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ABC DOS
CIRCUITOS ELÉCTRICOS EM
  CORRENTE CONTÍNUA




 Mário Ferreira Alves (malves@dee.isep.ipp.pt)
  Departamento de Engenharia Electrotécnica
               Fevereiro de 1999
Prefácio
Pretende-se com esta sebenta fornecer um conhecimento básico dos circuitos em corrente
contínua. A Lei de Ohm, os diversos tipos de associação de resistências, as Leis de Kirchoff (dos
nós e das malhas) e o Teorema de Thévenin (simplificação de circuitos) são alguns dos temas
abordados.
Este texto foi produzido referenciando-se principalmente em [Kni, 78] e [Mor, 87].
Índice
1. CORRENTE CONTÍNUA?..................................................................................................................... 7
    1.1. Formas da Corrente Eléctrica ................................................................................................... 7
    1.2. Onde se Utiliza? .......................................................................................................................... 8
2. SÍMBOLOS ELÉCTRICOS...................................................................................................................... 9
3. LEI DE OHM ...................................................................................................................................... 10
4. ASSOCIAÇÃO DE RESISTÊNCIAS EM SÉRIE .................................................................................... 11
5. DIVISOR DE TENSÃO ........................................................................................................................ 12
6. ASSOCIAÇÃO DE RESISTÊNCIAS EM PARALELO ............................................................................ 13
7. DIVISOR DE CORRENTE ................................................................................................................... 15
8. ASSOCIAÇÃO DE RESISTÊNCIAS EM SÉRIE-PARALELO ................................................................ 16
9. RESISTÊNCIA INTERNA DE UMA FONTE DE TENSÃO .................................................................. 17
10. ASSOCIAÇÃO DE BATERIAS ........................................................................................................... 19
11. POTÊNCIA E ENERGIA ................................................................................................................... 20
12. CAPACIDADE DE UMA BATERIA.................................................................................................... 21
13. CONSERVAÇÃO DE ENERGIA (LEIS DE KIRCHOFF) ................................................................... 22
    13.1. Lei das Malhas......................................................................................................................... 23
    13.2. Lei dos Nós.............................................................................................................................. 23
14. SIMPLIFICAÇÃO DE CIRCUITOS ..................................................................................................... 24
    14.1. Teorema de Thévenin ............................................................................................................ 24
    14.2. Linearidade dos Circuitos ...................................................................................................... 26
    14.3. Teorema da Sobreposição ..................................................................................................... 27
15. O CONDENSADOR.......................................................................................................................... 28
    15.1. Capacidade de um Condensador.......................................................................................... 28
    15.2. Tipos de Condensadores ....................................................................................................... 28
    15.3. Associação de Condensadores.............................................................................................. 29
    15.4. Rigidez Dieléctrica.................................................................................................................. 30
    15.5. Relação entre Tensão e Corrente num Condensador ....................................................... 30
16. REFERÊNCIAS .................................................................................................................................. 31




ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Contínua                                                                                                5/31
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1. CORRENTE CONTÍNUA?

1.1. Formas da Corrente Eléctrica
A energia eléctrica, sendo utilizada de múltiplas maneiras, pode apresentar-se nos circuitos em
diferentes formas:
Contínua                         Constante           Obtém-se a partir de
O fluxo de electrões             A tensão/corrente é pilhas, baterias,
dá-se apenas num                 constante           dínamos, fontes de
sentido                                              tensão, rectificação de
                                                     corrente alternada
                                 Variável             Obtém-se a partir de
                                 A tensão/corrente    fontes de tensão
                                 varia


Descontínua                      Periódica            Sinusoidal               Obtém-se a partir de
O fluxo de electrões             A tensão/corrente    A variação da corrente é alternadores,
dá-se nos dois                   varia sempre da      sinusoidal               geradores de sinal
sentidos                         mesma maneira,
                                 repetindo-se ao
                                 longo do tempo
                                                      Quadrada/Triangular      Obtém-se a partir de
                                                      A variação da corrente é geradores de sinal
                                                      rectangular/triangular


                                 Não periódica        Sinais de rádio e
                                                      televisão, ruído
                                 A tensão/corrente
                                                      (electromagnético)
                                 não se repete no
                                 tempo

São de salientar as duas formas de corrente eléctrica mais utilizadas:
          • Corrente contínua constante - conhecida por corrente contínua (CC, em
            Português, ou DC em Inglês)
          • Corrente descontínua periódica sinusoidal - conhecida por corrente alternada
            (CA, em Português, ou AC em Inglês)




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1.2. Onde se Utiliza?
A corrente contínua e a corrente alternada sinusoidal são as mais utilizadas para alimentar os
diversos receptores que utilizamos no nosso dia-a-dia. A corrente contínua é utilizada tanto
em sistemas de potência elevada, tais como na tracção eléctrica (“eléctricos”, automóveis
eléctricos, “trolley-carros”, etc.) e os receptores eléctricos no automóvel (luzes, motor de
arranque, buzina, etc.), como em sistemas de potência reduzida, tais como todos os sistemas
que utilizam circuitos integrados (multímetros, telemóveis, unidades electrónicas de controlo
em automóveis, computadores, etc.).
Além do próprio interesse do estudo dos circuitos eléctricos em corrente contínua, acrescenta-
se o facto de que o conhecimento dos componentes e fenómenos eléctricos neste tipo de
circuitos é fundamental à compreensão de circuitos com outras formas de tensão e corrente,
nomeadamente dos circuitos em corrente alternada.




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2. SÍMBOLOS ELÉCTRICOS
A representação gráfica dos circuitos eléctricos implica que se convencionem símbolos para os
vários elementos constituintes de um circuito eléctrico. Alguns dos mais utilizados são:

       Fonte de tensão                                      Fonte de tensão
       contínua                            +
                                                    -   -   alternada                 ~
       Fio de ligação                                       Bateria (fonte de         E
                                                            tensão contínua)

       Junção de                                            Terra, Massa
       condutores


       Interruptor                                          Fusível


       Resistência                                  R       Amperímetro,
                                                                                  A   V    O
                                                            Voltímetro,
                                                            Ohmímetro

       Lâmpada                                              Resistência               Rv
                                                            variável (reóstato,
                                                            “potenciómetro”)

                                                                                      Rv



       Condensador                                  C       Condensador               Cv
       (capacidade)                                         variável
                                                            (capacidade
                                                            variável)

       Bobina                                               Transformador
                                                    L
       (indutância)



       Díodo                                                LED (díodo
                                                            emissor de luz)



       Díodo Zener                                          Transístor (npn)




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3. LEI DE OHM
A corrente eléctrica (I) que percorre um circuito (Figura 1) depende da tensão aplicada (U) e da
resistência do circuito (R).Estas grandezas eléctricas relacionam-se pela Lei de Ohm, que se
expressa da seguinte maneira:
            A corrente que percorre um circuito é directamente proporcional à tensão aplicada e
                         inversamente proporcional à resistência → I = U / R.

                                                            R



                                           E                                    I
                                                            U



                                          Figura 1: Circuito eléctrico básico

Exemplo:
Uma bateria de 12 V fornece uma corrente de 1 A a uma lâmpada. Qual a resistência dessa
lâmpada?
Resposta:
        R = U / I = 12 / 1 = 12 Ω


Apesar das unidades fundamentais de corrente, tensão e resistência serem o Ampère (A), Volt
(V) e o Ohm (Ω), é frequente a utilização de múltiplos e submúltiplos destas unidades. Os mais
utilizados são:
                           Múltiplo/Submúltiplo               Símbolo               Valor
                           Giga                               G                     109
                           Mega                               M                     106
                           Kilo                               K                     103
                           Mili                               m                     10-3
                           Micro                              µ                     10-6
                           Nano                               η                     10-9


No domínio da electrónica, onde se lida, normalmente, com resistências muito altas e
correntes muito baixas, chegam até a utilizar-se a corrente em mA e a resistência em KΩ,
directamente na Lei de Ohm, resultando a multiplicação da corrente e da resistência na tensão
em Volt (V). Ex: 1 KΩ x 10 mA = 10 V.




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4. ASSOCIAÇÃO DE RESISTÊNCIAS EM SÉRIE
Resistência é o termo utilizado, em termos genéricos, para representar qualquer receptor em
circuitos de corrente contínua. Pode falar-se da resistência de lâmpadas, buzinas, motores, etc.
Podem também existir resistências que, não tendo utilidade em termos de transformação de
energia eléctrica em outra forma de energia, são úteis para conseguir determinados objectivos
num circuito.

