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Unidade Curricular
Modelagem e Simulação de Sistemas
Elétricos e Magnéticos
Professores:
Geraldo Rodrigues Silveira Neto
Marcilio Cunha Nunes
2021-2
Unidade Acadêmica Itabira
Engenharia Elétrica
Modelagem e Simulação de Sistemas Elétricos e Magnéticos
2
Lei de Ohm (revisando da aula passada)
➢ Analogia: Seringa cheia de água.
➢ Processo de conversão de energia:
V
I
R
=
Modelagem e Simulação de Sistemas Elétricos e Magnéticos
Modelagem e Simulação de Sistemas Elétricos e Magnéticos
3
Lei de Ohm (revisando da aula passada)
V
I
R
=
V R I
= 
V
R
I
=
➢ Ramo: é um componente simples como um resistor ou outro
elemento;
➢ Nó: é um ponto de conexão entre dois ou mais ramos. O nó
engloba todos os pontos de mesmo potencial;
➢ Laço: Qualquer caminho fechado em um circuito, iniciando-se
em um nó, passando por uma série de nós e retornando ao nó
de partida sem passar por qualquer outro mais de uma vez.
Conceitos de Circuitos
• Componentes estão conectados em série se eles compartilharem
exclusivamente um único nó e, consequentemente, serem
percorridos pela mesma corrente;
• Componentes estão conectados em paralelo se eles estiverem
conectados aos mesmos dois nós e, consequentemente, tiverem a
mesma tensão entre eles.
Conceitos de Circuitos
➢ Um circuito consiste de um número qualquer de elementos
unidos por seus terminais, estabelecendo pelo menos um
caminho fechado através do qual o fluxo possa fluir;
➢ Duas configurações básicas para circuitos, série e a paralela,
constituem a essência de circuitos mais complexos.
Conceitos de Circuitos
Dois elementos estão em série se:
➢ O ponto comum entre os dois elementos não está conectado a
outro elemento percorrido por corrente.
Os resistores R1 e R2
estão em série
porque possuem
apenas o ponto “b”
em comum.
Conceitos em Série
➢ Os resistores R1 e R2 não estão em série porque o ponto
comum entre os dois elementos está conectado a outro
elemento percorrido por corrente (R3).
Conceitos em Série
➢ Em um circuito série a corrente é a mesma através dos
elementos resistivos que o compõem.
Conceitos em Série
➢ A resistência total ou resistência equivalente de resistores
conectados em série é a soma das resistências individuais.
S
T
V
I
R
=
1 2
T N
R R R R
= + + +
S
P VI
=
1 2 N
S R R R
P P P P
= + + +
Conceitos em Série
1) Para o circuito determine a resistência total, a corrente
fornecida pela fonte, a queda de tensão nos resistores, a
potência dissipada em cada resistor e a potência fornecida
pela fonte.
EXEMPLO:
Conceitos em Série
Rt= R1+R2+R3=2+1+5=8Ω
I=V/R=20/8=2,5A
1) Calcular a queda de tensão nos resistores, a potência
dissipada em cada resistor e a potência fornecida pela fonte.
Conceitos em Série
V1=? V2=? V3=?
V1=I*R=2,5A *2Ω= 5V
V2=2,5A*1Ω=2,5V
V3=5Ω*2,5A=12,5V
VT=5+2,5+12,5=20V
E=20V
P1=? P=V*I=5*2,5=12,5W
P2=V*I= 2,5*2,5= 6,25W
P3=12,5*2,5= 31,25W
PF=V*I=20*2,5=50,00W
PF=P1+P2+P3=50,00W
2) Dado RT e I, calcule R1 e E para o circuito dado:
Conceitos em Série
Rt=R1+R2+R3
R1=Rt-R2-R3=12k Ω -4k Ω -6k Ω
R1=2k Ω
E=? E=Rt*I=12 10^3 * 6.10^-3
E=72 .10^3-3=72.10^0
E=72.1=72V
E=72V
➢ As fontes de tensão podem ser conectadas em série, para
aumentar ou diminuir a tensão total aplicada a um sistema;
➢ A tensão resultante é determinada somando-se as tensões das
fontes de mesma polaridade e subtraindo-se as de polaridade
oposta.
