Analise De Circuitos Electricos Ist

Capa da Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos

Notas

Citação

Agradecimentos

Apresentação

Convenções

Índice

Index

Sebenta
Multimédia

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/CAPA.HTM (1 of 2)06-06-2005 12:35:14


A Sebenta Multimédia necessita de um browser que suporte frames,
JavaScript e Java.

Se tiver algum problema com a Sebenta Multimédia entre em contacto com
Pedro.Alves@inesc.pt ou com o Professor Victor.Dias@inesc.pt para a sua
resolução.

Esta Sebenta Multimédia foi concebida por Rita Carreira e Pedro Fonseca
em 1996/97 a partir de um original da autoria do Professor Victor da Fonte
Dias.

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Sebenta Multimédia de Análise de Circuitos Eléctricos

Grandezas Eléctricas

A Ciência Eléctrica estuda o fenómeno da existência e interacção entre cargas
eléctricas. Tal como a massa, a carga eléctrica é uma propriedade fundamental da
Sebenta matéria que se manifesta através de uma interacção, designadamente através de uma
Multimédia força. No entanto, a carga eléctrica apresenta a particularidade de se manifestar
1 Grandezas através de uma força que tanto pode ser de atracção como de repulsão, ao contrário
Eléctricas daquela manifestada pelas massas, que, como se sabe, é apenas de atracção.
2 Componentes
As principais grandezas da ciência eléctrica são a carga, a força, o campo, a energia, a
Fundamentais dos
tensão, a potência e a corrente eléctrica. Um dos objectivos deste capítulo é explicar a
Circuitos Eléctricos relação existente entre estas grandezas eléctricas, dando particular atenção às
3 Resistência grandezas tensão e corrente eléctrica. Com efeito, a análise de circuitos visa
Eléctrica essencialmente a determinação da relação corrente/tensão eléctrica em redes de
4 Leis de componentes eléctricos e electrónicos.
Kirchhoff
A lei fundamental da Ciência Eléctrica é a Lei de Coulomb. Esta lei estabelece que
5 Métodos de
duas cargas eléctricas em presença uma da outra se atraem ou repelem mutuamente,
Análise Sistemática de isto é, interagem entre si através de uma força. Como grandeza de tipo vectorial, a
Circuitos força eléctrica possui, portanto, uma direcção, um sentido e uma intensidade. A
6 Teoremas direcção da força coincide com a da recta que une as duas cargas, o sentido é uma
Básicos dos Circuitos função dos sinais respectivos, positivos ou negativos, e a intensidade é uma função do
módulo das cargas e da distância que as separa.
Eléctricos
7 Condensador e
A interacção à distância entre cargas eléctricas conduz ao conceito de campo eléctrico,
Capacidade Eléctrica o qual nos permite encarar a força eléctrica como o resultado de uma acção exercida
8 Bobina e por uma carga ou conjunto de cargas vizinhas. Tal como a força, o campo eléctrico é
Indutância uma grandeza vectorial com direcção, sentido e intensidade.
Electromagnética
9 Análise de O movimento de uma carga num campo eléctrico, em sentido contrário ou
concordante com o da força eléctrica a que se encontra sujeita, conduz à libertação ou
Circuitos RC e RL de 1.ª exige o fornecimento de uma energia. O acto de se isolarem fisicamente conjuntos de
Ordem cargas positivas e negativas equivale a fornecer energia ao sistema, comparável ao
10 Análise de armazenamento de energia eléctrica numa bateria. Pelo contrário, o movimento de
Circuitos RC, RL e RLC cargas negativas no sentido de partículas carregadas positivamente corresponde à
libertação de energia. Em geral, a presença de cargas eléctricas imersas num campo
de 2.ª Ordem
atribui ao sistema uma capacidade de realizar trabalho, capacidade que é designada
11 Impedância por energia potencial eléctrica ou, simplesmente, energia eléctrica.
Eléctrica
12 Análise da Uma carga colocada em pontos distintos de um campo eléctrico atribui valores
Resposta em Frequência também distintos de energia ao sistema. A diferença de energia por unidade de carga é
13 Bobinas designada por diferença de potencial, ou tensão eléctrica. Tensão e energia eléctrica
são, por conseguinte, duas medidas da mesma capacidade de realizar trabalho. A taxa
Acopladas e
de transformação de energia eléctrica na unidade de tempo é designada por potência
Transformadores eléctrica.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_01/smace_01.htm (1 of 2)06-06-2005 12:35:17


14 Diportos
O fluxo de cargas eléctricas é designado por corrente eléctrica. Em particular, define-
Eléctricos se corrente eléctrica como a quantidade de carga que na unidade de tempo atravessa
15 Amplificador uma dada superfície.
Operacional
16 Transferidor de Corrente e tensão eléctrica definem as duas variáveis operatórias dos circuitos
Tensão e Corrente eléctricos.
APÊNDICE-A
APÊNDICE-B



Notas

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Agradecimentos

Apresentação

Convenções

Índice

Index

Sebenta
Multimédia

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A Sebenta Multimédia necessita de um browser que suporte frames,
JavaScript e Java.

Se tiver algum problema com a Sebenta Multimédia entre em contacto com
Pedro.Alves@inesc.pt ou com o Professor Victor.Dias@inesc.pt para a sua
resolução.

Esta Sebenta Multimédia foi concebida por Rita Carreira e Pedro Fonseca
em 1996/97 a partir de um original da autoria do Professor Victor da Fonte
Dias.

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Notas

Victor da Fonte Dias, Professor Auxiliar no Instituto Superior Técnico (IST), Lisboa, ensina disciplinas de
electrónica das Licenciaturas em Engenharia Electrotécnica e de Computadores e de Engenharia
Aeroespacial. Licenciado, obteve o grau de Mestre em Engenharia Electrotécnica no IST em 1986 e 1989,
respectivamente, tendo obtido em 1993 o grau de Doutor na Università degli Studi di Pavia, Itália. De
então para cá partilha as actividades de docente no IST e de investigador no INESC, tendo em 1994 sido,
também, Professor Convidado na Academia da Força Aérea Portuguesa.

O Prof. Victor Dias é autor de diversos artigos publicados em revistas e conferências internacionais,
designadamente nos domínios da microelectrónica analógica e mista analógica-digital, e teste e
processamento de sinais.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_00/notas.htm06-06-2005 12:35:18

Ajuda

Geral

A Sebenta Multimédia, para ser visualizada, necessita de um browser que suporte frames.

Para utilizar os Simuladores (Capítulo 10 e Capítulo 12) é necessário um browser que interprete Java.

Recomenda-se a utilização de uma janela de visualização de largura inferior a 1024 pixeis.

Em baixo encontra-se uma imagem relativa à Sebenta Multimédia. São identificados os seus elementos
principais, de modo a permitir uma melhor compreensão do texto existente nesta página de Ajuda.

Buttonbars

As três buttonbars que aparecem nas páginas da Sebenta Multimédia encontram-se aqui explicadas.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_00/ajuda.htm (1 of 5)06-06-2005 12:35:19

Ajuda

Páginas introdutórias Páginas de Simuladores,
Fotografias e Ajuda

Páginas de matéria

Nota : Algumas das setas podem estar inactivas.

O botão Capa carrega a capa da Sebenta Multimédia

O botão Índice carrega o índice da Sebenta Multimédia mostrando o índice do capítulo em que o
utilizador se encontrava quando carregou no botão.

O botão Index carrega o index da Sebenta Multimédia. A ligação é feita para o início do documento,
onde o utilizador poderá escolher a letra onde lhe interessa pesquisar.

O botão Expandir Janela de Texto faz com que a janela com o texto da Sebenta Multimédia se
maximize. Utilizar este botão, quando se tem um pequeno monitor ou a placa gráfica configurada
para baixa resolução e/ou se está interessado em ver mais informação no écran.

O botão Contrair Janela de Texto deve ser utilizado quando se pretende voltar ao formato original
da sebenta, i.e., com o menu na janela do lado esquerdo e o texto na janela do lado direito (ver figura
acima). O retorno ao formato original é feito para a capa do capítulo onde o utilizador se encontra.

Se chegou até esta página já adivinhou a utilidade do botão Ajuda. Porém, caso seja distraído cá fica
a explicação. Este botão disponibiliza-lhe esta página de ajuda.

O botão Capítulo Seguinte carrega a capa do capítulo seguinte na janela de texto.

O botão Capítulo Anterior carrega a capa do capítulo anterior na janela de texto.

O botão Secção Anterior carrega a capa do secção anterior na janela de texto.

O botão Secção Seguinte carrega a capa do secção seguinte na janela de texto.


Ajuda

O botão Documento Anterior carrega o último documento visitado.

Modos de Visualização

A Sebenta Multimédia tem dois modos de visualização, permitindo que o texto seja apresentado de duas
maneiras diferentes. Assim, pode optar-se por ter a janela de texto expandida ou contraída, sendo a
passagem, de um modo de visualização para outro, uma tarefa muito simples. Basta carregar no botão
respectivo da buttonbar.

Janela de Texto Contraída ( Botão ) Janela de Texto Expandida ( Botão )

Modos de Navegação

Existem quatro formas principais de navegação na Sebenta Multimédia. Pode partir-se à descoberta do texto
a partir do Menu, do Índice, do Index e de um modo sequencial, utilizando as setas da buttonbar. Em baixo
apresentam-se imagens elucidativas de cada um destes elementos.

Menu Índice


Ajuda

Index Setas da buttonbar

Simuladores

O modo de funcionamento de qualquer dos simuladores é relativamente simples. O utilizador insere todos os
parâmetros nas caixas colocadas na parte superior da janela de controlo, ou deixa os que estão por defeito, e
de seguida pressiona o botão "Executar". A partir deste instante, o simulador entra em execução e uma de
duas coisas pode acontecer:

1. se os parâmetros estiverem todos correctos o simulador calcula a resposta
e desenha-a no écran, fornecendo informações relevantes na parte inferior
da janela de controlo: identificação do tipo de solução, valor do factor de
qualidade e das divisões horizontais e verticais;

2. se algum dos parâmetros estiver incorrecto, o simulador fornecerá ao
utilizador uma mensagem de erro e abortará a execução da simulação.


Ajuda

NOTA: Para mais informações consultar o Manual do Utilizador da Sebenta Multimédia.


Índice

Capítulo 1 Capítulo 2
1 Grandezas Eléctricas 2 Componentes Fundamentais dos Circuitos Eléctricos
1.1 Carga, Força e Campo Eléctrico 2.1 Circuitos e Componentes Eléctricos
1.1.1 Carga Eléctrica 2.1.1 Definições
1.1.2 Força Eléctrica 2.1.2 Componentes Fundamentais
1.1.3 Campo Eléctrico 2.2 Componentes Lineares e Não Lineares
1.2 Energia Potencial e Tensão Eléctrica 2.2.1 Linearidade
1.2.1 Energia Potencial Eléctrica 2.2.2 Distorção Harmónica
1.2.2 Tensão Eléctrica 2.2.3 Ponto de Funcionamento em Repouso
1.3 Corrente e Potência Eléctrica Sumário
1.3.1 Corrente Eléctrica Exercícios de Aplicação
1.3.2 Potência Eléctrica
1.4 Sinais Eléctricos
1.5 Fontes de Alimentação e de Sinal
1.6 Instrumentos de Medida
1.6.1 Voltímetro
1.6.2 Amperímetro
1.6.3 Wattímetro
1.6.4 Multímetro
1.6.5 Osciloscópio
Sumário
Exercícios de Aplicação

3 Resistência Eléctrica 4 Leis de Kirchhoff
3.1 Lei de Ohm 4.1 Leis de Kirchhoff
3.2 Lei de Joule 4.1.1 Lei de Kirchhoff das Tensões
3.3 Tipos de Resistências 4.1.2 Lei de Kirchhoff das Correntes
3.3.1 Resistências de Carvão 4.2 Associação de Resistências
3.3.2 Resistências de Película ou Camada Fina 4.2.1 Associação em Série
3.3.3 Resistências Bobinadas 4.2.2 Associação em Paralelo
3.3.4 Resistências Híbridas de Filme Espesso e de Filme Fino 4.2.3 Associação Série-Paralelo
3.3.5 Resistências Ajustáveis e Variáveis 4.3 Divisores de Tensão e de Corrente
3.3.6 Características Técnicas das Resistências 4.3.1 Divisor de Tensão
3.4 Varístores 4.3.2 Divisor de Corrente
3.5 Efeitos da Temperatura 4.3.3 Curto-circuito e Circuito Aberto
3.6 Sensores Resistivos 4.4 Resistência Interna das Fontes
3.6.1 Termo-resistências e Termístores 4.4.1 Fonte de Tensão
3.6.2 Foto-resistências 4.4.2 Fonte de Corrente
3.6.3 Outros Sensores Resistivos 4.5 Transformação de Fonte
3.7 Ohmímetro 4.6 Associação de Fontes
Sumário 4.6.1 Associação de Fontes de Tensão
Exercícios de Aplicação 4.6.2 Associação de Fontes de Corrente
4.7 Exemplos de Aplicação
4.7.1 Exemplo de Aplicação-1

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Índice

Sumário

5 Métodos de Análise Sistemática de Circuitos 6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos
5.1 Método dos Nós 6.1 Teorema da Sobreposição das Fontes
5.1.1 Fontes de Corrente Independentes 6.2 Teorema de Thévenin
5.1.2 Fontes de Tensão Independentes 6.3 Equivalente de Norton
5.1.3 Fontes de Corrente Dependentes 6.4 Teorema da Máxima Transferência de Potência
5.1.4 Fontes de Tensão Dependentes 6.5 Teorema de Millman
5.2 Exemplos de Aplicação 6.6 Teorema de Miller
5.2.1 Exemplo de Aplicação-1 Sumário
5.2.2 Exemplo de Aplicação-2 Exercícios de Aplicação
5.3 Método das Malhas
5.3.1 Fontes de Tensão Independentes
5.3.2 Fontes de Corrente Independentes
5.3.3 Fontes de Tensão Dependentes
5.3.4 Fontes de Corrente Dependentes
Sumário

