1) A aula apresenta as principais propriedades da Transformada Z, como linearidade, deslocamento, multiplicação por exponencial e diferenciação. 2) É definido o conceito de função de sistema e mostrado como a Transformada Z pode ser usada para analisar sistemas lineares invariantes no tempo. 3) As propriedades da Transformada Z permitem representar equações de diferenças em termos de funções racionais, o que facilita a análise de sistemas no domínio Z.

1. UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO (UFERSA)
CENTRO MULTIDISCIPLINAR DE PAU DOS FERROS (CMPF)
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIAS E TECNOLOGIA (DETEC)
PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS
Aula 09
Propriedades da Transformada Z
Prof.: Pedro Thiago Valério de Souza
UFERSA – Campus Pau dos Ferros
pedro.souza@ufersa.edu.br

2. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Objetivos
• Apresentar as principais propriedades da Transformada Z;
• Definir o conceito de Função de Sistema;
• Apresentar os critérios de estabilidade e causalidade em termos da função de sistemaç
• Estudar a Transformada Z Unilateral;
2

3. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Propriedades da Transformada Z
• Em todos os casos a seguir:
3
 
( ) RoC =
TZ
x
x n X z R




 
1 1 1
( ) RoC =
TZ
x
x n X z R




 
2 2 2
( ) RoC =
TZ
x
x n X z R




• Propriedade 1 – Linearidade:    
1 2 1 2
( ) ( )
TZ
ax n bx n aX z bX z


 


A RoC contém , mas pode ser maior se houver cancelamento de polos e zeros.
1 2
x x
R R

Casos possíveis:
1. Não há cancelamento de polos e zeros  A RoC será:
1 2
RoC x x
R R
 
2. Há cancelamento de polos e zeros  A RoC será maior.

4. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Propriedades da Transformada Z
Exemplo:
4
1( ) ( )
x n u n
 2 ( ) ( )
x n u n N
 
 
1 1
1
1
1
X z z
z
 

 
2 1
1
1
N
z
X z z
z


 

1 2
( ) ( ) ( )
x n x n x n
  ( ) ( )
u n u n N
  
     
1 2
X z X z X z
  1 1
1
1 1
N
z
z z

 
 
 
1
1
1
N
z
z




  
1
1
1
N
N
z
z z




Im
Re
1
Im
Re
1
Im
Re
N-1 polos em z = 0
Cancelamento do
polo em z = 1 com
um zero
1

5. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Propriedades da Transformada Z
• Propriedade 2 – Deslocamento:
5
 
0
0
( ) RoC
TZ n
x
x n n z X z R



 


• Propriedade 3 – Multiplicação por Exponencial: ( ) RoC
TZ
n
x
z
a x n X a R
a
 

 

  
 
Efeito nos polos e nos zeros: Se X(z) tem um polo (ou zero) em z = z0, então X(z/a) tem um
polo (ou zero) em z = az0.
Se a é puramente real, existe uma compressão (ou expansão) no polos.
Im
Re
z0
z1
z1
*
|z1|
Im
Re
az0
az1
a|z1|
n
a

az1
*

6. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Sendo , e se H(z) tem um polo em após a multiplicação pela
exponencial, H(z/a) tem um polo em
Propriedades da Transformada Z
• Propriedade 3 – Multiplicação por Exponencial:
6
Se a é complexo, existe uma compressão (ou expansão) no polos juntamente com uma
rotação.
j a
a a e
 0
0 0
j z
z z e

 
0
0
j z a
a z e

Im
Re
z0
j n
e 

Im
Re


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Propriedades da Transformada Z
• Propriedade 4 – Diferenciação em z:
7
 
( ) RoC
TZ
x
dX z
nx n z R
dz

 


• Propriedade 5 – Conjugado de uma sequência complexa:  
* * *
( ) RoC
TZ
x
x n X z R

 


Se x(n) for uma sequência real, x(n) = x*(n), e decorre a seguinte propriedade de simetria:
   
* *
X z X z

• Propriedade 6 – Reflexão: Sendo x(n) real,
1 1
( ) RoC
TZ
x
x n X
z R
 


 

  
 
Se x(n) é complexo, segue que:
* *
*
1 1
( ) RoC
TZ
x
x n X
z R
 


 

  
 
Efeito nos polos e nos zeros: Se X(z) tem um polo (ou zero) em z = z0, então X(1/z) tem um
polo (ou zero) em z = 1/z0.

8. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Propriedades da Transformada Z
• Propriedade 7 – Convolução:
8
   
1 2 1 2
( ) ( )
TZ
x n x n X z X z


 
 A RoC contém .
1 2
x x
R R

Exemplo:
     
1( ) 2 1 2
x n n n n
  
    
   
2 ( ) 1
x n n n
 
  
  1
TZ
n
 



Da tabela de transformadas:
Propriedade 2:   1
1
TZ
n z
 


 

  2
2
TZ
n z
 


 

Propriedade 1:   1 2
1 1 2
X z z z
 
  
  1
2 1
X z z
 
Propriedade 7: 1 2
( ) ( ) ( )
x n x n x n
 
     
1 2
X z X z X z
   
1 2 1
1 2 1
z z z
  
    1 2 3
1 z z z
  
   
Transformada inversa: (0) 1
x 
(1) 1
x 
(2) 1
x  
(3) 1
x  
       
( ) 1 2 3
x n n n n n
   
      

9. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Propriedades da Transformada Z
• Propriedade 8 – Expansão: Sendo:
9
 
( )
se for um múltiplo de
( )
0 caso contrário
k
x n k n k
x n

 

Então:    
1/
( ) ( ) RoC
TZ k
k
k x
x n X z R

 


• Propriedade 9 – Teorema do valor inicial: Sendo x(n) causal, então:
(0) lim ( )
z
x X z



10. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Transformada Z e Análise de Sistemas LTI
• Considerando um sistema LTI:
10
( )
h n
( )
x n ( )
y n
( ) ( ) ( )
y n x n h n
 
Transformada Z
     
Y z X z H z

Função de Sistema
• Desta forma:    
 
 
( )
z
Y
h n
z
H
X
z  
Z
• Sistema descrito a partir de uma equação de diferenças:
0 0
( ) ( )
N M
k r
k r
a y n k b x n r
 
  
 
0 0
( ) ( )
N M
k r
k r
a y n k b x n r
 
   
  
   
   
 
Z Z

11. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Transformada Z e Análise de Sistemas LTI
• Desta forma:
11
   
0 0
( ) ( )
N M
k r
k r
a y n k b x n r
 
  
 
Z Z
   
0 0
( ) ( )
N M
k r
k r
a y n k b x n r
 
  
 
Z Z
   
0 0
N M
k r
k r
k r
a Y z z b X z z
 
 

 
   
0 0
N M
k r
k r
k r
Y z a z X z b z
 
 

 
• Por fim:
 
 
 
0
0
M
r
r
r
N
k
k
k
b z
Y z
H z
X z
a z




 


Conclusões:
1. H(z) é uma função racional.
2. A equação de diferenças não fornece informações sobre
a RoC, sendo necessário alguma informação adicional
(causalidade ou estabilidade).

12. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Transformada Z e Análise de Sistemas LTI
12
Exemplo:
1
( ) ( 1) ( )
2
y n y n x n
  
Aplicando a Transformada Z:
 
1
( ) ( 1) ( )
2
y n y n x n
 
  
 
 
Z Z
     
1
1
2
Y z z Y z X z

 
   
1
1
1
2
z Y z X z

 
 
 
 
 
 
    1
1
1 1 2
Y z
H z
X z z
 

Polo: z = 1/2
Zero: z = 0
Im
Re
1/2
Possibilidades para a RoC:
1. |z| > 1/2
 
  1
1
1 2
1 1 2
H z z
z
 

 
( ) 1 2 ( )
n
h n u n

Im
Re
1/2
2. |z| < 1/2
 
  1
1
1 2
1 1 2
H z z
z
 

 
( ) 1 2 ( 1)
n
h n u n
   
Causal
Estável
Não-Causal
Instável

13. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Transformada Z e Análise de Sistemas LTI
• Causalidade:
• Critério 1 – Um sistema é causal se e somente se a saída em n = n0 depende apenas das
entradas em n ≤ n0.
• Critério 2 – Um sistema é causal se e somente se a h(n) for uma sequência causal.
13
   
( )
H z h n
 Z RoC de uma sequência causal  Se estende do polo finito mais
externo até (e incluindo) z = ∞
• Critério 3 – Um sistema é causal se e somente se a RoC de H(z) se estende do polo finito
mais externo até (e incluindo) z = ∞.
Se a RoC inclui z = ∞, então H(z) para z = ∞ é finito.
Se H(z) é expresso como uma razão de polinômios em z, isso só é possível se a ordem
do polinômio do denominador for igual ou maior do que o polinômio numerador.

14. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Transformada Z e Análise de Sistemas LTI
• Causalidade:
• Critério 4 – Um sistema é causal se e somente se H(z) expresso como uma razão de
polinômios em z, a ordem do polinômio do denominador for igual ou maior do que o
polinômio numerador.
14
Exemplo:  
 
3 2
2
3
1 4 1 8
z z z
H z
z z
 

 
 Não Causal.

15. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Transformada Z e Análise de Sistemas LTI
• Estabilidade:
• Critério 1 – Um sistema é dito estável se para uma entrada com amplitude limitada, a saída
também tem amplitude limitada;
• Critério 2 – Um sistema é dito estável se e somente se h(n) for absolutamente somável;
• Critério 3 – Um sistema é dito estável se e somente a transformada de Fourier de h(n) (ou
seja, a resposta em frequência) convergir.
15
Lembrando que a Transformada de Fourier é a Transformada Z
calculada em |z| = 1.
• Critério 4 – Um sistema é estável se e somente se a RoC de H(z) contiver o circulo de raio
unitário.
• Caso Particular (Sistema Causal) – Um sistema causal é estável se e somente se todos
os polos de H(z) estiverem dentro da circunferência de raio unitário.

16. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Transformada Z e Análise de Sistemas LTI
16
Exemplo:
1 1
( ) ( 1) ( ) ( 1)
2 3
y n y n x n x n
    
Determinando a Função de Sistema:
1 1
( ) ( 1) ( ) ( 1)
2 3
y n y n x n x n
   
    
   
   
Z Z
       
1 1
1 1
2 3
Y z z Y z X z z X z
 
  
   
1 1
1 1
1 1
2 3
Y z z X z z
 
   
  
   
   
 
 
 
 
 
1
1
1 1 3
1 1 2
Y z z
H z
X z z



 

Polo: z = 1/2
Zero: z = -1/3
Possibilidades para a RoC:
Im
Re
1/2
1. |z| > 1/2
1/3
Circulo de raio
unitário
Causal.
Estável.
 
   
1
1 1
1 1
1 1 2 3 1 1 2
z
H z
z z

 
 
   
 
 
   
1
1
( ) 1 2 ( ) 1 2 ( 1)
3
n n
h n u n u n

 
  
 
 

17. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Transformada Z e Análise de Sistemas LTI
17
Exemplo:
1 1
( ) ( 1) ( ) ( 1)
2 3
y n y n x n x n
    
Possibilidades para a RoC:
Im
Re
1/2
2. |z| < 1/2
1/3
Circulo de raio
unitário
Não-Causal.
Instável.
 
   
1
1 1
1 1
1 1 2 3 1 1 2
z
H z
z z

 
 
   
 
 
   
1
1
( ) 1 2 ( 1) 1 2 ( )
3
n n
h n u n u n

 
     
 
 

18. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Transformada Z e Análise de Sistemas LTI
18
Exemplo: ( 2) 5 ( 1) 6 ( ) ( )
y n y n y n x n
     O sistema é causal.
Determinando a Função de Sistema:
   
( 2) 5 ( 1) 6 ( ) ( )
y n y n y n x n
    
Z Z
       
2 1
5 6
z Y z z Y z Y z X z
 
  
     
2 1
5 6
z z Y z X z
 
  
 
 
  2 1
1
5 6
Y z
H z
X z z z
 
 
 
Polos: z = 1/2 e z = 1/3
Zero: z = 0 (multiplicidade 2)
Dado que o sistema é causal, então a RoC de H(z) será |z| > 1/2
Im
Re
1/2
1/3
Circulo de raio
unitário
O sistema é estável, pois todos os polos estão dentro da circunferência de raio unitário.

19. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Transformada Z e Análise de Sistemas LTI
19
Exemplo: ( 2) 5 ( 1) 6 ( ) ( )
y n y n y n x n
     O sistema é causal.
Resposta ao impulso:
  2 1
1
1 2
5 6
H z z
z z
 
 
 
 
1 1
1
1 1
1 1
3 2
H z
z z
 

  
 
  
  
1 2
1 1
1 1
1 1
3 2
A A
z z
 
 
 
Método dos Resíduos:
  
 
1
1 1 1
1/3
1 1
1
3
1 1
1 1
3 2 z
A z
z z

 

 
 
2
 
  
 
1
2 1 1
1/2
1 1
1
2
1 1
1 1
3 2 z
A z
z z

 

 
 
3

1 1
2 3
1 1
1 1
3 2
z z
 

 
 
   
( ) 2 1 3 ( ) 3 1 2 ( )
n n
h n u n u n
  
Aplicando a transformada inversa:

20. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Transformada Z Unilateral
• Definição:
20
 
0
( ) n
n
X z x n z

 

     
( )
X x n
z 

 Z
• Se x(n) = 0 para n < 0, a transformada Z unilateral e a transformada Z bilateral são idênticas;
• Se x(n) ≠ 0 para n < 0, a transformada Z unilateral e a transformada Z bilateral são diferentes;
• Propriedades da RoC: As mesmas de uma sequência lateral direita  A RoC se estende do
polo finito mais externo até (possivelmente incluindo) z = ∞.
• Propriedades Importantes:
• Linearidade:
   
1 1 1
( ) RoC x
x n X z R
 
 
Z
   
2 2 2
( ) RoC x
x n X z R
 
 
Z
     
1 2 1 2
( ) ( )
ax n bx n aX z bX z
  
  
Z
A RoC contém a intersecção, podendo ser maior se
houver cancelamento de polos e zeros.
   
