1) O documento descreve vários paralelepípedos definidos em referenciais ortonormados OXYZ, com dados sobre os vértices e equações dos planos das faces. 2) São apresentados exercícios sobre determinação de vértices, equações de planos, sistemas de equações de retas e condições que definem segmentos e semirretas. 3) São fornecidos ainda exemplos de sólidos compostos por um cubo e uma pirâmide, bem como um prisma triangular e um prisma quadrangular cortado por uma pirâmide

1. A
BC
D E
O F
G
Y
Z
X
A
B
FF
EO
D
C
Z
Y
G
X
num
erosnam
ente
1
Na figura está representado um paralelepípedo de base quadrada, num referêncial OXYZ.
RETAS NO ESPAÇO
Sabe-se que os pontos E=(2, 2, 0) e G=(0, 0, 6)
a) Escreva as coordenadas dos vértices do paralelepípedo.
D=(2, 0, 0) ; O=(0, 0, 0) ; F=(0, 2, 0) ; B=(2, 2, 6) ; A = (0, 2, 6) ; C=(2, 0, 6)
b) Escreva as equações cartesianas dos planos que contêm as faces do paralelepípedo.
DEF: z=0 ; CBA: z=6 ; CDE: x=2 ; GOF: x=0 ; BEF: y=2 ; CDO: y=0
c) Escreva os sistemas de equações que definem as retas que contêm as arestas CG, OF, DC e FA
CG: y=0 e z=6 ; OF: x=0 e z=0 ; DC: x=2 e y=0 ; FA: y=2 e x=0
d) Escreva uma condição que defina cada um dos segmentos de reta CG, OF, DC e FA, e cada uma das semiretas CG,
OF, DC e FA.
CG: y=0 e z=6 e 0=<x=<2 ; OF: x=0 e z=0 e 0=<y=<2 ; DC: x=2 e y=0 e 0=<z=<6 ; FA: y=2 e x=0 e 0=<z=<6
Semiretas:
CG: y=0 e z=6 e x=<2 ; OF: x=0 e z=0 e y>=0 ; DC: x=2 e y=0 e z>=0 ; FA: y=2 e x=0 e z>=0
Considere a figura que representa um paralelepípedo de base quadrada, num referêncial OXYZ
Sabe-se que O= (0, 0, 0) , F=(-3, 3, 0) e C=(0, 0, 5)
a) Escreva as coordenadas dos vértices do paralelepípedo.
E=(0, 3, 0) ; D=(-3, 0, 0) ; A=(-3, 3, 5) ; B=(0, 3, 5) ; G=(-3, 0, 5)
b) Escreva as equações cartesianas dos planos que contêm as faces do paralelepípedo.
OEF: z=0 ; CBA: z=5 ; BEF: y=3 ; COD: y=0 ; OEB: x=0 ; DFA: x=-3
c) Escreva os sistemas de equações que definem as retas que contêm as arestas DF , CB, FE e CG
DF: x=-3 e z=0 ; CB: x=0 e z=5 ; FE: y=3 e z=0 ; CG: y=0 e z=5
1-
2-

2. B
E
D
C
G
O
F
Z
Y
A
X
A
B
FF
E
D
C
G A
B
E
D C
O
F
A
B
E
G
F
O
C
D
Z
Z
Z
Y
Y Y
G
O
X
X
num
erosnam
ente
23-
Considere o paralelepípedo definido no referêncial ortonormado OXYZ
Sabe-se que a base (FEOD) é quadrada.
O=(0,0,0) , A=(0,0,4) e D=(0,-2,0)
a) Calcule as corrdenadas dos vértices do paralelepípedo.
F=(2, -2, 0) ; E=(2, 0, 0) ; B=(2, 0, 4) ; C=(2, -2, 4) ; G=(0, -2, 4)
b) Escreva as equações cartesianas dos planos que definem as faces do paralelepípedo
FEO: z=0 ; CBA: z=4 ; BEO: y=0 ; CFD: y=-2 ; CFE: x=2 ; GDO: x=0
c) Escreva as equações que definem as retas que contêm as arestas GA, CG e FE
GA: x=0 e z=4 ; CG: y=-2 e z=4 ; FE: x=2 e z=0
4-
Considere os paralelepípedos definidos no referêncial ortonormado.
Fig 1 Fig 2 Fig 3
Fig 1: O=(0,0,0) ; G=(-2,-2,5)
Fig 2: O=(0,0,0) ; D=(0,0,-6) ; B=(3,3,0)
Fig 3: O=(0,0,0) ; F=(2,-2,-6)
Calcule as coordenadas dos vértices dos paralelepípedos.
Fig 1: O=(0,0,0) ; G=(-2,-2,5) ; E=(0,-2,0) ; D=(-2,-2,0) ; F=(0,-2,0) ; B=(0,0,5) ; A=(-2,0,5) ; C=(0,-2,5)
Fig 2: O=(0,0,0) ; D=(0,0,-6) ; B=(3,3,0) ; A=(0,3,0) ; G=(3,0,0) ; F=(3,0,-6) ; E=(3,3,-6) ; C=(0,3,-6)
Fig 3: O=(0,0,0) ; F=(2,-2,-6) ; E=(2,0,-6) ; D=(0,0,-6) ; G=(0,-2,-6) ; A=(0,-2,0) ; B=(2,0,0) ; C=(2, -2, 0)

