Modulo 1

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MÓDULO 1

INTRODUÇÃO

1.1 – Considerações Iniciais

Entre as características mais desejáveis de um equipamento, certamente poderiam ser incluí-
das uma vida útil ilimitada e uma operação sem falhas. Contudo, isto dificilmente será atingi-
do um dia, pois limitações de ordem física e econômica impõem restrições à vida útil dos e-
quipamentos, o que indica a possibilidade de ocorrências de falhas nos sistemas.

A operação eficaz de sistemas produtivos de bens e serviços é uma exigência vital em muitos
domínios. Nos setores de geração, transmissão e distribuição de energia elétrica, falhas súbitas
causadas por fatores aleatórios devem ser entendidas e contrabalançadas para se evitarem
maiores danos econômicos e sociais. Nas indústrias, o elevado grau de automação e a com-
plexidade dos processos impõem a necessidade de se conhecer e controlar modos de falha que
possam comprometer a missão produtiva. Estas e outras exigências impulsionaram a criação e
o desenvolvimento da Teoria da Confiabilidade.

A Confiabilidade é o ramo da ciência que procura estabelecer modelos para o comportamento
de qualquer sistema de componentes que, quando avariados, podem impedi-lo de exercer as
funções para as quais foi concebido.

A avaliação de confiabilidade procura responder a questões como:

• Quão confiável ou seguro será um sistema ao longo de sua vida operativa?
• De que forma um sistema pode falhar?
• Quais as conseqüências da falha?

As técnicas utilizadas são essencialmente relacionadas ao comportamento futuro dos sistemas
onde, dependendo da aplicação, os horizontes podem variar de horas a até algumas décadas.

Uma definição largamente aceita para Confiabilidade é a seguinte:

Confiabilidade é a probabilidade de um componente, equipamento ou sistema exercer sua
função sem falhas, num período de tempo previsto, sob condições operativas especificadas.

O desempenho de um sistema de potência é quantificado em função de indicadores como:

• Risco de falha;
• Número esperado de falhas em um determinado período;
• Tempo médio entre falhas;
• Duração média das falhas.

Para tanto, são usados, entre outros, os seguintes parâmetros:

• Configuração do sistema;
• Forma de funcionamento;

Prof. João Guilherme de Carvalho Costa
Instituto de Sistemas Elétricos e Energia – UNIFEI


• Modos de falha;
• Condições operativas;
• Condições ambientais, etc.

As ferramentas utilizadas no tratamento destes parâmetros são a Estatística Matemática e a
Teoria das Probabilidades, sobre a qual é apresentada uma revisão conceitual a seguir.

1.2 – Conceitos Básicos sobre Probabilidades

Experimento Aleatório

Em um experimento aleatório é possível identificar todos os resultados que podem ocorrer,
mas não se pode afirmar antecipadamente qual resultado particular ocorrerá. Exemplos:

• ε1: Lançar uma moeda e observar a face que cai voltada para cima;
• ε2: Contar o número de peças defeituosas produzidas em um lote de 100;
• ε3: Observar o estado operativo de um transformador;
• ε4: Anotar o tempo de vida de uma lâmpada até que esta se queime.

Quando o experimento é repetido poucas vezes, os resultados parecem ocorrer de forma aci-
dental. Porém ao se executar o experimento um grande número de vezes surgirá uma certa
“regularidade”. É esta regularidade que permite a elaboração de modelos para a análise de
experimentos aleatórios. No experimento ε1, por exemplo, a proporção de caras e coroas tende
a se estabilizar em torno de 50% para cada resultado.

Espaço Probabilístico

O espaço probabilístico ou espaço de possibilidades é o conjunto de todos os possíveis resul-
tados de um experimento aleatório. Dos exemplos anteriores:

• S1: {cara, coroa};
• S2: {0, 1, 2, ..., 100};
• S3: {disponível, avariado (em reparo)};
• S4: {t | t ≥ 0}.

Evento

Um evento ou acontecimento é, por definição, qualquer subconjunto de um espaço probabilís-
tico. São exemplos de eventos:

• A face da moeda que cai voltada para cima é coroa: A1 = {coroa};
• O no de peças defeituosas em 100 é menor que 20: A2 = {0, 1, ..., 19};
• O transformador está avariado: A3 = {avariado};
• A lâmpada dura mais que 100 horas: A4 = {t | t > 100}.



