Palestra apresentada por Thierry Lemaire (UFBA), durante a IV Semana de Inverno de Geofísica, IMECC/Unicamp, 2013

1. Fenômenos
eletromagnéticos:
conceitos e
aplicações em
Geofísica e Física
Thierry Lemaire
Departamento de Física da Terra e
do Meio Ambiente
Instituto de Física - UFBA

2. índice
➢ Introdução
➢ Alguns conceitos de eletromagnetismo
➢ Exemplos de métodos de prospecção eletromagnéticos em
Geofísica
➢ Aplicações de métodos eletromagnéticos em Física
➢ Conclusões

3. Introdução
Para diversas aplicações: é interessante caracterizar / detectar um
objeto sem o alterar / modificar significativamente empregando
métodos pouco ou não invasivos.
Exemplos:
✔ →Geofísica determinação da estrutura do subsolo para fins
diversas, monitoramento do conteudo de um reservatório,
monitoramento / detecção de poluição, …
✔ →Medicina (Física médica) imageamento de partes do corpo
humano, atividades cerebral ou cardiaca, termografia, ...
✔ Engenharia: controle de qualidade, controle de estado de
instalações (tubulações, …), ...
✔ →Outros detecção de sitios arqueológicos, minas enterradas,
tubulações diversas, ...

4. Voltando a Geofísica: grande diversidade de métodos de prospecção
(estudos, ...):
– métodos gravimétricos, magnéticos, sísmicos, elétricos,
eletromagnéticos, … (superfície, aereo, poços).

5. ✔ Em geral:
– Encontrar uma função resposta do subsolo a uma excitação para
métodos ativos (corrente elétrica, campos eletromagnéticos,
ondas sísmicas, …) para métodos ativos:
– →Para método passivo: medir sinais naturais conclusões ?
✔ Interpretação / inversão entendimento dos fundamentos dos
métodos utilizados.
Sistema em estudo
⃗s=⃗T (⃗e ;αi)⃗e

6. Método elétrico de mapeamento da estrutura do subsolo (ref.:
institutomodernoamericano.edu.co)

7. Domínios de utilização dos métodos eletromagnéticos:
- prospecção de minerais;
- água subterrânea;
- fontes geotérmicas;
- prospecção de petróleo;
- detecção de contaminação, ...

8. Alguns conceitos de eletromagnetismo
Síntese de diversas observações
→experimentais no século 19 lei de
Gauss para os campos elétricos e
magnéticos, lei de Faraday da
indução, lei de Ampère:
∯∂
⃗E⋅⃗n dS=
q
0
∯∂
⃗B⋅⃗n dS=0
∮∂S
⃗E⋅d ⃗l =
d ΦB
dt
∮∂S
⃗B⋅d ⃗l =µ0i
onde q é a carga elétricas (excesso de cargas e cargas de polarização)
contida dentro do volume Ω (de fronteira ∂Ω), i a corrente elétrica
que atravessa a superfície S (de fronteira ∂S).

9. Teoremas úteis
Teorema de Gauss - Ostrogradsky
ou teorema da divergência:
∭V
⃗∇⋅⃗F dV =∯S=∂ V
⃗F⋅⃗n dS ∬Σ
⃗∇×⃗F⋅⃗n dS=∮∂Σ
⃗F⋅d ⃗l
Teorema de Stokes:

10. Maxwell (1864)
Síntese das leis do eletromagnetismo por
Maxwell (Heaviside !):
→ conjunto de 4 equações diferenciais,
introduzindo 4 campos eletromagnéticos, e
uma correção à lei de Ampère (lei de
Ampère-Maxwell):
⃗∇⋅⃗D=ρ
⃗∇⋅⃗B=0
⃗∇×⃗E=
∂ ⃗B
∂t
⃗∇× ⃗H =⃗j+
∂ ⃗D
∂t
⃗jonde ρ é a densidade de excesso de cargas elétricas, é a densidade
de corrente elétrica.

