1. O documento discute problemas inversos em geofísica, abordando sua formulação, caracterização, solução e desafios.
2. Problemas inversos em geofísica são mal-postos devido à ambiguidade fundamental entre modelo e dados. Técnicas como introduzir informação a priori podem reduzir essa ambiguidade.
3. Diferentes vínculos como suavidade, compactação e escassez podem ser usados como informação a priori para resolver problemas inversos de forma estável.
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FORMA ANALÍTICA E MÉTODOS DAS DIFERENÇAS FINITAS APLICADO AO POTENCIAL DENTRO...JÚLIO PEIXOTO
Resolução analiticamente o problema de Dirichlet, aplicado a uma calha condutora fechada com quatro condições de fronteira e comparar com uma solução de cálculo numérico utilizando o método das diferenças finita. Todas os resultados serão apresentados de forma gráfica e por fim será realizado uma comparação para análise do erro percentual dos dois métodos utilizados.
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FORMA ANALÍTICA E MÉTODOS DAS DIFERENÇAS FINITAS APLICADO AO POTENCIAL DENTRO...JÚLIO PEIXOTO
Resolução analiticamente o problema de Dirichlet, aplicado a uma calha condutora fechada com quatro condições de fronteira e comparar com uma solução de cálculo numérico utilizando o método das diferenças finita. Todas os resultados serão apresentados de forma gráfica e por fim será realizado uma comparação para análise do erro percentual dos dois métodos utilizados.
A heterocedasticidade é um conceito fundamental na análise de dados estatísticos e econômicos, especialmente em modelos de regressão. Esse termo refere-se à situação em que a variância dos erros de um modelo estatístico não é constante em relação às variáveis explicativas. Em outras palavras, a dispersão dos erros não é uniforme em toda a extensão das variáveis independentes. Isso pode levar a problemas na estimação dos parâmetros do modelo e na interpretação dos resultados.
Para compreender melhor a heterocedasticidade, é útil considerar um exemplo. Suponha que estejamos interessados em examinar a relação entre o salário dos funcionários de uma empresa e seu nível de educação, idade e experiência profissional. Utilizamos um modelo de regressão para estimar essa relação, mas ao analisar os resíduos do modelo, percebemos que a variância dos erros aumenta à medida que o salário médio dos funcionários aumenta. Isso indica a presença de heterocedasticidade nos dados.
Existem várias causas potenciais para a heterocedasticidade. Uma delas é a presença de outliers nos dados, ou seja, observações que se desviam significativamente da tendência geral dos dados. Outra causa pode ser a especificação incorreta do modelo, onde a relação funcional entre as variáveis não é adequadamente capturada.
Os efeitos da heterocedasticidade podem ser problemáticos. Por exemplo, os estimadores de mínimos quadrados ordinários (MQO), comumente usados em modelos de regressão, podem produzir estimativas imprecisas e ineficientes quando os erros são heterocedásticos. Isso pode levar a erros padrão incorretos, o que por sua vez afeta a inferência estatística sobre os parâmetros do modelo.
Felizmente, existem várias técnicas para lidar com a heterocedasticidade. Uma abordagem comum é a utilização de estimadores robustos, como os estimadores de mínimos quadrados generalizados (MQG), que são menos sensíveis à presença de heterocedasticidade. Além disso, é possível transformar as variáveis envolvidas no modelo para estabilizar a variância dos erros.
É importante identificar e corrigir a heterocedasticidade, pois ela pode distorcer as conclusões e interpretações tiradas a partir do modelo estatístico. Portanto, os analistas de dados devem estar atentos à possibilidade desse fenômeno e utilizar as técnicas apropriadas para mitigar seus efeitos, garantindo assim a robustez e confiabilidade das análises estatísticas realizadas.
Aplicações da equação de Schrödinger independente do tempoLucas Guimaraes
Equação de Schrödinger; Interpretação probabilística da função de onda; Normalização; Equação de Schrödinger independente do tempo; Poço potencial quadrado infinito; Poço potencial quadrado finito.
(apresentação publicada com autorização do autor).
Palestra apresentada por Pedro Mário Cruz e Silva, Solution Architect da NVIDIA, como parte da programação da VIII Semana de Inverno de Geofísica, em 19/07/2017.
Minicurso de FWI ministrado por Bruno Pereira Dias, André Bulcão e Djalma Manoel Soares Filho (PETROBRAS), durante a VII Semana de Inverno de Geofísica, 2016, no IMECC/UNICAMP.
Neste módulo é abordado o Método Adjunto para o cálculo do gradiente da função objetivo do método FWI.
Minicurso de FWI ministrado por Bruno Pereira Dias, André Bulcão e Djalma Manoel Soares Filho (PETROBRAS), durante a VII Semana de Inverno de Geofísica, 2016, no IMECC/UNICAMP.
Nesse módulo é apresentado o algoritmo geral do método FWI.
