Vetores Autoregressivos

VAR/VECM
Quando as séries apresentam movimentos conjuntos, sugerindo uma possível
relação de longo prazo entre elas, uma metodologia que leva em conta esta
relação (chamada de cointegração) entre as séries irá explicar melhor as
distribuições subjacentes.
VAR (vetor autoregressivo) é um modelo muito utilizado (quando trabalhamos
com séries econômicas) para capturar a evolução e as interdependências entre
múltiplas séries temporais, generalizando o conceito dos modelos
autoregressivos univariados para um espaço multivariado.
Um modelo VAR descreve a evolução deste conjunto de, digamos, k variáveis,
sobre o mesmo período de tempo como uma função linear da sua evolução
passada.
Estes procedimentos tratam as variáveis de maneira simétrica - todas
endógenas, ao contrário do que acontece em modelos usuais de regressão,
onde as relações de causalidade são unilaterais “X causa Y ou Y causa X”.
Estes métodos são sistemas de equações simultâneas que procuram captar
esta relação de interdependência entre as variáveis e que permitem avaliar o
impacto de choques aleatórios (exógenos – mudanças súbitas) sobre uma
destas variáveis (usando as funções de impulso resposta e a decomposição da
variância da previsão dos resíduos).
O modelo VAR (Vetores Autoregressivos) não estruturado capta relações de
curto prazo (entre variáveis estacionárias). Se as séries forem cointegradas e
os resíduos estacionários costuma-se usar VECM (Vetor - Modelo de Correção
de Erros) para captar relações de longo prazo. Resumidamente, VECM é um
caso especial do VAR (podemos vê-lo como um VAR restrito), aplicável quando
as variáveis no modelo são I(1), isto é, necessitam ser diferenciadas para
serem estacionárias e são ainda cointegradas (os resíduos da regressão de
uma sobre a outra são estacionários, isto é, I(0)).
A metodologia irá nos ajudar em situações em que as relações de causalidade
entre as variáveis econômicas ocorrem de forma simultânea, havendo um
“fluxo de influência de mão dupla”.
Resumidamente, a metodologia VAR tem como característica marcante
considerar todas as variáveis como endógenas, formando um sistema de
equações estimadas pelo Método dos Mínimos Quadrados Ordinários (MQO).
Cada variável endógena é explicada por seus próprios valores passados
(defasados) e pelos valores defasados de todas as outras variáveis endógenas
do modelo. Tal metodologia é comumente utilizada para a construção de
sistemas de previsão de séries temporais inter-relacionadas, bem como “para a
análise dos impactos dinâmicos dos distúrbios aleatórios sobre o sistema de
variáveis que compõem o modelo”. Queremos saber a trajetória da variável de
interesse ante um choque estrutural exógeno nas outras variáveis.

Assim, técnicas de cointegração são utilizadas em estimativas de regressões
que envolvem séries temporais com o objetivo de preservar as relações
dinâmicas de longo prazo entre as variáveis.
Matematicamente, o modelo VAR(1) (caso bidimensional) pode ser
representado da seguinte forma:
onde y1 e y2 são as variáveis endógenas (PIB e inflação, por exemplo) no
sistema e u1 e u2 são os resíduos de cada equação (os demais termos são
constantes a serem estimadas).
denota a dependência linear de y1t em y2,t-1 na presença de y1,t-1, isto é,
representa o efeito condicional de y2,t-1 sobre r1t dado y1,t-1. Se =0, então y1t
não depende de y2,t-1. Similarmente, se =0, então a segunda equação
mostra que y2,t não depende de y1,t-1 quando y2,t-1 é dado.
Se considerarmos as duas equações conjuntamente, existirá uma relação
unidirecional de y1t para y2,t se =0 e ≠0. Se = =0, dizemos que y1t
e y2,t não são “acopladas” e se ≠0 e ≠0, existe uma relação de
“feedback” entre as duas séries ( veja (1) abaixo).
Com base no modelo VAR(1) acima, podemos notar que há duas fontes de
choques, y1 e y2 (duas variáveis endógenas), e quatro tipos de possíveis efeitos
(as variáveis reagem a choques de umas nas outras):
 Choques de y1 para y1
Usando notação matricial, os quatro casos podem ser resumidos como a
seguir:

A extensão (VAR(p)) pode ser representada (matricialmente) na seguinte
forma:
(o número de lags p é a
ordem do modelo)
onde yt é um vetor de variáveis endógenas, xt é um vetor de variáveis
exógenas, A1,...,Ap e B representam matrizes de coeficientes a serem
estimados e é um vetor de resíduos não correlacionado com seus próprios
valores defasados e com todas as variáveis do lado direito da equação.
Escrevendo de maneira aberta, temos:
onde

Assumindo, por exemplo, que B=0 e p=1, podemos reescrever yt por:
(a demonstração
envolve fazer as passagens recursivamente) e 𝐶 𝑘 =
𝜕𝑦𝑡
𝜕𝜖 𝑡−𝑖
. Das matrizes Ck nós
iremos obter duas quantidades de interesse: a função impulso resposta e a
decomposição da variância da previsão dos resíduos.
As mesmas críticas feitas ao procedimento de Box and Jenkins continuam
válidas, isto é, os modelos VAR são ateóricos, não construídos com base em
teoria econômica (não impondo, portanto, nenhuma estrutura teórica nas
equações). Nós deixamos os “dados falarem”, não nos esquecendo do que foi
comentado anteriormente sobre a decomposição de Wolf.
Apesar disto, os modelos VARs são úteis em muitos contextos:
1. Para previsão de um conjunto de variáveis relacionadas onde não é
necessária nenhuma interpretação econômica explícita;
2. Para testar se uma variável é útil para prever outra (a base dos testes de
causalidade de Granger);
3. Analisar a função de impulso-resposta, onde buscamos avaliar a
(trajetória) a resposta de uma variável a uma mudança inesperada
(porém temporária) em outra variável;
4. Quando queremos analisar a “decomposição da variância da previsão
dos resíduos”, onde a proporção da variância de previsão de uma
variável é atribuída ao efeito de outras variáveis.
Exemplo: Sejam as variáveis despesas e receitas orçamentárias de um
determinado estado cointegradas, isto é, há a existência de relação de longo
prazo entre receitas e despesas orçamentárias deste estado. Contudo, esta
relação pode ser “rompida temporariamente” em caso de choques estruturais,
causando desvios na relação de curto prazo. Para que retornem à trajetória
comum de longo prazo, será o vetor de correção de erros que restabelecerá a
relação de longo prazo entre elas.
Ter um entendimento da relação intertemporal entre receitas e gastos é
importante para correções necessárias de possíveis desequilíbrios fiscais em
um estado. Os estados “arrecadam e gastam” ou “gastam e arrecadam” ou “há

um sincronismo fiscal (receitas e despesas são definidas simultaneamente)” ou
ainda “há uma separação institucional”?
Imagine que temos interesse em analisar a dinâmica da arrecadação total do
de um estado. O ICMS, por exemplo, é composto pelo somatório do ICMS
Espontâneo, do ICMS Ação Fiscal e do ICMS Dívida Ativo. Por sua vez, o
ICMS Espontâneo, além de ser o grande componente do ICMS Total, é o que,
teoricamente, deve responder diretamente às variações da atividade
econômica. Ele pode ser medido em termos primários com aproximações, que
neste caso é o valor original do ICMS Espontâneo subtraído dos ‘créditos a
subtrair’.
A fonte de dados do PIB estadual é oferecida por órgãos estaduais. As fontes
de dados para as receitas, despesas e resultados fiscais dos estados são
obtidas através dos relatórios (resumidos) de órgãos das secretarias das
fazendas (órgãos que façam a execução orçamentária da Controladoria-Geral
do Estado, etc...). As séries poderão ser deflacionadas pelo IPCA (ou outro
índice) para algum ano de interesse.
O vetor de variáveis que possivelmente podem ser utilizados no estudo é
composto por:
- Variação do Produto interno bruto (PIB Real) ou Variação do PIB estadual
(MA): para analisar a atividade econômica do país ou do estado. A série
utilizada poderá ser dessazonalizada;
- Taxa Selic, por ser o instrumento de política monetária à disposição do Banco
Central do Brasil (BACEN);
- Câmbio, medida da competitividade das exportações brasileiras;
- IPCA, Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo (% a.m.) – IBGE:
utilizado para representar a Inflação;
- ICMS;
- Outras: % de crescimento da Produção Industrial, inflação para artigos
administrados.
Passos para a escolha do modelo
Enumeração dos passos usuais utilizados para a escolha dos modelos.
(1) Selecione cuidadosamente as variáveis endógenas. Utilize as variáveis
que medem com mais precisão os fenômenos de interesse. Se
omitirmos variáveis importantes não poderemos interpretar
adequadamente os resultados (como as funções de impulso resposta e
decomposições da variância).

