O documento discute sinais senoidais, incluindo: 1) A caracterização da onda senoidal com período, frequência, valor de pico e valor de pico a pico. 2) A representação matemática de sinais senoidais no domínio temporal e angular. 3) Exemplos aplicativos de cálculo de valores de tensão em diferentes instantes de tempo.

1. CEL
AULA 2
SINAIS SENOIDAIS

2. CORRENTES E TENSÕES CONTÍNUAS
1. INTRODUÇÃO
Os metais são bons condutores de
eletricidade, pois possuem
elétrons livres e quando esses
materiais estão em equilíbrio, os
elétrons se encontram em
movimento desordenado, como
mostra a figura ao lado:

3. CORRENTES E TENSÕES CONTÍNUAS

4. ANÁLISE GRÁFICA E MATEMÁTICA
DO SINAL SENOIDAL
1. CARACTERIZAÇÃO DA ONDA SENOIDAL
¼ volta ½ volta ¾ volta 1 volta
90º
π/2 rad
180º
π rad
270º
3π/2 rad
360º
2π rad
1 CICLO
Vp : valor de pico
- Vp
Vpp = 2.Vp
Valor de pico a pico

5. ANÁLISE GRÁFICA E MATEMÁTICA
DO SINAL SENOIDAL
90º = π/2 rad
180º = π rad 0º = 360º = 2π rad
270º = 3π/2 rad
LEMBRANDO QUE:
360º = 2π rad
1º = π/ 180 rad
1 rad = 180º/π

6. ANÁLISE GRÁFICA E MATEMÁTICA
DO SINAL SENOIDAL
2. PERÍODO E FREQUÊNCIA
O TEMPO QUE A FUNÇÃO NECESSITA PARA COMPLETAR UM CICLO
CHAMA-SE PERÍODO, DADO EM SEGUNDOS (s)
O NÚMERO DE VEZES QUE UM CICLO SE REPETE CHAMA-SE
FREQUÊNCIA (f), É DADO EM Hertz (Hz) OU, AINDA, ABREVIADO POR cps
V ou i
1 Hertz
¼ ½ 1
¾ (s)
V ou i
¼ ½ ¾ 1
2 Hertz
(s)
f = 1 / T e T = 1 / f

7. REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA
MATEMÁTICAMENTE, OS GRÁFICOS DA TENSÃO SENOIDAL NOS
DOMÍNIOS TEMPORAL E ANGULAR PODEM SER REPRESENTADOS POR:
v(t) = Vp . sen ῳt e v(ϴ) = Vp . sen ϴ
ONDE:
v (t) = v (ϴ), valor da tensão no instante t ou para o ângulo ϴ (em v)
Vp = valor de pico ou amplitude máxima da tensão (em v)
ῳ = frequência angular (em rd/s)
ϴ =ângulo (em rd)
FREQUÊNCIA ANGULAR OU VELOCIDADE ANGULAR: ῳ corresponde
à variação do ângulo ϴ do sinal em função do tempo.
ϴ = ῳt , portanto quando ϴ = 2π, tem –se que t = T , então 2π = ῳT
ῳ = 2π ou ainda ῳ = 2π.f
T

8. EXEMPLO APLICATIVO
0,25 0,5 0,75 1,0
(s)
5v
-5v
Vp = 5v ; Vpp = 10v
T = 0,25s
f = 4Hz ou 4cps
ῳ = 2π. f = 2π. 4 = 8π rd/s
v (t) = Vp . sen ῳt portanto v (t) = 5 . sen 8πt
PARA SE SABER O VALOR DA TENSÃO, POR EXEMPLO, EM t = 0,6s:
v (t) = 5. sen (8π.0,6) = 2,94v
2,94
0,6

9. IMPORTANTE
NEM SEMPRE UM SINAL SENOIDAL INICIA O SEU CICLO NO
INSTANTE t =0, NESTE CASO A EXPRESSÃO COMPLETA DEVE
INCLUIR ESSA FASE INICIAL:
v (t) = Vp . sen (ῳt + ϴ0)
SE O SINAL INICIA O SEU CICLO ADIANTADO, ϴ0 É POSITIVO; SE O
SINAL INICIA O SEU CICLO ATRASADO, ϴ0 É NEGATIVO
SINAL ADIANTADO SINAL ATRASADO

10. EXERCÍCIOS
1. REPRESENTAR , GRAFICAMENTE, O SINAL v1(t) = 10.sen (20000πt + π/3)
a) ῳ = 2π. f portanto f = ῳ / 2π f = 20000π / 2π
f = 10000 Hz = 10kHz
b) T = 1 / f = 1 / 10k = 0,1 ms T = 100μs
c) para t =0, v1(0) = 10. sen π/3 v1 = 8,66v
d) O sinal inicia o seu ciclo adiantado de π/3 rd
t (μs)
100
10v
8,66v
x
x = π/3 rd
-10v

