O documento apresenta um exemplo de cálculo da área de uma região poligonal em três etapas: (1) define a fórmula para calcular a área de um polígono a partir das coordenadas de seus vértices, (2) aplica a fórmula a um quadrilátero de exemplo, (3) calcula a área aproximada do município de Campinas usando a mesma fórmula.
O triângulo ABD é retângulo, logo AF é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem 25 e 7. Pelo teorema de Pitágoras, AF2 = 252 + 72, ou seja, AF = 28.
As três frases essenciais do documento são:
1) O documento apresenta conceitos básicos de geometria analítica, incluindo o estudo de pontos, retas e suas equações.
2) É mostrado como calcular as coordenadas do baricentro de um triângulo e a área de figuras planas como triângulos e quadriláteros.
3) São apresentados e explicados métodos para se obter a equação de uma reta a partir de diferentes informações, como dois pontos ou a inclinação.
O documento discute conceitos fundamentais de geometria analítica, incluindo: (1) cálculo da equação geral de uma reta a partir de dois pontos; (2) cálculo do coeficiente angular de uma reta; (3) equação fundamental e reduzida de uma reta; e (4) equação segmentária de uma reta e como determinar pontos de interseção com os eixos.
O documento discute conceitos fundamentais de geometria analítica, incluindo: (1) cálculo da equação geral de uma reta a partir de dois pontos; (2) cálculo do coeficiente angular de uma reta; (3) equação fundamental e reduzida de uma reta; (4) equação segmentária de uma reta. Exemplos ilustram como aplicar essas fórmulas e conceitos para representar retas geometricamente.
Este documento contém 13 questões de múltipla escolha sobre assuntos diversos de matemática, como funções, matrizes, probabilidade e geometria. As questões abordam tópicos como gráficos de funções, sistemas lineares, raízes de equações quadráticas e propriedades geométricas de figuras planas. O documento também fornece o gabarito com as respostas corretas para cada uma das questões.
Este documento apresenta um resumo de conteúdos de matemática, incluindo conjuntos numéricos, operações com números, razões, proporções, porcentagens, equações, funções, geometria e estatística.
O documento discute conceitos matemáticos aplicados à geomensura, incluindo:
1) Sistema angular internacional e conversões entre graus, radianos e sexagesimal
2) Trigonometria plana e relações trigonométricas em triângulos retângulos
3) Geometria analítica com distâncias entre pontos no plano cartesiano
O triângulo ABD é retângulo, logo AF é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem 25 e 7. Pelo teorema de Pitágoras, AF2 = 252 + 72, ou seja, AF = 28.
As três frases essenciais do documento são:
1) O documento apresenta conceitos básicos de geometria analítica, incluindo o estudo de pontos, retas e suas equações.
2) É mostrado como calcular as coordenadas do baricentro de um triângulo e a área de figuras planas como triângulos e quadriláteros.
3) São apresentados e explicados métodos para se obter a equação de uma reta a partir de diferentes informações, como dois pontos ou a inclinação.
O documento discute conceitos fundamentais de geometria analítica, incluindo: (1) cálculo da equação geral de uma reta a partir de dois pontos; (2) cálculo do coeficiente angular de uma reta; (3) equação fundamental e reduzida de uma reta; e (4) equação segmentária de uma reta e como determinar pontos de interseção com os eixos.
O documento discute conceitos fundamentais de geometria analítica, incluindo: (1) cálculo da equação geral de uma reta a partir de dois pontos; (2) cálculo do coeficiente angular de uma reta; (3) equação fundamental e reduzida de uma reta; (4) equação segmentária de uma reta. Exemplos ilustram como aplicar essas fórmulas e conceitos para representar retas geometricamente.
Este documento contém 13 questões de múltipla escolha sobre assuntos diversos de matemática, como funções, matrizes, probabilidade e geometria. As questões abordam tópicos como gráficos de funções, sistemas lineares, raízes de equações quadráticas e propriedades geométricas de figuras planas. O documento também fornece o gabarito com as respostas corretas para cada uma das questões.
Este documento apresenta um resumo de conteúdos de matemática, incluindo conjuntos numéricos, operações com números, razões, proporções, porcentagens, equações, funções, geometria e estatística.
O documento discute conceitos matemáticos aplicados à geomensura, incluindo:
1) Sistema angular internacional e conversões entre graus, radianos e sexagesimal
2) Trigonometria plana e relações trigonométricas em triângulos retângulos
3) Geometria analítica com distâncias entre pontos no plano cartesiano
1. O documento contém 8 questões sobre funções quadráticas, cálculos geométricos e uma questão sobre o valor máximo de uma função parabólica.
