Aula pb 7_resumo

Gestão de Stocks

Gestão e Teoria da Decisão

Exercício 10 - Enunciado

Política do nível de encomenda

Uma empresa de construção civil mantém um stock de um dado material de construção a partir do qual
satisfaz as necessidades de diversas obras em curso. Estas necessidades semanais são aleatórias e
podem ser descritas estatisticamente pela seguinte distribuição de probabilidades, sendo a média de 30
toneladas:
Necessidade semanal (ton.)
Probabilidade

10

20

30

40

50

60

0.10

0.17

0.50

0.13

0.06

0.04

A empresa decidiu adoptar a política do nível de encomenda para regular o funcionamento deste stock,
com um intervalo médio entre reaprovisionamentos de 2 semanas. O tempo de entrega das encomendas
deste material pode considerar-se fixo e igual a uma semana.
O custo anual de manter em stock uma tonelada deste material foi estimado em 130 €, enquanto o custo
de rotura é de 200 € por tonelada em falta, independentemente do tempo em falta.
a) Para um stock de segurança de 10 ton., qual a probabilidade de rotura? Estime os custos anuais de
posse deste stock de segurança e os respectivos custos de rotura.
b) Que nível de encomenda recomendaria a esta empresa e que stock de segurança resultaria?
Quantifique a redução de custos anual que resultaria da sua recomendação.
1


I(t)
Ciclo (i+1)

Ciclo i

Ciclo (i+2)

...

Q+M

Q

Q
Q

...

M

0

Si

ti

τi

Si+2

ti+1

τi+1

Si+1 ti+2 τ
i+2

S=M-µX

t

...
Ti =ti+1 -ti

Ti+1 =ti+2 –ti+1

M – Ponto ou nível de encomenda
τi – Tempo de reposição ou entrega no ciclo i
Ti – Período ou comprimento do ciclo i
Q – Quantidade encomendada --- e recebida –––
Si – Nível do stock antes da recepção de Q

Ti+2

Nota
O nível/ponto de encomenda, M, que ocorre no
instante, ti, da revisão contínua, tem que cobrir
as necessidades até ao instante em que a
encomenda, colocada no início do ciclo i,
chega.

Gestão de Stocks
Exercício 10 - Resolução



Dados do problema (Unidade de tempo: 1 semana)

r (Taxa média de procura por unidade de tempo) = 30 ton./semana
τ (Tempo médio de entrega ou de reposição) = 1 semana
T

( Intervalo de tempo médio entre reaprovisionamentos ) = 2 semanas

C2 (Custo de posse) = 130 €/ton./ano=2.5 €/ton./semana
C3' (Custo de rotura) = 200 €/ton.
Modelo de probabilidade da procura, X, no tempo (médio) de reposição de 1 semana

A procura/necessidades, X, no tempo de reposição é variável aleatória discreta com função (massa de)
probabilidade hX(xi) = P(X = xi) e de distribuição de probabilidade HX(xi) = P(X ≤ xi), dadas por
Funções massa de probabilidade hX(xi) = P(X=xi) e de distribuição de probabilidade HX(xi)=P(X ≤ xi)
1

2

3

4

5

6

Necessidade semanal (ton.): (xi)

10

20

30

40

50

60

Probabilidade: hX(xi)= P(X = xi)

0.10

0.17

0.50

0.13

0.06

0.04

HX(xi)=P(X ≤ xi)

0.10

0.27

0.77

0.90

0.96

1.00

i

3

Gestão de Stocks



Modelação probabilística da procura X, no tempo/período de reposição

0.00,

0.10,
0.27,

H X ( x ) = 0.77,
0.90,

0.96,
1.00,


( x < 10 )
(10 ≤ x < 20 )
( 20 ≤ x < 30 )
( 30 ≤ x < 40 )
( 40 ≤ x < 50 )
( 50 ≤ x < 60 )
( x ≥ 60 )

P(X=30)=0.5

P(X=20)=0.17

Gestão de Stocks


Modelação probabilística da procura X, no tempo/período de reposição
Procura média no tempo de reposição : µ X


6

µ X = ∑ xi hX ( xi )
i =1
6

= ∑ xi P ( X = xi )
i =1

= 10 × 0.1 + 20 × 0.17 + 30 × 0.5 + 40 × 0.13 + 50 × 0.06 + 60 × 0.04
= 30 ton.
Nota: µ X = r × τ

µ X = 30 × 1 = 30 ton.