7 Condensador e Capacidade Eléctrica 8 Bobina e Indutância Electromagnética
7.1 Capacidade Eléctrica 8.1 Grandezas Magnéticas
7.2 Característica Tensão-Corrente 8.1.1 Força e Campo Magnético
7.2.1 Características i(v) e v(i) 8.1.2 Fluxo e Densidade de Fluxo Magnético
7.2.2 Energia Eléctrica Armazenada 8.1.3 Materiais Magnéticos
7.2.3 Exemplos de Aplicação 8.1.4 Indutância
7.3 Associação de Condensadores 8.1.5 Fenómeno da Indução Electromagnética
7.3.1 Associação em Paralelo 8.1.6 Coeficientes de Auto-Indução e de Indução Mútua
7.3.2 Associação em Série 8.2 Característica Tensão-Corrente
7.4 Divisores Capacitivos de Corrente e de Tensão 8.2.1 Características v(i) e i(v)
7.5 Tipos de Condensadores 8.2.2 Energia Magnética Armazenada
7.5.1 Condensadores de Mica 8.3 Associação de Bobinas
7.5.2 Condensadores de Película ou Folha 8.3.1 Associação em Série
7.5.3 Condensadores Cerâmicos 8.3.2 Associação em Paralelo
7.5.4 Condensadores Electrolíticos 8.4 Divisores Indutivos de Tensão e de Corrente
7.5.5 Condensadores Híbridos 8.5 Tipos de Bobinas
7.5.6 Condensadores Variáveis 8.6 Sensores Indutivos
7.5.7 Características Técnicas dos Condensadores Sumário
7.5.8 Códigos de Identificação de Condensadores Exercícios de Aplicação
7.6 Sensores Capacitivos
7.7 Instrumentos de Medida da Capacidade
Sumário



Índice

9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem 10 Análise de Circuitos RC, RL e RLC de 2.ª Ordem
9.1 Solução Natural 10.1 Topologias Básicas
9.1.1 Circuitos RC e RL 10.2 Formulação das Equações
9.1.2 Solução Natural 10.2.1 Método da Substituição
9.1.3 Condições Inicial e de Continuidade 10.2.2 Método do Operador-s
9.1.4 Solução Natural Comutada 10.2.3 Método das Variáveis de Estado
9.1.5 Energia Armazenada e Dissipada 10.3 Solução Natural
9.2 Solução Forçada 10.3.1 Soluções Naturais Alternativas
9.2.1 Circuitos RC e RL 10.3.2 Solução Sobre-amortecida
9.2.2 Soluções Natural e Forçada 10.3.3 Solução Criticamente Amortecida
9.2.3 Solução Forçada Constante 10.3.4 Solução Sub-amortecida
9.2.4 Solução Forçada Sinusoidal 10.3.5 Solução Oscilatória
9.3 Teorema da Sobreposição das Fontes 10.4 Solução Forçada
9.4 Exemplos de Aplicação 10.4.1 Solução Forçada Constante
9.4.1 Exemplo de Aplicação-1 10.4.2 Solução Forçada Sinusoidal
9.4.2 Exemplo de Aplicação-2 Sumário
9.4.3 Exemplo de Aplicação-3 Exercícios de Aplicação
Sumário

11 Impedância Eléctrica 12 Análise da Resposta em Frequência
11.1 Fasor e Impedância 12.1 Resposta em Frequência
11.1.1 Números Complexos e Sinais Sinusoidais 12.1.1 Circuito RC
11.1.2 Fasor 12.1.2 Diagramas de Bode
11.1.3 Impedância Eléctrica 12.1.3 Exemplo de Aplicação
11.2 Leis de Kirchhoff em Notação Fasorial 12.2 Circuitos Ressonantes
11.3 Métodos de Análise em Notação Fasorial 12.2.1 Circuito Ressonante Série
11.4 Teoremas Básicos em Notação Fasorial 12.2.2 Circuito Ressonante Paralelo
11.4.1 Transformação de Fonte 12.3 Notação de Laplace
11.4.2 Teorema de Thévenin e Equivalente de Norton 12.3.1 Função de Transferência
11.4.3 Teorema da Sobreposição das Fontes 12.3.2 Diagramas de Bode Canónicos
11.4.4 Teorema de Millman 12.4 Filtros Eléctricos
11.4.5 Teorema de Miller 12.4.1 Filtros Passa-Baixo
11.5 Potência 12.4.2 Filtros Passa-Alto
11.5.1 Potência nos Elementos R, C e L 12.4.3 Filtros Passa-Banda
11.5.2 Potência nos Circuitos RC e RL 12.4.4 Filtros Rejeita-Banda
11.5.3 Potências Activa, Reactiva e Aparente Sumário
11.5.4 Teorema da Máxima Transferência de Potência Exercícios de Aplicação
Sumário

13 Bobinas Acopladas e Transformadores 14 Diportos Eléctricos
13.1 Bobinas Acopladas 14.1 Diportos
13.1.1 Coeficiente de Indução Mútua 14.1.1 Definições
13.1.2 Associação de Bobinas Acopladas 14.1.2 Modelos Eléctricos Equivalentes
13.1.3 Modelo Eléctrico Equivalente 14.1.3 Exemplos de Aplicação
13.2 Transformador Ideal 14.2 Associação de Diportos
13.2.1 Transformador Ideal em Vazio 14.2.1 Associações em Série, em Paralelo, em Cascata e em Modo Híbrido
13.2.2 Transformador Ideal em Carga 14.2.2 Exemplos de Aplicação
13.2.3 Modelo Eléctrico Equivalente 14.3 Diportos Amplificadores
13.3 Tipos e Aplicações dos Transformadores 14.3.1 Impedâncias de Entrada e de Saída
13.3.1 Auto-Transformador 14.3.2 Ganhos de Tensão e de Corrente
13.3.2 Transformadores com Múltiplos Enrolamentos 14.3.3 Associação de Amplificadores em Cascata
13.3.3 Transformadores de Medida Sumário


Índice

13.3.4 Transformadores de Sinal Exercícios de Aplicação
13.3.5 Transformadores de Potência
13.4 Sensores Relutivos e Electromagnéticos
Sumário

15 Amplificador Operacional 16 Transferidor de Tensão e Corrente
15.1 AmpOp Ideal 16.1 Transferidor Ideal
15.2 Montagens Básicas 16.2 Montagens Básicas
15.2.1 Montagem Inversora 16.2.1 Seguidor de Tensão
15.2.2 Montagem Não-Inversora 16.2.2 Seguidor de Corrente
15.3 Circuitos com AmpOps 16.2.3 Conversor de Tensão em Corrente
15.3.1 Seguidor de Tensão 16.2.4 Conversor de Corrente em Tensão
15.3.2 Somador Inversor 16.2.5 Amplificador de Corrente
15.3.3 Amplificador Inversor 16.2.6 Amplificador de Tensão
15.3.4 Amplificador da Diferença 16.3 Circuitos com Transferidores
15.3.5 Amplificador de Instrumentação 16.3.1 Amplificador Diferencial
15.3.6 Filtros Activos 16.3.2 Somador
15.3.7 Conversores de Impedâncias e de Tensão-Corrente 16.3.3 Integradores de Corrente e de Tensão
15.4 Parâmetros Reais dos AmpOps 16.3.4 Diferenciadores de Corrente e de Tensão
15.4.1 Ganho e Largura de Banda 16.3.5 Conversores de Impedâncias
15.4.2 Taxa de Inflexão 16.3.6 Filtros Activos
15.4.3 Resistências de Entrada e de Saída 16.4 Parâmetros Reais dos Transferidores
15.4.4 Ganho de Modo Comum 16.4.1 Erros de Transferência e Resistências de Entrada e de Saída
15.4.5 Tensões de Saturação 16.4.2 Erros de Desvio e de Polarização
15.4.6 Tensão de Desvio (offset) 16.4.3 Largura de Banda
15.4.7 Correntes de Polarização Sumário
15.5 Tipos de Amplificadores Operacionais Exercícios de Aplicação
Sumário

APÊNDICE-A APÊNDICE-B
Código de Identificação de Resistências Matrizes e Determinantes


Convenções

A utilização de caracteres na representação de grandezas, constantes, parâmetros, coeficientes e unidades
eléctricas e magnéticas rege-se pelas seguintes convenções:

q caracteres maiúsculos em itálico para grandezas escalares constantes no tempo, mas também para o
valor médio ou a amplitude das grandezas variáveis no tempo. Por exemplo, V, Q, I, I sin(ωt).
m
q caracteres minúsculos em itálico para valores instantâneos das grandezas escalares. Por exemplo, i
(t), v(t), etc. No entanto, e com o intuito de simplificar a representação das equações, por vezes
representa-se apenas i e v em vez de i(t) e v(t).
q caracteres maiúsculos em estilo romano para grandezas vectoriais, como por exemplo o vector
campo eléctrico o vector força eléctrica, . As grandezas e as funções complexas, como a
impedância, os fasores da tensão e da corrente, a função resposta em frequência e a função de
transferência, também se representam em estilo romano (Z, I …). No entanto, o módulo e a fase das
grandezas complexas, como por exemplo da impedância e da resposta em frequência, são
representados em itálico.
q as constantes, parâmetros e coeficientes são representados com caracteres gregos ou latinos,
minúsculos ou maiúsculos em itálico, de acordo com as convenções internacionais. Por exemplo, a
resistência eléctrica, R, a capacidade eléctrica, C, a mobilidade dos electrões, µ, a permitividade do
vazio, ε , etc.
0
q outros símbolos utilizados são: o espaço ou a sua ausência para o produto escalar, os símbolos • e ×
para os produtos interno e externo vectorial, o / para o cociente, o // para o paralelo de elementos
eléctricos.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_00/convenco.htm06-06-2005 12:35:23

Apresentação

Este texto constitui o manual de apoio à disciplina de Circuitos e Sistemas Electrónicos da Licenciatura em
Engenharia Aeroespacial do Instituto Superior Técnico. O texto tem por base um manuscrito que serviu de
sebenta durante os anos lectivos de 1995/96 e 1996/97, e absorve variados comentários e anotações
produzidos durante as próprias aulas.

O autor tentou nunca perder de vista o seu público: os alunos do 3º ano da Licenciatura em Engenharia
Aeroespacial, Ramo de Aviónica, os quais têm, através desta disciplina o seu primeiro contacto com a
teoria dos circuitos e a electrónica, mas dispõem já de uma sólida formação em Análise Matemática,
Álgebra e Física. Parafraseando o Prof. Braga Costa Campos, autor do Plano de Estudos da Licenciatura, é
objectivo fundamental a formação de engenheiros com capacidade de integrar as várias tecnologias
sectoriais - mecânica de voo, aerodinâmica, estruturas, materiais, sistemas, electrónica, actuadores,
telecomunicações e computadores …, podendo os licenciados pelo ramo de aviónica desempenhar funções
de Engenheiro Electrotécnico. De acordo com este objectivo, optou-se por uma exposição que desse
especial relevo aos conceitos básicos e teóricos da Ciência Eléctrica, presumivelmente válidos durante a
quase totalidade da vida activa dos futuros Engenheiros, mas também aos aspectos tecnológicos de maior
utilidade prática, mas de inexorável menor alcance temporal. A sequência, o modo e a intensidade com que
os diversos tópicos são tratados aderem na íntegra ao objectivo de formar Engenheiros Aeroespaciais que
poderão desempenhar, caso seja necessário, as funções de Engenheiro Electrotécnico.

Esteve também presente no espírito do autor o facto de esta ser uma disciplina determinante para a eficácia
do ramo da licenciatura de que é parte, isto é, a futura maior ou menor simpatia dos alunos pela electrónica,
nomeadamente pelos tópicos relativos aos dispositivos electrónicos, à electrónica de rádio-frequência, à
electrónica de aquisição e processamento de sinais, à electrónica digital e de computadores, à electrónica
dos circuitos integrados, à tecnologia electrónica, etc. Os tópicos tratados nesta disciplina impregnam de
forma sub-reptícia as disciplinas subsequentes, que devem rápida e necessariamente tornar-se lugares-
comuns nas mentes dos alunos, uma razão pela qual apresentar as matérias de forma tão atraente e
justificada quanto possível é uma obrigação do docente que se propõe contribuir para a eficácia da
licenciatura.

A estruturação da disciplina em aulas teóricas, teórico-práticas e práticas de laboratório conduziu à opção
de organizar a sebenta em 16 capítulos, cada um dos quais apoiado por uma colectânea final de enunciados
de problemas, e de distribuir, em anexo, o manual de utilização do simulador eléctrico SPICE. Desta forma,
visa-se, sucessivamente, cobrir todos os tópicos tratados nas aulas teóricas, servir de base às aulas teórico-
práticas assistidas e apoiar a realização dos trabalhos práticos pelos alunos, ao longo do semestre.

São os seguintes os tópicos e os comentários de âmbito geral ao conteúdo da sebenta.

No Capítulo 1, Grandezas Eléctricas, introduzem-se as variáveis da Ciência Eléctrica, designadamente a

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_00/apresent.htm (1 of 3)06-06-2005 12:35:24

Apresentação

carga, a força, o campo, a energia, a tensão, a corrente e a potência eléctrica. É importante que no fim do
semestre os alunos manejem com destreza o significado e as relações entre estas grandezas, apesar de nesta
disciplina se lidar essencialmente com as variáveis corrente e tensão eléctrica. Na segunda parte do capítulo
introduz-se a noção de sinal eléctrico, as principais formas de onda e os respectivos instrumentos de
medida, neste último caso abrindo as portas para as aulas práticas de laboratório a realizar na disciplina
subsequente.