                                                    R1                R2                R3



                                       E            U1                U2                U3      I



                                                Figura 2: Associação de resistências em série

Se duas ou mais resistências se ligam em série (Figura 2), isto é, a corrente que sai de uma
resistência entra directamente na seguinte, a sua resistência equivalente é a soma de todas as
resistências:
                                                     Re = R1 + R2 + R3
Porquê?
Dado que a mesma corrente I atravessa as três resistências, as quedas de tensão em cada uma
delas será IR1, IR2 e IR3, respectivamente. Claramente, a soma das três quedas de tensão deve
ser igual à tensão E aplicada, que em termos de uma única resistência equivalente seria Ire.
Então
                                                    IRe = IR1 + IR2 + IR3
ou
                                                     Re = R1 + R2 + R3
Estendendo-se este resultado a qualquer número de resistências ligadas em série.
Exemplo:
O circuito ilustrado na Figura consiste em três resistências de valor 84 Ω, 68 Ω e 48 Ω,
respectivamente, interligadas em série com uma bateria de 12 V. Determine:
          a) Resistência equivalente
          b) Corrente que percorre o circuito
          c) Tensão aos terminais de cada resistência
Resolução:
          Re = 44 + 28 + 48 = 120 Ω
          I = U / Re = 12 / 120 = 0.10 A
          U1 = IR1 = 0.1 x 44 = 4.4 V                                         Total = 12 V

          U2 = IR2 = 0.1 x 28 = 2.8 V
          U3 = IR3 = 0.1 x 48 = 4.8 V



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5. DIVISOR DE TENSÃO
A utilização de resistências em série pode ser utilizada para obter, a partir de uma fonte de
tensão fixa, uma tensão de valor inferior (Figura 3).

                                               R1



                               E                                  R2              Uo



                                                 I
                                           Figura 3: Divisor de tensão

Se obtivermos a tensão de saída Uo aos terminais de R2, temos que
                                               Uo = IR1
e sabendo que
                                   I = E / Re = E / (R1 + R2)
então
                                       Vo = E.R1 / (R1 + R2)
Esta expressão só é verdadeira quando a corrente retirada do circuito é muito menor do que I.
De outra forma as resistências teriam correntes diferentes, o que seria contrário ao que se
assumiu.
É muitas vezes útil obter uma tensão variável a partir de uma fonte de tensão constante. Neste
caso, utiliza-se uma resistência com dois contactos fixos e um deslizante (variável). Estas
resistências variáveis têm o nome de reóstatos (Figura 4).

                                                                 Uo

                                                         S
                                                A                        B

                                                          Rv
                                                        R1       R2
                                   E



                                                             I
                                     Figura 4: Divisor de tensão com reóstato

A posição do contacto móvel (S) determina a relação de resistências R1 e R2 e portanto a
tensão de saída Vo.




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Exemplo:
Um reóstato tem uma resistência total (entre A e B) de 50 Ω e está ligado a uma fonte de
tensão de 20 V. Qual a resistência entre A e S quando se obtêm na saída tensões de 5 V, 12 V
e 16 V?
Resolução:
Para 5 V, a tensão de saída é igual a
          5 = 20 x R1 / 30 ⇒ R1 = 7.5 Ω
Para 12 V,
          12 = 20 x R1 / 30 ⇒ R1 = 18 Ω
Para 16 V, a tensão de saída é igual a
          16 = 20 x R1 / 30 ⇒ R1 = 24 Ω

6. ASSOCIAÇÃO DE RESISTÊNCIAS EM PARALELO
Se duas ou mais resistências se associam de forma a que cada uma delas forma um caminho
separado para a corrente total, elas estão ligadas em paralelo (Figura 5). Desta vez, a tensão aos
terminais de cada resistência é a mesma e igual a E, em valor absoluto.




                                        E                              R1             R2         R3


                                                                      I1             I2          I3

                                                      I
                                              Figura 5: Associação de resistências em paralelo

Na Figura 5, a corrente total I deve ser a soma das corrente parcelares I1, I2 e I3, isto é
                                                          I = I1 + I2 + I3
Se assumirmos que cada resistência tem uma tensão U (E) aos seus terminais, as correntes são
                                       I1 = U / R1, I2 = U / R2, I3 = U / R3
Portanto, se Re for a resistência equivalente, então I = U / Re e
              U / Re = U / R1 + U / R2 + U / R3 ⇒ 1 / Re = 1 / R1 + 1 / R2 + 1 / R3
Estendendo-se este resultado a qualquer número de resistências ligadas em paralelo.
Para o caso de duas (e apenas duas) resistências em paralelo,
                                                    Re = R1R2 / (R1 + R2)




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Exemplo:
Determine a resistência equivalente de duas resistências ligadas em paralelo, de valores 3.5 Ω e
5.4 Ω.
Resolução:
        Re = 3.5 x 5.4 / (3.5 + 5.4) = 2.1 Ω


Refira-se ainda que a resistência equivalente de um paralelo é sempre menor ou igual à menor
resistência desse paralelo.




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7. DIVISOR DE CORRENTE
Nos circuitos série notamos que a tensão aplicada (pela fonte) era dividida por tantas partes
quantas as resistências. Num circuito paralelo a corrente é dividida por tantas partes quantas as
resistências.
É importante compreender como se divide a corrente, quando encontra resistências em
paralelo. É de esperar que a resistência mais pequena fique com a maior parte da corrente e a
resistência maior fique com a menor parte dessa corrente. É o que se chama uma relação
inversa. As resistências intermédias ficam com correntes intermédias.
Consideremos o caso de uma resistência de 3 Ω em paralelo com uma de 8 Ω, ligadas a uma
fonte de 24 V. A corrente na resistência de 3 Ω será 24 / 3 = 8 A e a corrente na resistência
de 8 Ω será 24 / 8 = 3 A. Portanto, quando a relação de resistências é de 3:8, a relação de
correntes é de 8:3.
Exemplo:
Três resistências de 3, 9 e 12 Ω estão ligadas em paralelo e a corrente total do circuito é de 38
A. Determine a corrente em cada uma das resistências.
Resolução:
Primeiro calcular a resistência equivalente
          1 / Re = 1 / 3 + 1 / 9 + 1 / 12 ⇒ Re = 36 /19 Ω
A tensão aplicada que provoca que uma corrente de 38 A percorra esta resistência é de
          U = IRe = 38 x 36 /19 = 72 V
Aplicando a Lei de Ohm a cada ramo (derivação), fica
          Corrente na resistência de 3 Ω = 72 / 3 = 24 A                  Total = 38 A

          Corrente na resistência de 9 Ω = 72 / 9 = 8 A
          Corrente na resistência de 3 Ω = 72 / 12 = 6 A




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8. ASSOCIAÇÃO DE RESISTÊNCIAS EM SÉRIE-PARALELO
A resolução de problemas envolvendo circuitos constituídos por resistências em série e em
paralelo pode ser efectuada substituindo todos os grupos de resistências em paralelo pela sua
resistência equivalente. O circuito pode então ser reduzido a uma associação série (ou
paralelo) simples que , por sua vez, pode ser reduzida à sua resistência equivalente Re.
Exemplo:
Determine a resistência equivalente do circuito da Figura 6, bem como o valor da corrente em
cada uma das resistências.

                                             R1




                              E                               R2             R3           R4

                                                             I2             I3            I4

                                          I1
                                  Figura 6: Circuito com resistências em série-paralelo

Sabe-se que
        E = 10 V, R1 = 1.5 Ω, R2 = 4 Ω, R3 = 10 Ω e R4 = 20 Ω.
Resolução:
Primeiro calcular a resistência equivalente do grupo em paralelo
        1 / Rep = 1 / 4 + 1 / 10 + 1 / 20 ⇒ Rep = 20 / 8 = 2.5 Ω
Então, a resistência equivalente total é
        Re = 2.5 + 1.5 = 4 Ω
e a corrente total (que passa em R1)
        I1 = 10 /4 = 2.5 A
Então, a tensão aos terminais de R1 é
        U1 = 1.5 x 2.5 = 3.75 V
“sobrando” 10 - 3.75 = 6.25 V para o grupo em paralelo.
As correntes em cada resistência do paralelo são:
        I2 = 6.25 / 4 = 1.56 A                              Total = 2.5 A
        I3 = 6.25 / 10 = 0.625 A
        I4 = 6.25 / 20 = 0.313 A




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9. RESISTÊNCIA INTERNA DE UMA FONTE DE TENSÃO
Qualquer fonte de tensão, nomeadamente as pilhas, as baterias ou os geradores, tem uma
resistência interna cujo valor depende do tipo construtivo. A existência desta resistência
interna provoca que o valor da força electromotriz fornecida pela fonte não seja igual à tensão
aos seus terminais, isto é, provoca uma perda de energia indesejável.
Uma fonte de tensão (real) pode ser representada, esquematicamente, por uma fonte de
tensão ideal (sem resistência interna) em série com uma resistência. Isto pode ser observado
na figura seguinte:

                                                                  Ri                     +


                                               E                                                U


                                                                                         -

                                    Figura 7: Fonte tensão real = fonte tensão ideal + resistência interna

A tensão U aos terminais da fonte vai depender da carga que vai alimentar, isto é, da
resistência que a fonte alimenta:

                                                        Ri                 +


                                      E                                                        R             U



                                                                            -
                                                                                     I
                                                    Figura 8: Fonte tensão real em carga

