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CIRCUITOS
FÍSICA III
CAPÍTULO XXVII
Aula 7
Prof Agnaldo
Prof Marcelo Felisberto
Campus do Sertão - UFAL
MFL/AJS : Eng Civil - Eng Produção CIRCUITOS Campus do Sertão - UFAL 1 / 45

Tópicos da Aula
1 Introdução
2 Trabalho e Energia
3 Cálculo da Corrente
4 Outros Circuitos de uma Malha
5 Diferença de Potencial entre dois Pontos
6 Potência, Potencial e fem
7 Circuitos com mais de uma Malha
8 Circuitos RC

Introdução
Breve Resumo
Neste capítulo, vamos falar da Física de circuitos elétricos. Circuitos que
contenham resistores, capacitores e uma fonte. Vamos limitar nossa
discussão a circuitos nos quais as cargas se movem sempre no mesmo
sentido, conhecidos como circuitos de corrente contínua (CC).
Bombeamento de Cargas
Para fazer cargas elétricas passar por um resistor precisamos estabelecer
uma diferença de potencial entre as extremidades do dispositivo. Para fazer
isso precisamos de uma fonte de tensão. Dizemos que uma fonte de tensão
produz uma força eletromotriz ξ, o que significa que submetemos os
portadores de carga a uma diferença de potencial. Ou seja, uma fonte de
tensão fornece energia necessária para o movimento através do trabalho
que realiza sobre os portadores.

Tópicos da Aula
1 Introdução
8 Circuitos RC

Força Eletromotriz ξ
Em um intervalo de tempo dt uma carga dq passa por todas as seções retas no
circuito, como aa′. A mesma carga entra no terminal de baixo potencial da fonte
de tensão (term. negativo) e sai do terminal de alto potencial (term. positivo).
Para que a carga dq se mova dessa forma a fonte deve realizar trabalho dW.
ξ =
dW
dq
Joule
Coulomb

(1)
a força eletromotriz de uma fonte é o
trabalho por unidade de carga que a
fonte realiza para transferir cargas do
terminal de baixo potencial para o de
alto potencial.

Fontes ou Baterias
Fonte de Tensão Ideal
É aquela que não apresenta resistência alguma ao movimento de
cargas de um terminal para outro. A diferença de potencial ente os
terminais de um fonte ideal é igual a força eletromotriz de fonte.
Fonte de Tensão Real
Possui uma resistência interna que se opõe ao movimento das cargas.
Desta forma, a diferença de potencial entre os terminais de uma fonte
Real não é igual a força eletromotriz de fonte.

Motor Elétrico
O sentido da corrente é determinado pela bateria de maior força
eletromotriz (ξB ξA). A energia da bateria B diminui com a
transferência da sua energia para acionar o motor M, vencer a
resistência R e também carregar a bateria A.

Tópicos da Aula
1 Introdução
8 Circuitos RC

Cálculo da Corrente em um Circuito de uma Malha
Vamos discutir 2 métodos para calcular a corrente no circuito simples de uma
malha.
Método 1
Baseado no conceito da
conservação da Energia.
Método 2
Baseado no conceito de
Potencial.

Método 1: Conservação da Energia
potência resistiva, ou seja, a energia dissipada em energia térmica no resistor.
dW = dU (2)
P =
dW
dt
=
dU
dt
=
d
dt
(qV) (3)
=
dq
dt
V = iV
= i2
R (4)
dW = i2
Rdt (5)

Método 1: Conservação da Energia
durante o mesmo intervalo de tempo uma carga dq = idt atravessa a fonte B e o
trabalho realizado pela fonte sobre essa carga é
ξ =
dW
dq
dW = ξdq = ξidt
i2
Rdt = ξidt
ξ = iR → i =
ξ
R
(6)
A grandeza iR é a energia por unidade de
carga transferida das cargas móveis para
o resistor e convertida em calor. A ener-
gia por unidade de carga transferida às car-
gas em movimento é igual à energia por
unidade de carga transferida por elas.