3. A
FF
E
D
C
G
YO
X
B
Z
A
B
E
D C
O
F
Y
G
X
H
Z
num
erosnam
ente
35-
Considere o paralelepípedo definino no sistema ortonormado OXYB
A base do paralelepípedo é quadrada.
O=(0,0,0) , A=(-3,0,0) ; B=(0,0,-7)
a) Determina as coordenadas dos vértices do paralelepípedo.
O=(0,0,0) ; A=(-3,0,0) ; C=(0,-3,0) ; G=(-3,-3,0) ; E=(0,-3,-7) ; D=(-3,-3,-7) ; F=(-3,0,-7); B=(0,0,-7)
b) Escreva as equações das retas que definem as arestas ED , GA e FA
ED: y=-3 e z=-7 ; GA: x=-3 e z=0 ; FA: x=-3 e y=0
c) Escreva as condições que definem cada um dos segmentos de retas ED, GA e FA
ED: y=-3 e z=-7 e -3=<x=<0 ; GA: x=-3 e z=0 e -3=<y=<0 ; FA: x=-3 e y=0 e -7=<z=<0
6-
Considere o paralelepípedo de base retângular, definido num sistema ortonormado OXYZ
Sabe-se que O=(0,0,0), E=(1,2,0); H=(-1,-2,5)
a) Determina as coordenadas dos vértices dos paralelepípedo
O=(0,0,0) ; E=(1,2,0) ; F=(1,-2,0) ; D=(-1,-2,0) ; C=(-1,2,0) ; H=(-1,-2,5) ; A=(-1,2,5) ; B=(1,2,5) ; G=(1,-2,5)
b) Escreva as esquações cartesianas dos planos que contêm as faces do paralelepípedo.
FEC: z=0 ; GBA: z=5 ; ECB: y=2 ; FDH: y=-2 ; FEB: x=1 ; DCA: x=-1
c) Escreva os sistemas de equações que definem as retas que contêm as arestas do paralelepípedo.
GH: y=-2 e z=5 ; BA: y=2 e z=5 ; GB: x=1 e z=5 ; HA: x=-1 e z=5 ; FD: y=-2 e z=0 ; EC: y=2 e z=0
FE: x=1 e z=0 ; DC: x=-1 e z=0 ; FG: x=1 e y=-2 ; DH: x=-1 e Y=-2 ; CA: x=-1 e y=2 ; EB: x=1 e y=2

4. √
num
erosnam
ente
4
7 -
Na figura está representado, em referencial 0.n. OXYZ, um sólido que pode ser decomposto num cubo e numa
pirâmide quadrangular regular. A origem do referencial é um dos vértices do cubo, o vértice P pertence ao eixo
OY. Os vértices da base da pirâmide são os pontos médios dos lados do quadrado [OPQR]. O ponto Q tem de
coordenadas (2,2,0). O volume do sólido é 10.
a) Determina a cota do ponto E
O=(0,0,0) ; Q=(2,2,0) ; R=(0,2,0) ; P=(2,0,0) ; T=(2,0,-2) ; S=(0,0,-2) ; U=(2,2,-2) ; F=(0,2,-2)
B é ponto médio de [PQ] = (2,1,0) ; C é ponto médio de [QR] = (1,2,0)
A é ponto médio de [PO] = (1,0,0) ; D é ponto médio de [OR] = (0,1,0)
As coordenadas do ponto E = (1,1,h) com h = altura da pirâmide
Volume total (Vt)= 10 ; Volume cubo (Vc) =(2x2x2)=8 ; Volume pirâmide (Vp) =(1/3)x(área da base x h)
distância entre [AB]=d[AD]=d[DC]=d[CB] =√2 ;
Volume da pirâmide = (1/3)(√2 x √2 x h) ; Vp=Vt-Vc = 10-8 = 2 ; h = (2x3)/2= 3
Ponto E = (1,1,3)
Determine uma equação da superfície esférica de centro em T e contem o ponto Cb)
Centro T =(2,0,-2) e passa em C=(1,2,0) ; Raio [TC] =