Gestão de Stocks


a) Para um stock de segurança de 10 ton., qual a probabilidade de rotura? Estime os custos anuais de posse deste stock de segurança e os
respectivos custos de rotura.


Dado S ( Stock de segurança) = 10 ton., calcular α , probabilidade de rotura por ciclo.

1. Probabilidade de rotura por ciclo, α = P(X > M), com M (ponto/nível de encomenda) = S+µX
M = S+µX = 10 + 30 = 40 ton.

∑ P ( X = x ) = P ( X = 50 ) + P ( X = 60 ) = 0.06 + 0.04 = 0.10

α = P ( X > M ) = P( X > 40) =

i

i:xi > 40

(Outras quantidades relevantes )
Quantidade média em falta η ( M )

η (M ) =

∑ ( x − M ) P ( X = x ) = (50 − 40) × 0.06 + (60 − 40) × 0.04 = 1.4 ton.
i

i

i: xi > M

Nível de serviço NS
NS =1 −

η (M )
Q

= 1−

η (M )
T ×r

= 1−

1.4
= 0.977
2 × 30

Nível de protecção, (1 − α ) = 1 − 0.10 = 0.90

6

Gestão de Stocks


a) Para um stock de segurança de 10 ton., qual a probabilidade de rotura? Estime os custos anuais de posse deste stock de segurança e os
respectivos custos de rotura.


2. Custos anuais de posse deste stock de segurança e os respectivos custos de rotura.
2.1. CP (Custos de posse do stock de segurança por ciclo)=C2 × S × T = C2 × ( M − µ X ) T € / ciclo,

∑ ( x − M ) P ( X = x ) € / ciclo

2.2. CR (Custos de rotura por ciclo) = C3' ×η ( M ) = C3' ×

i

i

i:xi >40

2.3. NCiclos ≅

52  semanas/ano 
T  semanas/ciclo 



52


= 26 ciclos/ano 
 NCiclos =
2



2.4. K P (Custos anuais de posse do stock de segurança ) = NCiclos × CP
K P = 52 × C2 × ( M − µ X ) = 52 × 2.5 × ( 40 − 30 ) = 130 × 10 = 1300 €/ano
2.5. K R (Custos de rotura anuais ) = NCiclos × CR
KR =

52
52
52
× C3' ×η ( M ) = × C3' × ∑ ( xi − M ) P ( X = xi ) = × 200 × 1.4 = 7280 €/ano
T
T
2
i:xi > 40

2.6. K (Custos totais anuais ) = K P + K R = 8580 € / ano

7

Gestão de Stocks


b) Que nível de encomenda recomendaria a esta empresa e que stock de segurança resultaria? Quantifique a redução de custos anual que
resultaria da sua recomendação.


Substituindo S = M − µ X

Custos totais anuais, função de M , K ( M ) :
K ( M ) = K P ( M ) + K R ( M ), com
K P ( M ) = NCiclos × CP = 52 × C2 × S = 52 × C2 × ( M − µ X ) € / ano
K R ( M ) = NCiclos × CR =

52
× C3' × ∑ ( xi − M ) P ( X = xi )
T
i:xi > M

K ( M ) = 52 × C2 × ( M − µ X ) +
= 52 × C2 × ( M − µ X ) +

€ / ano

52
× C3' × ∑ ( xi − M ) P ( X = xi ) € / ano
T
i:xi > M



52
× C3' ×  ∑ xi P ( X = xi ) − M ∑ P ( X = xi ) 
T
i:xi > M
 i:xi >M


Nível de encomenda optimal ( dado Q ) M * (valor a recomendar) é o ponto estacionário de K ( M ), i.e.,
o valor de M em que se anula a função 1ª derivada de K ( M )
dK ( M )
52
52 × C2 C2 × T
= 0 ⇒ 52 × C2 − × C3' × ∑ P ( X = xi ) = 0 ⇔ ∑ P ( X = xi ) =
=
52
*
*
dM M =M *
T
C3'
'
i:xi > M
i:xi > M
× C3
T
Vidé Nota 1

8

Gestão de Stocks


Nota 1 :


No caso da procura, X , no tempo de reposição, ser uma variável aleatória discreta, a condição de
optimalidade do nível de encomenda, M * , ( dado Q, com Q = T × r ) , traduzida na igualdade

