Circuitos Elétricos II -

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE TUCURUÍ
FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA
DISCIPLINA: CIRCUITOS ELÉTRICOS II
REDES EQUIVALENTES E TEOREMAS SOBRE REDES
DISCENTES:
Ângelo Neto Cruz Aragão – 201933940002
Joanes Martins Galvão - 201933940007
Fredson Coutinho de Araújo Junior - 201933940014
Júlio Cesar de Araújo Ferreira - 201933940009
Willian Rodrigues Xavier - 201933940022
DOCENTE:
Profª. Dra. Andrécia Costa
TUCURUÍ – PA
2022

2. SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO;
2. ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES EM SÉRIE E DIVISÃO DE TENSÃO;
3. ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES EM PARALELO E DIVISÃO DE CORRENTE;
4. TRANSFORMAÇÕES Y-DELTA (ESTRELA-TRIÂNGULO);
5. CONVERSÃO DELTA-Y (TRIÂNGULO-ESTRELA);
6. TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO;
7. TEOREMA DE THÉVENIN;
8. TEOREMA DE NORTON;
9. TRANSFORMAÇÃO DE FONTES;
10. CONCLUSÃO;
11. REFERÊNCIAS.

3. 1. INTRODUÇÃO
 Os teoremas de redes sistematicamente facilitam a compreensão em
análises de circuitos complexos. Tais teoremas em circuitos elétricos são
sempre benéficos para ajudar a encontrar a tensão e as correntes. Esses
teoremas usam regras ou fórmulas fundamentais e equações básicas da
matemática para analisar componentes básicos de elétricos ou eletrônicos
em parâmetros como tensões, correntes, resistência e assim por diante. E
neste trabalho, será descrito cada teorema que facilita a compreensão dos
circuitos elétricos como teorema da Superposição, o teorema de Norton, o
teorema de transformação de fontes, teorema de Thevenin e métodos para
analisar circuitos.

4. 2. ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES EM SÉRIE E DIVISÃO DE
TENSÃO
 A resistência equivalente de qualquer número de resistores ligados em série é
a soma das resistências individuais como podemos observar no exemplo a
baixo:
A tensão em cima dos resistores é
dada por
𝑣1 = 𝑖𝑅1 𝑣2 = 𝑖𝑅2
𝑣 = 𝑣1 + 𝑣2 = 𝑖 𝑅1 + 𝑅2 ⟹ 𝑣 = 𝑖𝑅𝑒𝑞
𝑅𝑒𝑞 = 𝑅1 + 𝑅2 ou 𝑅𝑒𝑞 = 𝑅1 + 𝑅2 + ⋯ + 𝑅𝑛
Onde a tensão da fonte v é dividida entre os resistores na proporção direta de suas
resistências logo,
𝑣1 =
𝑅1
𝑅1+𝑅2
𝑣 , 𝑣2 =
𝑅2
𝑅1+𝑅2
𝑣 ou 𝑣𝑛 =
𝑅𝑛
𝑅1+𝑅2+⋯+𝑅𝑁
𝑣

5. 3. ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES EM PARALELO E DIVISÃO
DE CORRENTE
 A resistência equivalente de dois resistores em paralelo é igual ao produto de
suas resistências dividido pela sua soma.
 .
𝑣1 = 𝑖𝑅1 𝑣2 = 𝑖𝑅2
𝑖1 =
𝑣
𝑅1
, 𝑖2 =
𝑣
𝑅2
𝑖 =
𝑣
𝑅1
+
𝑣
𝑅2
= 𝑣
1
𝑅1
+
1
𝑅2
=
𝑣
𝑅𝑒𝑞
1
𝑅𝑒𝑞
=
1
𝑅1
+
1
𝑅2
ou
1
𝑅𝑒𝑞
=
1
𝑅1
+
1
𝑅2
+ ⋯ +
1
𝑅𝑁
Onde a corrente total i é compartilhada pelos dois resistores na proporção inversa
de suas resistências.
𝑖1 =
𝑅2𝑖
𝑅1+𝑅2
, 𝑖2 =
𝑅1𝑖
𝑅1+𝑅2