Nos Capítulos 2 a 6 apresentam-se os elementos, as leis, as metodologias de análise e os teoremas básicos
dos circuitos eléctricos resistivos. Mais detalhadamente: em 2, Componentes Fundamentais dos Circuitos
Eléctricos, sistematizam-se os nove elementos básicos dos circuitos eléctricos, designadamente a
resistência, o condensador, a bobina e as fontes independentes e dependentes; em 3, Resistência Eléctrica,
introduzem-se as Leis de Ohm e de Joule, discute-se a propriedade da resistência eléctrica e apresenta-se
alguma informação de carácter tecnológico relativa aos tipos e principais aplicações das resistências; em 4,
Leis de Kirchhoff, consideram-se as Leis de Kirchhoff das correntes e das tensões, neste caso em conjunto
com a análise de alguns circuitos e associações elementares de resistências; em 5, Métodos de Análise
Sistemática de Circuitos, apresentam-se os métodos de análise sistemática de circuitos, nomeadamente os
métodos das malhas e dos nós; e, finalmente, em 6, Teoremas Básicos dos Circuitos, consideram-se alguns
dos principais teoremas dos circuitos, como o teorema da sobreposição das fontes, o teorema da máxima
transferência de potência e os teoremas de Millman e de Miller. O Capítulo 6 encerra a primeira parte da
sebenta, genericamente intitulada Análise de Circuitos Eléctricos Resistivos.

Nos Capítulos 7 a 10 introduzem-se os elementos condensador e bobina e, em sequência, o tópico da
análise dos circuitos eléctricos resistivo-reactivos. Nos Capítulos 7 e 8, Condensador e Capacidade
Eléctrica e Bobina e Indutância Electromagnética, apresentam-se os dois elementos reactivos dos circuitos
eléctricos, designadamente o condensador e a bobina. Nestes dois capítulos dá-se especial atenção à
compreensão do significado prático das propriedades da capacidade eléctrica e da indutância
electromagnética. Ambos os capítulos contêm um conjunto vasto de informação tecnológica relativa aos
tipos e principais aplicações destes dois elementos nos sistemas electrónicos. No Capítulo 9, Análise de
Circuitos RC e RL de 1ª Ordem, e no Capítulo 10, Análise de Circuitos RC, RL e RLC de 2ª Ordem,
introduz-se a análise dos circuitos resistivo-reactivos. Consideram-se primeiramente os circuitos RC e RL
de primeira ordem, nos seus regimes natural e forçado, e seguidamente os circuitos com dois elementos
reactivos irredutíveis entre si. Globalmente considerados, os Capítulos 7 a 10 encerram o tópico da análise
dos circuitos do domínio do tempo, abrindo campo e prognosticando a análise no domínio da frequência,
através do estudo do regime forçado sinusoidal.

Nos Capítulos 11 e 12 considera-se a análise dos circuitos no domínio da frequência. Em 11, Impedância
Eléctrica, introduzem-se os conceitos de fasor e de impedância eléctrica, ambos consequência do regime
forçado sinusoidal. Seguidamente, estabelecem-se as relações fasoriais dos elementos resistência,
condensador e bobina, e, finalmente, generalizam-se as Leis de Kirchhoff das correntes e das tensões, os
métodos de análise sistemática de circuitos e os teoremas básicos. No Capítulo 12, Análise da Resposta em
Frequência, estuda-se em detalhe a resposta em frequência dos circuitos. Definem-se as funções amplitude
e fase da resposta em frequência, apresentam-se os diagramas de Bode exactos e assintóticos respectivos e
estuda-se a ressonância nos circuitos eléctricos. Considera-se ainda a representação das impedâncias na
notação de Laplace, introduz-se a noção de função de transferência e apresenta-se a entidade filtro eléctrico.

No Capítulo 13, Bobinas Acopladas e Transformadores, estudam-se as bobinas acopladas magneticamente


Apresentação

e o transformador ideal. Inicialmente introduz-se o conceito de indução mútua e as regras de associação de
bobinas acopladas, seguindo-se depois o estudo do transformador ideal e a apresentação dos principais
tipos e aplicações dos transformadores.

No Capítulo 14, Diportos Eléctricos, inicia-se a apresentação do arsenal teórico de suporte ao estudo dos
dispositivos electrónicos envolvidos nas subsequentes disciplinas de electrónica. Introduz-se o conceito de
diporto eléctrico, apresentam-se os modelos eléctricos alternativos e estudam-se as diversas associações
possíveis entre diportos. No fim do capítulo estudam-se ainda os diportos sem coeficiente de realimentação,
que funcionam como elo de ligação ao estudo dos amplificadores operacionais.

Nos capítulos terminais da sebenta, 15: Amplificador Operacional, e 16: Transferidor de Tensão-Corrente,
introduzem-se os dois principais blocos operacionais da electrónica analógica: o AmpOp e o transferidor de
tensão-corrente.

Oeiras, 25 de Abril de 1996


Agradecimentos

A realização deste manual contou com a colaboração, consciente ou inconsciente, de um conjunto amplo de
familiares, colegas, alunos e instituições, aos quais agradeço sinceramente.

À Antonietta e à Alexandra, pela compreensão, incentivo e amor que manifestaram ao longo destes 14
meses de escrita e edição.

Aos meus pais e irmãos, pelo incentivo constante.

Aos alunos da Licenciatura em Engenharia Aeroespacial, Ramo de Aviónica (1994/95 e 1995/96 e
1996/97) e da Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores, Ramo de Telecomunicações
e Electrónica (1993/94), por terem colaborado na correcção do texto.

Ao Engº Pedro Alves e aos alunos finalistas (1996/97) Rita Carreira e Pedro Fonseca, pela admirável
Sebenta Multimédia que elaboraram a partir deste texto.

Aos meus colaboradores Engºs Carlos Fachada, Jorge Martins, José Rocha, Pedro Paiva, Ricardo Jesus e
José Caetano, pelo excelente ambiente de trabalho que me proporcionaram e pelo tempo que roubei às
tarefas de orientação dos trabalhos respectivos.

Ao Vasco Rosa, pelas vírgulas e acentos que colocou no texto, e ao Prof. Medeiros Silva pelos comentários
de âmbito geral que efectuou.

Ao Núcleo de Arte Fotográfica do IST, e em particular ao Miguel Serrão e ao Francisco Silva.

Ao INESC.

À minha Rotring e ao meu portátil, por razões óbvias.

Oeiras, 25 de Abril de 1996

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_00/agradeci.htm06-06-2005 12:35:24

Citação

<< As diversas fases do tratamento de uma ideia ... são para o Leonardo escritor a prova das forças que
investia na escrita como instrumento cognoscitivo ... >>

Italo Calvino, Seis Propostas para o Próximo Milénio;
tradução livre

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_00/citacao.htm06-06-2005 12:35:25

Index

A B
a.c., alternate-current, 1.4 bateria eléctrica, 1.2.1, 1.5
adaptação de impedâncias, 11.5.3 biquadrática de Sallen-Key, 15.3.6
admitância eléctrica, 11.1.3 bobina, 2.1.1 , 8.1.1
alternador, 1.5 acoplada, 13.1
ampere, 1.3.1 associação, 13.1.2
ampére por metro, 8.1.1 modelo eléctrico equivalente, 13.1.3
amperímetro, 1.6.2 associação,
amplificador, série, 8.3.1
diferença, 15.3.4 paralelo, 8.3.2
diferencial, 16.3.1 característica tensão-corrente, 8.2
instrumentação, 15.3.5, 15.5 condição de continuidade, 8.2.2
inversor, 15.3.3 energia magnética armazenada, 8.2.2
operacional, 15 núcleo,
tensão, 16.2.6 ar, 8.5
ampop, 15 ferrite, 8.5
análise de sinais fracos, 2.2.1 ferro, 8.5
ânodo, 1.2.1 pó de metal, 8.5
aproximação de sinais fracos, 2.2.1 buffer, 15.3.1, 15.5
associação de fontes,
de corrente, 4.6.2
de tensão, 4.6.1
associação de diportos,
cascata, 14.2.1
paralelo, 14.2.1
série, 14.2.1
associação de resistências,
paralelo, 4.2.2
série, 4.2.1
série-paralelo, 4.2.3
associação de amplificadores em cascata, 14.3.3
auto-transformador, 13.3.1

C D

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_00/index.htm (1 of 8)06-06-2005 12:35:27

Index

cabo coaxial, 7.1 , 8.1.4 dB, decibell, 12.1.2
caminho fechado, 4.1.1 d.c, direct-current, 1.4
campo, densidade,
eléctrico, 1.1.3 electrões livres, 3.1
eléctrico de oposição, 7.1 fluxo,
magnético, 8.1.1 eléctrico, 7.1
capacidade eléctrica, 7.1 magnético, 8.1.2
carga eléctrica, 1.1.1 determinante, B
electrão, 1.1.1 diagrama de Bode, 12.1.2, 12.3.2
protão, 1.1.1 dieléctrico,
cátodo, 1.2.1 constante, 7.1
ciência eléctrica, 1 material, 7.1
circuito, diferenciador, 15.3.6, 16.3.4
aberto, 4.3.3 dínamo, 1.5
eléctrico, 2.1.1 dipólo eléctrico, 7.1
electrónico, 2.1.1 diporto,
linear, 2.2.1 amplificador, 14.3
não-planar, 5 eléctrico, 14
planar, 5 dispositivo,
ressonante, activo, 2.1.1
paralelo ideal, 12.2.2 passivo, 2.1.1
paralelo real, 12.2.2 distorção harmónica, 2.2.2
série, 12.2.1 divisor,
CMRR, 15.4.4 resistivo,
corrente, 4.3.2
código de cores, 7.5.8, A
tensão, 4.3.1
cofactor, B
capacitivo,
coeficiente,
corrente, 7.4
acoplamento magnético, 13.1.1
tensão, 7.4
amortecimento da solução natural, 10.2
indutivo,
auto-indução, 8.1.6
corrente, 8.4
indução mútua 8.1.6
tensão, 8.4
temperatura, 3.5
condensador, 2.1.1
ajustável, 7.5, 7.5.6
associação,
paralelo, 7.3.1
série, 7.3.2
característica tensão-corrente, 7.2
cerâmico, 7.5.3
condição de continuidade, 7.2.2, 9.1.3
discreto, 7.5
electrolítico,
alumínio, 7.5.4
tântalo, 7.5.4
energia eléctrica armazenada, 7.2.2
fixo, 7.5
híbrido, 7.5, 7.5.5
integrado, 7.5


Index

mica, 7.5.1
papel, 7.5.2
policarbonato, 7.5.2
poliester, 7.5.2
poliphenilenesulfito, 7.5.2
polipropileno, 7.5.2
polistireno, 7.5.2
película ou folha, 7.5.2
SMD, 7.5.2
variável, 7.5, 7.5.6
condução eléctrica, 3.1
condutância eléctrica, 3.1
condutividade eléctrica, 3.1
condutores paralelos, 7.1
constante,
dieléctrica, 7.1
tempo, 9.1.2
conversor,
corrente-tensão, 16.2.4
digital-analógico, 15.3.2
impedâncias, 15.3.7, 16.3.5
tensão-corrente, 15.3.7, 16.2.3
correntes de polarização, 15.4.7
corrente,
desvio, 15.4.7
eléctrica, 1.3.1,
fugas, 7.5.7
magnetização, 13.2.1
coulomb, 1.1.1
coulomb por metro quadrado, 7.1
Cramer, B
curto-circuito, 4.3.3
virtual, 15.1

E F
efeito de joule, 3.2 factor,
electrólito, 7.5.4 potência, 11.5.2
energia, qualidade, 10.3.1, 12.2.1, 12.2.2
eléctrica, 1.2.1 fasor, 11.1.2
dissipada na resistência, 3.2 filtro,
acumulada no condensador, 7.2.2 activo,
magnética acumulada na bobina, 8.2.2 ampop, 15.3.6
erro, TTC, 16.3.6
desvio, 16.4.2 eléctrico,
polarização, 16.4.2 passa-alto, 12.4.2
transferência, 16.4.1 passa-baixo, 12.1.1, 12.4.1
escalão, 1.4 passa-banda, 12.4.3
espira, 8.1.1 rejeita-banda, 12.4.4


Index

exponencial complexa, 11.1.1 fluxo,
eléctrico, 7.1
linhas, 7.1
magnético, 8.1.2
fonte,
alimentação, 1.5
corrente, 2.1.2
corrente controlada por corrente, 2.1.2
corrente controlada por tensão, 2.1.2
sinal, 1.5
tensão, 2.1.2
tensão controlada por corrente, 2.1.2
tensão controlada por tensão, 2.1.2
força,
eléctrica, 1.1.2
electro-motriz induzida, 13.1.1
magnética, 8.1.1
foto-resistência, 3.6.2
frequência,
angular de oscilação, 10.2
corte, 12.2.1, 12.2.2
ressonância, 12.2.1
transição, 15.4.1
função de transferência, 12.3.1
fusível, 3.2

G H
gama de modo comum, 15.4.4 henry, 8.1.4
ganho, higro-resistência, 3.6.3
ampop, 15.4 homogeneidade, 2.2.1
corrente, 14.3.2
modo comum, 15.4.4
tensão, 14.3.2