∑

P ( X = xi ) =

i:xi > M *

deve ser substituída pela desigualdade

c2 × T
,
'
c3

c ×T
∑ P( X = x ) ≤ c
2

i

'
3

i:xi > M *

,

porque 1) o conjunto dos valores da procura xi é finito e discreto e 2) porque

∑ P( X = x )
i

i:xi > M *

é a probabilidade de rotura que deve ser limitada superiormente. A condição

c ×T
∑ P( X = x ) ≤ c ,
2

i

i:xi > M *

é equivalente a

∑

P ( X = xi ) ≥ 1 −

i:xi ≤ M *

c ×T
∑ P( X = x ) ≤ c
2

i

i:xi > M *

'
3

⇔−

c2 × T
, pois
'
c3

c ×T
∑ P( X = x ) ≥ − c
2

i

i:xi > M *

'
3

⇔ 1−

c ×T
∑ P( X = x ) ≥1− c
2

i

i:xi > M *

⇔

∑
i:xi ≤ M *

P ( X = xi ) ≥ 1 −

'
3

c2 × T
'
c3

'
3

Gestão de Stocks


b) Que nível de encomenda recomendaria a esta empresa e que stock de segurança resultaria? Quantifique a redução de custos anual que
resultaria da sua recomendação.


Nível de encomenda optimal ( dado Q ) : M *
2.5 × 2
∑ P ( X = x ) ≥ 1 − 200 = 1 − 0.025 = 0.975 ⇒ M
i

*

= 60 ton.

i:xi ≤ M *

( x6 = 60 é o menor dos xi

cuja probabilidade de não ser excedido é maior ou igual a 0.975 )

Vidé Nota 2
Stock de segurança S *
S * = M * − µ X = 60 − 30 = 30 ton.
Custo total anual do stock de segurança K ( M * )
K ( M * ) = 52 × C2 × ( M * − µ X ) +
= 52 × 2.5 × ( 60 − 30 ) +

52
× C3' × ∑ ( xi − M * ) P ( X = xi )
T
i:xi > M *

52
52
× 200 × ∑ ( xi − M * ) P ( X = xi ) = 3900 + × 200 × 0
2
2
i:xi >60

= 3900 €/ano
Redução de custos anual
∆K = K ( M * ) − K ( M ) = 3900 − 8580 = −4680 €/ano

10

Gestão de Stocks



Nota 2
M* é o menor valor da procura discreta, xi , tal que a probabilidade de não ser excedido, HX(xi), é maior
ou igual a
1−

c2 × T
c ×Q
= 1 − 2'
'
c3
c3 × r

isto é, que satisfaz a condição
c ×T
∑ P( X = x ) ≥ 1− c
2

i

i:xi ≤ M *

'
3

Gestão de Stocks


Exercício 11 - Enunciado


Uma empresa de construção utiliza semanalmente 100 unidades de um produto que adquire no mercado
internacional e do qual constitui stocks. A cada encomenda deste produto está associado um custo fixo
(independente da quantidade adquirida) de 100 €, enquanto que à manutenção em stock de uma unidade
deste produto a empresa associa um custo anual de 26€.
A empresa pretende adoptar a política do nível de encomenda e tem vindo a colocar encomendas de
400 unidades. O tempo de entrega das encomendas deste produto é aleatório, com uma distribuição
normal de média 4 semanas e desvio padrão 1 semana.
a) Se for definido um nível de encomenda de 500 unidades, qual a probabilidade de rotura?
b) Caso se pretenda um risco de rotura da ordem dos 5%, que nível de encomenda recomendaria?
c) Admitindo que a empresa associa às situações de rotura de stock um custo proporcional à quantidade
em falta, determine em que condições o nível de encomenda 500 unidades é preferível em relação ao
determinado na alínea b).
d) Se a empresa associar um custo de 25 € a cada unidade do produto em falta, qual o nível de
encomenda que recomendaria?
e) Para o custo de rotura definido na alínea anterior, qual a sua recomendação quanto à quantidade a
12
encomendar e ao nível de encomenda?

Gestão de Stocks



Dados do problema (unidade de tempo: 1 semana; 1 ano = 52 semanas)
Custo fixo de encomenda, A = 100 €/encomenda;
Custos de posse,

C2 = 26 €/unid./ano

( = 0.50 €/unid./semana);

Quantidade encomendada, Q = 400 unid./encomenda;
Procura por unidade de tempo (determinística): r = 100 unid./semana, σ r = 0;
Tempo de reposição/entrega (aleatória):

τ ∼ N (τ ,σ τ ) , com τ = 4 semanas e σ τ = 1 semana;

Modelação probabilística da procura, X , durante o tempo de reposição
a

X ∼N ( µ X ,σ X ) ,
com

µ X = r × τ = 100 × 4 = 400 unid.
σ X = τ × σ r2 + r 2 × σ τ2 = 4 × 0 + 1002 × 12 = 100 unid.

