Aula 27 escoamento em tubos - parte 5

14/06/2017 11:25 227 – Escoamento em Tubos - Parte 5
Na última aula...
Sistemas com Múltiplos Tubos
𝑄1 = 𝑄2 = 𝑄3 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
∆ℎ𝑙 𝐴→𝐵 = ∆ℎ𝑙1 + ∆ℎ𝑙2 + ∆ℎ𝑙3
𝑄 = 𝑄1 + 𝑄2 + 𝑄3
∆ℎ𝑙 𝐴→𝐵 = ∆ℎ𝑙1 = ∆ℎ𝑙2 = ∆ℎ𝑙3
𝑄1 + 𝑄2 + 𝑄3 = 0
ℎ𝑗 = 𝑧𝑗 +
𝑃𝑗
𝜌𝑔
ℎ𝑙𝑖 =
𝑣𝑖
2
2𝑔
𝑓𝐷𝑖 𝐿𝑖
𝐷𝑖
= 𝑧𝑖 − ℎ𝑗

Na última aula...
Tubos em paralelo
• Para um tubo que se divide em dois (ou mais) tubos paralelos e, em seguida, é
reunido em uma junção a jusante, a vazão total é a soma dos tubos individuais.
• A queda de pressão (ou perda de carga) de cada tubo individual conectado em
paralelo deve ser igual, uma vez que e as pressões nas junções PA e PB são iguais para
todos os tubos individuais.
Poranto, as vazões relativas dos tubos paralelos são estabelecidas do requisito de que
a perda de carga de cada tubo seja a mesma. Esse resultado pode ser estendido a
qualquer número de tubos conectados em paralelo.
Se há perda de carga localizada: somar comprimentos equivalentes ao comprimento
do tubo.

Rede de Tubos

Rede de tubos
Perda de carga distribuída
As perdas podem ser escritas da seguinte forma:
x
L RQh 
Coeficiente de resistência
Expoente
Vazão
Para análise de sistemas de tubos, é mais conveniente expressar o
comportamento de f utilizando fórmulas empíricas aproximadas. Assim, o fator de
fricção (atrito) pode ser obtido analiticamente em termos do número de Reynolds e
da rugosidade relativa
Combinando com Darcy-Weisbach:
52
8
Dg
Lf
R D

 2x
ℎ𝑙𝐷 = 𝑓𝐷
𝐿
𝐷
𝑣2
2𝑔

Rede de tubos
Correlações para fD e R
• Swamee-Jain (1976):
Combinando com R de Darcy:
• Hazen-Williams:
x = 1,85
m = 4,87
C = f(e/D)  coeficiente de Hazen-Williams – tabelado (Potter – Cap. 11)
K1 depende do sistema de unidades  SI: K1 = 10,59 e UI K1 = 4,72
2
0,9
D
1
f 1,325 ln 0,27 5,74
D Re

      
      
      
2
0,9
5
L 1
R 1,07 ln 0,27 5,74
gD D Re

        
       
       
8
10D/e01,0 

8
105000  Re
 valem para a faixa de
mx
DC
LK
R 1


Comparação entre as correlações para fD e R
Esta é a equação que descreve as curvas do Diagrama de Moody na faixa de
transição entre o regime laminar e o totalmente rugoso
Rede de tubos

Rede de tubos
Perda de carga localizada
Perdas localizadas
2
42
2
2
2
2
2
2
84
222
QK
Dg
Q
Dg
K
Q
gA
K
g
v
KhL 












 


Em alguns casos, é melhor expressar como comprimento equivalente:
Substituindo:   22
52
8
QRQ
Dg
LLf
h ieiD
L
i




Coeficiente de Resistência Médio (perdas
distribuídas e localizadas)
Tubo Componentes (ou acidentes)
52
8
Dg
Lf
R TD



Rede de tubos
Para muitos casos de escoamento em sistemas de
tubos, ao aplicar a Eq. da Conservação da Energia:
Desconsideram-se os termos cinéticos na entrada e saída
do sistema (a energia cinética seria significante somente
para velocidades relativamente altas)
  22
52
8
QRQ
Dg
LLf
h ieiD
L
i





Análise de rede de tubos
A figura abaixo mostra uma rede de tubos relativamente simples consistindo de sete
tubos, dois reservatórios e uma bomba. Assume-se que o nível piezométrico em A e F
são conhecidos; estes pontos são chamados de nós de nível fixo. Vazões de saída
estão presentes nos nós C e D. Os nós C e D, juntamente com os nós B e E, são
chamados nós internos ou junções. As direções dos escoamento não são conhecidas
inicialmente, mas assume-se arbitrariamente uma direção.

