Ipaee capitulo 3_slides_2

INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010

CAPÍTULO 3

INTRODUÇÃO A PROBABILIDADE
E A INFERÊNCIA ESTATÍSTICA


INFERÊNCIA ESTATÍSTICA:

A inferência estatística consiste em um conjunto
de métodos usados para tomar decisões ou tirar
conclusões acerca de uma população. Esses métodos
utilizam a informação contida em uma amostra da
população para tirar conclusões.


PONTUAL

ESTIMAÇÃO

DUAS GRANDES INTERVALAR
ÁREAS
TESTE DE
HIPÓTESES


EXEMPLO:

SITUAÇÃO 1:
Considere que um engenheiro de estruturas esteja analisando a
resistência a tensão de um componente usado em um chassi de
automóvel.

Uma vez que a variabilidade da resistência à tração está naturalmente
presente entre componentes individuais, o interesse do engenheiro está
na estimação da resistência média a tração dos componentes.

Na prática, o engenheiro usará dados da amostra para calcular um
número que e, de algum modo, um valor razoável (ou tentativa) da
média verdadeira. Esse número é chamado de estimativa.


EXEMPLO:

Situação 2:
Considere agora uma situação em que duas temperaturas diferentes
de reação, como t1 e t2 possam ser usadas em um processo químico.

O engenheiro conjectura que t1 resulta em rendimentos maiores que t2

Neste caso não há ênfase na estimação de rendimentos; em vez disso,
o foco está na tirada de conclusões acerca de uma hipótese
estabelecida (t1 tem maior rendimento que t2).


DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES BÁSICAS:
BÁSICAS:

Na maioria dos problemas de inferência estatística, é impossível ou
impraticável observar a população inteira.
Por exemplo, não poderíamos testar a resistência a tração de todos os
elementos estruturais dos chassis, pois consumiria muito tempo e seria
muito caro
ALTERNATIVA:
Observar um conjunto de observações da população (AMOSTRA) para
ajudar a tomar decisões à cerca da população.


BÁSICAS:

População

amostra


BÁSICAS:

OBJETIVO:
A amostra tem que ser representativa da população.

SOLUÇÃO:
Selecionar uma amostra aleatória.


BÁSICAS:

DEFINIÇÃO 1:

As observações (X1,X2,...,Xn) são uma amostra aleatória de tamanho n,
se:

(a) os X’s são observações independentes,

(b) todos os Xi’s podem ser representados pela distribuição de
probabilidade.


DEFINIÇÕES E PRPRIEDADES BÁSICAS:
BÁSICAS:

EXEMPLO:
Suponha que estejamos investigando a vida efetiva de serviço de um
componente eletrônico usado em um marca-passo cardíaco e que a vida
do componente seja normalmente distribuída.
Então, esperaríamos que cada uma das observações da vida do
componente Xl, X2, ..., X. em uma amostra aleatória de n componentes
fosse uma variável aleatória independente com, exatamente, a mesma
distribuição normal.
Depois dos dados serem coletados, os valores numéricos dos tempos de
vida observados são denotados por x1,x2,...,xn.


BÁSICAS:

DEFINIÇÃO 2:

Uma estatística é qualquer função das observações de uma amostra
aleatória.

Exemplos de Estatísticas:

Média da amostra
Variância da amostra
Desvio-padrão S da amostra


BÁSICAS:

O objetivo da estimação pontual é selecionar um único número
baseado nos dados da amostra, sendo esse o valor mais plausível para
θ (parâmetro).

DEFINIÇÃO 3:

Uma estimativa pontual de algum parâmetro θ da população é um
único valor numérico de uma estatística .


BÁSICAS:

EXEMPLO:
Suponha que a variável aleatória X seja normalmente distribuída
com uma média desconhecida µ. A média da amostra é um
estimador da média desconhecida µ da população. Isto é . Depois
da amostra ter sido selecionada, o valor numérico é a estimativa
de µ. Assim, se x1 = 25, x2 = 30, x3 = 29 e x4 = 31, então a estimativa
de µ é:


BÁSICAS:

EXEMPLO:
Similarmente, se a variância da população σ2 for também
desconhecida, um estimador para σ2 será a variância da amostra
S2 e o valor numérico s2 = 6.9, calculado a partir dos dados
amostrais, é chamado de estimativa de σ2.


