O documento descreve as propriedades fundamentais da trigonometria no círculo unidade, incluindo: 1) O ciclo trigonométrico, onde valores se repetem periodicamente; 2) Definições de seno e cosseno de ângulos e seus valores nos quadrantes; 3) Propriedade dos arcos complementares, onde senx = cos(90-x) e cosx = sen(90-x).
1. Um grupo de amigos se reuniu para um almoço e foram chegando mais pessoas, preenchendo as mesas. Primeiro chegaram 4 pessoas, depois 6 e então 8.
2. Explica como calcular quantas pessoas estavam presentes com base na disposição das mesas e quantas mesas seriam necessárias para 60 pessoas.
3. Apresenta uma fórmula para calcular quantos palitos são necessários para formar um determinado número de quadrados.
1. Um grupo de amigos se reuniu para um almoço e as mesas foram rearrumadas à medida que mais pessoas chegavam, com 4, 6 e depois 8 pessoas nas primeiras, segunda e terceira arrumações respectivamente.
2. O documento explica progressões aritméticas e como calcular o número de termos usando a fórmula do termo geral, resolvendo exercícios sobre o número de pessoas em diferentes arrumações de mesas e o número de mesas necessárias para uma determinada quantidade de pessoas.
3. É mostrado que a soma dos termos de
1. Um grupo de amigos se reuniu para um almoço e foram chegando mais pessoas, preenchendo as mesas. Primeiro chegaram 4 pessoas, depois 6 e então 8.
2. Explica como calcular quantas pessoas estavam presentes com base na disposição das mesas e quantas mesas seriam necessárias para 60 pessoas.
3. Apresenta uma progressão aritmética para representar a relação entre o número de quadrados e palitos e calcula quantos palitos são necessários para 15 quadrados.
O documento apresenta conceitos fundamentais de trigonometria, incluindo: (1) a definição de círculo trigonométrico e seus quadrantes; (2) expressões para representar arcos congruentes; (3) definições e propriedades das funções seno, cosseno e tangente. O documento também fornece exemplos resolvidos de como aplicar esses conceitos em exercícios.
1) O documento descreve as funções trigonométricas seno e cosseno, incluindo suas propriedades, gráficos e aplicações.
2) A função seno é periódica com período 2π e sua imagem é o intervalo [-1,1]. A função cosseno tem propriedades similares.
3) Os parâmetros a, b, c e d alteram propriedades como período, amplitude e deslocamento dos gráficos das funções seno e cosseno.
O documento resume os principais conceitos de trigonometria nos triângulos retângulos e circunferência trigonométrica, incluindo a lei de Pitágoras, relações trigonométricas, arcos notáveis, redução de ângulos ao primeiro quadrante, e as funções seno, cosseno e tangente.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de trigonometria, incluindo ângulos, arcos, ciclo trigonométrico, funções seno e cosseno, quadrantes e suas propriedades, e exercícios de cálculo de valores trigonométricos e análise de períodos de funções.
1. Um grupo de amigos se reuniu para um almoço e foram chegando mais pessoas, preenchendo as mesas. Primeiro chegaram 4 pessoas, depois 6 e então 8.
2. Explica como calcular quantas pessoas estavam presentes com base na disposição das mesas e quantas mesas seriam necessárias para 60 pessoas.
3. Apresenta uma fórmula para calcular quantos palitos são necessários para formar um determinado número de quadrados.
1. Um grupo de amigos se reuniu para um almoço e as mesas foram rearrumadas à medida que mais pessoas chegavam, com 4, 6 e depois 8 pessoas nas primeiras, segunda e terceira arrumações respectivamente.
2. O documento explica progressões aritméticas e como calcular o número de termos usando a fórmula do termo geral, resolvendo exercícios sobre o número de pessoas em diferentes arrumações de mesas e o número de mesas necessárias para uma determinada quantidade de pessoas.