Minicurso de FWI ministrado por Bruno Pereira Dias, André Bulcão e Djalma Manoel Soares Filho (PETROBRAS), durante a VII Semana de Inverno de Geofísica, 2016, no IMECC/UNICAMP.
Neste módulo são abordados métodos de otimização usualmente empregados nos problemas de FWI.
Minicurso de FWI ministrado por Bruno Pereira Dias, André Bulcão e Djalma Manoel Soares Filho (PETROBRAS), durante a VII Semana de Inverno de Geofísica, 2016, no IMECC/UNICAMP.
Neste módulo é abordado o modelamento de dados sísmicos.
Minicurso de FWI ministrado por Bruno Pereira Dias, André Bulcão e Djalma Manoel Soares Filho (PETROBRAS), durante a VII Semana de Inverno de Geofísica, 2016, no IMECC/UNICAMP.
Módulo introdutório.
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Sequência Didática - Cordel para Ensino Fundamental ILetras Mágicas
Sequência didática para trabalhar o gênero literário CORDEL, a sugestão traz o trabalho com verbos, mas pode ser adequado com base a sua realidade, retirar dos textos palavras que iniciam com R ou pintar as palavras dissílabas ...
Sistema de Bibliotecas UCS - Chronica do emperador Clarimundo, donde os reis ...Biblioteca UCS
A biblioteca abriga, em seu acervo de coleções especiais o terceiro volume da obra editada em Lisboa, em 1843. Sua exibe
detalhes dourados e vermelhos. A obra narra um romance de cavalaria, relatando a
vida e façanhas do cavaleiro Clarimundo,
que se torna Rei da Hungria e Imperador
de Constantinopla.
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Slideshare Lição 10, CPAD, Desenvolvendo uma Consciência de Santidade, 2Tr24, Pr Henrique, EBD NA TV, Lições Bíblicas, 2º Trimestre de 2024, adultos, Tema, A CARREIRA QUE NOS ESTÁ PROPOSTA, O CAMINHO DA SALVAÇÃO, SANTIDADE E PERSEVERANÇA PARA CHEGAR AO CÉU, Coment Osiel Gomes, estudantes, professores, Ervália, MG, Imperatriz, MA, Cajamar, SP, estudos bíblicos, gospel, DEUS, ESPÍRITO SANTO, JESUS CRISTO, Com. Extra Pr. Luiz Henrique, de Almeida Silva, tel-What, 99-99152-0454, Canal YouTube, Henriquelhas, @PrHenrique, https://ebdnatv.blogspot.com/
Projeto de articulação curricular:
"aLeR+ o Ambiente - Os animais são nossos amigos" - Seleção de poemas da obra «Bicho em perigo», de Maria Teresa Maia Gonzalez
proposta curricular da educação de jovens e adultos da disciplina geografia, para os anos finais do ensino fundamental. planejamento de unidades, plano de curso da EJA- GEografia
para o professor que trabalha com a educação de jovens e adultos- anos finais do ensino fundamental.
6. OBJETIVO DA GEOFÍSICA
Obter informação sobre a subsuperfície
campos:
elétrico
eletromagnétic
o
magnético
gravimétrico
.
transmissão do calor.
perturbações elásticas.
radiação nuclear.
indiretamente
25. Paciente: Vlad Tepes
Médico: Dr. Bram Stoker
LEUCOGRAMA
Valores de referência
Leucócitos 4600/ mm3
4000 a 10000/mm3
Linfócitos 35 % 25 a 50 %
Monócitos 9 % 2 a 10 %
Neutrófilos 53 % 50 a 80 %
Eosinófilos 2 % 0 a 5 %
Basófilos 1 % 0 a 2 %
Laboratório Sangue Azul
26. Paciente: Vlad Tepes
Médico: Dr. Bram Stoker
LEUCOGRAMA
Valores de referência
Leucócitos 4600/ mm3
4000 a 10000/mm3
Linfócitos 35 % 25 a 50 %
Monócitos 9 % 2 a 10 %
Neutrófilos 96 % 50 a 80 %
Eosinófilos 2 % 0 a 5 %
Basófilos 1 % 0 a 2 %
Laboratório Sangue Azul
27. Paciente: Vlad Tepes
Médico: Dr. Bram Stoker
LEUCOGRAMA
Valores de referência
Leucócitos 4600/ mm3
4000 a 10000/mm3
Linfócitos 87 % 25 a 50 %
Monócitos 9 % 2 a 10 %
Neutrófilos 53 % 50 a 80 %
Eosinófilos 2 % 0 a 5 %
Basófilos 1 % 0 a 2 %
Laboratório Sangue Azul
28. Num problema mal-posto
a solução não obedece a pelo
menos uma das condições:
Existência.
.
.
Unicidade
Estabilidade
29. Existência
N1 e N2 são números naturais.
Encontrar N1 e N2 , tal que:
N1 + N2 = 8,3
30. Unicidade
N1 e N2 são números naturais.