11. Interdependância dos campos nas equações de Maxwell
⃗∇
vácuo ε0
,µ0
,c

12. Equações de Maxwell no domínio frequencial
Para uma dependência
temporal em e-iωt
(i2
= -1):
⃗∇⋅⃗D=ρ
⃗∇⋅⃗B=0
⃗∇×⃗E=i ω ⃗B
⃗∇× ⃗H =⃗j i ω ⃗D
Existem relações empíricas entre os
campos envolvendo características dos
meios, as relações constitutivas:
⃗D=⃗D(⃗E)
⃗H = ⃗H (⃗B)
⃗j=⃗j(⃗E)
A interação radiação eletromagnética – matéria é
expressada, introduzindo os vetores polarizações
elétrica e magnética :⃗Pm
⃗Pe
⃗D= 0
⃗E+ ⃗Pe
⃗H=
⃗B
µ0
⃗Pm

13. Para meios lineares, as relações constitutivas tornam-se (com χe
e χm
:
susceptibilidades elétrica e magnética induzidas, σ a condutividade):
⃗Pe(⃗r ,ω)= 0 χe (ω ,t ,⃗r , P ,T ,...) ⃗E(⃗r ,ω)
⃗Pm(⃗r ,ω)=χm(ω ,t ,⃗r , P ,T ,...) ⃗H (⃗r ,ω)
⃗j(⃗r ,ω)=σ(ω ,t ,⃗r , P ,T , ,...) ⃗E(⃗r ,ω)
Obtemos relações lineares para os campos onde aparecem as permis-
sividade dielétrica ε e permeabilidade magnética µ do meio:
⃗D= 0(1+χe) ⃗E= ⃗E= 0 r
⃗E com r=1+χe
⃗B=µ0( ⃗H + ⃗Pm)=µ ⃗H =µ0µr
⃗H com µr=1+χm
Polarização total (elétrica e magnética)
→ soma de 2 termos (induzido I e fonte F):
⃗Pe= ⃗Pe
I
+ ⃗Pe
F
⃗Pm= ⃗Pm
I
+ ⃗Pm
F

14. Equações de onda e equações de difusão para os
campos eletromagnéticos
Mostra-se a existência de ondas
eletromagnéticas estabelecendo uma equação de
onda verificada pelos campos.
⃗∇× ⃗∇× ⃗E= ⃗∇×
∂ ⃗B
∂t
⃗∇× ⃗∇× ⃗H = ⃗∇×(⃗j+
∂ ⃗D
∂t
)
( ⃗∇× ⃗∇×⃗u= ⃗∇ ⃗∇⋅⃗u ⃗∇
2
⃗u)
Para meios lineares, isotrópicos,
homogêneos por regiões, não
dispersivos:
⃗∇
2 ⃗E µ
∂2
⃗E
∂t2
=
1 ⃗∇ ρ+µ
∂⃗j
∂t
⃗∇2 ⃗H µ
∂2
⃗H
∂t
2
= µ ⃗∇×⃗j
⃗∇2 ⃗E µ
∂2
⃗E
∂t2
µσ
∂ ⃗E
∂t
=⃗0
⃗∇
2 ⃗H µ
∂2
⃗H
∂t2
µσ
∂ ⃗H
∂t
=⃗0
Nas regiões sem fontes (e
levando em conta a condutividade
do meio):

15. Equações de Helmholtz para os campos E.M.
⃗∇
2 ⃗E+( µω
2
+iµ σω) ⃗E=⃗0
⃗∇
2
⃗H +( µω
2
+iµ σω) ⃗H =⃗0
Equações de ondas no domínio frequencial:
Introduzindo o número de onda k:
⃗∇
2 ⃗E+k
2 ⃗E=⃗0
⃗∇
2
⃗H +k
2
⃗H =⃗0
com k
2
= µ ω
2
+iµσ ω

16. Características da onda plana no meio condutor
Número de onda complexo
(considerando σ, ε, µ reais):
Profundidade de atenuação:
δ = 1 / β
Campos associados a uma onda
plana (sentido de propagação: z
positivo):
k=( µω
2
+iµσω)
1/2
k=α+iβ
α=ω
√ µ
2 [√1+ σ
2
2
ω
2
+1
]
β=ω
√ µ
2 [√1+ σ
2
2
ω
2
1
]
⃗E(⃗r ,t)= ⃗E0
e β z
e i(ω t α z)
⃗H (⃗r ,t)= ⃗H 0 e β z
e i(ωt α z)