3. É mostrado que a soma dos termos de
1. Um grupo de amigos se reuniu para um almoço e foram chegando mais pessoas, preenchendo as mesas. Primeiro chegaram 4 pessoas, depois 6 e então 8.
2. Explica como calcular quantas pessoas estavam presentes com base na disposição das mesas e quantas mesas seriam necessárias para 60 pessoas.
3. Apresenta uma progressão aritmética para representar a relação entre o número de quadrados e palitos e calcula quantos palitos são necessários para 15 quadrados.
O documento apresenta conceitos fundamentais de trigonometria, incluindo: (1) a definição de círculo trigonométrico e seus quadrantes; (2) expressões para representar arcos congruentes; (3) definições e propriedades das funções seno, cosseno e tangente. O documento também fornece exemplos resolvidos de como aplicar esses conceitos em exercícios.
1) O documento descreve as funções trigonométricas seno e cosseno, incluindo suas propriedades, gráficos e aplicações.
2) A função seno é periódica com período 2π e sua imagem é o intervalo [-1,1]. A função cosseno tem propriedades similares.
3) Os parâmetros a, b, c e d alteram propriedades como período, amplitude e deslocamento dos gráficos das funções seno e cosseno.
O documento resume os principais conceitos de trigonometria nos triângulos retângulos e circunferência trigonométrica, incluindo a lei de Pitágoras, relações trigonométricas, arcos notáveis, redução de ângulos ao primeiro quadrante, e as funções seno, cosseno e tangente.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de trigonometria, incluindo ângulos, arcos, ciclo trigonométrico, funções seno e cosseno, quadrantes e suas propriedades, e exercícios de cálculo de valores trigonométricos e análise de períodos de funções.
1) O documento descreve as características de uma circunferência trigonométrica, incluindo sua definição, convenções e propriedades.
2) As funções seno e cosseno são definidas e suas propriedades de período, sinal e gráficos são explicadas.
3) A influência dos parâmetros a, b, c e d nas funções do tipo y=a+bsen(cx+d) e y=acos(bx+c)+d é descrita.
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS RETANGULARES E A EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIACarlos Campani
1) O documento descreve o sistema de coordenadas cartesiano retangular, no qual pontos em um plano são representados por pares ordenados (x, y) em relação aos eixos x e y.
2) Explica como calcular a distância entre dois pontos e a inclinação de uma reta passando por dois pontos no plano cartesiano.
3) Apresenta a dedução da equação geral de uma circunferência a partir da fórmula de Pitágoras e como verificar se uma equação representa ou não uma circunferência.
1) Resolve um problema sobre um poliedro com 20 arestas e 10 vértices usando a fórmula de Euler. Encontra que ele tem 8 faces triangulares e 4 quadrangulares.
2) Calcula que um icosaedro tem 36 diagonais.
3) Discutem desigualdades envolvendo número de arestas, vértices e faces de um poliedro.
O documento apresenta os principais conceitos de trigonometria, incluindo definições de seno, cosseno e tangente para triângulos retângulos. Também aborda operações com ângulos, unidades de medida de ângulo, círculo trigonométrico e equações e inequações trigonométricas.
O documento explica as relações trigonométricas de seno, cosseno e tangente em triângulos retângulos, relacionando os ângulos com os lados opostos e adjacentes à hipotenusa. Também apresenta a lei dos senos para calcular medidas desconhecidas em triângulos quaisquer, e a lei dos cossenos para triângulos não retângulos.
1) Uma circunferência trigonométrica é uma circunferência unitária centrada na origem de um sistema cartesiano.
2) Ela define convenções para a medição de arcos, como o ponto A como origem dos arcos e os quadrantes.
3) A função seno e cosseno são periódicas e mapeiam ângulos para valores entre -1 e 1 baseado na ordenada e abscissa dos pontos na circunferência.
Este documento explica como calcular as razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente) de um ângulo qualquer a partir das coordenadas de um ponto no seu lado extremidade, utilizando um referencial cartesiano e um círculo unitário centrado na origem. Fornece exemplos de cálculo das razões trigonométricas para pontos com coordenadas (4,3), (-5,12) e (-6,-8).
