O documento descreve os três tipos de movimento de um oscilador harmônico amortecido: 1) subamortecido, onde as soluções são números complexos e o movimento é oscilatório decrescente; 2) amortecido crítico, onde a solução é real e exponencialmente decrescente; 3) superamortecido, onde as soluções também são reais e o movimento é hiperbólico decrescente. Para cada caso, são apresentadas as equações características e as soluções da equação diferencial do movimento.

1. Oscilador Harmônico Amortecido
Edenilson Macedo Meneguel

2. Oscilador Harmônico Amortecido
Fa + Fd = ma
Fa = força aplicada
Fd = "força dissipada"
Fa
M
p pi
X
Fd = b ∙ p

3. Oscilador Harmônico Amortecido
A força dissipativa é
expressa pela seguinte
equação:
Fd = −b ∙ v
Onde, b é a constante de
amortecimento e v é a
velocidade.
A força aplicada é dada
pela lei de Hooke, ou seja:
Fa = −k ∙ x

4. Oscilador Harmônico
Amortecido
Desta forma, a equação
do movimento fica:
−k ∙ 𝑥 − b ∙ v = m ∙ 𝑎
Tomando:
v =
dx
dt
a =
d2x
dt2
Obtemos a equação
diferencial característica
do movimento.

5. Oscilador Harmônico
Amortecido
m ∙
d2
x
dt2
+ b ∙
dx
dt
+ k ∙ 𝑥 = 0
E para resolvermos ⋯
m ∙ σ2
+ b ∙ σ + k ∙ 𝑥 = 0
De onde obtemos:
σ = −
b
2m
±
b
2m
2
−
k
m

6. Oscilador Harmônico Amortecido
Note que:
ω0 =
k
m
E, além disso:
μ =
b
2m
Logo:
σ = −μ ± μ2 − ω0
2
Baseado na equação acima
podemos definir três casos
de amortecimento.

7. 1º Caso: Movimento Subamortecido
Neste caso devemos ter:
μ2 − ω0
2 < 0
As soluções pertencem
aos números complexos
ℂ .
Definindo a frequência
angular como:
𝜔 = μ2 − ω0
2
Obtemos:
σ = −μ ± ω ∙ i

8. 1º Caso: Movimento
Subamortecido
E a solução da equação diferencial é:
x t = Ae−μ∙t
cos ωt + ϕ
Onde A e ϕ dependem das condições de
contorno.

9. 1º Caso: Movimento Subamortecido
Observações:
cos2ϕ + sen2ϕ = 1
𝐴 = 𝑥0
2 +
−v0 − μ ∙ x0
𝜔
2
Quando t = 0 temos:
cos ϕ =
x0
A
sen ϕ =
−v0 − μ ∙ x0
A

10. 2º Caso: Movimento Amortecido
Neste caso devemos ter:
μ2 − ω0
2 = 0
As soluções pertence aos
números reais ℝ .

11. 2º Caso: Movimento Amortecido
Definindo a frequência
angular como:
𝜔 = μ2 − ω0
2
Obtemos:
σ = −μ

12. 2º Caso: Movimento Amortecido
E a solução da equação diferencial é:
x t = Ae−μ∙t
Onde A das condições de contorno.

13. 3 º Caso: Movimento Superamortecido
Neste caso devemos ter:
μ2 − ω0
2 > 0
As soluções pertence aos
números reais ℝ .
Definindo a frequência
angular como:
𝜔 = μ2 − ω0
2
Obtemos:
σ = −μ ± ω

14. 3 º Caso: Movimento
Superamortecido
E a solução da equação diferencial é:
x t = Ae−μ∙t
cosh ωt + ϕ
Onde A e ϕ dependem das condições de
contorno.

15. 3 º Caso: Movimento Amortecido
Observações:
cosh2ϕ − senh2ϕ = 1
A = x0
2 +
−v0 − μ ∙ x0
ω
2
Quando t = 0
cosh ϕ =
x0
A
senh ϕ =
−v0 − μ ∙ x0
A