I J
ião, 1.1.1 joule, 1.2.1, 3.2
impedância,
eléctrica, 11.1.3
acoplada, 13.1.3
indução electromagnética, 8.1.5
indução mútua, 13.1.1
indutância, 8.1.4
integrador, 15.3.6, 16.3.3
isolador, 3.1
isolamento galvânico, 13.2.3


Index

K L
Kirchhoff, 4.1 largura de banda, 12.2.1, 12.2.2, 15.4, 16.4.3
Lei,
Biot-Savart, 8.1.1
Coulomb, 1.1.2
Faraday, 13.1.1, 13.2
Joule, 3.2
Kirchhoff,
correntes, 4.1.2
notação fasorial, 11.2
tensões, 4.1.1
Lenz, 13.2
Ohm, 3.1
Saca-Rolhas, 8.1.1
linear por troços, 2.2.1
linearidade, 2.2.1
LVDT, 13.4

M N
magneto-resistência, 3.6.3 não-linear, 2.2.1
malha, 5.3 newton, 1.1.2, 8.1.1
massa, nó, 4.1.2
electrão, protão, neutrão, 1.1.1 Norton, 6.3, 11.4.2
virtual, 15.1 notação,
materiais magnéticos, 8.1.3 fasorial, 11.1.3
matriz, Laplace, 12.3
admitâncias, 14.1.2 NTC, 3.6.1
condutâncias, 5.1.1 número complexo, 11.1.1
impedâncias, 14.1.2
híbridas, 14.1.2
quadrada, B
resistências, 5.3.1
simétrica, B
transmissão, 14.1.2
máxima transferência de potência, 6.4, 11.5.4
medidor LCR, 7.7
menor, B
Miller,
efeito, 6.6, 11.4.5
teorema, 6.6, 11.4.5
Millman, 4.6.1, 6.5, 11.4.4
métodos,
de análise de circuitos,
malhas, 5.3
nós, 5.1
notação fasorial, 11.3
sobreposição das fontes, 6.1


Index

de formulação de equações diferenciais,
substituição, 10.2.1
operador-s, 10.2.2
variáveis de estado, 10.2.3
mobilidade das cargas eléctricas, 3.1
modelo sinais fracos, 2.2.1
montagens básicas,
ampop,
inversora, 15.2.1, 15.3.6
não-inversora, 15.2.2
TTC, 16.2
multímetro, 1.6.4

O P
offset, 15.4.6 permeabilidade magnética,
ohm, 3.1 relativa, 8.1.2
ohmímetro, 3.7 vazio, 8.1.1
ohm-metro, 3.1 permitividade eléctrica,
osciloscópio, 1.6.5 relativa, 7.1
vazio, 1.1.2, 7.1
PFR, ponto de funcionamento em repouso, 2.2.3
piezo-resistência, 3.6.3
pinça amperimétrica, 13.3.3
plano complexo, 12.3.1
polarização,
corrente, 2.2.3
dieléctrico, 7.1
tensão, 2.2.3
polinómio característico, 10.3.1
pólo, 12.3.1
porto, 14
primário, 13.2
PTC, 3.6.1
potência eléctrica, 1.3.2
aparente, 11.5.3
bobina, 11.5.1
condensador, 11.5.1
instantânea, 1.3.2, 11.5.1
média, 1.3.2, 11.5.1
reactiva, 11.5.3
real, 11.5.3
resistência, 3.2, 11.5.1

Q R


Index

químio-resistência, 3.6.3 rácio de rejeição de modo comum, 15.4.4
raio, electrão, protão, neutrão, 1.1.1
raízes do polinómio característico, 10.3.1
reactância, 11.1.3
recta de carga da fonte, 4.4.1
relação de transformação,13.2.1
resistência,
ajustável, 3.3, 3.3.5
bobinada, 3.3.3
carvão, 3.3.1
componente, 2.1.2
discreta, 3.3
eléctrica, 3.1
entrada,
ampop, 15.4.3
TTC, 16.4.1
fixa, 3.3
híbrida, 3.3
integrada, 3.3
interna da fonte, 4.4
isolamento, 7.5.7
negativa, 16.3.5
normal, A
película ou camada fina, 3.3.2
precisão, A
saída,
ampop, 15.4.3
TTC, 16.4.1
variável, 3.3, 3.3.5
resistividade eléctrica, 3.1
resposta,
frequência, 12.1
natural, 9.1
r.m.s, root mean-square, 11.5.1

S T
sinal, taxa de inflexão, 15.4.2
eléctrico, 1.4 técnica RC-activa, 15.3.6
fraco, 2.2.3 tensão,
sinusoidal, 11.1.1 desvio, 15.4.6
secundário, 13.2 eléctrica, 1.2.2
seguidor, tensões de saturação, 15.4.5
corrente, 16.2.2 teorema,
tensão, 15.3.1, 16.2.1 máxima transferência de potência, 6.4, 11.5.4
segunda harmónica, 2.2.2 Miller, 6.6, 11.4.5
semicondutor, 3.1 Millman, 6.5, 11.4.4
sensor, Norton, 6.3, 11.4.2
capacitivo, 7.6 sobreposição das fontes, 6.1, 11.4.3


Index

indutivo, 8.6 Thévenin, 6.2, 11.4.2
relutivo e electromagnético, 13.4 Transformação de fonte, 4.5, 11.4.1
resistivo, 3.6.1 termístor, 3.6.1
siemens, 3.1 termo-resistência, 3.6.1
siemens por metro, 3.1 tesla, 8.1.2
silístor, 3.6.1 Thévenin, 6.2, 11.4.2
sobreposição, transformador, 13.2
fontes, 6.1, 9.3, 11.4.3 auto-transformador, 13.3.1
propriedade, 2.2.1 carga, 13.2.2
solução, ideal, 13.2
forçada, medida, 13.3.3
constante, 9.2.3, 10.4.1
modelo eléctrico equivalente, 13.2.3
sinusoidal, 9.2.4, 10.4.2
múltiplos enrolamentos, 13.3.2
natural, 9.1, 9.1.4, 10.3
ponto médio, 13.3.2
somador, 15.3.2, 16.3.2
potência, 13.3.5
spin, 8.1.2
sinal, 13.3.4
super-malha, 5.3.2
transformação de fonte, 4.5, 11.4.1
super-nó, 5.1.2
trimmer, 3.3, 3.3.5, 7.5.6
transdutor,
capacitivo, 7.6
indutivo, 8.6
relutivo e electromagnético, 13.4
resistivo, 3.6.1
TTC, transferidor de tensão e corrente, 16

V W
valor eficaz, 11.5.1 watt, 1.3.2, 3.2
variáveis de estado, 10.2.3 wattímetro, 1.6.3
varístor, 3.4 watt-hora (Wh), 3.2
vector coluna, B weber, 8.1.2
vector linha, B
volt, 1.2.2
volt-ampere, 11.5.3
volt-ampere reactivo, 11.5.3
volt por metro, 1.1.3
voltímetro, 1.6.1

Z
zero, 12.3.1, 12.3.2




Na figura 1.6 apresentam-se alguns dos sinais eléctricos mais comuns na análise de circuitos. São eles, a
saber:

(i) constantes no tempo (Figura 1.6.a), designados pela sigla d.c. (direct-current);

(ii) sinusoidais (Figura 1.6.b), designados por a.c.(alternate-current);

(iii) rectangulares (Figura 1.6.c);

(iv) exponenciais decrescentes ou crescentes (Figura 1.6.d);

(v) escalões (Figura 1.6.e);

(vi) triangulares (Figura 1.6.f).

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_01/sinaisel.htm (1 of 2)06-06-2005 12:35:28


Figura 1.6 Sinais eléctricos

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_01/sinaisel.htm (2 of 2)06-06-2005 12:35:28

2 Componentes Fundamentais dos Circuitos Eléctricos

Componentes Fundamentais dos
Circuitos Eléctricos

As fontes são componentes de circuito capazes de colocar em movimento cargas eléctricas. Uma vez em
movimento, as cargas podem ser levadas a superar diversos e variadíssimos obstáculos, como por exemplo
resistências, que lhes impõem um limite máximo à velocidade, condensadores, que as acumulam, díodos,
que implementam válvulas unidireccionais, transístores, que implementam uma torneira que abre, fecha ou
modula um caminho ao fluxo de corrente, etc. As fontes e os obstáculos designam-se genericamente por
componentes dos circuitos, atribuindo-se o nome de circuito eléctrico, ou de rede eléctrica, ao conjunto dos
componentes interligados com um fim determinado.

Apesar de existir uma enorme variedade de componentes de circuito, pode identificar-se um conjunto
restrito de elementos cuja funcionalidade eléctrica é verdadeiramente fundamental. São eles, a saber: a
resistência, o condensador e a bobina, por um lado, e as fontes independentes e dependentes de tensão e de
corrente, por outro. Estes elementos permitem por si só modelar o comportamento eléctrico dos
dispositivos electrónicos.

A análise de um circuito eléctrico comporta três tarefas essencialmente distintas: a imposição da
característica tensão-corrente de cada elemento, a imposição de um conjunto de leis ao nível da rede de
elementos (leis de circuito) e, finalmente, a resolução conjunta das equações. Exemplos de características
tensão-corrente são a Lei de Ohm, v=Ri, e a relação i=Cdv/dt do condensador. Por outro lado, leis de
circuito são as duas Leis de Kirchhoff, das correntes e das tensões. Tendo em mente estes três passos, o
presente e os capítulos seguintes serão dedicados à apresentação das características tensão-corrente das
fontes e dos elementos resistência, condensador e bobina, bem como das Leis de Kirchhoff e das
metodologias de análise sistemática do conjunto de equações resultante.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_02/compfund.htm06-06-2005 12:35:29


Componentes
Fundamentais dos

As fontes são componentes de circuito capazes de colocar em movimento cargas
Sebenta
eléctricas. Uma vez em movimento, as cargas podem ser levadas a superar diversos e
Multimédia variadíssimos obstáculos, como por exemplo resistências, que lhes impõem um limite
1 Grandezas máximo à velocidade, condensadores, que as acumulam, díodos, que implementam
Eléctricas válvulas unidireccionais, transístores, que implementam uma torneira que abre, fecha
2 Componentes ou modula um caminho ao fluxo de corrente, etc. As fontes e os obstáculos designam-
se genericamente por componentes dos circuitos, atribuindo-se o nome de circuito
Fundamentais dos eléctrico, ou de rede eléctrica, ao conjunto dos componentes interligados com um fim
Circuitos Eléctricos determinado.
3 Resistência
Eléctrica Apesar de existir uma enorme variedade de componentes de circuito, pode identificar-
4 Leis de se um conjunto restrito de elementos cuja funcionalidade eléctrica é verdadeiramente
fundamental. São eles, a saber: a resistência, o condensador e a bobina, por um lado, e
Kirchhoff
as fontes independentes e dependentes de tensão e de corrente, por outro. Estes
5 Métodos de elementos permitem por si só modelar o comportamento eléctrico dos dispositivos
Análise Sistemática de electrónicos.
Circuitos
6 Teoremas A análise de um circuito eléctrico comporta três tarefas essencialmente distintas: a
Básicos dos Circuitos imposição da característica tensão-corrente de cada elemento, a imposição de um
conjunto de leis ao nível da rede de elementos (leis de circuito) e, finalmente, a
Eléctricos
resolução conjunta das equações. Exemplos de características tensão-corrente são a
7 Condensador e Lei de Ohm, v=Ri, e a relação i=Cdv/dt do condensador. Por outro lado, leis de
Capacidade Eléctrica circuito são as duas Leis de Kirchhoff, das correntes e das tensões. Tendo em mente
8 Bobina e estes três passos, o presente e os capítulos seguintes serão dedicados à apresentação
Indutância das características tensão-corrente das fontes e dos elementos resistência, condensador
e bobina, bem como das Leis de Kirchhoff e das metodologias de análise sistemática
Electromagnética
do conjunto de equações resultante.
9 Análise de
Circuitos RC e RL de 1.ª
Ordem
10 Análise de
Circuitos RC, RL e RLC
de 2.ª Ordem
11 Impedância
Eléctrica
12 Análise da
Resposta em Frequência
13 Bobinas
Acopladas e
Transformadores



14 Diportos
Eléctricos
15 Amplificador
Operacional
16 Transferidor de
Tensão e Corrente
APÊNDICE-A
APÊNDICE-B


1 Grandezas Eléctricas

Grandezas Eléctricas

A Ciência Eléctrica estuda o fenómeno da existência e interacção entre cargas eléctricas. Tal como a massa,
a carga eléctrica é uma propriedade fundamental da matéria que se manifesta através de uma interacção,
designadamente através de uma força. No entanto, a carga eléctrica apresenta a particularidade de se
manifestar através de uma força que tanto pode ser de atracção como de repulsão, ao contrário daquela
manifestada pelas massas, que, como se sabe, é apenas de atracção.

As principais grandezas da ciência eléctrica são a carga, a força, o campo, a energia, a tensão, a potência e a
corrente eléctrica. Um dos objectivos deste capítulo é explicar a relação existente entre estas grandezas
eléctricas, dando particular atenção às grandezas tensão e corrente eléctrica. Com efeito, a análise de
circuitos visa essencialmente a determinação da relação corrente/tensão eléctrica em redes de componentes
eléctricos e electrónicos.

A lei fundamental da Ciência Eléctrica é a Lei de Coulomb. Esta lei estabelece que duas cargas eléctricas
em presença uma da outra se atraem ou repelem mutuamente, isto é, interagem entre si através de uma
força. Como grandeza de tipo vectorial, a força eléctrica possui, portanto, uma direcção, um sentido e uma
intensidade. A direcção da força coincide com a da recta que une as duas cargas, o sentido é uma função
dos sinais respectivos, positivos ou negativos, e a intensidade é uma função do módulo das cargas e da
distância que as separa.