Balanços:
Energia: Exemplo A -> B
Bomba
BA
HQ
gA
K
Rz
p
z
p





 












 2
12
1
1
2
2
11 QRHHH BombaBA 
Massa:
0 saientra QQ
(Nas junções)

• Balanço de Energia para cada tubo (7 equações)e tubo Direção entre os nós Balanço de energia
A  B   2
111 QRQHHH BombaBA 
B  D
2
22 QRHH DB 
C  D
2
33QRHH DC 
B  C
2
44 QRHH CB 
C  E
2
55QRHH EC 
E  D
2
66 QRHH DE 
F  E
2
77 QRHH EF 
Nó ou junção Continuidade
B 0421  QQQ
D DQQQQ  632
C CQQQQ  534
E 0765  QQQ
  2
121101 QaQaaQHBomba 
• Balanço de massa em cada nó interno (4 equações)
• Curva da Bomba (1 equação)

6
3
2
5
4
• Designemos a variável Wi como sendo a queda do nível piezométrico em um
elemento de tubo i:
• Para o sistema em questão, dois caminho fechados, ou loops internos, podem ser
identificados. O escoamento é considerado positivo no sentido horário em cada
loop. Os balanços de energia escritos para cada loop I e II são:
2
iii QRW 
0536  WWW 0423  WWW

• Para se levar em conta as vazões nos tubos 1 e 7, um caminho pode ser definido
ao longo dos nós A, B, D, E e F. Com a adição do termo da potência da bomba, o
balanço de energia de A até F é:
7621 WWWWHHH BombaFA 
6
2
1
7

Substituindo a equação da bomba e a equação do fator de fricção nas relações de energia
das 3 últimas equações, obtém-se o seguinte conjunto de equações reduzidas:
02
66
2
55
2
33  QRQRQR
02
44
2
33
2
22  QRQRQR
  02
77
2
66
2
22
2
12110
2
11  FA HHQRQRQRQaQaaQR
Somadas às equações da continuidade, tem-se um sistema de 7 incógnitas (Q1, ..., Q7) e
sete equações para resolver. As equações da energia são não-lineares uma vez que os
termos da perda de carga e da potência da bomba são representadas como polinômios em
relação às vazões.

Se F é o número de nós fixos (A e F) no sistema, existirá (F-1) equações para
caminhos distintos. Seja P o número de elementos de tubo numa rede, J o
número de nós iternos e L o número de loops internos. Então, a seguinte relação
será válida se uma rede de tubos adequadamente definida for analisada:
No exemplo inicial, temos J = 4, L = 2 e F = 2, tal que P = 4 + 2 + 2 – 1 =7
1 FLJP

Equações de Rede Generalizada
1. Equação da Continuidade no j-ésimo nó interno:
– o índice j se refere aos tubos conectados ao nó e Qe representa uma vazão externa
– Convenção do sinal algébrico: positivo para um escoamento entrando no nó e negativo para um
escoamento saindo do nó
  0 ejj QQ
     0 HHW iBombaii
     0 iBombaii HW
2. Balanço de energia ao longo de um loop interno:
– o índice i se refere ao tubos que pertencem ao loop
– Existirá um relação para cada um dos loops
– Convenção do sinal algébrico: positivo é usado se o escoamento no elemento de tubo está no sentido
horário; do contrário, é negativo
3. Balanço de energia ao longo de um caminho único ou pseudoloop conectando os
dois nós fixos:
– onde H é a diferença de magnitude do nível piezométrico dos dois nós fixos no caminho ordenado no
sentido horário através de um tubo imaginário no pseudoloop.
– Convenção do sinal algébrico: positivo é usado se o escoamento no elemento de tubo está no sentido
horário; do contrário, é negativo.

Linearização da Equação da Energia
A equação abaixo é uma relação geral do balanço de energia e pode ser aplicada a
qualquer caminho ou loop interno de uma rede de tubos.
Se é aplicada a um loop fechado, H é zero e, se nenhuma bomba existe no
caminho ou loop, Hbomba é igual a zero. No desenvolvimento da linearização, esta
equação será usada para representar qualquer loop ou caminho na rede de tubos.
Inicialmente, define-se a função f (Q) contendo os termos não lineares W(Q) e
HBomba(Q):
Esta equação pode ser expandida em série de Taylor assumindo a seguinte forma:
na qual Q0 é uma estimativa de Q
     0 HHW iBombaii
       QHQRQHQWQ Bomba
x
Bomba f
     
 



2
2
0
2
2
00
00
QQ
dQ
d
QQ
dQ
d
QQ
QQ
ff
ff

Retendo somente os primeiros dois termos do lado direito da equação e abrindo a
variável f(Q):
Note que esta aproximação para a função f(Q) é linear em relação a Q.
Introduzindo-se um parâmetro G:
Substituindo a equação de energia de um loop generalizado:
na qual W0 = W(Q0) e HBomba 0 = HBomba (Q0).
   