BÁSICAS:
Problemas de estimação ocorrem freqüentemente em engenharia.
Geralmente, é necessário estimar:

A. A média µ de uma única população;
B. A variância σ2 (ou desvio-padrão σ) de uma única população;
C. A proporção p de itens em uma população que pertence a uma classe
de interesse;.
D. A diferença nas médias de duas populações, µ1 - µ2;.
E. A diferença nas proporções de duas populações, p1 – p2;


Estimativas razoáveis desses parâmetros são dadas a seguir:
Para µ, a estimativa é , a média da amostra.
Para σ2 a estimativa é a variância da amostra.
Para p, a estimativa é a proporção da amostra, sendo x o número
de itens em uma amostra aleatória de tamanho n que pertence a classe de
interesse.
Para µ1 - µ2, a estimativa é a diferença entre as médias
de duas amostras aleatórias independentes.
Para p1 – p2 a estimativa é , a diferença entre duas proporções
amostrais, calculadas a partir de duas amostras aleatórias independentes.


Podemos ter várias escolhas diferentes para o estimador pontual de um
parâmetro. Por exemplo, se desejarmos estimar a média de uma
população, podemos considerar como estimadores a média ou a
mediana da amostra ou talvez a média das observações menores e
maiores da amostra.
SOLUÇÃO: Estabelecer critérios para escolha de um estimador.
Os critérios para escolha do “melhor” estimador para um
determinado parâmetro populacional são definidos a partir de
“propriedades” desejáveis destes estimadores.


PROPRIEDADE 1:

Um estimador é não viciado (ou não tendencioso) para um
parâmetro populacional θ se:

Essa propriedade diz que um estimador deve estar "perto", de
algum modo, do valor verdadeiro do parâmetro desconhecido.


PROPRIEDADE 2:

Sejam e dois estimadores não viciados de um parâmetro θ.
é mais eficiente do que se:

Var( ) < Var( )

ou seja, um estimador é mais eficiente quanto menor for a sua
variância, ou ainda, quanto mais preciso (menor dispersão) ele for.


DEFINIÇÃO 4:
Se considerarmos todos os estimadores não viciados de um parâmetro θ,
aquele com menor variância será denominado de estimador não viciado
de menor variância.

EXEMPLO:
Deseja-se comprar um rifle, e após algumas seleções, restaram quatro
alternativas que denominamos de rifles A, B, C e D. Realiza-se um teste
para cada um dos rifles que consistiu em fixá-lo num cavalete, mirar o
centro de um alvo e disparar 15 tiros.


Rifle A: Não viciado com
baixa precisão (grande
dispersão ou variância);

Rifle B: Viciado com
baixa precisão;

Rifle C: Não viciado com
boa precisão;

Rifle D: Viciado com alta
precisão;


MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO:

A forma de obtenção de um estimador para um dado parâmetro
populacional, de preferência com as propriedades desejáveis, pode ser
feita utilizando-se diferentes procedimentos chamados de métodos de
estimação. Esses métodos não serão aqui apresentados e podem ser
vistos, por exemplo, em Montgomery e Runger (ver bibliografia do curso).
Destacamos que os principais métodos de estimação são:
1. Métodos dos Momentos;
2. Método da Máxima Verossimilhança;
3. Método dos Mínimos Quadrados;


DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL:

A inferência estatística, como vimos anteriormente, tem por objetivo tomar
decisões acerca de uma população.
Por exemplo, podemos estar interessados no volume médio de enchimento de
uma lata de refrigerante. O volume médio de enchimento na população é 300 ml.
Um engenheiro considera uma amostra aleatória de 25 latas e calcula o volume
médio amostral de enchimento como ml.
O engenheiro decidirá, provavelmente, que a média da população é µ = 300 ml,
muito embora a média amostral tenha sido 298 ml.
De fato, se a média verdadeira for 300 ml, os testes de 25 latas feitos
repetidamente devem resultar valores de x que variarão acima e abaixo de µ =
300 ml.