A interacção à distância entre cargas eléctricas conduz ao conceito de campo eléctrico, o qual nos permite
encarar a força eléctrica como o resultado de uma acção exercida por uma carga ou conjunto de cargas
vizinhas. Tal como a força, o campo eléctrico é uma grandeza vectorial com direcção, sentido e intensidade.

O movimento de uma carga num campo eléctrico, em sentido contrário ou concordante com o da força
eléctrica a que se encontra sujeita, conduz à libertação ou exige o fornecimento de uma energia. O acto de
se isolarem fisicamente conjuntos de cargas positivas e negativas equivale a fornecer energia ao sistema,
comparável ao armazenamento de energia eléctrica numa bateria. Pelo contrário, o movimento de cargas
negativas no sentido de partículas carregadas positivamente corresponde à libertação de energia. Em geral,
a presença de cargas eléctricas imersas num campo atribui ao sistema uma capacidade de realizar trabalho,
capacidade que é designada por energia potencial eléctrica ou, simplesmente, energia eléctrica.

Uma carga colocada em pontos distintos de um campo eléctrico atribui valores também distintos de energia
ao sistema. A diferença de energia por unidade de carga é designada por diferença de potencial, ou tensão
eléctrica. Tensão e energia eléctrica são, por conseguinte, duas medidas da mesma capacidade de realizar
trabalho. A taxa de transformação de energia eléctrica na unidade de tempo é designada por potência
eléctrica.

O fluxo de cargas eléctricas é designado por corrente eléctrica. Em particular, define-se corrente eléctrica
como a quantidade de carga que na unidade de tempo atravessa uma dada superfície.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_01/grandeza.htm (1 of 2)06-06-2005 12:35:30

1 Grandezas Eléctricas

Corrente e tensão eléctrica definem as duas variáveis operatórias dos circuitos eléctricos.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_01/grandeza.htm (2 of 2)06-06-2005 12:35:30

3 Resistência Eléctrica

Resistência Eléctrica

A resistência é uma medida da oposição que a matéria oferece à passagem de corrente eléctrica. Os
materiais são designados por condutores, semicondutores ou isoladores conforme a oposição que oferecem
seja reduzida, média e elevada. A Lei de Ohm

v=Ri (3.1)

estabelece a relação existente entre a corrente e a tensão eléctrica aos terminais de uma resistência. O
parâmetro R, designado resistência eléctrica, é expresso em ohm (note-se que na língua inglesa se
distinguem parâmetro resistance do elemento resistor).

A resistência eléctrica dos materiais pode ser comparada ao atrito existente nos sistemas mecânicos. Por
exemplo, e ao contrário do vácuo, a aplicação de um campo eléctrico constante (força constante) sobre uma
carga eléctrica conduz a uma velocidade constante nos materiais, situação à qual corresponde uma troca de
energia potencial eléctrica por calor. Esta conversão é designada por efeito de Joule, cuja expressão da
potência dissipada é

2 (3.2)
p = Ri

A resistência é um dos elementos mais utilizados nos circuitos. Existem resistências fixas, variáveis e
ajustáveis, resistências integradas e resistências discretas, resistências cuja função é a conversão de
grandezas não eléctricas em grandezas eléctricas, etc. Relativamente a estas últimas, existem resistências
sensíveis à temperatura, como sejam as termo-resistências e os termístores, resistências sensíveis ao fluxo
luminoso, designadas por foto-resistências, magneto-resistências, piezo-resistências, químio-resistências,
etc.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_03/resistel.htm06-06-2005 12:35:31


Resistência Eléctrica

A resistência é uma medida da oposição que a matéria oferece à passagem de corrente
eléctrica. Os materiais são designados por condutores, semicondutores ou isoladores
Sebenta conforme a oposição que oferecem seja reduzida, média e elevada. A Lei de Ohm
Multimédia
1 Grandezas v=Ri (3.1)
Eléctricas
2 Componentes estabelece a relação existente entre a corrente e a tensão eléctrica aos terminais de
Fundamentais dos uma resistência. O parâmetro R, designado resistência eléctrica, é expresso em ohm
(note-se que na língua inglesa se distinguem parâmetro resistance do elemento
resistor).
3 Resistência
Eléctrica A resistência eléctrica dos materiais pode ser comparada ao atrito existente nos
4 Leis de sistemas mecânicos. Por exemplo, e ao contrário do vácuo, a aplicação de um campo
Kirchhoff eléctrico constante (força constante) sobre uma carga eléctrica conduz a uma
5 Métodos de velocidade constante nos materiais, situação à qual corresponde uma troca de energia
potencial eléctrica por calor. Esta conversão é designada por efeito de Joule, cuja
Análise Sistemática de
expressão da potência dissipada é
Circuitos
6 Teoremas 2
p = Ri (3.2)
Básicos dos Circuitos
Eléctricos
7 Condensador e A resistência é um dos elementos mais utilizados nos circuitos. Existem resistências
fixas, variáveis e ajustáveis, resistências integradas e resistências discretas,
Capacidade Eléctrica resistências cuja função é a conversão de grandezas não eléctricas em grandezas
8 Bobina e eléctricas, etc. Relativamente a estas últimas, existem resistências sensíveis à
Indutância temperatura, como sejam as termo-resistências e os termístores, resistências sensíveis
Electromagnética ao fluxo luminoso, designadas por foto-resistências, magneto-resistências, piezo-
resistências, químio-resistências, etc.
9 Análise de
Ordem
10 Análise de
de 2.ª Ordem
11 Impedância
Eléctrica
12 Análise da
13 Bobinas
Acopladas e
Transformadores



14 Diportos
Eléctricos
15 Amplificador
Operacional
16 Transferidor de
Tensão e Corrente
APÊNDICE-A
APÊNDICE-B


4 Leis de Kirchhoff

Leis de Kirchhoff

As Leis de Kirchhoff regem a associação de componentes num circuito. Ao contrário da Lei de Ohm, cujo
âmbito é a resistência, as Leis de Kirchhoff das tensões e das correntes estabelecem as regras às quais
devem respeitar as associações de componentes: a Lei de Kirchhoff das correntes afirma que são idênticos
os somatórios das correntes incidentes e divergentes em qualquer nó de um circuito, ao passo que a Lei das
tensões afirma que é nulo o somatório das tensões aos terminais dos componentes situados ao longo de um
caminho fechado. Uma associação de componentes eléctricos constitui um circuito quando verifica
simultaneamente as Leis de Kirchhoff e as características tensão-corrente dos componentes, que no caso
particular da resistência se designa por Lei de Ohm. A aplicação conjunta das Leis de Kirchhoff e de Ohm
permite obter um conjunto de equações cuja resolução conduz aos valores das correntes e das tensões aos
terminais dos componentes.

Para além de permitir resolver os circuitos, as três leis referidas possibilitam ainda a derivação de um
conjunto de regras simplificativas da análise dos circuitos. Designadamente, as regras de associação em
série e em paralelo de resistências, as regras dos divisores de tensão e de corrente, as regras de
transformação entre fontes de tensão e de corrente, as regras de associação de fontes de corrente e de
tensão, etc.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_04/kirchhof.htm06-06-2005 12:35:32


Leis de Kirchhoff

As Leis de Kirchhoff regem a associação de componentes num circuito. Ao contrário
da Lei de Ohm, cujo âmbito é a resistência, as Leis de Kirchhoff das tensões e das
Sebenta correntes estabelecem as regras às quais devem respeitar as associações de
Multimédia componentes: a Lei de Kirchhoff das correntes afirma que são idênticos os somatórios
1 Grandezas das correntes incidentes e divergentes em qualquer nó de um circuito, ao passo que a
Eléctricas Lei das tensões afirma que é nulo o somatório das tensões aos terminais dos
componentes situados ao longo de um caminho fechado. Uma associação de
2 Componentes
componentes eléctricos constitui um circuito quando verifica simultaneamente as Leis
Fundamentais dos de Kirchhoff e as características tensão-corrente dos componentes, que no caso
Circuitos Eléctricos particular da resistência se designa por Lei de Ohm. A aplicação conjunta das Leis de
3 Resistência Kirchhoff e de Ohm permite obter um conjunto de equações cuja resolução conduz
Eléctrica aos valores das correntes e das tensões aos terminais dos componentes.
4 Leis de
Para além de permitir resolver os circuitos, as três leis referidas possibilitam ainda a
Kirchhoff
derivação de um conjunto de regras simplificativas da análise dos circuitos.
5 Métodos de Designadamente, as regras de associação em série e em paralelo de resistências, as
Análise Sistemática de regras dos divisores de tensão e de corrente, as regras de transformação entre fontes de
Circuitos tensão e de corrente, as regras de associação de fontes de corrente e de tensão, etc.
6 Teoremas
Eléctricos
7 Condensador e
Capacidade Eléctrica
8 Bobina e
Indutância
Electromagnética
9 Análise de
Ordem
10 Análise de
de 2.ª Ordem
11 Impedância
Eléctrica
12 Análise da
13 Bobinas
Acopladas e
Transformadores



14 Diportos
Eléctricos
15 Amplificador
Operacional
16 Transferidor de
Tensão e Corrente
APÊNDICE-A
APÊNDICE-B


5 Métodos de Análise Sistemática de Circuitos

Métodos de Análise Sistemática de
Circuitos

Existem dois principais métodos de análise sistemática dos circuitos eléctricos: o método dos nós e o
método das malhas. Em ambos, trata-se de aplicar de forma sistemática e agregada as Leis de Kirchhoff e
as características tensão-corrente dos componentes, no caso particular da resistência a Lei de Ohm, e obter
um sistema de P-equações a P-incógnitas. No método dos nós as incógnitas são as tensões em todos os nós
do circuito, ao passo que no método das malhas são as correntes nas malhas constituintes do mesmo. As
tensões nos nós, ou as correntes nas malhas, são suficientes para a posterior determinação das tensões e das
correntes em todos os componentes do circuito.

Os métodos dos nós e das malhas aplicam-se exclusivamente a circuitos lineares e bilaterais, exigindo-se no
segundo daqueles que as redes sejam também planares. São bilaterais os circuitos cuja solução é
independente do sentido positivo arbitrado para as correntes e para as tensões nos componentes, como
sucede com as redes compostas por fontes, resistências, condensadores e bobinas. Designam-se por
planares os circuitos cujo esquema eléctrico é passível de representação num plano, sem que os seus ramos
se intersectem mutuamente. Dos circuitos representados na Figura 5.1 apenas o primeiro é planar. Outros
métodos existem que não exigem o gozo das propriedades anteriormente enunciadas, os quais serão
introduzidos posteriormente no âmbito das disciplinas de Electrónica.

Figura 5.1 Circuito planar (a) e circuito não planar (b)

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_05/metodos.htm06-06-2005 12:35:34


Métodos de Análise
Sistemática de Circuitos

Existem dois principais métodos de análise sistemática dos circuitos eléctricos: o método dos
nós e o método das malhas. Em ambos, trata-se de aplicar de forma sistemática e agregada as
Sebenta Leis de Kirchhoff e as características tensão-corrente dos componentes, no caso particular da
Multimédia resistência a Lei de Ohm, e obter um sistema de P-equações a P-incógnitas. No método dos
1 Grandezas nós as incógnitas são as tensões em todos os nós do circuito, ao passo que no método das
Eléctricas malhas são as correntes nas malhas constituintes do mesmo. As tensões nos nós, ou as
correntes nas malhas, são suficientes para a posterior determinação das tensões e das
2 Componentes
correntes em todos os componentes do circuito.
Fundamentais dos
Circuitos Eléctricos Os métodos dos nós e das malhas aplicam-se exclusivamente a circuitos lineares e bilaterais,
3 Resistência exigindo-se no segundo daqueles que as redes sejam também planares. São bilaterais os
Eléctrica circuitos cuja solução é independente do sentido positivo arbitrado para as correntes e para
4 Leis de as tensões nos componentes, como sucede com as redes compostas por fontes, resistências,
condensadores e bobinas. Designam-se por planares os circuitos cujo esquema eléctrico é
Kirchhoff
passível de representação num plano, sem que os seus ramos se intersectem mutuamente.
5 Métodos de Dos circuitos representados na Figura 5.1 apenas o primeiro é planar. Outros métodos
Análise Sistemática de existem que não exigem o gozo das propriedades anteriormente enunciadas, os quais serão
Circuitos introduzidos posteriormente no âmbito das disciplinas de Electrónica.
6 Teoremas
Eléctricos
7 Condensador e
8 Bobina e
Indutância
Electromagnética
9 Análise de
Ordem
10 Análise de Figura 5.1 Circuito planar (a) e circuito não planar (b)
de 2.ª Ordem
11 Impedância
Eléctrica
12 Análise da
13 Bobinas
Acopladas e
Transformadores
14 Diportos
Eléctricos
15 Amplificador


Operacional
16 Transferidor de
Tensão e Corrente
APÊNDICE-A
APÊNDICE-B


6 Teoremas Básicos dos Circuitos Eléctricos

Teoremas Básicos dos Circuitos
Eléctricos

Os teoremas complementam o arsenal de leis, regras e métodos de análise introduzidas ao longo dos
capítulos anteriores. O teorema da sobreposição das fontes indica que a tensão ou a corrente num
componente resulta da soma das contribuições parciais devidas a cada uma das fontes independentes
presentes no circuito, parcelas que se calculam separadamente umas das outras. Por seu lado, os teoremas
de Thévenin e de Norton indicam que do ponto de vista de um par de nós um circuito pode ser condensado
numa rede equivalente, constituída por uma fonte de tensão e uma resistência em série, ou então por uma
fonte de corrente e uma resistência em paralelo. Este teorema constitui um dos resultados mais interessantes
da teoria dos circuitos, pois permite substituir por uma fonte de tensão ou corrente real um qualquer circuito
do qual se pretende saber apenas o efeito causado em dois dos seus terminais de acesso. Para além destes,
os teoremas de Millman e de Miller fixam um corpo de regras de manipulação e simplificação de circuitos,
enquanto que o teorema da máxima transferência de potência estabelece as condições para uma máxima
transferência de energia entre uma fonte e uma resistência.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_06/teoremas.htm06-06-2005 12:35:35


