S11 teorema de lhospital.pdf

Cálculo Diferencial e Integral I
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
01/06/2022
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento

O Teorema de L’Hospital
Um pouco de História
No final de 1600, John Bernoulli descobriu uma regra
para calcular os limites de funções racionais cujos valo-
res reais tanto do numerador quanto do denominador se
aproximavam de zero quando os valores do domínio se
aproximavam de um valor no qual a função racional não
estava definida. Hoje a regra é conhecida como “Regra
de L’Hospital”.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

de L’Hospital”.
Guilherme de L’Hospital era um nobre francês que escre-
veu um texto de introdução ao cálculo no qual a regra
era apresentada pela primeira vez.

de L’Hospital”.
Guilherme de L’Hospital era um nobre francês que escre-
veu um texto de introdução ao cálculo no qual a regra
era apresentada pela primeira vez.
Fonte: commons.wikimedia.org/wiki

A regra de L’Hospital frequentemente apresenta resultados rápidos e diretos e, algumas
vezes, funciona onde outros métodos falham.

vezes, funciona onde outros métodos falham. Em 1691, Bernoulli concordou em aceitar
um salário de 300 libras por ano de seu antigo aluno L’Hospital para solucionar os
problemas de cálculo e manter o ex-aluno atualizado sobre o assunto.

um salário de 300 libras por ano de seu antigo aluno L’Hospital para solucionar os pro-
blemas de cálculo e manter o ex-aluno atualizado sobre o assunto. Um desses problemas
intitulava-se “problema 0/0”, solucionado por Bernoulli.

Quando L’Hospital publicou seu livro de cálculo em 1696, o primeiro livro de cálculo
(Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des linges courbes), a regra de “0/0”
era apresentada como um teorema. Ele reconheceu sua dívida para com Bernoulli e,
para não se intitular único autor, não colocou seu nome no livro. Entretanto, Bernoulli
acusou L’Hospital de plágio por publicar no livro os resultados que ele obtivera.

Quando L’Hospital publicou seu livro de cálculo em 1696, o primeiro livro de cálculo
(Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des linges courbes), a regra de “0/0”
era apresentada como um teorema. Ele reconheceu sua dívida para com Bernoulli e,
para não se intitular único autor, não colocou seu nome no livro. Entretanto, Bernoulli
acusou L’Hospital de plágio por publicar no livro os resultados que ele obtivera.
Fonte: Thomas–Guia Para História do Cálculo, Editora Pearson.

No estudo de limites, vimos que se lim
x→x0
f(x) e lim
x→x0
g(x) existem, então:

x→x0
f(x) e lim
x→x0
lim
x→x0
f(x)
g(x)
=
lim
x→x0
f(x)
lim
x→x0
g(x)
,

x→x0
f(x) e lim
x→x0
lim
x→x0
f(x)
g(x)
=
lim
x→x0
f(x)
lim
x→x0
g(x)
,
desde que lim
x→x0
g(x) ̸= 0.

Se lim
x→x0
f(x) = 0 e lim
x→x0
g(x) = 0, então
lim
x→x0
f(x)
lim
x→x0
g(x)
é indeterminado.

Se lim
x→x0
f(x) = 0 e lim
x→x0
g(x) = 0, então
lim
x→x0
f(x)
lim
x→x0
g(x)
é indeterminado.
Vimos vários métodos para encontrar o limite para este caso se o limite existe. Entre-
tanto, o Teorema de L’Hospital, que veremos a seguir, exibe um outro método para
encontrar, se existir, o limite de uma função h : (I {x0}) ⊂ R → R, definida por
h(x) =
f(x)
g(x)
, em que f(x0) = g(x0) = 0, quando x se aproxima de x0.

Theorem 1 (de L’Hospital).
Sejam f e g funções deriváveis num intervalo I. Suponha que, para todo x ̸= x0
em I, g′(x) ̸= 0. Então se lim
x→x0
f(x) = 0 e lim
x→x0
g(x) = 0 e se
lim
x→x0
f′
(x)
lim
x→x0
g′
(x)
= L ⇒
lim
x→x0
f(x)
lim
x→x0
g(x)
= L.

Demonstração:
Fonte: Toda a Matemática: https://www.youtube.com/watch?v=XkSy6fCu7go

Theorem 1 (de L’Hospital).
Sejam f e g funções deriváveis num intervalo I. Suponha que, para todo x ̸= x0
em I, g′(x) ̸= 0. Então se lim
x→x0
f(x) = 0 e lim
x→x0
g(x) = 0 e se
lim
x→x0
f′
(x)
lim
x→x0
g′
(x)
= L ⇒
lim
x→x0
f(x)
lim
x→x0
g(x)
= L.
Claramente, o teorema é válido se os limites laterais à direita e à esquerda forem iguais.
Também, é válido para as formas indeterminadas:
∞
∞
,
−∞
−∞
e
∞
−∞
.

Exemplo
Example 2.
Verifique, para o limite a seguir, se as condições do Teorema de L’Hospital estão
satisfeitas e, caso afirmativo, encontre-o empregando este teorema.
lim
x→0
sin(x)
x

Exemplo
Solução:

Exemplo
Solução: Considere f(x) = sin(x) e g(x) = x.

Exemplo
Observe que f(0) = 0 e g(0) = 0 e, além disso, estas funções são deriváveis em R e
f′(x) = cos(x) e g′(x) = 1.

Exemplo
f′(x) = cos(x) e g′(x) = 1.
Portanto, as condições do teorema de L’Hospital estão satisfeitas.

Exemplo
f′(x) = cos(x) e g′(x) = 1.
Sendo assim,

Exemplo
f′(x) = cos(x) e g′(x) = 1.
Sendo assim,
lim
x→0
sin(x)
x
= lim
x→0
cos(x)
1
= 1.