2. As questões 1-3 pedem para identificar zeros, vértice, interseção com eixos e valor mínimo de funções quadráticas.
3. As questões 4-7 envolvem cálculos geométricos como lados de quadrados e triângulos inscritos em circunferências.
4. A questão 8 pede para calcular a altura máxima de uma função
1) O quarto termo da progressão aritmética é 37 e o termo geral é a + (n - 1)d, onde a = 34 e d = 1.
2) O primeiro termo da progressão geométrica é 4.
3) Analisa a convergência de quatro sucessões, identificando quais são convergentes.
A função real f(x) = 2x - 3x atinge o valor máximo de 1/3 no ponto x = 1/3. A função g(x) = 1 - 4x + 2x2 atinge o valor mínimo de x* = -1/2. A composição (f∘g)(2) é igual a 4.
Este documento apresenta 20 questões sobre matemática, com diferentes tópicos como funções, geometria plana e espacial, probabilidade e estatística e trigonometria. As questões envolvem cálculos, interpretação de gráficos e figuras geométricas, resolução de equações e inequações e raciocínio lógico.
O documento fornece exercícios de matemática para recuperação final do 9o ano abordando tópicos como equações de 2o grau, funções do 1o e 2o grau, áreas, perímetros e trigonometria. O trabalho deve conter apenas os exercícios listados.
1) O documento contém 40 questões de matemática sobre equações de segundo grau. As questões abordam tópicos como conjuntos de números, raízes de equações, sistemas de equações e desigualdades.
O documento apresenta uma ficha de trabalho de Matemática do 8o ano com 25 exercícios sobre diversos tópicos como geometria plana e espacial, sistemas de equações, álgebra e lógica. Os exercícios envolvem cálculos, resolução de problemas, classificação de figuras geométricas e verificação de propriedades.
1. O documento discute equações de retas e pontos de interseção entre retas no plano cartesiano. Inclui determinar equações de retas passando por pontos dados e cálculo de pontos de interseção.
2. Também inclui representação gráfica de retas, cálculo de retas paralelas e perpendiculares a outras, e análise da posição relativa de retas.
3. No final, analisa se um triângulo é isósceles baseado nas equações das retas que passam pelos lados.
- O documento apresenta uma apostila com 1000 questões resolvidas de matemática para concursos públicos, abrangendo diversos tópicos como álgebra, geometria, porcentagem e financiamento.
- A apostila é oferecida pelo site www.odiferencialconcursos.com.br e contém questões comentadas para ajudar os candidatos a fixar conceitos e reconhecer armadilhas em provas.
- Além das questões, a apostila traz uma breve introdução sobre a importância da prática de exercícios para concursos
- O documento apresenta uma apostila com 1000 questões resolvidas de matemática para concursos públicos, abrangendo diversos tópicos como álgebra, geometria, porcentagem e financiamento.
- A apostila é oferecida pelo site www.odiferencialconcursos.com.br e contém questões comentadas para ajudar os candidatos a fixar conceitos e reconhecer armadilhas em provas.
- Além das questões, a apostila traz uma breve introdução sobre a importância da prática de exercícios para concursos
Este documento apresenta uma prova-modelo de exame de Matemática A do 12o ano. Inclui dois cadernos com itens de escolha múltipla e resposta aberta sobre vários tópicos de Matemática, como probabilidades, trigonometria, limites e derivadas. Fornece também um formulário com fórmulas úteis para a resolução dos problemas.
O documento apresenta os tópicos de um módulo de matemática sobre geometria analítica, incluindo pontos e retas, circunferência, cônicas, números complexos e polinômios. Há também exercícios resolvidos sobre esses assuntos.
1) O documento apresenta 20 exercícios de matemática da Fuvest, cobrindo tópicos como geometria plana e espacial, trigonometria, álgebra, progressões aritméticas e probabilidade.
2) Os exercícios envolvem cálculos e resoluções de sistemas de equações, determinação de áreas, volumes, razões, probabilidades e outras grandezas matemáticas.
3) As questões requerem diferentes níveis de raciocínio matemático para chegar às respostas corretas.
Este documento fornece uma introdução às funções polinomiais de 2o grau. Discute como Galileu Galilei usou funções quadráticas para descrever o movimento de objetos sob a gravidade. Também define funções quadráticas como qualquer função na forma y = ax2 + bx + c, e discute como calcular e interpretar os vértices, zeros, máximos e mínimos dessas funções.