Quanto maior for a corrente I, maior será a queda de tensão dentro da fonte de tensão (IRi),
“sobrando” para o exterior a tensão:
                                                           U = E - IRi
Nota: A força electromotriz (E) de uma bateria pode ser medida utilizando um voltímetro com alta resistência
interna, sem a esta ter aplicada qualquer carga. Temos pois uma situação em a bateria está praticamente sem
carga, implicando que a corrente I seja praticamente nula, logo com IRi quase nulo pois. Se medirmos a tensão
aos terminais da mesma bateria, mas agora em carga, o valor medido deverá ser inferior ao anterior, pois agora
existe uma queda de tensão interna (IRi) que poderá ser não desprezável, dependendo do valor da resistência
interna da bateria e da corrente que ela está a fornecer ao circuito.
Exemplo:
A tensão em vazio (sem carga) de uma bateria é 6 V. Quando se alimenta uma resistência de
10 Ω, a tensão aos seus terminais passa para 5 V. Qual o valor da resistência interna da
bateria?
Resolução:
Sendo a força electromotriz da bateria
          E=6V
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e, quando se liga a resistência de 10 Ω a queda de tensão aos seus terminais passa para 5 V,
que dizer que “cai” 1 V na resistência interna da bateria. Podemos então dizer:
         IRi = 1 V
Como,
         I = 5 / 10 = 0.5 A
então,
         Ri = 1 / 0.5 = 2 Ω




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10. ASSOCIAÇÃO DE BATERIAS
As baterias (ou pilhas) podem associar-se em série ou em paralelo, consoante o objectivo que
se pretende atingir.
Se ligarmos, sucessivamente, o polo negativo de uma bateria ao polo positivo de outra,
consegue-se um agrupamento com uma f.e.m. superior à de cada bateria e igual à soma de
todas as f.e.m:

                                                               E1       E2       E3


                                                    Figura 9: Associação de baterias em série

Ficando,
                                                Ee = E1 + E2 + E3 + …
 Chama-se a este agrupamento a série de baterias. Uma bateria de automóvel, por exemplo, é
feita à custa da associação em série de vários elementos de menor f.e.m. A resistência
equivalente da série de baterias é igual à soma de todas as resistências internas:
                                               Rie = Ri1 + Ri2 + Ri3 + …
Se pretendermos uma fonte CC que debite correntes mais elevadas do que uma só bateria,
agrupamos várias baterias em paralelo (note-se que as baterias têm de ter f.e.m. iguais):



                                                         E1          E2          E3



                                               Figura 10: Associação de baterias em paralelo

Ficando,
                                          Iemax = I1max + I2max + I3max + …
O inverso da resistência equivalente do paralelo de baterias é igual à soma de todos os inversos
das resistências internas:
                                     1 / Rie = 1 / Ri1 + 1 / Ri2 + 1 / Ri3 + …
Para produzir tanto f.e.m. como correntes elevadas, faz-se o agrupamento misto das baterias




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11. POTÊNCIA E ENERGIA
Potência (P) é, em termos genéricos, a energia (ou trabalho) produzida ou consumida por
unidade de tempo, medindo-se em Joule / segundo (J/s). Em electrotecnia utiliza-se o Watt
(W) para simbolizar a potência eléctrica unitária e o Watt-Hora (Wh) como unidade de energia
(unidade que vulgarmente aparece referenciada nas nossas facturas de electricidade).
É frequente utilizarmos termos como: esta lâmpada é mais potente que aquela; este motor é
mais potente que aquele, etc. De facto, quanto maior a potência de um receptor eléctrico,
maior capacidade de produzir trabalho ele terá, mas também maior quantidade de energia
eléctrica ele consumirá. Por exemplo uma lâmpada de maior potência que outra do mesmo
tipo dá mais luz, mas também consome mais energia.
Em electricidade, a potência de um receptor está relacionada com a sua resistência, a corrente
que o percorre e a tensão aos seus terminais, da seguinte forma:
                                    P = RI2 = UI = U2 / R
Estas relações são úteis, por exemplo, para saber qual a corrente que é consumida por um
receptor de uma dada potência e uma dada tensão nominais, ou para saber que potência é
consumida por uma resistência, quando se aplica uma dada tensão, etc.
Exemplo:
Qual a corrente consumida por uma lâmpada de 60 W, sabendo que para a alimentar se utiliza
uma bateria de 12 V?
Resolução:
        I = P / U = 60 / 12 = 5 A




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12. CAPACIDADE DE UMA BATERIA
Por exemplo, um acumulador de chumbo de 100 Ah é descarregado em 10 h com uma
corrente de 10 A e pode ser descarregado em apenas 1 h com uma corrente de 50 A. Neste
caso, a capacidade da bateria é de 50 Ah (metade da anterior). Portanto, a capacidade de um
acumulador deve ser acompanhada do tempo da descarga, em horas. Se assim não acontecer,
o valor da capacidade refere-se aos períodos normais de descarga (10 h para os acumuladores
de chumbo).
As possibilidades de utilização de uma bateria (acumulador) são caracterizadas,
principalmente, pela sua capacidade [[Mor, 87]]. Esta representa a quantidade de electricidade
em Ah que o acumulador pode fornecer durante a descarga. A capacidade de um acumulador
varia com o regime de descarga e com a temperatura do electrólito. Quando a temperatura
não é citada, é porque se considera 20ºC.
Em termos energéticos, uma bateria de 12 V e 100 Ah tem uma energia de:
                                        12 x 100 = 1.2 kWh (= 4320000 J)




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13. CONSERVAÇÃO DE ENERGIA (LEIS DE KIRCHOFF)
Tal como em qualquer sistema fechado, a energia eléctrica, num dado circuito, também se
conserva. De facto, a energia que é produzida (fontes de energia: bateria, dínamo, etc.) é igual
à energia que é consumida, tanto pelos receptores propriamente ditos (lâmpada, aquecedor,
etc.) como por perdas nas resistências dos fios e contactos necessários à ligação do próprio
circuito.
As Leis de Kirchoff mais não são do que leis de conservação de energia aplicadas aos circuitos
eléctricos. Já atrás se utilizaram estas leis para determinar a resistência equivalente da
associação de resistências em série e em paralelo e para calcular divisores de tensão e corrente.
Para enunciar estas leis, convém ter presentes os seguintes conceitos:
        Elemento Eléctrico → Dispositivo capaz de transformar energia, sendo a energia
        eléctrica uma das formas de energia postas em jogo.
               Activo → Dispositivo que transforma outra forma de energia em energia
               eléctrica (pilhas, baterias, dínamos, alternadores). Também chamados de
               fontes, são activos pois fornecem energia eléctrica aos circuitos a eles ligados.
               Passivo → Dispositivo que transforma energia eléctrica noutra forma de
               energia (motor: mecânica, lâmpada: luminosa, aquecedor: calorífica). Também
               chamados de receptores, são passivos pois absorvem energia eléctrica.
        Ramo → Conjunto de elementos eléctricos em série, percorridos pela mesma corrente
        (pode ser apenas um elemento).

                                                             R1




                                             E



                                    Figura 11: Ramo de um circuito eléctrico

        Nó → Ponto de junção, ligação ou intersecção de ramos (em geral, mais de 2).

                                              R1




                                                               R2




                                     Figura 12: Nó de um circuito eléctrico

        Malha → Conjunto de ramos formando um circuito fechado (anel).




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R1




                                        E                                  R2             R3         R4




                                                    Figura 13: Malha de um circuito eléctrico


13.1. Lei das Malhas
Ao longo de uma malha, a soma algébrica das forças electromotrizes (subidas de potencial) é
igual à soma algébrica das quedas de potencial:
                                                               ΣE = ΣU
No circuito seguinte, a Lei das Malhas aplicada à malha assinalada é
                                                            E = U1 + U2

                                                       U1

                                                       R1




                                      E                                R2          U2           R4




                                                    Figura 14: Malha num circuito eléctrico


13.2. Lei dos Nós
Em qualquer nó de um circuito eléctrico, a soma algébrica das correntes (convergentes e
divergentes) é nula:
                                                                ΣI = 0
No circuito seguinte, a Lei dos Nós aplicada ao nó assinalado é
                                                       I2 + I3 + I4 - I1 = 0

                                                       R1




                                      E                                R2             R3        R4


                                                                      I2             I3         I4

                                                     I1

                                                      Figura 15: Nó num circuito eléctrico


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14. SIMPLIFICAÇÃO DE CIRCUITOS
Embora todos os circuitos se possam resolver a partir da utilização pura e simples da Lei de
Ohm e das Leis de Kirchoff, esse processo tende a tornar-se demasiado complicado para
circuitos mais complexos, podendo dar origem a erros. Aparecem então diversos métodos
para auxiliar a análise de circuitos complexos, dentro dos quais se salientam o método da
simplificação num circuito equivalente (Teorema de Thévenin) e o método de subdivisão em
circuitos mais simples (Teorema da Sobreposição), explicados a seguir.
Por vezes, na análise de circuitos eléctricos, temos de resolver problemas deste tipo: temos um
circuito mais ou menos complexo ao qual se liga, entre dois dos seus pontos, um dado ramo
(ou circuito) cuja constituição pode variar (uma resistência variável, por exemplo) e pretende-
se, de cada vez que o ramo varie, analisar as grandezas eléctricas nele existentes. Obviamente
que sempre que o ramo varia, variam também as grandezas eléctricas em todo o circuito. O
processo mais simples de resolver este tipo de problemas é considerar todo o circuito, com
excepção do ramo (circuito) a estudar, como sendo um bipolo e aplicar o Teorema de
Thévenin.

