GCET146 S14b.pdf

Cálculo Diferencial e Integral I
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
14 de julho de 2022
Prof.: Paulo Henrique

Métodos de Integração
Integração por Partes
Exemplos
Exercícios Propostos
Outro método útil na obtenção de uma integral indefinida é proveniente da fórmula da
derivada do produto de duas funções, chamado Integração por Partes, que é estabe-
lecido da seguinte forma:
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022

Exemplos
Se f e g são duas funções diferenciáveis, então

Exemplos

f(x) · g(x)
′
= f′
(x) · g(x) + f(x) · g′
(x)

Exemplos

f(x) · g(x)
′
= f′
(x) · g(x) + f(x) · g′
(x)
ou, equivalentemente,

Exemplos

f(x) · g(x)
′
= f′
(x) · g(x) + f(x) · g′
(x)
f(x) · g′
(x) =

f(x) · g(x)
′
− f′
(x) · g(x).

Exemplos

f(x) · g(x)
′
= f′
(x) · g(x) + f(x) · g′
(x)
f(x) · g′
(x) =

f(x) · g(x)
′
− f′
(x) · g(x).
Integrando-se em relação a x, obtemos:

Exemplos

f(x) · g(x)
′
= f′
(x) · g(x) + f(x) · g′
(x)
f(x) · g′
(x) =

f(x) · g(x)
′
− f′
(x) · g(x).
Integrando-se em relação a x, obtemos:
Z
f(x) · g′
(x) dx =
Z

f(x) · g(x)
′
dx −
Z
f′
(x) · g(x) dx

Exemplos
e escrevemos esta última equação da seguinte forma:

Exemplos
Z
f(x) · g′
(x) dx = f(x) · g(x) −
Z
f′
(x) · g(x) dx (1)

Exemplos
Z
f(x) · g′
(x) dx = f(x) · g(x) −
Z
f′
(x) · g(x) dx (1)
que é chamada de fórmula de Integração por Partes.

Exemplos
Z
f(x) · g′
(x) dx = f(x) · g(x) −
Z
f′
(x) · g(x) dx (1)
Esta fórmula pode ser simplificada fazendo

Exemplos
Z
f(x) · g′
(x) dx = f(x) · g(x) −
Z
f′
(x) · g(x) dx (1)
u = f(x) e dv = g′
(x) dx =⇒ du = f′
(x) dx e v = g(x),

Exemplos
Z
f(x) · g′
(x) dx = f(x) · g(x) −
Z
f′
(x) · g(x) dx (1)
u = f(x) e dv = g′
(x) dx =⇒ du = f′
(x) dx e v = g(x),
resultando na seguinte versão da fórmula de integração por partes:

Exemplos
Z
f(x) · g′
(x) dx = f(x) · g(x) −
Z
f′
(x) · g(x) dx (1)
u = f(x) e dv = g′
(x) dx =⇒ du = f′
(x) dx e v = g(x),
resultando na seguinte versão da fórmula de integração por partes:
Z
u dv = u · v −
Z
v du. (2)

Exemplos
Observe, que esta fórmula nos permite expressar uma integral indefinida em termos de
outra que pode ser mais fácil de calcular, escolhendo adequadamente u e dv.

Exemplos
O termo por partes é do fato que este processo separa o integrando em duas partes.

Exemplos
É importante a escolha adequada de dv que, em geral, fazemos representar a parte
mais complicada do integrando que possa ser prontamente integrada, pois v será uma
primitiva de dv.

Exemplos
É importante a escolha adequada de dv que, em geral, fazemos representar a parte
mais complicada do integrando que possa ser prontamente integrada, pois v será uma
primitiva de dv.
Resumimos este processo de integração da seguinte forma:

Exemplos
Olhamos uma função h que queremos integrar, como o produto de duas funções, uma
das quais é a derivada de uma função já conhecida, isto é,

Exemplos
h(x) = f(x) · g′
(x),
com g sendo uma função conhecida.

Exemplos
h(x) = f(x) · g′
(x),
Como vimos, temos que

Exemplos
h(x) = f(x) · g′
(x),
Z
h(x) dx =
Z
f(x) · g′
(x) dx = f(x) · g(x) −
Z
g(x) · f′
(x) dx.

