[1] O documento apresenta os principais testes estatísticos paramétricos e não paramétricos para a análise de uma e duas populações, incluindo intervalos de confiança e testes de hipóteses. [2] Aborda testes para amostras independentes e emparelhadas, considerando parâmetros populacionais conhecidos e desconhecidos. [3] Discutem-se também os conceitos de magnitude do efeito, distribuição amostral e estatísticas de teste.

1. Análise Estatística © Pedro Casquilho, 2013
Formulário Inferência Estatística
Uma população
TESTES PARAMÉTRICOS
Valor médio ou média populacional
(DA) Distribuição Amostral
σ conhecido ( )1,0~,~ N
n
X
n
NX
σ
µ−
⇔




 σ
µ
σ desconhecido ( ) ( )1~
'
,~ −
µ−
⇔σµ nt
n
S
X
NX
(IC) Intervalo de Confiança
σ conhecido
] [
n
xzMEMEXMEXIC
σ
=+−= α
−
2
1
;
σ desconhecido
] [ ( ) n
S
xtMEMEXMEXIC
n
'
;
1;
2
1 −
α
−
=+−=
Testes de Hipóteses
Hipótese (H):
• Teste Bilateral: 000 : µ≠µµ=µ vs.H
• Teste Unilateral à esquerda: 0100 :.: µ<µµ≥µ HvsH
• Teste Unilateral à direita :: 0100 µ>µµ≤µ Hvs.H
Estatística de Teste (ET):
σ conhecido
( )1,0~com0
NZ
n
x
Z
σ
µ−
=
σ desconhecido
( ) ( )1
0
~com
'
:,~ −
µ−
=σµ ntT
n
s
x
TX
Decisão (D):
Proporção populacional
(DA) Distribuição Amostral
( ) ( )







 −
σ
n
pp
pNppNp p
1
,~ˆe,~ˆ ˆ
(IC) Intervalo de Confiança
] [ ( )ˆ1ˆ
ˆ;ˆ
2
1 n
pp
xzMEMEpMEpIC
−
=+−=





 α
−
Testes de Hipóteses
Hipótese (H):
• Teste Bilateral: 0100 :: ppHvs.ppH ≠=
• Teste Unilateral à esquerda: 0100 :: ppHvs.ppH <≥
• Teste Unilateral à direita: 0100 :: ppHvs.ppH >≤
Estatística de Teste (ET):
( )
( )1,0~com
1. 00
0
NZ
n
pp
pp
Z
−
−
=
Decisão (D):
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2. Análise Estatística © Pedro Casquilho, 2013
Correlação populacional de Pearson
(DA) Distribuição Amostral
Se 0=ρ ( )22
~
1
2.
−
−
−
nt
R
nR
Se 0≠ρ 





−
+
=





− R
R
Z
n
zNZ RpR
1
1
ln.5,0e
3
1
,~
Transformação Z de Fisher
(IC) Intervalo de Confiança
] [ 





−
+
=
−
=+−=





 α
− R
R
Z
n
xzMEMEZMEZIC RRR
1
1
ln.5,0
3
1
;
2
1
Testes de Hipóteses
Hipótese (H):
• Teste Bilateral: 0100 :: ppHvs.ppH ≠=
• Teste Unilateral à esquerda: 0100 :: ppHvs.ppH <≥
• Teste Unilateral à direita: 0100 :: ppHvs.ppH >≤
Estatística de Teste (ET):
Decisão (D):
Magnitude do Efeito
• A Magnitude do efeito é zero (0) quando a H0 é verdadeira.
• Quanto maior for a magnitude do efeito, maior é o grau de falsidade da
H0 e mais nos aproximamos da H1
• O ‘d’ e o ‘g’ podem ser calculados a partir do valor da ET t e podem-se
transformar um no outro.
Valor médio ‘d’ de Cohen
σ conhecido:
σ
µ−µ
= 0
d
σ desconhecido:
S
X
d 0µ−
=
Valor médio ‘g’ de Hedges
σ desconhecido:
S
X
d 0µ−
=
Proporção ‘g’ de Cohen
0ppg −=
Correlação
φ=ρ=ρ= rrr bp
• Interpretação segundo Cohen (1988,1992):
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3. Análise Estatística © Pedro Casquilho, 2013
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS
Testes de Ajustamento à Normal
Teste de Kolmogorov-Smirnov (com correcção de Lilliefors)
Aplicabilidade do teste
• Se variáveis quantitativas e a distribuições contínuas completamente
especificadas (isto é, µ e σ especificados em 0H )
• Pode utilizar-se qualquer que seja o tamanho da amostra, embora para pequenas
amostras, o teste tenda a ser conservativo e para amostras grandes, tenda a
rejeitar a normalidade.
Teste de Shapiro-Wilk
Aplicabilidade do teste
• É um teste de ajustamento específico para a normalidade, mas alternativo ao
Teste de KS-Lilliefors.
• Produz resultados mais fiáveis do que o anterior, nomeadamente em amostras
de reduzida dimensão ( 50≤n ).
Análise das Medidas de Assimetria e Curtose
A Distribuição Normal caracteriza-se por ser:
• simétrica (coeficiente de assimetria = 0)
• mesocúrtica (coeficiente de achatamento ou curtose = 0)
Teste à Assimetria
Skweness = assimetria
Teste à Curtose
Kurtosis = curtose
Hipóteses:



≠
=
0kewness:
0kewness:
1
0
sH
sH



≠
=
0urtosis:
0urtosis:
1
0
kH
kH
Estatística
de Teste: skewnesserrorstd
skewness
Z
.
=
urtosis. kerrorstd
kurtosis
Z =
Decisão: ( )
( )
0
0
Rej.96,1
05,0para
Rej.58,2
01,0para
HZSe
HZSe
⇒>
=α
⇒>
=α ( )
( )
0
0
Rej.96,1
05,0para
Rej.58,2
01,0para
HZSe
HZSe
⇒>
=α
⇒>
=α
Análise gráfica da normalidade
Recorrendo a gráficos QQ e PP:
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4. Análise Estatística © Pedro Casquilho, 2013
Formulário Inferência Estatística
Duas populações
TESTES PARAMÉTRICOS
AMOSTRAS INDEPENDENTES (diferença entre médias)
(DA) Distribuição Amostral
conhecidoseCom 21 σσ
( ) ( ) ( )1,0~,~
2
2
2
1
2
1
2121
2
2
2
1
2
1
2121 N
nn
XX
nn
NXX
σ
+
σ
µ−µ−−
⇔







 σ
+
σ
µ−µ−
)(masdosdesconhecieCom 2121 σ=σ=σσσ
( ) ( )
( )2
21
2121
21
~
11
.ˆ
−+
+
µ−µ−−
nnt
nn
S
XX
e
( ) ( )
2
.2.1ˆ
21
2'
22
2'
11
−+
−+−
=
nn
SnSn
S
(IC) Intervalo de Confiança
conhecidoseCom 21 σσ
( )] [21 MEXX ±− e
2
2
2
1
2
1
2
1 nn
xzME
σ
+
σ
= α
−
σ=σ=σσσ 2121 masdos,desconhecieCom
( )] [21 MEXX ±− e
21
2;
2
1
11
.ˆ
21 nn
SxtME
nn
+=