Prova do limite exponencial fundamental
Com o resultado estabelecido neste teorema podemos, agora, provar o limite exponencial
fundamental.

fundamental.
De fato, vamos supor que lim
x→∞
(
1 +
1
x
)x
exista, ou seja,

fundamental.
x→∞
(
1 +
1
x
)x
exista, ou seja,
lim
x→∞
(
1 +
1
x
)x
= L.

fundamental.
x→∞
(
1 +
1
x
)x
exista, ou seja,
lim
x→∞
(
1 +
1
x
)x
= L.
Portanto,

fundamental.
x→∞
(
1 +
1
x
)x
exista, ou seja,
lim
x→∞
(
1 +
1
x
)x
= L.
Portanto,
ln
[
lim
x→∞
(
1 +
1
x
)x]
= ln(L)

fundamental.
x→∞
(
1 +
1
x
)x
exista, ou seja,
lim
x→∞
(
1 +
1
x
)x
= L.
Portanto,
ln
[
lim
x→∞
(
1 +
1
x
)x]
= ln(L)
Como a função logarítmica é contínua, temos que:

fundamental.
x→∞
(
1 +
1
x
)x
exista, ou seja,
lim
x→∞
(
1 +
1
x
)x
= L.
Portanto,
ln
[
lim
x→∞
(
1 +
1
x
)x]
= ln(L)
Como a função logarítmica é contínua, temos que:
lim
x→∞
ln
(
1 +
1
x
)x
= ln(L)

Como o logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente desta pelo logaritmo
da base da potência, temos que:

lim
x→∞
x · ln
(
1 +
1
x
)
= ln(L).

lim
x→∞
x · ln
(
1 +
1
x
)
= ln(L).
O qual pode ser escrito:

lim
x→∞
x · ln
(
1 +
1
x
)
= ln(L).
O qual pode ser escrito:
lim
x→∞
ln
(
1 +
1
x
)
1
x
= ln(L).

Aplicando o teorema de L’Hospital, temos que:

lim
x→∞
1
1 +
1
x
·
−1
x2
−1
x2
= ln(L),

lim
x→∞
1
1 +
1
x
·
−1
x2
−1
x2
= ln(L),
ou seja,

lim
x→∞
1
1 +
1
x
·
−1
x2
−1
x2
= ln(L),
ou seja,
lim
x→∞
1
1 +
1
x
= ln(L) ⇔ 1 = ln(L) ⇐⇒ L = e.

Casos os quais podemos empregar o Teorema de L’Hospital
Muitas vezes, o limite a ser calculado aparece de maneira tal que aparentemente não
prevemos a utilização da Regra de L’Hospital. Esse é o próximo caso.

Muitas vezes, o limite a ser calculado aparece de maneira tal que aparentemente não
prevemos a utilização da Regra de L’Hospital. Esse é o próximo caso.
Example 2.
Transforme o limite a seguir em outro equivalente, de modo que as condições do
Teorema de L’Hospital sejam satisfeitas e, em seguida, determine-o empregando este
teorema.
lim
x→0+
x · ln(x).

Solução:

Solução:
lim
x→0+
x · ln(x)

Solução:
lim
x→0+
x · ln(x) = lim
x→0+
ln(x)
1
x

Solução:
lim
x→0+
x · ln(x) = lim
x→0+
ln(x)
1
x
= lim
x→0+
1
x
−
1
x2

Solução:
lim
x→0+
x · ln(x) = lim
x→0+
ln(x)
1
x
= lim
x→0+
1
x
−
1
x2
= lim
x→0+
−x = 0.

Solução:
lim
x→0+
x · ln(x) = lim
x→0+
ln(x)
1
x
= lim
x→0+
1
x
−
1
x2
= lim
x→0+
−x = 0.
Observe, na primeira igualdade, que o produto de funções foi transformado em um
quociente de funções. Essa primeira igualdade é verdadeira visto que queremos calcular
o limite com valores do domínio se aproximando do zero por valores maiores do que
zero.

Solução:
lim
x→0+
x · ln(x) = lim
x→0+
ln(x)
1
x
= lim
x→0+
1
x
−
1
x2
= lim
x→0+
−x = 0.
No segundo membro da primeira igualdade, o teorema de L’Hospital já pode ser empre-
gado visto que aparece uma indeterminação “0/0” e, em seguida obtemos o valor do
limite procurado.

Às vezes, alguns limites, inicialmente indetermináveis, porém existentes, ficam difíceis
ou até impossíveis de se obter utilizando os métodos vistos até agora, sem que se aplique
a regra de L’Hospital.

a regra de L’Hospital. Esse é o caso, por exemplo, do limite:

lim
x→0
x − sin(x)
tan(x) − x

lim
x→0
x − sin(x)
tan(x) − x
Exercício 1.1.
(a) Obtenha o valor deste limite empregando o teorema de L’Hospital. Sugestão:
Empregue este teorema tantas vezes quanto necessário para obter o limite.
(b) Tente encontrar outra maneira de obtê-lo.

Referências
M. B. Gonçalves and D. M. Flemming.
Cálculo A.
Pearson Education, 5 edition, 2007.
H. L. Guidorizzi.
Um curso de cálculo, volume 1.
Grupo Gen-LTC, 5 edition, 2000.
A. Howard.
Cálculo, um novo horizonte, volume 1.
Bookman, Porto Alegre, 2000.
E. L. Lima.
Curso de Análise, volume 1.
IMPA, Rio de Janeiro, 2000.
J. Stewart.
Cálculo, volume 1.
Cengage Learning, São Paulo, 6 edition, 2009.

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