Método 2: Baseado no conceito de Potencial
Regra das Malhas ou Leis das malhas de Kirchhoff.
“A soma algébrica das variações de potencial encontradas ao percorrer uma malha
fechada é sempre zero.”
Va + ξ − iR = Va
ξ − iR = 0
i =
ξ
R
(7)

Método 2: Baseado no conceito de Potencial
Outras regras
Regra da resistência
Quando atravessamos uma resistência no sentido da corrente a
variação do potencial é −iR; no sentido oposto é +iR.
Regra das Fontes
Quado atravessamos uma fonte ideal do terminal negativo para o
positivo a variação do potencial é +ξ; no sentido oposto é −ξ.

Tópicos da Aula
1 Introdução
8 Circuitos RC

Resistência Interna: Fonte Real
Aplicando a regra das Malhas no sentido horário a partir do ponto a, as
variações do potencial nos dão
ξ − ir − iR = 0
i =
ξ
r + R
(8)
onde, para r = 0 teremos o
caso da fonte ideal
i =
ξ
R

Resistência Interna

Resistência em Série
Fonte Ideal
1 Quando uma diferença de potencial V é aplicada a resistências ligadas em série a
corrente i é a mesma em todas as resistências.
2 A soma das diferenças de potencial das resistências é igual à diferença de potencial
aplicada V.
3 As cargas que atravessam resistências em série têm um único caminho possível. Se
existe mais de um caminho, as resistências não estão em série.

Resistência em Série
Resistências ligadas em série podem ser substituídas por uma resistência equivalente Req
percorrida pela mesma corrente i e com a mesma diferença de potencial total V que as
resistências originais.
∑V = ξ − iR1 − iR2 − iR3 = 0
i =
ξ
R1 + R2 + R3
i =
ξ
∑n
i=1 Ri
i =
ξ
Req
(9)
Req =
n
∑
i=1
Ri (10)
Fonte real
∑V = ξ − ir − iR1 − iR2 − iR3 = 0
= ξ − ir − iReq = 0
i =
ξ
r + Req
(11)

Tópicos da Aula
1 Introdução
8 Circuitos RC

ddp entre dois pontos: Fonte Real
Muitas vezes estamos interessados em calcular a ddp entre dois pontos de um
circuito. Assim por exemplo, Vb − Va =? i = 2A, r = 2Ω, R = 4Ω
no sentido horário
∑V = Va + ξ − ir = Vb
Vb − Va = ξ − ir
= ξ −
ξ
r + R
r
=
r + R − r
r + R

ξ
Vb − Va =
R
r + R

ξ (12)
onde i = ξ
r+R , e Vb − Va = 8V.

Aterrando um Circuito
Aterrar um circuito significa ligar o circuito à superfície da terra
Neste diagrama, porém, o
simbolo significa que o
potencial é definido como
sendo zero no ponto
indicado. Assim o potencial
em a é Va = 0

Aterrando um Circuito
Aterrar um circuito significa ligar o circuito à superfície da terra
Agora é o ponto b que está
aterrado. Assim o potencial
Vb = 0. Assim, o potencial
no ponto Va = −8V.

Tópicos da Aula
1 Introdução
8 Circuitos RC

Potência, Potencial e fem
− Quando uma bateria ou um outro tipo de fonte realiza trabalho sobre os
portadores de carga para estabelecer uma corrente i o dispositivo transfere
energia da sua fonte interna para os portadores de carga.
− Como toda fonte real possui uma resistência interna r, a fonte também dissipa
uma parte da energia na forma de calor.
A potência P fornecida pela fonte aos portadores de carga é dada
pela equação
P = iV (13)
onde V é a ddp entre os terminais da fonte, V = ξ − ir, logo
P = i(ξ − ir) = iξ − i2
r (14)
Pr = i2r é a potência dissipada pela fonte
Pfem = iξ é a potência fornecida pela fonte logo,
P = Pfem − Pr (15)