(2) Faça gráficos conjuntos (na mesma escala) para visualizar possíveis
tendências e se elas possuem um padrão similar (checar visualmente
indícios de cointegração);
Exemplo 1:
No gráfico à esquerda podemos ver que as duas séries se movem
conjuntamente. À direita vemos que uma combinação linear entre as
duas séries tem um comportamento estacionário.
Exemplo 2: Neste caso temos um exemplo onde três séries são
cointegradas, como podemos notar olhando a combinação linear do
gráfico à direita.
Exemplo 3: Neste exemplo as séries não são cointegradas, como
podemos reparar ao olhar o painel (c) (os resíduos da regressão não
são estacionários, pois são autocorrelacionados).

(3) Faça testes de raiz unitária (os mais conhecidos são o ADF - Dickey-
Fuller aumentado - o PP (Phillips Perron) e o KPSS (Kwiatkowski,
Phillips, Schmidt & Shin)). Se necessário defasar as séries para que a
estacionariedade seja uma hipótese razoável. Fazemos isto porque
para usar um VAR não restrito as séries precisam ser estacionárias.
Se todas as séries forem inicialmente I(0), deve-se estimar um modelo
VAR sem diferenciar as séries.
Obs: requer algum julgamento sobre a especificação (sem constante, com
constante, tendência determinística e constante, tendência quadrática e
constante, etc...). Costumamos analisar o gráfico das diferenças para ver
possíveis características.
(4) O próximo passo é realizar um teste de cointegração (Engle-Granger,
por exemplo) para determinar se há e quantos são os números de

vetores de cointegração do sistema (caso as séries não sejam I(0)). A
hipótese nula é de que existem vetores cointegrantes. Se aceitarmos a
hipótese, utilizamos o modelo VECM para estimar as relações de longo
prazo entre as variáveis. Caso contrário, um tratamento com o modelo
VAR é suficiente.
Em outras palavras, para fazer o teste precisamos estimar o vetor de
co-integração e testar a estacionariedade dos seus resíduos. Se
rejeitarmos a hipótese de não estacionariedade dos resíduos,
aceitamos que as séries são cointegradas e estimamos um VECM.
Resumidamente, existe evidência de uma relação de cointegração se:
(a) A hipótese de raiz unitária não é rejeitada para as variáveis individuais e;
(b) A hipótese de raiz unitária é rejeitada para os resíduos da regressão
de cointegração.
(5) Estime o número apropriado de lags, isto é, a ordem p “ótima” do
modelo VAR/VECM (usando critérios de informação para a seleção -
AIC, BIC, HQ, etc...) e na sequência estimar o modelo usando mínimos
quadrados (é comum adotarmos um procedimento “top down” a fim de
encontrar um modelo mais parcimonioso – usar critérios de informação
para a seleção do mesmo).
Obs: A escolha é importante para identificar as relações de causalidade
entre as variáveis existentes no VAR, assim como no VEC.
Obs 2: Podemos incluir dummies sazonais no modelo.
(6) Diagnósticos (checar se não há correlação serial nos resíduos – o que
seria um sinal de que o modelo não é adequado). Usualmente, usamos
um teste de Portmanteau. Podemos também checar se há indícios de
outras características, tais como heterocedasticidade condicional
(fazendo um teste ARCH – isto é importante se queremos estimar
intervalos de confiança) e a presença de outliers.
(7) Se o ajuste for adequado, então obtemos previsões e fazemos
inferências acerca das relações dinâmicas entre as variáveis. Usamos a
função de impulso-resposta e a decomposição da variância da previsão
(quanto da variação é devida a variação de cada variável). A ideia
destas últimas medidas é fazer o acompanhamento do impacto de um
choque em uma destas variáveis nela mesma e nas demais que
compõem o sistema (podemos estimar o que acontecerá no próximo
mês, após dois meses e assim por diante).
(8) Causalidade de Granger para testar quais variáveis reagem a choques
de umas nas outras (testar relações de interdependência unidirecionais
e bidirecionais).

