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Essencial:
Números racionais não
negativos
Números racionais
Os números que podem ser representados através de uma fração dizem-se
números racionais.
Exemplos:
 O número natural 2 é racional.
De facto, 2 =
10
5
, por exemplo.
 Os numerais decimais 0,27 e 12,1 são números racionais.
De facto, 0,27 =
27
100
e 12,1 =
121
10
.
 29% é um número racional.
Neste caso, 29% =
29
100
.
Simplificação de frações
Simplificar uma fração é encontrar uma fração equivalente dividindo ambos
os termos por um divisor comum superior à unidade.
Quando não for possível simplificar uma fração diz-se que ela é irredutível.
Exemplos:
 é a fração irredutível equivalente a . 8
12
=
2
3
÷ 4
÷ 4
2
3
 é a fração irredutível equivalente a .
450
500
=
45
50
÷ 10
÷ 10
9
10
8
12
450
500
=
9
10
÷ 5
÷ 5
Comparação de frações
Para comparar frações com numeradores e denominadores diferentes,
determinam-se frações que lhes sejam equivalentes, com o mesmo
denominador, e, de seguida, comparam-se os numeradores.
Exemplo: Qual é maior?
7
9
ou
5
6
?
7
9
=
14
18
× 2
× 2
5
6
=
15
18
× 3
× 3
14
18
<
15
18
𝟕
𝟗
<
𝟓
𝟔
Adição e subtração de números racionais
Para adicionar frações com denominadores diferentes, substituem-se as
frações dadas por frações que lhes sejam equivalentes, mas com o
mesmo denominador, e, de seguida, adicionam-se os numeradores,
mantendo-se o denominador.
Exemplo:
2
3
+
1
6
=
4
6
+
1
6
=
5
6
Para subtrair frações com denominadores diferentes, substituem-se as
frações dadas por frações que lhes sejam equivalentes, mas com o
mesmo denominador, e, de seguida, subtraem-se os numeradores,
mantendo-se o denominador.
Exemplo:
2
4
−
1
6
=
6
12
−
2
12
=
4
12
=
1
3
Multiplicação de números racionais
representados por frações
Para multiplicar números racionais representados por frações,
multiplicam-se os numeradores e multiplicam-se os denominadores.
Exemplo:
2
3
×
1
6
=
2 × 1
3 × 6
=
2
18
=
1
9
Inverso de um número
Dois números racionais dizem-se inversos um do outro quando o seu
produto é 𝟏.
Exemplos:
5
3
×
3
5
= 𝟏
5
3
e
3
5
são números inversos um do outro.
7 ×
1
7
= 𝟏
0,9 ×
10
9
= 𝟏 0,9 e
10
9
são números inversos um do outro.
1,25 ×
4
5
= 𝟏
125
100
=
5
4
÷ 25
÷ 25
1,25 =
Nota:
7 e
1
7
são números inversos um do outro.
1,25 e
4
5
são números inversos um do outro.
Divisão de números racionais
representados por frações
Para dividir dois números racionais representados por frações, multiplica-
se o dividendo pelo inverso do divisor.
Exemplo:
10
7
÷
𝟐
𝟓
=
10
7
×
𝟓
𝟐
=
50
14
=
25
7
=
10 × 5
7 × 2
é o inverso de .
2
5
5
2
O quociente como razão
Desta forma,
O quociente pode ser representado pela razão .
𝑎
𝑏
÷
𝑐
𝑑
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
=
𝒂
𝒃
×
𝒅
𝒄
𝒂
𝒃
𝒄
𝒅
A representação anterior designa-se por razão de dois números racionais.
Exemplos:
5
7
3
= 5 ×
3
7
=
15
7
 =
1
6
×
4
3
=
4
18

1
6
3
4
=
2
9
Numerais mistos
Uma fração diz-se imprópria quando o numerador é maior do que o
denominador.
