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Cálculo Diferencial e Integral I
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
14 de julho de 2022
Prof.: Paulo Henrique
Métodos de Integração
Integração por Partes
Exemplos
Exercícios Propostos
Integração por Partes
Outro método útil na obtenção de uma integral indefinida é proveniente da fórmula da
derivada do produto de duas funções, chamado Integração por Partes, que é estabe-
lecido da seguinte forma:
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Exercícios Propostos
Integração por Partes
Outro método útil na obtenção de uma integral indefinida é proveniente da fórmula da
derivada do produto de duas funções, chamado Integração por Partes, que é estabe-
lecido da seguinte forma:
Se f e g são duas funções diferenciáveis, então
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Integração por Partes
Outro método útil na obtenção de uma integral indefinida é proveniente da fórmula da
derivada do produto de duas funções, chamado Integração por Partes, que é estabe-
lecido da seguinte forma:
Se f e g são duas funções diferenciáveis, então

f(x) · g(x)
′
= f′
(x) · g(x) + f(x) · g′
(x)
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Integração por Partes
Outro método útil na obtenção de uma integral indefinida é proveniente da fórmula da
derivada do produto de duas funções, chamado Integração por Partes, que é estabe-
lecido da seguinte forma:
Se f e g são duas funções diferenciáveis, então

f(x) · g(x)
′
= f′
(x) · g(x) + f(x) · g′
(x)
ou, equivalentemente,
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Integração por Partes
Outro método útil na obtenção de uma integral indefinida é proveniente da fórmula da
derivada do produto de duas funções, chamado Integração por Partes, que é estabe-
lecido da seguinte forma:
Se f e g são duas funções diferenciáveis, então

f(x) · g(x)
′
= f′
(x) · g(x) + f(x) · g′
(x)
ou, equivalentemente,
f(x) · g′
(x) =

f(x) · g(x)
′
− f′
(x) · g(x).
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Integração por Partes
Outro método útil na obtenção de uma integral indefinida é proveniente da fórmula da
derivada do produto de duas funções, chamado Integração por Partes, que é estabe-
lecido da seguinte forma:
Se f e g são duas funções diferenciáveis, então

f(x) · g(x)
′
= f′
(x) · g(x) + f(x) · g′
(x)
ou, equivalentemente,
f(x) · g′
(x) =

f(x) · g(x)
′
− f′
(x) · g(x).
Integrando-se em relação a x, obtemos:
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Integração por Partes
Outro método útil na obtenção de uma integral indefinida é proveniente da fórmula da
derivada do produto de duas funções, chamado Integração por Partes, que é estabe-
lecido da seguinte forma:
Se f e g são duas funções diferenciáveis, então

f(x) · g(x)
′
= f′
(x) · g(x) + f(x) · g′
(x)
ou, equivalentemente,
f(x) · g′
(x) =

f(x) · g(x)
′
− f′
(x) · g(x).
Integrando-se em relação a x, obtemos:
Z
f(x) · g′
(x) dx =
Z

