1) O documento descreve um estudo que utiliza o método dos elementos finitos para modelar o comportamento biomecânico do fémur humano sob forças externas aplicadas.
2) O fémur foi modelado em 2D usando elementos triangulares de 6 nós e retangulares de 4 e 8 nós no software Ansys para obter a estrutura deformada e distribuição de tensões.
3) Os resultados permitiram analisar como as propriedades do osso variam entre zonas e como responde biomecanicamente às solicitações externas.
Este documento discute especulações sobre centros de massa e campos de corpos ilimitados no espaço tridimensional. Resume conceitos newtonianos como Universo infinito com massa finita e discute paradoxos como o gravitacional. Apresenta definições de centro de massa para sistemas de partículas e distribuições contínuas e propriedades como o movimento do centro de massa. Levanta conjecturas sobre centros de massa de corpos de volumes e áreas finitas e infinitas.
Análise Dinâmica de uma Viga do tipo biapoiada utilizando o Método dos Elemen...Vinicius Elias
Este documento apresenta uma análise dinâmica de uma viga biapoiada utilizando o método dos elementos finitos no software ANSYS. A análise inclui a determinação dos modos de vibração, frequências naturais e resposta harmônica da viga sob carregamento. Os resultados mostram o comportamento dinâmico da estrutura e a eficácia do método dos elementos finitos para este tipo de análise.
1. Uma seqüência recorrente linear é uma seqüência cujos termos são determinados por uma função linear dos k termos anteriores, onde k é chamado de ordem da recorrência.
2. A seqüência de Fibonacci é definida por u0 = 0, u1 = 1 e un+2 = un+1 + un, e pode ser mostrado que seu termo geral é dado por un = (√5)n/√5 - (√5)n/√5.
3. Pode-se mostrar uma identidade útil sobre números de Fibonacci: um+n = umun-
The Semiclassical limit of decoherence in chaotic systemsraphaelpupio
O documento discute o limite semiclássico da descoerência em sistemas caóticos. Aborda a dinâmica semiclássica de estados gaussianos usando a aproximação de órbitas adjacentes, aplicada a um modelo parabólico cuja solução analítica é comparada com a aproximação WKB. A função de Wigner depende das propriedades geométricas da variedade lagrangeana evoluída.
O documento discute equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Apresenta exemplos de aplicações em física e engenharia e explica conceitos-chave como solução geral, solução particular e campo de direções.
Este documento apresenta a resolução de 49 problemas de física relacionados às leis de Newton. Os problemas abordam conceitos como força, aceleração, peso e equilíbrio de forças em diferentes situações como objetos puxados por cordas, caixotes subindo rampas e balões sob aceleração. As soluções fornecem cálculos detalhados usando as leis de Newton e a aplicação de forças para chegar às respostas numéricas requeridas nos problemas.
Este documento discute equações diferenciais parciais lineares de primeira ordem e o Teorema de Existência e Unicidade para o Problema de Cauchy. O documento introduz conceitos como operador diferencial parcial, equações diferenciais parciais lineares e não lineares, classificação de EDPs, e exemplos importantes como a equação de Laplace e equações de calor e onda.
Este documento discute equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Aborda equações diferenciais lineares e não lineares, sistemas autônomos e não autônomos, existência e unicidade de soluções, dependência das soluções em relação às condições iniciais e parâmetros, e elementos da teoria qualitativa de equações diferenciais como campos vetoriais e fluxos.
Este documento discute especulações sobre centros de massa e campos de corpos ilimitados no espaço tridimensional. Resume conceitos newtonianos como Universo infinito com massa finita e discute paradoxos como o gravitacional. Apresenta definições de centro de massa para sistemas de partículas e distribuições contínuas e propriedades como o movimento do centro de massa. Levanta conjecturas sobre centros de massa de corpos de volumes e áreas finitas e infinitas.
Análise Dinâmica de uma Viga do tipo biapoiada utilizando o Método dos Elemen...Vinicius Elias
Este documento apresenta uma análise dinâmica de uma viga biapoiada utilizando o método dos elementos finitos no software ANSYS. A análise inclui a determinação dos modos de vibração, frequências naturais e resposta harmônica da viga sob carregamento. Os resultados mostram o comportamento dinâmico da estrutura e a eficácia do método dos elementos finitos para este tipo de análise.
1. Uma seqüência recorrente linear é uma seqüência cujos termos são determinados por uma função linear dos k termos anteriores, onde k é chamado de ordem da recorrência.
2. A seqüência de Fibonacci é definida por u0 = 0, u1 = 1 e un+2 = un+1 + un, e pode ser mostrado que seu termo geral é dado por un = (√5)n/√5 - (√5)n/√5.
3. Pode-se mostrar uma identidade útil sobre números de Fibonacci: um+n = umun-
The Semiclassical limit of decoherence in chaotic systemsraphaelpupio
O documento discute o limite semiclássico da descoerência em sistemas caóticos. Aborda a dinâmica semiclássica de estados gaussianos usando a aproximação de órbitas adjacentes, aplicada a um modelo parabólico cuja solução analítica é comparada com a aproximação WKB. A função de Wigner depende das propriedades geométricas da variedade lagrangeana evoluída.
O documento discute equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Apresenta exemplos de aplicações em física e engenharia e explica conceitos-chave como solução geral, solução particular e campo de direções.
Este documento apresenta a resolução de 49 problemas de física relacionados às leis de Newton. Os problemas abordam conceitos como força, aceleração, peso e equilíbrio de forças em diferentes situações como objetos puxados por cordas, caixotes subindo rampas e balões sob aceleração. As soluções fornecem cálculos detalhados usando as leis de Newton e a aplicação de forças para chegar às respostas numéricas requeridas nos problemas.
Este documento discute equações diferenciais parciais lineares de primeira ordem e o Teorema de Existência e Unicidade para o Problema de Cauchy. O documento introduz conceitos como operador diferencial parcial, equações diferenciais parciais lineares e não lineares, classificação de EDPs, e exemplos importantes como a equação de Laplace e equações de calor e onda.
Este documento discute equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Aborda equações diferenciais lineares e não lineares, sistemas autônomos e não autônomos, existência e unicidade de soluções, dependência das soluções em relação às condições iniciais e parâmetros, e elementos da teoria qualitativa de equações diferenciais como campos vetoriais e fluxos.
Este documento apresenta a resolução de vários problemas de física relacionados à dinâmica de partículas. Inclui problemas sobre coeficientes de atrito estático e cinético, condições para que um bloco comece a deslizar contra uma parede, e o volume máximo de areia que pode ser empilhado em uma área circular sem que nenhuma areia saia da área.
I. O documento descreve as equações de Maxwell no vácuo e sua solução para ondas eletromagnéticas unidimensionais.
II. As equações resultam na equação de onda para os campos elétrico e magnético, que se propagam como ondas planas harmônicas ortogonais.
III. O campo elétrico e magnético oscilam em fase um com o outro e a uma frequência ω, formando ondas eletromagnéticas que se propagam à velocidade da luz c.
1. O documento discute os princípios básicos das equações diferenciais ordinárias, incluindo conceitos como ordem, linearidade e soluções. 2. Apresenta exemplos clássicos de equações diferenciais que modelam movimentos como o movimento livre, queda livre e crescimento populacional. 3. Fornece exercícios para aplicar os conceitos discutidos.