17. Equação de difusão
Métodos eletromagnéticos aplicados a geofísica
(com exceção da prospecção com GPR): frequências
baixas (f de ~10-4
Hz até ~105
→Hz) corrente de
deslocamento desprezível comparado à corrente de
condução (considerando σ, ε e µ reais):
⃗∇2
⃗E µσ
∂ ⃗E
∂t
=⃗0
⃗∇2
⃗H µσ
∂ ⃗H
∂t
=⃗0
⃗∇2 ⃗E+k2 ⃗E=⃗0
⃗∇2
⃗H +k2
⃗H =⃗0
com k
2
=iµ σ ω
domínio do tempo domínio frequencial
→ µ ω2
≪µ σ ω
→ ω≪σ

18. Características dos campos elétrico e magnético em meios geológicos, no
domínio frequencial:
⃗E(⃗r ,t ;ω)= ⃗E0 e β z
e i(ω t α z)
⃗H (⃗r ,t ;ω)= ⃗H 0 e β z
e i(ωt α z)
α=β=
√
µσ ω
2
vϕ=ω
α
Profundidade de atenuação para
materiais geológicos:
δ=√ 2
µσω≈√ 2
µ0 σ ω
δ≈
503
√ f σ
=503
√
ρ
f
(metro)

19. Condições de contorno para os campos e corrente
Consideremos 2 meios semi
infinitos (1) e (2), separados
por uma interface (S).
n12
S
Geometria do problema associada a
divergência (Reitz-Milford-Christy)
⃗∇×⃗B=0 → ⃗n12⋅( ⃗B2
⃗B1)=0
⃗∇×⃗D=ρ → ⃗n12⋅( ⃗D2
⃗D1)=σS
⃗∇×⃗E=
∂ ⃗B
∂t
→ ⃗n12×( ⃗E2
⃗E1)=⃗0
⃗∇× ⃗H =⃗j+
∂ ⃗D
∂t
→ ⃗n12×( ⃗H2
⃗H1)= ⃗jS
Condições de contorno para
os campos:

20. Exemplos de métodos de prospecção
eletromagnéticos em Geofísica
Grandezas físicas medidas: Campo(s) magnético ou/e elétrico;
Propriedade física determinada: distribuição de condutividade;
Equação fundamental: equação de difusão;
Principais métodos:
✔ Método de indução (Slingram, Turam, ...);
✔ Método Magnetotelúrico;
✔ Tomografia Eletromagnética de Difração (e também tomografia 3D);
✔ Ground Penetrating Radar – GPR (equação de onda);
✔ Magnetometric Resistivity (utilizado ?);
faixa de resistividade dos materiais: ~ 0,01 Ωm – 100.000 Ωm;

21. Métodos elétricos, eletromagnéticos para mapeamento de estrutura do
subsolo (ref.: institutomodernoamericano.edu.co)

22. Método de indução (Slingram)
Ideia básica:
gerar um campo
magnético variável
no tempo (baixa
frequência, f ~ 10
Hz - 10kHz) que
induz correntes
elétricas (correntes
de Foucault) no sub-
solo.
“Equações de
Maxwell atuando”:
∮∂S
⃗E⋅d ⃗l =
d Φ
dt
∮∂S
⃗B⋅d ⃗l =µ0 i
Ilustração do método de indução (M. Chouteau, B.
Giroux, “Méthodes électromagnétiques”, 2008)

23. Detalhe do fenômeno de indução (M. Chouteau, B. Giroux, “Méthodes
électromagnétiques”, 2008)

24. Modelo simples:
Linhas de corrente induzidas
modeladas por um loop de
corrente.
Hípotese do modelo: campo
magnético uniforme, harmônico.
Equações iniciais do modelo:
ε=∮∂S
⃗E⋅d ⃗l =
d Φ
dt
Φ=∫∫S
⃗B⋅⃗ndS com ⃗B=µ ⃗H
Modelo do loop condutor (M. Chouteau, B.
Giroux, “Méthodes électromagnétiques”,
2008)
S=πa2
I
Obtemos:
ε(t)=µωS H p sen(ωt)=e0 sen(ωt)
Podemos tratar o loop como um circuito RL: ε(t)=R I (t)+L
dI
dt