Encontrar N1 e N2 , tal que
N1 + N2 = 10
31. Estabilidade
Observar uma componente muito pequena de um
fenômeno ou propriedade
0,000001 x = y
0,000001 x = y + r
xc = y / 0,000001
x = y / 0,000001 + r/ 0,000001
x = xc + 1 00000 r
49. A inversão de dados geofísicos é um
problema mal-posto
A solução não obedece a pelo menos
uma das condições:
Existência.
.
.
Unicidade
Estabilidade
50. ( ) ( ) ( ) ''''''
,,, d zd xzxpzxzxGzxy iiii
o
∫Ω
=
x
z
+ +
+ + +
+
+ + + + ++
( )''
, zxp
Ω
( )zxy ii
o
Ω
51. O problema inverso geofísico é
subdeterminado e portanto não
apresenta solução única
Diagnóstico:
( ) ( ) ( ) ''''''
,,, d zd xzxpzxzxGzxy iiii
o
∫Ω
=
53. Introduzir informação a priori
Solução:
Reduzir a demanda de informação
Informação
demandada
pelo intérprete
Informação
contida nos
dados
54. N1 + N2 = 10
Reduzir a demanda de informação
É possível determinar a média de ambos os números (5)
Introduzir informação a priori:
Não é necessário conhecer o valor de um dos números
para determinar o outro
É suficiente conhecer algumas características dos números
55. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
9 8 7 6 5 4 3 2 1
N1 e N2 estão o mais próximo possível um do outro
N1 e N2 são números naturais
N1 + N2 = 10
56. N1 + N2 = 10
N1 e N2 são números naturais
N1 ≤ N2
Um e somente um dos números é primo
1 2 3 4 5 6 7 8 9
9 8 7 6 5 4 3 2 1
57. Na Interpretação Geofísica:
A informação a priori deve provir do
conhecimento geológico
Toda e qualquer informação relevante
deve ser usada
58. As condições matemáticas que levam a
Informação Geológica
EstabilidadeUnicidade
Podem ser interpretadas em termos de
59. Vínculos passíveis de serem
introduzidas no problema geofísico
inverso
• Suavidade
• Suavidade ponderada
• Compacidade
• Concentração no entorno de eixos e pontos
• Escassez (Sparsity):
• Variação total
60. Valores de parâmetros adjacentes devem
estar o mais próximo possível
i
h
hi +1
hi +2
...
...
h
i +1
h
i
h
i +2
≅≅
z
x
SUAVIDADE
81. ( ) ( ) ( )[ ]
∫ ∫ ∫∑
+
−
+
− −+−+−
−
=
bx
bx
∞
∞
p
0
jjj
jijiji
j
ji
oj
oj
j
dzdydx
zzyyxx
zz
dg '''
'''
'
2
3222
γ
x
+ +
+
+...y1
o
y2
o
y3
o
yN
o
mGal
...p1 p2 pM
Profundidade
O problema não linear
82. =g F (p)
=g F’(p) (p-po)
p-po= [F’(p)]-1
g
p= po + [F’(p)]-1
g
∑=
j
ig γ f (pj), i=1,2 ...N
p=po
p=po
p=po
( ) ( ) ( )[ ]
∫ ∫ ∫∑
+
−
+
− −+−+−
−
=
bx
bx
∞
∞
p
0
jjj
jijiji
j
ji
i
i
j
dzdydx
zzyyxx
zz
dg '''
'''
'
2
3222
γ
83. Analogia com uma equação escalar:
a x + 4 = b
x = a -1
( b-4 )
a x8
+ log(x)+ c e sin(x)
= d
x =
log(x)= d- a x8
- c e sin(x)
)sin( x
ceaxd
ex
−−
=
8
x = f (x) xk+1 = f (xk)
84. Problema inverso não linear:
Complexo
Aplicável a uma ampla classe de problemas
Em geral resolvido iterativamente
Pode ou não ser mal-posto
86. A resolução de um problema inverso
consiste de três etapas:
Formulação do problema
Construção da solução
Avaliação da solução
87. Analisar a qualidade das soluções
SoluçõesSoluções
Escolher o estabilizador matemático em
consonância com a informação geológica
disponível
Problema geológico
Simplificações
Modelo Interpretativo
Relação funcional
Problema matemático
89. Soleiras
1) Não há contraste lateral ou vertical entre os sedimentos
2) Não há contraste entre os sedimentos e o embasamento
ou o efeito correspondente foi previamente removido
Simplificações:
90. Analisar a qualidade das soluções
SoluçõesSoluções
Escolher o estabilizador matemático em
consonância com a informação geológica
disponível
Problema geológico
Simplificações