UTZ
x n X z







21. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Transformada Z Unilateral
• Propriedades Importantes:
• Deslocamento:
21
   
( )
x n X z
 

Z
   
1
( 1) ( 1)
x n x z X z
  
   
Z A RoC se mantém.
Para um deslocamento qualquer:
         
1 1
( ) 1 1 k k
x n k x k x k z x z z X z
     
         
Z
   
1
1
1
k
m k
m
x m k z z X z
   

   

• Aplicação: Solução de equação de diferenças com condições iniciais diferentes de zero.
   
1 2
( 2) ( 2) ( 1)
x n x x z z X z
   
     
Z

22. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Transformada Z Unilateral
22
Exemplo: ( ) ( 1) ( )
y n ay n x n
   Condição inicial: y(-1)
Aplicando a transformada Z unilateral:
   
( ) ( 1) ( )
y n ay n x n
 
  
Z Z
     
( ) ( 1) ( )
y n ay n x n
  
  
Z Z Z
     
   
1
1
Y z a y z Y z X z
   
   
      
1
1 1
Y z az X z ay
  
       
 
1 1
1
1
1 1
ay
Y z X z
az az
 
 

 
 
Sendo y(-1) ≠ 0 e x(n) = 0.   0
X z


 
 
1
1
1
ay
Y z
az





1
1
( )
1
UTZ n
a u n
az






Reconhecendo que:
   
1 ( )
n
y n ay a u n
 
   
Lembrar que a RoC da Transformada Z unilateral é
igual a de uma sequência causal.
  1
1 ( )
n
y a u n

 

23. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Transformada Z Unilateral
23
Exemplo: ( ) ( 1) ( )
y n ay n x n
   Condição inicial: y(-1)
Questão da linearidade do sistema: Ver que quando x(n) = 0, y(n) ≠ 0. O sistema não pode
ser linear, pois se o sistema for linear, quando x(n) = 0, então y(n) = 0.
Diante disso, um sistema de tempo discreto definido por uma equação de diferenças será
linear se e somente se todas as condições iniciais forem nulas.
Sendo y(-1) ≠ 0 e x(n) = Au(n).
   
 
1 1
1
1
1 1
ay
Y z X z
az az
 
 

 
 
  1
1
A
X z
z




  
 
1
1 1
1
1
1 1
ay
A
az
az z

 

 

 
 
1 2
1 1 1
1
1 1 1
ay
A A
az z az
  

  
  

24. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Transformada Z Unilateral
24
Exemplo: ( ) ( 1) ( )
y n ay n x n
   Condição inicial: y(-1)
 
 
1 2
1 1 1
1
1 1 1
ay
A A
Y z
az z az

  

  
  
Método dos resíduos:
  
 
1
1 1 1
1
1
1 1
z a
A aA
A az
a
az z

 


  

    
 
1
2 1 1
1
1
1
1 1
z
A A
A z
a
az z

 

  

 
 
     
1 1 1
1 1 1
1 1 1
aA a A a ay
Y z
az z az

  
   
  
  
Desta forma:
Por fim:          
1
1 1
n n
aA A
y n a u n u n ay a u n
a a

   
 
   
1 1
1 1 0
1
n n
A
y a a n
a
 
    


25. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Transformada Z Unilateral
25
Exemplo: ( ) ( 1) ( )
y n ay n x n
   Condição inicial: y(-1)
     
1 1
1 1 0
1
n n
A
y n y a a n
a
 
    

REN RCIN
REN: Resposta à entrada nula.
RCIN: Resposta às condições iniciais nulas (resposta ao estado nulo).
 
 
   
1 1
1 1
1 1 0
1
n n
y n
y n A
y a a n
a
 
   

 
   
 

           
1 1
1 1 1 1
1
n n
A
y n y n y a a u n
a
  
 
      
 

 

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Próxima Aula
• Análise no Domínio da Frequência de Sistemas de Tempo Discreto.
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Referências
• Alan V. Oppenheim e Ronald W. Schafer - Processamento em Tempo Discreto de Sinais. 3º
Edição, Pearson, 2013 (pg. 75 – 82, 172 - 173);
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Exercícios
• Capítulo 4 (Alan V. Oppenheim e Ronald W. Schafer - Processamento em Tempo Discreto de
Sinais. 3º Edição, Pearson, 2013): 3.8, 3.9, 3.16, 3.17, 3.18, 3.21, 3.22, 3.29 5.2, 5.4, 5.5, 5.8
Prazo de entrega: 1 semana.
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