14.1. Teorema de Thévenin
Um dos métodos mais utilizados para “conhecer” um determinado circuito é torná-lo num
circuito mais simples de analisar. Tal como se fez para as séries e paralelos de resistências,
pode determinar-se o circuito equivalente de um circuito, correspondendo a uma fonte ideal
de tensão em série com uma resistência.
Um circuito mais ou menos complexo:

                                                 R



                             E

                                       R             E


                                   Figura 16: Circuito complexo visto de um bipolo

Pode ser transformado no circuito equivalente, para um dado bipolo:

                                                 Re



                              Ee




                                 Figura 17: Circuito equivalente para o mesmo bipolo

Define-se bipolo como qualquer circuito eléctrico acessível ao exterior por dois terminais. É
extremamente importante perceber que um circuito equivalente apenas o é para um dado
bipolo (dois pontos). O mesmo circuito, visto de outros dois pontos tem, obviamente, um
circuito equivalente diferente.

24/31                                                                     ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Contínua
Repare-se que este método de simplificação mostra-se extremamente adequado quando temos
variação de carga aos terminais do bipolo, ou quando queremos verificar como é que
variações de resistência (ou outra grandeza eléctrica) influem na carga.
A determinação de Ee e Re pode ser feita recorrendo ao Teorema de Thévenin:
                Qualquer bipolo é equivalente, para o exterior, a uma fonte ideal de tensão (f.e.m.
                igual à tensão em circuito aberto do bipolo) em série com uma resistência (vista dos
                terminais do bipolo, substituindo as fontes pelas suas resistências internas).
Daqui se tira que:
                                                    Ee = Uca e Re = Ee / Icc
Métodos para determinar Ee e Re
          • Analiticamente
                     Ee → é igual à tensão em circuito aberto no bipolo (determina-se recorrendo às
                     Leis de Kirchoff)
                     Re → substituem-se as fontes pelas suas resistências internas e calcula-se a
                     resistência equivalente (calculando a resistência equivalente de associações
                     série e/ou paralelo)
          • Experimentalmente
                     Ee → Mede-se com um voltímetro a tensão aos terminais do bipolo (tensão
                     em circuito aberto). O voltímetro deverá ter uma elevada resistência interna.
                     Re → Substituem-se as fontes pelas suas resistências internas (se a resistência
                     interna da fonte de tensão for pequena, substitui-se por um fio) e determina-se
                     a resistência equivalente ligando um ohmímetro aos terminais do bipolo. Outra
                     possibilidade é medir a corrente de curto-circuito ligando um amperímetro (de
                     baixa resistência interna) aos terminais do bipolo, obtendo-se Re a partir de Re
                     = Ee / Icc




ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Contínua                                                      25/31
Exemplo:
Determine o equivalente de Thévenin do circuito da figura seguinte, visto do bipolo SB.

                                                                  Uo

                                                         S
                                                A                         B

                                                           Rv
                                                         R1       R2
                                    E



                                                              I
                                            Figura 18: Circuito inicial

Considera-se que Rv = R1 + R2
e que
        R2 = d.Rv e R1 = (1-d).Rv
em que d representa o deslocamento do reóstato e está compreendido entre 0 e 1.
        d = 1 corresponde a ter uma tensão de saída (U0) máxima
        d = 0 corresponde a ter uma tensão de saída (U0) nula
Resolução:
Primeiro, calcular a resistência equivalente vista do bipolo SB. Tendo em conta que a fonte
não tem resistência interna:
        Re = R1 // R2 = R1 R2 / (R1 + R2) = d.(1-d).Rv
A f.e.m. equivalente é
        Ee = U0 = ER2 / (R1 + R2) = E.d
O circuito equivalente de Thévenin é então:

                                                 d.(1-d).Rv
                                                                                  S


                                    E.d

                                                                                  B



                                Figura 19: Circuito simplificado, visto do bipolo SB


14.2. Linearidade dos Circuitos
A simplificação de circuitos segundo os Teorema da Sobreposição e de Thévenin só pode ser
feita se os elementos eléctricos forem lineares.
Um elemento eléctrico é linear se, independentemente do valor de tensão U aos seus terminais
e da corrente I que o atravessa, a equação que os relaciona não se altera. Claro que, na
natureza, nenhuma relação é rigorosamente linear, mas podemos considerar certos elementos
aproximadamente lineares, tais como resistências de fio metálico. Exemplos de elementos
26/31                                                                     ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Contínua
eléctricos não lineares são a lâmpada de incandescência (resistência aumenta com a
temperatura) e o díodo (semicondutor diminui a resistência com o aumento da temperatura).

14.3. Teorema da Sobreposição
Se os elementos de um circuito forem lineares, é possível decompor um circuito complexo em
vários circuitos mais simples, analisar separadamente o comportamento destes e por fim
concluir acerca do comportamento do circuito inicial.
É com base no princípio da aditividade de efeitos que se enuncia o Teorema da Sobreposição:
                A corrente em qualquer ramo de um circuito é igual à soma algébrica das correntes
                devidas a cada uma das fontes, consideradas separadamente, substituindo as
                restantes fontes pelas suas resistências internas.
Este teorema tem interesse prático quando se pretendem analisar circuitos com mais do que
uma fonte de energia.




ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Contínua                                                   27/31
15. O CONDENSADOR

15.1. Capacidade de um Condensador
Um condensador é um sistema constituído por dois materiais condutores (armaduras ou
placas) separadas por um material isolante (dieléctrico), sendo capaz de armazenar cargas
eléctricas.
A capacidade de armazenar cargas eléctricas (de sinal contrário) chama-se capacitância (ou
capacidade), correspondendo a um maior ou menor Campo Eléctrico existente no dieléctrico,
entre as duas armaduras e portanto a mais ou menos energia eléctrica armazenada (no
dieléctrico).
Ao se estabelecer uma diferença de potencial entre as armaduras de um condensador, criam-se
cargas eléctricas à superfície das armaduras (uma fica carregada positivamente e a outra
negativamente, com o mesmo valor absoluto), correspondendo à carga do condensador:

                                                      Armadura


                                      +Q                           Linhas de força do
                                                                    Campo Eléctrico

                     d                 -Q


                                Figura 20: Campo Eléctrico num condensador

A carga eléctrica Q que pode ser armazenada por um condensador varia em proporção à
tensão U que é aplicada (na carga do condensador), podendo ser expressa da seguinte maneira:
                                            Q = C.U
Na expressão anterior, C é uma constante que representa a capacidade (capacitância) do
condensador. Esta apresenta as seguintes características:
        • É proporcional à área total das armaduras do condensador
        • É proporcional à capacidade isoladora do elemento que separa as armaduras
          (dieléctrico)
        • É inversamente proporcional à distância entre as armaduras do condensador
A capacitância é medida em Farads, representados pela letra F. Na prática, a maior parte dos
condensadores têm uma capacidade muito inferior à unidade, sendo normalmente utilizados o
ρF (1 x 10-12 F) e o µF (1 x 10-6 F).

15.2. Tipos de Condensadores
Os tipos de condensadores mais comuns são:
        • Condensadores de papel
        • Condensadores de plástico
        • Condensadores de mica
        • Condensadores de cerâmicos

28/31                                                              ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Contínua
• Condensadores electrolíticos
Estes últimos funcionam através de fenómenos electrolíticos (tal como as baterias), tendo que
ser respeitada a sua polaridade (uma armadura tem polaridade positiva e a outra negativa).
Para evitar a danificação deste tipo de condensadores, a sua polaridade vem assinalada pelo
fabricante.

15.3. Associação de Condensadores
Se associarmos vários condensadores em paralelo:



                                                    C1          C2          C3



                                            Figura 21: Associação de condensadores em paralelo

Como os condensadores estão ligados em paralelo, as tensões aos seus terminais são todas
iguais e a carga total do conjunto é a soma de cada uma das cargas, isto é:
                                                     U = U1 = U2 = U3
                                                    Q = Q1 + Q 2 + Q 3
Considerando as cargas dos condensadores
                                         Q1 = C1.U, Q2 = C2.U, Q3 = C3.U
Definindo a capacidade do conjunto como
                                                          C=Q/U
fica,
                                        Q = C.U = C1.U + C2.U + C3.U ⇒
                                                     C = C1 + C2 + C3
Isto é, a capacidade de um conjunto de condensadores ligados em paralelo é igual `a soma das
capacidades individuais (é equivalente à série de resistências).
Se interligarmos condensadores em série:

                                                     C1          C2         C3


                                              Figura 22: Associação de condensadores em série

Supondo que a placa esquerda do primeiro condensador é carregada positivamente, a placa
direita deste condensador é carregada negativamente, com electrões (cargas negativas) que vai
buscar à placa esquerda do segundo condensador, e assim sucessivamente para os restantes
condensadores. Isto quer dizer que as cargas dos condensadores são todas iguais:
                                                    Q = Q1 = Q 2 = Q 3
A tensão total, neste caso, será:
                                                     U = U1 + U2 + U3


ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Contínua                                                29/31
Então,
                        U = Q / C = Q / C1 + Q / C2 + Q / C3 ⇒
                              1 / C = 1 / C1 + 1 / C2 + 1 / C3
Isto é, o inverso da capacidade dum conjunto de condensadores ligados em série é igual à
soma dos inversos das capacidades individuais (é equivalente ao paralelo de resistências).