Exemplos
h(x) = f(x) · g′
(x),
Z
h(x) dx =
Z
f(x) · g′
(x) dx = f(x) · g(x) −
Z
g(x) · f′
(x) dx.
Esperamos, então, que nossa escolha para as funções f e g tenha sido boa, de maneira
que conheçamos uma primitiva para g · f′.

Exemplos
Usando novas variáveis, u e v, podemos representar a igualdade acima de uma forma
mais simples u = f(x) e dv = g′(x) dx, implicando em du = f′(x) dx e v = g(x) e,
portanto, com essas novas variáveis, a fórmula que obtivemos acima,

Exemplos
Z
f(x) · g′
(x) dx = f(x) · g(x) −
Z
g(x) · f′
(x) dx

Exemplos
Z
f(x) · g′
(x) dx = f(x) · g(x) −
Z
g(x) · f′
(x) dx
se reduz a seguinte versão da fórmula de integração por partes

Exemplos
Z
f(x) · g′
(x) dx = f(x) · g(x) −
Z
g(x) · f′
(x) dx
se reduz a seguinte versão da fórmula de integração por partes
Z
u dv = u · v −
Z
v du.

Exemplos
Exemplo
Example 1.
Calcule
Z
x · ln(x) dx.

Exemplos
Exemplo

Exemplos
Exemplo
Solução: Para determinar quais as substituições para u e dv, devemos ter em mente
que para encontrar v precisamos saber integrar dv.

Exemplos
Exemplo
Isso sugere que u = ln(x) e dv = x dx.

Exemplos
Exemplo
Isso sugere que u = ln(x) e dv = x dx. Então,

Exemplos
Exemplo
Isso sugere que u = ln(x) e dv = x dx. Então, du =
1
x
dx e v =
x2
2
+ C1.

Exemplos
Exemplo
1
x
dx e v =
x2
2
+ C1.
Da fórmula de integração por partes: uv −
Z
v du, temos:

Exemplos
Exemplo
1
x
dx e v =
x2
2
+ C1.
Z
v du, temos:
Z
x ln(x) dx

Exemplos
Exemplo
Então, du =
1
x
dx e v =
x2
2
+ C1.
Z
v du, temos:
Z
x ln(x) dx = ln(x)

x2
2
+ C1

−
Z
x2
2
+ C1

dx
x

Exemplos
Exemplo
Então, du =
1
x
dx e v =
x2
2
+ C1.
Z
v du, temos:
Z
x ln(x) dx = ln(x)

x2
2
+ C1

−
Z
x2
2
+ C1

dx
x
=
x2
2
ln(x) + C1 ln(x) −
1
2
Z
x2
dx − C1
Z
dx
x

Exemplos
Exemplo
Então, du =
1
x
dx e v =
x2
2
+ C1.
Z
v du, temos:
Z
x ln(x) dx = ln(x)

x2
2
+ C1

−
Z
x2
2
+ C1

dx
x
=
x2
2
ln(x) + C1 ln(x) −
1
2
Z
x2
dx − C1
Z
dx
x
=
x2
2
ln(x) + C1 ln(x) −
x3
6
− C1 ln(x) + C2

Exemplos
Exemplo
Então, du =
1
x
dx e v =
x2
2
+ C1.
Z
v du, temos:
Z
x ln(x) dx = ln(x)

x2
2
+ C1

−
Z
x2
2
+ C1

dx
x
=
x2
2
ln(x) + C1 ln(x) −
1
2
Z
x2
dx − C1
Z
dx
x
=
x2
2
ln(x) + C1 ln(x) −
x3
6
− C1 ln(x) + C2 =
x2
2
ln(x) −
x3
6
+ C2.

Exemplos
Exemplo
Neste último exemplo, note que a primeira constante de integração C1 não aparece na
resposta final.

Exemplos
Exemplo
resposta final. C1 foi usada somente para mostrar que todas as escolhas de v da forma
1
2 x2 + C1 produzem o mesmo resultado para
Z
x · ln(x) dx.