f(x) · g(x)
′
dx −
Z
f′
(x) · g(x) dx
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Integração por Partes
e escrevemos esta última equação da seguinte forma:
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Exercícios Propostos
Integração por Partes
e escrevemos esta última equação da seguinte forma:
Z
f(x) · g′
(x) dx = f(x) · g(x) −
Z
f′
(x) · g(x) dx (1)
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Integração por Partes
e escrevemos esta última equação da seguinte forma:
Z
f(x) · g′
(x) dx = f(x) · g(x) −
Z
f′
(x) · g(x) dx (1)
que é chamada de fórmula de Integração por Partes.
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Integração por Partes
e escrevemos esta última equação da seguinte forma:
Z
f(x) · g′
(x) dx = f(x) · g(x) −
Z
f′
(x) · g(x) dx (1)
que é chamada de fórmula de Integração por Partes.
Esta fórmula pode ser simplificada fazendo
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Integração por Partes
e escrevemos esta última equação da seguinte forma:
Z
f(x) · g′
(x) dx = f(x) · g(x) −
Z
f′
(x) · g(x) dx (1)
que é chamada de fórmula de Integração por Partes.
Esta fórmula pode ser simplificada fazendo
u = f(x) e dv = g′
(x) dx =⇒ du = f′
(x) dx e v = g(x),
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Exemplos
Exercícios Propostos
Integração por Partes
e escrevemos esta última equação da seguinte forma:
Z
f(x) · g′
(x) dx = f(x) · g(x) −
Z
f′
(x) · g(x) dx (1)
que é chamada de fórmula de Integração por Partes.
Esta fórmula pode ser simplificada fazendo
u = f(x) e dv = g′
(x) dx =⇒ du = f′
(x) dx e v = g(x),
resultando na seguinte versão da fórmula de integração por partes:
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Integração por Partes
e escrevemos esta última equação da seguinte forma:
Z
f(x) · g′
(x) dx = f(x) · g(x) −
Z
f′
(x) · g(x) dx (1)
que é chamada de fórmula de Integração por Partes.
Esta fórmula pode ser simplificada fazendo
u = f(x) e dv = g′
(x) dx =⇒ du = f′
(x) dx e v = g(x),
resultando na seguinte versão da fórmula de integração por partes:
Z
u dv = u · v −
Z
v du. (2)
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Integração por Partes
Observe, que esta fórmula nos permite expressar uma integral indefinida em termos de
outra que pode ser mais fácil de calcular, escolhendo adequadamente u e dv.
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Exercícios Propostos
Integração por Partes
Observe, que esta fórmula nos permite expressar uma integral indefinida em termos de
outra que pode ser mais fácil de calcular, escolhendo adequadamente u e dv.
O termo por partes é do fato que este processo separa o integrando em duas partes.
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Exemplos
Exercícios Propostos
Integração por Partes
Observe, que esta fórmula nos permite expressar uma integral indefinida em termos de
outra que pode ser mais fácil de calcular, escolhendo adequadamente u e dv.
O termo por partes é do fato que este processo separa o integrando em duas partes.
É importante a escolha adequada de dv que, em geral, fazemos representar a parte
mais complicada do integrando que possa ser prontamente integrada, pois v será uma
primitiva de dv.
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Exemplos
Exercícios Propostos
Integração por Partes
Observe, que esta fórmula nos permite expressar uma integral indefinida em termos de
outra que pode ser mais fácil de calcular, escolhendo adequadamente u e dv.
O termo por partes é do fato que este processo separa o integrando em duas partes.
É importante a escolha adequada de dv que, em geral, fazemos representar a parte
mais complicada do integrando que possa ser prontamente integrada, pois v será uma
primitiva de dv.
Resumimos este processo de integração da seguinte forma:
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Exercícios Propostos
Integração por Partes
Olhamos uma função h que queremos integrar, como o produto de duas funções, uma
das quais é a derivada de uma função já conhecida, isto é,
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Exemplos
Exercícios Propostos
Integração por Partes
Olhamos uma função h que queremos integrar, como o produto de duas funções, uma
das quais é a derivada de uma função já conhecida, isto é,
h(x) = f(x) · g′
(x),
com g sendo uma função conhecida.
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Exemplos
Exercícios Propostos
Integração por Partes
Olhamos uma função h que queremos integrar, como o produto de duas funções, uma
das quais é a derivada de uma função já conhecida, isto é,
h(x) = f(x) · g′
(x),
com g sendo uma função conhecida.
Como vimos, temos que
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Exemplos
Exercícios Propostos
Integração por Partes
Olhamos uma função h que queremos integrar, como o produto de duas funções, uma
das quais é a derivada de uma função já conhecida, isto é,
h(x) = f(x) · g′
(x),
com g sendo uma função conhecida.
Como vimos, temos que
Z
h(x) dx =
Z
f(x) · g′
(x) dx = f(x) · g(x) −
Z
g(x) · f′
(x) dx.
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Exemplos
Exercícios Propostos
Integração por Partes
Olhamos uma função h que queremos integrar, como o produto de duas funções, uma
das quais é a derivada de uma função já conhecida, isto é,
h(x) = f(x) · g′
(x),
com g sendo uma função conhecida.
Como vimos, temos que
Z
h(x) dx =
Z
f(x) · g′
(x) dx = f(x) · g(x) −
Z
g(x) · f′
(x) dx.
Esperamos, então, que nossa escolha para as funções f e g tenha sido boa, de maneira
que conheçamos uma primitiva para g · f′.
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Exercícios Propostos
Integração por Partes
Usando novas variáveis, u e v, podemos representar a igualdade acima de uma forma
mais simples u = f(x) e dv = g′(x) dx, implicando em du = f′(x) dx e v = g(x) e,
portanto, com essas novas variáveis, a fórmula que obtivemos acima,
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Exercícios Propostos
Integração por Partes
Usando novas variáveis, u e v, podemos representar a igualdade acima de uma forma
mais simples u = f(x) e dv = g′(x) dx, implicando em du = f′(x) dx e v = g(x) e,
portanto, com essas novas variáveis, a fórmula que obtivemos acima,
Z
f(x) · g′
(x) dx = f(x) · g(x) −
Z
g(x) · f′
(x) dx
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Exemplos
Exercícios Propostos
Integração por Partes
Usando novas variáveis, u e v, podemos representar a igualdade acima de uma forma
mais simples u = f(x) e dv = g′(x) dx, implicando em du = f′(x) dx e v = g(x) e,
portanto, com essas novas variáveis, a fórmula que obtivemos acima,
Z
f(x) · g′
(x) dx = f(x) · g(x) −
Z
g(x) · f′
(x) dx
se reduz a seguinte versão da fórmula de integração por partes
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Exemplos
Exercícios Propostos
Integração por Partes
Usando novas variáveis, u e v, podemos representar a igualdade acima de uma forma
mais simples u = f(x) e dv = g′(x) dx, implicando em du = f′(x) dx e v = g(x) e,
portanto, com essas novas variáveis, a fórmula que obtivemos acima,
Z
f(x) · g′
(x) dx = f(x) · g(x) −
Z
g(x) · f′
(x) dx
se reduz a seguinte versão da fórmula de integração por partes
Z
u dv = u · v −
Z
v du.
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Exercícios Propostos
Exemplo
Example 1.
Calcule
Z
x · ln(x) dx.
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Exemplo
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Exemplo
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Exemplos
Exercícios Propostos
Exemplo
Solução: Para determinar quais as substituições para u e dv, devemos ter em mente
que para encontrar v precisamos saber integrar dv.
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Exemplos
Exercícios Propostos
Exemplo
Solução: Para determinar quais as substituições para u e dv, devemos ter em mente
que para encontrar v precisamos saber integrar dv.
Isso sugere que u = ln(x) e dv = x dx.
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Exemplos
Exercícios Propostos
Exemplo
Solução: Para determinar quais as substituições para u e dv, devemos ter em mente
que para encontrar v precisamos saber integrar dv.
Isso sugere que u = ln(x) e dv = x dx. Então,
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Exemplos
Exercícios Propostos
Exemplo
Solução: Para determinar quais as substituições para u e dv, devemos ter em mente
que para encontrar v precisamos saber integrar dv.
Isso sugere que u = ln(x) e dv = x dx. Então, du =
1
x
dx e v =
x2
2
+ C1.
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Exemplos
Exercícios Propostos
Exemplo
Solução: Para determinar quais as substituições para u e dv, devemos ter em mente
que para encontrar v precisamos saber integrar dv.
Isso sugere que u = ln(x) e dv = x dx. Então, du =
1
x
dx e v =
x2
2
+ C1.
Da fórmula de integração por partes: uv −
Z
v du, temos:
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Integração por Partes
Exemplos
Exercícios Propostos
Exemplo
Solução: Para determinar quais as substituições para u e dv, devemos ter em mente
que para encontrar v precisamos saber integrar dv.
Isso sugere que u = ln(x) e dv = x dx. Então, du =
1
x
dx e v =
x2
2
+ C1.
Da fórmula de integração por partes: uv −
Z
v du, temos:
Z
x ln(x) dx
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Exercícios Propostos
Exemplo
Solução: Para determinar quais as substituições para u e dv, devemos ter em mente
que para encontrar v precisamos saber integrar dv.
Então, du =
1
x
dx e v =
x2
2
+ C1.
Da fórmula de integração por partes: uv −
Z
v du, temos:
Z
x ln(x) dx = ln(x)