13

Gestão de Stocks


a) Se for definido um nível de encomenda de 500 unidades, qual a probabilidade de rotura?


Dado M = 500 unid., calcular probabilidade de rotura, α , por ciclo

α =P ( X > M ) = P ( X > 500 ) = P ( Z > z ) , com Z =

X − µX

σX

ez=

500 − µ X

σX

=

500 − 400
=1
100

P ( Z > 1) = 1 − P ( Z ≤ 1)
= 1 − Φ (1)
∴α =

= 1 − 0.8413 = 0.1587
0 .1 5 8 7

b) Caso se pretenda um risco de rotura da ordem dos 5%, que nível de encomenda recomendaria?

Dado α ≅ 0.05, calcular nível de encomenda M
Determinar M , M α , tal que P ( X > M α ) = α
P ( X > M ) = P ( Z > zα ) , com Z =

X − µX

σX

e zα =

Mα − µX

σX

P ( Z > zα ) = 1 − P ( Z ≤ zα ) ⇒ 1 − Φ ( zα ) = α ⇒ Φ ( zα ) = 1 − α ⇒ Φ ( zα ) = 0.95
zα ≅ 1.65
zα =

Mα − µX

σX

⇒ M α = µ X + σ X zα = 400 + 100 × 1.65 =

5 6 5 u n id

.

14

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c) Admitindo que a empresa associa às situações de rotura de stock um custo proporcional à quantidade em falta, determine em que
condições o nível de encomenda 500 unidades é preferível em relação ao determinado na alínea b).


Que C3' torna M = 500 unid. preferível a M = 565
Custos totais por unidade de tempo (ano)
K (M ) =

A ( r × 52 )
Q

Q
+ C2 ×  + M − µ X
2

 C3 ( r × 52 )
×η ( M ),
+
Q

'

 M − µX 
,
σX 

ξ ( u ) é função de perdas normal estandardizada (Tabela 2 de Livro de IO ou Tabela no Anexo 2)
com η ( M ) = ∫

∞

( x − M ) h ( x ) dx = σ X ξ 
M

Custos totais por unidade de tempo para M =500 unidades
 500 − 400 
 = 100ξ (1.0 ) = 100 × 0.0829 = 8.29
 100 
'
100 × (100 × 52 )
 400
 C3 (100 × 52 )
K (500) =
+ 26 × 
+ 500 − 400  +
×η (500)
400
2
400


'
100 × (100 × 52 )
 400
 C3 (100 × 52 )
=
+ 26 × 
+ 500 − 400  +
× 8.29
400
2
400


= 9100 + 107.8C3'

η (500) = 100ξ 

15

Gestão de Stocks


c) Admitindo que a empresa associa às situações de rotura de stock um custo proporcional à quantidade em falta, determine em que
condições o nível de encomenda 500 unidades é preferível em relação ao determinado na alínea b).


Custos totais por unidade de tempo para M =565 unidades
 565 − 400 
 = 100ξ (1.65 ) = 100 × 0.0213 = 2.13
 100 
'
100 × (100 × 52 )
 400
 C3 (100 × 52 )
K (565) =
+ 26 × 
+ 565 − 400  +
×η (565)
400
400
 2


η (565) = 100ξ 

=

100 × (100 × 52 )
400

'
 400
 C3 (100 × 52 )
+ 26 × 
+ 165  +
× 2.13
2
400



= 10790 + 27.7C3'
Condição de preferência
M = 500 preferível ⇒ K (500) < K (565)
K (500) < K (565) ⇒ K (500) − K (565) < 0
⇒ 9100 + 107.8C3' − (10790 + 27.7C3' ) < 0
⇒ −1689 + 80.1C3' < 0 ⇒ C3' <

1689
= 21.09 €/unid.
80.1
16

Gestão de Stocks


d) Se a empresa associar um custo de 25 € a cada unidade do produto em falta, qual o nível de encomenda que recomendaria?