Modelo Interpretativo
Relação funcional
Problema matemático
92. Analisar a qualidade das soluções
SoluçõesSoluções
Escolher o estabilizador matemático em
consonância com a informação geológica
disponível
Problema geológico
Simplificações
Modelo Interpretativo
Relação funcional
Problema matemático
93. x
+ +
+
+...y1
o
y2
o
y3
o
yN
o
mGal
( ) ( ) ( )[ ]
∫ ∫ ∫∑
+
−+−+−
−
=
bxo ∞
-∞
jjj
jijiji
j
ji
j
dzdydx
zzyyxx
zz
pg '''
'''
'
2
3222
γ
+bzoj
−bxoj
+bzoj
Profundidade
95. Analisar a qualidade das soluções
SoluçõesSoluções
Escolher o estabilizador matemático em
consonância com a informação geológica
disponível
Problema geológico
Simplificações
Modelo Interpretativo
Relação funcional
Problema matemático
97. Analisar a qualidade das soluções
SoluçõesSoluções
Escolher o estabilizador matemático em
consonância com a informação geológica
disponível
Problema geológico
Simplificações
Modelo Interpretativo
Relação funcional
Problema matemático
99. 0.0
0.5
1.0
1.5
0 2 4 6 8 10
Profundidade(km)
x ( km )
Fontes verdadeiras
Solução de mínimos quadrados
0
0.02
0.05
0.06
0.03
0.07
0.04
100. Analisar a qualidade das soluções
SoluçõesSoluções
Escolher o estabilizador matemático em
consonância com a informação geológica
disponível
Problema geológico
Simplificações
Modelo Interpretativo
Relação funcional
Problema matemático
102. Analisar a qualidade das soluções
SoluçõesSoluções
Escolher o estabilizador matemático em
consonância com a informação geológica
disponível
Problema geológico
Simplificações
Modelo Interpretativo
Relação funcional
Problema matemático
103. x ( km )
100 2 4 6 8
0.0
1.0
1.5
2.0
Profundidade(km)
Vínculo de escassez
Concentração ao longo de eixos
104. Analisar a qualidade das soluções
SoluçõesSoluções
Escolher o estabilizador matemático em
consonância com a informação geológica
disponível
Problema geológico
Simplificações
Modelo Interpretativo
Relação funcional
Problema matemático
112. p = ( AT
A)-1
AT
yo
Mínimos quadrados elimina o problema
da inexistência de solução causada:
Por um número maior de observações não redundantes
que parâmetros
Pela presença de ruído
p = A-1
yo
114. Mínimos quadrados elimina o problema
da inexistência de solução causada:
Por um número maior de observações não redundantes
que parâmetros
Pela presença de ruído
116. Mínimos quadrados elimina o problema
da inexistência de solução causada:
Por um número maior de observações não redundantes
que parâmetros
Pela presença de ruído
(Modelo interpretativo simples)
Não elimina a instabilidade
127. O problema mal-posto ocorre quando:
que o número de parâmetros a ser determinados
1) O número de observações independentes é menor
2) Dois ou mais parâmetros podem ser grupados na
expressão do funcional ajustante
137. Para garantir a existência:
minimiza-se:
y1pcpc =+ 212111
o
y2pcpc =+ 222121
o
pcpc − 212111y1
o
−( )2
+ pcpc − 222121y2
o
−( )2
ao invés de resolver o sistema:
no sentido dos mínimos quadrados
140. Problemas mal-postos × Problemas bem-postos
3) Caracterização matemática
Decomposição em valores singulares
Ax = y
Ax = λx, x ≠ 0
A é uma matriz N × N
Ax – λx = 0
(A – λΙ) x = 0
det (A – λΙ) = 0
Autovetores e autovalores
141. det (A – λΙ) = 0
∑ ci λN-i
= 0
0
N
Equação característica de A
As raízes desta equação são os autovalores de A e os
vetores x associados a cada autovalor são os autovetores
146. Y P
T
.
.
T(p)=y, p∈P; y∈YEspaço nulo de uma transformação
F
é o subespaço F ⊂ P, tal que T(p) = , ∀ p ∈ Fφ
p
y = φy
147. Espaço nulo de um operador linear