15.4. Rigidez Dieléctrica
Isolante ou dieléctrico é uma substância no interior da qual não existem (ou existem muito
poucas) partículas electricamente carregadas, livres de se moverem quando sob a influência de
um Campo Eléctrico.
Para cada dieléctrico existe uma determinada intensidade limite de Campo Eléctrico, que, se
ultrapassada, faz com que o dieléctrico perca as suas propriedades isoladoras, tornando-se
condutor. Este limite chama-se Rigidez Dieléctrica de uma substância.

15.5. Relação entre Tensão e Corrente num Condensador
Dado que a corrente é definida como a passagem de carga eléctrica, por unidade de tempo:
                                           I = ∂Q / ∂t
e como num condensador
                                            Q = C.U
então, a relação entre a tensão e a corrente, num condensador de capacidade C é
                                           ∂U
                                                         ∫
                                                   1
                                  I = C.      ⇔ U = . I .∂t
                                           ∂t      C




30/31                                                         ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Contínua
16. REFERÊNCIAS
[Kni, 78]       S. A. Knight, Electrical Principles for Technicians 2, Butterworth Publishers Inc.,
                England, 1978. &
[Mor, 87]       Simões Morais, Laboratório de Electricidade, Porto Editora., England, 1987. &



* - do autor
& - disponível no ISEP




ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Contínua                                               31/31

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ABC DOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS EM CORRENTE CONTÍNUA