Este documento fornece instruções para a realização de um exame de ingresso em pós-graduação em computação. Ele contém 11 itens com diretrizes como não permitir comunicação entre candidatos, desligar aparelhos eletrônicos, duração de 4 horas para a prova e 70 questões objetivas de múltipla escolha.
O documento descreve conceitos básicos de geometria analítica, incluindo distância entre pontos, ponto médio de um segmento de reta, equação geral da reta, posições relativas entre retas, distância entre ponto e reta e área do triângulo. Exemplos ilustram cada conceito e exercícios no final aplicam esses conceitos.
O documento discute potenciação, funções exponenciais e logaritmos. Apresenta as propriedades e definições dessas funções, incluindo exemplos de equações e inequações exponenciais e logarítmicas. Explica como resolver esses tipos de problemas aplicando conceitos como mudança de base e propriedades dos logaritmos.
O produto dos elementos de (A ∩ B) - C é igual a 15. A interseção de A e B é o conjunto {1,3,5,7} e subtraindo C resta apenas o elemento 5, cujo produto é 15.
I. O produto dos elementos que formam o conjunto (A ∩ B) - C é igual a 15.
II. O ponto de interseção da reta AB com o eixo x tem abscissa igual a a - 2.
III. As dimensões x e y do retângulo, para que sua área seja máxima, devem ser, respectivamente, iguais a 5 e 7.
O produto dos elementos de (A ∩ B) - C é igual a 15. A figura representa uma reta que passa pelos pontos A e B. O ponto de interseção da reta com o eixo x tem abscissa igual a a - 2. As dimensões x e y do retângulo de área máxima são, respectivamente, 5 e 7.
1. O documento contém 8 questões sobre funções quadráticas, cálculos geométricos e uma questão sobre o valor máximo de uma função parabólica.
2. As questões 1-3 pedem para identificar zeros, vértice, interseção com eixos e valor mínimo de funções quadráticas.
3. As questões 4-7 envolvem cálculos geométricos como lados de quadrados e triângulos inscritos em circunferências.
4. A questão 8 pede para calcular a altura máxima de uma função
1) O quarto termo da progressão aritmética é 37 e o termo geral é a + (n - 1)d, onde a = 34 e d = 1.
2) O primeiro termo da progressão geométrica é 4.
3) Analisa a convergência de quatro sucessões, identificando quais são convergentes.
A função real f(x) = 2x - 3x atinge o valor máximo de 1/3 no ponto x = 1/3. A função g(x) = 1 - 4x + 2x2 atinge o valor mínimo de x* = -1/2. A composição (f∘g)(2) é igual a 4.
Este documento apresenta 20 questões sobre matemática, com diferentes tópicos como funções, geometria plana e espacial, probabilidade e estatística e trigonometria. As questões envolvem cálculos, interpretação de gráficos e figuras geométricas, resolução de equações e inequações e raciocínio lógico.
O documento fornece exercícios de matemática para recuperação final do 9o ano abordando tópicos como equações de 2o grau, funções do 1o e 2o grau, áreas, perímetros e trigonometria. O trabalho deve conter apenas os exercícios listados.
1) O documento contém 40 questões de matemática sobre equações de segundo grau. As questões abordam tópicos como conjuntos de números, raízes de equações, sistemas de equações e desigualdades.
O documento apresenta uma ficha de trabalho de Matemática do 8o ano com 25 exercícios sobre diversos tópicos como geometria plana e espacial, sistemas de equações, álgebra e lógica. Os exercícios envolvem cálculos, resolução de problemas, classificação de figuras geométricas e verificação de propriedades.
1. O documento discute equações de retas e pontos de interseção entre retas no plano cartesiano. Inclui determinar equações de retas passando por pontos dados e cálculo de pontos de interseção.
2. Também inclui representação gráfica de retas, cálculo de retas paralelas e perpendiculares a outras, e análise da posição relativa de retas.
3. No final, analisa se um triângulo é isósceles baseado nas equações das retas que passam pelos lados.
- O documento apresenta uma apostila com 1000 questões resolvidas de matemática para concursos públicos, abrangendo diversos tópicos como álgebra, geometria, porcentagem e financiamento.
- A apostila é oferecida pelo site www.odiferencialconcursos.com.br e contém questões comentadas para ajudar os candidatos a fixar conceitos e reconhecer armadilhas em provas.