Fontes de Tensão em Série
Fontes de Tensão em Série
➢ A Lei de Kirchhoff afirma que a soma algébrica das elevações
e quedas de potencial em uma malha fechada é zero.
1 2 0
E V V
+ − − =
1 2
E V V
= +
elevacoes quedas
V V
=
 
Lei de Kirchhoff para Tensões
➢ A tensão aplicada a um circuito em série é igual à soma das
quedas de tensão nos elementos em série;
➢ A aplicação da Lei de Kirchhoff não precisa seguir um
caminho que inclua elementos percorridos por corrente.
12 8 0
x
V
+ − − =
4
x
V V
=
Lei de Kirchhoff para Tensões
1) Determine as tensões desconhecidas nos circuitos:
EXEMPLO:
Lei de Kirchhoff para Tensões
16-V1-4,2-9=0
V1=16-4,2-9=2,8V
V1=2,8
32-12-Vx=0
-Vx=-32+12 (-1)
Vx=+32-12
Vx=20
20=Vx
Vx-6-14=0
Vx=+6+14
Vx=20V
2) Determine V1 e V2 para o circuito mostrado (Casa).
Lei de Kirchhoff para Tensões
3) Usando a Lei de Kirchhoff das tensões, determine a tensão
desconhecida para o circuito: (Casa)
Lei de Kirchhoff para Tensões
4) Para o circuito determine a resistência total, a corrente
fornecida pela fonte, a queda de tensão nos resistores, a
potência dissipada em cada resistor e a potência fornecida
pela fonte. (Casa)
Elementos em Série
➢ Elementos de circuitos em série podem ser intercambiados
sem que a resistência total, a corrente que circula e a potência
consumida pelos diferentes elementos sejam afetados.
Elementos em Série
1) Encontre a corrente e as tensões em cada resistor. (Casa)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO (CASA):
Elementos em Série
➢ A tensão entre os terminais dos elementos resistivos divide-se
na mesma proporção que os valores de resistência;
➢ A razão entre os valores das resistências determina a divisão
da tensão em um circuito c.c. em série.
Divisores de Tensão
➢ Regra dos divisores de tensão:
x
x
T
R E
V
R
=
Divisores de Tensão
1) Utilizando a regra dos divisores de tensão determine a tensão
V1 para o circuito em série.
EXEMPLO:
Divisores de Tensão
2) Utilizando a regra dos divisores de tensão determine a tensão
V1, V3 e V’ para o circuito em série.
Divisores de Tensão
➢ A tensão Vab é a tensão no ponto a em relação ao ponto b.
➢ Vab será positivo se o ponto “a” tem um potencial maior que o
ponto “b”;
➢ Vab será negativo se o ponto “b” tem um potencial maior que
o ponto “a”.
ab a b
V V V
= −
Duplo índice inferior
➢ O índice inferior único indica um ponto em relação ao
referencial terra.
Índice Inferior Único
➢ Dois elementos, ramos ou circuitos estão conectados em
paralelo quando possuem dois pontos em comum.
Circuitos em Paralelo
➢ O formato retangular das conexões não descaracteriza a
ligação em paralelo dos componentes.
Circuitos em Paralelo
➢ Os retângulos numerados são usados como símbolos
genéricos representando um resistor, ou uma bateria, ou até
mesmo circuitos complexos.
Circuitos em Paralelo
+ + + +
- - - -
Circuito Paralelo Fechado Circuito Paralelo Aberto
EXEMPLO:
Circuitos em Paralelo
➢ A resistência total de um conjunto de resistores em paralelo é
sempre menor que a do resistor de menor resistência.
1 2
1 1 1 1
T N
R R R R
= + + +
1
G
R
=
Circuitos em Paralelo
➢ A resistência total referente a dois resistores em paralelo é o
produto das duas resistência dividido pela sua soma.
➢ Elementos em paralelo podem ser intercambiados sem alterar
a resistência total ou a corrente total.
1 2
1 2
T
R R
R
R R
=
+
Circuitos em Paralelo
1) Determine a resistência equivalente dos circuitos:
EXEMPLO:
Circuitos em Paralelo
1 2
E V V
= =
1
1
1 1
V E
I
R R
= =
1 2
1 1 1
T
E E
R R R
   
= +
   
   
1 2
s
I I I
= +
Circuitos em Paralelo
➢ Para circuitos em paralelo com apenas uma fonte, a corrente
fornecida pela fonte é igual à soma das correntes em cada um
dos ramos do circuito.
