O documento discute teorias de escoamento plástico e critérios de resistência. Apresenta o critério de Von Mises, que propõe que o escoamento ocorre quando a energia de distorção atinge um valor crítico, e o critério de Tresca, que propõe que o escoamento ocorre quando a tensão de cisalhamento máxima atinge o valor da tensão de cisalhamento no escoamento sob tração uniaxial. Explica como esses critérios podem ser expressos matematicamente e comparados.
3. 3
- CRITÉRIOS DE ESCOAMENTO
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
A dedução de relações matemáticas capazes de predizer
as condições em que se inicia o escoamento, quando um
material é submetido a uma combinação de tensões
qualquer, é um importante problema no campo da
plasticidade.
Sob condições de carregamento uniaxial, como no ensaio
de tração, o escoamento plástico microscópico começa
quando é atingida a tensão de escoamento σ0.
Ë de se esperar que o escoamento em casos de atuação
de tensões combinadas possa ser relacionado a uma dada
combinação particular das tensões principais.
4. 4
Teorias de Escoamento: Compara-se um dado de
tração com um valor obtido por uma expressão envolvendo
as tensões de um estado complexo.
Em termos de tensões calcula-se e este valor é
comparado com 0 , para definir o escoamento.
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
As teorias de escoamento fornecem informações como:
: denominada tensão efetiva, tensão representativa, “
flow stress”, tensão verdadeira, etc. É uma propriedade
invariante do material, ou seja, independe do estado de
tensão que age sobre o material.
),,( 321 f
5. 5
Os critérios de escoamento são relações, essencialmente
empíricas, contudo um critério de escoamento deve ser
consistente com certas observações experimentais.
Dentre estas, a mais importante é o fato de não haver
escoamento num sólido contínuo quando submetido simplesmente
à pressão hidrostática (por volta de 258 kg/mm2 ).
Além disso, para um material isotrópico, o critério de
escoamento deve independer da escolha dos eixos, isto é, deve
ser uma função invariante.
Daí o critério de escoamento deve ser uma função dos
invariantes do tensor desviante.
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
6. 6
- CRITÉRIO DE VON MISES (CRITÉRIO DA
ENERGIA DE DISTORÇÃO MÁXIMA)
Von Mises (1913) propôs que o
escoamento se daria quando o segundo
invariante da tensão desvio, I2’, excedesse
um determinado valor crítico ou, a energia de
distorção elástica atingisse um determinado
valor crítico.
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
7. 7
2
2
'
KI
2
31
2
32
2
212
6
1
' I
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
onde:
Para avaliação da constante K, relaciona-se a mesma
ao escoamento num ensaio de tração simples, onde tem-
se:
0; 3201
KK .36 0
2
0
2
0
2
O segundo invariante da tensão desvio, I2’, excedesse
um determinado valor crítico ou, a energia de distorção
8. 8
2
1
2
31
2
32
2
210
2
1
2
1
222222
0 (6
2
1
xzyzxyzxzyyx
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
Assim, manipulando as equações anteriores, obtêm-se
a forma usual do critério de Von Mises:
Ou, em termos de componentes de um estado geral de
tensões:
9. 9
0; 231
1
2
1
2
1
2
1
2
46 KK
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
Considerando o estado de tensão de cisalhamento
puro, como produzido num ensaio de torção, tem-se:
Logo, no escoamento, segundo o critério de Von
Mises:
Assim, K representa o limite de escoamento para o
cisalhamento puro (torção). Daí, o critério de Von Mises
prediz que o limite de escoamento em torção será menor
que em tração uniaxial, porque:
0
0
577,0
3
K
10. 10
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
Outros pesquisadores se preocuparam em dar um significado
físico para equação de Von Mises.
Hencky (1924) mostrou que aplicar a equação de Von Mises
seria equivalente a admitir que o escoamento ocorre quando a
energia de distorção atinge um valor crítico.
A energia elástica de deformação U é a energia gasta para
deformar um corpo elástico sob ação de forças externas.
ÁREA SOB A CURVA CARGA-DEFORMAÇÃO
A energia total de deformação pode ser separada em um
termo dependente da variação de volume e outro dependente da
distorção em função das tensões principais.