O documento discute equações diferenciais de primeira ordem. Apresenta exemplos de como modelar problemas físicos usando tais equações e métodos para resolvê-las, como separação de variáveis. Exemplos incluem o movimento de um corpo sob a gravidade com e sem resistência do ar.
Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior
1) O documento discute problemas de valor inicial e de contorno para equações diferenciais lineares de ordem superior, apresentando definições e teoremas sobre a existência e unicidade de soluções para esses problemas. 2) Também apresenta conceitos como independência linear, wronskiano e conjunto fundamental de soluções para equações diferenciais homogêneas. 3) Discutem-se ainda soluções gerais para equações diferenciais homogêneas e não-homogêneas.
Aula 17: Separação da equação de Schrödinger em coordenadas cartesianas. Part...Adriano Silva
Este documento discute a separação da equação de Schrödinger tridimensional em coordenadas cartesianas para casos em que o potencial é separável. Explica que para potenciais separáveis, a equação pode ser escrita como três equações de Schrödinger unidimensionais, cada uma relacionada a uma das coordenadas cartesianas. Ilustra isso para os casos de uma partícula livre e de uma partícula em uma caixa tridimensional.
1) O documento descreve vários métodos estatísticos para análise multivariada de dados, incluindo análise de componentes principais, análise fatorial, escalonamento multidimensional, análise de agrupamento, análise discriminante, inferências sobre vetores de médias e MANOVA, análise de correspondência e análise de correlação canônica.
2) São apresentadas fórmulas estatísticas para cálculo de distâncias, escores, estatísticas de teste, porcentagens de explicação e representações gráfic
Aula 8: O degrau de potencial. Caso I: Energia menor que o degrauAdriano Silva
Este documento descreve um caso de mecânica quântica envolvendo uma partícula que incide sobre um potencial em forma de degrau. O documento apresenta:
1) A equação de Schrödinger para este problema é resolvida separadamente para as regiões x<0 e x>0 do potencial.
2) As soluções são "costuradas" impondo condições de continuidade na interface.
3) Isto mostra que a probabilidade de encontrar a partícula na região classificamente proibida é não-nula, diferentemente da
Aplicação da Lei de Hooke para Simplificação e Renderização de Simulação Físi...Wanderson Vieira
Este documento descreve um método para simular fluidos usando as leis de Hooke aplicadas a uma malha de partículas interligadas por molas. O objetivo é criar uma simulação convincente de uma superfície líquida de forma simplificada em comparação aos métodos baseados nas equações de Navier-Stokes. O método propõe modelar as interações entre as partículas usando a lei de Hooke para molas e integrar numericamente as equações de movimento ao longo do tempo.
FORMA ANALÍTICA E MÉTODOS DAS DIFERENÇAS FINITAS APLICADO AO POTENCIAL DENTRO...JÚLIO PEIXOTO
Resolução analiticamente o problema de Dirichlet, aplicado a uma calha condutora fechada com quatro condições de fronteira e comparar com uma solução de cálculo numérico utilizando o método das diferenças finita. Todas os resultados serão apresentados de forma gráfica e por fim será realizado uma comparação para análise do erro percentual dos dois métodos utilizados.
Analysis of a structure of bars with the Finite Elements methodPaula Antunes
Este documento apresenta um resumo de um trabalho sobre análise estrutural utilizando o método de elementos finitos. O objetivo é construir um programa em Matlab para analisar uma estrutura de barras bidimensional, determinando as reações de apoio, deformações e tensões. O método de elementos finitos é aplicado dividindo a estrutura em elementos de barra e resolvendo as equações de rigidez globalmente.
1) O documento define estruturas algébricas chamadas grupos, corpos e corpos ordenados.
2) Grupos são conjuntos com uma operação binária que satisfaz propriedades de associatividade, elemento neutro e inversos.
3) Corpos são estruturas algébricas com duas operações binárias (adição e multiplicação) que formam um grupo abeliano e satisfazem propriedades de distribuição.
Ricardo Doll Lahuerta apresentou sua dissertação de mestrado sobre otimização topológica considerando a não-linearidade geométrica utilizando o método dos elementos finitos. O documento introduz o tema, revisa literatura relevante, descreve a formulação mecânica do problema não-linear e detalha a implementação numérica do método de otimização topológica.
O documento descreve o modelo AMMI para análise de ensaios multiambientais, que modela efeitos principais e interação de forma sequencial. Dois métodos de validação cruzada são apresentados para otimizar a seleção do número de componentes multiplicativos no modelo AMMI: leave-one-out e uma mistura de regressão e aproximação de matrizes de posto inferior.
Este documento apresenta uma série de exercícios sobre mecânica quântica. O objetivo da aula é consolidar os conhecimentos adquiridos no módulo anterior aplicando-os à resolução dos exercícios. São abordados tópicos como partícula livre e em caixa de potencial tridimensional, operador momento angular e relações de comutação entre operadores.
O documento discute redes neurais para classificação e regressão. Brevemente descreve a história das redes neurais, como elas podem ser usadas para classificação e regressão, e aplicações como detecção de fraude e previsão de riscos. Também resume perceptrons, redes multicamadas, e o algoritmo backpropagation para treinamento de redes neurais.
Asdl emmendes a1 fundamentos de sinais e sistemasjoanes360
1) O documento discute o sistema massa-mola e como derivar sua equação dinâmica a partir da segunda lei de Newton.
2) A equação dinâmica encontrada é mẍ + kx = 0, cuja solução é x(t) = x0sen(ωt) + x0'cos(ωt).
3) O sistema massa-mola oscila com período T = 2π√(m/k) segundos e frequência ω = √(k/m) rad/s.
[1] O documento apresenta métodos para calcular o valor em risco (VaR) de portfólios não-lineares, incluindo aproximações delta e delta-quadrática para portfólios dependentes de um ou mais fatores de risco.
[2] No caso de um único fator de risco, o retorno do portfólio segue uma distribuição qui-quadrado misturada normal. Para múltiplos fatores, a variância do retorno é decomposta em uma combinação de variáveis qui-quadrado.
[3] É apresentado um exemplo
O documento apresenta um plano de ensino para a disciplina de Cálculo IV - Equações Diferenciais no curso de Engenharia de Produção. O conteúdo programático inclui equações diferenciais de primeira e segunda ordem, com foco em técnicas de resolução e aplicações em diferentes áreas como mecânica, oscilações e biologia. A avaliação será contínua ao longo do semestre por meio de trabalhos e provas.
1. O documento apresenta uma síntese das equações de Maxwell, incluindo suas formas discreta e fasorial. As equações descrevem as relações entre os campos elétrico e magnético.
2. A condição de Lorentz para potenciais é discutida, relacionando potenciais variantes no tempo com a obtenção desta condição. A equação de Poisson é resolvida.
3. As equações da onda eletromagnética são deduzidas para vácuo, meios dielétricos, condutores e polarização linear
Este documento apresenta a Lei de Hooke Generalizada, que relaciona os estados de tensão e deformação em materiais. A lei descreve que um estado uniaxial de tensão gera um estado triaxial de deformação, e que quanto maior a rigidez de um material, menores serão suas deformações para um mesmo nível de tensão. A lei é apresentada através de exemplos de barras sob carga axial e prisma sob estado plano de tensões.
Tema 2-transformac3a7c3a3o-da-deformac3a7c3a3o-alunoIFPR
Este documento apresenta um resumo da aula 2 sobre transformação da deformação. Os tópicos abordados incluem estado plano de deformações, equações de transformação, círculo de Mohr, deformação por cisalhamento máxima, rosetas e relações entre propriedades dos materiais e deformações. O objetivo é mostrar métodos para medir e analisar deformações em diferentes orientações.