6. 4. TRANSFORMAÇÕES Y-DELTA (ESTRELA-TRIÂNGULO)
 Essas redes ocorrem por si só ou como parte de uma rede maior e são usadas em
redes trifásicas, filtros elétricos e circuitos adaptadores. Precisamos identificá-las
quando forem parte de uma rede e como aplicar a transformação Y-delta (ou
estrela-triângulo) na análise da rede. A baixo temos exemplos da rede ípsilon (Y) [a]
e tê (T) [b]:

7. 5. CONVERSÃO DELTA-Y (TRIÂNGULO-ESTRELA)
 Haverá casos que seja mais conveniente trabalhar com uma rede Y em um ponto
em que o circuito contém uma configuração delta. Sobrepomos uma rede Y à rede
delta existente e encontramos as resistências equivalentes na rede Y, e, para obtê-
las, comparamos as duas redes e nos certificamos de que a resistência entre cada
par de nós na rede ∆ (ou Π) é a mesma que a resistência entre o mesmo par de nós
na rede Y (ou T). A baixo temos exemplos da rede delta (∆) [a] e pi (Π) [b]:

8. 5. CONVERSÃO DELTA-Y (TRIÂNGULO-ESTRELA)
 A superposição das redes Y e ∆ como uma ferramenta na transformação de uma
em outra e o cálculo dessas transformações é realizado da seguinte forma:
Delta-Y(triângulo-estrela) Y-delta(estrela-triângulo)
𝑅1 =
𝑅𝑏𝑅𝑐
𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐
𝑅𝑎 =
𝑅1𝑅2 + 𝑅2𝑅3 + 𝑅3𝑅1
𝑅1
𝑅2 =
𝑅𝑐𝑅𝑎
𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐
𝑅𝑏 =
𝑅1𝑅2 + 𝑅2𝑅3 + 𝑅3𝑅1
𝑅2
𝑅3 =
𝑅𝑎𝑅𝑏
𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐
𝑅𝑐 =
𝑅1𝑅2 + 𝑅2𝑅3 + 𝑅3𝑅1
𝑅3

9.  Exemplo de transformação ∆ ⇒ 𝑌
𝑅1 =
𝑅𝑏𝑅𝑐
𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐
=
10 ∙ 25
10 + 15 + 25
=
250
50
= 5Ω
𝑅2 =
𝑅𝑏𝑅𝑐
𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐
=
15 ∙ 25
10 + 15 + 25
=
375
50
= 7,5Ω
𝑅3 =
𝑅𝑏𝑅𝑐
𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐
=
10 ∙ 15
10 + 15 + 25
=
150
50
= 3Ω

10.  Exemplo de transformação 𝑌 ⇒ ∆
𝑅𝑎 =
𝑅1𝑅2 + 𝑅2𝑅3 + 𝑅3𝑅1
𝑅1
=
10 ∙ 20 + 20 ∙ 40 + 40 ∙ 10
10
=
1400
10
= 140Ω
𝑅𝑏 =
𝑅1𝑅2 + 𝑅2𝑅3 + 𝑅3𝑅1
𝑅2
=
10 ∙ 20 + 20 ∙ 40 + 40 ∙ 10
20
=
1400
20
= 70Ω
𝑅𝑐 =
𝑅1𝑅2 + 𝑅2𝑅3 + 𝑅3𝑅1
𝑅3
=
10 ∙ 20 + 20 ∙ 40 + 40 ∙ 10
40
=
1400
40
= 35Ω

11. 6. TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO
 O princípio da superposição afirma que a tensão (ou a corrente) em um
elemento em um circuito linear é a soma algébrica da soma das tensões
(ou das correntes) naquele elemento em virtude da atuação isolada de
cada uma das fontes independentes.
 No entanto, para aplicar esse princípio, precisamos saber duas coisas:
 Consideramos uma fonte independente por vez enquanto todas as demais
fontes independentes estão desligadas. Isso implica substituir cada fonte de
tensão por 0 V (ou um curto-circuito) e cada fonte de corrente por 0 A (ou um
circuito aberto). Dessa maneira, obtemos um circuito mais simples e mais fácil
de manipular.
 As fontes dependentes são deixadas intactas, pois elas são controladas por
variáveis de circuito.