313221
2
3
2
2
2
10 2
2
1
E
U
PU
2
1
11. 11
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
EM TERMOS DOS INVARIANTES DO TENSOR DE TENSÕES
SABE-SE QUE
GK
GK
E
3
9
12
2
1
2
2
1 IIE
U
GK
GK
26
23
III
GK
U 2
2
1
2
1
0 3
6
1
18
E - MÓDULO DE ELASTICIDADE
- POISSOM
G - MÓDULO DE RIGIDEZ
K - MÓDULO DE ELASTICIDADE
VOLUMÉTRICA
12. 12
0, 3201 2
00 2
12
1
G
U dist
0, 3201
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
2
31
2
32
2
210
12
1
GDU
Considerando apenas a parcela de distorção:
2
1
2
31
2
32
2
210
2
1
Para um estado uniaxial de tensão
2
00 2
12
1
G
U Dt
σ1 = σ0 , σ2 = σ3 = 0
13. 13
É importante notar que o escoamento segundo o
critério de Von Mises não depende de uma tensão
normal ou cisalhante particular, mas sim, de uma
função dos valores quadráticos das três tensões
cisalhantes principais.
Uma vez que o critério de escoamento é baseado
em diferenças das tensões normais, ele independe
do componente das tensões hidrostáticas.
Visto que envolve somente termos quadráticos, o
critério de Von Mises apresenta um resultado que
independe dos sinais de cada tensão.
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
14. 14
- CRITÉRIO DE TRESCA (TEORIA DO
CISALHAMENTO MÁXIMO)
Tresca propôs que o escoamento sob
tensão combinada ocorreria quando a tensão
de cisalhamento máxima atingisse o valor da
tensão de cisalhamento no escoamento sob
tração uniaxial.
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
15. 15
2
31
máx
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
A tensão de cisalhamento máxima é dada por:
onde 1 e 3 são respectivamente as tensões
principais algebricamente maior e menor.
16. 16
22
0
0
31
máx
0; 3201
01031 ;
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
Para tração uniaxial:
a tensão de cisalhamento no escoamento é:
2
0
0
Assim, Tresca pode ser escrito como:
Na equação de Tresca
17. 17
2
2 0
031
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
Para um estado de cisalhamento puro:
Assim, Tresca pode ser escrito como:
2'' 3131
0
;
2
31
18. 18
Nota-se, matematicamente, que este critério é
menos complicado do que o critério de Von Mises, e
por esta razão é bastante usado em projetos de
engenharia.
Contudo, o mesmo não leva em consideração a
tensão principal intermediária, logo, sua maior
dificuldade está na necessidade de saber, a priori,
quais são as tensões principais máximas e mínimas.
Além disso, o fundamento matemático desse
critério é muito mais complicado. Razão pela qual é
mais preterido na maioria dos trabalhos teóricos.
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
20. 20
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
Para o estado de cisalhamento puro:
2
1
22
1
222
0 6
2
1
4
2
1
0; 231
30
3
0
Logo, o critério de Von Mises prevê que
o limite de escoamento em torção será
menor que em tração uniaxial.
21. 21
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
compressão
uniaxial = 0x =
Tresca
Von Mises
0
cisalhamento
puro
x = 1
0
0
2
tração uniaxial
1
= -1
1
x =
0
2
2
tração biaxial
balanceada
2
= 1
1
2
Superpondo Tresca e Von Mises.
23. 23
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
Expansão da superfície de escoamento:
O encruamento caracteriza varias curvas,
tanto para o critério de Tresca, como para o
critério de Von Mises (expansão isotrópica).
24. 24
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
Expansão da superfície
de escoamento(condição
instantânea).
Curva tensão-deformação efetiva.
Curva de escoamento. Carregamento
e descarregamento.
pouco +
encruada
1
2
+ encruada
ainda
deformação
residual
25. 25
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
Avaliação da deformação efetiva:
A deformação efetiva pode ser medida de
três modos:
I – Supõe-se que a deformação efetiva é
numericamente igual a maior deformação
envolvida num processo
321 p 1
*
deformação efetiva
26. 26
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
II – 2
1
2
31
2
32
2
21 )()()(
3
2
Foi proposta por Dorn, e está associada
com a deformação octaedral.
Quando , o material escoa.0
III – A máxima deformação de cisalhamento
em tração é igual a máxima deformação num
estado complexo de deformação.
27. 27
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
Da tração simples, vem:
22
, 0
3
0
201
e
2
2
3
2
2
2
0
0
0
31
máx
Em um estado tridimensional de
deformação, :321
28. 28
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
2
31
máx
Logo:
)(
3
2
2
3
310310
“ As expressões para a deformação efetiva
procuram expressa-la de modo a fornecer um
encruamento que seja equivalente ao encruamento
observado sob estado complexo de deformação”.