➢ Para circuitos em paralelo com apenas uma fonte, cada ramo
do circuito tem a mesma tensão da fonte.
1 2
S
I I I I
= + + +
1 2
E V V V
= = = =
Circuitos em Paralelo
A Lei de Kirchhoff diz que a soma algébrica das correntes que
entram e saem de uma região, sistema ou nó é igual a zero. Ou, a
a soma das correntes que entram em uma região, sistema ou nó
tem de ser igual à soma das correntes que deixam essa mesma
região, sistema ou nó.
entram saem
I I
=
 
Leis de Kirchhoff para Correntes
➢ A aplicação mais comum da Lei de Kirchhoff será em junções
de dois ou mais caminhos para a corrente.
entram saem
I I
=
 
6 2 4
A A A
= +
Leis de Kirchhoff para Correntes
1) Determine as correntes I3 e I4 no circuito usando a lei de
Kirchhoff para corrente.
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Leis de Kirchhoff para Correntes
1) Determine as correntes I1 , I3, I4 e I5 para o circuito usando a
lei de Kirchhoff para corrente.
Leis de Kirchhoff para Correntes
➢ A regra do divisor de corrente nos diz como uma corrente que
entra em um conjunto de elementos em paralelos se dividirá
entre esses elementos.
Regra do Divisor de Correntes
➢ No caso de dois elementos em paralelo com resistência iguais,
a corrente se dividirá igualmente;
➢ Se os elementos em paralelo tiverem resistências diferentes, o
elemento de menor resistência será percorrido pela maior
fração da corrente.
Regra do Divisor de Correntes
➢ A corrente que percorre qualquer um dos ramos em paralelo é
igual ao produto da resistência total do circuito pela corrente
de entrada, dividido pelo valor da resistência no ramo em que
desejamos determinar a corrente.
Regra do Divisor de Correntes
O caso especial do divisor de corrente para dois resistores em
paralelo: para dois resistores em paralelo, a corrente através de
um é igual à resistência do outro vezes a corrente total de entrada
dividida pela soma dos dois resistores.
Regra do Divisor de Correntes
1. Para os circuitos da figura abaixo, determine as correntes
desconhecidas utilizando a regra do divisor de corrente
(10,48mA; 2A) .
Regra do Divisor de Correntes
1. Determine o valor do resistor R1 para o circuito abaixo.
(LKC e Div)
Regra do Divisor de Correntes
➢ Método de redução e retorno consiste em reduzir o circuito
em direção à fonte, determinar a corrente fornecida pela fonte
e então determinar o valor de grandeza desconhecida.
i i
i i
Método da Redução e Retorno (Circuitos Mistos)
Calcule a corrente I3 para o circuito em série-paralelo na figura
abaixo (R: 6mA).
Circuitos Mistos
a) Determine no circuito abaixo as correntes Is e I4. (CASA)
b) Determine também o valor da tensão V2 pelo método do divisor de
tensão.
c) Determine também a tensão no resistor R4 e R1.
d) Como vou inserir medidor de corrente e tensão para medir I4 e V2,
respectivamente.
Circuitos Mistos
a) Determine no circuito abaixo as correntes I4 e Is. (I4=1,46mA,
I1=1,40mA e Is=2,86 mA)
b) Determine também o valor da tensão V2 pelo método do
divisor de tensão. (V2=2,51V)
c) Determine também a tensão no resistor R4 e R1. (V4=12V e
V1=9,49V)
Circuitos Mistos
d) Como vou inserir medidor de corrente e tensão para medir I4 e V2,
respectivamente.
Circuitos Mistos
Modelagem e Simulação de Sistemas Elétricos e Magnéticos
Bibliografia
• Introdução à Análise de Circuitos, Robert BOYLESTAD, 12ª
Edição, Pearson, 2012.
• Circuitos elétricos, James W. NILSSON; Susan A. RIEDEL, 10ª
Edição, Pearson, 2015.
• Fundamentos de Circuitos Elétricos, Charles K. ALEXANDER;
Matthew N. O. SADIKU, 5ª Edição Bookman, 2013.