Tópicos da Aula
1 Introdução
8 Circuitos RC

Circuitos com mais de uma Malha
Circuito com 3 Malhas, 3 Ramos e 3 correntes i1, i2, i3 =?
3 Ramos
1 Ramo esquerdo: bad
2 Ramo direito: bcd
3 Ramo central: bd
3 Malhas
1 M1: Malha esquerda:
badb
2 M2: Malha direita: bcdb
3 M3: Malha externa:
badcb

Considere o nó d. As cargas que entram nesse nó através das correntes i1 e i3
deixam o nó através da corrente i2. Como a carga total não pode mudar, a
corrente total que chega tem que ser igual a corrente total que sai.
i1 + i3 = i2 (16)
Regra dos Nós: Lei de
Kirchhoff
A soma das correntes que
entram em um nós é igual à
soma das correntes que
saem do nó.

Nossos instrumentos básicos para resolver circuitos complexos são:
Regra das Malhas e dos Nós
− Baseada na lei da conservação da energia
− Baseada na lei da conservação das cargas.
Para resolvermos a equação [16], precisamos de pelo menos mais
duas equações independentes que envolvam as mesmas variáveis.
Podemos obtê-las aplicando duas vezes a regra das malhas. A
escolha é arbitrária; vamos escolher a malha da esquerda e a da
direita.

Nossos instrumentos básicos para resolver circuitos complexos são:
Malha da esquerda: badb
No sentido anti-horário
ξ1 − i1R1 + i3R3 = 0 (17)
Malha da direita: bcdb
No sentido anti-horário
−i3R3 − i2R2 − ξ2 = 0 (18)

Aplicando a regra das malhas à malha externa, teríamos, começando
a partir do ponto b e no sentido anti-horário;
ξ1 − i1R1 − i2R2 − ξ2 = 0
ξ1 − ξ2 = i1R1 + i2R2 (19)
Esta equação pode parecer uma equação nova, mas é na verdade a
soma das equações [17] e [18], e portanto não constitui uma terceira
equação independente.

Resistências em Paralelo
Fonte Ideal
O termo em paralelo significa que um dos terminais de todas as resistências é
ligado a um certo ponto, o outro terminal de todas as resistências é ligado à um
segundo ponto e uma diferença de potencial V é aplicada entre esses pontos.
Quando uma diferença de potencial V é aplicada a resistências em paralelo, todas as
resistências são submetidas à mesma diferença de potencial.

Resistência Equivalente
As resistências ligadas em paralelo podem ser substituídas por uma resistência
equivalente Req com a mesma diferença de potencial V e a mesma corrente total i
que as resistências originais.

Calculo da Resistência Equivalente
i1 =
V
R1
, i2 =
V
R2
, i3 =
V
R3
i = i1 + i2 + i3
= V
1
R1
+
1
R2
+
1
R3

= V
n
∑
i=1
1
Ri
i =
V
Req
(20)
1
Req
=
1
R1
+
1
R2
+
1
R3
1
Req
=
n
∑
i=1
1
Ri
(21)

Amperímetros e Voltímetros
Amperímetro
É o instrumento usado para medir correntes. É essencial que a resistência do
circuito RA seja muito menor do que todas as outras do circuito. Se não for
assim, a presença do medidor mudará o valor da corrente.
Voltímetro
Instrumento usando para se medir diferenças de potencial. É essencial que a
resistência RV do Voltímetro seja muito maior que a resistência dos elementos
do circuito. Caso contrário, o voltímetro mudará o valor da diferença de potencial
que se quer medir.

Tópicos da Aula
1 Introdução
8 Circuitos RC

Circuitos RC: Resistivo e Capacitivo
Vamos agora iniciar uma discussão sobre correntes que variam com o tempo.
Um Circuito RC é formado por um Capacitor, uma fonte ideal e um
Resistor.