- Além das questões, a apostila traz uma breve introdução sobre a importância da prática de exercícios para concursos
- O documento apresenta uma apostila com 1000 questões resolvidas de matemática para concursos públicos, abrangendo diversos tópicos como álgebra, geometria, porcentagem e financiamento.
- A apostila é oferecida pelo site www.odiferencialconcursos.com.br e contém questões comentadas para ajudar os candidatos a fixar conceitos e reconhecer armadilhas em provas.
- Além das questões, a apostila traz uma breve introdução sobre a importância da prática de exercícios para concursos
Este documento apresenta uma prova-modelo de exame de Matemática A do 12o ano. Inclui dois cadernos com itens de escolha múltipla e resposta aberta sobre vários tópicos de Matemática, como probabilidades, trigonometria, limites e derivadas. Fornece também um formulário com fórmulas úteis para a resolução dos problemas.
O documento apresenta os tópicos de um módulo de matemática sobre geometria analítica, incluindo pontos e retas, circunferência, cônicas, números complexos e polinômios. Há também exercícios resolvidos sobre esses assuntos.
1) O documento apresenta 20 exercícios de matemática da Fuvest, cobrindo tópicos como geometria plana e espacial, trigonometria, álgebra, progressões aritméticas e probabilidade.
2) Os exercícios envolvem cálculos e resoluções de sistemas de equações, determinação de áreas, volumes, razões, probabilidades e outras grandezas matemáticas.
3) As questões requerem diferentes níveis de raciocínio matemático para chegar às respostas corretas.
Este documento fornece uma introdução às funções polinomiais de 2o grau. Discute como Galileu Galilei usou funções quadráticas para descrever o movimento de objetos sob a gravidade. Também define funções quadráticas como qualquer função na forma y = ax2 + bx + c, e discute como calcular e interpretar os vértices, zeros, máximos e mínimos dessas funções.
Este documento fornece instruções para a realização de um exame de ingresso em pós-graduação em computação. Ele contém 11 itens com diretrizes como não permitir comunicação entre candidatos, desligar aparelhos eletrônicos, duração de 4 horas para a prova e 70 questões objetivas de múltipla escolha.
O documento descreve conceitos básicos de geometria analítica, incluindo distância entre pontos, ponto médio de um segmento de reta, equação geral da reta, posições relativas entre retas, distância entre ponto e reta e área do triângulo. Exemplos ilustram cada conceito e exercícios no final aplicam esses conceitos.
O documento discute potenciação, funções exponenciais e logaritmos. Apresenta as propriedades e definições dessas funções, incluindo exemplos de equações e inequações exponenciais e logarítmicas. Explica como resolver esses tipos de problemas aplicando conceitos como mudança de base e propriedades dos logaritmos.
O produto dos elementos de (A ∩ B) - C é igual a 15. A interseção de A e B é o conjunto {1,3,5,7} e subtraindo C resta apenas o elemento 5, cujo produto é 15.
I. O produto dos elementos que formam o conjunto (A ∩ B) - C é igual a 15.
II. O ponto de interseção da reta AB com o eixo x tem abscissa igual a a - 2.
III. As dimensões x e y do retângulo, para que sua área seja máxima, devem ser, respectivamente, iguais a 5 e 7.
O produto dos elementos de (A ∩ B) - C é igual a 15. A figura representa uma reta que passa pelos pontos A e B. O ponto de interseção da reta com o eixo x tem abscissa igual a a - 2. As dimensões x e y do retângulo de área máxima são, respectivamente, 5 e 7.
Semelhante a Área de uma região poligonal. Unicamp.pdf (20)
O documento apresenta informações sobre o Balanço Energético Nacional do Brasil, que fornece dados sobre a oferta, conversão, distribuição e consumo final de energia no país. O BEN inclui dados sobre produção, importação, exportação e consumo de diferentes fontes de energia, além de informar sobre reservas energéticas, matriz energética, setores consumidores e unidades de medida de energia.
O documento discute a eficiência energética no Brasil, incluindo o papel do Estado na regulamentação dos programas de eficiência energética e o potencial para redução do consumo de energia no país. Um projeto específico substituiu lâmpadas em escolas públicas, gerando economia de energia e redução de emissões de CO2.
This document provides teacher directions for using digital mazes in the classroom. It includes two links to mazes and an answer key that teachers can copy to modify for student use. Tips are given such as assigning mazes individually by deleting unwanted slides, having students take photos of their work to add to slides, and using virtual stickers for feedback. An optional tutorial video is also included.