Este documento apresenta a resolução de vários problemas de física relacionados à dinâmica de partículas. Inclui problemas sobre coeficientes de atrito estático e cinético, condições para que um bloco comece a deslizar contra uma parede, e o volume máximo de areia que pode ser empilhado em uma área circular sem que nenhuma areia saia da área.
I. O documento descreve as equações de Maxwell no vácuo e sua solução para ondas eletromagnéticas unidimensionais.
II. As equações resultam na equação de onda para os campos elétrico e magnético, que se propagam como ondas planas harmônicas ortogonais.
III. O campo elétrico e magnético oscilam em fase um com o outro e a uma frequência ω, formando ondas eletromagnéticas que se propagam à velocidade da luz c.
1. O documento discute os princípios básicos das equações diferenciais ordinárias, incluindo conceitos como ordem, linearidade e soluções. 2. Apresenta exemplos clássicos de equações diferenciais que modelam movimentos como o movimento livre, queda livre e crescimento populacional. 3. Fornece exercícios para aplicar os conceitos discutidos.
O documento discute equações diferenciais de primeira ordem. Apresenta exemplos de como modelar problemas físicos usando tais equações e métodos para resolvê-las, como separação de variáveis. Exemplos incluem o movimento de um corpo sob a gravidade com e sem resistência do ar.
Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior
1) O documento discute problemas de valor inicial e de contorno para equações diferenciais lineares de ordem superior, apresentando definições e teoremas sobre a existência e unicidade de soluções para esses problemas. 2) Também apresenta conceitos como independência linear, wronskiano e conjunto fundamental de soluções para equações diferenciais homogêneas. 3) Discutem-se ainda soluções gerais para equações diferenciais homogêneas e não-homogêneas.
Aula 17: Separação da equação de Schrödinger em coordenadas cartesianas. Part...Adriano Silva
Este documento discute a separação da equação de Schrödinger tridimensional em coordenadas cartesianas para casos em que o potencial é separável. Explica que para potenciais separáveis, a equação pode ser escrita como três equações de Schrödinger unidimensionais, cada uma relacionada a uma das coordenadas cartesianas. Ilustra isso para os casos de uma partícula livre e de uma partícula em uma caixa tridimensional.
1) O documento descreve vários métodos estatísticos para análise multivariada de dados, incluindo análise de componentes principais, análise fatorial, escalonamento multidimensional, análise de agrupamento, análise discriminante, inferências sobre vetores de médias e MANOVA, análise de correspondência e análise de correlação canônica.
2) São apresentadas fórmulas estatísticas para cálculo de distâncias, escores, estatísticas de teste, porcentagens de explicação e representações gráfic
Aula 8: O degrau de potencial. Caso I: Energia menor que o degrauAdriano Silva
Este documento descreve um caso de mecânica quântica envolvendo uma partícula que incide sobre um potencial em forma de degrau. O documento apresenta:
1) A equação de Schrödinger para este problema é resolvida separadamente para as regiões x<0 e x>0 do potencial.
2) As soluções são "costuradas" impondo condições de continuidade na interface.
3) Isto mostra que a probabilidade de encontrar a partícula na região classificamente proibida é não-nula, diferentemente da
Aplicação da Lei de Hooke para Simplificação e Renderização de Simulação Físi...Wanderson Vieira
Este documento descreve um método para simular fluidos usando as leis de Hooke aplicadas a uma malha de partículas interligadas por molas. O objetivo é criar uma simulação convincente de uma superfície líquida de forma simplificada em comparação aos métodos baseados nas equações de Navier-Stokes. O método propõe modelar as interações entre as partículas usando a lei de Hooke para molas e integrar numericamente as equações de movimento ao longo do tempo.
FORMA ANALÍTICA E MÉTODOS DAS DIFERENÇAS FINITAS APLICADO AO POTENCIAL DENTRO...JÚLIO PEIXOTO
Resolução analiticamente o problema de Dirichlet, aplicado a uma calha condutora fechada com quatro condições de fronteira e comparar com uma solução de cálculo numérico utilizando o método das diferenças finita. Todas os resultados serão apresentados de forma gráfica e por fim será realizado uma comparação para análise do erro percentual dos dois métodos utilizados.
Analysis of a structure of bars with the Finite Elements methodPaula Antunes
Este documento apresenta um resumo de um trabalho sobre análise estrutural utilizando o método de elementos finitos. O objetivo é construir um programa em Matlab para analisar uma estrutura de barras bidimensional, determinando as reações de apoio, deformações e tensões. O método de elementos finitos é aplicado dividindo a estrutura em elementos de barra e resolvendo as equações de rigidez globalmente.
1) O documento define estruturas algébricas chamadas grupos, corpos e corpos ordenados.
2) Grupos são conjuntos com uma operação binária que satisfaz propriedades de associatividade, elemento neutro e inversos.
3) Corpos são estruturas algébricas com duas operações binárias (adição e multiplicação) que formam um grupo abeliano e satisfazem propriedades de distribuição.
Ricardo Doll Lahuerta apresentou sua dissertação de mestrado sobre otimização topológica considerando a não-linearidade geométrica utilizando o método dos elementos finitos. O documento introduz o tema, revisa literatura relevante, descreve a formulação mecânica do problema não-linear e detalha a implementação numérica do método de otimização topológica.
O documento descreve o modelo AMMI para análise de ensaios multiambientais, que modela efeitos principais e interação de forma sequencial. Dois métodos de validação cruzada são apresentados para otimizar a seleção do número de componentes multiplicativos no modelo AMMI: leave-one-out e uma mistura de regressão e aproximação de matrizes de posto inferior.
Este documento apresenta uma série de exercícios sobre mecânica quântica. O objetivo da aula é consolidar os conhecimentos adquiridos no módulo anterior aplicando-os à resolução dos exercícios. São abordados tópicos como partícula livre e em caixa de potencial tridimensional, operador momento angular e relações de comutação entre operadores.
O documento discute redes neurais para classificação e regressão. Brevemente descreve a história das redes neurais, como elas podem ser usadas para classificação e regressão, e aplicações como detecção de fraude e previsão de riscos. Também resume perceptrons, redes multicamadas, e o algoritmo backpropagation para treinamento de redes neurais.
Asdl emmendes a1 fundamentos de sinais e sistemasjoanes360
1) O documento discute o sistema massa-mola e como derivar sua equação dinâmica a partir da segunda lei de Newton.
2) A equação dinâmica encontrada é mẍ + kx = 0, cuja solução é x(t) = x0sen(ωt) + x0'cos(ωt).
3) O sistema massa-mola oscila com período T = 2π√(m/k) segundos e frequência ω = √(k/m) rad/s.
[1] O documento apresenta métodos para calcular o valor em risco (VaR) de portfólios não-lineares, incluindo aproximações delta e delta-quadrática para portfólios dependentes de um ou mais fatores de risco.
[2] No caso de um único fator de risco, o retorno do portfólio segue uma distribuição qui-quadrado misturada normal. Para múltiplos fatores, a variância do retorno é decomposta em uma combinação de variáveis qui-quadrado.