Apêndice
 Dickey-Fuller: Seja , t=1,…,T e assuma que =1, isto é,
a série apresenta raiz unitária. Podemos reescrever o processo por
, onde = -1. Dickey e Fuller (1979)
consideraram as seguintes equações para simular as estatísticas
utilizadas no teste:
Sob H0: =0, a primeira formulação desconsidera a existência de um
intercepto e uma tendência t determinística, a segunda considera uma
tendência determinística e um intercepto (Y0) (podemos mostrar isto resolvendo
recursivamente) e a terceira uma tendência quadrática além do intercepto.
Para entender o último caso (por exemplo), reescreveremos recursivamente as
equações. Por exemplo, para o terceiro iremos encontrar:
O teste ADF (Dickey Fuller Aumentado é uma extensão para mais lags).
Usualmente, podemos olhar o gráfico da série temporal para ter uma ideia.
Mais objetivamente, na dúvida devemos estimar todas as possibilidades e
comparar os critérios de informação.
 Modelo de Correção de Erros (ECM) também capta relações de curto
prazo entre as variáveis contidas no modelo. Além disso, ele indica
contém um termo conhecido por “termo de correção” que indica a
velocidade de ajustamento de qualquer desequilíbrio de curto prazo em
direção a um estado de equilíbrio de longo prazo, isto é, faz a ligação
entre os aspectos relacionados à dinâmica de curto prazo aos de longo
prazo (separa a relação de curto e longo prazo entre as variáveis).
Ignorar este canal adicional nos conduzirá a uma inadequada análise
causal (se o sistema for cointegrado, as estimativas de impulso-resposta
que não levem isto em consideração serão inconsistentes e os intervalos
de confiança não terão a cobertura correta para horizontes longos).
Os coeficientes podem ser interpretados como estimativas das relações
de curto prazo (causalidade) e de longo prazo (cointegração).

Exemplo: Se o valor do termo de correção for -0.2, isto significa que a
velocidade de ajustamento para o equilíbrio é de 20% por período (velocidade
até acontecer o ajuste para o longo prazo).
Por outro ângulo, um modelo vetorial de correção de erro (VECM) é um
VAR restrito que tem restrições de cointegração na sua especificação,
de modo que ele é projetado para uso com as séries não estacionárias
que são cointegradas (se os processos são de fato cointegrados, então
a contabilização destas restrições irá aumentar a eficiência dos
estimadores). A especificação VEC restringe o comportamento de longo
prazo das variáveis endógenas para convergir para as suas relações de
cointegração, ao mesmo tempo em que permitem uma ampla gama de
dinâmicas de curto prazo. O termo co-integração é conhecido como o
termo de correção de erro uma vez que o desvio do equilíbrio de longo
prazo é corrigido gradualmente através de uma série de ajustes de curto
prazo parciais. Esta sutileza/flexibilidade de um VEC é a sua principal
vantagem em relação a um VAR cujas séries foram diferenciadas.
 Testes de Portmanteau
A estatística Q(m) De Ljung-Box (univariada) foi generalizada para um caso
multivariado (Hosking (1980), (1981); Li and McLeod (1981)). Para uma série
multivariada, a hipótese nula é e a alternativa
para algum i 𝜖 {1,...,m}.
 Função de Impulso Resposta e Decomposição da Variância
A investigação empírica dos efeitos que uma variável exerce na outra se
baseia na análise de suas séries temporais, especificamente, dentro
deste framework, na análise de funções de impulso resposta e
decomposição da variância fornecidas por um Vetor Auto-Regressivo
(VAR) ou um por VECM.
Utilizando a função impulso-resposta, é possível visualizar a resposta de
uma determinada variável a um choque específico nas inovações
(resíduos) do modelo (aumento de uma unidade), enquanto os demais
choques permanecem constantes. Ademais, é possível observar em
quanto tempo o choque se dissipa para retornar a trajetória estável de
longo prazo (correção de erros). Em outras palavras, as funções
mostram os efeitos de choque sobre a trajetória de ajustamento das
variáveis (como as variáveis endógenas do modelo se comportam
quando há um choque em uma variável endógena específica).
Resumidamente, as funções de impulso-resposta podem ser utilizadas para
avaliar os efeitos de políticas públicas (são ferramentas usadas para analisar
efeitos de mudanças de patamar das variáveis (choques)). Por exemplo, qual o