Teoremas Básicos dos

Os teoremas complementam o arsenal de leis, regras e métodos de análise
introduzidas ao longo dos capítulos anteriores. O teorema da sobreposição das fontes
Sebenta indica que a tensão ou a corrente num componente resulta da soma das contribuições
Multimédia parciais devidas a cada uma das fontes independentes presentes no circuito, parcelas
1 Grandezas que se calculam separadamente umas das outras. Por seu lado, os teoremas de
Eléctricas Thévenin e de Norton indicam que do ponto de vista de um par de nós um circuito
pode ser condensado numa rede equivalente, constituída por uma fonte de tensão e
2 Componentes
uma resistência em série, ou então por uma fonte de corrente e uma resistência em
Fundamentais dos paralelo. Este teorema constitui um dos resultados mais interessantes da teoria dos
Circuitos Eléctricos circuitos, pois permite substituir por uma fonte de tensão ou corrente real um qualquer
3 Resistência circuito do qual se pretende saber apenas o efeito causado em dois dos seus terminais
Eléctrica de acesso. Para além destes, os teoremas de Millman e de Miller fixam um corpo de
regras de manipulação e simplificação de circuitos, enquanto que o teorema da
4 Leis de
máxima transferência de potência estabelece as condições para uma máxima
Kirchhoff transferência de energia entre uma fonte e uma resistência.
5 Métodos de
Circuitos
6 Teoremas
Eléctricos
7 Condensador e
8 Bobina e
Indutância
Electromagnética
9 Análise de
Ordem
10 Análise de
de 2.ª Ordem
11 Impedância
Eléctrica
12 Análise da
13 Bobinas
Acopladas e
Transformadores



14 Diportos
Eléctricos
15 Amplificador
Operacional
16 Transferidor de
Tensão e Corrente
APÊNDICE-A
APÊNDICE-B


7 Condensador e Capacidade Eléctrica

Condensador e Capacidade
Eléctrica

O condensador é um componente de circuito que armazena cargas eléctricas. O parâmetro capacidade
eléctrica (C) relaciona a tensão aos terminais com a respectiva carga armazenada

q(t) = Cv(t) F, farad (7.1)

o qual é uma função das propriedades do dieléctrico, da área e da separação entre os eléctrodos. De acordo
com a relação (7.1), a adição ou remoção de cargas eléctricas às placas de um condensador equivale a
variar a tensão eléctrica aplicada entre as mesmas, e vice-versa. A expressão

(7.2)

define a característica tensão-corrente do elemento condensador, a qual se encontra, portanto, ao nível da
Lei de Ohm.

A análise de um circuito com condensadores exige a resolução de uma equação diferencial. Este facto
introduz a dimensão temporal na análise de circuitos, impondo em simultâneo a necessidade de estudar as
condições iniciais e as restrições de continuidade da energia acumulada como base para a resolução das
mesmas. A natureza diferencial das equações do circuito conduz à distinção entre soluções natural (regime
transitório ou natural) e forçada no tempo, sendo esta última a base para o posterior estudo dos conceitos de
fasor e de impedância eléctrica, ambos no âmbito da análise do regime forçado sinusoidal.

Hoje existem diversos tipos de condensadores discretos, híbridos e integrados: condensadores de ar, mica,
plástico, papel, cerâmica, electrólitos, etc.; condensadores fixos ou variáveis; condensadores de diversas
dimensões e para variadas aplicações; condensadores que implementam sensores de temperatura, de
pressão, de humidade, etc.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_07/condensa.htm06-06-2005 12:35:37


Condensador e

O condensador é um componente de circuito que armazena cargas eléctricas. O
parâmetro capacidade eléctrica (C) relaciona a tensão aos terminais com a respectiva
Sebenta carga armazenada
Multimédia
1 Grandezas q(t) = Cv(t) F, farad (7.1)
Eléctricas
2 Componentes o qual é uma função das propriedades do dieléctrico, da área e da separação entre os
Fundamentais dos eléctrodos. De acordo com a relação (7.1), a adição ou remoção de cargas eléctricas às
placas de um condensador equivale a variar a tensão eléctrica aplicada entre as
mesmas, e vice-versa. A expressão
3 Resistência
Eléctrica
4 Leis de (7.2)
Kirchhoff
5 Métodos de
Análise Sistemática de define a característica tensão-corrente do elemento condensador, a qual se encontra,
portanto, ao nível da Lei de Ohm.
Circuitos
6 Teoremas
A análise de um circuito com condensadores exige a resolução de uma equação
Básicos dos Circuitos diferencial. Este facto introduz a dimensão temporal na análise de circuitos, impondo
Eléctricos em simultâneo a necessidade de estudar as condições iniciais e as restrições de
7 Condensador e continuidade da energia acumulada como base para a resolução das mesmas. A
Capacidade Eléctrica natureza diferencial das equações do circuito conduz à distinção entre soluções natural
(regime transitório ou natural) e forçada no tempo, sendo esta última a base para o
8 Bobina e
posterior estudo dos conceitos de fasor e de impedância eléctrica, ambos no âmbito da
Indutância análise do regime forçado sinusoidal.
Electromagnética
9 Análise de Hoje existem diversos tipos de condensadores discretos, híbridos e integrados:
Circuitos RC e RL de 1.ª condensadores de ar, mica, plástico, papel, cerâmica, electrólitos, etc.; condensadores
Ordem fixos ou variáveis; condensadores de diversas dimensões e para variadas aplicações;
condensadores que implementam sensores de temperatura, de pressão, de humidade,
10 Análise de
etc.
de 2.ª Ordem
11 Impedância
Eléctrica
12 Análise da
13 Bobinas
Acopladas e
Transformadores



14 Diportos
Eléctricos
15 Amplificador
Operacional
16 Transferidor de
Tensão e Corrente
APÊNDICE-A
APÊNDICE-B


8 Bobina e Indutância Electromagnética

Bobina e Indutância
Electromagnética

O movimento das cargas eléctricas, e em particular a corrente eléctrica, é responsável por um fenómeno de
atracção ou repulsão designado por força magnética. Dois condutores percorridos por uma corrente
eléctrica atraem-se um ao outro se os sentidos dos respectivos fluxos forem concordantes, e repelem-se no
caso contrário. À força magnética encontram-se associados o campo magnético, o fluxo e a densidade de
fluxo magnético, a permeabilidade magnética, a indutância ou coeficiente de auto-indução, e o coeficiente
de indução mútua.

A bobina é um componente que armazena energia sob a forma de um campo magnético, portanto sob a
forma de cargas eléctricas em movimento. A indutância é o parâmetro que relaciona a corrente eléctrica
com o fluxo magnético

Φ = Li Wb, weber (8.1)

e é uma função das dimensões físicas e do número de espiras da bobina, mas também do material do
núcleo. A unidade de indutância é o henry (H).

A relação (8.1) indica que as variações no fluxo magnético são proporcionais às variações na corrente
eléctrica. Assim, e de acordo com a Lei de Faraday, a força electro-motriz induzida aos terminais de uma
bobina é proporcional às variações na corrente respectiva

(8.2)

fenómeno que se designa por indução electromagnética (daí o nome alternativo de coeficiente de auto-
indução dado à indutância).

A análise de um circuito com bobinas exige a obtenção e a resolução de uma ou várias equações
diferenciais. As condições iniciais da corrente, do fluxo magnético e da energia armazenada, em conjunto
com a imposição da sua continuidade, constituem a informação necessária para determinar os valores das
constantes da solução da equação diferencial. À parte a diferença relativa aos fenómenos subjacentes ao seu
funcionamento, a forma dual das características tensão-corrente do condensador e da bobina indica que os
tópicos a tratar neste capítulo devam ser semelhantes àqueles abordados anteriormente, em particular no
que respeita ao estudo das associações em série e em paralelo de bobinas, da energia armazenada e dos
divisores de tensão e de corrente.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_08/bobina.htm06-06-2005 12:35:39


Bobina e Indutância
Electromagnética

O movimento das cargas eléctricas, e em particular a corrente eléctrica, é responsável
por um fenómeno de atracção ou repulsão designado por força magnética. Dois
Sebenta condutores percorridos por uma corrente eléctrica atraem-se um ao outro se os
Multimédia sentidos dos respectivos fluxos forem concordantes, e repelem-se no caso contrário. À
1 Grandezas força magnética encontram-se associados o campo magnético, o fluxo e a densidade
Eléctricas de fluxo magnético, a permeabilidade magnética, a indutância ou coeficiente de auto-
indução, e o coeficiente de indução mútua.
2 Componentes
Fundamentais dos
A bobina é um componente que armazena energia sob a forma de um campo
Circuitos Eléctricos magnético, portanto sob a forma de cargas eléctricas em movimento. A indutância é o
3 Resistência parâmetro que relaciona a corrente eléctrica com o fluxo magnético
Eléctrica
4 Leis de Φ = Li Wb, weber (8.1)
Kirchhoff
5 Métodos de e é uma função das dimensões físicas e do número de espiras da bobina, mas também
Análise Sistemática de do material do núcleo. A unidade de indutância é o henry (H).
Circuitos
6 Teoremas A relação (8.1) indica que as variações no fluxo magnético são proporcionais às
variações na corrente eléctrica. Assim, e de acordo com a Lei de Faraday, a força
electro-motriz induzida aos terminais de uma bobina é proporcional às variações na
Eléctricos corrente respectiva
7 Condensador e
8 Bobina e (8.2)
Indutância
Electromagnética
fenómeno que se designa por indução electromagnética (daí o nome alternativo de
9 Análise de
coeficiente de auto-indução dado à indutância).
Ordem A análise de um circuito com bobinas exige a obtenção e a resolução de uma ou várias
10 Análise de equações diferenciais. As condições iniciais da corrente, do fluxo magnético e da
Circuitos RC, RL e RLC energia armazenada, em conjunto com a imposição da sua continuidade, constituem a
de 2.ª Ordem informação necessária para determinar os valores das constantes da solução da
equação diferencial. À parte a diferença relativa aos fenómenos subjacentes ao seu
11 Impedância
funcionamento, a forma dual das características tensão-corrente do condensador e da
Eléctrica bobina indica que os tópicos a tratar neste capítulo devam ser semelhantes àqueles
12 Análise da abordados anteriormente, em particular no que respeita ao estudo das associações em
Resposta em Frequência série e em paralelo de bobinas, da energia armazenada e dos divisores de tensão e de
13 Bobinas corrente.
Acopladas e
Transformadores



14 Diportos
Eléctricos
15 Amplificador
Operacional
16 Transferidor de
Tensão e Corrente
APÊNDICE-A
APÊNDICE-B


9 Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª Ordem

Análise de Circuitos RC e RL de 1.ª
Ordem

As características tensão-corrente do condensador e da bobina introduzem as equações diferenciais no seio
da análise dos circuitos eléctricos. As Leis de Kirchhoff e as características tensão-corrente dos elementos
conduzem, em conjunto, a uma equação diferencial linear, cuja solução define a dinâmica temporal das
variáveis corrente e tensão eléctrica nos diversos componentes do circuito.

A solução de uma equação diferencial com termo forçado é composta por duas parcelas essencialmente
distintas: solução ou resposta natural, que determina a dinâmica das variáveis na ausência de fontes
independentes (entenda-se na ausência de termo forçado na equação diferencial); e solução forçada. Esta
última solução encontra-se directamente relacionada com a forma de onda das fontes independentes,
revelando-se de particular interesse aquelas impostas por fontes constantes e sinusoidais. A seu tempo
verificar-se-á que o estudo da solução forçada sinusoidal de um circuito abre um campo inteiramente novo
à análise de circuitos, genericamente designado por regime forçado sinusoidal.

A solução de uma equação diferencial é definida a menos de um conjunto de constantes, tantas quantas a
ordem da mesma. A determinação da solução particular de uma equação diferencial exige a consideração
das condições inicial e de continuidade da energia armazenada nos condensadores e nas bobinas do circuito.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_09/ancir_09.htm06-06-2005 12:35:40


Análise de Circuitos RC
e RL de 1.ª Ordem

As características tensão-corrente do condensador e da bobina introduzem as equações
diferenciais no seio da análise dos circuitos eléctricos. As Leis de Kirchhoff e as
Sebenta características tensão-corrente dos elementos conduzem, em conjunto, a uma equação
Multimédia diferencial linear, cuja solução define a dinâmica temporal das variáveis corrente e
1 Grandezas tensão eléctrica nos diversos componentes do circuito.
Eléctricas
2 Componentes A solução de uma equação diferencial com termo forçado é composta por duas
parcelas essencialmente distintas: solução ou resposta natural, que determina a
Fundamentais dos
dinâmica das variáveis na ausência de fontes independentes (entenda-se na ausência
Circuitos Eléctricos de termo forçado na equação diferencial); e solução forçada. Esta última solução
3 Resistência encontra-se directamente relacionada com a forma de onda das fontes independentes,
Eléctrica revelando-se de particular interesse aquelas impostas por fontes constantes e
4 Leis de sinusoidais. A seu tempo verificar-se-á que o estudo da solução forçada sinusoidal de
um circuito abre um campo inteiramente novo à análise de circuitos, genericamente
Kirchhoff
designado por regime forçado sinusoidal.
5 Métodos de
Análise Sistemática de A solução de uma equação diferencial é definida a menos de um conjunto de
Circuitos constantes, tantas quantas a ordem da mesma. A determinação da solução particular
6 Teoremas de uma equação diferencial exige a consideração das condições inicial e de
Básicos dos Circuitos continuidade da energia armazenada nos condensadores e nas bobinas do circuito.
Eléctricos
7 Condensador e
8 Bobina e
Indutância
Electromagnética
9 Análise de
Ordem
10 Análise de
de 2.ª Ordem
11 Impedância
Eléctrica
12 Análise da
13 Bobinas
Acopladas e
Transformadores



14 Diportos
Eléctricos
15 Amplificador
Operacional
16 Transferidor de
Tensão e Corrente
APÊNDICE-A
APÊNDICE-B


10 Análise de Circuitos RC, RL e RCL de 2.ª Ordem

Análise de Circuitos RC, RL e RLC
de 2.ª Ordem

Existem três classes principais de circuitos de 2.ª ordem: os circuitos RLC, com um condensador e uma
bobina, e os circuitos RC e RL com dois condensadores ou duas bobinas irredutíveis por associação em
série ou em paralelo.