Custo total por unidade de tempo
A ( r × 52 )

 ( Q + S ) + S  C3' ( r × 52 )
K (M ) =
+ C2 × 
×η ( M ), com S = M − µ X
+
Q
2
Q


'
A ( r × 52 )
Q
 C3 ( r × 52 )
=
+ C2 ×  + M − µ X  +
×η ( M ),
Q
Q
2

Problema de optimização
min. K ( M ) =

A ( r × 52 )
Q

M

Q
+ C2 ×  + M − µ X
2

 C3 ( r × 52 )
×η ( M ),
+
Q

'

 M − µX 
,
σX 

ξ ( u ) é função de perdas normal estandardizada (Tabela 2 de Livro de IO)
onde η ( M ) = ∫

∞

( x − M ) h ( x ) dx = σ X ξ 
M

A solução optimal, M * , dado Q, é a solução da equação seguinte:
C2 Q *
∫M * h( x)dx = C3' ( r × 52 ) , ou
∞

∫

M*

−∞

C2 Q *
C2 Q *
M * − µX
*
*
h( x)dx = 1 − '
⇒ Φ ( z ) = 1 − ' , com z =
C3 ( r × 52 )
C3r
σX
17

Gestão de Stocks


d) Se a empresa associar um custo de 25 € a cada unidade do produto em falta, qual o nível de encomenda que recomendaria?


Cálculos
1. Φ ( z * ) = 1 −

C2 Q
26 × 400
4
=1−
= 1−
= 0.92
C3' ( r × 52 )
25 × ( 52 × 100 )
50

z * = Φ −1 ( 0.92 ) ≅ 1.405

*

2. z =

M * − µX

σX

⇒ M * = µ X + σ X z * = 400 + 100 × 1.405 = 540.5 ≅ 540

∴ M * = 540 unidades

18

Gestão de Stocks


e) Para o custo de rotura definido na alínea anterior, qual a sua recomendação quanto à quantidade a encomendar e ao nível de encomenda?

Calcular M * e Q*


Problema de optimização
min . K ( M , Q) =

( M ,Q )

A ( r × 52 )
Q

Q
+ C2 ×  + M − µ X
2

 C3 ( r × 52 )
×η ( M ),
+
Q

'

 M − µX 
,
σX 

ξ ( u ) é função de perdas normal estandardizada (Tabela 2 de Livro de IO)
onde η ( M ) = ∫

∞

( x − M ) h ( x ) dx = σ X ξ 
M

Solução optimal (solução do problema de optimização)

2 ( r × 52 ) ( A + C3' ×η ( M * ) )
*
Q =

C2


M*
 M * − µX
 ∞
C2 Q *
C2 Q *
⇒ Φ
h( x)dx = 1 − '
 ou
 ∫M * h( x)dx = '
C3 ( r × 52 )  ∫−∞
C3 ( r × 52 )
 σX



C2 Q * 
 = 1− ' 
C3 r 


19

Gestão de Stocks



Cálculos (Método iterativo)


Estimativa inicial de Q* :
Q* =

2 ( r × 52 ) A
C2

=

2 (100 × 52 ) × 100
26

= 100 2 × 2 = 200 unidades

Iteração 1
1. Calcular M * ,dado Q* :
C2 Q *
26 × 200
1.1 Calcular z tal que Φ ( z ) = 1 − '
=1−
= 0.96 ⇒ z * =Φ −1 ( 0.96 ) ≅ 1.75
C3 ( r × 52 )
25 × (100 × 52 )
*

*

1.2 Calcular M * : M * = µ X + σ X z * = 400 + 100 × 1.75 = 575 unidades
2. Calcular Q* dado M *

 M * − µX  
*
2.1 Calcular η ( M ) η ( M ) = σ X ξ 

 σX


 M * − µX 
 575 − 400 
η (575) = 100ξ 
 = 100ξ 
 = 100ξ (1.75 ) ≅ 100 × 0.0168 = 1.68
100 
σX 


*

20

Gestão de Stocks



Iteração 1 (continuação)


2.2 Calcular Q*
Q* =

2 ( r × 52 ) ( A + C3' ×η ( M * ) )
C2

=

2 (100 × 52 )(100 + 25 × 1.68 )
= 238.3275 unidades
26

Teste de convergência: Q* − Q*
previo = 38.3275 ≫ ε tolerância (p.ex. ε tolerância = 1)
Iteração 2
C2 Q *
26 × 238.3275
= 1−
= 0.9523 ⇒ z * =Φ −1 ( 0.9523) ≅ 1.67
C3 ( r × 52 )
25 × (100 × 52 )
*