−+
α
−
( ) ( )
2
.2.1ˆ
21
2'
22
2'
11
−+
−+−
=
nn
SnSn
S
(TH) Testes de Hipóteses
Hipóteses (H):
• Teste bilateral: kHvs.H ≠µ−µ=µ−µ 111110 :k:
• Teste unilateral à esquerda: kHvs.H <µ−µ≥µ−µ 111110 :k:
• Teste unilateral à direita: kHvs.H >µ−µ≤µ−µ 111110 :k:
Estatística de Teste (ET):
conhecidoseCom 21 σσ
( ) ( ) ( )1,0~com
2
2
2
1
2
1
2121
NZ
nn
XX
Z
σ
+
σ
µ−µ−−
=
σ=σ=σσσ 2121 masdos,desconhecieCom
( ) ( )
( )2
21
2121
21
~com
11
.ˆ
−+
+
µ−µ−−
= nntT
nn
S
XX
T e
( ) ( )
2
.2.1ˆ
21
2'
22
2'
11
−+
−+−
=
nn
SnSn
S
Decisão (D):
conhecidoseCom 21 σσ
• Teste bilateral: ( )] ] ( )[ [ ( )ETZPzz >=ρ+∞∪−∞− α−α− .2,;; 2121
• Teste unilateral à esquerda: ] ] ( )ETZPz <=ρ−∞− α− ,; 1
• Teste unilateral à direita: [ [ ( )ETZPz >=ρ+∞α− ,;1
dosdesconhecieCom 21 σσ
• Teste bilateral: ( )] ] ( )[ [ ( )ETTPtt >=ρ+∞∪−∞− α−α− .2,;; 2121
• Teste unilateral à esquerda: ] ] ( )ETTPt <=ρ−∞− α− ,; 1
• Teste unilateral à direita: [ [ ( )ETTPt >=ρ+∞α− ,;1
Teste à Homocedasticidade - Teste de Levene
Hipóteses (H):
11:
::
21210
211210
≠σσ=σσ
σ≠σσ=σ
vs.H
Hvs.H
Estatística de Teste (ET):
• W, se X é ou não uma normal de parâmetros µ e σ
Decisão: 0Rej., Hα≤ρ
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5. Análise Estatística © Pedro Casquilho, 2013
Magnitude do Efeito
Magnitude do efeito populacional:
d de Cohen (com parâmetros populacionais conhecidos)
σ
µ−µ
= 21
d onde σ=σ=σ 21
d de Cohen (com parâmetros populacionais desconhecidos)
S
XX
d 21 −
= onde
21
2'
22
2'
11 ..
nn
SnSn
S
+
+
=
g de Hedges (redefine o anterior)
S
XX
g
ˆ
21 −
= onde
( ) ( )
2
.2.1ˆ
21
2'
22
2'
11
−+
−+−
=
nn
SnSn
S
AMOSTRAS EMPARELHADAS (diferença entre médias)
(DA) Distribuição Amostral
conhecidoseCom 21 σσ
...2
,~ 21
2
2
2
1
2121







 σσ−σ+σ
µ−µ−
n
R
NXX
( ) ( ) ( )1,0~
...2 21
2
2
2
1
2121
N
n
R
XX
σσ−σ+σ
µ−µ−−
dosdesconhecieCom 21 σσ
( ) ( )
( )1'
2121
~ −
µ−µ−−
n
D
t
n
S
XX
onde 21
2
2
2
1
'
'.'..2'' SSRSSSD −+=
(IC) Intervalo de Confiança
conhecidoseCom 21 σσ
( )] [21 MEXX ±− e
n
R
xzME 21
2
2
2
1
2
1
...2 σσ−σ+σ
= α
−
dosdesconhecieCom 21 σσ
( )] [21 MEXX ±− e
n
S
xtME D
n
'
1;
2
1 





−
α
−
= 21
2
2
2
1
'
'.'..2'' SSRSSSD −+=
(TH) Testes de Hipóteses
Hipóteses (H):
• Teste bilateral: kHvs.H ≠µ−µ=µ−µ 111110 :k:
• Teste unilateral à esquerda: kHvs.H <µ−µ≥µ−µ 111110 :k:
• Teste unilateral à direita: kHvs.H >µ−µ≤µ−µ 111110 :k:
Estatística de Teste (ET):
conhecidoseCom 21 σσ
( ) ( ) ( )1,0~com
...2 21
2
2
2
1
2121
NZ
n
R
XX
Z
σσ−σ+σ
µ−µ−−
=
dosdesconhecieCom 21 σσ
( ) ( )
( )1'
2121
~com −
µ−µ−−
= n
D
tT
n
S
XX
T e 21
2
2
2
1
'
'.'..2'' SSRSSSD −+=
Decisão (D):
conhecidoseCom 21 σσ
• Teste bilateral: ( )] ] ( )[ [;; 2121 +∞∪−∞− α−α− zz
• Teste unilateral à esquerda: ] ]; 1 α−−∞− z
• Teste unilateral à direita: [ [;1 +∞α−z
dosdesconhecieCom 21 σσ
• Teste bilateral: ( )] ] ( )[ [;; 2121 +∞∪−∞− α−α− tt
• Teste unilateral à esquerda: ] ]; 1 α−−∞− t
• Teste unilateral à direita: [ [;1 +∞α−t
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6. Análise Estatística © Pedro Casquilho, 2013
Magnitude do Efeito
Magnitude do efeito populacional:
d de Cohen (com parâmetros populacionais conhecidos)
D
d
σ
µ−µ
= 21
e ( )ρ−σ=σ 1.2.D e onde σ=σ=σ 21
d de Cohen (com parâmetros populacionais desconhecidos)
DS
XX
d 21 −
= onde ( )RSSD −= 1.2.
TESTES NÃO-PARAMÉTRICOS
Teste do Qui-Quadrado
Amostras independentes - variáveis qualitativas
Tabelas de Contingência
FORMULAÇÃO DO TESTE
Hipóteses (H):
Teste de Homogeneidade:



shomogeneasãonãoespopulaçoõs:
shomogeneasãoespopulaçoõs:
1
0
aH
vs.aH
Teste de Independência:



tesindependensãonãoYeXvariáveiss:
tesindependensãoYeXvariáveiss:
1
0
aH
vs.aH
Estatística de Teste (ET):
( )
( )( )
2
11
2
1 1
2
2
~e −−
= =
χ
−
= ∑∑ lc
l
i
c
j ij
ijij
X
E
EO
X onde
n
xCL
E ji
ij =
Em tabelas 2x2:
( )
( )( )( )( )DBCADCBA
BCADn
X
++++
−
=
...
.
2
2
Decisão (D):
a estatística 2
X tem dist.aprox.qui-quadrado com ( ) ( ) g.l.11 −− lxc
Rejeita-se 0H quando ( ) ( )( )[ [;2
11;1
2
∞+χ∈ −−α− lcX
Condições de aplicação do teste qui-quadrado
5esperadassfrequenciadas80%menosPelo
1esperadasfrequenciaastodas
20
≥
>
>n
Yatesdecorrecção:ãodistribuiçà
oaproximaçãamelhorarparacorrigidaserdeveETa60,nQuando
2
χ
<
Correcção de Yates:
( )5,0
1 1
2
2
∑∑= =
−−
=
l
i
c
j ij
ijij
E
EO
X
Teste de Fisher
• O Teste do qui-quadrado recorre a uma distribuição aproximada. Se não
estiverem garantidas as condições para uma boa aproximação, deve-se
usar o Teste de Fisher.
• É para variáveis dicotómicas, este teste aplica-se a tabelas 2x2:
‘A’ representa a menor frequência observada
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7. Análise Estatística © Pedro Casquilho, 2013
• Comparar as proporções:
1π - proporção da categoria (+) na população 1 vs. 2π - proporção da
categoria (+) na população 2
• Este teste implica cálculos morosos (utilizar o software SPSS)
FORMULAÇÃO DO TESTE
Hipóteses (H):
• Teste bilateral: 211210 :: π≠ππ=π Hvs.H
• Teste unilateral à esquerda: 211210 :: π<ππ≥π Hvs.H
• Teste unilateral à direita: 211210 :: π>ππ≤π Hvs.H
Probabilidade exacta sob H0:
( ) ( ) ( ) ( )
!!!!!
!!!!
DCBAn
DBCADCBA
p
++++
=
Decisão:
• Rejeita-se H0 quando α≤p
Teste de Mann-Whitney
Amostras Independentes – 1 variável ordinal
É a alternativa não-paramétrica ao teste t-student quando as condições de
aplicação deste falharam.
FORMULAÇÃO DO TESTE de Wilcoxon-Mann-Witney
Hipóteses (H):
• Teste bilateral: 211210 :: θ≠θθ=θ Hvs.H
• Teste unilateral à esquerda: 211210 :: θ>θθ≤θ Hvs.H
• Teste unilateral à direita: 211210 :: θ<θθ≥θ Hvs.H
Estatística de Teste (ET):
• Combinar as observações das duas amostras atribuindo-lhes uma
ordem (ordenação crescente)
• No caso de empate, atribuir a média ds ordem que as observações
teriam se não estivessem empatadas
• Quando
( )



=
≤<
dimensãomenordeamostradasobservaçõedasordensdassoma
10e 2121
W
nnnn
• Quando
( )
( )



σ
µ−
=
≤>
1,0~com
10ou 2121
NZ
w
wW
Z
nnnn
•
( ) ( )
12
1..
e
2
1. 2121211 ++
=σ
++
=µ
nnnn
w
nnn
w
• Correcção para empates:
( ) 