  • 1. ABC DOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS EM CORRENTE CONTÍNUA Mário Ferreira Alves (malves@dee.isep.ipp.pt) Departamento de Engenharia Electrotécnica Fevereiro de 1999
  • 2.
  • 3. Prefácio Pretende-se com esta sebenta fornecer um conhecimento básico dos circuitos em corrente contínua. A Lei de Ohm, os diversos tipos de associação de resistências, as Leis de Kirchoff (dos nós e das malhas) e o Teorema de Thévenin (simplificação de circuitos) são alguns dos temas abordados. Este texto foi produzido referenciando-se principalmente em [Kni, 78] e [Mor, 87].
  • 4.
  • 5. Índice 1. CORRENTE CONTÍNUA?..................................................................................................................... 7 1.1. Formas da Corrente Eléctrica ................................................................................................... 7 1.2. Onde se Utiliza? .......................................................................................................................... 8 2. SÍMBOLOS ELÉCTRICOS...................................................................................................................... 9 3. LEI DE OHM ...................................................................................................................................... 10 4. ASSOCIAÇÃO DE RESISTÊNCIAS EM SÉRIE .................................................................................... 11 5. DIVISOR DE TENSÃO ........................................................................................................................ 12 6. ASSOCIAÇÃO DE RESISTÊNCIAS EM PARALELO ............................................................................ 13 7. DIVISOR DE CORRENTE ................................................................................................................... 15 8. ASSOCIAÇÃO DE RESISTÊNCIAS EM SÉRIE-PARALELO ................................................................ 16 9. RESISTÊNCIA INTERNA DE UMA FONTE DE TENSÃO .................................................................. 17 10. ASSOCIAÇÃO DE BATERIAS ........................................................................................................... 19 11. POTÊNCIA E ENERGIA ................................................................................................................... 20 12. CAPACIDADE DE UMA BATERIA.................................................................................................... 21 13. CONSERVAÇÃO DE ENERGIA (LEIS DE KIRCHOFF) ................................................................... 22 13.1. Lei das Malhas......................................................................................................................... 23 13.2. Lei dos Nós.............................................................................................................................. 23 14. SIMPLIFICAÇÃO DE CIRCUITOS ..................................................................................................... 24 14.1. Teorema de Thévenin ............................................................................................................ 24 14.2. Linearidade dos Circuitos ...................................................................................................... 26 14.3. Teorema da Sobreposição ..................................................................................................... 27 15. O CONDENSADOR.......................................................................................................................... 28 15.1. Capacidade de um Condensador.......................................................................................... 28 15.2. Tipos de Condensadores ....................................................................................................... 28 15.3. Associação de Condensadores.............................................................................................. 29 15.4. Rigidez Dieléctrica.................................................................................................................. 30 15.5. Relação entre Tensão e Corrente num Condensador ....................................................... 30 16. REFERÊNCIAS .................................................................................................................................. 31 ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Contínua 5/31
  • 6. 6/31 ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Contínua
  • 7. 1. CORRENTE CONTÍNUA? 1.1. Formas da Corrente Eléctrica A energia eléctrica, sendo utilizada de múltiplas maneiras, pode apresentar-se nos circuitos em diferentes formas: Contínua Constante Obtém-se a partir de O fluxo de electrões A tensão/corrente é pilhas, baterias, dá-se apenas num constante dínamos, fontes de sentido tensão, rectificação de corrente alternada Variável Obtém-se a partir de A tensão/corrente fontes de tensão varia Descontínua Periódica Sinusoidal Obtém-se a partir de O fluxo de electrões A tensão/corrente A variação da corrente é alternadores, dá-se nos dois varia sempre da sinusoidal geradores de sinal sentidos mesma maneira, repetindo-se ao longo do tempo Quadrada/Triangular Obtém-se a partir de A variação da corrente é geradores de sinal rectangular/triangular Não periódica Sinais de rádio e televisão, ruído A tensão/corrente (electromagnético) não se repete no tempo São de salientar as duas formas de corrente eléctrica mais utilizadas: • Corrente contínua constante - conhecida por corrente contínua (CC, em Português, ou DC em Inglês) • Corrente descontínua periódica sinusoidal - conhecida por corrente alternada (CA, em Português, ou AC em Inglês) ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Contínua 7/31
  • 8. 1.2. Onde se Utiliza? A corrente contínua e a corrente alternada sinusoidal são as mais utilizadas para alimentar os diversos receptores que utilizamos no nosso dia-a-dia. A corrente contínua é utilizada tanto em sistemas de potência elevada, tais como na tracção eléctrica (“eléctricos”, automóveis eléctricos, “trolley-carros”, etc.) e os receptores eléctricos no automóvel (luzes, motor de arranque, buzina, etc.), como em sistemas de potência reduzida, tais como todos os sistemas que utilizam circuitos integrados (multímetros, telemóveis, unidades electrónicas de controlo em automóveis, computadores, etc.). Além do próprio interesse do estudo dos circuitos eléctricos em corrente contínua, acrescenta- se o facto de que o conhecimento dos componentes e fenómenos eléctricos neste tipo de circuitos é fundamental à compreensão de circuitos com outras formas de tensão e corrente, nomeadamente dos circuitos em corrente alternada. 8/31 ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Contínua
  • 9. 2. SÍMBOLOS ELÉCTRICOS A representação gráfica dos circuitos eléctricos implica que se convencionem símbolos para os vários elementos constituintes de um circuito eléctrico. Alguns dos mais utilizados são: Fonte de tensão Fonte de tensão contínua + - - alternada ~ Fio de ligação Bateria (fonte de E tensão contínua) Junção de Terra, Massa condutores Interruptor Fusível Resistência R Amperímetro, A V O Voltímetro, Ohmímetro Lâmpada Resistência Rv variável (reóstato, “potenciómetro”) Rv Condensador C Condensador Cv (capacidade) variável (capacidade variável) Bobina Transformador L (indutância) Díodo LED (díodo emissor de luz) Díodo Zener Transístor (npn) ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Contínua 9/31
  • 10. 3. LEI DE OHM A corrente eléctrica (I) que percorre um circuito (Figura 1) depende da tensão aplicada (U) e da resistência do circuito (R).Estas grandezas eléctricas relacionam-se pela Lei de Ohm, que se expressa da seguinte maneira: A corrente que percorre um circuito é directamente proporcional à tensão aplicada e inversamente proporcional à resistência → I = U / R. R E I U Figura 1: Circuito eléctrico básico Exemplo: Uma bateria de 12 V fornece uma corrente de 1 A a uma lâmpada. Qual a resistência dessa lâmpada? Resposta: R = U / I = 12 / 1 = 12 Ω Apesar das unidades fundamentais de corrente, tensão e resistência serem o Ampère (A), Volt (V) e o Ohm (Ω), é frequente a utilização de múltiplos e submúltiplos destas unidades. Os mais utilizados são: Múltiplo/Submúltiplo Símbolo Valor Giga G 109 Mega M 106 Kilo K 103 Mili m 10-3 Micro µ 10-6 Nano η 10-9 No domínio da electrónica, onde se lida, normalmente, com resistências muito altas e correntes muito baixas, chegam até a utilizar-se a corrente em mA e a resistência em KΩ, directamente na Lei de Ohm, resultando a multiplicação da corrente e da resistência na tensão em Volt (V). Ex: 1 KΩ x 10 mA = 10 V. 10/31 ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Contínua
  • 11. 4. ASSOCIAÇÃO DE RESISTÊNCIAS EM SÉRIE Resistência é o termo utilizado, em termos genéricos, para representar qualquer receptor em circuitos de corrente contínua. Pode falar-se da resistência de lâmpadas, buzinas, motores, etc. Podem também existir resistências que, não tendo utilidade em termos de transformação de energia eléctrica em outra forma de energia, são úteis para conseguir determinados objectivos num circuito. R1 R2 R3 E U1 U2 U3 I Figura 2: Associação de resistências em série Se duas ou mais resistências se ligam em série (Figura 2), isto é, a corrente que sai de uma resistência entra directamente na seguinte, a sua resistência equivalente é a soma de todas as resistências: Re = R1 + R2 + R3 Porquê? Dado que a mesma corrente I atravessa as três resistências, as quedas de tensão em cada uma delas será IR1, IR2 e IR3, respectivamente. Claramente, a soma das três quedas de tensão deve ser igual à tensão E aplicada, que em termos de uma única resistência equivalente seria Ire. Então IRe = IR1 + IR2 + IR3 ou Re = R1 + R2 + R3 Estendendo-se este resultado a qualquer número de resistências ligadas em série. Exemplo: O circuito ilustrado na Figura consiste em três resistências de valor 84 Ω, 68 Ω e 48 Ω, respectivamente, interligadas em série com uma bateria de 12 V. Determine: a) Resistência equivalente b) Corrente que percorre o circuito c) Tensão aos terminais de cada resistência Resolução: Re = 44 + 28 + 48 = 120 Ω I = U / Re = 12 / 120 = 0.10 A U1 = IR1 = 0.1 x 44 = 4.4 V Total = 12 V U2 = IR2 = 0.1 x 28 = 2.8 V U3 = IR3 = 0.1 x 48 = 4.8 V ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Contínua 11/31
  • 12. 5. DIVISOR DE TENSÃO A utilização de resistências em série pode ser utilizada para obter, a partir de uma fonte de tensão fixa, uma tensão de valor inferior (Figura 3). R1 E R2 Uo I Figura 3: Divisor de tensão Se obtivermos a tensão de saída Uo aos terminais de R2, temos que Uo = IR1 e sabendo que I = E / Re = E / (R1 + R2) então Vo = E.R1 / (R1 + R2) Esta expressão só é verdadeira quando a corrente retirada do circuito é muito menor do que I. De outra forma as resistências teriam correntes diferentes, o que seria contrário ao que se assumiu. É muitas vezes útil obter uma tensão variável a partir de uma fonte de tensão constante. Neste caso, utiliza-se uma resistência com dois contactos fixos e um deslizante (variável). Estas resistências variáveis têm o nome de reóstatos (Figura 4). Uo S A B Rv R1 R2 E I Figura 4: Divisor de tensão com reóstato A posição do contacto móvel (S) determina a relação de resistências R1 e R2 e portanto a tensão de saída Vo. 12/31 ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Contínua