1) O documento descreve um livro sobre matemática divertida e curiosidades escrito por Malba Tahan sob o pseudônimo de Júlio César de Mello e Souza.
2) O livro transforma a aridez da matemática em uma brincadeira útil e recreativa através de problemas, anedotas e histórias.
3) O documento fornece alguns exemplos curtos de tópicos matemáticos abordados no livro.
This document provides teacher directions for using digital mazes in the classroom. It includes two links to mazes and an answer key that teachers can copy and modify for student use. Tips are given such as assigning mazes individually by deleting unwanted slides, having students take photos of their work to add to slides, using virtual stickers for feedback, and including the answer key if timely feedback won't be possible. A tutorial video is also included for assigning mazes in Google Classroom. Sample student instructions and an example maze are provided.
Propriedade-distributiva-da-multiplicação-em-relação-a-adição727.pptxAntonio Carlos Baltazar
O documento descreve uma aula sobre a generalização da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. A atividade principal explora esta ideia através de exemplos numéricos e algébricos, chegando à expressão geral n(a + b) = na + nb. A sistematização final resume o conceito de que a multiplicação de um termo pela soma de dois outros termos resulta na soma das multiplicações individuais.
Power quality refers to the stability and performance of the electricity supply compared to technical standards and user requirements. Power quality problems include transient disturbances and longer interruptions that can be caused internally, externally, or by the electricity utility. Examples include transients, short interruptions, surges, sags, and distortions. Power quality incidents can result in costs such as lost data, products out of specification, or destroyed products. Solutions include dual utility supplies, backup generation, uninterruptible power supplies, power conditioners, energy storage, surge protection, installation design, and diagnosis. Power quality issues cost European businesses billions annually.
O documento discute sinais senoidais, incluindo:
1) A caracterização da onda senoidal com período, frequência, valor de pico e valor de pico a pico.
2) A representação matemática de sinais senoidais no domínio temporal e angular.
3) Exemplos aplicativos de cálculo de valores de tensão em diferentes instantes de tempo.
O documento descreve a evolução dos sistemas elétricos de potência, desde as primeiras invenções no final do século XIX até o início do século XX. Ele destaca Thomas Edison como um "inventor-empreendedor" que concebeu um sistema completo de iluminação elétrica em corrente contínua e estabeleceu a primeira estação central em Pearl Street, NY. O documento também discute a transferência desta tecnologia para a Inglaterra e Alemanha.
This document provides teacher directions for using digital mazes in the classroom. It includes two links to mazes and an answer key that teachers can copy to modify for student use. Tips are given such as assigning mazes individually by deleting unwanted slides, having students take photos of work to add to slides, using virtual stickers for feedback, and including the answer key if timely feedback won't be possible. A tutorial video is also included for assigning mazes in Google Classroom.
1. O documento discute conceitos, características e origens da literatura infantil brasileira, abordando sua evolução desde o período colonial até os dias atuais.
2. Monteiro Lobato é apresentado como um divisor de águas que desvinculou a literatura infantil da literatura didática e deu voz à criança.
3. Atualmente há um experimentalismo na literatura infantil brasileira contemporânea, abordando temas como ética, pluralidade cultural e meio ambiente.
O documento descreve os principais tipos de motores de indução, incluindo: (1) o motor de indução é o motor CA mais usado devido à sua simplicidade e baixo custo; (2) os rotores podem ser do tipo gaiola de esquilo ou bobinado; (3) a partida de motores de indução requer métodos especiais como resistências no rotor ou alteração da ligação do estator para reduzir a corrente de partida.
O documento contém 7 exercícios sobre circuitos em corrente contínua. Os exercícios envolvem calcular grandezas como tensão, corrente e resistência equivalente em diferentes circuitos usando as leis de Kirchhoff.
O documento apresenta conceitos básicos de circuitos elétricos em corrente contínua, incluindo definições de tensão, corrente e potência. Também explica leis de Kirchoff e como calcular valores em diferentes configurações de circuitos, como resistores em série e paralelo. Exemplos numéricos ilustram cálculos de tensão, corrente e potência em circuitos simples.
O documento discute a história do movimento ambientalista desde a década de 1960. Alguns pontos importantes incluem o livro Primavera Silenciosa de 1962 alertando para os danos dos agrotóxicos, a fundação do Fundo para a Defesa do Meio Ambiente em 1967, e a primeira Conferência das Nações Unidas sobre o Meio Ambiente Humano em 1972 na Suécia. O documento fornece detalhes sobre muitos outros marcos ambientais nas décadas seguintes.