Um numeral misto é a representação simplificada da soma de um número
natural com um número fracionário menor do que 𝟏.
Exemplo:
29 > 9
29
9
A fração é imprópria, dado que .
29
9
= 3 +
2
9
= 3
2
9
29 9
2 3
29 = 3 × 9 + 2
29
9
=
3 × 9
9
+
2
9
29
9
= 3 +
2
9
Numeral
misto
Adição e subtração de numerais mistos
Para adicionar dois numerais mistos, adicionam-se as partes inteiras e as
frações próprias respetivas.
Exemplo:
Para subtrair dois numerais mistos, subtraem-se as partes inteiras e as
frações próprias respetivas.
3
2
3
+ 2
1
6
= 3 + 2 +
2
3
+
1
6
= 5 +
4
6
+
1
6
= 5 +
5
6
= 5
5
6
Exemplo:
3
2
3
− 2
1
6
= 3 − 2 +
2
3
−
1
6
= 1 +
4
6
−
1
6
= 1 +
3
6
= 1
3
6
= 1
1
2
Percentagens
Uma percentagem é uma razão onde o denominador é 𝟏𝟎𝟎.
O símbolo % lê-se «por cento».
Exemplo:
=
3
10
30% = 0,3
Percentagem
=
30
100
Fração
Fração
irredutível
Dízima finita
(numeral decimal)
30
100
A fração representa uma percentagem, pois o seu denominador é 100.
Valores aproximados
Aproximação por defeito
O valor aproximado de um número é menor do que esse número.
Aproximação por excesso
O valor aproximado de um número é maior do que esse número.
Método do arredondamento
 Se o primeiro algarismo a omitir for igual ou superior 5, faz-se uma
aproximação por excesso;
 Se o primeiro algarismo a omitir for inferior a 5, faz-se uma aproximação
por defeito.
Valores aproximados
Exemplo:
40
7
Aproximação…
Arredondamento…
…por defeito… …por excesso…
…às unidades
(0 𝑐. 𝑑.)
…às décimas
(1 𝑐. 𝑑.)
…às centésimas
(2 𝑐. 𝑑.)
…às milésimas
(3 𝑐. 𝑑.)
Na divisão de 40 por 7 obtemos a dízima infinita parcialmente representada.
= 5,714 285 714 285 714 …
5 6 6
5,7 5,8 5,7
5,71 5,72 5,71
5,714 5,714
5,715
Propriedades da adição
 Propriedade comutativa: a soma de dois números não se altera quando
se troca a ordem das parcelas.
Exemplo:
2
5
+
8
5
=
8
5
+
2
5
 Propriedade associativa: a soma não se altera quando se associam as
parcelas de um modo diferente.
Exemplo: 0,3 + 1,45 + 0,7 = 0,3 + 1,45 + 0,7
0,3 + 1,45 + 0,7
De facto,
2 2
= 1,75 + 0,7 = 2,45
0,3 + (1,45 + 0,7) = 0,3 + 2,15 = 2,45
Propriedades da adição
 Existência de elemento neutro: o zero.
Exemplo:
3
7
+ 0 = 0 +
3
7
=
3
7
Assim, a soma de qualquer número com 0 é sempre o próprio número.
As propriedades da adição podem facilitar o cálculo do valor de
uma expressão numérica.
Exemplo:
1
2
+ 1,75 +
1
2
Propriedade comutativa da adição
Propriedade associativa da adição
= 2,75
= 1,75 +
1
2
+
1
2
= 1,75 + 1
1
Propriedades da multiplicação
 Propriedade comutativa: quando se troca a ordem dos fatores o produto
não se altera.
Exemplo: 4 ×
3
5
=
3
5
× 4
 Propriedade associativa: o produto não se altera quando se associam os
fatores de um modo diferente.