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria, incluindo as definições de seno, cosseno e tangente em triângulos retângulos, as relações fundamentais entre essas funções e suas propriedades periódicas.
O documento discute os conceitos fundamentais da geometria analítica, incluindo: (1) a história e sistemas de coordenadas cartesianas, (2) cálculo da distância entre pontos no plano, e (3) representações algébricas de retas através de equações fundamentais, reduzidas e gerais.
O documento apresenta o Teorema de Tales, que estabelece que a razão entre segmentos determinados em uma reta transversal é igual à razão entre os segmentos correspondentes na outra reta transversal, quando cortadas por um feixe de retas paralelas. Exemplos e exercícios ilustram a aplicação do teorema na resolução de problemas geométricos.
O documento explica o conceito de arco trigonométrico, definindo-o como o conjunto de todos os números reais cuja expressão geral é 2kπ + x, onde x é a determinação principal do arco, ou seja, o número real entre 0 e 2π que tem como imagem o ponto do ciclo trigonométrico que é a extremidade do arco. O texto também mostra como encontrar a determinação principal de um número real dado e escrever a expressão geral correspondente ao arco trigonométrico.
O documento discute conceitos fundamentais sobre retas no plano cartesiano, incluindo: (1) a equação geral de uma reta que passa por dois pontos fixos, (2) diferentes formas de representar uma reta, como equação reduzida, paramétrica e vetorial, e (3) os casos possíveis para a interseção entre duas retas.
i) O documento discute coordenadas cilíndricas e esféricas, incluindo como converter entre os sistemas de coordenadas.
ii) É apresentado o sistema de coordenadas esféricas com três variáveis - distância ρ, ângulo θ e ângulo φ.
iii) Exemplos mostram como expressar equações geométricas e calcular volumes usando coordenadas esféricas.
Trigonometria trata da medição de triângulos. O documento discute conceitos como razões trigonométricas, resolução de triângulos, ângulos generalizados, medição de ângulos em radianos e funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente.
1) O documento apresenta exercícios de trigonometria envolvendo triângulos retângulos e equiláteros, incluindo cálculo de seno, cosseno, tangente, lados e alturas.
2) É pedido também que se transforme ângulos entre graus e radianos e que se identifique em que quadrante eles se encontram.
3) Por fim, pede que se sigam comandos para deduzir relações trigonométricas a partir do teorema de Pitágoras.
O documento discute razões trigonométricas em triângulos retângulos. Ele define seno, cosseno e tangente de um ângulo em termos das medidas dos lados do triângulo. Fornece exemplos de como calcular essas razões trigonométricas para ângulos dados e problemas envolvendo distâncias e ângulos.
Trigonometria exercícios resolvidos e teoriatrigono_metria
Pitágoras descobriu a importante propriedade de que, num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, conhecida como Teorema de Pitágoras. O documento explica a vida e contribuições de Pitágoras para a matemática, incluindo a descoberta e demonstração deste importante teorema.
Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo – Esp. Mídias na Educação UFO...eliveltonhg
Aula sobre as Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo.
Links disponibilizados nos Slides:
- Tabela Trigonométrica:
http://www.somatematica.com.br/emedio/tabtrig.php
- Exercícios de Razões Trigonométricas: http://www.somatematica.com.br/soexercicios/razoesTrig.php
O documento apresenta os valores dos arcos notáveis de 0° a 360° em múltiplos de 30°, 45° e 60°. Ele também fornece informações sobre as funções seno, co-seno e tangente nesses ângulos, incluindo suas definições, gráficos e propriedades. Exemplos e exercícios são fornecidos para aplicar esses conceitos.
A - MATEMÁTICA PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS CA edição.pdfPedro Barros Neto
O documento apresenta conceitos fundamentais de análise de circuitos elétricos em corrente contínua e alternada, incluindo: (1) ferramentas matemáticas como fatoração de polinômios e geometria no círculo; (2) trigonometria no triângulo retângulo e funções trigonométricas circulares; (3) conceitos de frequência e período.