A média amostral é uma estatística:

Uma vez que uma estatística, ela tem uma distribuição de probabilidades.

Qual a distribuição da média amostral?

DEFINIÇÃO 5:

A distribuição de probabilidades de uma estatística é chamada de
uma distribuição amostral.

Por exemplo, a distribuição de probabilidades de é chamada de
distribuição amostral da média.



A distribuição amostral de uma estatística depende da distribuição da
população, do tamanho da amostra e do método de seleção da amostra.
A próxima seção deste capítulo apresenta talvez a mais importante
distribuição amostral. Outras distribuições amostrais e suas aplicações
serão ilustradas quando necessárias (por exemplo a distribuição
amostral da variância amostral).


DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA:

CASO DE UMA MÉDIA:
Considere a determinação da distribuição amostral da média da
amostra. Suponha que uma amostra aleatória de tamanho n seja
retirada de uma população normal com média µ e variância σ2.



JUSTIFICATIVA EMPÍRICA:

Seleciona-se várias amostras aleatórias de um determinado tamanho n de
uma população com média µ desvio padrão σ e:

1. Calcule a média amostral para cada amostra.
2. Construa um histograma dos valores de
3. Examine a forma, centro e dispersão da distribuição apresentada no
histograma, bem como valores atípicos e ou desvios.



Distribuição amostral de “x barra”

Histograma
de 1000
médias
amostrais



Distribuição amostral de “x barra”

σ/√n



JUSTIFICATIVA TEÓRICA:

TEOREMA DO LIMITE CENTRAL

O Teorema Central do Limite nos diz que, independente da distribuição que
a característica em estudo pode ser representada, a medida que o tamanho
da amostra aumenta, a distribuição amostral da média pode ser
representada pelo modelo normal.


DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA: EXEMPLO:

Uma companhia eletrônica fabrica resistores que têm uma resistência
média de 100Ω e um desvio padrão de 10Ω. A distribuição das
resistências pode ser representada pelo modelo normal. Encontre a
probabilidade de uma amostra aleatória de tamanho n = 25 resistores
ter uma resistência média menor que 95Ω?

Solução:
X = resistência dos resistores ⇒
= Média da amostra de n = 25 resistores
⇒
Conseqüentemente a probabilidade desejada é dada por:


DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA DIFERENÇA DE MÉDIAS:
SITUAÇÃO:

1. Duas populações independentes.
2. Faça a primeira população ter uma media µ1 e variância e a segunda
população ter uma media µ2 e variância .
Suponha que ambas as populações possam ser representadas pelo
modelo normal.

3. Resultado:
Combinações lineares de variáveis aleatórias normais têm distribuição
normal.


CONSEQÜÊNCIA:

distribuição amostral de é normal:

Com média:

e variância:


EXEMPLO:
A vida efetiva de um componente usado em um motor de uma turbina de um avião
a jato é uma variável aleatória, com média de 5.000 h e desvio-padrão de 40 h.
A distribuição da vida efetiva é razoavelmente próxima da distribuição normal.
0 fabricante do motor introduz uma melhoria no processo de fabricação para esse
componente, que aumenta a vida média para 5.050 h e diminui o desvio-padrão
para 30 h.
Suponha que uma amostra aleatória de n1= 16 componentes seja selecionada do
processo "antigo" e uma amostra aleatória de n2 = 25 componentes seja
selecionada do processo "melhorado".
Considere que o processo antigo e o melhorado possam ser considerados como
populações independentes.
Qual é a probabilidade de que a diferença nas duas médias amostrais seja
no mínimo de 25 h?