O documento discute as teorias estruturalistas de crescimento e desenvolvimento propostas por Albert Hirschmann e Raul Prebisch. Hirschmann defendeu que o desenvolvimento cria um círculo virtuoso e deve se basear nas potencialidades locais. Prebisch argumentou que o desenvolvimento na periferia difere da transição clássica nos países desenvolvidos devido à deterioração dos termos de troca e à tendência ao desequilíbrio externo nas economias periféricas. A CEPAL propôs o modelo de substituição de importações
O documento discute a natureza da verdade e como as pessoas buscam a verdade. Ele explora como a ignorância, incerteza e dúvida levam as pessoas a questionarem suas crenças e procurarem novas respostas. Também discute como as opiniões sobre a verdade podem diferir entre as pessoas e como é difícil provar o que é verdadeiro.
PP Slides Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
Slideshare Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24, Pr Henrique, EBD NA TV, 2° TRIMESTRE DE 2024, ADULTOS, EDITORA BETEL, TEMA, ORDENANÇAS BÍBLICAS, Doutrina Fundamentais Imperativas aos Cristãos para uma vida bem-sucedida e de Comunhão com DEUS, estudantes, professores, Ervália, MG, Imperatriz, MA, Cajamar, SP, estudos bíblicos, gospel, DEUS, ESPÍRITO SANTO, JESUS CRISTO, Comentários, Bispo Abner Ferreira, Com. Extra Pr. Luiz Henrique, 99-99152-0454, Canal YouTube, Henriquelhas, @PrHenrique
1. Cálculo da área de uma região poligonal Origem da fórmula da área Um exemplo real O projeto de MA093 - Matemática básica 2
MA093 – Matemática básica 2
Área de uma região poligonal.
Francisco A. M. Gomes
UNICAMP - IMECC
Agosto de 2018
2. Cálculo da área de uma região poligonal Origem da fórmula da área Um exemplo real O projeto de MA093 - Matemática básica 2
Roteiro da aula
1 Cálculo da área de uma região poligonal
2 Origem da fórmula da área
3 Um exemplo real
4 O projeto de MA093 - Matemática básica 2
3. Cálculo da área de uma região poligonal Origem da fórmula da área Um exemplo real O projeto de MA093 - Matemática básica 2
Definição do problema
Área de uma região
Para calcular a área de
uma região poligonal é
preciso:
1 Numerar os vértices
sucessivos no sentido
horário ou
anti-horário
2 Montar uma tabela
com as coordenadas
dos vértices
i 1 2 3 4 5
xi 4 7 3 1 4
yi 2 4 5 3 2
4. Cálculo da área de uma região poligonal Origem da fórmula da área Um exemplo real O projeto de MA093 - Matemática básica 2
Fórmula da área
Área de polı́gono simples
Dadas as coordenadas (xi , yi ), i = 1, . . . , n dos vértices sucessivos
de um polı́gono simples, a área do polı́gono é dada por
A =
1
2
n
X
i=1
(xi yi+1 − xi+1yi ) .
5. Cálculo da área de uma região poligonal Origem da fórmula da área Um exemplo real O projeto de MA093 - Matemática básica 2
Fórmula da área
Área de polı́gono simples
Dadas as coordenadas (xi , yi ), i = 1, . . . , n dos vértices sucessivos
de um polı́gono simples, a área do polı́gono é dada por
A =
1
2
n
X
i=1
(xi yi+1 − xi+1yi ) .
Devemos definir (xn+1, yn+1) = (x1, y1), ou seja, devemos
criar o ponto n + 1 com as mesmas coordenadas do primeiro.
6. Cálculo da área de uma região poligonal Origem da fórmula da área Um exemplo real O projeto de MA093 - Matemática básica 2
Fórmula da área
Área de polı́gono simples
Dadas as coordenadas (xi , yi ), i = 1, . . . , n dos vértices sucessivos
de um polı́gono simples, a área do polı́gono é dada por
A =
1
2
n
X
i=1
(xi yi+1 − xi+1yi ) .
Devemos definir (xn+1, yn+1) = (x1, y1), ou seja, devemos
criar o ponto n + 1 com as mesmas coordenadas do primeiro.
O somatório dentro do módulo será positivo se os pontos
forem ordenados no sentido anti-horário e negativo em caso
contrário.