[3] É apresentado um exemplo
O documento apresenta um plano de ensino para a disciplina de Cálculo IV - Equações Diferenciais no curso de Engenharia de Produção. O conteúdo programático inclui equações diferenciais de primeira e segunda ordem, com foco em técnicas de resolução e aplicações em diferentes áreas como mecânica, oscilações e biologia. A avaliação será contínua ao longo do semestre por meio de trabalhos e provas.
1. O documento apresenta uma síntese das equações de Maxwell, incluindo suas formas discreta e fasorial. As equações descrevem as relações entre os campos elétrico e magnético.
2. A condição de Lorentz para potenciais é discutida, relacionando potenciais variantes no tempo com a obtenção desta condição. A equação de Poisson é resolvida.
3. As equações da onda eletromagnética são deduzidas para vácuo, meios dielétricos, condutores e polarização linear
Este documento apresenta a Lei de Hooke Generalizada, que relaciona os estados de tensão e deformação em materiais. A lei descreve que um estado uniaxial de tensão gera um estado triaxial de deformação, e que quanto maior a rigidez de um material, menores serão suas deformações para um mesmo nível de tensão. A lei é apresentada através de exemplos de barras sob carga axial e prisma sob estado plano de tensões.
Tema 2-transformac3a7c3a3o-da-deformac3a7c3a3o-alunoIFPR
Este documento apresenta um resumo da aula 2 sobre transformação da deformação. Os tópicos abordados incluem estado plano de deformações, equações de transformação, círculo de Mohr, deformação por cisalhamento máxima, rosetas e relações entre propriedades dos materiais e deformações. O objetivo é mostrar métodos para medir e analisar deformações em diferentes orientações.
Este documento discute as tensões e deformações em barras elásticas submetidas à flexão. Ele apresenta as fórmulas para calcular a tensão máxima, a tensão em qualquer ponto e a curvatura da barra. Também aborda como essas fórmulas se aplicam a barras compostas por vários materiais, com diferentes módulos de elasticidade.
Este documento apresenta a resolução de vários problemas de física relacionados a momento angular. O problema 23 mostra que para dar uma tacada em uma bola de bilhar inicialmente em repouso de forma que ela adquira uma velocidade final de 9v0/7, a altura do taco deve ser h = 4R/5, onde R é o raio da bola.
O documento discute conceitos básicos de equações diferenciais ordinárias, incluindo tipos de equações, soluções e exemplos clássicos. Resume três pontos principais: 1) Equações diferenciais modelam movimentos e outros fenômenos físicos; 2) Exemplos históricos incluem movimento livre, queda livre e crescimento populacional; 3) A resolução de equações diferenciais é fundamental para a física e seu desenvolvimento.
Este documento discute o cálculo da região de segurança em lançamentos de projéteis, considerando a resistência do ar e ventos. A região de segurança é obtida calculando a envoltória de uma família de trajetórias, indexada pelo ângulo de lançamento. Isso requer o uso de geometria e equações diferenciais, promovendo a interdisciplinaridade entre física e matemática. Além disso, devido à resistência do ar, surgem desafios que podem ser resolvidos com recursos computacionais.
Este documento discute o cálculo da região de segurança em lançamentos de projéteis, considerando a resistência do ar e ventos. A região de segurança é obtida calculando a envoltória de uma família de trajetórias, indexada pelo ângulo de lançamento. Isso requer o uso de geometria e equações diferenciais, promovendo a interdisciplinaridade entre física e matemática.
Método Elementos Finitos - Modelo Fémur [Abaqus]Luís Rita
Este documento descreve uma análise computacional de um modelo 2D do fémur humano utilizando o método de elementos finitos no software ABAQUS. O objetivo foi determinar as tensões e deformações no osso quando submetido a duas forças aplicadas na parte superior. Vários tipos de malha foram testados para determinar a convergência do método. Os resultados obtidos foram qualitativamente consistentes com as expectativas biomecânicas.
Este capítulo apresenta conceitos fundamentais de tensões e deformações, incluindo: (1) definição de tensão e representação matemática por meio de tensores; (2) conceito de deformação e relação entre tensão e deformação nos regimes elástico e plástico; (3) representação gráfica de estados de tensão usando o círculo de Mohr.
1) O documento discute critérios de resistência de materiais, incluindo coeficiente de segurança, tensão equivalente e critérios como o de Tresca e Von Mises.
2) É apresentada a aplicação destes critérios no dimensionamento de eixos submetidos a momento fletor e momento torsor.
3) A tensão equivalente para eixos é calculada usando o critério de Von Mises, resultando na equação que relaciona tensão equivalente com os momentos fletor e torsor.
1) O documento apresenta 63 problemas resolvidos de física sobre trabalho e energia extraídos do livro Física de Resnick, Halliday e Krane.
2) As soluções incluem cálculos, gráficos e explicações passo a passo.
3) Os problemas envolvem conceitos como trabalho realizado por forças variáveis, trabalho em movimento circular, lançamento de projéteis e colisões elásticas.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre física quântica e atômica. Os exercícios envolvem o princípio da incerteza de Heisenberg, a equação de Schrödinger e funções de onda para diferentes sistemas quânticos unidimensionais.
1) O documento apresenta tabelas de análise de estruturas com fórmulas para analisar vigas sob diferentes tipos de cargas e condições de apoio. 2) Inclui equações para calcular deformações, esforços, momentos fletores e cortantes em vigas sob cargas pontuais ou distribuídas, assim como sob efeitos de variações de temperatura. 3) Fornece casos particulares para configurações comuns como viga simplesmente apoiada com carga no meio do vão.
1) O valor da expressão 9 . (sec2x + tg2x) é 81, dado que cosec x = 5 e x está no primeiro quadrante.
2) A soma dos números associados às proposições verdadeiras é 9.
3) A soma dos números associados às proposições verdadeiras é 5.
1. O documento apresenta exercícios sobre o Teorema de Rolle e o Teorema do Valor Médio.
2. Os exercícios 1-6 verificam se o Teorema de Rolle pode ser aplicado em funções dadas em intervalos específicos.
3. O exercício 7 aplica o Teorema de Rolle e o Teorema do Valor Médio para calcular a velocidade média e instantânea de uma bola lançada.
Este documento resume as principais características de variáveis aleatórias, incluindo valor esperado, variância, covariância e coeficiente de correlação. O valor esperado é a média da distribuição de probabilidade da variável aleatória. A variância mede a dispersão em torno do valor esperado. A covariância mede a associação entre duas variáveis e o coeficiente de correlação mede essa associação de forma relativa.
1) O documento descreve o método de fatoração LU para resolver a matriz inversa de Vandermonde. 2) Os autores obtêm fórmulas gerais para as matrizes L, U, L-1 e U-1 que permitem calcular a inversa de Vandermonde. 3) Eles provam por indução que o produto L·U é igual à matriz de Vandermonde, permitindo obter a fórmula desejada para sua inversa.
O documento discute diferentes tipos de flexão em elementos estruturais. Aborda flexão pura, onde apenas momento fletor atua na seção, e flexão combinada, onde momento fletor e esforço cortante atuam simultaneamente. Explica como as tensões variam linearmente na seção transversal em função da distância ao eixo neutro para flexão pura, de acordo com a fórmula de Navier. Também discute como esforços cortantes geram tensões tangenciais adicionais na seção.