O documento descreve conceitos básicos de trigonometria, incluindo: 1) definições de seno, cosseno e tangente em termos dos lados de um triângulo retângulo; 2) o Teorema de Pitágoras para relacionar os lados de um triângulo retângulo; 3) o uso das funções trigonométricas para resolver problemas de altura e distância.
Este documento apresenta os conceitos básicos da trigonometria, incluindo definições de seno, cosseno e tangente em função dos catetos e hipotenusa de um triângulo retângulo. Também apresenta a relação fundamental da trigonometria e o ciclo trigonométrico.
1) O documento descreve as características de uma circunferência trigonométrica, incluindo sua definição, convenções e propriedades.
2) As funções seno e cosseno são definidas e suas propriedades de período, sinal e gráficos são explicadas.
3) A influência dos parâmetros a, b, c e d nas funções do tipo y=a+bsen(cx+d) e y=acos(bx+c)+d é descrita.
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS RETANGULARES E A EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIACarlos Campani
1) O documento descreve o sistema de coordenadas cartesiano retangular, no qual pontos em um plano são representados por pares ordenados (x, y) em relação aos eixos x e y.
2) Explica como calcular a distância entre dois pontos e a inclinação de uma reta passando por dois pontos no plano cartesiano.
3) Apresenta a dedução da equação geral de uma circunferência a partir da fórmula de Pitágoras e como verificar se uma equação representa ou não uma circunferência.
1) Resolve um problema sobre um poliedro com 20 arestas e 10 vértices usando a fórmula de Euler. Encontra que ele tem 8 faces triangulares e 4 quadrangulares.
2) Calcula que um icosaedro tem 36 diagonais.
3) Discutem desigualdades envolvendo número de arestas, vértices e faces de um poliedro.
O documento apresenta os principais conceitos de trigonometria, incluindo definições de seno, cosseno e tangente para triângulos retângulos. Também aborda operações com ângulos, unidades de medida de ângulo, círculo trigonométrico e equações e inequações trigonométricas.
O documento explica as relações trigonométricas de seno, cosseno e tangente em triângulos retângulos, relacionando os ângulos com os lados opostos e adjacentes à hipotenusa. Também apresenta a lei dos senos para calcular medidas desconhecidas em triângulos quaisquer, e a lei dos cossenos para triângulos não retângulos.
1) Uma circunferência trigonométrica é uma circunferência unitária centrada na origem de um sistema cartesiano.
2) Ela define convenções para a medição de arcos, como o ponto A como origem dos arcos e os quadrantes.
3) A função seno e cosseno são periódicas e mapeiam ângulos para valores entre -1 e 1 baseado na ordenada e abscissa dos pontos na circunferência.
Este documento explica como calcular as razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente) de um ângulo qualquer a partir das coordenadas de um ponto no seu lado extremidade, utilizando um referencial cartesiano e um círculo unitário centrado na origem. Fornece exemplos de cálculo das razões trigonométricas para pontos com coordenadas (4,3), (-5,12) e (-6,-8).
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria, incluindo as definições de seno, cosseno e tangente em triângulos retângulos, as relações fundamentais entre essas funções e suas propriedades periódicas.
O documento discute os conceitos fundamentais da geometria analítica, incluindo: (1) a história e sistemas de coordenadas cartesianas, (2) cálculo da distância entre pontos no plano, e (3) representações algébricas de retas através de equações fundamentais, reduzidas e gerais.
O documento apresenta o Teorema de Tales, que estabelece que a razão entre segmentos determinados em uma reta transversal é igual à razão entre os segmentos correspondentes na outra reta transversal, quando cortadas por um feixe de retas paralelas. Exemplos e exercícios ilustram a aplicação do teorema na resolução de problemas geométricos.