impacto no produto, na demanda por trabalho, na oferta de trabalho e nos
salários quando o desemprego aumenta 1%? Quanto tempo as variáveis
demoram para se ajustar a uma mudança? Quanto maior for a sensibilidade
entre as variáveis, maior será o repasse. No entanto, o repasse não é
instantâneo porque a transmissão não é completa e demora a se ajustar.
Decomposição da variância da previsão dos resíduos (FEVD) mede a
contribuição de cada tipo de choque para a variância do erro de previsão.
Assim como as funções de impulso-resposta, a FEVD é útil para avaliar como
choques em variáveis econômicas repercutem através de um sistema. Em
outras palavras, a FEVD serve para indicar a responsabilidade de cada uma
das variáveis na explicação da variância de todas as variáveis do sistema, após
um choque, servindo como “classificação” da importância relativa de cada
variável na determinação dela mesma e das demais.
Exemplo: Função Impulso-Resposta.
Seja Yt= ρYt-1 + vt. Suponha Y0=0, então Y1= ρY0 + v1=v
Suponha que nós experimentamos outros choques e que v2= v3=...=0
Então, Y2= ρY1 =ρv, Y3= ρY2 =ρ (ρY1)= ρ2v e assim por diante
O caminho temporal de Y após o choque será v, ρv, ρ2v, ρ3v,... . Os
coeficientes 1, ρ, ρ2, ρ3,..., são chamados de “multiplicadores”. Se, por
exemplo, ρ =0.9 e nós temos um choque v de uma unidade, o caminho
temporal de Y deve ser 1 (choque inicial), .9, .81, .729,...Este caminho temporal
é chamado de Impulso-Resposta.
No exemplo acima, há um decaimento exponencial, pois o processo é um
AR(1) (utilizado apenas porque é simples para visualização do caminho
temporal). Em modelos mais complexos os pontos máximos dos choques não
são comumente no primeiro período após o choque. Por exemplo, na tabela
abaixo notamos que 11.89% do choque na taxa de câmbio é repassado para o
IGP-M no primeiro período (coluna (2)), porém o ponto máximo é de,
aproximadamente, 29.84% no segundo período e, na sequência, o choque
começa a se dissipar. Já o repasse do câmbio para o IPCA (coluna (3)) é
negativo no primeiro período (há uma redução de 4,89% aproximadamente) e é
precedido por dois aumentos positivos (8,09% e 10.68%) quando então
começa a diminuir.
Nota-se também que o IGP-M reage de maneira mais intensa do que o IPCA a
choques cambiais (estes resultados são encontrados na literatura). Sabe-se
que as transmissões das
variações cambiais não são completamente repassadas para índices de
preços, mas que as reações do IGP-M são mais rápidas e mais intensas a
choques na taxa de câmbio do que as do IPCA. A sensibilidade do IPCA é
menor no curto prazo porque o repasse cambial apresenta uma rigidez maior
para bens inclusos neste índice e também porque o ajustamento (repasse) de
preços feito pelas firmas não instantâneo para os consumidores. O IGP-M é

mais sensível, pois o índice dá mais peso do que o IPCA aos efeitos sobre o
produtor e as firmas sofrem mais impacto por causa da demanda de bens
“tradables” para produção.
 Causalidade de Granger
Quando trabalhamos com séries temporais multivariadas, muitas vezes
gostaríamos de saber se as alterações em uma variável terá um impacto sobre
alterações em outras variáveis.
Se duas variáveis são I(1) cointegradas, então no mínimo há causalidade de
uma direção, isto é, pelo menos uma delas ajuda a prever a outra.
Para determinar o posto de cointegração, digamos r, nós fazemos testes
sequenciais (para frente). Primeiramente, nós testamos a hipótese de que r=0
contra r≥1 para determinar se existe pelo menos uma relação de cointegração.
Se aceitarmos a hipótese nula, então nós podemos simplesmente usar um
VAR das séries diferenciadas. Caso contrário, nós fazemos um segundo teste:
H0: r≤1 vs H1: r≥2 e assim por diante até aceitarmos a nula. Neste caso,
estimamos um VEC com o menor posto (número de vetores de cointegração)
cuja nula foi aceita e procedemos para o cálculo das funções de impulso
resposta (IRFs) e decomposição da variância (FEVDs) como faríamos se
estivéssemos usando um modelo VAR.
Resumidamente, as inferências baseadas na função impulso-resposta, na
decomposição da variância e o teste de causalidade de Granger são