A p*
= y
A po
= 0
A p*
+ λ A po
= y
A ( p*
+ λ po
) = y
λ
148. A decomposição em valores singulares
na caracterização de problemas mal-postos
Exemplo – tomografia simplificada
p1
p3
p4
p2
d
t1= d p1 + d p4
t2= d p2 + d p3
1 0 0 1
0 1 1 0
p1
p2
p3
p4
=
12
d
t1
d
t2
149. 1 0 0 1
0 1 1 0
p1
p2
p3
p4
=
d
t1
d
t2
1 0
0 1
2
√2
0
0 0 0
0 02
√2
2
√2
0 02
√2
002
√2
2
√2
002
√2
2
√2
2
√2
0 02
√2
p1
p2
p3
p4
=
d
t1
d
t2
A
U S
VT
156. Mínimos quadrados e a Decomposição
em Valores Singulares
Análise de estabilidade
p = ( AT
A)-1
AT
yo
A = U S VT
p = ( VSUT
USVT
)-1
VSUT
yo
p = ( VSSVT
)-1
VSUT
yo
p = ( VS2
VT
)-1
VSUT
yo
p = VS-2
VT
VSUT
yo
p = VS-2
SUT
yo
p = VS-1
UT
yo
157. Mínimos quadrados e a Decomposição
em Valores Singulares
Análise de estabilidade
p = VS-1
UT
yo
p = V S-1
β
p = V γ
=
v11 γ1 + v12 γ2
v21 γ1 + v22 γ2
v11 v12
v21 v22
γ1
γ2
v11 v12
v21 v22
γ1
γ2
= +
v11
v21
γ1
v12
v22
γ2ivp = ∑
M
=i 1
iγ
p = ∑
M
=i 1
ivβi
si
158. p = ∑
M
=i 1
ivβi
si
Análise de estabilidade
p = ∑
M
=i 1
ivβi + δi
si
Dados contaminados com ruído
β = UT
yo
p = ∑
M
=i 1
ivβi
si
+ ivδi
si
∑
M
=i 1
174. Ridge Regression
min || p ||2
sujeito a || yo
-Ap ||2
= δ
τ = || yo
-Ap ||2
+ µ || p ||2
τ = [yo
-Ap]T
[yo
-Ap] + µ pT
p
∇p τ = -2AT
[yo
-Ap] + µ 2 p = 0^ ^
-AT
yo
+ AT
A p + µ p = 0^ ^
(AT
A + µ Ι ) p = AT
yo^
p = (AT
A + µ Ι )-1
AT
yo^
∇p τ =2∇p{ [yo
-Ap]T
} [yo
-Ap] + µ 2∇p{pT
} p
175. DECOMPOSIÇÃO EM VALORES SINGULARES
MÍNIMOS
QUADRADOS
INVERSA
GENERALIZADA
RIDGE
REGRESSION
p = ∑
M
=i 1
ivβisi
1
p = ∑
=i 1
ivβisi
1
r
p = ∑
M
=i 1
ivβi
si
1
µ
si
+
M r
si si
M
198. 19601900 1950 1960 1980
Advento do computador
1900 1950 1960 1980 1990
Problemas mal-postos
Problemas bem-postos
Redução na busca de informação
Mínimos quadrados
Ambiguidade reconhecida
Introdução de Informação a priori
Vínculos locais - geológicos
Vínculos globais - matemáticos
Inversa generalizada
Ridge regression
Aproximação inicial
Modelos simples
199. p1
Problema não linear:
Sequencia de problemas lineares
Incógnitas: passo dos parâmetros
Aplicação da I.G. ou ridge ao passo
Passos pequenos
A aproximação inicial como vínculo geológico e matemático
200. 1900 1950 1960 1980 1990
Necessidade de métodos
de modo:
que incorporassem informação:
matematicamente simples
geológica
global
prático
efetivo
210. SUAVIDADE
min ||Rp ||2
sujeito a || yo
-Ap ||2
= δ
τ = || yo
-Ap ||2
+ µ || Rp ||2
τ = [yo
-Ap]T
[yo
-Ap] + µ pT
RT
R p
∇p τ = -2AT
[yo
-Ap] + µ 2RT
R p= 0^ ^
-AT
yo
+ AT
A p + µ RT
Rp = 0^ ^
(AT
A + µ RT
R ) p = AT
yo^
p = (AT
A + µ RT
R )-1
AT
yo^
∇p τ =2∇p{ [yo
-Ap]T
} [yo
-Ap] + µ 2∇p{pT
RT
} Rp
255. =
Φ =
pi
2
pi
2
+ ε
~
~∑
M
i 1
= número de células com ≠ 0pi
~min
sujeito a
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap) = δ
=
Φ =
pi
2
pi
2
+ ε∑
M
i 1
= pT
W p W=
1
pi
2
+ ε
sujeito a
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap) = δ
min pT
W p
256. Inversão Compacta
min pT
W p sujeito a || yo
-Ap ||2
= δ
τ = [yo
-Ap]T
[yo
-Ap] + µ pT
W p
∇p τ = -2AT
[yo
-Ap] + µ 2 W p = 0^ ^
-AT
yo
+ AT
A p + µ W p = 0^^
(AT
A + µ W ) p = AT
yo^
p = (AT
A + µ W )-1
AT
yo^
∇p τ =2∇p{ [yo
-Ap]T
} [yo
-Ap] + µ 2∇p{pT
} Wp
257. p = (AT
A + µ W )-1
AT
yo^
^p = [AT
A + µ W( p ) ]-1
AT
yo^p^p^
x = f (x) Problema de ponto fixo
xn+1 = f (xn )
^pn+1 = [AT
A + µ W( pn ) ]-1
AT
yo^
^pn+1 = pn + [AT
A + µ W( pn ) ]-1
AT
(yo
–Apn)^ ^ ^
294. 1) Missão da regularização: estabilizar a solução.
3) O funcional estabilizador incorpora informação a priori factual?