x2
2
+ C1

−
Z 
x2
2
+ C1

dx
x
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Exercícios Propostos
Exemplo
Solução: Para determinar quais as substituições para u e dv, devemos ter em mente
que para encontrar v precisamos saber integrar dv.
Então, du =
1
x
dx e v =
x2
2
+ C1.
Da fórmula de integração por partes: uv −
Z
v du, temos:
Z
x ln(x) dx = ln(x)

x2
2
+ C1

−
Z 
x2
2
+ C1

dx
x
=
x2
2
ln(x) + C1 ln(x) −
1
2
Z
x2
dx − C1
Z
dx
x
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Exemplos
Exercícios Propostos
Exemplo
Solução: Para determinar quais as substituições para u e dv, devemos ter em mente
que para encontrar v precisamos saber integrar dv.
Então, du =
1
x
dx e v =
x2
2
+ C1.
Da fórmula de integração por partes: uv −
Z
v du, temos:
Z
x ln(x) dx = ln(x)

x2
2
+ C1

−
Z 
x2
2
+ C1

dx
x
=
x2
2
ln(x) + C1 ln(x) −
1
2
Z
x2
dx − C1
Z
dx
x
=
x2
2
ln(x) + C1 ln(x) −
x3
6
− C1 ln(x) + C2
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Exemplos
Exercícios Propostos
Exemplo
Solução: Para determinar quais as substituições para u e dv, devemos ter em mente
que para encontrar v precisamos saber integrar dv.
Então, du =
1
x
dx e v =
x2
2
+ C1.
Da fórmula de integração por partes: uv −
Z
v du, temos:
Z
x ln(x) dx = ln(x)

x2
2
+ C1

−
Z 
x2
2
+ C1

dx
x
=
x2
2
ln(x) + C1 ln(x) −
1
2
Z
x2
dx − C1
Z
dx
x
=
x2
2
ln(x) + C1 ln(x) −
x3
6
− C1 ln(x) + C2 =
x2
2
ln(x) −
x3
6
+ C2.
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Exercícios Propostos
Exemplo
Neste último exemplo, note que a primeira constante de integração C1 não aparece na
resposta final.
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Exemplos
Exercícios Propostos
Exemplo
Neste último exemplo, note que a primeira constante de integração C1 não aparece na
resposta final. C1 foi usada somente para mostrar que todas as escolhas de v da forma
1
2 x2 + C1 produzem o mesmo resultado para
Z
x · ln(x) dx.
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Exemplos
Exercícios Propostos
Exemplo
Neste último exemplo, note que a primeira constante de integração C1 não aparece na
resposta final. C1 foi usada somente para mostrar que todas as escolhas de v da forma
1
2 x2 + C1 produzem o mesmo resultado para
Z
x · ln(x) dx. Essa situação vale, em
geral, e provamos isso da seguinte forma:
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Integração por Partes
Exemplos
Exercícios Propostos
Exemplo
Neste último exemplo, note que a primeira constante de integração C1 não aparece na
resposta final. C1 foi usada somente para mostrar que todas as escolhas de v da forma
1
2 x2 + C1 produzem o mesmo resultado para
Z
x · ln(x) dx. Essa situação vale, em
geral, e provamos isso da seguinte forma: Escrevendo v + C1 na fórmula de integração
por partes, temos:
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Exemplos
Exercícios Propostos
Exemplo
Neste último exemplo, note que a primeira constante de integração C1 não aparece na
resposta final. C1 foi usada somente para mostrar que todas as escolhas de v da forma
1
2 x2 + C1 produzem o mesmo resultado para
Z
x · ln(x) dx. Essa situação vale, em
geral, e provamos isso da seguinte forma: Escrevendo v + C1 na fórmula de integração
por partes, temos:
Z
u dv = u(v + C1) −
Z
(v + C1) du = uv + C1u −
Z
v du − C1
Z
du
= uv + C1u −
Z
v du − C1u = uv −
Z
v du.
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Exemplos
Exercícios Propostos
Exemplo
Neste último exemplo, note que a primeira constante de integração C1 não aparece na
resposta final. C1 foi usada somente para mostrar que todas as escolhas de v da forma
1
2 x2 + C1 produzem o mesmo resultado para
Z
x · ln(x) dx. Essa situação vale, em
geral, e provamos isso da seguinte forma: Escrevendo v + C1 na fórmula de integração
por partes, temos:
Z
u dv = u(v + C1) −
Z
(v + C1) du = uv + C1u −
Z
v du − C1
Z
du
= uv + C1u −
Z
v du − C1u = uv −
Z
v du.
Assim, é desnecessário escrevermos a constante de integração quando calculamos v a
partir de dv.
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Exemplo
Example 1.
Determine
Z
x3
· ex2
dx.
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Exercícios Propostos
Exemplo
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Exercícios Propostos
Exemplo
Solução: Usando integração por partes, com u = x2 e dv = xex2
, temos então que
du = 2x dx e v =
1
2
ex2
, em que v foi obtido pelo método de mudança de variável.
Da fórmula de integração pr partes, temos
Z
x3
ex2
dx = x2

1
2
ex2

−
Z 
1
2
ex2

2x dx
=
1
2
x2
ex2
−
Z
xex2
dx
=
1
2
x2
ex2
−
1
2
ex2
+ C.
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Exemplo
Example 1.
Determine
Z
x cos(x) dx.
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Exercícios Propostos
Exemplo
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Exemplo
Solução: Seja u = x e dv = cos(x) dx. Então du = dx e v = sin(x). Pela fórmula (??)
Z
x cos(x) dx = x sin(x) −
Z
sin(x) dx
= x sin(x) + cos(x) + C.
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Exemplo
Example 1.
Determine
Z
x2
sin(x) dx.
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Exercícios Propostos
Exemplo
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Exemplo
Solução: Fazendo u = x2 e dv = sin(x) dx, temos du = 2x dx e v = − cos(x).
Portanto, pela fórmula de integração por partes, temos:
Z
x2
sin(x) dx = −x2
cos(x) −
Z
− cos(x)2x dx = −x2
cos(x) +
Z
2x cos(x) dx.
A integral do segundo membro é semelhante à primeira integral, exceto que em vez de
sin(x) temos cos(x). Aplicando, novamente, a integração por partes, sendo u = 2x e
dv = cos(x), temos du = 2 dx e v = sin(x). Assim,
Z
x2
sin(x) dx = −x2
cos(x) +