12. 6. TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO
 Etapas para a aplicação do princípio da superposição:
1. Desative todas as fontes independentes, exceto uma delas. Encontre
a saída (tensão ou corrente) em razão dessa fonte ativa usando as
técnicas para análise de circuitos;
2. Repita a etapa 1 para cada uma das demais fontes independentes;
3. Encontre a contribuição total somando algebricamente todas as
contribuições em razão das fontes independentes.

13. 6. TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO
 Exemplo: Usando o teorema da superposição para encontrar v no circuito.
 Solução: Como temos duas fontes, façamos que
𝑣 = 𝑣1 + 𝑣2

14. 6. TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO
 Solução:
 Aplicando LKT no laço da Figura (a) para obter 𝑣1, temos
− 6 + 12𝑖 = 0 ⇒ 𝑖3 =
6
12
= 0,5 𝐴
Pela lei de Ohm, temos
𝑣1 = 𝑅𝑖 = 4 ⋅ 0,5 = 2 𝑉
 Outra forma de encontra 𝑣1é pela divisão de tensão:
𝑣1 =
4
8 + 4
⋅ 6 ⇒ 𝑣1 =
4
12
⋅ 6 ⇒ 𝑣1 = 2 𝑉
 Para obter 𝑣2, aplicando divisão de
corrente na Figura (b), temos
𝑖3 =
8
4+8
⋅ 3 ⇒ 𝑖3 =
8
12
⋅ 3 ⇒ 𝑖3 = 2 𝐴
Pela lei de Ohm, temos
𝑣2 = 𝑅𝑖 = 4 ⋅ 2 = 8 𝑉
∴ 𝑣 = 𝑣1 + 𝑣2
𝑣 = 2 + 8 = 10 𝑉

15. 7. TEOREMA DE THÉVENIN
 O teorema de Thévenin afirma que qualquer circuito linear de dois
terminais pode ser substituído por um circuito equivalente, contendo uma
fonte de tensão 𝑉𝑇ℎ em série com um resistor 𝑅𝑇ℎ.

16. 7. TEOREMA DE THÉVENIN
 Este teorema permite a reprodução de circuitos complexos para uma forma
mais simples. Ele pode ser usado para:
 Analise de circuitos com fontes em série ou paralelo;
 Reduzir o circuito original para um com a mesma equivalência;
 Fazer alterações nos valores do circuito sem ter que levar em
consideração os efeitos das alterações em todos os elementos ou
malhas do circuito.

17. 7. TEOREMA DE THÉVENIN
 A grande questão é determinar corretamente os valores de 𝑉𝑇ℎ e 𝑅𝑇ℎ para que a
análise seja correta. Para isso, é preciso seguir os seguintes passos:
1. Determinar qual parte do circuito será substituída pelo equivalente de
Thévenin e a parte onde será feita a análise;
2. Assinalar os terminais do circuito remanescente a e b como veremos no
exemplo;
3. Considerar as fontes de tensão como curto-circuito e as fontes de correntes
como um circuito aberto. Feito isso, calcular 𝑅𝑇ℎ;
4. Calcular 𝑉𝑇ℎcom os valores das fontes recolocadas no circuito;
5. Desenhar o circuito equivalente de Thévenin utilizando 𝑉𝑇ℎ e 𝑅𝑇ℎ previamente
calculados; depois conectar a parte que foi retirada para a análise.

18. 7. TEOREMA DE THÉVENIN
 Exemplo:
1. A parte sombreada será
substituída pelo equivalente
de Thévenin.
2. Retirando 𝑅𝐿 identificamos os
terminais a e b.