EXEMPLO:
Solução:
X1 = tempo de vida do processo antigo ⇒
X2 = tempo de vida do processo melhorado ⇒
Logo:

E
Desta forma:


INTERVALOS DE CONFIANÇA:

PROBLEMA:
Considere o problema da condutividade térmica de ferro Armaco. Usando
uma temperatura de 100ºF e uma potência de 550w, 10 medidas foram
observadas obtendo-se uma média amostral de BTU/h.ft.oF.

QUESTÃO:
Quão próximo está da verdadeira média populacional este valor?

Em muitas situações, uma estimativa pontual de um parâmetro,
como foi vista até o momento, não fornece informação completa.



ALTERNATIVAS:

1. Calcular o erro-padrão da estimativa (desvio do estimador) é um
guia aproximado para a precisão da estimação.

2. Obter um intervalo de confiança para expressar o grau de
incerteza associado com uma estimativa.



DEFINIÇÃO 6:
Uma estimativa do intervalo de confiança de um parâmetro desconhecido θ
é um intervalo da forma l ≤ θ ≤ s em que os pontos finais l e s dependem do
valor numérico da estatística da amostra para uma amostra particular.

Uma vez que amostras diferentes produzirão valores diferentes de e ,
conseqüentemente, valores diferentes dos pontos finais l e s, esses pontos
finais são valores de variáveis aleatórias, como I e S, respectivamente.

Da distribuição amostral da média seremos capazes de determinar valores
de I e S, tal que a seguinte afirmação sobre probabilidade seja verdadeira:

P[I≤θ≤S]=1-α



DEFINIÇÃO 7:

P[I≤θ≤S]=1-α

sendo 0 < α < 1. Assim, temos uma probabilidade de 1 - α de
selecionar uma amostra que produzirá um intervalo contendo o valor
verdadeiro de θ.



As grandezas l e s são chamadas de limites inferior e superior de
confiança, respectivamente, e (1 - α) é chamado de coeficiente de
confiança.
INTERPRETAÇÃO:
intervalo de confiança considera que se um número infinito de
amostras aleatórias for calculado e um intervalo com 100( 1 - α)% de
confiança para θ for obtido a partir de cada amostra, então 100(1 -
α)% desses intervalos conterão o valor verdadeiro de θ.



Na prática:
Obtemos somente uma amostra aleatória e calculamos um intervalo de
confiança.
Uma vez que esse intervalo conterá ou não o valor verdadeiro de θ, não é
razoável fixar um nível de probabilidade a esse evento específico.
A afirmação apropriada é: O intervalo observado [l, s] contém o valor
verdadeiro de θ, com 100( 1 - α) de confiança. Essa afirmação tem uma
interpretação de freqüência; ou seja, não sabemos se a afirmação é
verdadeira para essa amostra especifica, mas o método usado para obter o
intervalo [l, s] resulta em afirmações corretas em 100( 1 - α)% do tempo.



Essa afirmação tem uma interpretação de freqüência; ou seja, não sabemos
se a afirmação é verdadeira para essa amostra específica, mas o método
usado para obter o intervalo [l, s] resulta em afirmações corretas em 100
( 1 - α)% do tempo.



O comprimento s - l do intervalo observado de confiança é uma
importante medida da qualidade da informação obtida a partir da
amostra.

A metade do comprimento do intervalo θ - l ou s - θ é chamada de
precisão do estimador.

Quanto maior for o intervalo de confiança, mais confiantes estaremos de
que o intervalo realmente contem o valor verdadeiro de θ.
Por outro lado, quanto maior for o intervalo, menos informação teremos a
respeito do valor verdadeiro de θ.

IDEAL: Obter um intervalo relativamente pequeno com alta precisão.



QUESTÃO: Como encontrar Intervalos de Confiança com estas
características.

Em muitas situações práticas, é fácil encontrar os pontos finais que definem
o intervalo de confiança para um parâmetro.
Por exemplo, os pontos finais para o intervalo de confiança para a média µ
de uma distribuição normal envolvem o erro-padrão da média amostral .

Na verdade, o intervalo de confiança para µ é encontrado adicionando e
subtraindo um múltiplo do erro-padrão ou do erro-padrão
estimado, da média amostral.