 −
−
−
−
=σ ∑=
g
i
ii eenn
nn
nn
w
1
33
21
1212
.
1.
.
Decisão (D):
• Quando





<
(SPSS)apropriadosostwaredeou través
Whitney-Mann-WilcoxondetabelaaW medianteaentecorrespond
exactaciasignificandedadeprobabiliadeterminarse-deve
10e 21 nn
• Quando ( )1,0,10ou 21 Z~Nnn > , pelo que:
• Teste bilateral: ( )] ] ( )[ [ ( )ETZPzz >=ρ+∞∪−∞− α−α− .2,;; 2121
• Teste unilateral à esquerda: ] ] ( )ETZPz <=ρ−∞− α− ,; 1
• Teste unilateral à direita: [ [ ( )ETZPz >=ρ+∞α− ,;1
Teste de McNemar
Amostras Correlacionadas – Variáveis Qualitativas Dicotómicas
Testar a significância de estado (tipo “antes” vs. “depois”)
Tabelas 2x2:
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8. Análise Estatística © Pedro Casquilho, 2013
• Para aplicar este Teste: A+D > 10
FORMULAÇÃO DO TESTE
Hipóteses (H):
• Teste bilateral: ( ) ( ) ( ) ( )BPAPHvs.DPAPH ≠= :: 10
• Teste unilateral à esquerda: ( ) ( ) ( ) ( )BPAPHvs.DPAPH <≥ :: 10
• Teste unilateral à direita: ( ) ( ) ( ) ( )BPAPHvs.DPAPH >≤ :: 10
Estatística de Teste (ET):
• Quando 10>+ DA temos:
( )
( )
2
1
2
2
2
~com χ
+
−
= X
DA
DA
X
• Para 60<n , fazer a correcção da continuidade:
( )1
2
2
DA
DA
X
+
−−
=
• Para amostras pequenas, o SPSS baseia o cálculo da probabilidade de
significância na distribuição binomial (exact probability)
Decisão (D):
• Rejeita-se H0 quando [ [;2
)1(;1
2
∞+χ∈ α−X ou quando α≤p
Teste de Wilcoxon
Amostras correlacionadas – 1 variável ordinal
É a alternativa não-paramétrica ao teste t-student quando as condições de
aplicação deste falharam.
FORMULAÇÃO DO TESTE
Hipóteses (H):
• Teste bilateral: 211210 :: θ≠θθ=θ Hvs.H
• Teste unilateral à esquerda: 211210 :: θ>θθ≤θ Hvs.H
• Teste unilateral à direita: 211210 :: θ<θθ≥θ Hvs.H
Estatística de Teste (ET):
• Determinar as diferenças entre os pares de observações ( )iii XXD 21 −=
• Atribuir uma ordem aos valores absolutos das diferenças são nulas
( )0≠iD
• Quando 20≤n , T+
=corresponde à soma das ordens das diferenças com
sinal positivo.
• Quando 20>n , T+
tem distribuição aproximadamente normal, com
parâmeros:
+
+
σ
µ−
=
+
T
T
T
Z com
( ) ( )( )
24
12.1.
e
4
1. ++
=σ
+
=µ ++
nnnnn
TT
• Em amostras grandes, o desvio-padrão de T+
deve ser calculado pela
fórmula de correcção de empates.
• Correcção para empates:
( )( ) ( )
∑=
−
−
++
=σ +
g
i
ii
T
eennn
1
3
224
12.1.
• A correcção do desvio-padrão para empates é particularmente
necessária quando a proporção de empates é > 50%
Decisão (D):
• Quando 20≤n , determinar a probabilidade de significância exacta de
T+, mediante a Tabela de Wilcoxon ou de software (SPSS).
• Quando 20>n , ( )1,0~ NZ , pelo que:
• Teste bilateral: ( )] ] ( )[ [ ( )ETZPzz >=ρ+∞∪−∞− α−α− .2,;; 2121
• Teste unilateral à esquerda: ] ] ( )ETZPz <=ρ−∞− α− ,; 1
• Teste unilateral à direita: [ [ ( )ETZPz >=ρ+∞α− ,;1
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