Este documento apresenta uma série de exercícios relacionados aos tópicos de mecânica quântica estudados nas aulas anteriores, como barreiras de potencial, poços de potencial finitos e infinitos e oscilador harmônico. As questões abordam cálculos de probabilidade de transmissão através de barreiras, estimativas de energia de estados ligados em poços e cálculos de valores esperados para diferentes estados quânticos. Resoluções detalhadas são fornecidas para cada exercício como forma de
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Spinvalves Fabrication with microfabrication thecniquesPaula Antunes
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Self-Navigated Multishot Echo-Planar Pulse Sequence for High-Resolution Diffu...Paula Antunes
Introduz uma nova sequência de pulsos EPI multishot (EPIK) para imagens de difusão de alta resolução. Aplica um método de reconstrução para corrigir artefactos de movimento nesta sequência. Os resultados mostram aumento significativo da anisotropia em regiões de fibras ramificadas com EPIK em comparação com EPI singleshot, demonstrando maior especificidade espacial com esta técnica.
Analysis of biomechanics femur behavior based on Huiskes model of bone adapta...Paula Antunes
Este documento descreve um estudo sobre a adaptação óssea do fémur após a inserção de um implante semelhante ao Gamma Nail, utilizando um modelo computacional baseado no modelo de Huiskes. Foram simuladas variantes do caso original variando parâmetros como o material e diâmetro do implante e a ligação entre osso e implante. O objetivo era compreender a influência destes fatores na adaptação óssea.
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Este estudo randomizado avaliou a frequência e prevenção de trombose venosa profunda assintomática em voos de longa distância. Os 231 voluntários foram divididos aleatoriamente em dois grupos, um que usou meias de compressão e outro que não. Após as viagens, 12 pessoas que não usaram meias desenvolveram trombose venosa profunda assintomática, enquanto nenhuma pessoa que usou meias teve essa condição.
Este documento compara diferentes métodos de produção de vacinas contra a gripe, incluindo a produção em ovos, cultura de células e produção recombinante de hematoglutinina (HA) em células de inseto. O método de DNA recombinante usa baculovírus para fazer com que células de inseto produzam HA idêntica à do vírus da gripe, permitindo uma produção mais rápida de vacinas sem os riscos associados aos ovos. O processo é monitorizado para determinar o momento ótimo de colheita do HA recombinante
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Este documento discute a bioimpedância cardiográfica (ICG), um método para estimar o volume de ejeção cardíaco medindo a impedância elétrica do tórax. Ele descreve o modelo de Kubicek utilizado para calcular o volume de ejeção e apresenta os resultados do protótipo construído, incluindo a forma típica da impedância e sua primeira derivada ao longo do ciclo cardíaco.
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Designing polymer surfaces via vapor depositionPaula Antunes
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Modeling of a biomechanic elasticity problem with Finite Elements model
1. Disciplina de MECÂNICA E MODELAÇÃO COMPUTACIONAL
Mestrado Integrado em ENGENHARIA BIOMÉDICA
4º Ano, 1º Semestre 2009/10
MODELAÇÃO DE UM PROBLEMA BIOMECÂNICO DE
ELASTICIDADE PLANA PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Ana Sabino
64416
e-mail: anasabino.rm@gmail.com
Paula Antunes
64407
e-mail: paulasmt@gmail.com
Palavras-chave: método de elementos finitos, modelação biomecânica, Ansys, fémur,
estrutura deformada, teoria da elasticidade.
Resumo. Neste trabalho o problema biomecânico a resolver era constituído por forças
aplicadas na região proximal do fémur humano. Para a sua resolução utilizou-se o método
dos elementos finitos (MEF). O sistema foi modelado como um problema de elasticidade
plana (bidimensional), em ambiente Ansys, e aproximado a um estado de tensão plana, com
elementos triangulares de 6 nós ou rectangulares de 4 ou 8 nós. A partir da estrutura
deformada obtida conseguiu-se compreender o comportamento biomecânico do fémur às
solicitações externas aplicadas e relacioná-lo com as características do osso, que diferem
entre zonas.
1. INTRODUÇÃO
Na área de engenharia é já usual a recorrência ao MEF para optimização de processos
industriais, não só biomecânicos como também na indústria aeronáutica e automóvel. Tal
deve-se ao facto da sua eficiência e eficácia que se traduzem numa redução do tempo e custos
de produção, pois passam a ser desnecessários testes materiais que antes eram indispensáveis.
No nosso vaso o objectivo principal é, como já foi referido anteriormente, a aplicação do
MEF à modelação bidimensional de uma estrutura biomecânica em concreto – a metade
proximal de um fémur humano, sujeito a solicitações externas (forças aplicadas e condições
de deslocamento imposto). Os pormenores do problema encontram-se esquematizados na
figura 1.
Através do software Ansys, pioneiro na aplicação do método dos elementos finitos, será
feita a modelação de modo a obter a configuração deformada e a distribuição de tensões na
estrutura bem como a convergência do problema de elementos finitos. Por fim, e através dos
resultados obtidos, far-se-á uma análise não só numérica mas também biomecânica.
2. Ana Sabino e Paula Antunes
Figura 1. Esquema do problema biomecânico.
2. PRINCIPIOS TEÓRICOS
O MEF permite resolver problemas contínuos, descritos por equações diferenciais, através
da sua formulação variacional, em que se assume que a solução do problema é constituída por
uma combinação linear de funções aproximadoras. Este método chega à solução discretizando
o domínio em elementos finitos, tratando-os separadamente e assemblando-os de modo a ter o
sistema global. Com imposição das condições de fronteira, determina-se a solução do
problema.
2.1. Problema de elasticidade
Tendo em conta os resultados que se pretendem obter é necessário ter presente que a
3. Ana Sabino e Paula Antunes
tensão e a deformação, em meios contínuos, são características estudadas pela elasticidade,
uma área da mecânica dos sólidos. Quando as deformações do material são pequenas, é a
elasticidade linear que fornece um conjunto de aproximações frequentemente adequadas ao
seu estudo (1). Estes materiais dizem-se sólidos elásticos lineares, e obedecem à Lei de Hooke
generalizada:
σij = E ijkl ε kl (1)
onde σ é o tensor das tensões, E é a constante de elasticidade do meio e ε é o tensor de
Cauchy ou tensor das deformações infinitesimais, que se relaciona com o deslocamento
sofrido u, da seguinte forma:
1
ε kl = (u k,l + u l,k ) (2)
2
Para simplificar o problema, admite-se que o osso é um material isotrópico, sendo
caracterizado por apenas duas constantes elásticas - coeficiente de Poisson (ν ) e módulo de
Young ou módulo de elasticidade ( E ). A relação entre estas é conseguida tendo em conta a
forma geral da Lei de Hooke (1):
E ν
σ = δ ijε k k + ε ij (1)
ij
(ν + 1 ) (1 − 2 ν )
υ +1 υ
ε ij = σ ij − δ ijσ kk (2)
E E
Quando a estrutura em questão é bidimensional a sua resolução passa por considerarmos
que esta se pode encontrar em dois estados diferentes: num estado de tensão plana ou num
estado de deformação plana.