*

1.2 Calcular M * : M * = µ X + σ X z * = 400 + 100 × 1.67 = 567 unidades

 M * − µX  
*

σ X 


 M * − µX 
 567 − 400 
= 100ξ 
η (567) = 100ξ 

 = 100ξ (1.67 ) ≅ 100 × 0.0203 = 2.03
100 
σX 


*

21

Gestão de Stocks





2.2 Calcular Q*
Q* =

2 ( r × 52 ) ( A + C3' ×η ( M * ) )
C2

=

2 (100 × 52 )(100 + 25 × 2.03)
= 245.5606 unidades
26

previo = 7.23 > ε tolerância
Iteração 3
C2 Q *
26 × 245.5606
= 1−
= 0.9509 ⇒ z * =Φ −1 ( 0.9509 ) ≅ 1.655
C3 ( r × 52 )
25 × (100 × 52 )
*

*

1.2 Calcular M * : M * = µ X + σ X z * = 400 + 100 × 1.655 ≅ 565.5 unidades

 M * − µX  
*

σ X 


 M * − µX 
 565.5 − 400 
= 100ξ 
η (565.5) = 100ξ 

 = 100ξ (1.655 ) ≅ 100 × 0.0210 = 2.10
100
σX 



*

22

Gestão de Stocks





2.2 Calcular Q*
Q* =

2 ( r × 52 ) ( A + C3' ×η ( M * ) )
C2

=

2 (100 × 52 )(100 + 25 × 2.10 )
= 246.9818 unidades
26

previo = 1.4212 > ε tolerância
Iteração 4
C2 Q *
26 × 246.9818
= 1−
= 0.9506 ⇒ z * =Φ −1 ( 0.9506 ) ≅ 1.65
C3 ( r × 52 )
25 × (100 × 52 )
*

*

1.2 Calcular M * : M * = µ X + σ X z * = 400 + 100 × 1.655 ≅ 565 unidades

 M * − µX  
*

σ X 


 M * − µX 
 565 − 400 
= 100ξ 
η (565) = 100ξ 

 = 100ξ (1.65 ) ≅ 100 × 0.0213 = 2.13
100 
σX 


*

23

Gestão de Stocks




2.2 Calcular Q*
*

Q =

2 ( r × 52 ) ( A + C3' ×η ( M * ) )
C2

=

2 (100 × 52 )(100 + 25 × 2.13)
= 247.5884 unidades
26

previo = 0.6066 < ε tolerância (Terminar )
Solução optimal
Q* = 248 unidades e M * = 565 unidades

24

Gestão de Stocks




Resumo das iterações
-----------------------------------------------------------------------------------------------------α
zα
M
ξ(zα)
η(M)
K(Q,M)
Qnew
Erro
iteração
Q
-----------------------------------------------------------------------------------------------------1
200.00 0.9600
1.7507
575.0686
0.0161
1.6146
10801.30
236.95
36.95
2
236.95 0.9526
1.6707
567.0700
0.0196
1.9635
10695.95
244.20
7.25
3
244.20 0.9512
1.6562
565.6203
0.0203
2.0332
10692.51
245.63
1.42
4
245.63 0.9509
1.6534
565.3396
0.0205
2.0470
10692.38
245.91
0.28
+-----------------------------------------------------------------+
|
Solução optimal
|
+-----------------------------------------------------------------+
Numero total de iterações
(iter) =
4
Quantidade a encomendar óptima
Nível de encomenda óptimo

(Q*) =
(M*) =

Custos totais anuais (valor optimal) (K(Q*,M*)
Custos fixos de encomenda anuais (K_A(Q*,M*)
Custos de posse anuais
(K_P(Q*,M*)
Custos de rotura anuais
(K_R(Q*,M*)

246 unidades
565 unidades

= 10692.38 €/ano
= 2117.04 €/ano
= 7491.97 €/ano
= 1083.37 €/ano

25

Anexo 1: Distribuição Normal
Função de distribuição de probabilidade - Φ(z)
1
Φ ( z ) = P ( Z ≤ z ) = ∫ φ ( x ) dx =
−∞
2π


z

Z
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4

0.00
0.5000
0.5398
0.5793
0.6179
0.6554
0.6915
0.7257
0.7580
0.7881
0.8159
0.8413
0.8643
0.8849
0.9032
0.9192
0.9332
0.9452
0.9554
0.9641
0.9713
0.9772
0.9821
0.9861
0.9893
0.9918
0.9938
0.9953
0.9965
0.9974
0.9981
0.9987
0.9990
0.9993
0.9995
0.9997