Exemplos
Exemplo
1
Z
x · ln(x) dx. Essa situação vale, em
geral, e provamos isso da seguinte forma:

Exemplos
Exemplo
1
Z
geral, e provamos isso da seguinte forma: Escrevendo v + C1 na fórmula de integração
por partes, temos:

Exemplos
Exemplo
1
Z
por partes, temos:
Z
u dv = u(v + C1) −
Z
(v + C1) du = uv + C1u −
Z
v du − C1
Z
du
= uv + C1u −
Z
v du − C1u = uv −
Z
v du.

Exemplos
Exemplo
1
Z
por partes, temos:
Z
u dv = u(v + C1) −
Z
(v + C1) du = uv + C1u −
Z
v du − C1
Z
du
= uv + C1u −
Z
v du − C1u = uv −
Z
v du.
Assim, é desnecessário escrevermos a constante de integração quando calculamos v a
partir de dv.

Exemplos
Exemplo
Example 1.
Determine
Z
x3
· ex2
dx.

Exemplos
Exemplo

Exemplos
Exemplo
Solução: Usando integração por partes, com u = x2 e dv = xex2
, temos então que
du = 2x dx e v =
1
2
ex2
, em que v foi obtido pelo método de mudança de variável.
Da fórmula de integração pr partes, temos
Z
x3
ex2
dx = x2

1
2
ex2

−
Z
1
2
ex2

2x dx
=
1
2
x2
ex2
−
Z
xex2
dx
=
1
2
x2
ex2
−
1
2
ex2
+ C.

Exemplos
Exemplo
Example 1.
Determine
Z
x cos(x) dx.

Exemplos
Exemplo

Exemplos
Exemplo
Solução: Seja u = x e dv = cos(x) dx. Então du = dx e v = sin(x). Pela fórmula (??)
Z
x cos(x) dx = x sin(x) −
Z
sin(x) dx
= x sin(x) + cos(x) + C.

Exemplos
Exemplo
Example 1.
Determine
Z
x2
sin(x) dx.

Exemplos
Exemplo

Exemplos
Exemplo
Solução: Fazendo u = x2 e dv = sin(x) dx, temos du = 2x dx e v = − cos(x).
Portanto, pela fórmula de integração por partes, temos:
Z
x2
sin(x) dx = −x2
cos(x) −
Z
− cos(x)2x dx = −x2
cos(x) +
Z
2x cos(x) dx.
A integral do segundo membro é semelhante à primeira integral, exceto que em vez de
sin(x) temos cos(x). Aplicando, novamente, a integração por partes, sendo u = 2x e
dv = cos(x), temos du = 2 dx e v = sin(x). Assim,
Z
x2
sin(x) dx = −x2
cos(x) +

2x sin(x) −
Z
2 sin(x) dx

= −x2
cos(x) + 2x sin(x) + cos(x) + C = −(x2
+ 2) cos(x) + 2x sin(x) + C.

Exemplos
Exemplo
Example 1.
Determine
Z
xex
dx.

Exemplos
Exemplo

Exemplos
Exemplo
Solução: Façamos
u = x ⇒ du = dx e dv = ex
dx ⇒ v = ex
.
Logo,
Z
xex
dx = xex
−
Z
ex
dx = xex
− ex
+ C
= (x − 1)ex
+ C.

Exemplos
Exemplo
Example 1.
Determine
Z
2x ln(x) dx.

Exemplos
Exemplo

Exemplos
Exemplo
Solução: Façamos
u = ln(x) ⇒ du =
1
x
dx e dv = 2x dx ⇒ v = x2
.
Logo,
Z
2x ln(x) dx = x2
ln(x) −
Z
x2 1
x
dx
= x2
ln(x) −
Z
x dx
= x2
ln(x) −
x2
2
+ C.

Exemplos
Exemplo
Example 1.
Determine
Z
sec3
(x) dx.