Em estados de tensão plana, admite-se que uma das dimensões da estrutura (admitindo z) é
muito inferior às outras duas, sendo desprezável. Tal faz com que o carregamento exista
apenas no plano formado pelas outras duas dimensões (x e y) mas que, contudo, a deformação
em z continue a ser relevante (7). Desta situação resulta um tensor das tensões cujas
componentes obedecem a:
σ zz = σ xz = σ yz = 0 (5)
σ xx 1 ν 0 ε xx
E ν 1
σ yy = 2 0 ε yy
(6)
σ 1 − ν 0 0 1 − ν ε xy
xy
ν
ε zz = − (σ xx + σ yy ) (7)
E
4. Ana Sabino e Paula Antunes
Os estados de deformação plana são aproximações adequadas para o estudo de meios em
que uma das dimensões (defina-se como z) é muito superior às restantes, e em que, de novo,
apenas existe carregamento no plano formado pelas outras duas dimensões (x e y). Neste
caso, a deformação em z é desprezável, mas a tensão toma valores relevantes nesta direcção
(8) e (10).
ε zz = ε xz = ε yz = 0 (8)
σ xx 1 − ν ν 0 ε xx
E ν 1− ν
σ yy = 0 ε yy
(9)
σ (1 − 2ν )(ν + 1) 0 0 1 − 2ν ε xy
xy
E
σzz = (ε xx + ε yy ) = ν(σ xx + σ yy ) (10)
(1 − 2ν)(ν + 1)
A equação de equilíbrio para o problema de elasticidade, do corpo genérico da figura 2,
é dada por:
σ ij, j + f i = 0 (11)
em que σ ij é o tensor das tensões e f i as forças volúmicas.
Figura 2. Corpo genérico sujeito a forças volúmicas fi, a um campo de forças distribuídas ti ao longo da sua
fronteira Γ.
Da relação entre as equações (1), (2) e (11) surge a oportunidade de aplicação do método
dos elementos finitos para o estudo e descrição completa do fenómeno da deformação.
Para que este mesmo método consiga encontrar uma solução aproximada é necessário
obter a formulação fraca correspondente ao conjunto de equações diferenciais aplicadas ao
problema de elasticidade plana, que dependem do estado inicialmente assumido como
aproximação do problema. A formulação forte explicitada em (4) é convertida entoa em:
∫Ω
E ijkl ε kl (u )εij ( w )dΩ = ∫
Ω
f i w i dΩ + ∫
Γ
t i w i dΓ (12)
5. Ana Sabino e Paula Antunes
em que w é uma função peso adequada [2]. A aproximação da solução u é conseguida
desenvolvendo-se um elemento-tipo e, com um determinado número de nós N e utilizando-se
funções interpoladoras da solução nos respectivos nós. A aproximação é assim:
N
∑
u i ψ i (x, y)
u h i =1
u = N (13)
vh
∑
vi ψ i (x, y)
i =1
em que ui e vi são os valores da solução nos nós considerados, e cada uma das funções
interpoladoras ψi toma um valor unitário no nó i e nulo nos restantes. As funções serão
polinomiais pois são diferenciáveis em x e em y, no domínio do elemento. Obtida a função
aproximadora procede-se à conversão da relação dada pela formulação fraca (12) no sistema
de equações lineares em u, para cada elemento tipo e:
{ } { }
K e u e = Fe (14)
em que K é a matriz de rigidez do elemento.
Quanto ao elemento-tipo, este, é representado por um dado número de nós e um
determinado tipo de funções interpoladoras, escolhidas consoante as características do
problema. Alguns dos parâmetros a ter em conta nesta decisão são a geometria, a disposição
das forças aplicadas e também o grau de rigor pretendido.
No que toca ao número de nós o elemento-tipo é comummente definido através da forma
geométrica mais simples, um triângulo de 3 nós cujas funções de aproximação são do tipo:
u h = a1 + a 2 x + a 3 y (15)
v = a +a x+a y (16)
Como já foi referido as funções interpoladoras são geralmente polinómios em (x,y), cujas
componentes variam com o número de vértices do elemento e com o número e a disposição
dos nós utilizados. Para além da solução, existem funções que também interpolam as
derivadas dessa mesma função – funções de Hermite [2]. Triângulos de 6 nós e rectângulos de
4 e 8 nós foram os elementos distribuídos pelo domínio do problema (figura 3).
Figura 3. Elemento-tipo (a) triangular de 6 nós e (b) rectangular de 4 e 8 nós.
2.2. Transformação de coordenadas
6. Ana Sabino e Paula Antunes
Com o intuito de simplificar o mais possível os passos de processamento numérico é feita
uma transformação de coordenadas de cada elemento da malha para um dado elemento-tipo
(figura 4).
Figura 4. Transformação de coordenadas.
A transformação caracteriza-se matematicamente pelo seu jacobiano J (determinante da
matriz das derivadas), utilizado nos processos de integração numérica para a construção do
sistema (14). Existem duas condições a impor para que esta integração aconteça
correctamente: (i) as funções que relacionam os pontos de cada elemento com o de referência
devem ser contínuas (e continuamente diferenciáveis) e bijectivas no domínio de cada
elemento e (ii) que a transformação seja invertível [2]. Estas duas condições garantem que não
ocorram sobreposições e que o jacobiano seja diferente de zero em todos os pontos.
Para construir e manipular estas transformações, de modo a que as mesmas obedeçam a
estas condições, recorre-se à utilização de funções interpoladoras ψi semelhantes às presentes
na análise da deformação [4].
2.2. Processamento de dados
Por fim falta explicitar como são todos estes dados processados e quais as aproximações
numéricas e discretizações necessárias para a obtenção dos resultados pretendidos.
A construção do sistema (14) para cada elemento é feita através do cálculo de integrais
(com transformação de coordenadas). Computacionalmente tal é alcançado utilizando-se
fórmulas de quadratura do tipo:
∫
ˆ
Ω
F(ξ, η)dξdη = ∑∑ F(ξ , η )W W
I J
I J I J (17)
em que os pontos de Gauss (I,J) são pontos amostrados da estrutura, WI,J são os respectivos
pesos (tabelados), e F é a função de interesse [2].
O cálculo da matriz de rigidez [Ke], com as respectivas transformações de coordenadas,
7. Ana Sabino e Paula Antunes
pode ser feito por este meio, tal como a integração das forças volúmicas, incluídas no vector
{Fe} – a intensidade destas forças é amostrada precisamente nos pontos de Gauss. No entanto,
a carga distribuída na fronteira é discretizada ao ser repartida pelos nós dos elementos em que
actua (com pesos proporcionais ao comprimento afectado em cada elemento) [4].
Apesar de se calcularem os deslocamentos directamente para os nós de cada elemento, as
tensões não são obtidas desta forma pois o cálculo da deformação num ponto, e
consequentemente da tensão, envolve as derivadas dos deslocamentos nesse ponto, como se
pode constatar a partir das expressões (1) e (2). Assim, e uma vez que as soluções obtidas para
os deslocamentos, não são em geral contínuas nos nós, torna-se necessário utilizar pontos
interiores a cada elemento – pontos de Gauss. A partir destes consegue-se calcular
directamente a distribuição de tensões e, com base em médias ponderadas, extrapolam-se
resultados para outros pontos do sistema.
Na construção da malha de elementos finitos é imprescindível ter sempre presente quais as
técnicas utilizadas pelos algoritmos que realizam a integração numérica, pois estas
condicionam esta importante etapa. A qualidade da análise depende naturalmente deste passo,
tanto ao nível das transformações de coordenadas como da amostragem nos pontos de Gauss.
Os ângulos formados pelos vértices, de cada elemento, não devem ultrapassar certos valores
mínimos e máximos, e as distâncias relativas entre os vários nós (interiores e de fronteira)
também não devem estar abaixo de certos limiares [2].