7. Cálculo da área de uma região poligonal Origem da fórmula da área Um exemplo real O projeto de MA093 - Matemática básica 2
Exemplo
Área do quadrilátero da figura anterior
Calcular a área do quadrilátero cujos vértices têm as coordenadas
abaixo. As medidas são dadas em centı́metros.
i 1 2 3 4 5
xi 4 7 3 1 4
yi 2 4 5 3 2
Aplicando a fórmula a esse conjunto de coordenadas, obtemos
A =
1
2
|x1y2 − x2y1 + x2y3 − x3y2 + x3y4 − x4y3 + x4y5 − x5y4|
=
1
2
|4 · 4 − 7 · 2 + 7 · 5 − 3 · 4 + 3 · 3 − 1 · 5 + 1 · 2 − 4 · 3|
=
1
2
|16 − 14 + 35 − 12 + 9 − 5 + 2 − 12| = 9, 5 cm2
.
8. Cálculo da área de uma região poligonal Origem da fórmula da área Um exemplo real O projeto de MA093 - Matemática básica 2
Área real
Mudando de escala
Se o polı́gono do mapa é a representação de uma região real,
podemos encontrar a área verdadeira da região, desde que
conheçamos a escala do mapa.
Nesse caso, devemos multiplicar a área da região traçada no
papel pelo quadrado do fator de escala usado.
No exemplo acima, a região real foi representada usando-se a
escala 1:200.000, e obtivemos uma área de 9, 5 cm2.
Assim, a área real é
Areal = 9, 5 · 2000002
cm2
= 3, 8 · 1011
cm2
=
3, 8 · 1011
1010
km2
= 38 km2
.
9. Cálculo da área de uma região poligonal Origem da fórmula da área Um exemplo real O projeto de MA093 - Matemática básica 2
Roteiro da aula
1 Cálculo da área de uma região poligonal
2 Origem da fórmula da área
3 Um exemplo real
4 O projeto de MA093 - Matemática básica 2
10. Cálculo da área de uma região poligonal Origem da fórmula da área Um exemplo real O projeto de MA093 - Matemática básica 2
Fórmula da área
Ideia da fórmula
Calculemos a área do
quadrilátero do exemplo
acima usando trapézios.
Para facilitar os cálculos,
suponhamos que todos os
vértices tenham coordenadas
positivas.
Usemos o vértice mais à
esquerda, (1, 3), e o vértice
mais à direita, (7, 4), para
dividir a fronteira em duas
partes, uma inferior e outra
superior.
11. Cálculo da área de uma região poligonal Origem da fórmula da área Um exemplo real O projeto de MA093 - Matemática básica 2
Regiões inferior e superior
Os vértices que pertencem às partes da fronteira são:
Superior: (x2, y2) = (7, 4), (x3, y3) = (3, 5) e (x4, y4) = (1, 3).
Inferior: (x4, y4) = (1, 3), (x1, y1) = (4, 2) e (x2, y2) = (7, 4).
Definimos
AS = área da região entre a parte superior e o eixo-x;
AI = área da região entre a parte inferior e o eixo-x;
A = AS − AI (área do polı́gono).
12. Cálculo da área de uma região poligonal Origem da fórmula da área Um exemplo real O projeto de MA093 - Matemática básica 2
Área da parte superior
AS é obtida somando-se as áreas de dois trapézios.
O primeiro tem bases y2 e y3, e altura (x2 − x3).
O segundo tem bases y3 e y4, e altura (x3 − x4).
Sendo assim,
AS =
1
2
(y2 + y3)(x2 − x3) +
1
2
(y3 + y4)(x3 − x4)
=
1
2
(x2y2 + x2y3 − x3y2 − x3y3 + x3y3 + x3y4 − x4y3 − x4y4) .
13. Cálculo da área de uma região poligonal Origem da fórmula da área Um exemplo real O projeto de MA093 - Matemática básica 2
Área da parte inferior
AI também é obtida somando-se as áreas de dois trapézios.
O primeiro tem bases y1 e y2, e altura (x2 − x1).
O segundo tem bases y4 e y5, e altura (x5 − x4).
Sendo assim, lembrando que (x5, y5) = (x1, y1), temos
AI =
1
2
(y1 + y2)(x2 − x1) +
1
2
(y4 + y5)(x5 − x4)
=
1
2
(x2y1 + x2y2 − x1y1 − x1y2 + x5y4 + x5y5 − x4y4 − x4y5) .