INTERVALO DE CONFIANÇA PARA MÉDIA µ

SITUAÇÃO:
Temos interesse em construir um intervalo de confiança para a média
µ, de uma característica que pode ser representada pelo modelo
normal:
Variância Conhecida
DUAS
SITUAÇÕES

Variância Desconhecida


INTERVALO DE CONFIANÇA PARA MÉDIA µ COM VARIÂNCIA CONHECIDA:

OBSERVAÇÃO: Situação pouco usual em termos práticos!
Para estimar a média µ de uma população usamos a média da amostra
observada.
Qualquer que seja a amostra coletada, no intervalo de confiança
definiremos um “erro” observado em torno do valor médio, este “erro” é
dado por ,ou seja, o desvio da média amostral em relação a
verdadeira média populacional.

Consideremos a variável aleatória “erro” dada por . Dividindo esta
última expressão por temos pelo Teorema Central do Limite que,



Assim, fixado um valor (100(1 - α)%) tal que 0 < α < 1, podemos
encontrar um valor de Zα/2 tal que



Por exemplo, α = 5% ⇒ (1-α)=0.95
α

0.95

zα / 2 INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS


Valores para mais usuais:

Nível de
90% 95% 99%
Confiança
Valor crítico : 1.645 1.960 2.576



A amplitude do intervalo de confiança

-



Exemplo 1:
Um cientista descobriu que uma doença que afeta indivíduos de certa
região está relacionada com a concentração da substância A no sangue,
sendo considerado doente todo indivíduo para o qual a concentração de A é
menor que 1,488 mg/cm3.
Com o intuito de conhecer a concentração da substância A no sangue em
indivíduos desta região afetados pela moléstia em estudo, o cientista avaliou
um grupo 867 pessoas.
Supondo que a concentração da substância A no sangue, em indivíduos com
a doença em estudo, tem distribuição normal com média µ desconhecida e
desvio padrão 0,4 mg/cm3 determine uma estimativa intervalar com 95% de
confiança para o nível médio da concentração de substância, sabendo que
para esta amostra de 867 pessoas obteve-se



Exemplo 1: SOLUÇÃO
Dados do Problema:

X : Concentração da substância A no sangue;

n : tamanho da amostra = 867



Exemplo 1: RETORNANDO AO PROBLEMA

Questão:

É considerado doente todo indivíduo para o qual a concentração de A é
menor que 1,488 mg/cm3.

O que concluir a respeito da população estudada?



TAMANHO DE AMOSTRA:

Observação:
Observação: Exemplo anterior: n= 867
anterior:

Conseqüência:
Conseqüência: Erro padrão baixo

Quanto maior o tamanho da amostra
menor o erro padrão

QUESTÃO:
Como determinar o tamanho de amostra adequado de forma a
garantir um “erro padrão” e um nível de confiança desejado??



TAMANHO DE AMOSTRA:

Fixado um erro máximo admissível:
admissível:


EXEMPLO:

Deseja-
Deseja-se obter uma estimativa de IC para o ganho em um circuito de
um dispositivo semicondutor. Suponha que o ganho seja normalmente
semicondutor.
distribuído com desvio padrão = 20



EXEMPLO:

Deseja-
Deseja-se obter uma estimativa de IC para o ganho em um circuito de um
dispositivo semicondutor. Suponha que o ganho seja normalmente
semicondutor.
distribuído com desvio padrão = 20.
20.

a) Encontre IC 95% para o ganho médio, quando n=10 e a média
95% n=10
amostral=1000
amostral=1000
b) Quão grande n deve ser se o comprimento do IC de 95% deve ser = 40?
95% 40?



EXEMPLO: SOLUÇÃO

A:



EXEMPLO: SOLUÇÃO

B:

e = 10 (maior precisão)


INTERVALO DE CONFIANÇA PARA MÉDIA µ COM VARIÂNCIA DESCONHECIDA:

DUAS
SITUAÇÕES




SITUAÇÃO: (USUAL)
Parâmetros do modelo são desconhecidos, portanto devem ser estimados
a partir dos dados da própria amostra. No caso do modelo normal, nessa
situação tanto a média µ e a variância σ2 não são conhecidas e seus
valores serão estimados pela média e variância amostral.