Quanto à análise de tensão em estruturas bidimensionais, constata-se que o tensor das
tensões é um resultado pouco prático para a análise e comparação das distribuições de tensão
e das questões de convergência, essencialmente devido ao seu carácter multidimensional (ou
tensorial). Como tal recorre-se à tensão de von Mises, ou tensão equivalente, calculada
através da seguinte expressão (em ANSYS):
1
σe = (σ xx − σ yy ) 2 + (σ yy − σzz )2 + (σ zz − σ xx )2 + 6(σ2 + σ2 + σ2 ) (18)
2
xy yz xz
que permite relacionar grandezas de um modo matemático mais simples e de natureza escalar.
A tensão de von Mises esta na base do critério de máxima energia de distorção que diz que
um dado ponto do material é estável (em termos do perigo de rotura) se a tensão equivalente
não exceder um limite máximo estabelecido por ensaios de tensão com o mesmo tipo de
material [1]. O valor dessa tensão equivalente corresponde à energia associada à distorção do
material (desprezando alterações puramente volumétricas).
3. MODELAÇÃO COMPUTACIONAL
Todo este projecto foi desenvolvido computacionalmente recorrendo ao programa ANSYS
v12.0 que processou o problema biomecânico proposto em três etapas: desenho da região
proximal do fémur, construção da malha de elementos finitos e deformação da estrutura.
8. Ana Sabino e Paula Antunes
3.1. Desenho da região proximal do fémur
A partir da malha quadriculada da figura 1, e tendo em conta que dada quadricula são 5
milímetros, escolheram-se pontos, definiram-se as suas coordenadas e introduziram-se os
mesmos, no programa Ansys, como keypoints.
Optou-se por primeiro introduzir os pontos exteriores de todo o fémur (figura 5). Os
pontos referentes às faces interiores, deduziram-se a partir dos exteriores, sabendo que nos 5
cm de altura de diáfise o osso compacto apresenta 5 mm de espessura e que na epífise a
espessura do mesmo seja de 3 mm.
De seguida procedeu-se à interpolação dos pontos por splines de uma forma particionada.
Esta abordagem foi necessária devido ao facto do programa não permitir uma interpolação
que abrangesse todo o fémur. Ao longo de todo o processo alguns pontos foram sendo
ajustados de modo a obter splines mais próximas da curva pretendida.
Figura 5. Conjunto dos pontos externos considerados para desenho
do fémur.
Ao definirmos os keypoints escolhemos inserir pontos estratégicos, em extremidades de
linhas que correspondem a fronteira entre áreas, onde fossem sempre aplicadas as forças
externas. Deste modo, mesmo variando a malha, os pontos de aplicação de forças não se
alteram e as comparações dos resultados, obtidos com cada tipo de malha, serão mais
fidedignas.
3.2. Construção da malha de elementos finitos
Após o desenho do domínio planar do problema passou-se para a construção da malha de
elementos finitos. Neste trabalho optou-se por obter malhas com elementos-tipo triangulares
de 6 nós e rectangulares de 4 ou 8 nós.
Com o intuito de termos um maior controlo sobre a malha gerada pelo programa,
dividimos o domínio de construção em várias áreas aproximadamente rectangulares (figura
5). Tal foi feito com o cuidado de cada área ter 4 lados pois julgamos diminuir assim algumas
9. Ana Sabino e Paula Antunes
formas irregulares e, consequentemente, violações na geometria permitida a cada elemento. A
cada área foram atribuídas as características de elasticidade do tipo de osso correspondente.
Figura 6. Divisão do domínio do problema.
Para a malha com elementos-tipo triangulares utiliza-se a mesma subdivisão, para manter a
coerência da análise e a fidelidade da comparação que será feita na discussão, quanto aos
resultados obtidos com os dois tipos de malha. No entanto dividimos todos os rectângulos em
dois, através de uma linha que une dois vértices opostos de forma a obtermos áreas de 3 lados,
ideal para a construção de uma malha com elementos triangulares.
Figura 7. Malhas de base obtidas para elementos de 4 mm (a)
quadrilateros de 4 nós de e (b) triangulares.
As malhas rectangular de 4 nós e triangular possuem 506 e 1118 elementos,
respectivamente e estão representadas na figura 7. Ao longo do refinamento, ou seja,
10. Ana Sabino e Paula Antunes
diminuição do tamanho de cada elemento (4, 2, 1, 0.5 mm) torna-se óbvio que o número de
elementos aumenta consideravelmente.
3.3. Deformação e obtenção de resultados
Depois de construídas as malhas definiram-se as componentes, vertical e horizontal, das
forças aplicadas na cabeça do fémur e os constrangimentos impostos na base do mesmo. A
obtenção da estrutura deformada é totalmente processada pelo programa ao escolhermos a
sequência de comandos Plot Results > Deformed Shape > Def. + Undeformed > OK. Para
uma análise completa do comportamento biomecânico do fémur sob as condições de força
referidas no enunciado obteve-se a representação da configuração deformada, da distribuição
de tensões (de von Mises) e de deslocamentos. Fez-se uma análise de convergência com base
na evolução da tensão de von Mises em 2 pontos de interesse. Estes resultados foram
adquiridos para as malhas rectangular de 4 nós e triangular, para uma aproximação de estado
plano de tensão.
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO
Nesta secção apresentam-se e discutem-se os resultados pertinentes para a compreensão do
da resposta biomecânica da parte proximal do fémur às solicitações externas simuladas.
4.1. Deformação
Na figura 8 estão representadas as deformações, para o estado de tensão plana, com a
malha de elementos quadriláteros e triangulares. Não são apresentadas as deformações obtidas
com as outras malhas pois os resultados são extremamente idênticos.
Figura 8. Configuração deformada obtida após convergência, em (a) elementos quadriláteros
de 4 nós e (b) triangulares de 6 nós, para um estado de tensão plana (refinação de 4 mm)
11. Ana Sabino e Paula Antunes
Como é visível na figura 8 as deformadas são iguais e como tal, a partir daqui, optou-se
por exibir os resultados conseguidos apenas para um dos tipos de elementos, os quadriláteros
de 4 nós.
A deformação da estrutura ocorre para a direita e para baixo devido a vários factores:
• Às forças nele aplicadas - embora a componente horizontal orientada da direita para
a esquerda (768 N) seja maior que a da esquerda para a direita (224 N), a
componente vertical aplicada na extremidade superior direita e com sentido de
cima para baixo (2246 N ) é o dobro daquela que é aplicada na extremidade
superior esquerda com sentido oposto (1210 N);
• Ponto de aplicação de Fh - devido à sua localização, surge um grande momento
flector no sentido dos ponteiros do relógio (para a direita), que provoca um grande
deslocamento horizontal;
• Orientação das trabéculas - devido à orientação das trabéculas as forças verticais
aplicadas são mais bem suportadas pelo fémur, ou seja, a resistência é maior à
compressão que à flexão. Deste modo o maior deslocamento acontece na horiontal.
• Geometria da estrutura – na base desta estrutura estão as duas colunas verticais de
osso compacto (diáfise), coma região da medula assumida como espaço vazio,
encastradas na extremidade, conferindo uma maior sensibilidade, da estrutura, a
esforços horizontais do que verticais. Note-se também que na estrutura utilizada
está ausente a outra metade do fémur, que na realidade existe, e que contribui para
uma distribuição de tensões ao longo de todo o osso e uma melhor resposta à
flexão.