O documento explica o conceito de arco trigonométrico, definindo-o como o conjunto de todos os números reais cuja expressão geral é 2kπ + x, onde x é a determinação principal do arco, ou seja, o número real entre 0 e 2π que tem como imagem o ponto do ciclo trigonométrico que é a extremidade do arco. O texto também mostra como encontrar a determinação principal de um número real dado e escrever a expressão geral correspondente ao arco trigonométrico.
O documento discute conceitos fundamentais sobre retas no plano cartesiano, incluindo: (1) a equação geral de uma reta que passa por dois pontos fixos, (2) diferentes formas de representar uma reta, como equação reduzida, paramétrica e vetorial, e (3) os casos possíveis para a interseção entre duas retas.
i) O documento discute coordenadas cilíndricas e esféricas, incluindo como converter entre os sistemas de coordenadas.
ii) É apresentado o sistema de coordenadas esféricas com três variáveis - distância ρ, ângulo θ e ângulo φ.
iii) Exemplos mostram como expressar equações geométricas e calcular volumes usando coordenadas esféricas.
Trigonometria trata da medição de triângulos. O documento discute conceitos como razões trigonométricas, resolução de triângulos, ângulos generalizados, medição de ângulos em radianos e funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente.
1) O documento apresenta exercícios de trigonometria envolvendo triângulos retângulos e equiláteros, incluindo cálculo de seno, cosseno, tangente, lados e alturas.
2) É pedido também que se transforme ângulos entre graus e radianos e que se identifique em que quadrante eles se encontram.
3) Por fim, pede que se sigam comandos para deduzir relações trigonométricas a partir do teorema de Pitágoras.
O documento discute razões trigonométricas em triângulos retângulos. Ele define seno, cosseno e tangente de um ângulo em termos das medidas dos lados do triângulo. Fornece exemplos de como calcular essas razões trigonométricas para ângulos dados e problemas envolvendo distâncias e ângulos.
Trigonometria exercícios resolvidos e teoriatrigono_metria
Pitágoras descobriu a importante propriedade de que, num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, conhecida como Teorema de Pitágoras. O documento explica a vida e contribuições de Pitágoras para a matemática, incluindo a descoberta e demonstração deste importante teorema.
Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo – Esp. Mídias na Educação UFO...eliveltonhg
Aula sobre as Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo.
Links disponibilizados nos Slides:
- Tabela Trigonométrica:
http://www.somatematica.com.br/emedio/tabtrig.php
- Exercícios de Razões Trigonométricas: http://www.somatematica.com.br/soexercicios/razoesTrig.php
O documento apresenta os valores dos arcos notáveis de 0° a 360° em múltiplos de 30°, 45° e 60°. Ele também fornece informações sobre as funções seno, co-seno e tangente nesses ângulos, incluindo suas definições, gráficos e propriedades. Exemplos e exercícios são fornecidos para aplicar esses conceitos.
A - MATEMÁTICA PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS CA edição.pdfPedro Barros Neto
O documento apresenta conceitos fundamentais de análise de circuitos elétricos em corrente contínua e alternada, incluindo: (1) ferramentas matemáticas como fatoração de polinômios e geometria no círculo; (2) trigonometria no triângulo retângulo e funções trigonométricas circulares; (3) conceitos de frequência e período.
O documento descreve conceitos básicos de trigonometria, incluindo: 1) definições de seno, cosseno e tangente em termos dos lados de um triângulo retângulo; 2) o Teorema de Pitágoras para relacionar os lados de um triângulo retângulo; 3) o uso das funções trigonométricas para resolver problemas de altura e distância.
Este documento apresenta os conceitos básicos da trigonometria, incluindo definições de seno, cosseno e tangente em função dos catetos e hipotenusa de um triângulo retângulo. Também apresenta a relação fundamental da trigonometria e o ciclo trigonométrico.
Este documento fornece um roteiro de atividades para explorar frações, gráficos de setores, ângulos, circunferências e trigonometria no contexto de um geoplano circular. Inclui demonstrações de propriedades e exercícios para praticar operações com frações, cálculo de porcentagens, construção e classificação de ângulos, e conceitos básicos de trigonometria.