2) Solução geofísica: tem que ser estabilizada
NÃO: Menor valor SIM: Maior valor
SOLUÇÃO ESTÁVEL
AJUSTE ACEITÁVEL
310. A p = yo
Problema linear:
Para garantir existência de uma solução,
minimiza-se a forma quadrática:
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap)
tomando-se o gradiente em relação a p e igualando ao vetor nulo,
o que leva à equação linear:
AT
A p = AT
yo
311. A (p) p = yo
Problema não linear:
Para garantir existência de uma solução,
minimiza-se a forma contendo derivadas de ordem arbitrária:
[yo
-f (p) ]T
[yo
-f (p)]
que, mesmo após tomar o gradiente,
não leva a uma equação linear:
Desse modo, não há uma expressão explícita para o estimador
de p:
315. Φ(p)+ µ . = τ(yo
-Ap)T
(yo
-Ap)
Problema linear
Problema não linear
Φ(p)+ µ . = τ[yo
-f (p)]T
[yo
- f (p)]
Incorporação de informação a priori
316. 4.00
+ µ . =
Problema linear
+ =
Problema não linear
µ .
Incorporação de informação a priori
317. pT
Wp = p1 p2 pM
p1
p2
pM
w1
w2
wM
w1 p1 w2 p2 wM pM
p1
p2
pM
=
w1 (p1)2
+ w2( p2)2
+ wM (pM)2
Incorporação de informação a priori
min Φ(p) = pT
Wp
sujeito a
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap)=δ
Problema linear Problema não linear
Forma explícita:
p=(AT
A+µW)-1
AT
yo
?
Forma explícita:
min Φ(p) = pT
Wp
sujeito a
[yo
- f (p)]T
[yo
- f (p)]=δ
319. Problema não linear
Metodologia: encontrar uma estratégia de
descida para o mínimo de τ
min Φ(p) = pT
Wp
sujeito a
[yo
- f (p)]T
[yo
-f (p)]=δ
τ =[yo
-f (p)]T
[yo
-f (p)] + µ pT
Wpmin
320. Métodos de busca
Métodos de gradiente
Nelder-Mead
Simulated annealing
Algoritmos genéticos
Máxima declividade
Newton / Gauss-Newton
Marquardt
Principais estratégias
329. Confusão entre: parâmetro de regularização e
parâmetro de Marquardt
Problema linear estabilizado pela norma euclideana (Ridge regression):
min pT
p
sujeito a
[yo
-Ap]T
[yo
-Ap]=δ
Problema não linear não estabilizado (passo de Gauss-Newton):
[yo
-f (p)]T
[yo
-f (p)]min
p = ( AT
A + µ I )-1
AT
yo^
∆p = [ AT
(pk) A(pk) + λ I ]-1
AT
(pk)∆yo^
Marquardt
330. Problema linear ou não linear
Problema não linear
Parâmetro de regularização
Parâmetro de Marquardt
331. A confusão entre parâmetro de regularização e
parâmetro de Marquardt pode levar o intérprete
desavisado a uma perigosa cilada:
Usar somente o parâmetro de Marquardt com duplo papel de
estabilizar o passo e os parâmetros diminuindo-o ao longo das
iterações
332.
333.
334. 1 - INTRODUÇÃO
2 - FORMULAÇÃO
3 - CARACTERIZAÇÃO - SVD
4 - SOLUÇÃO - MQ, IG, RIDGE, SUAV
5 - SOLUÇÃO - VÍNCULOS DE ESCASSEZ
7 – PROBLEMAS DE GRANDE PORTE
6 - NÃO LINEAR
CONTEÚDO
339. Levantamentos de alta resolução
Uso do tensor gravimétrico/magnético
Espaçamento de 100m
5 componentes
Interpretação 3D
100 células em z
Bacias marginais e oceânicas
50.000 a 500.000 km2
343. [ Ψ’’ + µ Φ’’] (pk+1-
pk
)= - [ Ψ’ + µ Φ’]
Newton:
[ Ψ’’(pk
) + µ Φ’’(pk
)] (pk+1
– pk
) = - [ Ψ’(pk
) + µ Φ’(pk
)]
Ak
bk
yk=
Carga computacional:
Formação da matriz A
Inversão da matriz A (ou resolução do sistema)
344. Gradiente Conjugado:
Forma a matriz A
Resolve eficientemente o sistema
Quasi-Newton:
Formação aproximada da matriz A
Inversão aproximada da matriz A
Métodos algorítmicos:
Não forma a matriz A
Não inverte a matriz A
345. min
Gradiente conjugado
x ∈ Rn
Construir uma base para Rn
na qual a minimização de f (x) é
extremamente simples
i ≠ j
352. Gradiente Conjugado:
Forma a matriz A
Resolve eficientemente o sistema
Quasi-Newton:
Formação aproximada da matriz A
Inversão aproximada da matriz A
Métodos algorítmicos:
Não forma a matriz A
Não inverte a matriz A
357. Gradiente Conjugado:
Forma a matriz A
Resolve eficientemente o sistema
Quasi-Newton:
Formação aproximada da matriz A
Inversão aproximada da matriz A
Métodos algorítmicos:
Não forma a matriz A
Não inverte a matriz A
360. =
Φ = ∑
M
i 1
0, se pi = 0
= momento de inércia em relação ao eixo
pi + ε~
pi
2~
pi
2~
di
2
pi + ε~
pi
2~
pi
2~
di
2
pi di
2 ,
se pi ≠ 0
~
pi
361. min
sujeito a
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap) = δ
= pT
W p
sujeito a
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap) = δ
min pT
W p
=
Φ = ∑
M
i 1
= momento de inércia em relação ao eixo
pi + ε~
pi
2~
pi
2~
di
2
=
Φ = ∑
M
i 1
pi + ε~
pi
2~
pi
2~
di
2
W=
pi + ε~
di
2
362. Mínimo Momento de Inércia
min pT
W p sujeito a || yo
-Ap ||2
= δ
τ = [yo
-Ap]T
[yo
-Ap] + µ pT
W p
∇p τ = -2AT
[yo
-Ap] + µ 2 W p = 0^ ^
-AT
yo
+ AT
A p + µ W p = 0^^
(AT
A + µ W ) p = AT
yo^
p = (AT
A + µ W )-1
AT
yo^
∇p τ =2∇p{ [yo
-Ap]T
} [yo
-Ap] + µ 2∇p{pT
} Wp
365. Gradiente Conjugado:
Forma a matriz A
Resolve eficientemente o sistema
Quasi-Newton:
Formação aproximada da matriz A
Inversão aproximada da matriz A
Métodos algorítmicos:
Não forma a matriz A
Não inverte a matriz A
366. Por favor, como faço para
chegar à Rua das Flores?