0.01
0.5040
0.5438
0.5832
0.6217
0.6591
0.6950
0.7291
0.7611
0.7910
0.8186
0.8438
0.8665
0.8869
0.9049
0.9207
0.9345
0.9463
0.9564
0.9649
0.9719
0.9778
0.9826
0.9864
0.9896
0.9920
0.9940
0.9955
0.9966
0.9975
0.9982
0.9987
0.9991
0.9993
0.9995
0.9997

0.02
0.5080
0.5478
0.5871
0.6255
0.6628
0.6985
0.7324
0.7642
0.7939
0.8212
0.8461
0.8686
0.8888
0.9066
0.9222
0.9357
0.9474
0.9573
0.9656
0.9726
0.9783
0.9830
0.9868
0.9898
0.9922
0.9941
0.9956
0.9967
0.9976
0.9982
0.9987
0.9991
0.9994
0.9995
0.9997

∫

0.03
0.5120
0.5517
0.5910
0.6293
0.6664
0.7019
0.7357
0.7673
0.7967
0.8238
0.8485
0.8708
0.8907
0.9082
0.9236
0.9370
0.9484
0.9582
0.9664
0.9732
0.9788
0.9834
0.9871
0.9901
0.9925
0.9943
0.9957
0.9968
0.9977
0.9983
0.9988
0.9991
0.9994
0.9996
0.9997

z

−∞

e

−

x2
2

dx,

0.04
0.5160
0.5557
0.5948
0.6331
0.6700
0.7054
0.7389
0.7704
0.7995
0.8264
0.8508
0.8729
0.8925
0.9099
0.9251
0.9382
0.9495
0.9591
0.9671
0.9738
0.9793
0.9838
0.9875
0.9904
0.9927
0.9945
0.9959
0.9969
0.9977
0.9984
0.9988
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997

Φ (−z ) = 1− Φ ( z )
0.05
0.5199
0.5596
0.5987
0.6368
0.6736
0.7088
0.7422
0.7734
0.8023
0.8289
0.8531
0.8749
0.8944
0.9115
0.9265
0.9394
0.9505
0.9599
0.9678
0.9744
0.9798
0.9842
0.9878
0.9906
0.9929
0.9946
0.9960
0.9970
0.9978
0.9984
0.9989
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997

0.06
0.5239
0.5636
0.6026
0.6406
0.6772
0.7123
0.7454
0.7764
0.8051
0.8315
0.8554
0.8770
0.8962
0.9131
0.9279
0.9406
0.9515
0.9608
0.9686
0.9750
0.9803
0.9846
0.9881
0.9909
0.9931
0.9948
0.9961
0.9971
0.9979
0.9985
0.9989
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997

0.07
0.5279
0.5675
0.6064
0.6443
0.6808
0.7157
0.7486
0.7794
0.8078
0.8340
0.8577
0.8790
0.8980
0.9147
0.9292
0.9418
0.9525
0.9616
0.9693
0.9756
0.9808
0.9850
0.9884
0.9911
0.9932
0.9949
0.9962
0.9972
0.9979
0.9985
0.9989
0.9992
0.9995
0.9996
0.9997

Φ( z)
0.08
0.5319
0.5714
0.6103
0.6480
0.6844
0.7190
0.7517
0.7823
0.8106
0.8365
0.8599
0.8810
0.8997
0.9162
0.9306
0.9429
0.9535
0.9625
0.9699
0.9761
0.9812
0.9854
0.9887
0.9913
0.9934
0.9951
0.9963
0.9973
0.9980
0.9986
0.9990
0.9993
0.9995
0.9996
0.9997

0.09
0.5359
0.5753
0.6141
0.6517
0.6879
0.7224
0.7549
0.7852
0.8133
0.8389
0.8621
0.8830
0.9015
0.9177
0.9319
0.9441
0.9545
0.9633
0.9706
0.9767
0.9817
0.9857
0.9890
0.9916
0.9936
0.9952
0.9964
0.9974
0.9981
0.9986
0.9990
0.9993
0.9995
0.9997
0.9998