Exemplo: 3 ×
1
3
× 0,2 = 3 ×
1
3
× 0,2
=
12
5
3 ×
1
3
× 0,2 = 1 ×
2
10
=
2
10
=
1
5
3 ×
1
3
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1
3
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2
10
= 3 ×
2
30
=
6
30
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1
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Propriedades da multiplicação
 Existência de elemento neutro: o número 1.
Exemplo:
5
7
× 1 = 1 ×
5
7
=
5
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 Existência de elemento absorvente: o número zero.
Exemplo: 1,37 × 0 = 0 × 1,37 = 0
 Existência de elemento inverso: todo o número racional não nulo tem
inverso.
Exemplo: O inverso de
3
7
é
7
3
.
3
7
×
7
3
= 1
Repara que .
Nota que zero não tem inverso.
Propriedade distributiva
 Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição
O produto de um número por uma soma é igual à soma dos produtos desse
número por cada uma das parcelas da soma.
Exemplo:
5
2
×
4
3
+ 0,1 =
 Propriedade distributiva da multiplicação em relação à subtração
O produto de um número por uma diferença é igual à diferença entre o
produto desse número pelo aditivo e o produto desse número pelo subtrativo.
5
2
×
4
3
+
5
2
× 0,1
Exemplo:
4
7
×
10
3
−
1
6
=
4
7
×
10
3
−
4
7
×
1
6
Expressões numéricas
Para determinar o valor de uma expressão numérica, deve-se proceder do
seguinte modo:
Exemplo:
1.º calcular o valor das expressões que se encontram dentro de parênteses;
2.º ter em atenção que a multiplicação e a divisão têm prioridade sobre a
adição e a subtração;
3.º efetuar as operações que têm a mesma prioridade pela ordem em que
aparecem.
2
5
× 2 +
3
2
÷
1
5
− 1,2 =
2
5
× 2 +
3
2
× 5 − 1,2 =
2
5
× 2 +
15
2
− 1,2 =
=
2
5
×
4
2
+
15
2
− 1,2 =
2
5
×
19
2
− 1,2 =
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  • 2. Números racionais Os números que podem ser representados através de uma fração dizem-se números racionais. Exemplos:  O número natural 2 é racional. De facto, 2 = 10 5 , por exemplo.  Os numerais decimais 0,27 e 12,1 são números racionais. De facto, 0,27 = 27 100 e 12,1 = 121 10 .  29% é um número racional. Neste caso, 29% = 29 100 .
  • 3. Simplificação de frações Simplificar uma fração é encontrar uma fração equivalente dividindo ambos os termos por um divisor comum superior à unidade. Quando não for possível simplificar uma fração diz-se que ela é irredutível. Exemplos:  é a fração irredutível equivalente a . 8 12 = 2 3 ÷ 4 ÷ 4 2 3  é a fração irredutível equivalente a . 450 500 = 45 50 ÷ 10 ÷ 10 9 10 8 12 450 500 = 9 10 ÷ 5 ÷ 5
  • 4. Comparação de frações Para comparar frações com numeradores e denominadores diferentes, determinam-se frações que lhes sejam equivalentes, com o mesmo denominador, e, de seguida, comparam-se os numeradores. Exemplo: Qual é maior? 7 9 ou 5 6 ? 7 9 = 14 18 × 2 × 2 5 6 = 15 18 × 3 × 3 14 18 < 15 18 𝟕 𝟗 < 𝟓 𝟔
  • 5. Adição e subtração de números racionais Para adicionar frações com denominadores diferentes, substituem-se as frações dadas por frações que lhes sejam equivalentes, mas com o mesmo denominador, e, de seguida, adicionam-se os numeradores, mantendo-se o denominador. Exemplo: 2 3 + 1 6 = 4 6 + 1 6 = 5 6 Para subtrair frações com denominadores diferentes, substituem-se as frações dadas por frações que lhes sejam equivalentes, mas com o mesmo denominador, e, de seguida, subtraem-se os numeradores, mantendo-se o denominador. Exemplo: 2 4 − 1 6 = 6 12 − 2 12 = 4 12 = 1 3
  • 6. Multiplicação de números racionais representados por frações Para multiplicar números racionais representados por frações, multiplicam-se os numeradores e multiplicam-se os denominadores. Exemplo: 2 3 × 1 6 = 2 × 1 3 × 6 = 2 18 = 1 9
  • 7. Inverso de um número Dois números racionais dizem-se inversos um do outro quando o seu produto é 𝟏. Exemplos: 5 3 × 3 5 = 𝟏 5 3 e 3 5 são números inversos um do outro. 7 × 1 7 = 𝟏 0,9 × 10 9 = 𝟏 0,9 e 10 9 são números inversos um do outro. 1,25 × 4 5 = 𝟏 125 100 = 5 4 ÷ 25 ÷ 25 1,25 = Nota: 7 e 1 7 são números inversos um do outro. 1,25 e 4 5 são números inversos um do outro.