particularmente interessantes para entender o mecanismo dinâmico entre as
variáveis do sistema.
Exemplo 1: Estudo de Caso
Esta seção contém um exemplo com quatro variáveis: M3 é a oferta de
moeda, Y é um índice de produção industrial, R é uma taxa de juros
considerada livre de risco (taxa de 3 meses do tesouro americano) e P é
um índice de preços ao consumidor. O modelo monetário é dado por M3
= f(Y,R,P)
Passos usuais utilizado na seleção dos modelos tratados neste resumo:
• Carregar e transformar os dados (até que rejeitemos a hipótese de não
estacionariedade).
• Particionar os dados transformados em amostra de treinamento e teste
para fazer um experimento “backtesting”.
• Procurar os melhores modelos e ajustá-los com base na amostra.
• Fazer previsões com base no modelo final escolhido.
(1) Primeiramente carregamos os dados para o software de nosso
interesse. No exemplo em questão, a frequência dos dados é mensal
(frequência, início e final dos períodos necessitam ser escolhidos).
(2) Se queremos obter a elasticidade da oferta de moeda em relação as
outras variáveis, podemos transformar as variáveis em escala
logarítmica (serve também para diminuir a volatilidade das variáveis, já
que é uma transformação côncava).
(3) Teste se as séries possuem raiz unitária (usando o teste ADF – o lag
ótimo costuma ser automaticamente selecionado nos softwares

utilizando algum critério existente na literatura). É necessário decidir a
especificação (com constante, com constante e tendência, etc...).
Caso a hipótese nula seja aceita, fazemos os testes na primeira
diferença e assim por diante.
Obs: Podemos fazer outros testes de raiz unitária (Phillips-Perron (PP),
por exemplo.
(4) Fazer um teste de cointegração das séries (Engle-Granger ou
Johansen). É necessário definir o lag ótimo (os softwares selecionam
automaticamente ao mesmo estilo do que comentamos em (3)).
(5) Assumindo que aceitamos a hipótese nula do teste o próximo passo
será estimar um modelo VEC. Caso contrário, um tratamento
adequado seria dado por um modelo VAR.
(6) Após estimar o modelo fazemos testes de Diagnósticos.
(7) Fazemos agora um teste de causalidade (Granger).
Obs: O software utilizado neste exemplo foi o EViews (Econometric
Views).
(8) Se o ajuste for adequado, então obtemos previsões e fazemos
inferências acerca das relações dinâmicas entre as variáveis.
Exemplo:
O modelo encontrado (estimado) é:

onde LM3 representa o logaritmo da oferta de moeda (L representa o
logaritmo). No exemplo acima, os coeficientes, com base nesta amostra,
são significativamente diferentes de zero.

Os canais de transmissão, com base no modelo estimado e nesta
amostra, podem ser resumidos como abaixo:
(9) Os resultados indicam as direções de exogeneidade ou
endogeneidade dentro do sistema VECM durante o período
amostrado (dentro da amostra), mas não nos fornecem as
propriedades dinâmicas do sistema. A análise da dinâmica das
interações entre as variáveis fora da amostra é realizada por meio
das funções impulso resposta (IRFs) e das decomposições das
variâncias. Seguem algumas tabelas contendo os resultados e
gráficos:
Decomposição da Variância para um período de até 10 meses.