É muito fácil. Para chegar ao início dela,
encontre o ponto da Avenida Rio Branco
situado a uma distância mínima (na norma L2)
do Obelisco da Avenida Central.
368. min
sujeito a
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap) = δ
= pT
W p
sujeito a
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap) = δ
min pT
W p
=
Φ = ∑
M
i 1
= momento de inércia em relação ao eixo
pi + ε~
pi
2~
pi
2~
di
2
=
Φ = ∑
M
i 1
pi + ε~
pi
2~
pi
2~
di
2
W=
pi + ε~
di
2
369. Mínimo Momento de Inércia
min pT
W p sujeito a || yo
-Ap ||2
= δ
τ = [yo
-Ap]T
[yo
-Ap] + µ pT
W p
∇p τ = -2AT
[yo
-Ap] + µ 2 W p = 0^ ^
-AT
yo
+ AT
A p + µ W p = 0^^
(AT
A + µ W ) p = AT
yo^
p = (AT
A + µ W )-1
AT
yo^
∇p τ =2∇p{ [yo
-Ap]T
} [yo
-Ap] + µ 2∇p{pT
} Wp
Vejamos o conceito de ambiguidade. Ambiguidade é a existência de 2 ou mais soluções diferentes de um problema. Por exemplo, o brinquedo infantil que consiste em descobrir qual objeto se encaixa perfeitamente através de um buraco redondo. Claramente temos duas soluções diferentes. Claramente, se existem duas soluções diferentes é porque não informamos, no enunciado do problema a diferença entre estas soluções. Se tivéssemos dito que queríamos o menor corpo que se encaixa perfeitamente no buraco redondo, então haveria somente uma solução
Vemos desse modo que a ambiguidade está relacionada à falta de informação. Especificamente, a falta de informação é a causa da ambiguidade. Vejamos um exemplo mais prático. É comum um paciente ir ao médico, relatar alguns sintomas que o incomodam e esperar por um diagnóstico. Por exemplo, ele se queixa de estar com febre. Este sintoma pode estar associado a pelo menos duas situações como uma infecção bacteriana e uma infecção virótica. Sem mais informações além do sintoma da febre, o médico não consegue fazer um diagnóstico. Para tal ele precisa de mais informações, que no caso consiste em solicitar um exame de sangue.
Ou seja, um leucograma que descreve a quantidade de cada grupo de células de defesa do organismo. Na coluna do meio estão os valores medidos e na coluna da direita estão os valores de referência com os intervalos de normalidade. Se o paciente apresentar excesso de neutrófilos, ele terá uma infecção bacteriana, ao passo que um excesso de linfócitos indicará uma infecção virótica.
Fig 4
Considere o espaço Euclideano 2D x-z representando o semiespaço inferior, onde estão situadas todas as possíveis distribuições espaciais de propriedade física. Este semiespaço corresponde a este espaço topológico representado por este círculo branco. Este outro espaço representado por estes eixos cor de rosa é o espaço das anomalias geofísicas produzidas pelas diversas distribuições de propriedade física. O correspondente espaço topológico está representado por este círculo cor de rosa. Vamos presumir um modelo interpretativo consistindo de um cilindro horizontal, ou seja, vamos procurar o cilindro que melhor represente a fonte anômala. Este cilindro horizontal particular corresponde ao ponto verde no espaço topológico e o círculo cinza escuro representa o sub-espaço que contém todos os possíveis cilindros horizontais do mundo Esta é a anomalia produzida pelo cilindro verde, que é mapeada como o ponto azul no espaço topológico das anomalias e o círculo vermelho representa o sub-espaço que contém todas as anomalias produzidas por cilindros. Acontece que uma anomalia observada pode ser parecida com a anomalia de um cilindro, mas é diferente porque contém ruído, ou seja, ela está situada fora do subespaço representado pelo círculo vermelho, de modo que não existe cilindro no mundo que explique a anomalia observada, ou seja a solução não existe. Vamos ampliar este espaço contendo as observações geofísicas.