25. Solução da equação diferencial:
I (t)=
e0
R [ ω τ
1+ω2
τ2
cos(ωt)
1
1+ω2
τ2
sen(ωt)
]
→Continuando as manipulações algébricas do modelo simples o campo
magnético gerado pelo loop de corrente, no seu centro:
H s0 (t)=
I (t)
2a
=
e0
2aR [ ω τ
1+ω2
τ2
cos(ωt)
1
1+ω2
τ2
sen(ωt)
]
Obtemos:
H s0 (t)
H p
=
µωS
2aR [ ω τ
1+ω2
τ2
cos(ωt)
1
1+ω2
τ2
sen(ωt)
]
Mais alguns passos algébricos:
H s0 (t)
H p
=
µ S
2aL
ω τ
√1+ω2
τ2
cos(ωt+ϕ) , tg ϕ=
1
ω τ

26. Algumas mudanças de variaveis:
Obtemos a expressão final do campo magnético gerado pelo loop de
corrente, no seu centro:
Introduzimos o parâmetro de indução (adimensional):
Para um loop de raio a no vácuo (fio de ∅ = d):
Observações: o campo segundário ...
✔ é proporcional a Hp no loop e no centro do loop, é oposto a Hp;
✔ depende da geometria do condutor através de G;
✔ depende do parâmetro de indução (depende dos parâmetros elétrico
do condutor e da frequência);
H s0 (t)
H p
= G F (ω τ)cos(ωt+ϕ) , tg ϕ=
1
ω τ
G=
µ S
2aL
=
πµ a
2L
F (ω τ)= ω τ
√1+ω
2
τ
2
α=ω τ=
ω L
R
L≈aµ0
[ln(16a
d ) 2
] , R=ρ
8a
d
2
⇒ α≈
µ0 ωd
2
8ρ [ln(16a
d ) 2
]∝ ω
ρ ∝ωσ

27. H s0 (t)
H p
= G F (ω τ)cos(ωt+ϕ) , α=ω
L
R
Características da função de transferência (M. Chouteau, B. Giroux,
“Méthodes électromagnétiques”, 2008)
F(α) φ(α)

28. Amplitudes das componentes em fase e em quadratura (em relação a Hp)
(M. Chouteau, B. Giroux, “Méthodes électromagnétiques”, 2008)
Q(α)
P(α)
H s0(t)
H p
= G F (ω τ)[P(ω τ)cos(ωt) Q(ω τ)sen(ωt)] , α=ω
L
R

29. Observações:
✔ Material pouco condutor α << 1
→ Hs em quadratura com Hp:
Hs / Hp ~ -Gα ~ σ (interessante !) e
φ ≈ π/2 - α;
→ Hs com amplitude fraca;
✔ Material bom condutor α >> 1
→ Hs em fase com Hp:
Hs / Hp ~ -G e φ ≈ 0;
→ Hs com amplitude elevada;
P(α)
Q(α)
✔ Material condutor “médio”
α ~ 1
→ efeitos intermediários;
Observação: interessante
trabalhar com varias
frequências

30. Varredura associada ao método E.M. horizontal
(M. Chouteau, B. Giroux, 2008)

31. Equipamento para o método E.M. horizontal
(M. Chouteau, B. Giroux, 2008)

32. Diversos arranjos típicos (Rodrigo de Freitas Valois Rios, Trabalho de
Graduação, UFBA - 2011)

33. Medidas em campo (Rodrigo de
Freitas Valois Rios, Trabalho de
Graduação, UFBA - 2011)

34. Mapas obtidas em campo (dutos em 4, 9, 13 e 19m enterrados entre 1 e 2m)
(Rodrigo de Freitas Valois Rios, Trabalho de Graduação, UFBA - 2011)

36. Observações:
✔ O método permite prospectar profundidade de ~ 2δ ~ 103(ρ/f)1/2;
✔ Profundidade enxergada função do espaçamento entre as bobinas;
✔ Necessidade de calibrar o sistema para subtrair a contribuição Hp.