19. 7. TEOREMA DE THÉVENIN
 Exemplo:
4. Devolvemos a fonte ao circuito e
calculamos 𝑉𝑇ℎ utilizando o
divisor de tensão.
3. Calculando 𝑅𝑇ℎ curto-circuitando
a fonte de tensão.

20. 7. TEOREMA DE THÉVENIN
 Exemplo:
5. Redesenhamos o circuito com 𝑉𝑇ℎ
e 𝑅𝑇ℎe colocamos 𝑅𝐿 de volta ao
circuito.
Dessa forma:
𝐼𝐿 =
𝑉𝑇ℎ
𝑅𝑇ℎ +𝑅𝐿

21. 7. TEOREMA DE THÉVENIN
 Exemplo:
 Usando este teorema, podemos mexer no valor de 𝑅𝐿 e calcular a
corrente facilmente, sem precisar recalcular os outros valores do circuito.
𝑅𝐿 = 2Ω → 𝐼𝐿 =
6𝑉
2Ω + 2Ω
= 1,5 𝐴
𝑅𝐿 = 10Ω → 𝐼𝐿 =
6𝑉
2Ω + 10Ω
= 0,5 𝐴

22. 8. TEOREMA DE NORTON
 O teorema de Norton determina que qualquer circuito bilateral, linear
de corrente contínua com dois terminais, pode ser substituído por
um circuito equivalente com uma fonte de corrente 𝐼𝑁 em paralelo
com uma resistência 𝑅𝑁.

23. 8. TEOREMA DE NORTON
 A resistência do gerador de Norton é a mesma do gerador de
Thévenin, logo, pela dualidade entre os geradores de tensão e
corrente, temos:
 Para determinar a corrente equivalente de Norton e a resistência
equivalente de Norton corretamente, vamos seguir os seguintes
passos:
1 - Remova do circuito a parte que será transformada no circuito
equivalente de Norton;
2 - Assinale os pontos a e b do restante do circuito;
𝑅𝑇ℎ = 𝑅𝑁 𝑉𝑇ℎ = 𝑅𝑁 × 𝐼𝑁

24. 8. TEOREMA DE NORTON
3 - Substitua as fontes de tensão por curtos-circuitos, e as fontes
de corrente por circuitos abertos para calcular a resistência
equivalente de Norton;
4 - Para calcular a corrente equivalente de Norton, retorne com as
fontes de tensão e corrente. Em seguida determine a corrente
nos terminais a e b;
5 - Desenhe o circuito equivalente de Norton com os valores
equivalentes de corrente e resistência. Depois coloque nos
terminais a e b, a parte intacta do circuito original.

25. 8. TEOREMA DE NORTON
 Exemplo:
 Removendo do circuito a parte que será transformada no
equivalente de Norton e assinalando os pontos a e b, temos:

26. 8. TEOREMA DE NORTON
 Exemplo:
 Substituindo as fontes de tensão por curto circuitos para calcular a
resistência equivalente de Norton.
𝑅𝑁 = 𝑅1||𝑅2 = 3𝛺 ||6𝛺 =
3𝛺 6𝛺
3𝛺 + 6𝛺
=
18𝛺
9𝛺
= 2𝛺

27. 8. TEOREMA DE NORTON
 Exemplo:
 O quarto passo indica claramente que o curto circuito entre os
terminais a e b está em paralelo com 𝑅2, eliminando qualquer efeito
desta resistência. Portanto, 𝐼𝑁 é a corrente que atravessa 𝑅1 e toda
a tensão da fonte aparece nos terminais de 𝑅1.
𝑉2 = 𝐼2𝑅2 = 0 6𝛺 = 0𝑉
𝐼𝑁 =
𝐸
𝑅1
=
9𝑉
3𝛺
= 3𝐴

28. 8. TEOREMA DE NORTON
 Exemplo:
 No quinto passo, temos o desenho do circuito equivalente de Norton
com a parte intacta do circuito recolocada.
 Assim, para qualquer valor de RL, o restante do circuito não precisa ser
alterado.