NOVA ESTATÍSTICA:

T também é uma variável aleatória:

Diferença: Apesar de ter distribuição normal, o denominador de T
envolve a variável aleatória S2:

Conseqüência: Distribuição de T será diferente da normal.



COMPARANDO:

Conhecido ⇒ Constante Desconhecido ⇒ Precisou ser estimado
na Amostra ⇒ Distribuição amostral S.



NOVA ESTATÍSTICA:

Essa estatística tem distribuição conhecida como t-Student com n-1 graus
de liberdade, sendo n o tamanho da amostra. A forma da distribuição t-
Student é parecida com a da normal. É simétrica em relação a zero, mas
apresenta caudas “grossas”, ou seja, maior variância do que a normal.
Aumentando-se o tamanho de amostra n, a distribuição t de Student
aproxima-se do modelo normal.



NOVA ESTATÍSTICA:



O procedimento para a obtenção do intervalo é semelhante ao desenvolvido
anteriormente. Utilizando a estatística,



Exemplo:

Para estimar o rendimento semanal de operários de construção de uma
grande cidade, um sociólogo seleciona uma amostra aleatória de 75
operários. A média amostral é dada por = 427,00 reais e s= 15,00 reais.
Determine um intervalo de confiança para µ considerando coeficientes de
confiança 0,90 e 0,95.



Dados do Problema:

X : Rendimento semanal dos operários




Exemplo 2:

Em uma pesquisa para toxinas produzidas por um parasita que infecta as safras de
milho, um bioquímico preparou extratos da cultura do parasita com solventes
orgânicos e mediu a quantidade de substância tóxica por grama de solução. Para
uma amostra de 9 culturas encontrou uma quantidade média de substância tóxica
igual a 1,02 miligramas e um desvio padrão de 0,26 miligramas. Seja µ a verdadeira
quantidade média de substância tóxica. Construir um Intervalo de 95% de confiança
para µ.



Dados do Problema:

X : quantidade de substância tóxica por grama de solução



INTERVALO DE CONFIANÇA PARA DIFERENÇAS DE MÉDIAS:

LEMBRANDO:



DIFERENTES SITUAÇÕES:

Variâncias dos diferentes grupos
(tratamentos) são conhecidas;

Variâncias dos diferentes grupos
(tratamentos) são Desconhecidas
e precisam ser estimada na
amostra;



INTERVALO DE CONFIANÇA PARA DIFERENÇA DE MÉDIAS COM
VARIÂNCIAS DESCONHECIDAS E IGUAIS:

Nessa situação temos que a variância dos dois tratamentos em
estudo são desconhecidas, logo devem também ser estimados
pela amostra. Porém, embora desconhecidas, têm-se a
informação que as variâncias dos dois tratamentos são iguais.




PROBLEMA:

Considerando que as variâncias são desconhecidas, porém iguais e
que é possível obter uma estimativa para variância amostral em
cada um dos tratamentos, como pode-se estimar, a partir desses
valores, a variância que é igual para ambos os tratamentos?




uma amostra de tamanho n1 do tratamento 1 com variância estimada
denotada por ;
uma amostra de tamanho n2 do tratamento 2 com variância estimada
denotada por ;

Estimador Combinado: (pooled variance)




Assim:

α
E, IC (1-α)% para µ1 - µ2 é dado por:

Sii2
x


Exemplo: Amostras Lote 1 Lote 2
1 1.7 5.9
As análises de dois lotes de carbono de 2 5.9 6.9
3 1.5 3.6
cálcio apresentaram os seguintes teor
4 4.1 4.3
de cinzas (%) indicadas na tabela a
5 5.9 8.0
seguir. Construir um intervalo de 6 1.7 2.0

confiança de 95% para à diferença de 7 3.7 4.8
8 3.1 6.8
médias destes dois lotes.
9 1.7 9.1
10 3.2 1.5
Média Amostral 3.25 5.29
Variância Amostral 2.805 6.263

Sii2
x


Logo:

Qual o significado do intervalo conter apenas valores negativos?