Carga de um Capacitor
Quando o circuito é ligado, cargas começam a se mover, surgem correntes,
essas correntes acumulam uma carga q cada vez maior nas placas do Capacitor
e estabelecem uma diferença de potencial Vc entre as placas. Quando essa
diferença de potencial é igual a diferença de potencial da fonte ξ a corrente para.
A carga de equilíbrio (carga final) do capacitor é igual à;
Vc =
q
C
(22)
qmax = Cξ (23)

Carga de um Capacitor
Em particular, estamos interessados em saber como varia com o tempo a carga
q, a diferença de potencial Vc e a corrente i enquanto o capacitor está sendo
carregado.
∑V = ξ − iR − Vc = 0
∑V = ξ − iR −
q
C
= 0
ξ = R
dq
dt
+
q
C
(24)
Esta é a equação de carregamento do capacitor. Ela descreve a variação com o tempo da carga
q do capacitor. Para resolvê-la precisamos encontrar q(t) que satisfaz a equação de carga [24].
Vc é neativo porque a placa de cima do capacitor que está ligado ao terminal positivo da fonte,
tem um potencial mais alto que a placa de baixo; assim, há uma queda de potencial quando
passamos da placa de cima para a de baixo.

Resolvendo a EDO para a Eq. de Carga do Capacitor
Equação de carga do capacitor!
dq
dt
+
q
RC
=
ξ
R
(25)
q(t) = qp + Ke−at
, a =
1
RC
(26)
Para resolvermos, precisamos de Condições de Contorno (CC):
CC1 : t = 0 → q = 0
CC2 : t → ∞ → i = 0

(Usando CC2): Quando a corrente cessa (t → ∞), teremos uma condição de
equilíbrio;
i =
dq
dt
= 0
q
RC
=
ξ
R
→ q = qmax = Cξ
lim
(t→∞)
q(t) = lim
t→∞
qp + Ke−at

= qp, ou seja, qp = Cξ (27)
q(t) = Cξ + Ke−at
(28)

(Usando CC1): Em t = 0 o capacitor está descarregado, então q = 0;
q(0) = Cξ + Ke−a.0
= 0
Cξ + K = 0
Cξ = −K
Logo;
q(t) = Cξ − Cξe−t/RC
= Cξ 1 − e−t/RC

(29)

i(t) e Vc(t)
q(t) = Cξ 1 − e−t/RC

i =
dq
dt
=
d
dt

Cξ 1 − e−t/RC

i =
ξ
R
e−t/RC
(30)
Vc =
1
C
q(t) = ξ 1 − e−t/RC

(31)

A constante de tempo τ
O produto RC é chamado constante de tempo capacitava. Tem dimensão de
tempo, pois o argumento da exponencial precisa ser adimensional.
τ = RC (32)
Para t = τ = RC, temos que;
q(τ) = Cξ 1 − e

= 0, 63Cξ (33)
Durante o intervalo de tempo t = τ a carga do capacito aumentou de 0 à
63% do valor final de Cξ. Concluímos que, quanto maior o valor de τ, maior
o tempo necessário para carregar um capacitor.

Equação de Descarga de um Capacitor
Suponha agora que o Capacitor esteja totalmente carregado, ou seja, com um potencial
Vc = V0 = ξ. Desligando a chave S de a para b, fazemos com que o capacitor comece a
descarregar através da resistência R.
Como variam com o tempo a carga q(t) e a corrente i(t)?
Desligando a Chave S a fonte deixa de participar do Circuito. Teremos então, a
Equação de Descarga do Capacitor;
dq
dt
R +
q
C
= ξ = 0 (34)
Solução
q(t) = q0e−t/RC
(35)
i(t) =
d
dt
q0e−t/RC

= −
q0
RC
e−t/RC
= −
CV0
RC
e−t/RC
= −
V0
R

e−t/RC
(36)
O sinal negativo indica que a carga inicial q0 do capacitor está diminuindo.

Circuitos
Tarefa obrigatória Responder as questões do livro
TAREFA OBRIGATÓRIA:
LEITURA DO CAPÍTULO 27
RESPONDER TODOS OS EXERCÍCIOS DO REFERIDO CAPÍTULO
BONS ESTUDOS!
OBRIGADO!
Até a próxima aula.
CAMPOS MAGNÉTICOS

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