Transformadas clark e park

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Transformadas clark e park

  1. 1. Prof. Kleber Lima Transformada de Clarke e Park Centro de Tecnologia Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Aplicações de Eletrônica de Potência em Sistemas de Potência Departamento de Engenharia Elétrica
  2. 2. 2 Sumário • Objetivos • Introdução • Transformada de Clarke • Vetor espacial • Transformada de Park
  3. 3. 3 Objetivo • Compreensão da importância da mudança de coordenadas • Transformação de coordenadas abc para αβ • Compreensão e determinação do vetor girante • Transformação de coordenadas abc para dq
  4. 4. 4 Introdução • Fasores são números complexos utilizados para representar grandezas que variam senoidalmente no tempo • Por exemplo, a fmm com distribuição aproximadamente senoidal reproduzidas por cada enrolamento do estator de uma máquina trifásica, podem ser representadas pelos vetores espaciais (fasores espaciais) • A fmm do estator é a soma no espaço das fmms de cada fase, dada por:         2 4 2 3 3 cos cos coss a b c N F i t t i t t i t t π π ω ω ω                      
  5. 5. 5 Transformada de Clarke    2 cosav t V tω Seja o sistema trifásico definido pelos três fasores da Fig. 1, com equações:   2 2 3 cosbv t V t π ω         4 2 3 coscv t V t π ω       Fig. 1 ai 1N 1N 1N ci bi a c b
  6. 6. 6 Transformada de Clarke      1 2 4 2 2 3 3 cos cos eq a b c N N i i t i t i tα π π                    O vetor espacial da corrente é definido a partir da projeção da fmm de cada fase nos eixos ortogonais fictícios α e β.    1 2 4 2 2 3 3 sin sin eq b c N N i i t i tβ π π                   Fig. 2 Eixo Estacionário α β ai iβ iα 1N 1N 1N ci bi eqN eqN a c b
  7. 7. 7 Transformada de Clarke Após algumas simplificações, resulta nas expressões do sistema bifásico equivalente, dado por: 1 eq N k N      2 4 3 3 sin sinb ci k i t i tβ π π                   Invariância em potência 2 3 k Fig. 3       2 4 3 3 cos cosa b ci k i t i t i tα π π                    Eixo Estacionário α β ai iβ iα 1N 1N 1N ci bi eqN eqN a c b
  8. 8. 8 Transformada de Clarke Após algumas simplificações, resulta nas expressões do sistema bifásico equivalente, dado por: Fig. 4 1 1 1 2 2 2 3 3 3 0 2 2 α β                               a b c i i i i i Eixo Estacionário α β ai iβ iα 1N 1N 1N ci bi eqN eqN a c bSistema a três fios implica em ausência de componente homopolar
  9. 9. 9 Transformada de Clarke Fig. 5 0 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 3 2 2 3 3 0 2 2 α β                                             a b c i i i i i i Sistema com a presença de componente homopolar Eixo Estacionário α β ai iβ iα 1N 1N 1N ci bi eqN eqN a c b Componente homopolar
  10. 10. 10 Transformada de Clarke -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 100 110 120 130 140 Tempo (ms) Tensõesa,b,c(p.u.) -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 100 110 120 130 140 Tempo (ms) Tensõesoα,β(p.u.) abc Clarke vα vβ va vb vc
  11. 11. 11 Vetor Girante    2 cosav t V tω   2 2 3 cosbv t V t π ω         4 2 3 coscv t V t π ω       Seja o sistema trifásico definido a partir dos três fasores mostrado na figura, com expressões dadas a seguir: Segundo KOVACS, o vetor espacial é definido por:         2 4 0 3 3 j j j a b cv t v t e v t e v t e π π     Fig. 6 Eixo Estacionário α β ai iβ iα 1N 1N 1N ci bi eqN eqN a c b