Repare que a soma em cada linha (para cada período) é de 100. Cada
componente mostra qual a proporção da variância de previsão de uma variável
que é atribuída ao efeito das outras variáveis em todos os mesmos períodos.
Por exemplo, o efeito de variações do log-produto (LY) tem um peso maior nas
variações do log da oferta monetária ao longo do tempo como podemos ver na
tabela da decomposição da variância de LM3.
Por fim, calculamos as funções de impulso resposta e fazemos múltiplos
gráficos para representar as relações envolvidas no sistema. A linha em azul
mostra a trajetória das variáveis endógenas quando ocorre um choque nas
outras endógenas e as linhas em vermelho representam ± 2* desvios-padrão
destes estimadores (aproximadamente um intervalo de confiança de 95%).

Exemplo 2: No exemplo anterior mostramos a utilização de um modelo VECM.
Para finalizar este resumo vamos mostrar um exemplo onde um VAR é um
tratamento adequado.
Enders, Sandler, e Gaibulloev (2010) analisaram séries de terrorismo
doméstico (eventos específicos de cada país) e terrorismo transnacional. Os
dados foram obtidos da “Homeland Security’s Global Terrorism Database
(GTD)” e estão na figura a seguir:

A presunção usual é que o terrorismo transnacional responde a eventos no
cenário internacional, enquanto o terrorismo doméstico responde a eventos
específicos de cada país. Em certo sentido, tal pensamento implica em um
conjunto fraco de interações entre os dois tipos de terrorismo desde os eventos
que ocorrem dentro dos países são provavelmente idiossincráticos. No entanto,
se você examinar a figura anterior, poderá notar que há, aparentemente, algum
padrão conjunto. Para explicar os possíveis movimentos conjuntos, foi feita a
hipótese de que um incidente doméstico planejado poderia causar danos
colaterais aos estrangeiros. É também provável que grupos terroristas
aprendam uns com os outros e que um incidente doméstico bem sucedido
possa ter um efeito em eventos transnacionais e vice-versa. Outra explicação é
que certos eventos políticos, como o conflito árabe-israelense, gerem agravos
que dão origem a incidentes tanto domésticos quanto transnacionais.
Para examinar a força de quaisquer potenciais relações entre as séries
doméstica e transnacional, foi estimado o seguinte modelo VAR
onde domt representa o número de incidentes terroristas domésticos no
trimestre t; transt representa o número de incidentes terroristas transnacionais
no trimestre t;
a10 e a20 são interceptos, Aij(L) são polinômios e e1t e e2t são erros serialmente
não correlacionados, mas E(e1te2t) não é necessariamente zero.
Dado que estamos especialmente preocupados com a causalidade de Granger,
nós precisamos testar a hipótese de que as variáveis não são estacionárias.

Para este fim, foi realizado o teste de raiz unitária de Dickey-Fuller para ambas
as séries. Os resultados, após usar o método geral para o específico para
determinar o número apropriado de defasagens (encontramos dois para a série
doméstica e um para a série transnacional), são os seguintes:
Com base na amostra e no teste DF nós rejeitamos a hipótese nula de que há
uma raiz unitária ao nível de 10%, mas não rejeitamos ao nível de 5%. No
entanto, um teste mais poderoso tipo o teste de Phillips-Perron (PP) rejeita a
hipótese nula a 5% (o teste KPSS cuja hipótese nula é que não há raiz unitária
também é aceito) . Logo, na sequência iremos proceder como se as variáveis
sejam estacionárias (excluindo, portanto, o uso dos modelos VECM).
Os polinómios A12(L) e A21(L) são de particular interesse. Por exemplo, se
todos os coeficientes de A12(L) são iguais a zero, então o conhecimento da
série transnacional não reduz a variância do erro de previsão de incidentes
domésticos. Em outras palavras, diríamos que o terrorismo transnacional não
causa Granger o terrorismo doméstico. A menos que haja uma resposta
contemporânea de incidentes domésticos para o terrorismo transnacional, a
série doméstica iria evoluir de forma independente da transnacional. Da mesma
forma, se todos os coeficientes de A21(L) são iguais a zero, então o terrorismo
doméstico não causa Granger o terrorismo transnacional.
A ausência de uma correlação contemporânea significativa dos termos
residuais
Implicaria, com base nesta amostra, que o terrorismo doméstico não afeta o
terrorismo transnacional. Entretanto, se qualquer um dos coeficientes nestes
polinômios difere de zero, concluímos que há interações entre as duas séries.
O passo seguinte é determinar o número apropriado de lags para usar o VAR.
Neste exercício, se começarmos com um lag de quatro, encontraremos
(usando o método de geral para o específico – procedimento para trás,
backward) três usando o AIC para o modelo multivariado. Como cada equação
tem as mesmas variáveis no lado direito da equação, Mínimos Quadrados
Ordinários (MQO) é uma técnica de estimação eficiente.
Uma vez que o VAR foi estimado, podemos proceder diretamente para testar a
causalidade entre as variáveis. Considere os seguintes F-testes (com níveis de
significância entre parênteses)
Todos os coeficientes de A11(L) = 0: 38,49 (0,000)