2x sin(x) −
Z
2 sin(x) dx

= −x2
cos(x) + 2x sin(x) + cos(x) + C = −(x2
+ 2) cos(x) + 2x sin(x) + C.
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
Métodos de Integração
Integração por Partes
Exemplos
Exercícios Propostos
Exemplo
Example 1.
Determine
Z
xex
dx.
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
Métodos de Integração
Integração por Partes
Exemplos
Exercícios Propostos
Exemplo
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
Métodos de Integração
Integração por Partes
Exemplos
Exercícios Propostos
Exemplo
Solução: Façamos
u = x ⇒ du = dx e dv = ex
dx ⇒ v = ex
.
Logo,
Z
xex
dx = xex
−
Z
ex
dx = xex
− ex
+ C
= (x − 1)ex
+ C.
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
Métodos de Integração
Integração por Partes
Exemplos
Exercícios Propostos
Exemplo
Example 1.
Determine
Z
2x ln(x) dx.
8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
Métodos de Integração
Integração por Partes
Exemplos
Exercícios Propostos
Exemplo
8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
Métodos de Integração
Integração por Partes
Exemplos
Exercícios Propostos
Exemplo
Solução: Façamos
u = ln(x) ⇒ du =
1
x
dx e dv = 2x dx ⇒ v = x2
.
Logo,
Z
2x ln(x) dx = x2
ln(x) −
Z
x2 1
x
dx
= x2
ln(x) −
Z
x dx
= x2
ln(x) −
x2
2
+ C.
8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
Métodos de Integração
Integração por Partes
Exemplos
Exercícios Propostos
Exemplo
Example 1.
Determine
Z
sec3
(x) dx.
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
Métodos de Integração
Integração por Partes
Exemplos
Exercícios Propostos
Exemplo
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
Métodos de Integração
Integração por Partes
Exemplos
Exercícios Propostos
Exemplo
Solução: Temos que I =
Z
sec3
(x) dx =
Z
sec(x) sec2
(x) dx
Façamos
u = sec(x) ⇒ du = sec(x) tan(x)dx e dv = sec2
(x) dx ⇒ v = tan(x).
Logo,
I = sec(x) tan(x) −
Z
tan(x) sec(x) tan(x) dx = sec(x) tan(x) −
Z
tan2
(x) sec(x) dx
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
Métodos de Integração
Integração por Partes
Exemplos
Exercícios Propostos
Exemplo
Como tan2(x) = sec2(x) − 1, temos que:
I = sec(x) tan(x)−
Z
(sec2
(x)−1) sec(x) dx = sec(x) tan(x)−
Z
sec3
(x)dx
| {z }
I
+
Z
sec(x) dx.
Como
Z
sec(x) dx = ln | sec(x) + tan(x)| + C1, temos
2I = sec(x) tan(x) + ln | sec(x) + tan(x)| + C
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
Métodos de Integração
Integração por Partes
Exemplos
Exercícios Propostos
Exercícios Propostos
Exercício 1.1.
Mostre, pelo método de integração por partes, as seguintes fórmulas:
a
Z
ln(x) dx = x ln(x) − x + C
b
Z
arctan(x) dx = x arctan(x) −
1
2
ln(1 + x2
) + C
c
Z
eax
cos(bx) dx =
eax
a2 + b2
[b sin(bx) + a cos(bx)]
d
Z
eax
sin(bx) dx =
eax
a2 + b2
[a sin(bx) − b cos(bx)]
10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
Métodos de Integração
Integração por Partes
Exemplos
Exercícios Propostos
Exercícios Propostos
10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
Métodos de Integração
Integração por Partes
Exemplos
Exercícios Propostos
Exercícios Propostos
10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
Métodos de Integração
Integração por Partes
Exemplos
Exercícios Propostos
Exercícios Propostos
10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
Métodos de Integração
Integração por Partes
Exemplos
Exercícios Propostos
Exercícios Propostos
10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
Métodos de Integração
Integração por Partes
Exemplos
Exercícios Propostos
Exercícios Propostos
Exercício 1.1.
Determine:
a
∫
x sin(5x) dx;
b
∫
xe
4x
dx;
c
∫
(x + 1) cos(2x) dx;
d
∫
e
x
cos
(
x
2
)
dx;
e
∫
ln(x) dx;
f
∫
ln(1 − x) dx;
g
∫
x ln(x) dx;
h
∫
ln(ax + b)
√
ax + b
dx;
i
∫
x sec
2
(x) dx;
j
∫
x · arctan(x) dx;
k
∫
sec
3
(x) dx;
l
∫
csc
3
(x) dx;
m
∫
√
x ln(x) dx;
n
∫
ln(x
2
+ 1) dx;
o
∫
x
2
ln(x) dx;
p
∫
(x − 1) sec
2
(x) dx;
q
∫
x(ln(x))
2
dx;
r
∫
e
−2x
sin(x) dx;
s
∫
x
3
e
x2
dx;
t
∫
x
3
cos(x
2
) dx;
u
∫
e
−x
cos(2x) dx;
v
∫
x
2
sin(x) dx;
w
∫
x sec(x) tan(x) dx.
11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
Métodos de Integração
Integração por Partes
Exemplos
Exercícios Propostos
Exercícios Propostos
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Métodos de Integração
Integração por Partes
Exemplos
Exercícios Propostos
Respostas:
a −
x cos(5x)
5
sin(5x)
25
+ C
b e4t
4
(
t − 1
4
)
+ C
c 1
2
sin(2x) (x + 1) +
cos(2x)
4
+ C
d 2
5
sin
(
x
2
)
ex 4
5
ex
cos
(
x
2
)
+ C
e x(ln(x) − 1) + C
f ln(1 − x) · (1 − x) + C
g x2
2
(
ln(x) − 1
2
)
+ C
h 2
√
ax+b
a
(ln(ax + b) − 2) + C
i x tan(x) ln | cos(x)| + C
j x2
2
arctan(x) − x
2
arctan(x)
2
+ C
k 1
2
tan(x) sec(x) + 1
2
ln | sec(x) tan(x)| + C
l −1
2
cot(x) csc(x) + 1
2
ln | csc(x) − cot(x)| + C
m 2
3
x
3
2 ln |x| − 4
9
x
3
2 + C
n x ln(x2
) − 2x arctan(x) + C
o x3
3
(
ln(x) − 1
3
)
+ C
p (x − 1) tan(x) + ln | cos(x)| + C
q x2
2
(
(ln |x|)2
− ln |x| 1
2
)
+ C
r − e−2x
5
(cos(x) + sin(x)) + C
s ex2
2
(x2
− 1) + C
t 1
2
(x2
sin(x2
) cos(x2
)) + C
u e−x
5
(2 sin(2x) − cos(2x)) + C
v −x2
cos(x) sin(x) cos(x) + C
w x sec(x) − ln | sec(x) + tan(x)| + C
11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
Métodos de Integração
Integração por Partes
Exemplos
Exercícios Propostos
Referências
M. B. Gonçalves and D. M. Flemming.
Cálculo A.
Pearson Education, 5 edition, 2007.
H. L. Guidorizzi.
Um curso de cálculo, volume 1.
Grupo Gen-LTC, 5 edition, 2000.
A. Howard.
Cálculo, um novo horizonte, volume 1.
Bookman, Porto Alegre, 2000.
E. L. Lima.
Curso de Análise, volume 1.
IMPA, Rio de Janeiro, 2000.
J. Stewart.
Cálculo, volume 1.
Cengage Learning, São Paulo, 6 edition, 2009.
12 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022

