O documento introduz a ideia intuitiva de limite através de 4 exemplos: 1) o cálculo da área do círculo usando polígonos inscritos com número crescente de lados, 2) determinação da tangente a uma curva, 3) sequência numérica 1/n quando n tende ao infinito, 4) série numérica da soma de frações de potências de 2.

1. Introdução aos Limites
Escola SESC de Ensino Médio
Equipe de Matemática
Currículo Hackeado – Cálculo I

2. Ideia Intuitiva
de Limite
Exemplo 1:
Eudoxus, que viveu por volta do século V a.C., utilizou o chamado
método da exaustão, para provar a fórmula da área do círculo.
A = 𝝅𝒓 𝟐
Esse método consiste em inscrever e circunscrever uma figura com
polígonos e então aumentar o número de lado deles. No vaso
especial de um círculo tem-se o seguinte (ver objeto dinâmico no
Geogebra).
Sendo 𝑨 𝒏 , a área do polígono com n lados inscrito na
circunferência, à medida que o número n de lados aumenta, 𝑨 𝒏 fica
cada vez mais próximo da área do circulo delimitado por essa
circunferência. Desse modo, pode-se dizer que a área do círculo é o
Limite das áreas dos polígonos inscritos.
Exaustão do Círculo - GeoGebra.html

3. Ideia Intuitiva
de Limite
Exemplo 2:
Seja uma curva descrita por y = f(x). Suponha que se queira
determinar uma reta t tangente a essa curva em um determinado
ponto P.
Para determinar a equação de uma reta precisamos conhecer
dois pontos P e Q para calcular sua inclinação.

4. Ideia Intuitiva
de Limite
Exemplo 2:
Supondo que Q se move sobre a curva em direção à P. Quando (Q P),
percebemos que 𝑀 𝑃𝑄 M.
Assim, M = lim
𝑄→𝑃
(𝑀 𝑃𝑄)
Isso é análogo a dizer que :
M = lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 −𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎

5. Ideia Intuitiva
de Limite
Exemplo 3:
Sequências Numéricas
Seja An =
1
𝑛
, temos que lim
𝑛→∞
1
𝑛
= 0.
Verificaremos este exemplo em uma atividade utilizando a calculadora
como recurso.

6. Ideia Intuitiva
de Limite
Exemplo 4:
Séries Numéricas
No exemplo :
1
2
+
1
4
+
1
8
+ ⋯ +
1
2 𝑛 = ?
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
(𝑺𝒏) = ?
De fato:
S1 =
1
2
=
S2=
1
2
+
1
4
=
S3=
1
2
+
1
4
+
1
8
=
S4=
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
=
...
S10=
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ … +
1
1024
=
Assim, Sn =
1
2
+
1
4
+ ⋯ +
1
2 𝑛
Logo, 𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
(𝑺𝒏) = ?

7. Bibliografia:
STEWART, James. Cálculo volume I, 4ª edição.