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Unidade Curricular Modelagem e Simulação de Sistemas Elétricos e Magnéticos.pdf

  • 1. Unidade Curricular Modelagem e Simulação de Sistemas Elétricos e Magnéticos Professores: Geraldo Rodrigues Silveira Neto Marcilio Cunha Nunes 2021-2 Unidade Acadêmica Itabira Engenharia Elétrica
  • 2. Modelagem e Simulação de Sistemas Elétricos e Magnéticos 2 Lei de Ohm (revisando da aula passada) ➢ Analogia: Seringa cheia de água. ➢ Processo de conversão de energia: V I R =
  • 3. Modelagem e Simulação de Sistemas Elétricos e Magnéticos Modelagem e Simulação de Sistemas Elétricos e Magnéticos 3 Lei de Ohm (revisando da aula passada) V I R = V R I =  V R I =
  • 4. ➢ Ramo: é um componente simples como um resistor ou outro elemento; ➢ Nó: é um ponto de conexão entre dois ou mais ramos. O nó engloba todos os pontos de mesmo potencial; ➢ Laço: Qualquer caminho fechado em um circuito, iniciando-se em um nó, passando por uma série de nós e retornando ao nó de partida sem passar por qualquer outro mais de uma vez. Conceitos de Circuitos
  • 5. • Componentes estão conectados em série se eles compartilharem exclusivamente um único nó e, consequentemente, serem percorridos pela mesma corrente; • Componentes estão conectados em paralelo se eles estiverem conectados aos mesmos dois nós e, consequentemente, tiverem a mesma tensão entre eles. Conceitos de Circuitos
  • 6. ➢ Um circuito consiste de um número qualquer de elementos unidos por seus terminais, estabelecendo pelo menos um caminho fechado através do qual o fluxo possa fluir; ➢ Duas configurações básicas para circuitos, série e a paralela, constituem a essência de circuitos mais complexos. Conceitos de Circuitos
  • 7. Dois elementos estão em série se: ➢ O ponto comum entre os dois elementos não está conectado a outro elemento percorrido por corrente. Os resistores R1 e R2 estão em série porque possuem apenas o ponto “b” em comum. Conceitos em Série
  • 8. ➢ Os resistores R1 e R2 não estão em série porque o ponto comum entre os dois elementos está conectado a outro elemento percorrido por corrente (R3). Conceitos em Série
  • 9. ➢ Em um circuito série a corrente é a mesma através dos elementos resistivos que o compõem. Conceitos em Série
  • 10. ➢ A resistência total ou resistência equivalente de resistores conectados em série é a soma das resistências individuais. S T V I R = 1 2 T N R R R R = + + + S P VI = 1 2 N S R R R P P P P = + + + Conceitos em Série
  • 11. 1) Para o circuito determine a resistência total, a corrente fornecida pela fonte, a queda de tensão nos resistores, a potência dissipada em cada resistor e a potência fornecida pela fonte. EXEMPLO: Conceitos em Série Rt= R1+R2+R3=2+1+5=8Ω I=V/R=20/8=2,5A
  • 12. 1) Calcular a queda de tensão nos resistores, a potência dissipada em cada resistor e a potência fornecida pela fonte. Conceitos em Série V1=? V2=? V3=? V1=I*R=2,5A *2Ω= 5V V2=2,5A*1Ω=2,5V V3=5Ω*2,5A=12,5V VT=5+2,5+12,5=20V E=20V P1=? P=V*I=5*2,5=12,5W P2=V*I= 2,5*2,5= 6,25W P3=12,5*2,5= 31,25W PF=V*I=20*2,5=50,00W PF=P1+P2+P3=50,00W
  • 13. 2) Dado RT e I, calcule R1 e E para o circuito dado: Conceitos em Série Rt=R1+R2+R3 R1=Rt-R2-R3=12k Ω -4k Ω -6k Ω R1=2k Ω E=? E=Rt*I=12 10^3 * 6.10^-3 E=72 .10^3-3=72.10^0 E=72.1=72V E=72V
  • 14. ➢ As fontes de tensão podem ser conectadas em série, para aumentar ou diminuir a tensão total aplicada a um sistema; ➢ A tensão resultante é determinada somando-se as tensões das fontes de mesma polaridade e subtraindo-se as de polaridade oposta. Fontes de Tensão em Série
  • 15. Fontes de Tensão em Série