29. 29
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
A curva , é conhecida como curva tensão-
deformação universal do material. É independente do
estado de tensão (propriedade).
Curva tensão-deformação universal de um material.
x
30. 30
Exercício 7.1:
Um vaso de pressão cilíndrica de extremidade fechadas
é sujeita a pressão interna. O vaso é fabricado de um aço
cuja tensão de escoamento é 42000psi e suas dimensões
são D = 10ft e t = 3in. Desprezando as tensões locais nas
extremidades do vaso, determinar a pressão necessária
para produzir o escoamento segundo o critério de Tresca e
von Mises. Considerar de modo análogo o caso do
escoamento para esse mesmo aço usando o critério de Hill,
supondo que o coeficiente de anisotropia plástica normal
seja R = 1,4.
34. 34
Exercício 7.2:
Uma barra de 2’’ de diâmetro foi tracionada até 10000
psi, sabendo-se que a tensão de escoamento do material é
de 20000 psi. Calcular qual o torque que pode ser aplicado
para ocasionar o início do escoamento da barra.
37. 37
- Relações Plásticas Tensão Deformação
Quando se trata de deformações elásticas
(Hooke) as deformações independem da
trajetória (história) do carregamento.
Com relação à região plástica, as
deformações são dependentes da história do
carregamento.
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
38. 38
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
Para o caso particular de carregamento, no qual
todas as tensões aumentam na mesma razão,
carregamento radial ou proporcional, isto é:
3
3
2
2
1
1
ddd
as deformações plásticas são independentes da história
do carregamento, ou seja, dependem apenas do estado
de tensão final.
39. 39
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
(vasos de pressão)
1
2
2
1
x =
x = cte
= 2
1
0
0
0
0
Trajetória de carregamento encontrada em
vasos de pressão, usando-se o critério de
de escoamento de Tresca.
40. 40
As expressões da deformação efetiva não
podem ser aplicadas diretamente.
- TEORIA DA DEFORMAÇÃO INCREMENTAL
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
Explicação:
- Supondo que tenhamos uma barra com 10’’
x ½ ’’ .
I – Aplica-se uma compressão de modo a
reduzir o comprimento até 9’’.
41. 41
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
II – Traciona-se a barra até 10’’.
III – Pela teoria da deformação total,
vem:
0
0
1
1
0
l
l
l
l
total
l
dl
l
dl
IV – Contudo, como na prática houve
encruamento, em termos de incrementos,
tem-se:
42. 42
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
10
9
ln2ln2
0
10
1
1
0
l
l
l
dl
l
dl l
l
l
l
total
As teorias de escoamento ou incrementais são
aquelas que relacionam as tensões aos incrementos de
deformação plástica.
As teorias da deformação total são aquelas que
relacionam as tensões à deformação plástica total
(independe da história do processo).
Conclusão:
43. 43
310
*
2
1
2
31
2
32
2
21
3
2
3
2
dddc
ddb
ddddddda
p
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
As expressões das deformações efetivas incrementais
podem ser escritas como:
44. 44
- Equações de Levy-Mises (sólido plástico ideal)
Levy (1871) e, posteriormente Von Mises (1913)
propuseram que os incrementos de deformação
plástica são proporcionais as tensões desviantes e as
tensões de cisalhamento, como:
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
d
dddddd
xz
xz
yz
yz
xy
xy
z
z
y
y
x
x
'''
45. 45
Onde d é uma constante positiva que pode
variar durante a trajetória de carregamento.
As deformações elásticas são desprezadas.
A equação proposta por Levy-Mises em função
das tensões principais, é dada como:
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
m
m
m
dd
dd
dd
33
22
11
47. 47
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
A equação acima mostra que o círculo de Mohr de
deformação é similar ao círculo de Mohr de tensão.
d
dddddd
31
31
32
32
21
21
Na realidade esse fato se baseia na hipótese
que as direções principais das tensões e deformações
são coincidentes.
48. 48
Uma vez que as deformações elásticas são
desprezadas as equações de Levy-Mises se
aplicam aos sólidos rígidos idealmente plástico,
no qual a deformação elástica é pequena quando
comparada com a deformação plástica.
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
52. 52
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
Substituindo d1 , d2 e d3 da equação de Levy-
Mises, na equação da deformação efetiva, vem:
2
1
2
22
3
1
3
2
3
1
3
1
3
1
3
2
3
2
dd
dddd
d
d
d
2
3
d = módulo de plasticidade
53. 53
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
O significado de d e para: (a) deformação incremental e
(b) deformação proporcional.