O documento apresenta os principais sistemas de coordenadas no plano e no espaço, incluindo:
- Coordenadas retangulares no plano e no espaço tridimensional
- Coordenadas polares no plano
- Coordenadas cilíndricas no espaço, que estendem as polares para três dimensões
- Coordenadas esféricas no espaço, representando distância, ângulo zenital e ângulo azimutal
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria, incluindo definições de triângulo retângulo, relações trigonométricas, funções seno, cosseno e tangente. Explica as relações entre os elementos do triângulo retângulo e introduz noções como ângulos notáveis, ciclo trigonométrico e arcos congruentes. Fornece definições formais das funções trigonométricas e apresenta suas propriedades gráficas.
Importantes exercícios de geometria sobre ângulos (soma e subtração, complementares e suplementares), triângulos e quadriláteros, área e perímetro, etc. Muito bom!
Identificando os quadrantes do ciclo trigonométricotrigono_metria
O documento discute ângulos notáveis, relações trigonométricas e como calcular as funções seno, cosseno e tangente para ângulos de 30°, 45° e 60° usando triângulos retângulos e propriedades geométricas. Ele também explica arcos com mais de uma volta, arcos congruentes, funções trigonométricas recíprocas e equações trigonométricas.
O documento discute o ciclo trigonométrico e como ele permite relacionar ângulos infinitos com um triângulo e ponto na circunferência. Explica como seno, cosseno e tangente são definidos projetando um ponto na circunferência nos eixos x, y e uma reta paralela a y. Fornece exemplos de cálculos trigonométricos e redução de ângulos para o primeiro quadrante.
O documento discute conceitos de trigonometria como seno, cosseno e o ciclo trigonométrico. Explica como definir seno e cosseno para qualquer ângulo através do ciclo trigonométrico e apresenta valores importantes destas funções para diferentes ângulos. Resolve um exemplo sobre população de animais variando ao longo do ano usando estas noções.
O documento descreve os principais conceitos da trigonometria no triângulo retângulo, incluindo: (1) definição de arcos e ângulos, medidas de arcos e unidades de medida; (2) razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente) e suas propriedades; (3) leis dos senos e cossenos para resolver problemas em triângulos quaisquer.
O documento descreve como calcular o campo elétrico em um ponto sobre o eixo de um aro carregado. O aro tem raio a e carga Q. O campo elétrico no ponto a distância z do centro é proporcional a Q/z e aponta no sentido do eixo (vetor k).
1) O documento descreve as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente, definindo-as geometricamente em relação a um círculo unitário e apresentando suas propriedades fundamentais.
2) É apresentada a conversão entre graus e radianos, assim como os valores de seno, cosseno e tangente para alguns ângulos específicos como 30°, 45° e 60°.
3) São mostradas as definições, gráficos e propriedades das funções seno, cosseno e tangente, incluindo a relação fundamental entre elas
Este documento discute conceitos básicos de trigonometria, incluindo seu surgimento histórico e aplicações práticas. Apresenta definições de seno, cosseno e tangente geometricamente na circunferência unitária e relações trigonométricas fundamentais. Demonstra o Teorema Fundamental da Trigonometria e discute redução de ângulos aos quadrantes primário e secundário.
Este documento apresenta uma proposta de prova modelo de Matemática A para o 12o ano de escolaridade. A prova é constituída por dois cadernos, com duração total de 150 minutos. O Caderno 1 contém 7 questões de escolha múltipla e resolução de problemas com duração de 75 minutos. O Caderno 2 contém 5 questões de escolha múltipla e resolução de problemas com duração de 75 minutos, não sendo permitido o uso de calculadora. Cada questão possui uma cotação específica e o total da prova é de 200 pontos
O documento descreve os conceitos fundamentais da circunferência trigonométrica e do ciclo trigonométrico, incluindo: (1) a definição de seno e cosseno de um ângulo em termos de coordenadas no ciclo trigonométrico; (2) valores importantes de seno e cosseno para ângulos comuns; (3) simetrias nos valores de seno e cosseno que permitem reduzir qualquer ângulo ao primeiro quadrante.