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  • 1. Cálculo Diferencial e Integral I Universidade Federal do Recôncavo da Bahia 14 de julho de 2022 Prof.: Paulo Henrique
  • 2. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Integração por Partes Outro método útil na obtenção de uma integral indefinida é proveniente da fórmula da derivada do produto de duas funções, chamado Integração por Partes, que é estabe- lecido da seguinte forma: 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 3. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Integração por Partes Outro método útil na obtenção de uma integral indefinida é proveniente da fórmula da derivada do produto de duas funções, chamado Integração por Partes, que é estabe- lecido da seguinte forma: Se f e g são duas funções diferenciáveis, então 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 4. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Integração por Partes Outro método útil na obtenção de uma integral indefinida é proveniente da fórmula da derivada do produto de duas funções, chamado Integração por Partes, que é estabe- lecido da seguinte forma: Se f e g são duas funções diferenciáveis, então f(x) · g(x) ′ = f′ (x) · g(x) + f(x) · g′ (x) 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 5. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Integração por Partes Outro método útil na obtenção de uma integral indefinida é proveniente da fórmula da derivada do produto de duas funções, chamado Integração por Partes, que é estabe- lecido da seguinte forma: Se f e g são duas funções diferenciáveis, então f(x) · g(x) ′ = f′ (x) · g(x) + f(x) · g′ (x) ou, equivalentemente, 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 6. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Integração por Partes Outro método útil na obtenção de uma integral indefinida é proveniente da fórmula da derivada do produto de duas funções, chamado Integração por Partes, que é estabe- lecido da seguinte forma: Se f e g são duas funções diferenciáveis, então f(x) · g(x) ′ = f′ (x) · g(x) + f(x) · g′ (x) ou, equivalentemente, f(x) · g′ (x) = f(x) · g(x) ′ − f′ (x) · g(x). 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 7. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Integração por Partes Outro método útil na obtenção de uma integral indefinida é proveniente da fórmula da derivada do produto de duas funções, chamado Integração por Partes, que é estabe- lecido da seguinte forma: Se f e g são duas funções diferenciáveis, então f(x) · g(x) ′ = f′ (x) · g(x) + f(x) · g′ (x) ou, equivalentemente, f(x) · g′ (x) = f(x) · g(x) ′ − f′ (x) · g(x). Integrando-se em relação a x, obtemos: 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 8. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Integração por Partes Outro método útil na obtenção de uma integral indefinida é proveniente da fórmula da derivada do produto de duas funções, chamado Integração por Partes, que é estabe- lecido da seguinte forma: Se f e g são duas funções diferenciáveis, então f(x) · g(x) ′ = f′ (x) · g(x) + f(x) · g′ (x) ou, equivalentemente, f(x) · g′ (x) = f(x) · g(x) ′ − f′ (x) · g(x). Integrando-se em relação a x, obtemos: Z f(x) · g′ (x) dx = Z f(x) · g(x) ′ dx − Z f′ (x) · g(x) dx 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 9. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Integração por Partes e escrevemos esta última equação da seguinte forma: 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 10. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Integração por Partes e escrevemos esta última equação da seguinte forma: Z f(x) · g′ (x) dx = f(x) · g(x) − Z f′ (x) · g(x) dx (1) 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 11. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Integração por Partes e escrevemos esta última equação da seguinte forma: Z f(x) · g′ (x) dx = f(x) · g(x) − Z f′ (x) · g(x) dx (1) que é chamada de fórmula de Integração por Partes. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 12. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Integração por Partes e escrevemos esta última equação da seguinte forma: Z f(x) · g′ (x) dx = f(x) · g(x) − Z f′ (x) · g(x) dx (1) que é chamada de fórmula de Integração por Partes. Esta fórmula pode ser simplificada fazendo 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 13. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Integração por Partes e escrevemos esta última equação da seguinte forma: Z f(x) · g′ (x) dx = f(x) · g(x) − Z f′ (x) · g(x) dx (1) que é chamada de fórmula de Integração por Partes. Esta fórmula pode ser simplificada fazendo u = f(x) e dv = g′ (x) dx =⇒ du = f′ (x) dx e v = g(x), 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 14. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Integração por Partes e escrevemos esta última equação da seguinte forma: Z f(x) · g′ (x) dx = f(x) · g(x) − Z f′ (x) · g(x) dx (1) que é chamada de fórmula de Integração por Partes. Esta fórmula pode ser simplificada fazendo u = f(x) e dv = g′ (x) dx =⇒ du = f′ (x) dx e v = g(x), resultando na seguinte versão da fórmula de integração por partes: 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 15. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Integração por Partes e escrevemos esta última equação da seguinte forma: Z f(x) · g′ (x) dx = f(x) · g(x) − Z f′ (x) · g(x) dx (1) que é chamada de fórmula de Integração por Partes. Esta fórmula pode ser simplificada fazendo u = f(x) e dv = g′ (x) dx =⇒ du = f′ (x) dx e v = g(x), resultando na seguinte versão da fórmula de integração por partes: Z u dv = u · v − Z v du. (2) 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 16. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Integração por Partes Observe, que esta fórmula nos permite expressar uma integral indefinida em termos de outra que pode ser mais fácil de calcular, escolhendo adequadamente u e dv. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 17. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Integração por Partes Observe, que esta fórmula nos permite expressar uma integral indefinida em termos de outra que pode ser mais fácil de calcular, escolhendo adequadamente u e dv. O termo por partes é do fato que este processo separa o integrando em duas partes. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 18. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Integração por Partes Observe, que esta fórmula nos permite expressar uma integral indefinida em termos de outra que pode ser mais fácil de calcular, escolhendo adequadamente u e dv. O termo por partes é do fato que este processo separa o integrando em duas partes. É importante a escolha adequada de dv que, em geral, fazemos representar a parte mais complicada do integrando que possa ser prontamente integrada, pois v será uma primitiva de dv. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 19. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Integração por Partes Observe, que esta fórmula nos permite expressar uma integral indefinida em termos de outra que pode ser mais fácil de calcular, escolhendo adequadamente u e dv. O termo por partes é do fato que este processo separa o integrando em duas partes. É importante a escolha adequada de dv que, em geral, fazemos representar a parte mais complicada do integrando que possa ser prontamente integrada, pois v será uma primitiva de dv. Resumimos este processo de integração da seguinte forma: 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 20. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Integração por Partes Olhamos uma função h que queremos integrar, como o produto de duas funções, uma das quais é a derivada de uma função já conhecida, isto é, 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 21. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Integração por Partes Olhamos uma função h que queremos integrar, como o produto de duas funções, uma das quais é a derivada de uma função já conhecida, isto é, h(x) = f(x) · g′ (x), com g sendo uma função conhecida. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 22. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Integração por Partes Olhamos uma função h que queremos integrar, como o produto de duas funções, uma das quais é a derivada de uma função já conhecida, isto é, h(x) = f(x) · g′ (x), com g sendo uma função conhecida. Como vimos, temos que 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 23. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Integração por Partes Olhamos uma função h que queremos integrar, como o produto de duas funções, uma das quais é a derivada de uma função já conhecida, isto é, h(x) = f(x) · g′ (x), com g sendo uma função conhecida. Como vimos, temos que Z h(x) dx = Z f(x) · g′ (x) dx = f(x) · g(x) − Z g(x) · f′ (x) dx. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 24. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Integração por Partes Olhamos uma função h que queremos integrar, como o produto de duas funções, uma das quais é a derivada de uma função já conhecida, isto é, h(x) = f(x) · g′ (x), com g sendo uma função conhecida. Como vimos, temos que Z h(x) dx = Z f(x) · g′ (x) dx = f(x) · g(x) − Z g(x) · f′ (x) dx. Esperamos, então, que nossa escolha para as funções f e g tenha sido boa, de maneira que conheçamos uma primitiva para g · f′. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 25. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Integração por Partes Usando novas variáveis, u e v, podemos representar a igualdade acima de uma forma mais simples u = f(x) e dv = g′(x) dx, implicando em du = f′(x) dx e v = g(x) e, portanto, com essas novas variáveis, a fórmula que obtivemos acima, 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 26. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Integração por Partes Usando novas variáveis, u e v, podemos representar a igualdade acima de uma forma mais simples u = f(x) e dv = g′(x) dx, implicando em du = f′(x) dx e v = g(x) e, portanto, com essas novas variáveis, a fórmula que obtivemos acima, Z f(x) · g′ (x) dx = f(x) · g(x) − Z g(x) · f′ (x) dx 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 27. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Integração por Partes Usando novas variáveis, u e v, podemos representar a igualdade acima de uma forma mais simples u = f(x) e dv = g′(x) dx, implicando em du = f′(x) dx e v = g(x) e, portanto, com essas novas variáveis, a fórmula que obtivemos acima, Z f(x) · g′ (x) dx = f(x) · g(x) − Z g(x) · f′ (x) dx se reduz a seguinte versão da fórmula de integração por partes 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 28. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Integração por Partes Usando novas variáveis, u e v, podemos representar a igualdade acima de uma forma mais simples u = f(x) e dv = g′(x) dx, implicando em du = f′(x) dx e v = g(x) e, portanto, com essas novas variáveis, a fórmula que obtivemos acima, Z f(x) · g′ (x) dx = f(x) · g(x) − Z g(x) · f′ (x) dx se reduz a seguinte versão da fórmula de integração por partes Z u dv = u · v − Z v du. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 29. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo Example 1. Calcule Z x · ln(x) dx. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 30. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 31. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 32. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo Solução: Para determinar quais as substituições para u e dv, devemos ter em mente que para encontrar v precisamos saber integrar dv. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 33. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo Solução: Para determinar quais as substituições para u e dv, devemos ter em mente que para encontrar v precisamos saber integrar dv. Isso sugere que u = ln(x) e dv = x dx. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 34. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo Solução: Para determinar quais as substituições para u e dv, devemos ter em mente que para encontrar v precisamos saber integrar dv. Isso sugere que u = ln(x) e dv = x dx. Então, 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 35. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo Solução: Para determinar quais as substituições para u e dv, devemos ter em mente que para encontrar v precisamos saber integrar dv. Isso sugere que u = ln(x) e dv = x dx. Então, du = 1 x dx e v = x2 2 + C1. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 36. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo Solução: Para determinar quais as substituições para u e dv, devemos ter em mente que para encontrar v precisamos saber integrar dv. Isso sugere que u = ln(x) e dv = x dx. Então, du = 1 x dx e v = x2 2 + C1. Da fórmula de integração por partes: uv − Z v du, temos: 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 37. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo Solução: Para determinar quais as substituições para u e dv, devemos ter em mente que para encontrar v precisamos saber integrar dv. Isso sugere que u = ln(x) e dv = x dx. Então, du = 1 x dx e v = x2 2 + C1. Da fórmula de integração por partes: uv − Z v du, temos: Z x ln(x) dx 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 38. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo Solução: Para determinar quais as substituições para u e dv, devemos ter em mente que para encontrar v precisamos saber integrar dv. Então, du = 1 x dx e v = x2 2 + C1. Da fórmula de integração por partes: uv − Z v du, temos: Z x ln(x) dx = ln(x) x2 2 + C1 − Z x2 2 + C1 dx x 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 39. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo Solução: Para determinar quais as substituições para u e dv, devemos ter em mente que para encontrar v precisamos saber integrar dv. Então, du = 1 x dx e v = x2 2 + C1. Da fórmula de integração por partes: uv − Z v du, temos: Z x ln(x) dx = ln(x) x2 2 + C1 − Z x2 2 + C1 dx x = x2 2 ln(x) + C1 ln(x) − 1 2 Z x2 dx − C1 Z dx x 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 40. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo Solução: Para determinar quais as substituições para u e dv, devemos ter em mente que para encontrar v precisamos saber integrar dv. Então, du = 1 x dx e v = x2 2 + C1. Da fórmula de integração por partes: uv − Z v du, temos: Z x ln(x) dx = ln(x) x2 2 + C1 − Z x2 2 + C1 dx x = x2 2 ln(x) + C1 ln(x) − 1 2 Z x2 dx − C1 Z dx x = x2 2 ln(x) + C1 ln(x) − x3 6 − C1 ln(x) + C2 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 41. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo Solução: Para determinar quais as substituições para u e dv, devemos ter em mente que para encontrar v precisamos saber integrar dv. Então, du = 1 x dx e v = x2 2 + C1. Da fórmula de integração por partes: uv − Z v du, temos: Z x ln(x) dx = ln(x) x2 2 + C1 − Z x2 2 + C1 dx x = x2 2 ln(x) + C1 ln(x) − 1 2 Z x2 dx − C1 Z dx x = x2 2 ln(x) + C1 ln(x) − x3 6 − C1 ln(x) + C2 = x2 2 ln(x) − x3 6 + C2. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 42. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo Neste último exemplo, note que a primeira constante de integração C1 não aparece na resposta final. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 43. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo Neste último exemplo, note que a primeira constante de integração C1 não aparece na resposta final. C1 foi usada somente para mostrar que todas as escolhas de v da forma 1 2 x2 + C1 produzem o mesmo resultado para Z x · ln(x) dx. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 44. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo Neste último exemplo, note que a primeira constante de integração C1 não aparece na resposta final. C1 foi usada somente para mostrar que todas as escolhas de v da forma 1 2 x2 + C1 produzem o mesmo resultado para Z x · ln(x) dx. Essa situação vale, em geral, e provamos isso da seguinte forma: 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 45. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo Neste último exemplo, note que a primeira constante de integração C1 não aparece na resposta final. C1 foi usada somente para mostrar que todas as escolhas de v da forma 1 2 x2 + C1 produzem o mesmo resultado para Z x · ln(x) dx. Essa situação vale, em geral, e provamos isso da seguinte forma: Escrevendo v + C1 na fórmula de integração por partes, temos: 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 46. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo Neste último exemplo, note que a primeira constante de integração C1 não aparece na resposta final. C1 foi usada somente para mostrar que todas as escolhas de v da forma 1 2 x2 + C1 produzem o mesmo resultado para Z x · ln(x) dx. Essa situação vale, em geral, e provamos isso da seguinte forma: Escrevendo v + C1 na fórmula de integração por partes, temos: Z u dv = u(v + C1) − Z (v + C1) du = uv + C1u − Z v du − C1 Z du = uv + C1u − Z v du − C1u = uv − Z v du. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 47. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo Neste último exemplo, note que a primeira constante de integração C1 não aparece na resposta final. C1 foi usada somente para mostrar que todas as escolhas de v da forma 1 2 x2 + C1 produzem o mesmo resultado para Z x · ln(x) dx. Essa situação vale, em geral, e provamos isso da seguinte forma: Escrevendo v + C1 na fórmula de integração por partes, temos: Z u dv = u(v + C1) − Z (v + C1) du = uv + C1u − Z v du − C1 Z du = uv + C1u − Z v du − C1u = uv − Z v du. Assim, é desnecessário escrevermos a constante de integração quando calculamos v a partir de dv. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 48. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo Example 1. Determine Z x3 · ex2 dx. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 49. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 50. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo Solução: Usando integração por partes, com u = x2 e dv = xex2 , temos então que du = 2x dx e v = 1 2 ex2 , em que v foi obtido pelo método de mudança de variável. Da fórmula de integração pr partes, temos Z x3 ex2 dx = x2 1 2 ex2 − Z 1 2 ex2 2x dx = 1 2 x2 ex2 − Z xex2 dx = 1 2 x2 ex2 − 1 2 ex2 + C. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 51. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo Example 1. Determine Z x cos(x) dx. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 52. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 53. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo Solução: Seja u = x e dv = cos(x) dx. Então du = dx e v = sin(x). Pela fórmula (??) Z x cos(x) dx = x sin(x) − Z sin(x) dx = x sin(x) + cos(x) + C. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 54. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo Example 1. Determine Z x2 sin(x) dx. 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 55. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 56. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo Solução: Fazendo u = x2 e dv = sin(x) dx, temos du = 2x dx e v = − cos(x). Portanto, pela fórmula de integração por partes, temos: Z x2 sin(x) dx = −x2 cos(x) − Z − cos(x)2x dx = −x2 cos(x) + Z 2x cos(x) dx. A integral do segundo membro é semelhante à primeira integral, exceto que em vez de sin(x) temos cos(x). Aplicando, novamente, a integração por partes, sendo u = 2x e dv = cos(x), temos du = 2 dx e v = sin(x). Assim, Z x2 sin(x) dx = −x2 cos(x) + 2x sin(x) − Z 2 sin(x) dx = −x2 cos(x) + 2x sin(x) + cos(x) + C = −(x2 + 2) cos(x) + 2x sin(x) + C. 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 57. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo Example 1. Determine Z xex dx. 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 58. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 59. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo Solução: Façamos u = x ⇒ du = dx e dv = ex dx ⇒ v = ex . Logo, Z xex dx = xex − Z ex dx = xex − ex + C = (x − 1)ex + C. 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 60. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo Example 1. Determine Z 2x ln(x) dx. 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 61. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 62. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo Solução: Façamos u = ln(x) ⇒ du = 1 x dx e dv = 2x dx ⇒ v = x2 . Logo, Z 2x ln(x) dx = x2 ln(x) − Z x2 1 x dx = x2 ln(x) − Z x dx = x2 ln(x) − x2 2 + C. 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 63. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo Example 1. Determine Z sec3 (x) dx. 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 64. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 65. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo Solução: Temos que I = Z sec3 (x) dx = Z sec(x) sec2 (x) dx Façamos u = sec(x) ⇒ du = sec(x) tan(x)dx e dv = sec2 (x) dx ⇒ v = tan(x). Logo, I = sec(x) tan(x) − Z tan(x) sec(x) tan(x) dx = sec(x) tan(x) − Z tan2 (x) sec(x) dx 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 66. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exemplo Como tan2(x) = sec2(x) − 1, temos que: I = sec(x) tan(x)− Z (sec2 (x)−1) sec(x) dx = sec(x) tan(x)− Z sec3 (x)dx | {z } I + Z sec(x) dx. Como Z sec(x) dx = ln | sec(x) + tan(x)| + C1, temos 2I = sec(x) tan(x) + ln | sec(x) + tan(x)| + C 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 67. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exercícios Propostos Exercício 1.1. Mostre, pelo método de integração por partes, as seguintes fórmulas: a Z ln(x) dx = x ln(x) − x + C b Z arctan(x) dx = x arctan(x) − 1 2 ln(1 + x2 ) + C c Z eax cos(bx) dx = eax a2 + b2 [b sin(bx) + a cos(bx)] d Z eax sin(bx) dx = eax a2 + b2 [a sin(bx) − b cos(bx)] 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 68. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exercícios Propostos 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 69. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exercícios Propostos 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 70. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exercícios Propostos 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 71. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exercícios Propostos 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 72. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exercícios Propostos Exercício 1.1. Determine: a ∫ x sin(5x) dx; b ∫ xe 4x dx; c ∫ (x + 1) cos(2x) dx; d ∫ e x cos ( x 2 ) dx; e ∫ ln(x) dx; f ∫ ln(1 − x) dx; g ∫ x ln(x) dx; h ∫ ln(ax + b) √ ax + b dx; i ∫ x sec 2 (x) dx; j ∫ x · arctan(x) dx; k ∫ sec 3 (x) dx; l ∫ csc 3 (x) dx; m ∫ √ x ln(x) dx; n ∫ ln(x 2 + 1) dx; o ∫ x 2 ln(x) dx; p ∫ (x − 1) sec 2 (x) dx; q ∫ x(ln(x)) 2 dx; r ∫ e −2x sin(x) dx; s ∫ x 3 e x2 dx; t ∫ x 3 cos(x 2 ) dx; u ∫ e −x cos(2x) dx; v ∫ x 2 sin(x) dx; w ∫ x sec(x) tan(x) dx. 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 73. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Exercícios Propostos 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 74. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Respostas: a − x cos(5x) 5 sin(5x) 25 + C b e4t 4 ( t − 1 4 ) + C c 1 2 sin(2x) (x + 1) + cos(2x) 4 + C d 2 5 sin ( x 2 ) ex 4 5 ex cos ( x 2 ) + C e x(ln(x) − 1) + C f ln(1 − x) · (1 − x) + C g x2 2 ( ln(x) − 1 2 ) + C h 2 √ ax+b a (ln(ax + b) − 2) + C i x tan(x) ln | cos(x)| + C j x2 2 arctan(x) − x 2 arctan(x) 2 + C k 1 2 tan(x) sec(x) + 1 2 ln | sec(x) tan(x)| + C l −1 2 cot(x) csc(x) + 1 2 ln | csc(x) − cot(x)| + C m 2 3 x 3 2 ln |x| − 4 9 x 3 2 + C n x ln(x2 ) − 2x arctan(x) + C o x3 3 ( ln(x) − 1 3 ) + C p (x − 1) tan(x) + ln | cos(x)| + C q x2 2 ( (ln |x|)2 − ln |x| 1 2 ) + C r − e−2x 5 (cos(x) + sin(x)) + C s ex2 2 (x2 − 1) + C t 1 2 (x2 sin(x2 ) cos(x2 )) + C u e−x 5 (2 sin(2x) − cos(2x)) + C v −x2 cos(x) sin(x) cos(x) + C w x sec(x) − ln | sec(x) + tan(x)| + C 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022
  • 75. Métodos de Integração Integração por Partes Exemplos Exercícios Propostos Referências M. B. Gonçalves and D. M. Flemming. Cálculo A. Pearson Education, 5 edition, 2007. H. L. Guidorizzi. Um curso de cálculo, volume 1. Grupo Gen-LTC, 5 edition, 2000. A. Howard. Cálculo, um novo horizonte, volume 1. Bookman, Porto Alegre, 2000. E. L. Lima. Curso de Análise, volume 1. IMPA, Rio de Janeiro, 2000. J. Stewart. Cálculo, volume 1. Cengage Learning, São Paulo, 6 edition, 2009. 12 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 14 de julho de 2022