14. Cálculo da área de uma região poligonal Origem da fórmula da área Um exemplo real O projeto de MA093 - Matemática básica 2
Área do quadrilátero
Calculando a diferença das áreas, cancelando os termos que
somam zero (incluindo os que envolvem (x1, y1) e (x5, y5)) e
reordenando os fatores, obtemos
A = AS − AI
= +
1
2
(
x2y2 + x2y3 − x3y2 −
x3y3 +
x3y3 + x3y4 − x4y3 −
x4y4)
−
1
2
(x2y1 +
x2y2 −
x1y1 − x1y2 + x5y4 +
x5y5 −
x4y4 − x4y5)
=
1
2
(x1y2 − x2y1 + x2y3 − x3y2 + x3y4 − x4y3 + x4y5 − x5y4) ,
que é a expressão dada acima para a área desse polı́gono.
A demonstração de que a fórmula da área vale para todo
polı́gono simples com n vértices é obtida generalizando-se esse
procedimento.
15. Cálculo da área de uma região poligonal Origem da fórmula da área Um exemplo real O projeto de MA093 - Matemática básica 2
Roteiro da aula
1 Cálculo da área de uma região poligonal
2 Origem da fórmula da área
3 Um exemplo real
4 O projeto de MA093 - Matemática básica 2
16. Cálculo da área de uma região poligonal Origem da fórmula da área Um exemplo real O projeto de MA093 - Matemática básica 2
Área de Campinas
Problema
Encontrar a área
aproximada do
municı́pio de
Campinas, a partir
do mapa ao lado.
17. Cálculo da área de uma região poligonal Origem da fórmula da área Um exemplo real O projeto de MA093 - Matemática básica 2
Aproximação da fronteira
Seleção de pontos
Escolhendo 20
pontos da fronteira
do municı́pio,
definimos o
polı́gono ao lado.
18. Cálculo da área de uma região poligonal Origem da fórmula da área Um exemplo real O projeto de MA093 - Matemática básica 2
Tabulação dos pontos
Agrupando as coordenadas dos pontos escolhidos, obtemos a
tabela abaixo.
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xi 10.9 5.7 0.7 2.2 1.0 2.4 0.0 4.3 4.6 7.9
yi 0.9 0.1 3.3 4.3 6.5 7.4 9.2 9.7 15.5 16.2
i 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
xi 7.5 9.4 16.0 18.8 24.0 19.8 20.5 17.1 14.9 9.5
yi 18.8 20.2 20.3 18.2 10.2 9.4 8.2 8.3 9.8 2.9
19. Cálculo da área de uma região poligonal Origem da fórmula da área Um exemplo real O projeto de MA093 - Matemática básica 2
Cálculo da área do municı́pio
Aplicando a fórmula, descobrimos que o polı́gono tem área
correspondente a 251, 5 cm2.
Como nosso mapa tinha escala 1:178.571, a área que
obtivemos para Campinas foi
A = 251, 5 · 178.5712
/1010
≈ 801, 977 km2
.
A área correta do municı́pio é igual a 795, 697 km2
.
Cometemos um erro de apenas 6, 280 km2
, ou 0,79% do total.
O erro poderia ter sido menor se tivéssemos considerado mais
pontos e se fôssemos mais precisos na determinação das
coordenadas.
20. Cálculo da área de uma região poligonal Origem da fórmula da área Um exemplo real O projeto de MA093 - Matemática básica 2
Roteiro da aula
1 Cálculo da área de uma região poligonal
2 Origem da fórmula da área
3 Um exemplo real
4 O projeto de MA093 - Matemática básica 2
21. Cálculo da área de uma região poligonal Origem da fórmula da área Um exemplo real O projeto de MA093 - Matemática básica 2
Enunciado do projeto
Problema
Calcule aproximadamente a área da região definida no mapa dado.
Passos:
1 Obtenha as coordenadas de, ao menos, 20 pontos da fronteira
da região.
2 Ordene os pontos e transfira suas coordenadas para uma
planilha.
3 Usando sua planilha, calcule os produtos definidos pela
fórmula, tomando cuidado com os sinais.
4 Some os termos e determine a área da região do mapa.
5 Com base na escala fornecida pelo mapa e nas unidades que
você adotou para suas coordenadas, calcule a área real.
22. Cálculo da área de uma região poligonal Origem da fórmula da área Um exemplo real O projeto de MA093 - Matemática básica 2
Planilha
i xi yi xi yi+1 xi+1yi
1 x1 y1 x1y2 x2y1
2 x2 y2 x2y3 x3y2
3 x3 y3 x3y4 x4y3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n xn yn xny1 x1yn
1 x1 y1