Todos os coeficientes de A12(L): 0 = 1,86 (0,159)
Todos os coeficientes de A21(L): 0 = 3,36 (0,015)
Todos os coeficientes de A22(L) = 0: 25,64 (0,000)
As estatísticas F para A11(L) e A22(L) são, como esperado, altamente
significativas, indicando que cada variável é útil para prever os seus próprios
valores futuros. A estatística F para a hipótese nula de que o terrorismo
transnacional causa Granger o terrorismo doméstico é 1,86. Dado o p-valor de
0,159, não há evidências suficientes para refutar a não causalidade. O
resultado importante no estudo é que o terrorismo doméstico causa Granger o
terrorismo transnacional (p-valor = 0,015). Isto é, com base nas séries
temporais, há evidências razoáveis para considerar que as duas séries não
possuem trajetórias independentes. A explicação para esta causalidade
univariada é que os conflitos começam localmente, mas, ao longo do tempo,
podem se espalhar para incidentes transnacionais.
Com base nos achados do parágrafo anterior, o próximo passo (assumindo que
testes de diagnóstico foram efetuados) é verificar a importância das interações
entre as duas séries. Para tanto vamos obter as decomposições da variância e
as funções de impulso-resposta.
A tabela a seguir apresenta o percentual da variância do erro de previsão
explicada por cada choque para 1-, 4-, 8-, e 12 meses de horizontes de
previsão:
Como seria de esperar, cada uma das séries explica predominantemente os
seus próprios valores passados e isto tem um peso maior quanto mais curto é
o horizonte de previsão. Por exemplo, para uma previsão de quatro passos à
frente no horizonte, o terrorismo doméstico explica 97,9% da sua variância do
erro de previsão, enquanto o terrorismo transnacional explica 88,4% da sua
variância do erro de previsão. Quando o horizonte de previsão se expande, o
efeito de choques transnacionais na variância de domt permanece pequeno.
No entanto, depois de 12 trimestres, domt explica 33,6% da variância do erro
de previsão do terrorismo transnacional. Não somente a causalidade parece ter
efeitos unidirecionais (i.e, terrorismo doméstico causa Granger o terrorismo
transnacional), mas também o efeito do terrorismo doméstico sobre o
terrorismo transnacional parece ser substancial.

A figura a seguir mostra as funções impulso-resposta dos quatro possíveis
choques:
A resposta ao terrorismo doméstico para um choque no seu próprio desvio-
padrão (igual a 48.15 incidentes por trimestre) é mostrada no painel superior à
esquerda. Note que a resposta é persistente e continua a ser estatisticamente
significativa por 11 trimestres. O painel superior direito mostra que a resposta
do terrorismo doméstico a um choque transnacional nunca é significativa. O
efeito de um choque interno sobre o terrorismo transnacional é mostrado no
painel esquerdo inferior. Note que no início o nível de terrorismo transnacional
salta por cerca de dois incidentes por trimestre e continua a ser significativo
durante 17 trimestres. A soma acumulada de todos os incidentes
transnacionais em resposta a um choque de terrorismo interno (isto é, a soma
das respostas ao impulso) é de 34,29 incidentes. A resposta do terrorismo
transnacional para um choque no seu próprio desvio padrão é mostrado no
painel inferior direito da figura anterior. Em comparação com o terrorismo
doméstico, as respostas não são tão persistentes. Depois de um salto inicial,
há um declínio acentuado nas respostas ao impulso de maneira que eles se
tornam insignificantes (estatisticamente iguais à zero) após sete trimestres.

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