Hoje a resolução será de um problema recebido na lista PUC-RIO onde utilizaremos o método de permutação para encontrar o resultado.

1. ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES PUC-RIO
PERMUTAÇÕES COM PILHAS
Claudio Buffara – Rio de Janeiro

2. Hoje a resolução será de um problema recebido na lista PUC-RIO onde
utilizaremos o método de permutação para encontrar o resultado.
Introdução

3. PROBLEMA:
Em uma aula de computação me deparei com o seguinte problema:
"Suponha que os inteiros 1, 2, 3 e 4 são lidos nesta ordem. Considerando todas
as possíveis seqüências de operações de empilhar e desempilhar, decida quais
das 4!
(=24) permutações de 1,2,3,4 podem ser obtidas na saída de uma pilha. Por
exemplo, a permutação 2,3,1,4 pode ser obtida da seguinte forma:
empilha 1, empilha 2, desempilha 2, empilha 3, desempilha 3, desempilha 1,
empilha 4, desempilha 4. "
Fiz na força bruta. Me parece que são 10 permutações possíveis.
Pergunto mais genericamente agora...se eu tivesse os inteiros 1,2...n lidos
nesta ordem, quantas das n permutações de 1,2,3...n podem ser obtidas na
saída de uma pilha?

4. Definição de pilha :
Uma pilha é uma estrutura de dados que admite remoção de elementos e
inserção de novos elementos. Mais especificamente, uma pilha (= stack) é
uma estrutura sujeita à seguinte regra de operação: sempre que houver uma
remoção, o elemento removido é o que está na estrutura há menos tempo.
Em outras palavras, o primeiro objeto a ser inserido na pilha é o último a ser
removido. Essa política é conhecida pela sigla LIFO (Last-In-First-Out).

5. SOLUÇÃO:
Para clarificar: dada uma permutação fixa "p" de {1,2,...,n}, digamos:
1 -> p(1), 2 -> p(2), ..., n -> p(n)
você tem que empilhar 1, 2, ..., n nessa ordem e desempilhar estes números na
ordem p(1), p(2), ..., p(n).
O problema é determinar todas as p (ou pelo menos quantas delas) para as
quais isso é possível.
De bate pronto, eu diria que uma condição necessária para p ser realizável é:
p(k) - p(k+1) <= 1, para k = 1, 2, ..., n-1.

6. Por exemplo, se:
p(1) = 3 e p(2) = 1, a sequência será (E(x) = empilha x;
D(x) = desempilha x):
E(1), E(2), E(3), D(3) e travamos, pois antes de D(1) seremos obrigados a D(2).
Confira a discussão completa em:
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200312/msg00029.html