  • 13. Exemplo: Um reóstato tem uma resistência total (entre A e B) de 50 Ω e está ligado a uma fonte de tensão de 20 V. Qual a resistência entre A e S quando se obtêm na saída tensões de 5 V, 12 V e 16 V? Resolução: Para 5 V, a tensão de saída é igual a 5 = 20 x R1 / 30 ⇒ R1 = 7.5 Ω Para 12 V, 12 = 20 x R1 / 30 ⇒ R1 = 18 Ω Para 16 V, a tensão de saída é igual a 16 = 20 x R1 / 30 ⇒ R1 = 24 Ω 6. ASSOCIAÇÃO DE RESISTÊNCIAS EM PARALELO Se duas ou mais resistências se associam de forma a que cada uma delas forma um caminho separado para a corrente total, elas estão ligadas em paralelo (Figura 5). Desta vez, a tensão aos terminais de cada resistência é a mesma e igual a E, em valor absoluto. E R1 R2 R3 I1 I2 I3 I Figura 5: Associação de resistências em paralelo Na Figura 5, a corrente total I deve ser a soma das corrente parcelares I1, I2 e I3, isto é I = I1 + I2 + I3 Se assumirmos que cada resistência tem uma tensão U (E) aos seus terminais, as correntes são I1 = U / R1, I2 = U / R2, I3 = U / R3 Portanto, se Re for a resistência equivalente, então I = U / Re e U / Re = U / R1 + U / R2 + U / R3 ⇒ 1 / Re = 1 / R1 + 1 / R2 + 1 / R3 Estendendo-se este resultado a qualquer número de resistências ligadas em paralelo. Para o caso de duas (e apenas duas) resistências em paralelo, Re = R1R2 / (R1 + R2) ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Contínua 13/31
  • 14. Exemplo: Determine a resistência equivalente de duas resistências ligadas em paralelo, de valores 3.5 Ω e 5.4 Ω. Resolução: Re = 3.5 x 5.4 / (3.5 + 5.4) = 2.1 Ω Refira-se ainda que a resistência equivalente de um paralelo é sempre menor ou igual à menor resistência desse paralelo. 14/31 ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Contínua
  • 15. 7. DIVISOR DE CORRENTE Nos circuitos série notamos que a tensão aplicada (pela fonte) era dividida por tantas partes quantas as resistências. Num circuito paralelo a corrente é dividida por tantas partes quantas as resistências. É importante compreender como se divide a corrente, quando encontra resistências em paralelo. É de esperar que a resistência mais pequena fique com a maior parte da corrente e a resistência maior fique com a menor parte dessa corrente. É o que se chama uma relação inversa. As resistências intermédias ficam com correntes intermédias. Consideremos o caso de uma resistência de 3 Ω em paralelo com uma de 8 Ω, ligadas a uma fonte de 24 V. A corrente na resistência de 3 Ω será 24 / 3 = 8 A e a corrente na resistência de 8 Ω será 24 / 8 = 3 A. Portanto, quando a relação de resistências é de 3:8, a relação de correntes é de 8:3. Exemplo: Três resistências de 3, 9 e 12 Ω estão ligadas em paralelo e a corrente total do circuito é de 38 A. Determine a corrente em cada uma das resistências. Resolução: Primeiro calcular a resistência equivalente 1 / Re = 1 / 3 + 1 / 9 + 1 / 12 ⇒ Re = 36 /19 Ω A tensão aplicada que provoca que uma corrente de 38 A percorra esta resistência é de U = IRe = 38 x 36 /19 = 72 V Aplicando a Lei de Ohm a cada ramo (derivação), fica Corrente na resistência de 3 Ω = 72 / 3 = 24 A Total = 38 A Corrente na resistência de 9 Ω = 72 / 9 = 8 A Corrente na resistência de 3 Ω = 72 / 12 = 6 A ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Contínua 15/31
  • 16. 8. ASSOCIAÇÃO DE RESISTÊNCIAS EM SÉRIE-PARALELO A resolução de problemas envolvendo circuitos constituídos por resistências em série e em paralelo pode ser efectuada substituindo todos os grupos de resistências em paralelo pela sua resistência equivalente. O circuito pode então ser reduzido a uma associação série (ou paralelo) simples que , por sua vez, pode ser reduzida à sua resistência equivalente Re. Exemplo: Determine a resistência equivalente do circuito da Figura 6, bem como o valor da corrente em cada uma das resistências. R1 E R2 R3 R4 I2 I3 I4 I1 Figura 6: Circuito com resistências em série-paralelo Sabe-se que E = 10 V, R1 = 1.5 Ω, R2 = 4 Ω, R3 = 10 Ω e R4 = 20 Ω. Resolução: Primeiro calcular a resistência equivalente do grupo em paralelo 1 / Rep = 1 / 4 + 1 / 10 + 1 / 20 ⇒ Rep = 20 / 8 = 2.5 Ω Então, a resistência equivalente total é Re = 2.5 + 1.5 = 4 Ω e a corrente total (que passa em R1) I1 = 10 /4 = 2.5 A Então, a tensão aos terminais de R1 é U1 = 1.5 x 2.5 = 3.75 V “sobrando” 10 - 3.75 = 6.25 V para o grupo em paralelo. As correntes em cada resistência do paralelo são: I2 = 6.25 / 4 = 1.56 A Total = 2.5 A I3 = 6.25 / 10 = 0.625 A I4 = 6.25 / 20 = 0.313 A 16/31 ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Contínua
  • 17. 9. RESISTÊNCIA INTERNA DE UMA FONTE DE TENSÃO Qualquer fonte de tensão, nomeadamente as pilhas, as baterias ou os geradores, tem uma resistência interna cujo valor depende do tipo construtivo. A existência desta resistência interna provoca que o valor da força electromotriz fornecida pela fonte não seja igual à tensão aos seus terminais, isto é, provoca uma perda de energia indesejável. Uma fonte de tensão (real) pode ser representada, esquematicamente, por uma fonte de tensão ideal (sem resistência interna) em série com uma resistência. Isto pode ser observado na figura seguinte: Ri + E U - Figura 7: Fonte tensão real = fonte tensão ideal + resistência interna A tensão U aos terminais da fonte vai depender da carga que vai alimentar, isto é, da resistência que a fonte alimenta: Ri + E R U - I Figura 8: Fonte tensão real em carga Quanto maior for a corrente I, maior será a queda de tensão dentro da fonte de tensão (IRi), “sobrando” para o exterior a tensão: U = E - IRi Nota: A força electromotriz (E) de uma bateria pode ser medida utilizando um voltímetro com alta resistência interna, sem a esta ter aplicada qualquer carga. Temos pois uma situação em a bateria está praticamente sem carga, implicando que a corrente I seja praticamente nula, logo com IRi quase nulo pois. Se medirmos a tensão aos terminais da mesma bateria, mas agora em carga, o valor medido deverá ser inferior ao anterior, pois agora existe uma queda de tensão interna (IRi) que poderá ser não desprezável, dependendo do valor da resistência interna da bateria e da corrente que ela está a fornecer ao circuito. Exemplo: A tensão em vazio (sem carga) de uma bateria é 6 V. Quando se alimenta uma resistência de 10 Ω, a tensão aos seus terminais passa para 5 V. Qual o valor da resistência interna da bateria? Resolução: Sendo a força electromotriz da bateria E=6V ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Contínua 17/31
  • 18. e, quando se liga a resistência de 10 Ω a queda de tensão aos seus terminais passa para 5 V, que dizer que “cai” 1 V na resistência interna da bateria. Podemos então dizer: IRi = 1 V Como, I = 5 / 10 = 0.5 A então, Ri = 1 / 0.5 = 2 Ω 18/31 ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Contínua
  • 19. 10. ASSOCIAÇÃO DE BATERIAS As baterias (ou pilhas) podem associar-se em série ou em paralelo, consoante o objectivo que se pretende atingir. Se ligarmos, sucessivamente, o polo negativo de uma bateria ao polo positivo de outra, consegue-se um agrupamento com uma f.e.m. superior à de cada bateria e igual à soma de todas as f.e.m: E1 E2 E3 Figura 9: Associação de baterias em série Ficando, Ee = E1 + E2 + E3 + … Chama-se a este agrupamento a série de baterias. Uma bateria de automóvel, por exemplo, é feita à custa da associação em série de vários elementos de menor f.e.m. A resistência equivalente da série de baterias é igual à soma de todas as resistências internas: Rie = Ri1 + Ri2 + Ri3 + … Se pretendermos uma fonte CC que debite correntes mais elevadas do que uma só bateria, agrupamos várias baterias em paralelo (note-se que as baterias têm de ter f.e.m. iguais): E1 E2 E3 Figura 10: Associação de baterias em paralelo Ficando, Iemax = I1max + I2max + I3max + … O inverso da resistência equivalente do paralelo de baterias é igual à soma de todos os inversos das resistências internas: 1 / Rie = 1 / Ri1 + 1 / Ri2 + 1 / Ri3 + … Para produzir tanto f.e.m. como correntes elevadas, faz-se o agrupamento misto das baterias ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Contínua 19/31
  • 20. 11. POTÊNCIA E ENERGIA Potência (P) é, em termos genéricos, a energia (ou trabalho) produzida ou consumida por unidade de tempo, medindo-se em Joule / segundo (J/s). Em electrotecnia utiliza-se o Watt (W) para simbolizar a potência eléctrica unitária e o Watt-Hora (Wh) como unidade de energia (unidade que vulgarmente aparece referenciada nas nossas facturas de electricidade). É frequente utilizarmos termos como: esta lâmpada é mais potente que aquela; este motor é mais potente que aquele, etc. De facto, quanto maior a potência de um receptor eléctrico, maior capacidade de produzir trabalho ele terá, mas também maior quantidade de energia eléctrica ele consumirá. Por exemplo uma lâmpada de maior potência que outra do mesmo tipo dá mais luz, mas também consome mais energia. Em electricidade, a potência de um receptor está relacionada com a sua resistência, a corrente que o percorre e a tensão aos seus terminais, da seguinte forma: P = RI2 = UI = U2 / R Estas relações são úteis, por exemplo, para saber qual a corrente que é consumida por um receptor de uma dada potência e uma dada tensão nominais, ou para saber que potência é consumida por uma resistência, quando se aplica uma dada tensão, etc. Exemplo: Qual a corrente consumida por uma lâmpada de 60 W, sabendo que para a alimentar se utiliza uma bateria de 12 V? Resolução: I = P / U = 60 / 12 = 5 A 20/31 ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Contínua
  • 21. 12. CAPACIDADE DE UMA BATERIA Por exemplo, um acumulador de chumbo de 100 Ah é descarregado em 10 h com uma corrente de 10 A e pode ser descarregado em apenas 1 h com uma corrente de 50 A. Neste caso, a capacidade da bateria é de 50 Ah (metade da anterior). Portanto, a capacidade de um acumulador deve ser acompanhada do tempo da descarga, em horas. Se assim não acontecer, o valor da capacidade refere-se aos períodos normais de descarga (10 h para os acumuladores de chumbo). As possibilidades de utilização de uma bateria (acumulador) são caracterizadas, principalmente, pela sua capacidade [[Mor, 87]]. Esta representa a quantidade de electricidade em Ah que o acumulador pode fornecer durante a descarga. A capacidade de um acumulador varia com o regime de descarga e com a temperatura do electrólito. Quando a temperatura não é citada, é porque se considera 20ºC. Em termos energéticos, uma bateria de 12 V e 100 Ah tem uma energia de: 12 x 100 = 1.2 kWh (= 4320000 J) ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Contínua 21/31
  • 22. 13. CONSERVAÇÃO DE ENERGIA (LEIS DE KIRCHOFF) Tal como em qualquer sistema fechado, a energia eléctrica, num dado circuito, também se conserva. De facto, a energia que é produzida (fontes de energia: bateria, dínamo, etc.) é igual à energia que é consumida, tanto pelos receptores propriamente ditos (lâmpada, aquecedor, etc.) como por perdas nas resistências dos fios e contactos necessários à ligação do próprio circuito. As Leis de Kirchoff mais não são do que leis de conservação de energia aplicadas aos circuitos eléctricos. Já atrás se utilizaram estas leis para determinar a resistência equivalente da associação de resistências em série e em paralelo e para calcular divisores de tensão e corrente. Para enunciar estas leis, convém ter presentes os seguintes conceitos: Elemento Eléctrico → Dispositivo capaz de transformar energia, sendo a energia eléctrica uma das formas de energia postas em jogo. Activo → Dispositivo que transforma outra forma de energia em energia eléctrica (pilhas, baterias, dínamos, alternadores). Também chamados de fontes, são activos pois fornecem energia eléctrica aos circuitos a eles ligados. Passivo → Dispositivo que transforma energia eléctrica noutra forma de energia (motor: mecânica, lâmpada: luminosa, aquecedor: calorífica). Também chamados de receptores, são passivos pois absorvem energia eléctrica. Ramo → Conjunto de elementos eléctricos em série, percorridos pela mesma corrente (pode ser apenas um elemento). R1 E Figura 11: Ramo de um circuito eléctrico Nó → Ponto de junção, ligação ou intersecção de ramos (em geral, mais de 2). R1 R2 Figura 12: Nó de um circuito eléctrico Malha → Conjunto de ramos formando um circuito fechado (anel). 22/31 ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Contínua