11. EXERCÍCIOS
2. REPRESENTAR , GRAFICAMENTE, O SINAL v2(t) = 15.sen (8000πt - 30°)
a) ῳ = 2π. f portanto f = ῳ / 2π f = 8000π / 2π
f = 4000 Hz = 4kHz
b) T = 1 / f = 1 / 4k = 0,25 ms T = 250μs
c) para t =0, v2(0) = 15. sen (-30°) v2 = -7,5v
d) O sinal inicia o seu ciclo atrasado de 30° ou π/6 rd
t(μs)
250
y
15v
-15v
y = -30°
-7,5v

12. DEFASAGEM
É MUITO COMUM CONHECER A DIFERENÇA DE FASE
(DEFASAGEM) ENTRE DOIS SINAIS DE MESMA FREQUÊNCIA,
TOMANDO-SE UM DOS SINAIS COMO REFERÊNCIA
a) v1 (t) = 10000.sen(ῳt + π/2) volts v2 (t) = 5000.sen ῳt volts
A DEFASAGEM DE v1 EM RELAÇÃO A v2 É DE ∆ϴ = π/2 rd OU A
DEFASAGEM DE v2 EM RELAÇÃO A v1 É DE ∆ϴ = -π/2 rd

13. b) v1 (t) = 10000.sen(ῳt + 90°) volts v2 (t) = 5000.sen (ῳt + 90°) volts
DEFASAGEM
A DEFASAGEM ENTRE OS SINAIS É ZERO, OU SEJA, OS SINAIS
ESTÃO EM FASE

14. DEFASAGEM
c) v1 (t) = 10 sen(ῳt) volts v2 (t) = 5 sen (ῳt + 180°) v
A DEFASAGEM É DE 180°

15. DIAGRAMA FASORIAL (DF)
OUTRA FORMA DE REPRESENTAR UM SINAL SENOIDAL É ATRAVÉS DE
UM FASOR OU VETOR GIRANTE DE AMPLITUDE IGUAL A Vp DO SINAL,
GIRANDO NO SENTIDO ANTI-HORÁRIO COM VELOCIDADE ANGULAR ῳ.
A ESSE TIPO DE REPRESENTAÇÃO DÁ-SE O NOME DE
DIAGRAMA FASORIAL.
Vp
ϴ
P
V(ϴ)
Função senoidal v(t)
ῳ

16. DIAGRAMA FASORIAL (DF)
ϴ0
ϴ0
V(ϴ)
V(ϴ)
Vp
Vp
V0
V0
V(ϴ)
V(ϴ)
ϴ0
-Vp
-V0
-V0 ϴ0
Vp
Vp
V0=Vp .senϴ0

17. DIAGRAMA FASORIAL
Tensão senoidal representada no DF
10.sen(θ)
O fasor de amplitude 10V gira no sentido anti horario com frequencia
angular w

18. EXERCÍCIOS
1. REPRESENTAR GRAFICAMENTE E ATRAVÉS DO DIAGRAMA FASORIAL
O SINAL v1(t) = 10.sen (100πt + π/3) v
a) ῳ = 2π. f portanto f = ῳ / 2π f = 100π / 2π ou f = 50 Hz
b) T = 1 / f = 1 / 50 T = 20ms
c) para t =0, v1(0) = 10. sen π/3 v1 = 8,66v
d) O sinal inicia o seu ciclo adiantado de π/3 rd
π/3
π/3
v1(v)
v1
10
10
8,66
8,66
20ms
-10
ῳ=100πrd/s

19. EXERCÍCIOS
2. REPRESENTAR GRAFICAMENTE E ATRAVÉS DO DIAGRAMA FASORIAL
O SINAL v2(t) = 15.sen (20πt - 30°) v
a) ῳ = 2π. f portanto f = ῳ / 2π f = 20π / 2π ou f = 10 Hz
b) T = 1 / f = 1 / 10 T = 100ms
c) para t =0, v2(0) = 15. sen (-30°) v2 = -7,5v
d) O sinal inicia o seu ciclo atrasado de 30°
v2(v)
v2
30°
-15v
-7,5
-7,5 -30°
15v
100ms
15v
ῳ=100πrd/s

20. 3. Calcule a defasagem entre as seguintes ondas ca
EXERCÍCIOS
Defasagem 0° v esta adiantado 45°
em relação a i
i esta adiantado 45°
em relação a v