29. 8. TEOREMA DE NORTON
 Exemplo:
 As fontes dependentes e independentes são tratadas da mesma forma
que no teorema de Thévenin.
 Basicamente a relação entre os dois teoremas fica evidente pela
equação,
𝐼𝑁 =
𝑉𝑁
𝑅𝑁
=
𝑉𝑇ℎ
𝑅𝑇ℎ
.
 Isso é, basicamente, transformação de fontes. Por essa razão, a
transformação de fontes é muitas vezes chamada de transformação
Thévenin Norton.

30. 9. TRANSFORMAÇÃO DE FONTES
 .
 . A transformação de fontes é outra ferramenta que ajuda a simplificá-los.
Fundamental para essas ferramentas é o conceito de equivalência.
Lembramos que um circuito equivalente é um circuito cujas curvas
características v-i são idênticas à do circuito original.
 Transformação de fontes é o processo de substituir uma fonte de tensão vs em
série com um resistor R por uma fonte de corrente is em paralelo com um
resistor R, ou vice-versa.

31. 9. TRANSFORMAÇÃO DE FONTES
 . A transformação de fontes requer que:
 na Equação acima, note que a transformação de fontes não é possível quando R =
0, que é o caso de uma fonte de tensão ideal. Entretanto, para uma fonte de
tensão não ideal, R 0. De forma similar, uma fonte de corrente ideal com R = `
não pode ser substituída por uma fonte de tensão.

32. 9. TRANSFORMAÇÃO DE FONTES
Use transformação de fontes para determinar Vo no circuito da Figura abaixo:
Figura 1

33. 10. CONCLUSÃO
 Concluímos que, os estudos sobre teoremas de redes e redes
equivalentes, são de suma importância para a formação acadêmica
dos estudantes da área de Engenharia Elétrica, uma vez que, as
observações teóricas dos circuitos analisados utilizando tais
teoremas, têm uma grande proximidade com o que é visto na
prática. Com isso, através desses estudos, as aplicabilidades em
projetos futuros ficam cada vez mais simplificados para uma ótima
obtenção das análises dos resultados previstos.

34. 11. REFERÊNCIAS
Oliveira de B Newton – Circuitos elétricos no domínio do tempo e da frequência - Editora
da UFBA, Rua Barão de Jeremoabo, s/n – Campus de Ondina 40170-290 – Salvador – BA. Tel:
+55 71 3283-6164 Fax: +55 71 3283-6160. www.edufba.ufba.bredufba@ufba.br
enrique Mattede. Teoremas de Thévenin e Norton. Disponível em:
https://www.mundodaeletrica.com.br/teoremas-de-thevenin-norton/ Acesso em: 22/04/22
HELERBROCK, Rafael. Leis de Kirchhoff; Disponível em:
https://brasilescola.uol.com.br/fisica/leis-de-kirchhoff.htm. Acesso em 22 de abril de 2022.
S/A. Introdução aos Teoremas de Rede em Engenharia Elétrica. Disponível em: https://jf-
parede.pt/introduction-network-theorems-electrical-engineering. Acesso em 22 de abril de
2022.
S/A. Experiência 12: Teorema de Thevenin. Disponível em:
http://www.eletronica24h.net.br/aulaaexpccpratica012.html. Acesso em 22 de abril de 2022.
AFONSO, Antonio Pereira. ENIO, Filoni (autores); Tsuyoshi Okihiro (revisor); Jun Suzuki
(coordenador). Título ELETRÔNICA: CIRCUITOS ELÉTRICOS. São Paulo: Fundação Padre
Anchieta, 2011 (Coleção Técnica Interativa. Série Eletrônica, v.1).
J A M E S W, Nilsson - R I E D E L, Susan A. – CIRCUITOS ELÉTRICOS 10ª EDIÇÃO.