  • 23. R1 E R2 R3 R4 Figura 13: Malha de um circuito eléctrico 13.1. Lei das Malhas Ao longo de uma malha, a soma algébrica das forças electromotrizes (subidas de potencial) é igual à soma algébrica das quedas de potencial: ΣE = ΣU No circuito seguinte, a Lei das Malhas aplicada à malha assinalada é E = U1 + U2 U1 R1 E R2 U2 R4 Figura 14: Malha num circuito eléctrico 13.2. Lei dos Nós Em qualquer nó de um circuito eléctrico, a soma algébrica das correntes (convergentes e divergentes) é nula: ΣI = 0 No circuito seguinte, a Lei dos Nós aplicada ao nó assinalado é I2 + I3 + I4 - I1 = 0 R1 E R2 R3 R4 I2 I3 I4 I1 Figura 15: Nó num circuito eléctrico ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Contínua 23/31
  • 24. 14. SIMPLIFICAÇÃO DE CIRCUITOS Embora todos os circuitos se possam resolver a partir da utilização pura e simples da Lei de Ohm e das Leis de Kirchoff, esse processo tende a tornar-se demasiado complicado para circuitos mais complexos, podendo dar origem a erros. Aparecem então diversos métodos para auxiliar a análise de circuitos complexos, dentro dos quais se salientam o método da simplificação num circuito equivalente (Teorema de Thévenin) e o método de subdivisão em circuitos mais simples (Teorema da Sobreposição), explicados a seguir. Por vezes, na análise de circuitos eléctricos, temos de resolver problemas deste tipo: temos um circuito mais ou menos complexo ao qual se liga, entre dois dos seus pontos, um dado ramo (ou circuito) cuja constituição pode variar (uma resistência variável, por exemplo) e pretende- se, de cada vez que o ramo varie, analisar as grandezas eléctricas nele existentes. Obviamente que sempre que o ramo varia, variam também as grandezas eléctricas em todo o circuito. O processo mais simples de resolver este tipo de problemas é considerar todo o circuito, com excepção do ramo (circuito) a estudar, como sendo um bipolo e aplicar o Teorema de Thévenin. 14.1. Teorema de Thévenin Um dos métodos mais utilizados para “conhecer” um determinado circuito é torná-lo num circuito mais simples de analisar. Tal como se fez para as séries e paralelos de resistências, pode determinar-se o circuito equivalente de um circuito, correspondendo a uma fonte ideal de tensão em série com uma resistência. Um circuito mais ou menos complexo: R E R E Figura 16: Circuito complexo visto de um bipolo Pode ser transformado no circuito equivalente, para um dado bipolo: Re Ee Figura 17: Circuito equivalente para o mesmo bipolo Define-se bipolo como qualquer circuito eléctrico acessível ao exterior por dois terminais. É extremamente importante perceber que um circuito equivalente apenas o é para um dado bipolo (dois pontos). O mesmo circuito, visto de outros dois pontos tem, obviamente, um circuito equivalente diferente. 24/31 ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Contínua
  • 25. Repare-se que este método de simplificação mostra-se extremamente adequado quando temos variação de carga aos terminais do bipolo, ou quando queremos verificar como é que variações de resistência (ou outra grandeza eléctrica) influem na carga. A determinação de Ee e Re pode ser feita recorrendo ao Teorema de Thévenin: Qualquer bipolo é equivalente, para o exterior, a uma fonte ideal de tensão (f.e.m. igual à tensão em circuito aberto do bipolo) em série com uma resistência (vista dos terminais do bipolo, substituindo as fontes pelas suas resistências internas). Daqui se tira que: Ee = Uca e Re = Ee / Icc Métodos para determinar Ee e Re • Analiticamente Ee → é igual à tensão em circuito aberto no bipolo (determina-se recorrendo às Leis de Kirchoff) Re → substituem-se as fontes pelas suas resistências internas e calcula-se a resistência equivalente (calculando a resistência equivalente de associações série e/ou paralelo) • Experimentalmente Ee → Mede-se com um voltímetro a tensão aos terminais do bipolo (tensão em circuito aberto). O voltímetro deverá ter uma elevada resistência interna. Re → Substituem-se as fontes pelas suas resistências internas (se a resistência interna da fonte de tensão for pequena, substitui-se por um fio) e determina-se a resistência equivalente ligando um ohmímetro aos terminais do bipolo. Outra possibilidade é medir a corrente de curto-circuito ligando um amperímetro (de baixa resistência interna) aos terminais do bipolo, obtendo-se Re a partir de Re = Ee / Icc ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Contínua 25/31
  • 26. Exemplo: Determine o equivalente de Thévenin do circuito da figura seguinte, visto do bipolo SB. Uo S A B Rv R1 R2 E I Figura 18: Circuito inicial Considera-se que Rv = R1 + R2 e que R2 = d.Rv e R1 = (1-d).Rv em que d representa o deslocamento do reóstato e está compreendido entre 0 e 1. d = 1 corresponde a ter uma tensão de saída (U0) máxima d = 0 corresponde a ter uma tensão de saída (U0) nula Resolução: Primeiro, calcular a resistência equivalente vista do bipolo SB. Tendo em conta que a fonte não tem resistência interna: Re = R1 // R2 = R1 R2 / (R1 + R2) = d.(1-d).Rv A f.e.m. equivalente é Ee = U0 = ER2 / (R1 + R2) = E.d O circuito equivalente de Thévenin é então: d.(1-d).Rv S E.d B Figura 19: Circuito simplificado, visto do bipolo SB 14.2. Linearidade dos Circuitos A simplificação de circuitos segundo os Teorema da Sobreposição e de Thévenin só pode ser feita se os elementos eléctricos forem lineares. Um elemento eléctrico é linear se, independentemente do valor de tensão U aos seus terminais e da corrente I que o atravessa, a equação que os relaciona não se altera. Claro que, na natureza, nenhuma relação é rigorosamente linear, mas podemos considerar certos elementos aproximadamente lineares, tais como resistências de fio metálico. Exemplos de elementos 26/31 ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Contínua
  • 27. eléctricos não lineares são a lâmpada de incandescência (resistência aumenta com a temperatura) e o díodo (semicondutor diminui a resistência com o aumento da temperatura). 14.3. Teorema da Sobreposição Se os elementos de um circuito forem lineares, é possível decompor um circuito complexo em vários circuitos mais simples, analisar separadamente o comportamento destes e por fim concluir acerca do comportamento do circuito inicial. É com base no princípio da aditividade de efeitos que se enuncia o Teorema da Sobreposição: A corrente em qualquer ramo de um circuito é igual à soma algébrica das correntes devidas a cada uma das fontes, consideradas separadamente, substituindo as restantes fontes pelas suas resistências internas. Este teorema tem interesse prático quando se pretendem analisar circuitos com mais do que uma fonte de energia. ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Contínua 27/31
  • 28. 15. O CONDENSADOR 15.1. Capacidade de um Condensador Um condensador é um sistema constituído por dois materiais condutores (armaduras ou placas) separadas por um material isolante (dieléctrico), sendo capaz de armazenar cargas eléctricas. A capacidade de armazenar cargas eléctricas (de sinal contrário) chama-se capacitância (ou capacidade), correspondendo a um maior ou menor Campo Eléctrico existente no dieléctrico, entre as duas armaduras e portanto a mais ou menos energia eléctrica armazenada (no dieléctrico). Ao se estabelecer uma diferença de potencial entre as armaduras de um condensador, criam-se cargas eléctricas à superfície das armaduras (uma fica carregada positivamente e a outra negativamente, com o mesmo valor absoluto), correspondendo à carga do condensador: Armadura +Q Linhas de força do Campo Eléctrico d -Q Figura 20: Campo Eléctrico num condensador A carga eléctrica Q que pode ser armazenada por um condensador varia em proporção à tensão U que é aplicada (na carga do condensador), podendo ser expressa da seguinte maneira: Q = C.U Na expressão anterior, C é uma constante que representa a capacidade (capacitância) do condensador. Esta apresenta as seguintes características: • É proporcional à área total das armaduras do condensador • É proporcional à capacidade isoladora do elemento que separa as armaduras (dieléctrico) • É inversamente proporcional à distância entre as armaduras do condensador A capacitância é medida em Farads, representados pela letra F. Na prática, a maior parte dos condensadores têm uma capacidade muito inferior à unidade, sendo normalmente utilizados o ρF (1 x 10-12 F) e o µF (1 x 10-6 F). 15.2. Tipos de Condensadores Os tipos de condensadores mais comuns são: • Condensadores de papel • Condensadores de plástico • Condensadores de mica • Condensadores de cerâmicos 28/31 ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Contínua
  • 29. • Condensadores electrolíticos Estes últimos funcionam através de fenómenos electrolíticos (tal como as baterias), tendo que ser respeitada a sua polaridade (uma armadura tem polaridade positiva e a outra negativa). Para evitar a danificação deste tipo de condensadores, a sua polaridade vem assinalada pelo fabricante. 15.3. Associação de Condensadores Se associarmos vários condensadores em paralelo: C1 C2 C3 Figura 21: Associação de condensadores em paralelo Como os condensadores estão ligados em paralelo, as tensões aos seus terminais são todas iguais e a carga total do conjunto é a soma de cada uma das cargas, isto é: U = U1 = U2 = U3 Q = Q1 + Q 2 + Q 3 Considerando as cargas dos condensadores Q1 = C1.U, Q2 = C2.U, Q3 = C3.U Definindo a capacidade do conjunto como C=Q/U fica, Q = C.U = C1.U + C2.U + C3.U ⇒ C = C1 + C2 + C3 Isto é, a capacidade de um conjunto de condensadores ligados em paralelo é igual `a soma das capacidades individuais (é equivalente à série de resistências). Se interligarmos condensadores em série: C1 C2 C3 Figura 22: Associação de condensadores em série Supondo que a placa esquerda do primeiro condensador é carregada positivamente, a placa direita deste condensador é carregada negativamente, com electrões (cargas negativas) que vai buscar à placa esquerda do segundo condensador, e assim sucessivamente para os restantes condensadores. Isto quer dizer que as cargas dos condensadores são todas iguais: Q = Q1 = Q 2 = Q 3 A tensão total, neste caso, será: U = U1 + U2 + U3 ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Contínua 29/31
  • 30. Então, U = Q / C = Q / C1 + Q / C2 + Q / C3 ⇒ 1 / C = 1 / C1 + 1 / C2 + 1 / C3 Isto é, o inverso da capacidade dum conjunto de condensadores ligados em série é igual à soma dos inversos das capacidades individuais (é equivalente ao paralelo de resistências). 15.4. Rigidez Dieléctrica Isolante ou dieléctrico é uma substância no interior da qual não existem (ou existem muito poucas) partículas electricamente carregadas, livres de se moverem quando sob a influência de um Campo Eléctrico. Para cada dieléctrico existe uma determinada intensidade limite de Campo Eléctrico, que, se ultrapassada, faz com que o dieléctrico perca as suas propriedades isoladoras, tornando-se condutor. Este limite chama-se Rigidez Dieléctrica de uma substância. 15.5. Relação entre Tensão e Corrente num Condensador Dado que a corrente é definida como a passagem de carga eléctrica, por unidade de tempo: I = ∂Q / ∂t e como num condensador Q = C.U então, a relação entre a tensão e a corrente, num condensador de capacidade C é ∂U ∫ 1 I = C. ⇔ U = . I .∂t ∂t C 30/31 ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Contínua
  • 31. 16. REFERÊNCIAS [Kni, 78] S. A. Knight, Electrical Principles for Technicians 2, Butterworth Publishers Inc., England, 1978. & [Mor, 87] Simões Morais, Laboratório de Electricidade, Porto Editora., England, 1987. & * - do autor & - disponível no ISEP ABC dos Circuitos Eléctricos em Corrente Contínua 31/31