Exemplos
Exemplo

Exemplos
Exemplo
Solução: Temos que I =
Z
sec3
(x) dx =
Z
sec(x) sec2
(x) dx
Façamos
u = sec(x) ⇒ du = sec(x) tan(x)dx e dv = sec2
(x) dx ⇒ v = tan(x).
Logo,
I = sec(x) tan(x) −
Z
tan(x) sec(x) tan(x) dx = sec(x) tan(x) −
Z
tan2
(x) sec(x) dx

Exemplos
Exemplo
Como tan2(x) = sec2(x) − 1, temos que:
I = sec(x) tan(x)−
Z
(sec2
(x)−1) sec(x) dx = sec(x) tan(x)−
Z
sec3
(x)dx
| {z }
I
+
Z
sec(x) dx.
Como
Z
sec(x) dx = ln | sec(x) + tan(x)| + C1, temos
2I = sec(x) tan(x) + ln | sec(x) + tan(x)| + C

Exemplos
Exercício 1.1.
Mostre, pelo método de integração por partes, as seguintes fórmulas:
a
Z
ln(x) dx = x ln(x) − x + C
b
Z
arctan(x) dx = x arctan(x) −
1
2
ln(1 + x2
) + C
c
Z
eax
cos(bx) dx =
eax
a2 + b2
[b sin(bx) + a cos(bx)]
d
Z
eax
sin(bx) dx =
eax
a2 + b2
[a sin(bx) − b cos(bx)]

Exemplos

Exemplos
Exercício 1.1.
Determine:
a
∫
x sin(5x) dx;
b
∫
xe
4x
dx;
c
∫
(x + 1) cos(2x) dx;
d
∫
e
x
cos
(
x
2
)
dx;
e
∫
ln(x) dx;
f
∫
ln(1 − x) dx;
g
∫
x ln(x) dx;
h
∫
ln(ax + b)
√
ax + b
dx;
i
∫
x sec
2
(x) dx;
j
∫
x · arctan(x) dx;
k
∫
sec
3
(x) dx;
l
∫
csc
3
(x) dx;
m
∫
√
x ln(x) dx;
n
∫
ln(x
2
+ 1) dx;
o
∫
x
2
ln(x) dx;
p
∫
(x − 1) sec
2
(x) dx;
q
∫
x(ln(x))
2
dx;
r
∫
e
−2x
sin(x) dx;
s
∫
x
3
e
x2
dx;
t
∫
x
3
cos(x
2
) dx;
u
∫
e
−x
cos(2x) dx;
v
∫
x
2
sin(x) dx;
w
∫
x sec(x) tan(x) dx.

Exemplos

Exemplos
Respostas:
a −
x cos(5x)
5
sin(5x)
25
+ C
b e4t
4
(
t − 1
4
)
+ C
c 1
2
sin(2x) (x + 1) +
cos(2x)
4
+ C
d 2
5
sin
(
x
2
)
ex 4
5
ex
cos
(
x
2
)
+ C
e x(ln(x) − 1) + C
f ln(1 − x) · (1 − x) + C
g x2
2
(
ln(x) − 1
2
)
+ C
h 2
√
ax+b
a
(ln(ax + b) − 2) + C
i x tan(x) ln | cos(x)| + C
j x2
2
arctan(x) − x
2
arctan(x)
2
+ C
k 1
2
tan(x) sec(x) + 1
2
ln | sec(x) tan(x)| + C
l −1
2
cot(x) csc(x) + 1
2
ln | csc(x) − cot(x)| + C
m 2
3
x
3
2 ln |x| − 4
9
x
3
2 + C
n x ln(x2
) − 2x arctan(x) + C
o x3
3
(
ln(x) − 1
3
)
+ C
p (x − 1) tan(x) + ln | cos(x)| + C
q x2
2
(
(ln |x|)2
− ln |x| 1
2
)
+ C
r − e−2x
5
(cos(x) + sin(x)) + C
s ex2
2
(x2
− 1) + C
t 1
2
(x2
sin(x2
) cos(x2
)) + C
u e−x
5
(2 sin(2x) − cos(2x)) + C
v −x2
cos(x) sin(x) cos(x) + C
w x sec(x) − ln | sec(x) + tan(x)| + C

Exemplos
Referências
M. B. Gonçalves and D. M. Flemming.
Cálculo A.
Pearson Education, 5 edition, 2007.
H. L. Guidorizzi.
Um curso de cálculo, volume 1.
Grupo Gen-LTC, 5 edition, 2000.
A. Howard.
Cálculo, um novo horizonte, volume 1.
Bookman, Porto Alegre, 2000.
E. L. Lima.
Curso de Análise, volume 1.
IMPA, Rio de Janeiro, 2000.
J. Stewart.
Cálculo, volume 1.
Cengage Learning, São Paulo, 6 edition, 2009.

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