  • 16. ➢ A Lei de Kirchhoff afirma que a soma algébrica das elevações e quedas de potencial em uma malha fechada é zero. 1 2 0 E V V + − − = 1 2 E V V = + elevacoes quedas V V =   Lei de Kirchhoff para Tensões
  • 17. ➢ A tensão aplicada a um circuito em série é igual à soma das quedas de tensão nos elementos em série; ➢ A aplicação da Lei de Kirchhoff não precisa seguir um caminho que inclua elementos percorridos por corrente. 12 8 0 x V + − − = 4 x V V = Lei de Kirchhoff para Tensões
  • 18. 1) Determine as tensões desconhecidas nos circuitos: EXEMPLO: Lei de Kirchhoff para Tensões 16-V1-4,2-9=0 V1=16-4,2-9=2,8V V1=2,8 32-12-Vx=0 -Vx=-32+12 (-1) Vx=+32-12 Vx=20 20=Vx Vx-6-14=0 Vx=+6+14 Vx=20V
  • 19. 2) Determine V1 e V2 para o circuito mostrado (Casa). Lei de Kirchhoff para Tensões
  • 20. 3) Usando a Lei de Kirchhoff das tensões, determine a tensão desconhecida para o circuito: (Casa) Lei de Kirchhoff para Tensões
  • 21. 4) Para o circuito determine a resistência total, a corrente fornecida pela fonte, a queda de tensão nos resistores, a potência dissipada em cada resistor e a potência fornecida pela fonte. (Casa) Elementos em Série
  • 22. ➢ Elementos de circuitos em série podem ser intercambiados sem que a resistência total, a corrente que circula e a potência consumida pelos diferentes elementos sejam afetados. Elementos em Série
  • 23. 1) Encontre a corrente e as tensões em cada resistor. (Casa) EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO (CASA): Elementos em Série
  • 24. ➢ A tensão entre os terminais dos elementos resistivos divide-se na mesma proporção que os valores de resistência; ➢ A razão entre os valores das resistências determina a divisão da tensão em um circuito c.c. em série. Divisores de Tensão
  • 25. ➢ Regra dos divisores de tensão: x x T R E V R = Divisores de Tensão
  • 26. 1) Utilizando a regra dos divisores de tensão determine a tensão V1 para o circuito em série. EXEMPLO: Divisores de Tensão
  • 27. 2) Utilizando a regra dos divisores de tensão determine a tensão V1, V3 e V’ para o circuito em série. Divisores de Tensão
  • 28. ➢ A tensão Vab é a tensão no ponto a em relação ao ponto b. ➢ Vab será positivo se o ponto “a” tem um potencial maior que o ponto “b”; ➢ Vab será negativo se o ponto “b” tem um potencial maior que o ponto “a”. ab a b V V V = − Duplo índice inferior
  • 29. ➢ O índice inferior único indica um ponto em relação ao referencial terra. Índice Inferior Único
  • 30. ➢ Dois elementos, ramos ou circuitos estão conectados em paralelo quando possuem dois pontos em comum. Circuitos em Paralelo
  • 31. ➢ O formato retangular das conexões não descaracteriza a ligação em paralelo dos componentes. Circuitos em Paralelo
  • 32. ➢ Os retângulos numerados são usados como símbolos genéricos representando um resistor, ou uma bateria, ou até mesmo circuitos complexos. Circuitos em Paralelo
  • 33. + + + + - - - - Circuito Paralelo Fechado Circuito Paralelo Aberto EXEMPLO: Circuitos em Paralelo
  • 34. ➢ A resistência total de um conjunto de resistores em paralelo é sempre menor que a do resistor de menor resistência. 1 2 1 1 1 1 T N R R R R = + + + 1 G R = Circuitos em Paralelo
  • 35. ➢ A resistência total referente a dois resistores em paralelo é o produto das duas resistência dividido pela sua soma. ➢ Elementos em paralelo podem ser intercambiados sem alterar a resistência total ou a corrente total. 1 2 1 2 T R R R R R = + Circuitos em Paralelo
  • 36. 1) Determine a resistência equivalente dos circuitos: EXEMPLO: Circuitos em Paralelo
  • 37. 1 2 E V V = = 1 1 1 1 V E I R R = = 1 2 1 1 1 T E E R R R     = +         1 2 s I I I = + Circuitos em Paralelo