O documento resume os principais tópicos de uma aula de geometria analítica, incluindo equação da reta, área do triângulo, ponto médio e distância entre dois pontos. O professor que ministrou a aula foi Gledson Guimarães.
O documento descreve conceitos básicos de geometria analítica, incluindo distância entre pontos, ponto médio de um segmento de reta, equação geral da reta, posições relativas entre retas, distância entre ponto e reta e área do triângulo. Exemplos ilustram cada conceito e exercícios no final aplicam esses conceitos.
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Ciclo trigonométrico
Chamamos de ciclo trigonométrico a propriedade da trigonometria no círculo que
mantém os valores iguais que repetem periodicamente.
Seja uma circulo de raio r = 1, desenhada sobre os eixos cartesianos e separada em 4
partes iguais.
.
Cada ¼ do círculo chamamos de quadrante.
O sentido da contagem será sempre positivo para anti horário e negativo, para sentido
horário.
Seno de um ângulo
Seja um ponto P qualquer do 1º quadrante, chamamos de seno do ângulo x (senx), a
distância da projeção do ponto P no eixo y até a origem do sistema cartesiano.
Seja P0, P1, P2,...P10 os diferentes pontos
do círculo e x o ângulo central formado
pelo P0 e P1.
O senx é o comprimento do segmento
pintado em roxo, projetado no eixo y.
Observamos que o comprimento do
segmento é o mesmo para P1,P5,P7 eP10.
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.
Da mesma forma, o ângulo central y, formado pelo Po e P2 também possui o seny
pintado em pink, repetindo nos pontos P2,P4, P8, P10.
Por esse motivo, é chamado de ciclo trigonométrico.
Os ângulos são sempre centrais(o vértice coincide com o centro) e um dos lados está
apoiado no eixo x.
Os valores de senx nos principais pontos do círculo são:
grau 0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º
rad 0
6
π
4
π
3
π
2
π π
2
3π π2
Sen 0
2
1
2
2
2
3 1 0 1− 0
Estudo de sinais:
No 1º quadrante(0 a
2
π
): senx varia de 0 até 1 → cresce positivamente.
No 2º quadrante (
2
π
a π ): senx varia de 1 até 0 → decresce positivamente.
No 3º quadrante (π a
2
3π
):: senx varia de 0 até -1 → decresce negativamente.
No 4º quadrante (
2
3π
a 2π ):: senx varia de -1 até 0 → cresce negativamente.
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Senx para outros quadrantes.
Embora não tenha a necessidade de saber todos os valores de seno
de um ângulo qualquer, convém saber os valores principais que
estão na tabela e os seus múltiplos.
Como é um ciclo, já sabemos que os valores se repetem, para saber o seno do
múltiplo desses valores, é necessário reduzir ao primeiro quadrante.
Redução para 1º quadrante
Regra: Senx = sinal do quadrante . sem(ângulo maior – ângulo menor), onde um
dos valores é x e o outro será 180º( ou π) quando está no 2º e 3º quadrante, ou 360°
(ou 2π) se x está no 4° quadrante.
Ex1: Determine:
a) sen120°
Resolução: senx está no 2° quadrante(90° a 180°), por isso o seu sinal é +.
Sen120° = +sen(180° - 120°) = sen60° =
2
3
b) sen330° = - sen(360° - 330°) = - sen30° = -
2
1
c) sen
4
5π
= - sen(
2
2
4
)
4
45
()
4
5
−=−=
−
=−
πππ
π
π
sensen
Nesse caso, observe que
4
5π
é
4
.5
π
é múltiplo de
4
π
, logo, e como
4
π
= 45°
basta saber em que quadrante está localizado.