 
 0
1
000
0
QQ
dQ
QdH
QRxQHQRQ
Q
Bombax
Bomba
x









 
f
 
0
1
0
Q
Bombax
dQ
QdH
QRxG  
       GQQHWGQQQHQRQ BombaBomba
x
000000 f
(*)

Uma vez que Q nas relações acima pode assumir valores negativos ou positivos, e
são freqüentemente substituídos por e (*) respectivamente, em
algoritmos.
A equação linearizada da energia forma a base do método de Hardy Cross e outros
métodos de resolução de sistemas lineares.
          0000  HGQQHW iiiiBombaii
1
00
x
QQ
1
0
x
Q
x
Q0
1
0
x
Q
     0 HHW iBombaii
       GQQHWGQQQHQRQ BombaBomba
x
000000 f
Finalmente, a equação f(Q) é substituída na equação da energia de um loop generalizado
resultando uma equação da energia linearizada:
∅(𝑄)

O Método de Hardy Cross
Seja (Q0)i a estimativa das vazões de uma iteração prévia e seja Qi as novas estimativas
das vazões. Em cada loop, é definido o ajuste dos escoamentos Qj da seguinte
forma:
onde o índice j se refere ao loop analisado e o índice i aos elementos de tubo que
pertencem ao loop. O ajuste é aplicado independentemente em todos os tubos
num dado loop ou caminho do sistema. Portanto, a equação da energia
linearizada pode ser escrita para cada loop na seguinte forma:
Resolvendo a equação para Q , temos:
  iij QQQ 0
       000  HGQHW ijiBombaii
      
i
iBombaii
j
G
HHW
Q



00

O Método de Hardy Cross
A solução iterativa de Hardy Cross é descrita nos seguintes passos:
1. Assume-se uma estimativa inicial para a distribuição das vazões que satisfaça a
continuidade em cada k-ésimo nó interno:
2. Para cada j-ésimo loop ou caminho , calcula-se:
3. A vazão é atualizada em cada i-ésimo elemento de tubo da rede :
4. Os passos 2 e 3 são repetidos com os valores atualizados das vazões até que a acurácia
desejada seja alcançada. Um possível critério é:
  0 ekk QQ
      
i
iBombaii
j
G
HHW
Q



00
   jii QQQ 0
 



i
ii
Q
QQ 0

Aplicação do Método de Hardy Cross
Para o sistema de tubos mostrado na figura abaixo, determinar a distribuição de
vazão e o nível piezométrico nas junções usando o método de Hardy Cross.
OBS.: As unidades estão em SI
i
ii
iii

 
1234
1234 )(
GGGG
zzWWWW
Q BA
I



I
Q1
Q2 Q3
Q4
Q7
Q5
Q8Q6
III
II
 
853
853
GGG
WWW
QIII



Resolução: existem 5 junções (J = 5), oito tubos (P = 8) e dois nós fixos (F = 2).
Portanto o número de loops fechados é L = 8 - 5 - 2 + 1 = 2 somado a mais um
pseudoloop. A equação de Q é aplicada ao loop I, II e III:
 
6782
6782
GGGG
WWWW
QII



      
i
iBombaii
j
G
HHW
Q



00

IQ1 Q2 Q3
Q4
Resolução: O problema é resolvido utilizando uma planilha eletrônica. A seguir, estão
apresentados os cálculos da primeira iteração.
1

x
QQRW
      
i
iBombaii
j
G
HHW
Q



00
 
0
1
0
Q
Bombax
dQ
QdH
QRxG  
Loop I
Ri Qi Ri Qi |Q|i 2 Ri |Q|i Qi novo
H 20
Tubo 4 100 -0,02 -0,04 4 -0,022 -∑Wi-
ΔH
-0,55
Tubo 3 200 -0,06 -0,72 24 -0,064 Gi = 222
Tubo 2 500 -0,13 -8,45 130 -0,137 QI = -0,0025
Tubo 1 100 -0,32 -10,24 64 -0,322
Na planilha, o sinal correto é atribuído a cada W automaticamente usando a relação:
Wi Gi

Resolução:
Loop II
Tubo 2 500 0,13 8,45 130 0,137 Wi = 1,55
Tubo 8 300 0,07 1,47 42 0,074 Gi = 318
Tubo 7 400 -0,04 -0,64 32 -0,035 QII = 0,0049
Tubo 6 300 -0,19 -10,83 114 -0,185
Q7
Q8
Q6
II

Resolução:
Loop III
Tubo 3 200 0,06 0,72 24 0,064 Wi = 0,11
Tubo 5 400 0,04 0,64 32 0,041 Gi = 98
Tubo 8 300 -0,07 -1,47 42 -0,074 QIII = 0,0011

Valores finais das vazões em litros/segundo:

Bibliografia utilizada
Potter, Merle C.; David C. Wiggert com Midhat Hondzo; Tom I. P.
Shih, Mecânica dos fluidos, São Paulo, SP: Pioneira Thomson
Learning, 2004.

Aula 27 escoamento em tubos - parte 5

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (19)

Semelhante a Aula 27 escoamento em tubos - parte 5

Semelhante a Aula 27 escoamento em tubos - parte 5 (20)

Último

Último (10)

Aula 27 escoamento em tubos - parte 5