  • 8. Divisão de números racionais representados por frações Para dividir dois números racionais representados por frações, multiplica- se o dividendo pelo inverso do divisor. Exemplo: 10 7 ÷ 𝟐 𝟓 = 10 7 × 𝟓 𝟐 = 50 14 = 25 7 = 10 × 5 7 × 2 é o inverso de . 2 5 5 2
  • 9. O quociente como razão Desta forma, O quociente pode ser representado pela razão . 𝑎 𝑏 ÷ 𝑐 𝑑 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 = 𝒂 𝒃 × 𝒅 𝒄 𝒂 𝒃 𝒄 𝒅 A representação anterior designa-se por razão de dois números racionais. Exemplos: 5 7 3 = 5 × 3 7 = 15 7  = 1 6 × 4 3 = 4 18  1 6 3 4 = 2 9
  • 10. Numerais mistos Uma fração diz-se imprópria quando o numerador é maior do que o denominador. Um numeral misto é a representação simplificada da soma de um número natural com um número fracionário menor do que 𝟏. Exemplo: 29 > 9 29 9 A fração é imprópria, dado que . 29 9 = 3 + 2 9 = 3 2 9 29 9 2 3 29 = 3 × 9 + 2 29 9 = 3 × 9 9 + 2 9 29 9 = 3 + 2 9 Numeral misto
  • 11. Adição e subtração de numerais mistos Para adicionar dois numerais mistos, adicionam-se as partes inteiras e as frações próprias respetivas. Exemplo: Para subtrair dois numerais mistos, subtraem-se as partes inteiras e as frações próprias respetivas. 3 2 3 + 2 1 6 = 3 + 2 + 2 3 + 1 6 = 5 + 4 6 + 1 6 = 5 + 5 6 = 5 5 6 Exemplo: 3 2 3 − 2 1 6 = 3 − 2 + 2 3 − 1 6 = 1 + 4 6 − 1 6 = 1 + 3 6 = 1 3 6 = 1 1 2
  • 12. Percentagens Uma percentagem é uma razão onde o denominador é 𝟏𝟎𝟎. O símbolo % lê-se «por cento». Exemplo: = 3 10 30% = 0,3 Percentagem = 30 100 Fração Fração irredutível Dízima finita (numeral decimal) 30 100 A fração representa uma percentagem, pois o seu denominador é 100.
  • 13. Valores aproximados Aproximação por defeito O valor aproximado de um número é menor do que esse número. Aproximação por excesso O valor aproximado de um número é maior do que esse número. Método do arredondamento  Se o primeiro algarismo a omitir for igual ou superior 5, faz-se uma aproximação por excesso;  Se o primeiro algarismo a omitir for inferior a 5, faz-se uma aproximação por defeito.
