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Matemática e suas Tecnologias,
Matemática
Ensino Médio, 2ª Série
Trigonometria no ciclo trigonométrico

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano
Os biólogos de uma reserva ecológica descobriram
que a população P de animais, de certa espécie
presente na reserva, variava, durante o ano,
segundo a fórmula
onde t é o tempo medido em meses e t=1
corresponde ao mês de janeiro.
Qual seria a população de animais dessa espécie na
reserva no mês de novembro (1)?

Ao analisarmos a situação-problema, percebemos
que a população depende do tempo,ou seja, está em
função do tempo.
Dessa forma, a resolução do problema se dá pela
substituição de t (tempo), por um determinado valor,
no caso t=11, uma vez que, necessitamos saber a
população no mês de novembro e, como foi colocado
em janeiro t=1, daí t=11 ser novembro.

Portanto:
Ao substituirmos t=11, nos deparamos com outra
situação:
Como encontramos o cosseno de um ângulo cujo
valor é maior que 360°?

Para responder a essa questão,
precisamos fazer um estudo do seno e
do cosseno de um arco, baseado em
nossos conhecimentos de trigonometria
no triângulo retângulo
a = medida da hipotenusa
b e c = medidas dos
catetos
Imagem: Modificada por, Gustavb usando a original de Eukleides / GNU Free Documentation License.

Razões trigonométricas no triângulo
retângulo
Num triângulo retângulo, podemos estabelecer
razões entre as medidas dos seus lados:
catetos, que formam o ângulo reto, e hipotenusa,
que se opõe ao ângulo reto.
Consideremos o triângulo ABC retângulo em e
um ângulo agudo de medida .
Imagem:
Modificada
por,
Gustavb
usando
a
original
de
Eukleides
/
GNU
Free
Documentation
License.

 Razão 1 – Seno de um ângulo agudo
 Razão 2 – Cosseno de um ângulo agudo
 Razão 3 – Tangente de um ângulo agudo

Exemplo:
Consideremos o triângulo ABC, retângulo em A.
Então:
C
A
B
16
12
20 β
α

A ideia de seno e cosseno
de um número real
Consideremos, no ciclo trigonométrico, o ponto M,
que é a imagem do número real x, conforme indica a
figura.
v
M” M
M’
x
O A u

Consideremos, também, o arco AM, que corresponde
ao ângulo central de medida x. Seja OM o raio do
ciclo, e M’’ e M’ as projeções do ponto M nos eixos v
e u, respectivamente.
v
M” M
M’
x
O
A
u

Do triângulo retângulo OM’M, temos:
Definimos:
• Seno de x é a ordenada do ponto M.
• Cosseno de x é a abcissa do ponto M.

O eixo v é o eixo dos senos e o eixo u é o eixo dos
cossenos.
Daí, se M é um ponto do ciclo trigonométrico, podemos
escrever: M (cos x, sen x).
Essa nova definição tem a vantagem de não ficar restrita
aos ângulos agudos. Agora podemos falar em seno e
cosseno de arcos (ou ângulos) de qualquer medida.
v
M” M
M’
x
O A u

No segundo quadrante, o seno é positivo e o cosseno é
negativo.
M”
M
M’ O A
sen x
cos x

No terceiro quadrante, o seno é negativo e o cosseno é
negativo.
M”
M
M’
O A
sen x
cos x

No quarto quadrante, o seno é negativo e o cosseno é
positivo.
M”
M’
M
cos x
O
A
sen x

Valores importantes de sen x e cos x
Vamos destacar os valores do
seno e cosseno para os arcos
com extremidade nas
extremidades dos quadrantes e
aqueles de 1º quadrante já
calculados nos triângulos
retângulos.
z=180º
270º = 3 π / 2
2 π = 360º
cos
sen 90º = π/ 2
60º = (π/ 3)
45º = (π/ 4)
30º = (π/ 6)
0º = 0
O 1 / 2
1 / 2
√2 / 2
√2/ 2
√3 / 2
√3/ 2

Valores importantes de sen x e cos x
ARCO
0º
(0)
30º
(π/6)
45º
(π/4)
60º
(π/3)
90º
(π/2)
180º
(π)
270º
(3π/2)
360º
(2π)
SEN 0 ½ √2/2 √3/2 1 0 -1 0
COS 1 √3/2 √2/2 ½ 0 -1 0 1

Simetria no estudo do seno e cosseno
Usando a simetria, podemos
relacionar o seno e cosseno de um
arco de qualquer quadrante com os
valores do primeiro quadrante.
Desse modo, estaremos fazendo
uma redução ao 1º quadrante.