Isso vale para
6
π
,
3
π
e outros.
Cosseno de um ângulo
Seja um ponto P qualquer do 1º quadrante, chamamos de cosseno do ângulo x (cosx), a
distância da projeção do ponto P no eixo x até a origem do sistema cartesiano.
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Na figura ao lado, o cosx é o segmento
colorido de verde, no eixo x e o cosy é o
segmento colorido de pink.
Da mesma forma que o seno, os valores
são cíclicos.
Os valores do cosx nos pontos notáveis são:
grau 0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º
rad 0
6
π
4
π
3
π
2
π π
2
3π π2
Sen 0
2
1
2
2
2
3 1 0 -1 0
Cos 1
2
3
2
2
2
1 0 -1 0 1
Estudo de sinais do cosx
No 1º quadrante(0 a
2
π
): cosx varia de 1até 0 →
decresce positivamente.
No 2º quadrante (
2
π
a π ): cosx varia de 0 até -1 →
decresce negativamente.
No 3º quadrante (π a
2
3π
):: senx varia de -1 até 0 → cresce negativamente.
No 4º quadrante (
2
3π
a 2π ):: cosx varia de 0 até 1→ cresce positivamente.
***A técnica de redução ao 1º quadrante é o mesmo do senx.
Ex. Calcule:
a) cos240°
Resolução: cos240° = -cos(240 – 180°) = -cos60° = -1/2
b) cos
2
3
6
cos
6
67
cos)
6
7
cos(
6
7
−=−=
−
−=−−=
πππ
π
ππ
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Se for acima de 360°???
Neste caso, deve dividir por 360º para saber quantas voltas foi dada e pegar o valor
do resto para calcular. O resto da divisão indica onde se localiza o valor de x.
Ex: calcule o valor de sen870°
Significa que em 870° foi dada 2 voltas e parou em 150º, logo
sen870° = sen150º = sem(180°-150º) = sen30º = 1/2
Se for um ângulo negativo???
Isso significa que está no sentido horário. Então calcule quanto falta para
completar 360° para saber a localização exata desse ângulo.
Ex: Calcule:
Cos( – 300°) = cos (360º - 300°) = cos30º =
2
3
Calcule os valores de:
a)sen315°
b)cos240°
c) sen-120°
d)cos630°
e) sen-330°
f) cos-750º
g) sen
−
3
π
h) cos π6
i) sen
2
13π
j) cos
−
6
5π
k) cos2100º
l) sen330º - cos 2460°
m)cos540° + sen1560°
Respostas:
a) -
2
2
; b) -
2
1
; c) -
2
3
; d) 0; e)
2
1
; f)
2
3
; g) -
2
3
; h) 1; i)1; j) -
2
3
k) -1
m) -1+
2
3
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Propriedade dos arcos complementares
De acordo com a tabela abaixo,
grau 0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º
rad 0
6
π
4
π
3
π
2
π π
2
3π π2
Sen 0
2
1
2
2
2
3 1 0 -1 0
Cos 1
2
3
2
2
2
1 0 -1 0 1
observamos que sen30° = cos 60°; cos30° = sen60°, sen45º = cos 45º; sen0º = cos90°.
Podemos concluir que quando os ângulos são complementares (soma = 90°), então os
valores de senx = cosseno do seu complemento.senx = cox(90-x).
Representação geral:
Senx = Cos(
2
π
-x) ou cosx = sen(
2
π
-x ) ou senx = cox(90-x).
Exemplo de exercícios:
Simplifique a expressão:
senxx
xxsen
−−−
+−
)
2
cos(
cos)
2
(
π
π
Resolução:
Substituindo sen(
2
π
-x ) por cosx e Cos(
2
π
-x) por senx, temos:
senxx
xxsen
−−−
+−
)
2
cos(
cos)
2
(
π
π
=
senx
x
senx
x
senxsenx
xx cos
2
cos2coscos
−=−=
−−
+
(mais tarde chamaremos de
cotgx).