Anexo 2: Função de Perdas Normal ξ(u)
ξ (u ) = ∫

+∞

u

( x − u )φ ( x ) dx =

1

+∞

∫ ( x − u)e
2π
u

−

x2
2

dx


ξ ( −u ) = ξ ( u ) + u
u
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0

0.00
0.39894
0.35094
0.30689
0.26676
0.23044
0.19780
0.16867
0.14288
0.12021
0.10043
0.08332
0.06862
0.05610
0.04553
0.03667
0.02931
0.02324
0.01829
0.01428
0.01105
0.00849
0.00647
0.00489
0.00366
0.00272
0.00200
0.00146
0.00106
0.00076
0.00054
0.00038

0.01
0.39396
0.34635
0.30271
0.26296
0.22701
0.19473
0.16595
0.14048
0.11810
0.09860
0.08174
0.06727
0.05496
0.04457
0.03587
0.02865
0.02270
0.01785
0.01392
0.01077
0.00827
0.00629
0.00475
0.00356
0.00264
0.00194
0.00142
0.00103
0.00074
0.00052
0.00037

0.02
0.38902
0.34181
0.29856
0.25920
0.22362
0.19170
0.16325
0.13810
0.11603
0.09680
0.08019
0.06595
0.05384
0.04363
0.03508
0.02800
0.02217
0.01742
0.01357
0.01049
0.00805
0.00612
0.00462
0.00345
0.00256
0.00188
0.00137
0.00099
0.00071
0.00051
0.00036

0.03
0.38412
0.33731
0.29445
0.25547
0.22027
0.18870
0.16059
0.13576
0.11398
0.09503
0.07866
0.06465
0.05274
0.04270
0.03431
0.02736
0.02165
0.01699
0.01323
0.01022
0.00783
0.00595
0.00449
0.00335
0.00248
0.00183
0.00133
0.00096
0.00069
0.00049
0.00034

0.04
0.37926
0.33285
0.29038
0.25178
0.21695
0.18573
0.15797
0.13345
0.11196
0.09328
0.07716
0.06336
0.05165
0.04179
0.03356
0.02674
0.02114
0.01658
0.01290
0.00996
0.00762
0.00579
0.00436
0.00325
0.00241
0.00177
0.00129
0.00093
0.00066
0.00047
0.00033

0.05
0.37444
0.32842
0.28634
0.24813
0.21367
0.18281
0.15537
0.13117
0.10997
0.09156
0.07568
0.06210
0.05059
0.04090
0.03281
0.02612
0.02064
0.01617
0.01257
0.00970
0.00742
0.00563
0.00423
0.00316
0.00234
0.00171
0.00125
0.00090
0.00064
0.00046
0.00032

0.06
0.36966
0.32404
0.28235
0.24452
0.21042
0.17991
0.15281
0.12892
0.10801
0.08986
0.07422
0.06086
0.04954
0.04002
0.03208
0.02552
0.02015
0.01578
0.01226
0.00945
0.00722
0.00547
0.00411
0.00307
0.00227
0.00166
0.00121
0.00087
0.00062
0.00044
0.00031

0.07
0.36492
0.31969
0.27840
0.24094
0.20721
0.17705
0.15028
0.12669
0.10607
0.08819
0.07279
0.05964
0.04851
0.03916
0.03137
0.02494
0.01967
0.01539
0.01195
0.00920
0.00702
0.00532
0.00400
0.00298
0.00220
0.00161
0.00117
0.00084
0.00060
0.00042
0.00030

0.08
0.36022
0.31539
0.27448
0.23740
0.20404
0.17422
0.14778
0.12450
0.10417
0.08654
0.07138
0.05844
0.04750
0.03831
0.03067
0.02436
0.01920
0.01501
0.01164
0.00896
0.00683
0.00517
0.00388
0.00289
0.00213
0.00156
0.00113
0.00081
0.00058
0.00041
0.00029

0.09
0.35556
0.31112
0.27060
0.23390
0.20090
0.17143
0.14531
0.12234
0.10229
0.08491
0.06999
0.05726
0.04650
0.03748
0.02998
0.02380
0.01874
0.01464
0.01134
0.00872
0.00665
0.00503
0.00377
0.00280
0.00207
0.00151
0.00110
0.00079
0.00056
0.00040
0.00028

NOTA: Os valores desta Tabela foram calculados pela fórmula ξ(u) = φ(u)-u(1-Φ(u)), e não coincidem com os da Tabela 2 do livro de IO

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