Probabilidade

Probabilidade é uma função que faz corresponder a cada evento, um número real “p” entre 0 e
1 que representa a sua chance de ocorrência.

O domínio dessa função é o conjunto de todos os eventos, formado por todos os subconjuntos
do espaço probabilístico, incluindo o conjunto vazio φ e o próprio espaço S. Observe que:

• 0 ≤ P(A) ≤ 1;
• P(φ) = 0 (evento ou acontecimento impossível);
• P(S) = 1 (evento ou acontecimento certo).

Por exemplo, no caso do experimento aleatório ε1, o domínio da função é:

D = {φ, cara, coroa, {cara, coroa}}.

Interpretações de Probabilidade

As interpretações de probabilidade permitem calcular numericamente as probabilidades dos
eventos. Considere o exemplo do lançamento da moeda. Admitindo se tratar de uma moeda
honesta, em que as chances de se obter os resultados “cara” e “coroa” são iguais, tem-se:

• P(φ) = 0;
• P(cara) = 1/2;
• P(coroa) = 1/2;
• P(cara, coroa) = 1.

Neste exemplo foi aplicada a interpretação clássica, ou “a priori”, onde a probabilidade de
ocorrência de um elemento “A” do espaço probabilístico é dada por:

NA
P(A ) = (1)
N

onde NA é o no de resultados favoráveis ao evento A e N é o no total de resultados possíveis.

Essa expressão é válida apenas se os elementos do espaço de possibilidades forem equiprová-
veis, i.e. tiverem a mesma chance de ocorrência. Em caso contrário, deve-se aplicar a interpre-
tação de probabilidade como freqüência relativa ou “a posteriori”, onde a probabilidade de um
evento “A” é calculada por:

nA
P(A) = Lim (2)
n →∞ n

onde nA é o número de ocorrências do evento “A” em “n” realizações do experimento aleató-
rio correspondente. Na maioria dos casos, as probabilidades de sucesso e falha de equipamen-
tos só podem ser obtidas através da observação do comportamento dos componentes ao longo
de sua vida operativa. Considere o histórico de operação de um equipamento:



Estado

Avaria

Funcionamento

Tempo

Pode-se estimar a disponibilidade (probabilidade de funcionamento) e a indisponibilidade
(probabilidade de falha) de um componente em sua região de vida útil por:

tempo total de funcionamento
Disponibilidade = (3)
tempo total de funcionamento + tempo total de avaria

tempo total de avaria
Indisponibilidade = . (4)
tempo total de funcionamento + tempo total de avaria

1.3 – Regras Básicas para o Cálculo de Probabilidades

Eventos Independentes

Dois eventos são independentes quando a ocorrência de um deles não afeta a probabilidade de
ocorrência do outro. Por exemplo, o resultado (cara ou coroa) obtido ao se lançar uma moeda
é independente do número de pintas obtido (1 a 6) ao se jogar um dado.

Eventos Mutuamente Exclusivos

Dois eventos são mutuamente exclusivos se não puderem ocorrer ao mesmo tempo. Por e-
xemplo, é impossível obter 1 e 6 pintas na face de cima no mesmo lançamento de um dado.

Eventos Complementares

Dois eventos são complementares quando a não-ocorrência de um deles implica na ocorrência
do outro. Observe o diagrama de Venn:

S
B A

Tem-se P(A ) + P(B) = 1 , ou ainda P(B) = 1 − P(A ) = P( A ) = “probabilidade de A não ocor-
rer”. Por exemplo, ao se jogar uma moeda, os eventos “cara” e “coroa” são complementares.



Eventos Condicionais

Eventos condicionais são aqueles cuja probabilidade de ocorrência varia com ocorrência de
outro evento (ou eventos). Considere o diagrama:

S
B A

Observe que a probabilidade do evento A muda se for sabido que o evento B ocorreu ou não.
O conhecimento de que o evento B ocorreu provoca uma redução no espaço probabilístico de
S para B. Assim,

P(A ∩ B)
P(A | B) = . (5)
P(B)

Esta é conhecida como “probabilidade condicional do evento A dado que o evento B ocor-
reu”. Analogamente,

P(A ∩ B)
P(B | A) = . (6)
P(A)

Exemplo

Sabe-se que o número de pintas da face de cima no lançamento de um dado é par. Qual a pro-
babilidade deste número ser 6?

