíntotas horizontais. Pontos críticos de f: Temos que f′ (x) = 6x(x2 − 1)2 . Logo, resolvendo a equação f′ (x) = 0, obtemos x = 0, x = 1 e x = −1, que são os pontos críticos de f. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 26. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Máximos e mínimos relativos de f: Temos que: f′′ (x) = 6(x2 − 1)(5x2 − 1). Logo, f′′ (0) > 0 e 0 é ponto de mínimo relativo de f; f′′ (±1) = 0 e, neste caso, o teste da segunda derivada nada nos diz. Usando, então, o teste da primeira derivada para analisar a mudança de sinal, temos: f′ (x) < 0, para todo x < 0; então x = −1 não é ponto extremo de f. f′ (x) > 0, para todo x > 0; então x = 1 não é ponto extremo de f. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 27. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Máximos e mínimos relativos de f: Temos que: f′′ (x) = 6(x2 − 1)(5x2 − 1). Logo, f′′ (0) > 0 e 0 é ponto de mínimo relativo de f; f′′ (±1) = 0 e, neste caso, o teste da segunda derivada nada nos diz. Usando, então, o teste da primeira derivada para analisar a mudança de sinal, temos: f′ (x) < 0, para todo x < 0; então x = −1 não é ponto extremo de f. f′ (x) > 0, para todo x > 0; então x = 1 não é ponto extremo de f. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 28. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Máximos e mínimos relativos de f: Temos que: f′′ (x) = 6(x2 − 1)(5x2 − 1). Logo, f′′ (0) > 0 e 0 é ponto de mínimo relativo de f; f′′ (±1) = 0 e, neste caso, o teste da segunda derivada nada nos diz. Usando, então, o teste da primeira derivada para analisar a mudança de sinal, temos: f′ (x) < 0, para todo x < 0; então x = −1 não é ponto extremo de f. f′ (x) > 0, para todo x > 0; então x = 1 não é ponto extremo de f. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 29. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Máximos e mínimos relativos de f: Temos que: f′′ (x) = 6(x2 − 1)(5x2 − 1). Logo, f′′ (0) > 0 e 0 é ponto de mínimo relativo de f; f′′ (±1) = 0 e, neste caso, o teste da segunda derivada nada nos diz. Usando, então, o teste da primeira derivada para analisar a mudança de sinal, temos: f′ (x) < 0, para todo x < 0; então x = −1 não é ponto extremo de f. f′ (x) > 0, para todo x > 0; então x = 1 não é ponto extremo de f. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 30. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Máximos e mínimos relativos de f: Temos que: f′′ (x) = 6(x2 − 1)(5x2 − 1). Logo, f′′ (0) > 0 e 0 é ponto de mínimo relativo de f; f′′ (±1) = 0 e, neste caso, o teste da segunda derivada nada nos diz. Usando, então, o teste da primeira derivada para analisar a mudança de sinal, temos: f′ (x) < 0, para todo x < 0; então x = −1 não é ponto extremo de f. f′ (x) > 0, para todo x > 0; então x = 1 não é ponto extremo de f. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 31. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Máximos e mínimos relativos de f: Temos que: f′′ (x) = 6(x2 − 1)(5x2 − 1). Logo, f′′ (0) > 0 e 0 é ponto de mínimo relativo de f; f′′ (±1) = 0 e, neste caso, o teste da segunda derivada nada nos diz. Usando, então, o teste da primeira derivada para analisar a mudança de sinal, temos: f′ (x) < 0, para todo x < 0; então x = −1 não é ponto extremo de f. f′ (x) > 0, para todo x > 0; então x = 1 não é ponto extremo de f. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 32. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Existência de assíntotas oblíquas: m = lim x→±∞ f(x) x = lim x→±∞ x6 x = ±∞ e, portanto, não existe assíntota oblíqua. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 33. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Existência de assíntotas oblíquas: m = lim x→±∞ f(x) x = lim x→±∞ x6 x = ±∞ e, portanto, não existe assíntota oblíqua. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 34. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Pontos de inflexão e Concavidade f′′ (x) = 6(x2 − 1)(5x2 − 1) = 0 implica que x = ±1 e x = ± √ 5 5 . f′′ (x) > 0, se x ∈ (−∞, −1) ∪ ( − √ 5 5 , √ 5 5 ) ∪ (1, ∞) e f′′ (x) < 0 se x ∈ ( −1, − √ 5 5 ) ∪ (√ 5 5 , 1 ) . Conclusão: f tem C.P. nos intervalos (−∞, −1), ( − √ 5 5 , √ 5 5 ) e (1, ∞). f tem C.N. nos intervalos ( −1, − √ 5 5 ) e (√ 5 5 , 1 ) . e as abscissas dos pontos de inflexão de f são x = ±1 e x = ± √ 5 5 . 