• Encastramento – uma vez que os deslocamentos na extremidade inferior da
estrutura são nulos pode-se concluir que o encastramento imposto está a cumprir a
sua função. Os deslocamentos horizontais são então crescentes à medida que se
avança para a extremidade superior.
• Ausência de tecidos moles – a omissão das tensões produzidas pela acção dos
músculos e de tecidos moles aqui não representados deverá também contribuir para
a tendência do deslocamento.
4.2. Distribuição das tensões de von Mises
A distribuição de tensões de von Mises obtida após convergência é também análoga para
os vários tipos de elementos o que indica uma boa qualidade geral das malhas
experimentadas. Posto isto optou-se por apresentar os resultados obtidos para elementos
rectangulares de comprimento 0.5 mm (figura 9). Com o intuito de obter uma representação
mais intuitiva dos gradientes de tensão da estrutura foi necessário recorrer a um ajuste de
escala das tensões pois os valores mínimo e máximo são bastante distantes um do outro,
664.627 e 0.3e7 Pa, respectivamente.
12. Ana Sabino e Paula Antunes
Figura 9. Distribuição de tensões de von Mises (em Pa), em
.
elementos rectangulares de 4 nós.
A primeira observação a ter em conta está relacionada com as zonas onde ocorrem as
tensões mais elevadas:
• No osso compacto - esta situação ocorre devido ao valor do módulo de Young do
esta
osso compacto (17 GPa) ser maior que o do osso trabecular (5 GPa) e assim haver
uma maior concentração das tensões no componente mais rígido (entre 500000 e
rígido
0.1e7 Pa).
• Pontos de aplicação das forças – lembrando que a tensão é igual ao limite do
quociente entre a força aplicada e a área, e que é nestes pontos que a força é
área
máxima, não seria de esperar outra conjuntura.
Em segundo lugar as tensões máximas (entre 0.25e7 e 0.3e7 Pa) ocorrem na região inferior
sões
da estrutura, precisamente onde foram definidos os encastramentos. Tal fenómeno deve ao
deve-se
facto de o encastramento estar numa extremidade e as forças aplicadas noutra.
Quanto à região proximal do fémur, é aí que ocorrem valores de tensão mais baixos (entre
ximal
664.627 e 250000 Pa) principalmente nas regiões que não se encontram na direcção da
componente vertical das forças aplicadas.
Para além desta análise qualitativa, consegue relacionar esta distribuição de tensões com
itativa, consegue-se
a composição óssea do fémur. Uma vez que a metade proximal do fémur está sob menos
tensão pode-se associar isso ao revestimento de osso compacto que este possui. É aí que se
depositam as energias de distorção mais elevadas protegendo deste modo espaço interior onde
se encontra o osso trabecular que por sua vez também colabora na dissipação do efeito das
forças aplicadas, minimizando a distorção. No entanto é na região em que não existe osso
13. Ana Sabino e Paula Antunes
trabecular, apenas medula óssea que o revestimento compacto fica sujeito às tensões de
q
distorção mais elevadas. Esta distribuição de tensões é justificada pela diferença de espessura
.
de osso compacto ao longo do fémur: 3 mm na região proximal e 3 na região distal.
4.3. Efeito das componentes horizontais e verticais das forças
Optamos também por reportar neste trabalho o efeito individual das componentes
horizontais e verticais das forças externas, na distribuição de tensões ao longo da estrutura
(figura 10).
Figura 10. Tensões segundo x (esquerda) e segundo y (direita).
.
Como é notável na imagem da esquerda da figura 10, e tendo em conta a orientação das
componentes horizontais das forças aplicadas, é compreensível que na zona proximal do
fémur mais próxima dos pontos de aplicação das mesmas esteja à tracção (tensões positivas).
émur
À medida que nos dirigimos, da zona proximal para a distal, o fémur passa a estar em
compressão (tensões negativas).
Quanto à imagem da direita da figura 10 há que reparar que as zonas que sofrem maior
r
compressão (tensões mais negativas) são as que estão próximas e do lado do ponto de
aplicação de Fh. Como esta é a força que possui a maior componente vertical, com sentido de
cima para baixo, e do lado oposto existe um encastramento, é entre estes dois pontos que
ocorre a maior compressão vertical.
4.4. Análise da convergência
nálise
Para a análise da convergência, escolheram-se 2 pontos de interesse na estrutura: os pontos
escolheram
14. Ana Sabino e Paula Antunes
3 e 78 situados no osso compacto (figura 11).
Figura 11. Pontos de interesse utilizados na
análise de convergência do problema.
A convergência da tensão de von Mises foi estudada para estes dois pontos para diferentes
tamanhos do elemento-tipo (4, 2, 1 e 0.5 mm). É de fácil percepção que quanto menor o
elemento-tipo, maior será o número de elementos que constitui a malha. Na figura 12
encontram-se os resultados da análise da convergência e implícito ao aumento do número de
elementos da malha, está a diminuição do tamanho do elemento.
Figura 12. Resultados do estudo de convergência nos pontos 3 e 78 com elementos
triangulares de 6 nós (a roxo) e com elementos quadriláteros de 4 nós (a preto)
15. Ana Sabino e Paula Antunes
O estudo de convergência baseou-se no cálculo das tensões de von Mises obtidas nos 2
pontos de interesse, para os 2 tipos de elementos: quadriláteros de 4 nós e triangulares de 6
nós.
Pela observação atenta dos gráficos pode-se concluir que os elementos triangulares
convergem mais rapidamente para a tensão de von Mises “final” de cada ponto do que os
elementos quadriláteros, pois são precisos menos elementos e de dimensão não tão pequena
para chegar ao valor dessa mesma tensa.
De um modo geral, o método adoptado mostrou-se tecnicamente eficiente e robusto, e
forneceu indicações importantes, ainda que apenas de carácter qualitativo, para o
comportamento biomecânico da estrutura óssea real.
5. CONCLUSÃO
Para alcançar o objectivo deste trabalho, os seus autores recorreram à sua capacidade de
formular, abordar e resolver um problema de natureza biomecânica, correlacionando
conhecimentos adquiridos ao longo das aulas de Mecânica e Modelação Computacional. O
objectivo foi conseguido e a análise biomecânica conduziu-nos a resultados satisfatórios, tal como
já foi referido na sua discussão.
Quanto ao método utilizado conclui-se que o método dos elementos finitos é realmente uma
ferramenta poderosa e útil para análise de problemas com domínios pouco regulares, como é o
caso da região proximal do fémur humano. Existe a noção de que quanto mais especificas e
próximas da realidade forem as condições de fronteira, melhor será a simulação desenvolvida por
este software.
Os resultados obtidos permitem uma análise qualitativa do comportamento biomecânico do
osso em questão e facultam-nos informação acerca da resposta, do mesmo, a solicitações externas.
Tal informação é importantíssima para a projecção de próteses, análise de patologias do osso e
mesmo planeamento de fisioterapia pós-cirúrgica.
6. BIBLIOGRAFIA
1. Beer, F, Johnston, R e DeWolf, J. Mechanics of Materials. 3ª. s.l. : McGrawHill, 2003.
2. Reddy, J N. An Introduction to the Finite Element Method. 3ª. s.l. : McGrawHill, 2006.
3. Fernandes, P R, Folgado, J e Ruben, R B. Shape optimization of a cementless hip stem
for a minimum of interface stress and displacement. 2004. pp. 51-61.
4. Fernandes, P R. Apontamentos das aulas teóricas de Mecânica e Modelação
Computacional. 2009.