37. Método Magnetotelúrico (MT): introduzido por Tikhonov (1950) e
Cagniard (1953);
Definição do método: método eletromagnético no domínio das
frequências;
✔ Inicialmente: método com interpretações em 1 dimensão;
✔ As profundidades sondadas vão de ~1m até ~100km;
✔ Método utilizado principalmente em prospecção de petróleo, gás,
água subterrânea, depósitos de minerais, estudos geotermais, ... ;
✔ Método útil quando os métodos sísmicos não são viáveis (custo,
ambiguidades).
Método Magnetotelúrico

38. Princípio do método:
correntes elétricas naturais variáveis no tempo
→ geração de campos eletromagnéticos naturais;
→ campos elétricos e magnéticos induzidos/transmitidos no subsolo;
→ medidas na superfície terrestre das componentes ortogonais dos
campos elétricos e magnéticos, para uma faixa de freqüências contida
no intervalo [~10-3
Hz, ~104
Hz] (MT, AMT);
→ determinação do tensor impedância em função da frequência e em
seguido da distribuição de condutividade no subsolo;
→ determinação dos componentes do subsolo (rochas, minerais, água,
petróleo, ...).

39. Fontes dos campos eletromagnéticos
Fontes naturais dos
campos E.M.: correntes
elétricas na ionosfera e
relâmpagos;
Frequência < 1HZ:
interação ventos solares
com campo magnético
Terrestre (atividade solar);
Frequência > 1HZ:
descargas atmosféricas
(guia de onda ionosfera-
Terra)
Espectro de sinais eletromagnéticos
naturais e artificiais
(M.B. De Pádua, tese, INPE, 2005)

40. Tipos de métodos:
- método magnetotelúrico (MT): [10-3
Hz, 10Hz];
- método áudio magnetotelúrico (Audio Magnetotellurics - AMT):
[1Hz, 104
Hz];
- método áudio magnetotelúrico com fonte controlada (Controled
Source Audio Magnetotellurics - CSAMT): [0,1Hz, 104
Hz];
→Vantagens do MT: não há necessidade de fonte de campos E.M.
hardware menos consequente;
Desvantagens: sinais E.M. fracos, não controlados, interação com
correntes galvânicas do subsolo, ruído elevado, ...

41. Formulação geral
Definimos o tensor impedância deduzido dos componentes dos
campos elétrico e magnético medidos (as grandezas são função da
frequência):
(Ex
Ey
)=
(Z xx Zxy
Z yx Z yy
)(H x
H y
)
Propriedades do tensor impedância em função da dimensionalidade
do problema:
1D: Z xx=Z yy=0 , Zxy=Z yx
2D: Zxx=Z yy=0 , Z xy≠Z yx
3D: Z xx≠0 , Z yy≠0 , Z xy≠Z yx

42. Tratamento dos dados experimentais
→Campos medidos em função do tempo transformação de Fourier
(dos campos) para passar no domínio das frequências;
Campos elétricos e magnéticos muito fracos (~10mV/km e ~10nT) e
→ruidosos necessidade de aplicar algoritmos robustos para extrair
os elementos da matriz impedância;
Tratamento depende da dimensionalidade do modelo (1D, 2D, 3D);

43. Modelo 1D do subsolo de n + 1 camadas
0
z1
z2
zm
zn-1
zn
z
x
Modelo 1D

44. Ondas planas (eiωt):
Definimos a impedância aparente Za
de um
meio (isotrópico, para ):
Impedância intrínseca do meio:
Resistividade aparente:
⃗E(⃗r)= ⃗E0 e
i⃗k⋅⃗r
⃗H (⃗r)=
1
µω
⃗k×⃗E(⃗r)
⃗k=k ⃗ez
Za=
Ex
H y
=
Ey
H x
Z=
µω
k
=õ
ε
ρa=
∣Za∣
2
µω

45. E yj
(z)=E j
+
e
ik j(z z j)
+E j
-
e
ik j(z z j)
H xj(z)=
1
Z j
(E j
+
e
ik j
(z z j
)
E j
-
e
ik j
(z z j
)
)
Modelo da propagação da onda E.M (incidência normal) 1D
Campos na jésima camada:
Escrevemos as condições de contorno em z = zj
e z = zj-1
→
(E y( j 1)
(z j 1
)
H x( j 1)
(z j 1
))=
(
cosh(ik j
h j
) Z j
sinh(ik j
h j
)
1
Z j
sinh(ik j h j) cosh(ik j h j) )(E yj
(z j
)
H xj
(z j
))
E yn(zn)=E y(n+1)(zn)
H xn
(zn
)=H x(n+1)
(zn
)