Sii2
x

Exemplo 2: S1 S2
Na fabricação de semicondutores, o ataque 9.9 10.2
químico por via úmida é freqüentemente usado 9.4 10.6
para remover silicone da parte posterior das 9.3 10.7
pastilhas antes da metalização. A taxa de ataque é 9.6 10.4
uma característica importante nesse processo e é 10.2 10.5
sabido que ela segue uma distribuição normal. 10.6 10.0
Duas soluções diferentes para ataque químico têm 10.3 10.2
sido comparadas, usando duas amostras aleatórias
10.0 10.7
de 10 pastilhas para cada solução. As taxas
10.3 10.4
observadas de ataque (10-3mils/min) são dadas na
tabela a seguir: 10.1 10.3

Questão: A taxa de média de ataque é a mesma para ambas as soluções???

Sii2
x

Solução:
S1 S2
9.9 10.2
9.4 10.6
9.3 10.7
9.6 10.4
Boxplot of Taxa
10.2 10.5 10.8

10.6
10.6 10.0 10.4

10.3 10.2 10.2

Taxa
10.0

10.0 10.7 9.8

10.3 10.4 9.6

9.4

10.1 10.3 9.2
1 2
Solucao

Sii2
x

Solução:
S1 S2
9.9 10.2
9.4 10.6
9.3 10.7
9.6 10.4
10.2 10.5
10.6 10.0
10.3 10.2
10.0 10.7
10.3 10.4
10.1 10.3 CONCLUSÃO: ?????

Sii2
x

VARIÂNCIAS DESCONHECIDAS E DIFERENTES:
Nessa situação tem-se que as variâncias dos dois tratamentos em
estudo são desconhecidas e diferentes e a estimativa da variância
amostral de cada grupo será utilizada como estimador das mesmas.

Uma amostra de tamanho n1 do tratamento 1 com variância estimada
denotada por ;
Uma amostra de tamanho n2 do tratamento 2 com variância estimada
denotada por ;

Sii2
x

Dessa forma, pelos mesmos motivos expostos quando do
estudo para a situação de uma única média com variância desconhecida
tem-se que:

v = necessária correção nos graus de liberdade da distribuição t

Sii2
x


e assim o intervalo de confiança (100(1 - α)%)
para a diferença de médias, µ1 - µ2 é dado por:

Sii2
x

Exemplo: 1:
Exemplo Amostras Lote 1 Lote 2
1 1.7 5.9
As análises de dois lotes de carbono de 2 5.9 6.9
3 1.5 3.6
cálcio apresentaram os seguintes teor
4 4.1 4.3
de cinzas (%) indicadas na tabela a
5 5.9 8.0
seguir. Construir um intervalo de 6 1.7 2.0

confiança de 95% para à diferença de 7 3.7 4.8
8 3.1 6.8
médias destes dois lotes.
9 1.7 9.1
10 3.2 1.5
Média Amostral 3.25 5.29
Variância Amostral 2.805 6.263

Sii2
x

Solução:

Sii2
x
RESUMO:

Parâmetro Situação Intervalo de Confiança
Média

Médias Conhecidas e
Variâncias Iguais
Médias Conhecidas e
Diferença de Variâncias Diferentes
Médias Médias Desconhecidas e
Variâncias Iguais
Médias Desconhecidas e
Variâncias Diferentes

Sii2
x

OBSERVAÇÃO:

Intervalos de confiança podem ser obtidos para outras parâmetros como por
exemplo:

• Uma certa proporção “p” ;
• Uma diferença de proporções “p1 – p2”;

• Uma Variância : σ2

• Razão de Duas Variâncias: σ12/ σ22

Estes intervalos não serão apresentados neste curso mas podem ser
vistos em Mongtomery e Runger (2009)

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