  • 38. ➢ Para circuitos em paralelo com apenas uma fonte, a corrente fornecida pela fonte é igual à soma das correntes em cada um dos ramos do circuito. ➢ Para circuitos em paralelo com apenas uma fonte, cada ramo do circuito tem a mesma tensão da fonte. 1 2 S I I I I = + + + 1 2 E V V V = = = = Circuitos em Paralelo
  • 39. A Lei de Kirchhoff diz que a soma algébrica das correntes que entram e saem de uma região, sistema ou nó é igual a zero. Ou, a a soma das correntes que entram em uma região, sistema ou nó tem de ser igual à soma das correntes que deixam essa mesma região, sistema ou nó. entram saem I I =   Leis de Kirchhoff para Correntes
  • 40. ➢ A aplicação mais comum da Lei de Kirchhoff será em junções de dois ou mais caminhos para a corrente. entram saem I I =   6 2 4 A A A = + Leis de Kirchhoff para Correntes
  • 41. 1) Determine as correntes I3 e I4 no circuito usando a lei de Kirchhoff para corrente. EXEMPLO: Leis de Kirchhoff para Correntes
  • 42. 1) Determine as correntes I1 , I3, I4 e I5 para o circuito usando a lei de Kirchhoff para corrente. Leis de Kirchhoff para Correntes
  • 43. ➢ A regra do divisor de corrente nos diz como uma corrente que entra em um conjunto de elementos em paralelos se dividirá entre esses elementos. Regra do Divisor de Correntes
  • 44. ➢ No caso de dois elementos em paralelo com resistência iguais, a corrente se dividirá igualmente; ➢ Se os elementos em paralelo tiverem resistências diferentes, o elemento de menor resistência será percorrido pela maior fração da corrente. Regra do Divisor de Correntes
  • 45. ➢ A corrente que percorre qualquer um dos ramos em paralelo é igual ao produto da resistência total do circuito pela corrente de entrada, dividido pelo valor da resistência no ramo em que desejamos determinar a corrente. Regra do Divisor de Correntes
  • 46. O caso especial do divisor de corrente para dois resistores em paralelo: para dois resistores em paralelo, a corrente através de um é igual à resistência do outro vezes a corrente total de entrada dividida pela soma dos dois resistores. Regra do Divisor de Correntes
  • 47. 1. Para os circuitos da figura abaixo, determine as correntes desconhecidas utilizando a regra do divisor de corrente (10,48mA; 2A) . Regra do Divisor de Correntes
  • 48. 1. Determine o valor do resistor R1 para o circuito abaixo. (LKC e Div) Regra do Divisor de Correntes
  • 49. ➢ Método de redução e retorno consiste em reduzir o circuito em direção à fonte, determinar a corrente fornecida pela fonte e então determinar o valor de grandeza desconhecida. i i i i Método da Redução e Retorno (Circuitos Mistos)
  • 50. Calcule a corrente I3 para o circuito em série-paralelo na figura abaixo (R: 6mA). Circuitos Mistos
  • 51. a) Determine no circuito abaixo as correntes Is e I4. (CASA) b) Determine também o valor da tensão V2 pelo método do divisor de tensão. c) Determine também a tensão no resistor R4 e R1. d) Como vou inserir medidor de corrente e tensão para medir I4 e V2, respectivamente. Circuitos Mistos
  • 52. a) Determine no circuito abaixo as correntes I4 e Is. (I4=1,46mA, I1=1,40mA e Is=2,86 mA) b) Determine também o valor da tensão V2 pelo método do divisor de tensão. (V2=2,51V) c) Determine também a tensão no resistor R4 e R1. (V4=12V e V1=9,49V) Circuitos Mistos
  • 53. d) Como vou inserir medidor de corrente e tensão para medir I4 e V2, respectivamente. Circuitos Mistos
  • 54. Modelagem e Simulação de Sistemas Elétricos e Magnéticos Bibliografia • Introdução à Análise de Circuitos, Robert BOYLESTAD, 12ª Edição, Pearson, 2012. • Circuitos elétricos, James W. NILSSON; Susan A. RIEDEL, 10ª Edição, Pearson, 2015. • Fundamentos de Circuitos Elétricos, Charles K. ALEXANDER; Matthew N. O. SADIKU, 5ª Edição Bookman, 2013.