Embora não exista anomalia de um cilindro capaz de explicar exatamente a anomalia observada, sempre será possível encontrar um cilindro que produza uma anomalia que esteja o mais próximo possível da anomalia observada. No espaço topológico, essa anomalia é representada pela projeção da solução no subespaço das anomalias produzidas por cilindros, mostrada por este ponto azul. Em outras palavras, o ponto azul é a anomalia produzida por um cilindro que está mais próxima da anomalia observada (ponto amarelo)
Se houver só uma observação, ela definirá um plano que sempre interceptará a reta de 45 graus. num espaço de 3 dimensões, se houver 2 observações, a interseção destas definirá uma reta que em geral será reversa com a reta de 45 graus.
Portugal
A 3-d view of a mercator projection of the mantle, with orange surfaces surrounding warm blobs of mantle, which should be rising plumes.
Mackenzie River, CA
Hydrate Ridge (HR), located about 100 km oshore from Newport, Oregon,
(a) Figura 3: (a) Anomalia Bouguer contaminada com ruído (linha contínua azul) devido à bacia sedimentar simulada em (b) tendo duas regiões distintas (I e II) com LPs definidas por D r o I = -0,6 g/cm 3 , a I = 0,10 g/cm 3 /km e D r o II = -0,4 g/cm 3 , a II = 0,05 g/cm 3 /km. As linhas tracejadas vermelhas indicam a anomalia ajustada produzida pela solução (c). Os asteriscos indicam as posições dos poços utilizados na varredura do funcional . Mapas de contorno e as correspondentes vistas em perspectivas das profundidades do embasamento verdadeiro (b ) e estimado (c ) via inversão após a identificação dos pares (D r o , a ) pela varredura do funcional .
(b) Figura 3: (a) Anomalia Bouguer contaminada com ruído (linha contínua azul) devido à bacia sedimentar simulada em (b) tendo duas regiões distintas (I e II) com LPs definidas por D r o I = -0,6 g/cm 3 , a I = 0,10 g/cm 3 /km e D r o II = -0,4 g/cm 3 , a II = 0,05 g/cm 3 /km. As linhas tracejadas vermelhas indicam a anomalia ajustada produzida pela solução (c). Os asteriscos indicam as posições dos poços utilizados na varredura do funcional . Mapas de contorno e as correspondentes vistas em perspectivas das profundidades do embasamento verdadeiro (b ) e estimado (c ) via inversão após a identificação dos pares (D r o , a ) pela varredura do funcional .
(c) Figura 3: (a) Anomalia Bouguer contaminada com ruído (linha contínua azul) devido à bacia sedimentar simulada em (b) tendo duas regiões distintas (I e II) com LPs definidas por D r o I = -0,6 g/cm 3 , a I = 0,10 g/cm 3 /km e D r o II = -0,4 g/cm 3 , a II = 0,05 g/cm 3 /km. As linhas tracejadas vermelhas indicam a anomalia ajustada produzida pela solução (c). Os asteriscos indicam as posições dos poços utilizados na varredura do funcional . Mapas de contorno e as correspondentes vistas em perspectivas das profundidades do embasamento verdadeiro (b ) e estimado (c ) via inversão após a identificação dos pares (D r o , a ) pela varredura do funcional .
Figura 8: Bacia de Almada - Relevo estimado da Bacia de Almada, asteriscos vermelhos indicam as posições dos 8 poços que atingem o embasamento.
The SEG/EAGE AA salt model Fig. 13. Image amplitude recovery for noisy data (SNR 3 dB). (a) Noise image according to Eq. (24). (b) Image after nonlinear recovery from noisy data ( P ). The clearly visible nonstationary noise in (a) is removed during the recovery while the amplitudes are also restored. Steeply dipping reflectors denoted by the arrows are also well recovered.
Figure 3: This seismic section is from southeast Asia and represents a sequence of sands and shales. The Yellow horizon interpretation has not been completed. It is made difficult by the close proximity of events and the structure SEISMIC INVERSION – THE BEST TOOL FOR RESERVOIR CHARACTERIZATION By John Pendrel, Jason Geosystems Canada
Figure 4: This shows the constrained sparse spike inversion of the data in Figure 3. It is a much simpler section due to the attenuation of wavelet sidelobes. The completion of the Yellow horizon is now easy. The low impedance region above the Yellow, in the middle of the figure has been interpreted to be a valley fil SEISMIC INVERSION – THE BEST TOOL FOR RESERVOIR CHARACTERIZATION By John Pendrel, Jason Geosystems Canada