O documento discute conceitos matemáticos como paridade, sistema decimal, divisão euclidiana, critérios de divisibilidade, máximo divisor comum, mínimo múltiplo comum, progressão aritmética, progressão geométrica e triângulo de Fibonacci. Fornece exemplos e exercícios para exemplificar cada tópico.

1. Prof. Tiago Silva

2.  Paridade
Todo número inteiro é par ou ímpar
Jogo das faces
Dizemos que dois números inteiros tem a mesma paridade, quando
ambos são pares ou ambos ímpares

3. COROAS CARAS
ÍMPAR PAR
PAR ÍMPAR
ÍMPAR PAR
PAR ÍMPAR

4. ÍMPAR PAR
PAR ÍMPAR
ÍMPAR PAR

5. Par + Par = Par
Par + Ímpar = Ímpar
Ímpar + Ímpar = Par
Propriedades importantes
Você pode encontrar cinco números ímpares cuja soma seja 100?

6. Exemplo 1: É possível trocar uma nota de 25 rublos em dez
notas com valores 1, 3 ou 5 rublos?
Exemplo 2: Exercício 6 do livro pág. 6

7.  Sistema decimal
• Valor posicional
532 253

9. 1234512345123451234512345

11.  Divisão euclidiana
𝑎 𝑏
𝑞
𝑟
𝑎 = 𝑏 ∙ 𝑞 + 𝑟
0 ≤ 𝑟 < 𝑏
10 4
2
2

13. 1) Wagner numerou as 120 folhas de um caderno de 1 a 240, Luiz arrancou 13
folhas e somou os 26 números que encontrou. É possível que a soma dos 26
números seja 2014?

16.  Critérios de divisibilidade
• [critério de divisibilidade por 3] Um número é divisível por 3 se a soma dos
seus algarismos é divisível por 3
Exemplo
a) 15
b) 5292
• [critério de divisibilidade por 9] Um número é divisível por 9 se a soma dos
seus algarismos é divisível por 9.
Exemplo
a) 72
b) 654381

17. • [critério de divisibilidade por 4] Um número natural é divisível por 4 quando o
número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4.
Exemplo
a) 124
b) 23562
• [critério de divisibilidade por 5] Um número é divisível por 5 se seu algarismo
das unidades é 0 ou 5.
Exemplos
a) 125
b) 314570
• [critério de divisibilidade por 6] Um número é divisível por 6 quando é divisível
por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
Exemplo
a) 36
b) 2358

18. Exemplo: Verifique se cada um dos números é divisível por 2, 3, 4, 5, 6, 9 ou
10.
a) 1260
b) 1746
c) 2210505
Exemplo: Substitua o X por um algarismo no número abaixo, para que este
seja divisível por 2, 3 e 5.

19. Exercício 44: (Banco de Questões 2010, nível 1, problema 136) No número
6a78b, 𝑎 denota o algarismo da unidade de milhar e 𝑏 denota o algarismo da
unidade. Se x = 6a78b for divisível por 45, então quais são os possíveis
valores de x?
Exercício 41: (Banco de Questões 2007, nível 1, lista 1, problema
(a) Qual é o menor múltiplo positivo de 9 que é escrito apenas com os algarismos
0 e 1?
(b) Qual é o menor múltiplo positivo de 9 que é escrito apenas com os algarismos
1 e 2?

20. • [critério de divisibilidade por 7]
a) 102
b) 1785
• [critério de divisibilidade por 11]
a) 6172947
b) 3767632
c) 81345

21. Exemplo: Determine todos os algarismos 𝑥 e 𝑦 tais que o número 2
𝑥7𝑦 seja divisível por 4 e por 11.

22.  Máximo Divisor Comum - 𝒎𝒅𝒄
• Divisores de 12 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟔, 𝟏𝟐
• Divisores de 16 = {𝟏, 𝟐, 𝟒, 𝟖, 𝟏𝟔}
Calcule:
a) 𝒎𝒅𝒄 𝟐𝟒, 𝟔𝟎
b) 𝒎𝒅𝒄(𝟏𝟐, 𝟏𝟓, 𝟏𝟖)

24.  Mínimo múltiplo Comum - 𝒎𝒎𝒄
• Múltiplos de 12 = {𝟎, 𝟏𝟐, 𝟐𝟒, 𝟑𝟔, 𝟒𝟖, 𝟔𝟎, 𝟕𝟐, ⋯ }
• Múltiplos de 16 = {𝟎, 𝟏𝟔, 𝟑𝟐, 𝟒𝟖, 𝟔𝟒, 𝟖𝟎, ⋯ }
Calcule:
a) 𝒎𝒎𝒄 𝟏𝟒, 𝟏𝟖
b) 𝒎𝒎𝒄(𝟔, 𝟏𝟓)