 Redução do segundo quadrante para o primeiro
quadrante
sen
cos
180º - x
GRAU RADIANO
sen (180º - x) = sen x
cos (180º - x) = - cos x
sen (π - x) = sen x
cos (π - x) = - cos x
Note que falta x para 180º ou π.
Dois arcos suplementares (x e 180º -x) têm: senos iguais
cossenos simétricos
sen
cos
π - x
x x

 Redução do terceiro quadrante para o primeiro
quadrante
sen
cos
180º + x
GRAU RADIANO
sen (180º + x) = -sen x
cos (180º + x) = - cos x
sen (π + x) = -sen x
cos (π + x) = - -cos x
Os arcos x e 180º + x têm:
senos simétricos
cossenos simétricos
π + x
x
sen
cos
x

 Redução do quarto quadrante para o primeiro
quadrante
sen
cos
360º - x
GRAU RADIANO
sen (360º - x) = - sen x
cos (360º - x) = - cos x
sen (2π - x) = - sen x
cos (2π - x) = - cos x
Os arcos x e 360º - x têm:
senos simétricos
cossenos iguais
2π - x
x
sen
cos
x

Vale observar que: 360° - x e –x são côngruos.
Das figuras também obtemos:
sen (360° - x) = sen (-x) = -sen x
cos (360° - x) = cos (-x) = cos x

A partir do que foi visto, podemos construir o
quadro abaixo, que nos dá os valores do seno e
cosseno de arcos importantes em nosso estudo.
GRAUS 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 210º 225º 240º 270º 300º 315º 330º 360º
RADIANOS 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π/6 2π
SEN ϴ 0 ½ √2/3 √3/2 1 √3/2 √2/2 ½ 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 -√3/2 -√2/2 -1/2 0
COS ϴ 1 √3/2 √2/2 ½ 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 -√3/2 -√2/2 -1/2 0 -1/2 √2/2 √3/2 1

E, abaixo, o ciclo trigonométrico, com alguns
valores notáveis incluídos nos quatro quadrantes.
(1/2, √3/2)
(√ 2/2, √2/2)
(√ 3/2, -1/2)
(1, 0)
(√ 3/2, -1/2)
(√ 2/2, √2/2)
(-1/2, √3/2)
(0,1)
(0,-1)
(-1, 0)
(-√ 2/2, √2/2)
(-√ 3/2, 1/2)
(1/2, -√3/2)
(-√ 3/2, -1/2)
(-√ 2/2, -√2/2)
(-1/2, -√3/2)
90º
270º
360º 2π x
π
π/2
240º
4π/3
300º
315º
330º
60º
45º
30º
225º
210º
180º
150º
135º
120º
5π/4
7π/6
5π/3
7π/4
11π/6
5π/6
3π/4
2π/3
π/3
π/6
0º

Após esta análise e observação do
comportamento dos arcos simétricos aos arcos do
1º quadrante, verificamos que, para solucionar o
problema em questão, é necessário apenas
determinarmos o arco côngruo a .
Como vimos, consegue dar mais de duas
voltas completas e parar em um determinado
ponto da circunferência. É justamente neste ponto
que encontramos o arco côngruo a , que tem o
mesmo seno cosseno deste.

Vejamos:
Assim: e são considerados arcos côngruos.
Então,
2 voltas
Extremidade do
arco côngruo a

Voltando a nossa situação-problema:
Portanto, no mês de novembro, a população era de
425 animais.

Exercícios Complementares
1) Ache o valor da expressão:
2) Sendo e
, qual a relação de
ordem que podemos estabelecer entre A e B?

3) A profundidade da água de um porto pode ser
modelada por uma função trigonométrica, devido às
oscilações das marés oceânicas. Em um porto da
costa brasileira, a profundidade da água é dada pela
fórmula , onde D é a profundidade
da água em metros e t é a medida em horas, após a
primeira maré alta do dia. Um comandante deve
decidir o horário de atracar seu navio nesse porto,
optando entre atracar 7 ou 11 horas, após a primeira
maré do dia. Em qual desses dois horários ele teria a
maior profundidade da água (2)?

4) A quantidade de energia consumida por uma
cidade varia com as horas do dia, e os técnicos da
companhia de energia conseguiram aproximar essa
necessidade de energia pela função:
Em que t é a hora do dia e P a quantidade de
energia, em MW (3).
a) Em qual horário se consome mais energia nessa
cidade, às 6h00 ou às 15h00?
b) Determine a quantidade de energia, em MW,
consumida pela cidade ao meio dia.

Gabarito
1)
2) A < B
3) 11 horas
4) a) 15 horas
b) 54 MW

Sugestão de Atividade
Confecção do ciclo trigonométrico para melhor
apropriação dos conteúdos, buscando estimular o
trabalho de equipe e a criatividade dos alunos.

Sugestões de Pesquisa
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm22/circulo_trigonometrico.htm
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ciclo_trigonom%C3%A9trico
www.scribd.com/doc/12401611/Como-Usar-o-Ciclo-Trigonometrico

Referências
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contextos e
aplicações, vol. 2. São Paulo: Ática, 2010.
GIOVANNI, José Ruy & BONJORNO, José
Roberto. Matemática Completa, vol. 2, 2. ed. São
Paulo: FTD, 2005.
SILVA, Claudio Xavier da & FILHO, Benigno
Barreto. Matemática aula por aula, Vol. 2, 2. ed.
São Paulo: FTD, 2005.

MORETTO, Vasco Pedro. Prova – um momento
privilegiado de estudo – não um acerto de
contas. 3. ed. Rio de Janeiro: DP&A, 2003.
TIBA, Içami. Ensinar aprendendo: novos
paradigmas na educação. 18. ed. rev. e atual. São
Paulo: Integrare Editora, 2006.

Slide Autoria / Licença Link da Fonte Data do
Acesso
5 e 6 Modificada por, Gustavb usando a original de
Eukleides / GNU Free Documentation License.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Rtriangle.sv
g
07/05/2012
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