Existem também diversos métodos alternativos para formular a equação diferencial escalar de 2.ª ordem
que governa o funcionamento de um circuito de 2.ª ordem. Neste livro apresentam-se os métodos da
substituição e do operador-s, ambos conducentes directamente a uma equação diferencial de 2.ª ordem, e o
método das equações de estado. Este último método conduz, em primeira instância, a um sistema de
equações diferenciais de 1.ª ordem, no conjunto designadas por equações de estado do circuito, sistema que
seguidamente pode ser resolvido de modo a obter uma equação diferencial de 2.ª ordem. Estes três métodos
comportam vantagens e inconvenientes no que respeita à complexidade da sua aplicação, sendo porém
verdadeiro que o método do operador-s tem a vantagem de permitir obter a equação diferencial de um
circuito através de processos semelhantes aos utilizados no âmbito das redes resistivas puras.

A solução de uma equação diferencial de 2.ª ordem é composta por duas parcelas essencialmente distintas:
a solução natural e a solução forçada pelas fontes independentes. A solução natural tem em geral a forma de
uma soma de exponenciais negativas, podendo, no entanto, distinguir-se os seguintes quatro casos
particulares: a solução sobre-amortecida, definida por duas exponenciais reais, distintas e negativas; a
solução criticamente amortecida, constituída pelo produto de uma função linear por uma exponencial real
negativa; a solução sub-amortecida, neste caso constituída por duas exponenciais complexas conjugadas; e,
finalmente, a solução oscilatória, definida por duas exponenciais imaginárias puras conjugadas. No que
respeita à solução forçada, verifica-se que as fontes independentes constantes conduzem a soluções
forçadas de tipo também constante, e que as fontes independentes sinusoidais conduzem a soluções
forçadas também de tipo sinusoidal.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_10/ancir_10.htm06-06-2005 12:35:42


Análise de Circuitos
RC, RL e RLC de 2.ª
Ordem

Existem três classes principais de circuitos de 2.ª ordem: os circuitos RLC, com um
Sebenta
condensador e uma bobina, e os circuitos RC e RL com dois condensadores ou duas
Multimédia bobinas irredutíveis por associação em série ou em paralelo.
1 Grandezas
Eléctricas Existem também diversos métodos alternativos para formular a equação diferencial
2 Componentes escalar de 2.ª ordem que governa o funcionamento de um circuito de 2.ª ordem. Neste
Fundamentais dos livro apresentam-se os métodos da substituição e do operador-s, ambos conducentes
directamente a uma equação diferencial de 2.ª ordem, e o método das equações de
Circuitos Eléctricos estado. Este último método conduz, em primeira instância, a um sistema de equações
3 Resistência diferenciais de 1.ª ordem, no conjunto designadas por equações de estado do circuito,
Eléctrica sistema que seguidamente pode ser resolvido de modo a obter uma equação
4 Leis de diferencial de 2.ª ordem. Estes três métodos comportam vantagens e inconvenientes
no que respeita à complexidade da sua aplicação, sendo porém verdadeiro que o
Kirchhoff
método do operador-s tem a vantagem de permitir obter a equação diferencial de um
5 Métodos de circuito através de processos semelhantes aos utilizados no âmbito das redes resistivas
Análise Sistemática de puras.
Circuitos
6 Teoremas A solução de uma equação diferencial de 2.ª ordem é composta por duas parcelas
Básicos dos Circuitos essencialmente distintas: a solução natural e a solução forçada pelas fontes
independentes. A solução natural tem em geral a forma de uma soma de exponenciais
Eléctricos
negativas, podendo, no entanto, distinguir-se os seguintes quatro casos particulares: a
7 Condensador e solução sobre-amortecida, definida por duas exponenciais reais, distintas e negativas;
Capacidade Eléctrica a solução criticamente amortecida, constituída pelo produto de uma função linear por
8 Bobina e uma exponencial real negativa; a solução sub-amortecida, neste caso constituída por
Indutância duas exponenciais complexas conjugadas; e, finalmente, a solução oscilatória,
definida por duas exponenciais imaginárias puras conjugadas. No que respeita à
Electromagnética
solução forçada, verifica-se que as fontes independentes constantes conduzem a
9 Análise de soluções forçadas de tipo também constante, e que as fontes independentes sinusoidais
Circuitos RC e RL de 1.ª conduzem a soluções forçadas também de tipo sinusoidal.
Ordem
10 Análise de
de 2.ª Ordem
11 Impedância
Eléctrica
12 Análise da
13 Bobinas
Acopladas e
Transformadores



14 Diportos
Eléctricos
15 Amplificador
Operacional
16 Transferidor de
Tensão e Corrente
APÊNDICE-A
APÊNDICE-B


11 Impedância Eléctrica

Impedância Eléctrica

Ao longo dos dois capítulos anteriores constatou-se que a análise no tempo de um circuito com
condensadores e bobinas exige a obtenção e a resolução de uma equação diferencial. Constatou-se ainda
que a dinâmica temporal desta classe de circuitos é composta por duas parcelas essencialmente distintas: a
solução natural e a solução forçada pelas fontes independentes do circuito. A solução natural é tipicamente
constituída por funções exponenciais negativas, portanto funções que tendem para zero com o tempo, ao
passo que a solução forçada impõe ao circuito uma dinâmica cuja forma é estabelecida por fontes
independentes. Por exemplo, verificou-se que as fontes independentes sinusoidais conduzem a soluções
forçadas sinusoidais, cuja amplitude e fase na origem são função da frequência angular (ω) e dos
parâmetros do circuito.

Uma das características mais interessantes dos circuitos lineares é o facto de as soluções forçadas
sinusoidais em todos os nós e componentes do circuito apresentarem exactamente a mesma frequência
angular da fonte independente. A principal consequência desta propriedade é a possibilidade de reduzir a
análise da solução forçada sinusoidal à identificação das amplitudes e das fases na origem dos sinais.

A análise da solução forçada sinusoidal de um circuito conduz aos conceitos de fasor e de impedância
eléctrica. O fasor de uma variável sinusoidal é um número complexo com informação relativa à amplitude e
à fase na origem, desprezando assim a informação relativa à frequência que à partida se sabe ser igual em
todos os nós e componentes do circuito. Por outro lado, a impedância eléctrica de um elemento ou circuito
mais não é que a relação entre os fasores da tensão e da corrente aos terminais respectivos, sendo, portanto,
em geral um número complexo dependente da frequência angular da sinusóide sob análise.

O facto de as relações fasoriais entre tensão e corrente eléctrica nos elementos R, C e L serem de tipo linear,
apesar de entre números complexos, permite que a solução forçada sinusoidal de um circuito possa ser
estudada recorrendo aos métodos e teoremas típicos da análise dos circuitos resistivos puros. Por exemplo,
é possível estender a aplicação dos métodos das malhas e dos nós à análise da solução forçada sinusoidal de
um circuito, recorrendo ainda aos resultados do teoremas de Norton, de Thévenin, de Millman, de Miller,
da sobreposição das fontes e da máxima transferência de potência.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_11/impedel.htm06-06-2005 12:35:43


Impedância Eléctrica

Ao longo dos dois capítulos anteriores constatou-se que a análise no tempo de um
circuito com condensadores e bobinas exige a obtenção e a resolução de uma equação
Sebenta diferencial. Constatou-se ainda que a dinâmica temporal desta classe de circuitos é
Multimédia composta por duas parcelas essencialmente distintas: a solução natural e a solução
1 Grandezas forçada pelas fontes independentes do circuito. A solução natural é tipicamente
Eléctricas constituída por funções exponenciais negativas, portanto funções que tendem para
zero com o tempo, ao passo que a solução forçada impõe ao circuito uma dinâmica
2 Componentes
cuja forma é estabelecida por fontes independentes. Por exemplo, verificou-se que as
Fundamentais dos fontes independentes sinusoidais conduzem a soluções forçadas sinusoidais, cuja
Circuitos Eléctricos amplitude e fase na origem são função da frequência angular (ω) e dos parâmetros do
3 Resistência circuito.
Eléctrica
4 Leis de Uma das características mais interessantes dos circuitos lineares é o facto de as
soluções forçadas sinusoidais em todos os nós e componentes do circuito
Kirchhoff
apresentarem exactamente a mesma frequência angular da fonte independente. A
5 Métodos de principal consequência desta propriedade é a possibilidade de reduzir a análise da
Análise Sistemática de solução forçada sinusoidal à identificação das amplitudes e das fases na origem dos
Circuitos sinais.
6 Teoremas
Básicos dos Circuitos A análise da solução forçada sinusoidal de um circuito conduz aos conceitos de fasor
e de impedância eléctrica. O fasor de uma variável sinusoidal é um número complexo
Eléctricos
com informação relativa à amplitude e à fase na origem, desprezando assim a
7 Condensador e informação relativa à frequência que à partida se sabe ser igual em todos os nós e
Capacidade Eléctrica componentes do circuito. Por outro lado, a impedância eléctrica de um elemento ou
8 Bobina e circuito mais não é que a relação entre os fasores da tensão e da corrente aos terminais
Indutância respectivos, sendo, portanto, em geral um número complexo dependente da frequência
angular da sinusóide sob análise.
Electromagnética
9 Análise de
O facto de as relações fasoriais entre tensão e corrente eléctrica nos elementos R, C e
Circuitos RC e RL de 1.ª L serem de tipo linear, apesar de entre números complexos, permite que a solução
Ordem forçada sinusoidal de um circuito possa ser estudada recorrendo aos métodos e
10 Análise de teoremas típicos da análise dos circuitos resistivos puros. Por exemplo, é possível
Circuitos RC, RL e RLC estender a aplicação dos métodos das malhas e dos nós à análise da solução forçada
sinusoidal de um circuito, recorrendo ainda aos resultados do teoremas de Norton, de
de 2.ª Ordem Thévenin, de Millman, de Miller, da sobreposição das fontes e da máxima
11 Impedância transferência de potência.
Eléctrica
12 Análise da
13 Bobinas
Acopladas e
Transformadores



14 Diportos
Eléctricos
15 Amplificador
Operacional
16 Transferidor de
Tensão e Corrente
APÊNDICE-A
APÊNDICE-B


12 Análise da Resposta em Frequência

Análise da Resposta em Frequência

Designa-se por análise da resposta em frequência o estudo da variação com a frequência do cociente entre
dois fasores. A representação do cociente entre fasores em notação polar, entenda-se a representação da
amplitude e da fase, define as funções amplitude e fase da resposta em frequência, que explicitam a relação
existente entre as amplitudes e a diferença entre as fases das sinusóides subjacentes aos fasores. Na
variação da amplitude e da fase com a frequência inscrevem-se a selectividade em amplitude e o atraso de
fase em frequência, que suportam a construção de filtros eléctricos de tipo passa-baixo, passa-alto, passa-
banda, rejeita-banda, e de igualização de amplitude e de fase.

As representações gráficas das funções amplitude e fase da resposta em frequência, em escala logarítmica,
designam-se por diagramas de Bode de amplitude e de fase. Nos diagramas de Bode de amplitude, o eixo
das frequências (horizontal) representa-se em escala logarítmica (facto que permite abranger num mesmo
gráfico uma gama muito mais ampla de frequências), ao passo que na escala vertical se representa a função
20log10(amplitude), em vez da amplitude apenas, cuja unidade se designa por decibell (dB) de amplitude.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_12/anresfre.htm06-06-2005 12:35:45


Análise da Resposta em
Frequência

Designa-se por análise da resposta em frequência o estudo da variação com a
frequência do cociente entre dois fasores. A representação do cociente entre fasores
Sebenta em notação polar, entenda-se a representação da amplitude e da fase, define as
Multimédia funções amplitude e fase da resposta em frequência, que explicitam a relação existente
1 Grandezas entre as amplitudes e a diferença entre as fases das sinusóides subjacentes aos fasores.
Eléctricas Na variação da amplitude e da fase com a frequência inscrevem-se a selectividade em
amplitude e o atraso de fase em frequência, que suportam a construção de filtros
2 Componentes
eléctricos de tipo passa-baixo, passa-alto, passa-banda, rejeita-banda, e de igualização
Fundamentais dos de amplitude e de fase.
3 Resistência As representações gráficas das funções amplitude e fase da resposta em frequência,
Eléctrica em escala logarítmica, designam-se por diagramas de Bode de amplitude e de fase.
4 Leis de Nos diagramas de Bode de amplitude, o eixo das frequências (horizontal) representa-
se em escala logarítmica (facto que permite abranger num mesmo gráfico uma gama
Kirchhoff
muito mais ampla de frequências), ao passo que na escala vertical se representa a
5 Métodos de função 20log10(amplitude), em vez da amplitude apenas, cuja unidade se designa por
Análise Sistemática de decibell (dB) de amplitude.
Circuitos
6 Teoremas
Eléctricos
7 Condensador e
8 Bobina e
Indutância
Electromagnética
9 Análise de
Ordem
10 Análise de
de 2.ª Ordem
11 Impedância
Eléctrica
12 Análise da
13 Bobinas
Acopladas e
Transformadores



14 Diportos
Eléctricos
15 Amplificador
Operacional
16 Transferidor de
Tensão e Corrente
APÊNDICE-A
APÊNDICE-B


13 Bobinas Acopladas e Transformadores

Bobinas Acopladas e
Transformadores

O transformador é um componente de circuito constituído por duas bobinas acopladas magneticamente (ver
Figura 13.1). O facto de ambas as bobinas partilharem o mesmo núcleo, em geral de elevada
permeabilidade magnética, faz com que a ligação seja quase perfeita e as linhas de força sejam quase na
totalidade partilhadas por ambos os enrolamentos. Uma relação corrente eléctrica, fluxo magnético e força
electro-motriz induzida, e entre estas e o número de espiras em cada um dos enrolamentos, permite elevar
ou reduzir a amplitude da tensão ou da corrente nas duas bobinas.