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 35. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Pontos de inflexão e Concavidade f′′ (x) = 6(x2 − 1)(5x2 − 1) = 0 implica que x = ±1 e x = ± √ 5 5 . f′′ (x) > 0, se x ∈ (−∞, −1) ∪ ( − √ 5 5 , √ 5 5 ) ∪ (1, ∞) e f′′ (x) < 0 se x ∈ ( −1, − √ 5 5 ) ∪ (√ 5 5 , 1 ) . Conclusão: f tem C.P. nos intervalos (−∞, −1), ( − √ 5 5 , √ 5 5 ) e (1, ∞). f tem C.N. nos intervalos ( −1, − √ 5 5 ) e (√ 5 5 , 1 ) . e as abscissas dos pontos de inflexão de f são x = ±1 e x = ± √ 5 5 . 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 36. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Pontos de inflexão e Concavidade f′′ (x) = 6(x2 − 1)(5x2 − 1) = 0 implica que x = ±1 e x = ± √ 5 5 . f′′ (x) > 0, se x ∈ (−∞, −1) ∪ ( − √ 5 5 , √ 5 5 ) ∪ (1, ∞) e f′′ (x) < 0 se x ∈ ( −1, − √ 5 5 ) ∪ (√ 5 5 , 1 ) . Conclusão: f tem C.P. nos intervalos (−∞, −1), ( − √ 5 5 , √ 5 5 ) e (1, ∞). f tem C.N. nos intervalos ( −1, − √ 5 5 ) e (√ 5 5 , 1 ) . e as abscissas dos pontos de inflexão de f são x = ±1 e x = ± √ 5 5 . 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 37. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Pontos de inflexão e Concavidade f′′ (x) = 6(x2 − 1)(5x2 − 1) = 0 implica que x = ±1 e x = ± √ 5 5 . f′′ (x) > 0, se x ∈ (−∞, −1) ∪ ( − √ 5 5 , √ 5 5 ) ∪ (1, ∞) e f′′ (x) < 0 se x ∈ ( −1, − √ 5 5 ) ∪ (√ 5 5 , 1 ) . Conclusão: f tem C.P. nos intervalos (−∞, −1), ( − √ 5 5 , √ 5 5 ) e (1, ∞). f tem C.N. nos intervalos ( −1, − √ 5 5 ) e (√ 5 5 , 1 ) . e as abscissas dos pontos de inflexão de f são x = ±1 e x = ± √ 5 5 . 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 38. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Pontos de inflexão e Concavidade f′′ (x) = 6(x2 − 1)(5x2 − 1) = 0 implica que x = ±1 e x = ± √ 5 5 . f′′ (x) > 0, se x ∈ (−∞, −1) ∪ ( − √ 5 5 , √ 5 5 ) ∪ (1, ∞) e f′′ (x) < 0 se x ∈ ( −1, − √ 5 5 ) ∪ (√ 5 5 , 1 ) . Conclusão: f tem C.P. nos intervalos (−∞, −1), ( − √ 5 5 , √ 5 5 ) e (1, ∞). f tem C.N. nos intervalos ( −1, − √ 5 5 ) e (√ 5 5 , 1 ) . e as abscissas dos pontos de inflexão de f são x = ±1 e x = ± √ 5 5 . 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 39. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Pontos de inflexão e Concavidade f′′ (x) = 6(x2 − 1)(5x2 − 1) = 0 implica que x = ±1 e x = ± √ 5 5 . f′′ (x) > 0, se x ∈ (−∞, −1) ∪ ( − √ 5 5 , √ 5 5 ) ∪ (1, ∞) e f′′ (x) < 0 se x ∈ ( −1, − √ 5 5 ) ∪ (√ 5 5 , 1 ) . Conclusão: f tem C.P. nos intervalos (−∞, −1), ( − √ 5 5 , √ 5 5 ) e (1, ∞). f tem C.N. nos intervalos ( −1, − √ 5 5 ) e (√ 5 5 , 1 ) . e as abscissas dos pontos de inflexão de f são x = ±1 e x = ± √ 5 5 . 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 40. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Pontos de inflexão e Concavidade f′′ (x) = 6(x2 − 1)(5x2 − 1) = 0 implica que x = ±1 e x = ± √ 5 5 . f′′ (x) > 0, se x ∈ (−∞, −1) ∪ ( − √ 5 5 , √ 5 5 ) ∪ (1, ∞) e f′′ (x) < 0 se x ∈ ( −1, − √ 5 5 ) ∪ (√ 5 5 , 1 ) . Conclusão: f tem C.P. nos intervalos (−∞, −1), ( − √ 5 5 , √ 5 5 ) e (1, ∞). f tem C.N. nos intervalos ( −1, − √ 5 5 ) e (√ 5 5 , 1 ) . e as abscissas dos pontos de inflexão de f são x = ±1 e x = ± √ 5 5 . 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 41. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Esboço do gráfico de f (figura ao lado): 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 42. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Esboço do gráfico de f (figura ao lado): x y −1 −1 1 f(x) = (x2 − 1)3 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 43. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Example 1. Esboçar o gráfico da função f(x) = −7 + 12x − 3x2 − 2x3. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 44. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Solução: 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 45. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Solução: Domínio: Claramente, temos Dom(f) = R. Paridade: f(−x) = −7 + 12(−x) − 3(−x)2 − 2(−x)3 = −7 − 12x − 3x2 + 2x3. Portanto, a função não é par e nem ímpar. Pontos de descontinuidade: Não existem pois a função é contínua. Intersecções com os eixos coordenados: se x = 0, então y = −7 e se y = 0, então x = 1 ou x = −7/2 (Verifique!); 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 46. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Solução: Domínio: Claramente, temos Dom(f) = R. Paridade: f(−x) = −7 + 12(−x) − 3(−x)2 − 2(−x)3 = −7 − 12x − 3x2 + 2x3. Portanto, a função não é par e nem ímpar. Pontos de descontinuidade: Não existem pois a função é contínua. Intersecções com os eixos coordenados: se x = 0, então y = −7 e se y = 0, então x = 1 ou x = −7/2 (Verifique!); 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 47. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Solução: Domínio: Claramente, temos Dom(f) = R. Paridade: f(−x) = −7 + 12(−x) − 3(−x)2 − 2(−x)3 = −7 − 12x − 3x2 + 2x3. Portanto, a função não é par e nem ímpar. Pontos de descontinuidade: Não existem pois a função é contínua. Intersecções com os eixos coordenados: se x = 0, então y = −7 e se y = 0, então x = 1 ou x = −7/2 (Verifique!); 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 48. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Solução: Domínio: Claramente, temos Dom(f) = R. Paridade: f(−x) = −7 + 12(−x) − 3(−x)2 − 2(−x)3 = −7 − 12x − 3x2 + 2x3. Portanto, a função não é par e nem ímpar. Pontos de descontinuidade: Não existem pois a função é contínua. Intersecções com os eixos coordenados: se x = 0, então y = −7 e se y = 0, então x = 1 ou x = −7/2 (Verifique!); 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 49. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Solução: Domínio: Claramente, temos Dom(f) = R. Paridade: f(−x) = −7 + 12(−x) − 3(−x)2 − 2(−x)3 = −7 − 12x − 3x2 + 2x3. Portanto, a função não é par e nem ímpar. Pontos de descontinuidade: Não existem pois a função é contínua. Intersecções com os eixos coordenados: se x = 0, então y = −7 e se y = 0, então x = 1 ou x = −7/2 (Verifique!); 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 50. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Comportamento no infinito: lim x→±∞ (x2 − 1)3 = lim x→±∞ −2x3 = ∓∞. Com isso, não existem assíntotas horizontais. Pontos críticos de f: Temos que f′ (x) = 12 − 6x − 6x2 . Logo, resolvendo a equação f′ (x) = 0, obtemos x = −2 e x = 1, que são os pontos críticos de f. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 51. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Comportamento no infinito: lim x→±∞ (x2 − 1)3 = lim x→±∞ −2x3 = ∓∞. Com isso, não existem assíntotas horizontais. Pontos críticos de f: Temos que f′ (x) = 12 − 6x − 6x2 . Logo, resolvendo a equação f′ (x) = 0, obtemos x = −2 e x = 1, que são os pontos críticos de f. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 52. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Comportamento no infinito: lim x→±∞ (x2 − 1)3 = lim x→±∞ −2x3 = ∓∞. Com isso, não existem assíntotas horizontais. Pontos críticos de f: Temos que f′ (x) = 12 − 6x − 6x2 . Logo, resolvendo a equação f′ (x) = 0, obtemos x = −2 e x = 1, que são os pontos críticos de f. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 53. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Comportamento no infinito: lim x→±∞ (x2 − 1)3 = lim x→±∞ −2x3 = ∓∞. Com isso, não existem assíntotas horizontais. Pontos críticos de f: Temos que f′ (x) = 12 − 6x − 6x2 . Logo, resolvendo a equação f′ (x) = 0, obtemos x = −2 e x = 1, que são os pontos críticos de f. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 54. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Máximos e mínimos relativos de f: Temos que: f′′ (x) = −6 − 12x. Logo, f′′ (1) < 0 e 1 é a abscissa do ponto de máximo relativo de f. f′′ (2) > 0 e 2 é abscissa do ponto de mínimo. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 55. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Máximos e mínimos relativos de f: Temos que: f′′ (x) = −6 − 12x. Logo, f′′ (1) < 0 e 1 é a abscissa do ponto de máximo relativo de f. f′′ (2) > 0 e 2 é abscissa do ponto de mínimo. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 56. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Máximos e mínimos relativos de f: Temos que: f′′ (x) = −6 − 12x. Logo, f′′ (1) < 0 e 1 é a abscissa do ponto de máximo relativo de f. f′′ (2) > 0 e 2 é abscissa do ponto de mínimo. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 57. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Existência de assíntotas oblíquas: m = lim x→±∞ f(x) x = lim x→±∞ = −2x3 x = −∞ e, portanto, não existem assíntotas oblíquas. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 58. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Existência de assíntotas oblíquas: m = lim x→±∞ f(x) x = lim x→±∞ = −2x3 x = −∞ e, portanto, não existem assíntotas oblíquas. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 59. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Pontos de inflexão e Concavidade f′′ (x) = −6 − 12x = 0 implica que x = − 1 2 . f′′ (x) > 0 se x < − 1 2 e f′′ (x) < 0 se x > − 1 2 . Conclusão: o gráfico de f tem C.P. em ( −∞, − 1 2 ) . C.N. em ( − 1 2 , ∞ ) . A abscissa do ponto de inflexão de f é − 1 2 . 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 60. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Pontos de inflexão e Concavidade f′′ (x) = −6 − 12x = 0 implica que x = − 1 2 . f′′ (x) > 0 se x < − 1 2 e f′′ (x) < 0 se x > − 1 2 . Conclusão: o gráfico de f tem C.P. em ( −∞, − 1 2 ) . C.N. em ( − 1 2 , ∞ ) . A abscissa do ponto de inflexão de f é − 1 2 . 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 61. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Pontos de inflexão e Concavidade f′′ (x) = −6 − 12x = 0 implica que x = − 1 2 . f′′ (x) > 0 se x < − 1 2 e f′′ (x) < 0 se x > − 1 2 . Conclusão: o gráfico de f tem C.P. em ( −∞, − 1 2 ) . C.N. em ( − 1 2 , ∞ ) . A abscissa do ponto de inflexão de f é − 1 2 . 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 62. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Pontos de inflexão e Concavidade f′′ (x) = −6 − 12x = 0 implica que x = − 1 2 . f′′ (x) > 0 se x < − 1 2 e f′′ (x) < 0 se x > − 1 2 . Conclusão: o gráfico de f tem C.P. em ( −∞, − 1 2 ) . C.N. em ( − 1 2 , ∞ ) . A abscissa do ponto de inflexão de f é − 1 2 . 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 63. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Pontos de inflexão e Concavidade f′′ (x) = −6 − 12x = 0 implica que x = − 1 2 . f′′ (x) > 0 se x < − 1 2 e f′′ (x) < 0 se x > − 1 2 . Conclusão: o gráfico de f tem C.P. em ( −∞, − 1 2 ) . C.N. em ( − 1 2 , ∞ ) . A abscissa do ponto de inflexão de f é − 1 2 . 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 64. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Pontos de inflexão e Concavidade f′′ (x) = −6 − 12x = 0 implica que x = − 1 2 . f′′ (x) > 0 se x < − 1 2 e f′′ (x) < 0 se x > − 1 2 . Conclusão: o gráfico de f tem C.P. em ( −∞, − 1 2 ) . C.N. em ( − 1 2 , ∞ ) . A abscissa do ponto de inflexão de f é − 1 2 . 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 65. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Pontos de inflexão e Concavidade f′′ (x) = −6 − 12x = 0 implica que x = − 1 2 . f′′ (x) > 0 se x < − 1 2 e f′′ (x) < 0 se x > − 1 2 . Conclusão: o gráfico de f tem C.P. em ( −∞, − 1 2 ) . C.N. em ( − 1 2 , ∞ ) . A abscissa do ponto de inflexão de f é − 1 2 . 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 66. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Esboço do gráfico de f (figura ao lado): 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 67. Esboço do Gráfico de uma Função Exemplo Esboço do gráfico de f (figura ao lado): x y 7 2 1 −7 2 f(x) = −7 + 12x − 3x2 − 2x3 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 68. Esboço do Gráfico de uma Função Referências M. B. Gonçalves and D. M. Flemming. Cálculo A. Pearson Education, 5 edition, 2007. H. L. Guidorizzi. Um curso de cálculo, volume 1. Grupo Gen-LTC, 5 edition, 2000. A. Howard. Cálculo, um novo horizonte, volume 1. Bookman, Porto Alegre, 2000. E. L. Lima. Curso de Análise, volume 1. IMPA, Rio de Janeiro, 2000. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022