46. Obtemos uma relação recorrente para determinação da impedância:
impedancia no topo da camada j ( j=1,... ,n+1):
̂Z j=Z j
̂Z j+1
+Z j
tanh(ik j
h j
)
Z j
+̂Z j+1
tanh(ik j
h j
)
com impedancia no topo da camada n:
̂Zn=Zn
Zn+1+Zn tanh(ikn hn)
Zn+Zn+1 tanh(ikn hn)
⇒Za=̂Z1=Z1
̂Z2+Z1 tanh(ik1 h1)
Z1+̂Z2 tanh(ik1 h1)

47. Simulação
z
O
h1=100m, ρ1=1Ωm
h2=1km, ρ2=10Ωm
ρ3=3Ωm

48. F. Simpson, K. Barh, Practical Magneto-
telluric, Cambridge University Press, 2005

49. Aplicações de métodos eletromagnéticos
em Física
Fenômenos envolvendo o campo eletromagnético são aproveitados na
Física para
✔ Caracterizar materiais “transparentes” com técnicas de
espectroscopia óptica, espalhamento eletromagnético, ...;
✔ Determinação de propriedades elétricas com métodos de
determinação da resistividade/condutividade (método de 4
pontos, efeito Hall, eddy currents, ...)
✔ Imageamento em Física Médica (EIT, MIT, ...)

50. Espalhamento eletromagnético
Geometria do problema
✔ Fenômeno pode ser aproveitado
para enxergar estrutura de
objetos;
✔ Método ativo não invasivo;
⃗E(⃗r)+k
2
ε ⃗E(⃗r)=⃗0
⃗E(⃗r)=⃗E0(⃗r)+k2
∫ (1 ε(⃗r ´))g(⃗r ⃗r ´) ⃗E(⃗r ´)d3
⃗r ´
Equação de Helmholtz e uma solução
formal (tomografia eletromagnética
de difração):

51. Coupled Dipoles Models - CDM
Equações básicas do método
⃗pi= ⃗p0i+αi∑i=1, j≠i
n
Πij ⃗p j
Πij=Π( ⃗rij)
α=
ε 1
ε+2
a3
,
4
3
π a3
=d3
Π(⃗r)=
exp(ikr)
4 πε0 r {k2
(I ⃗n⊗⃗n)+
1 ikr
r2
(3⃗n⊗⃗n I )
} , ⃗b⊗⃗a ⃗u=(⃗a⋅⃗u)⃗b
⃗E(⃗r)=Π(⃗r ⃗rdip)⃗p
Discretização do objeto espalhador
i
j

52. Reconstrução da parte real do índice de refração (nR = 1,3) (T.
Lemaire, A. Bassrei, Applied Optics, vol. 39, No 8, 2000)

53. Reconstrução da parte imaginária do índice de refração (nI = 0,0)
(T. Lemaire, A. Bassrei, Applied Optics, vol. 39, No 8, 2000)

54. Tomografia por impedância magnética - TIM
✔ Fato interessante: métodos de estudos do sub-solo desenvolvidos
para a Geofísica são adaptados para serem aplicados na Medicina
(Física Médica).
✔ Um exemplo “marginal” (ainda na fase de técnica estudada em
→laboratório de pesquisa): Magnetometric resistivity (Geofísica)
Magnetic Impedance Tomography (Física Médica);
✔ Outras técnicas elétricas da Física Médica:
Electric Impedance Tomography (EIT), Magnetic Induction
Tomography (MIT)

55. Esquema associado ao TIM (Moura de Jesus H., trabalho de final de
curso de Licenciatura em Física, UEFS, 2005)

56. Corte do braço (Marlus Vinicio Santos, trabalho de final de curso de
Bacharelado em Física, UEFS, 2007)

57. Equações básicas do MIT
Configuração do estudo (acadêmico)
⃗B(⃗r)=
µ0i
4 π
∫linha
d ⃗r ´×(⃗r ⃗r ´)
∣⃗r ⃗r ´∣3
x
y
z
i
L/2
- L/2
bφ
α
ρ
sr