Definem-se os eventos:

A = “o número de pintas é 6”;
B = “o número de pintas é par”.

1 2 B
3 4
5 6 A

Assim,

P(A ∩ B) 1 / 6 1
P(A | B) = = = .
P(B) 3/ 6 3



Ocorrência Simultânea de Eventos

A ocorrência simultânea é a ocorrência dos eventos A e B ao mesmo tempo:

S
B A

Há duas situações a considerar:

Eventos Dependentes

Das equações anteriores tem-se:

P(A ∩ B) = P(A | B) × P(B) = P(B | A) × P(A) . (7)

Eventos Independentes

Neste caso, a probabilidade de ocorrência de cada evento não é influenciada pela ocorrência
do outro. Assim,

P(A | B) = P(A) e P(B | A) = P(B) . (8)

Logo,

P(A ∩ B) = P(A) × P(B) . (9)

Exemplo

a) Um engenheiro seleciona aleatoriamente dois componentes A e B. A probabilidade do
componente A estar bom é 0,9 e a probabilidade do componente B estar bom é 0,95. Qual
a probabilidade de ambos os componentes estarem bons?

Considere os eventos:

A = “o componente A está bom”;
B = “o componente B está bom”.

Como os componentes são independentes,

P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = 0,9 × 0,95 = 0,855.

b) Considere um lote de 10 parafusos, dos quais 3 são defeituosos. Se 2 parafusos forem es-
colhidos ao acaso, qual a probabilidade dos 2 serem defeituosos?



Definindo os eventos:

A = “o primeiro parafuso é defeituoso”;
B = “o segundo parafuso é defeituoso”.

Como o evento B depende do evento A,

3 2 6
P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A) = × = .
10 9 90

Ocorrência de Pelo Menos Um entre Dois Eventos

A ocorrência de pelo menos um entre dois eventos é a ocorrência de A ou B (ou ambos), o
que corresponde à área total sombreada no diagrama abaixo:

S
B A

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) . (10)

Caso os eventos sejam mutuamente exclusivos,

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) (11)

o que pode ser verificado no diagrama:

S
B A

Exemplo

No exemplo anterior (a), qual a probabilidade de se ter pelo menos um dos componentes em
condições de funcionamento?

Considere os eventos A e B definidos a seguir:

A = “o componente A está bom”;
B = “o componente B está bom”.

Como os eventos A e B não são mutuamente exclusivos:



P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) .

Além disso, como os eventos A e B são independentes (veja o item “a” do exemplo anterior):

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A) × P(B) = 0,9 + 0,95 − 0,9 × 0,95 = 0,995.

No exemplo anterior (b), calcule a probabilidade de pelo menos um parafuso ser defeituoso.

Considere os seguintes eventos:

A = “o primeiro parafuso é defeituoso”;
B = “o segundo parafuso é defeituoso”.

Como os eventos A e B não são mutuamente exclusivos:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Como os eventos são dependentes:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A) × P(B | A)

3 3 3 2 48
P(A ∪ B) = + − × = .
10 10 10 9 90

Teorema da Probabilidade Total

Considere um evento A que depende de uma série de eventos (condições) Bi mutuamente ex-
clusivos entre si e que formam um espaço de possibilidades:

S
B1 A B2

B4 B3

Note que: A = (A ∩ B1 ) ∪ (A ∩ B 2 ) ∪ (A ∩ B3 ) ∪ (A ∩ B 4 ) .

Como as condições B1, B2, B3 e B4 são mutuamente exclusivas entre si, vem que:

P(A) = P(A ∩ B1 ) + P(A ∩ B 2 ) + P(A ∩ B3 ) + P(A ∩ B 4 ) .

Como o evento A depende de cada condição Bi:

P(A ∩ B1 ) = P(A | B1 ) × P(B1 ) ; P( A ∩ B 2 ) = P( A | B 2 ) × P(B 2 ) ;
P( A ∩ B 3 ) = P( A | B 3 ) × P( B 3 ) ; P( A ∩ B 4 ) = P( A | B 4 ) × P(B 4 ) .



Combinando,

P(A) = P(A | B1 ) × P(B1 ) + P(A | B 2 ) × P(B 2 ) + ... + P(A | B 4 ) × P(B 4 ) .