(a)
deformação
adicional
carregamentoanterior
d do
C C'
(b)
= cotg C
d
d
carregamento adicional
responsável por d
= cotg C'
54. 54
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
Assim as expressões de Levy-Mises podem ser
escritas por:
yxzz
zxyy
zyxx
d
d
d
d
d
d
2
1
2
1
2
1
xzxz
yzyz
xyxy
d
d
d
d
d
d
3
3
3
55. 55
- Comparação das equações da Lei de Hooke e
Levy-Mises
Hooke:
E, é uma propriedade do material (é uma
quantidade tensorial);
, é o coeficiente de Poisson e varia de material
para material;
as tensões elásticas são proporcionais as
deformações elásticas.
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
56. 56
Levy-Mises:
d, não é uma propriedade do material e depende
do estado de tensão ou deformação (é uma
quantidade escalar);
o equivalente ao coeficiente de Poisson, vale ½, e
independe do material;
as tensões plásticas são proporcionais aos
incrementos das deformações plásticas, e dependem
da trajetória de carga.
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
57. 57
- Equações de Prandtl-Reuss (sólido elásto-
plástico)
O incremento de deformação total é a soma de
um incremento de deformação elástica e um
incremento de deformação plástica.
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
ijijij dded
Elástica (Hooke)
Plástica (Levy-Mises)
zyxzyxtotal
d
2
1
58. 58
- EQUAÇÕES DA PLASTICIDADE EM TRAÇÃO
SIMPLES
Para a condição na qual todos os componentes de
tensão são zeros, exceto x , da primeira equação
de Levy-Mises, tem-se:
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
xx
d
d
, ou integrando, vem:
1
xx
59. 59
De onde conclui-se que em tração simples há
somente uma única correspondência entre as
razões das deformações plásticas e as razões
das tensões. A curva tensão-deformação
verdadeira em tração simples portanto, é
também uma curva tensão-deformação efetiva.
60. 60
- TRABALHO DE DEFORMAÇÃO OU ENERGIA
ESPECÍFICA
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
O trabalho plástico incremental de deformação ou
energia da deformação plástica incremental por unidade
de volume é dado por:
ijij ddW .
mas, e
ij
p
ijij ddd
Em conformação,
Logo:
e
ijij
p
ijij dddW ..
p
ijij
pp
ijij ddWouddW ..
61. 61
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
xzxzyzyzxyxyzzyyxx
p
dddddddW
ddW p
.
0
.dW p
dddW xx
p
O trabalho plástico incremental em tração simples é:
(lb.in/in3)
(kg.m/m3)
62. 62
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
2
1
2
1
ddW xx
p
Conseqüentemente, o trabalho de deformação total por
unidade de volume entre o estado 1 e 2 pode ser obtido
como:
(lb.in/in3)
O trabalho plástico é também chamado de energia
específica.
(kg.m/m3)
63. 63
- DETERMINAÇÃO DAS DEFORMAÇÕES UNIFORMES
FINITAS
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
Se as deformações finitas são uniformes e as
direções das deformações principais coincidem
com as direções das coordenadas da peça, as
deformações finitas podem ser obtidas das
deformações iniciais e finais da peça.
64. 64
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
a- Deformação de um cubo:
antes
y
x0
0 z
depois
0z
deformação
x
y
x
dx
x
dx
d xx ln
x
exx
0 y
eyy
0 z
ezz
0
65. 65
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
b- Deformação de uma barra sólida:
0
ln
r
r
r
deformação
antes depois
z
z0
r0
0
r
mas:
p = 2r
p0 = 2r0
0
ln
z
z
z
0
ln
p
p
0
ln
r
r
deformação axissimétrica
(r = )
66. 66
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
antes depois
deformação
0z
0r
z
t0
r
t
c- Deformação de um tubo:
0
ln
t
t
r
0
ln
r
r
0
ln
z
z
z
67. 67
- PARTICULARIDADE DE LEVY-MISES
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
a- Estado de deformação plana:
z
y
x
zxy
zxyy
d
d
2
1
2
1
0
obs: “Um estado plano de deformação produz um estado
tridimensional de tensões”.
68. 68
TEORIAS DE ESCOAMENTO PLÁSTICO
b- Estado de deformação axissimétrica:
r
rr
zrzr
zrzrr
d
d
d
d
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1