5. ⃗⃗⃗⃗⃗ =F – D= (-4, 3, 0) (x,y,z)=(4,0,8) + K(-4,3,0) e K Є 
num
erosnam
ente
5
8 - A figura 4 representa um prisma triangular não regular [ABCDEF], num referencial o.n. OXYZ.
As bases são triângulos isosceles (AB=BC e DE=DF)
A base [ABC] está contida no plano XOY. As arestas do prisma são perpendiculares às bases. O ponto A tem
de coordenadas (4,0,0). O ponto E tem de coordenadas (0,3,8). O ponto F é simétrico do ponto E,
relativamente ao plano XOZ.
a) Determine uma equação vetorial da reta DF
A=(4,0,0) ; E=(0,3,8) ; B=(0,3,0) ; C=(0,-3,0) ; D=(4,0,8) ; F=(0,-3,8) ; O=(0,0,0)
reta vetorial DF: ;
b) Determine a área lateral do prisma.
Área [ABED] ---distância entre [AB]= 5 e distância entre [BE]=8 ; Área [ABDE]=40
Área [ACFD] = Área [ABED] = 40
Área [CBDE] ---distância entre [CB]=6 ; Área [CBDE]=48
Área lateral = 40 + 40 +48 = 128

6. Raio = dOQ =5 √
Equação da superfície esférica:
Área da base da pirâmide: OPxPQ= 5 x 5 = 25
Volume da pirâmide: 75 =
Altura da pirâmide: h = 9
V N U dVN =
S T
W = ( )
dVM =
num
erosnam
ente
6
9 - Na figura 2 estão representados, num referencial o.n. OXYZ, um prisma quadrangular regular e uma
pirâmide. A base da pirâmide [OPQR] está contida no plano XOY e coincide com a base inferior do prisma.
O ponto W vértice da pirâmide coincide com o centro da base superior [STUV], do prisma. O ponto P tem
de coordenadas (5,0,0).
a) Defina, por uma condição, a superfície esférica de centro Q e que passa pelo ponto O.
P=(5,0,0) ; O=(0,0,0) ; R=(0,5,0) ; Q=(5,5,0)
b) Sabe-se que o volume da pirâmide é igual a 75, determine as coordenadas do ponto W, vértice da
pirâmide.
M W

7. 10 - A figura ao lado mostra uma esfera de centro no ponto Q=(5 , 7 , 9), cortada por um plano
β de cota igual a 11.
a) Escreva a equação da superfície esférica
(antes de ser cortada), sabendo que o seu raio é de
4 cm.
b) Escreva a condição que define a esfera
depois de sofrer o corte pelo plano β.
c) A superfície resultante do corte da esfera
pelo plano β resultou num círculo. Determine o
valor exacto do seu raio.
d) Calcule a área da superfície de corte.
e) Escreva a condição que define o conjunto de pontos resultante do corte da esfera
pelo plano β.
Resolução:
a)
Centro C = (5, 7, 9) e raio r = 4 cm
b)
 z 11
c)
 = 12…raio r = √
d)
Área = √ = 37,70 cm2
e)
12
num
erosnam
ente
7

8. 11 – Considere num referencial o.n. OXYZ, uma pirâmide quadrada. O vértice V da pirâmide
pertence ao semieixo OZ. A base da pirâmide está contida no plano XOY. A aresta [PQ] é
paralela ao eixo OY.
a) Determine as coordenadas dos outros vértices da base.
Q = (3,3,0) ; R = (-3,3,0) ; P = (3, -3, 0) ; S = (-3,-3,0)
b) Sabendo que na unidade considerava, o volume da pirâmide é igual a 108, mostre que
as coordenadas do vértice V são (0,0,9)
Área da pirâmide = 108 =  altura = 9…logo V está no
eixo OZ : V = (0,0,9)
c) Determine a área da seção produzida na pirâmide pelo plano z = 3.
v
6  x = 2
temos: 9 x z=3
O 3 (3,0,0)
Obtemos um quadrado de lado = 4 ; a área do quadrado é (4x4) = 16
d) Indique a equação vectorial da reta que passa por P e é paralela a QV.
⃗⃗⃗⃗⃗ = V – Q = (0,0,9)-(3,3,0) = (-3,-3,9)
(x,y,z) = (3,-3,0) + K (-3,-3,9)  K Є 
num
erosnam
ente
8