  12. 12. 12 Vetor Girante Desenvolvendo...     0 2 3 4 3 2 2 2 3 4 2 3 cos cos cos j j j V t e V t e v t V t e π π ω π ω π ω                        0 2 2 23 3 3 4 4 43 3 3 2 2 2 2 2 2 j t j t j j t j t j j t j t j e e V e e e V e v t e e V e ω ω π π ω ω π π π ω ω π                                                                                 
  13. 13. 13 Vetor Girante Desenvolvendo...       4 3 2 3 2 2 2 2 2 2 j t j t j t j t j t j t e e V e e V v t e e V ω ω π ω ω π ω ω                                                                      4 3 2 3 2 2 2 2 2 2 j t j t j j t j t j j t j t e e V e e e V v t e e e V ω ω π ω ω π ω ω                                                 
  14. 14. 14 Vetor Girante Desenvolvendo...   2 2 4 4 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 cos sin cos sin j t j t j t j t j t j t e e V e e j V v t e e j V ω ω ω ω ω ω π π π π                                                                 
  15. 15. 15 Vetor Girante Desenvolvendo...   2 2 1 3 2 2 2 2 1 3 2 2 2 2 j t j t j t j t j t j t e e V e e j V v t e e j V ω ω ω ω ω ω                                                                                 3 2 2 j t v t Ve ω   Vetor Girante  v t  α β θ d dt θ ω  ω Fig. 7
  16. 16. 16 Vetor Girante   3 2 2 j t v t Ve ω   Vetor Girante  v t  α β θ d dt θ ω  ω  v t  θ ω aV bV cV Fig. 9 Fig. 8
  17. 17. 17 Transformada de Park    2 cosav t V tω Seja o sistema trifásico definido pelos três fasores da Fig. 8, com equações:   2 2 3 cosbv t V t π ω         4 2 3 coscv t V t π ω              1 2 4 2 2 3 3 cos cos cos eq d a b c N N i i t i t i t π π θ θ θ                              1 2 4 2 2 3 3 sin sin sin eq q a b c N N i i t i t i t π π θ θ θ                        Fig. 10 Eixo Girante d ai qi di 1N 1N 1N ci bi eqN eqN a c b q θ ω θ ω  d dt
  18. 18. 18 Transformada de Park EixodaFaseA Eixo da Fase c Eixo da Fase b Eixo em quadratura θ 1 eq N k N          2 4 3 3 cos cos cosd a b ci k i t i t i t π π θ θ θ                       Invariância em potência 2 3 k         2 4 3 3 sin sin sinq a b ci k i t i t i t π π θ θ θ                        Fig. 11
  19. 19. 19 Transformada de Park Após algumas simplificações, o sistema bifásico em coordenadas dq, é dado por:           2 4 3 32 3 2 4 3 3 π π θ θ θ π π θ θ θ                                                                  cos cos cos sin sin sin a d b q c i t i i t i i t Fig. 12 EixodaFaseA Eixo da Fase B Eixo da Fase C Eixo em quadratura θ Sistema a três fios implica em ausência de componente homopolar
  20. 20. 20 Transformada de Park Fig. 13 Fig. 14 ai 1N 1N 1N ci bi a c b Eixo Girante d qi di eqN eqN q θ ω Eixo Estacionário α β iβ iα eqN eqN θ ω  d dt
  21. 21. 21 Transformada de Clarke -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 100 110 120 130 140 Tempo (ms) Tensõesa,b,c(p.u.) abc Park Tempo (ms) Tensõesd,q(p.u.) -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 100 110 120 130 140 vd vq va vb vc
  22. 22. 22 Bibliografia 1. I. Boldea; S. A. Nasar, 2005, Electric Drives. 2nd. edition, CRC Press, New York, 544p. 2. W. Leonhard, 2001, Control of Electric Drives, 3rd. edition, Springer, New York, 470p. 3. P. C. Krause, 2002, Analysis of Electric Machinery and Drive Systems, 2nd. edition, Wiley-IEEE Press, New York, 600p. 4. P. K. Kovacs, 1984, Transiente Phenomena in Electrical Machines, Elsevier, Amsterdam, 392p.
  23. 23. 23 Perguntas?

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