  • 14. Valores aproximados Exemplo: 40 7 Aproximação… Arredondamento… …por defeito… …por excesso… …às unidades (0 𝑐. 𝑑.) …às décimas (1 𝑐. 𝑑.) …às centésimas (2 𝑐. 𝑑.) …às milésimas (3 𝑐. 𝑑.) Na divisão de 40 por 7 obtemos a dízima infinita parcialmente representada. = 5,714 285 714 285 714 … 5 6 6 5,7 5,8 5,7 5,71 5,72 5,71 5,714 5,714 5,715
  • 15. Propriedades da adição  Propriedade comutativa: a soma de dois números não se altera quando se troca a ordem das parcelas. Exemplo: 2 5 + 8 5 = 8 5 + 2 5  Propriedade associativa: a soma não se altera quando se associam as parcelas de um modo diferente. Exemplo: 0,3 + 1,45 + 0,7 = 0,3 + 1,45 + 0,7 0,3 + 1,45 + 0,7 De facto, 2 2 = 1,75 + 0,7 = 2,45 0,3 + (1,45 + 0,7) = 0,3 + 2,15 = 2,45
  • 16. Propriedades da adição  Existência de elemento neutro: o zero. Exemplo: 3 7 + 0 = 0 + 3 7 = 3 7 Assim, a soma de qualquer número com 0 é sempre o próprio número. As propriedades da adição podem facilitar o cálculo do valor de uma expressão numérica. Exemplo: 1 2 + 1,75 + 1 2 Propriedade comutativa da adição Propriedade associativa da adição = 2,75 = 1,75 + 1 2 + 1 2 = 1,75 + 1 1
  • 17. Propriedades da multiplicação  Propriedade comutativa: quando se troca a ordem dos fatores o produto não se altera. Exemplo: 4 × 3 5 = 3 5 × 4  Propriedade associativa: o produto não se altera quando se associam os fatores de um modo diferente. Exemplo: 3 × 1 3 × 0,2 = 3 × 1 3 × 0,2 = 12 5 3 × 1 3 × 0,2 = 1 × 2 10 = 2 10 = 1 5 3 × 1 3 × 0,2 = 3 × 1 3 × 2 10 = 3 × 2 30 = 6 30 = 1 5
  • 18. Propriedades da multiplicação  Existência de elemento neutro: o número 1. Exemplo: 5 7 × 1 = 1 × 5 7 = 5 7  Existência de elemento absorvente: o número zero. Exemplo: 1,37 × 0 = 0 × 1,37 = 0  Existência de elemento inverso: todo o número racional não nulo tem inverso. Exemplo: O inverso de 3 7 é 7 3 . 3 7 × 7 3 = 1 Repara que . Nota que zero não tem inverso.
  • 19. Propriedade distributiva  Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição O produto de um número por uma soma é igual à soma dos produtos desse número por cada uma das parcelas da soma. Exemplo: 5 2 × 4 3 + 0,1 =  Propriedade distributiva da multiplicação em relação à subtração O produto de um número por uma diferença é igual à diferença entre o produto desse número pelo aditivo e o produto desse número pelo subtrativo. 5 2 × 4 3 + 5 2 × 0,1 Exemplo: 4 7 × 10 3 − 1 6 = 4 7 × 10 3 − 4 7 × 1 6
  • 20. Expressões numéricas Para determinar o valor de uma expressão numérica, deve-se proceder do seguinte modo: Exemplo: 1.º calcular o valor das expressões que se encontram dentro de parênteses; 2.º ter em atenção que a multiplicação e a divisão têm prioridade sobre a adição e a subtração; 3.º efetuar as operações que têm a mesma prioridade pela ordem em que aparecem. 2 5 × 2 + 3 2 ÷ 1 5 − 1,2 = 2 5 × 2 + 3 2 × 5 − 1,2 = 2 5 × 2 + 15 2 − 1,2 = = 2 5 × 4 2 + 15 2 − 1,2 = 2 5 × 19 2 − 1,2 = = 38 10 − 12 10 = 26 10 = 13 5