De uma forma genérica, pode-se escrever:

n
P(A) = ∑ P ( A | Bi ) × P ( B i ) . (12)
i =1

Na aplicação do teorema, as seguintes restrições devem ser observadas;

• As condições Bi devem ser mutuamente exclusivas entre si;
• A união de todos os eventos Bi deve formar um espaço de possibilidades, de modo que a
soma de suas probabilidades deve ser igual a 1.

Exemplo

Um determinado item é produzido em duas fábricas. A Fábrica 1 é responsável por 70% da
produção e a Fábrica 2 produz os 30% restantes. Sabe-se que o percentual de itens defeituosos
é 10% na Fábrica 1 e 20% na Fábrica 2.

a) Qual a probabilidade de um consumidor comprar um item defeituoso?
b) Dado que um item não é defeituoso, qual a probabilidade dele ter sido feito na Fábrica 2?

Considere os eventos abaixo:

A: “o item é defeituoso”;
B1: “o item foi produzido na Fábrica 1”;
B2: “o item foi produzido na Fábrica 2”.

a) Como o evento A depende das condições B1 e B2 (que são mutuamente exclusivas), pode-
se usar o Teorema da Probabilidade Total. Assim:

P(A ) = P(A | B1 ) × P(B1 ) + P(A | B 2 ) × P(B 2 )
P(A) = 0,1× 0,7 + 0,2 × 0,3
P(A) = 0,13 .

Assim, a probabilidade de um consumidor adquirir um item defeituoso vale 0,13.

b) Usando probabilidade condicional:

P(B2 ∩ A ) P( A | B2 ) × P(B2 ) 0,8 × 0,3
P ( B2 | A ) = = = = 0,2759 .
P( A ) P( A ) (1 − 0,13)

Assim, se um item selecionado ao acaso não for defeituoso, a probabilidade dele ter sido
feito na fábrica 2 vale 0,2759. Logo, é mais provável que ele tenha sido feito na fábrica 1.



1.4 – Exercícios Propostos

1) A probabilidade de um homem estar vivo em um período de 10 anos é 0,8 e a probabili-
dade de sua mulher estar viva no mesmo período é 0,9. Qual a probabilidade de:

a) Ambos estarem vivos nos próximos 10 anos;
b) Somente o homem estar vivo;
c) Somente a mulher estar viva;
d) Pelo menos um deles estar vivo.

2) Um operador comanda 3 máquinas. A probabilidade de uma máquina não exigir a atenção
do operador em uma hora é 0,9 para a primeira, 0,8 para a segunda e 0,85 para a terceira.
Calcule a probabilidade de que em uma hora qualquer:

a) Nenhuma máquina exija a atenção do operador;
b) Pelo menos uma maquina não exija a atenção do operador.

3) Quatro estudantes chegaram atrasados para a prova e deram a clássica desculpa do pneu
furado. No exame substitutivo, o professor pergunta na prova qual pneu havia sido furado.
Se, de fato, não houve pneu furado, os alunos responderão à questão na base do “palpite”.
Calcule a probabilidade de que eles escolham o mesmo pneu.

4) Se forem extraídas sem reposição duas cartas de um baralho bem misturado, qual a proba-
bilidade de que a primeira carta seja um 10 e a segunda carta seja de paus?

5) Uma caixa contém 3 bolas brancas e 2 bolas pretas. Se forem extraídas 2 bolas simultane-
amente, qual a probabilidade de:

a) Sair uma de cada cor.
b) As duas serem da mesma cor.

6) Se as bolas do exercício anterior forem retiradas uma a uma sem reposição, qual a proba-
bilidade de:

a) As 3 brancas saírem sucessivamente.
b) As 2 pretas saírem sucessivamente.

7) Um sistema automático de alarme contra incêndio utiliza 3 células sensíveis ao calor que
agem independentemente uma da outra. Cada célula entra em funcionamento com proba-
bilidade 0,8 quando a temperatura atinge 60 oC. Se pelo menos uma das células entrar em
funcionamento, o alarme soa. Calcule a probabilidade do alarme soar quando a temperatu-
ra atingir 60 oC. Qual o risco do alarme não soar nesta condição?

Respostas:

1) a) 0,72; b) 0,08; c) 0,18; d) 0,98 5) a) 0,6; b) 0,4
2) a) 0,612; b) 0,997 6) a) 0,3; b) 0,4
3) 1/64 7) 0,008
4) 1/52


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