1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre propagação de ondas eletromagnéticas. Os exercícios abordam tópicos como representação de oscilações harmônicas no domínio fasorial, circuitos RLC, propagação em meios com perdas e expressões para campos elétricos e magnéticos de ondas planas.

1. Departamento de Telemática
Curso de Eng. De Telecomunicações
Disciplina: Antenas e Propagação – Semestre 2014.2
Prof. Fábio Alencar Mendonça
Lista 2 – 22/01/2015
1. Sabendo que uma oscilação harmônica z(t) e sua representação no domínio fasorial Z
~
se
relacionam através da expressão  tj
eZtz 
.
~
Re)(  , demonstre que:
2. Um circuito RLC em série é conectado a um gerador com uma tensão
   V3cosV)( 0   ttvs . (a) Escreva a equação de malha de tensão em termos da corrente i(t),
R, L, C e vs(t). (b) Obtenha a equação no domínio fasorial correspondente. (c) Resolva a equação
para obter uma expressão para o fasor corrente. (d) Encontre a expressão temporal para a corrente.
3. Observa-se que uma determinada onda eletromagnética que se propaga na água do mar tem uma
amplitude de 19,025 (V/m) a uma profundidade de 100m. Qual a constante de atenuação da água do
mar?
4. A onda de tensão que se propaga por uma linha de transmissão é dada por
   V101023),( 9
ztsenetzv z

 
, em que z é a distância em metros a partir do gerador. (a)
Determine a frequência, o comprimento de onda e a velocidade de fase da onda. (b) Em z=2m, a
amplitude da onda foi medida como tendo 1V. Determine .
5. O deslocamento vertical de um cordão é dado pela função harmônica
   m2012cos5),( xttxy   , em que x é a distância horizontal em metros ao longo do cordão
em x=5cm. Obtenha uma expressão para a velocidade vertical da partícula como uma função do
tempo.
6. Sabe-se que qualquer onda periódica pode ser representada pela superposição de ondas
harmônicas com amplitudes e diferentes distintas (Série de Fourier). Verifique que os campos
elétrico e magnético para uma OEMPU periódica abaixo satisfazem as equações de Helmholtz.
7. Dado que a constante de propagação para um meio com perdas é
   jjj  , demonstre que
em que 0 r é a permeabilidade magnética do meio, 0 r é a permissividade elétrica do
meio e m/s1031 8
00  c é a velocidade da luz no vácuo.


j
Z
tzZj
t
tz
Zj
t
tz
~
.dt)(
~)(~)( 22
2
2







2 2
2 2
1 1 1 1
2 2
1 1 1 1
2 2
r r
r r
c
c
    
 
 
    
 
 
         
           
         
         
           
         
   xzteE
n
nn
z
n
n
ˆcostz,E
1
00



 

   yzte
E
n
nn
zn n
ˆcostz,H
1
0
0




 





2. 8. Dado que a impedância intrínseca para um meio genérico com perdas é dada por ,
demonstre que
em que  377120000  é a impedância intrínseca do vácuo.
9. Demonstre as equações (24) e (31) da aula 2.
10. Nas equações (24) e (31), quais termos das soluções dos campos elétrico e magnético estão
relacionadas à onda se propagando no sentido +z e –z. Explique.
11. Determine as expressões do campo elétrico e magnético para uma OEMPU polarizada em y e
que se propaga na direção z. Você deve encontrar expressões parecidas com as equações (23-24) e
(30-31).
12. Repita a questão 8 considerando a onda polarizada em y e que se propaga na direção +z.
13. Repita a questão 8 considerando a onda polarizada em z e que se propaga na direção –y.
14. O campo magnético de uma onda que se propaga em um determinado material não magnético (R=1) é
dado por   V/mzˆ510cos50),( 9
yttyH 

. Determine a direção de propagação da onda, a velocidade de
fase, o comprimento de onda, a permissividade relativa do material e o fasor campo elétrico para essa onda.
15. Escreva as expressões gerais para os campos elétrico e magnético de uma onda plana de 1GHz que se
propaga na direção positiva de y em um meio não- magnético sem perdas com permissividade relativa R=9.
O campo elétrico está polarizado ao longo da direção x, seu valor de pico é 3V/m e a intensidade do campo é
2V/m em t=0 e y=2 cm, ou seja, o campo elétrico tem fase inicial não nula.
16. Para um meio com =105
S/m, r=1 e r=4, determine os valores de α,, ||, ,  e vfase e
escreva as expressões temporais e fasoriais para E e H de uma OEMPU com frequência 1GHz,
polarizada em x e que se propaga na direção –z com amplitude inicial de campo elétrico 10V/m.
17. O fasor campo elétrico de uma onda plana uniforme é dado por V/myˆ10
~ 2,0 zj
eE  . Se a velocidade de
fase da onda é de 1,5x108
m/s e a permeabilidade relativa do meio é R=2,4, determine , f, R e o campo
magnético H(z,t).
18. O campo de uma onda plana que se propaga em um meio material não-magnético (R=1) é dado por
    V/mzˆ4,0102cos4yˆ4,01023 77
xtxtsenE  

. Determine o comprimento de onda, R e
H(x,t).
19. Uma onda radiada no ar por uma fonte incide na superfície do solo, sendo que uma parte é transmitida
para dentro deste. Se o comprimento dela é 30cm no ar e 15cm no solo, qual a permissividade relativa do
solo? Considere que o solo seja um meio de pouquíssima perda.
20. O campo elétrico de uma onda plana que se propaga em um material dielétrico magnético sem perdas
com R=2,56 é dado por   V/myˆ108cos20 9
ztE  

. Determine f, vfase, , ,  e o campo magnético
(temporal e fasorial)
θjj
e
j


 
 
 

0 1
1
2 4
1
e tg
2
1
r r

   
 



  
   
   
  
   

3. 21. O campo elétrico de uma onda plana e uniforme que se propaga em um meio não-magnético (r=1) é
dado     V/mzˆ40102cos25, 930
xtetxE x
 


.Obtenha a expressão correspondente para ),( txH

.
22. Para um meio com =105
S/m, r=1 e r=4, determine os valores de α,, ||, ,  e vfase e
escreva as expressões temporais e fasoriais para E e H de uma OEMPU com frequência 1GHz,
polarizada em x e que se propaga na direção –z com amplitude inicial de campo elétrico 10V/m.
23. Considerando uma OEMPU no espaço livre, determine o campo elétrico (magnético) em cada
uma das seguintes situações:
  zj
eyx 


 ˆ2ˆ
120
1
H
~
(a)     yjyj
ezjxezjx 
ˆˆ2ˆˆE
~
(b)  
     yj
ejzjx 
 31ˆ2ˆ10H
~
(c) 6