31.  Progressão Aritmética- 𝑷𝑨
𝟐, 𝟓, 𝟖, 𝟏𝟏, 𝟏𝟒, …
Definição: Progressão aritmética é uma sequência numérica onde cada termo a partir do
segundo é obtido somando-se uma constante denominada razão da PA
Fórmula do termo geral
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + (𝒏 − 𝟏) ∙ 𝒓
𝑎1 ⇒ 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜
𝑟 ⇒ 𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑑𝑎 𝑃𝐴
𝑛 ⇒ 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠
𝑎𝑛 ⇒ 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑙

32. Exemplo 1: Determine o vigésimo termo da PA (−5, 3, 11, … ).
Exemplo 2: Maria começou a guardar moedas de 1 real com o intuito de juntar
dinheiro para comprar um celular em 6 meses. Ela começou com dois reais e a
cada dia juntava mais 3 reais do lanche, como ilustra a figura abaixo.
Ao final de 182 dias quanto dinheiro ela terá guardado?

33. Exemplo 3: Quantos múltiplo de 3 há entre 100 e 500?
Soma dos termos de PA
𝑺𝒏 =
(𝒂𝟏 + 𝒂𝒏) ∙ 𝒏
𝟐

34. Exemplo 4: Qual a soma dos 50 primeiros termos da PA 1, 5, 9, … ?
Exemplo 5: Um jardim tem uma torneira e dez roseiras dispostas em linha reta.
A torneira dista 50 metros da primeira roseira e cada roseira dista 2 metros da
seguinte. Um jardineiro, para regar as roseiras, enche um balde na torneira e
despeja seu conteúdo na primeira. Volta à torneira e repete a operação para
cada roseira seguinte. Após regar a última roseira e voltar à torneira para deixar
o balde, quantos metros ele terá andado?

35. O triângulo aritmético de Fibonacci é formado pelos números ímpares
inteiros positivos a partir de 1 dispostos em linhas com ordem
crescente em cada linha e pulando para a linha seguinte. A linha 𝑛
possui exatamente 𝑛 números. Veja as quatro primeiras linhas.
Qual é o último número que aparece na linha 100?

40.  Progressão Geométrica - 𝑷𝑮
𝟐, 𝟖, 𝟑𝟐, 𝟏𝟐𝟖, …
Definição: Progressão geométrica é uma sequência numérica onde cada termo a partir do
segundo é obtido multiplicando-se uma constante denominada razão da PG.
Fórmula do termo geral
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 ∙ 𝒒𝒏−𝟏
𝑎1 ⇒ 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜
𝑞 ⇒ 𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑑𝑎 𝑃𝐺
𝑛 ⇒ 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠
𝑎𝑛 ⇒ 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑙

41. Exemplo 1: Calcule o 10º termo da PG (1, 2, 4, . . .).
Exemplo 2: Encontre os números reais 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, 𝑎5, 𝑎6 𝑒 𝑎7, tais que a sequencia
(1280, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, 𝑎5, 𝑎6, 𝑎7, 10)
Seja uma PG.

42. Exemplo 3: Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. A espessura de cada
tábua é 0,5 cm. Forma-se uma pilha de tábuas colocando-se uma tábua na primeira
vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já estejam na pilha. Ao final
de nove dessas operações,
a) quantas tábuas terá a pilha?
b) qual será a altura da pilha?

43. Soma dos termos de uma PG
𝑺𝒏 = 𝒂𝟏 ∙
𝒒𝒏
− 𝟏
𝒒 − 𝟏
Exemplo 4: Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG
(1, 2, 4, . . .).

44. Exemplo 5: Um fofoqueiro está espalhando um boato e resolve passá-lo a
três novas pessoas, que repetem o processo e repassam a notícia adiante
do mesmo modo, sempre a pessoas diferentes em relação à aquelas que já
detinham a informação. Assim, ninguém recebeu a fofoca de mais de uma
pessoa, conforme ilustra a figura abaixo.
A ilustração anterior expõe o crescimento da quantidade de pessoas
sabendo da fofoca até o 4º nível. Quantas pessoas saberão da notícia ate
que ela chegue ao 9º nível?