−
r

s

sd
v
α
eˆz
eˆ
mˆ
z
eˆ φ
eˆ
nˆ
( )rdB

( )
( )
( )wα,b,s
zφ,ρ,r
zφ,ρ,B



⃗B j=
µ0 i j
4 π
f j(ρ,ϕ, z ,b j ,α j){ b j sen(ϕ α j)̂n+[ρ b j cos(ϕ α j)]eϕ}
f j
(ρ ,ϕ, z ,b j
,α j
)=∫ L/2
L/2 dw
[ρ+b j
2
2ρb j cos(ϕ α j)+(z w)2
]
3/2

58. C(⃗i )=
1
M
∑j=1
M
[femϕ
med
(ρ,ϕ j , z) femϕ
modelo
(ρ,ϕ j , z ;⃗i )
femϕ
med
(ρ ,ϕj , z) ]
2
+
[femn
med
(ρ ,ϕj
, z) femn
modelo
(ρ ,ϕj
, z ;⃗i )
femn
med
(ρ,ϕ j , z) ]
2
Problema inverso tratado como problema de otimização (emprego do
Simulated Annealing)

59. regiões Correntes
verdadeiras
(mA)
Correntes
oriunda da
inversão
(mA)
0 40,0 55,3
1 5,0 4,4
2 25,0 22,8
3 30,0 29,1
4 10,0 6,2
5 70,0 70,9
6 15,0 10,9
7 10,0 8,9
8 60,0 56,6
C = 8,7×10-3
y
x
1
23
4
5
6 7
8
b1
R
η
0
α1
Resultados da inversão (R. P. de
Carvalho, T. Lemaire, XXX
EFNNE, Salvador, 2012)
Configuração das linhas de
corrente

60. 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
-10
0
10
20
30
40
50
fem_φ verdadeira
fem_φ oriunda da inversão
fem_n verdadeira
fem_n oriunda da inversão
fem(microV)
φ (em graus)
Resultados da inversão (Rodrigo P. de Carvalho, T. Lemaire,
XXX EFNNE, Salvador, 2012)

61. ✔ Fenômenos do eletromagnetismo forneçam ferramentas (métodos)
para investigar a matéria
→ métodos aplicados à prospecção em Geofísica;
→ métodos aplicados à caracterização de objetos/materiais na Física
(Física Aplicada (Física Médica, ...));
Mas: ordens de grandezas bem diferentes (tamanhos dos objetos
estudados, frequências dos sinais utilizados, ...)
✔ Interpretação / inversões requeram modelos mais sofisticados.
Conclusões

62. Referências bibliográficas
J.R. Reitz, F.J. Milford, R.W. Christy, Fundamentos da teoria eletromagnética,
Editora Campus (Rio de Janeiro, 1982).
J.D. Jackson, Classical Electrodynamics, John Wiley & Sons (New-York, 2da Ed.)
W. M. Telford, L. P. Geldart, R. E. Sheriff, “Applied geophysics”, Cambridge
University Press (2o. Ed., 1990, São Paulo – Brasil).
M. N. Nabighian, “ Electromagnetic Methods in Applied Geophys., Vol 2
(Investigations in Geophysics, No. 3)”, Society Of Exploration
Geophysicists (1991).
M. N. Nabighian, “Electromagnetic Methods Vol.1: Theory (Investigations in
Geophysics, No. 2)”, Society Of Exploration Geophysicists (1988).

63. W. Lowrie, “Fundamentals of geophysics”, Cambridge University Press (2o.
Ed.,
2007, São Paulo – Brasil).
J. Milsom, “Fields Geophysics”, John Wiley & Sons Ltd, (3rd
Ed., 2003, San
Francisco USA).
K. K. Roy, “Potencial theory applied to Geophysics”, Springer (Berlin,
Heidelberg, New York, 2008).
W. C. Chew, M. S. Tong, B. Hu, “Integral Equation Methods for
Electromagnetic and Elastic Waves”, Morgan & Claypool Publishers Series
(USA, 2009).
U.S. Army Corps of Engineers, “Geophysical exploration for engineering and
environamental investigations”, Department of the Army (1995, Washington,
DC - USA).

64. Obrigado !