Figura 13.1 Bobinas acopladas

As bobinas acopladas e os transformadores são utilizadas em variadíssimas aplicações. Alguns exemplos
são a elevação e a redução da amplitude da tensão ou da corrente e a conversão do número de fases em
redes de transporte de energia eléctrica, a redução da amplitude da tensão ou da corrente eléctrica em
instrumentos de medida, a contagem de energia eléctrica, a implementação de mecanismos de protecção, a
rectificação de sinais, a adaptação de impedâncias em aplicações audio e rádio-frequência, o isolamento
galvânico entre partes de um circuito eléctrico, etc.

Figura 13.2 Alternativas no transporte de energia eléctrica: em baixa tensão (a); em alta tensão (b)

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_13/boacotra.htm (1 of 2)06-06-2005 12:35:47

13 Bobinas Acopladas e Transformadores

Um dos exemplos mais elucidativos da utilidade do transformador é o transporte de energia eléctrica entre
as centrais de produção e os centros consumidores. Admita-se então que se pretende transportar uma
potência nominal aparente de 1 MVA entre uma central e uma cidade localizada a uma distância de 100 km
(200 km de fios eléctricos condutores), e que a tensão de alimentação a fornecer à cidade é de V =200 V
cid
(valor eficaz; veja-se a Figura 13.2.a). A amplitude da corrente (eficaz) a fornecer à cidade pela central é
neste caso I=S/V =5000 A, corrente cujo transporte exige fios condutores de secção mínima s=1000 mm2,
cid
admitindo assim que a linha de cobre suporta uma densidade de corrente máxima de 5 A/mm2. A linha
apresenta uma resistência eléctrica de R =ρl/s=4 Ω, admitindo que a resistividade do cobre é ρ=0.02
linha
Ωmm2/m, sendo responsável por uma queda de tensão V =R I=20 kV e por uma dissipação de
linha linha
2
energia por efeito de Joule, cuja potência é P =R I =100 MW. Estes resultados indicam que a queda
linha linha
de tensão e a potência dissipada na linha são ordens de grandeza superiores àquelas efectivamente
utilizadas pelos consumidores.

Uma das alternativas para reduzir as perdas por efeito de Joule no transporte de energia eléctrica,
implementada na prática, consiste em elevar drasticamente o valor da tensão de transporte (reduzir
drasticamente a corrente na linha), reduzindo-a depois progressivamente junto aos grandes centros
consumidores, às povoações, aos bairros, aos grandes edifícios, etc. As alternativas a esta solução seriam
basicamente três (todas elas impraticáveis): aproximar a central dos consumidores, aproximar os
consumidores da central, ou então aumentar drasticamente a secção das linhas de transporte.

Admita-se agora que através de um qualquer mecanismo se eleva a tensão de transporte da energia de, por
exemplo, 200 V para 400 kV, e que depois, junto ao centro consumidor, se opera à sua redução (Figura
13.2.b). Neste caso, o valor eficaz da corrente na linha é de apenas I=S/V =2.5 A, a secção exigida para o
cid
condutor e a respectiva resistência são s=1 mm2 eR =4 kΩ, e a queda de tensão e as perdas na linha
linha
são, respectivamente, V =10 kV e P =25 kW. Como se vê, o simples facto de se ter elevado a tensão
linha linha
de transporte de 200 V para 400 kV conduz a uma apreciável redução da potência dissipada na linha, com
perdas que são apenas 2.5% dos valores de tensão e de potência efectivamente transportados para o centro
consumidor.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_13/boacotra.htm (2 of 2)06-06-2005 12:35:47


Bobinas Acopladas e
Transformadores

O transformador é um componente de circuito constituído por duas bobinas acopladas
magneticamente (ver Figura 13.1). O facto de ambas as bobinas partilharem o mesmo núcleo, em
Sebenta geral de elevada permeabilidade magnética, faz com que a ligação seja quase perfeita e as linhas de
Multimédia força sejam quase na totalidade partilhadas por ambos os enrolamentos. Uma relação corrente
1 Grandezas eléctrica, fluxo magnético e força electro-motriz induzida, e entre estas e o número de espiras em
Eléctricas cada um dos enrolamentos, permite elevar ou reduzir a amplitude da tensão ou da corrente nas duas
bobinas.
2 Componentes
Fundamentais dos
3 Resistência
Eléctrica
4 Leis de
Kirchhoff
5 Métodos de
Circuitos
Figura 13.1 Bobinas acopladas
6 Teoremas
Básicos dos Circuitos As bobinas acopladas e os transformadores são utilizadas em variadíssimas aplicações. Alguns
Eléctricos exemplos são a elevação e a redução da amplitude da tensão ou da corrente e a conversão do
7 Condensador e número de fases em redes de transporte de energia eléctrica, a redução da amplitude da tensão ou da
Capacidade Eléctrica corrente eléctrica em instrumentos de medida, a contagem de energia eléctrica, a implementação de
mecanismos de protecção, a rectificação de sinais, a adaptação de impedâncias em aplicações audio
8 Bobina e
e rádio-frequência, o isolamento galvânico entre partes de um circuito eléctrico, etc.
Indutância
Electromagnética
9 Análise de
Ordem
10 Análise de
de 2.ª Ordem
11 Impedância
Eléctrica
12 Análise da
13 Bobinas
Figura 13.2 Alternativas no transporte de energia eléctrica: em baixa tensão (a); em alta tensão (b)
Acopladas e
Transformadores
Um dos exemplos mais elucidativos da utilidade do transformador é o transporte de energia
14 Diportos eléctrica entre as centrais de produção e os centros consumidores. Admita-se então que se pretende
Eléctricos transportar uma potência nominal aparente de 1 MVA entre uma central e uma cidade localizada a
15 Amplificador uma distância de 100 km (200 km de fios eléctricos condutores), e que a tensão de alimentação a
Operacional fornecer à cidade é de V =200 V (valor eficaz; veja-se a Figura 13.2.a). A amplitude da corrente
cid
16 Transferidor de (eficaz) a fornecer à cidade pela central é neste caso I=S/V =5000 A, corrente cujo transporte
cid



Tensão e Corrente exige fios condutores de secção mínima s=1000 mm2, admitindo assim que a linha de cobre suporta
APÊNDICE-A uma densidade de corrente máxima de 5 A/mm2. A linha apresenta uma resistência eléctrica de
APÊNDICE-B R =ρl/s=4 Ω, admitindo que a resistividade do cobre é ρ=0.02 Ωmm2/m, sendo responsável por
linha
uma queda de tensão V =R I=20 kV e por uma dissipação de energia por efeito de Joule,
linha linha
2
cuja potência é P =R I =100 MW. Estes resultados indicam que a queda de tensão e a
linha linha
potência dissipada na linha são ordens de grandeza superiores àquelas efectivamente utilizadas
pelos consumidores.

Uma das alternativas para reduzir as perdas por efeito de Joule no transporte de energia eléctrica,
implementada na prática, consiste em elevar drasticamente o valor da tensão de transporte (reduzir
drasticamente a corrente na linha), reduzindo-a depois progressivamente junto aos grandes centros
consumidores, às povoações, aos bairros, aos grandes edifícios, etc. As alternativas a esta solução
seriam basicamente três (todas elas impraticáveis): aproximar a central dos consumidores,
aproximar os consumidores da central, ou então aumentar drasticamente a secção das linhas de
transporte.

Admita-se agora que através de um qualquer mecanismo se eleva a tensão de transporte da energia
de, por exemplo, 200 V para 400 kV, e que depois, junto ao centro consumidor, se opera à sua
redução (Figura 13.2.b). Neste caso, o valor eficaz da corrente na linha é de apenas I=S/V =2.5 A,
cid
a secção exigida para o condutor e a respectiva resistência são s=1 mm2 e R =4 kΩ, e a queda
linha
de tensão e as perdas na linha são, respectivamente, V =10 kV e P =25 kW. Como se vê, o
linha linha
simples facto de se ter elevado a tensão de transporte de 200 V para 400 kV conduz a uma
apreciável redução da potência dissipada na linha, com perdas que são apenas 2.5% dos valores de
tensão e de potência efectivamente transportados para o centro consumidor.


14 Diportos Eléctricos

Diportos Eléctricos

A grande maioria dos dispositivos e circuitos electrónicos constituem aquilo que em teoria dos circuitos se
designa por diporto eléctrico. Um diporto é basicamente um circuito cuja ligação ao exterior se efectua
através de dois pares de terminais designados por portos (ver Figura 14.1). Por definição, um diporto
contém apenas resistências, condensadores, bobinas e fontes dependentes, mas não fontes independentes de
tensão ou de corrente. Cada porto é caracterizado por uma corrente de entrada e de saída, Ii e Ii´, por
definição iguais, e por uma tensão entre terminais, Vi. Adiante se verá que, destas quatro variáveis, duas
são independentes e duas dependentes.

Figura 14.1 Diporto eléctrico

Exemplos de dispositivos e de circuitos electrónicos que constituem diportos são os transístores de junção
bipolar e de efeito de campo, os amplificadores operacionais de tensão e de corrente, ou em geral qualquer
rede cujos acessos ao exterior verifiquem as condições acima referidas. Por exemplo, no caso do transístor
de junção bipolar representado na Figura 14.2, dois dos terminais de acesso encontram-se em curto-
circuito, constituindo assim um diporto com três terminais apenas.

Figura 14.2 Diporto com três terminais

Um diporto é caracterizado através de quatro coeficientes organizados numa matriz quadrada. A matriz
constitui o elo de ligação entre as variáveis independentes e dependentes nos dois portos, estabelecendo um
conjunto de duas equações algébricas que definem todo o desempenho do circuito. Por exemplo, um
diporto pode ser caracterizado através de uma matriz de admitâncias

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_14/dipoelec.htm (1 of 2)06-06-2005 12:35:49

14 Diportos Eléctricos

(14.1)

a qual pressupõe serem independentes as variáveis V1 e V2 e dependentes as correntes I1 e I2 nos portos.

As duas equações algébricas em (14.1) definem um modelo eléctrico equivalente de um diporto (Figura
14.3). Outros pares de variáveis independentes conduzem a outras matrizes e outros modelos eléctricos
equivalentes, sendo característica de todos eles o possuírem apenas quatro coeficientes e quatro
componentes, respectivamente.

Figura 14.3 Modelo eléctrico equivalente de um diporto

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_14/dipoelec.htm (2 of 2)06-06-2005 12:35:49


Diportos Eléctricos

A grande maioria dos dispositivos e circuitos electrónicos constituem aquilo que em teoria dos circuitos
se designa por diporto eléctrico. Um diporto é basicamente um circuito cuja ligação ao exterior se
Sebenta efectua através de dois pares de terminais designados por portos (ver Figura 14.1). Por definição, um
Multimédia diporto contém apenas resistências, condensadores, bobinas e fontes dependentes, mas não fontes
1 Grandezas independentes de tensão ou de corrente. Cada porto é caracterizado por uma corrente de entrada e de
Eléctricas saída, Ii e Ii´, por definição iguais, e por uma tensão entre terminais, Vi. Adiante se verá que, destas
2 Componentes quatro variáveis, duas são independentes e duas dependentes.
Fundamentais dos
3 Resistência
Eléctrica
4 Leis de
Kirchhoff
5 Métodos de
Análise Sistemática de Figura 14.1 Diporto eléctrico
Circuitos
6 Teoremas Exemplos de dispositivos e de circuitos electrónicos que constituem diportos são os transístores de
junção bipolar e de efeito de campo, os amplificadores operacionais de tensão e de corrente, ou em geral
qualquer rede cujos acessos ao exterior verifiquem as condições acima referidas. Por exemplo, no caso
Eléctricos do transístor de junção bipolar representado na Figura 14.2, dois dos terminais de acesso encontram-se
7 Condensador e em curto-circuito, constituindo assim um diporto com três terminais apenas.
8 Bobina e
Indutância
Electromagnética
9 Análise de
Ordem
10 Análise de
de 2.ª Ordem Figura 14.2 Diporto com três terminais
11 Impedância
Eléctrica Um diporto é caracterizado através de quatro coeficientes organizados numa matriz quadrada. A matriz
12 Análise da constitui o elo de ligação entre as variáveis independentes e dependentes nos dois portos, estabelecendo
Resposta em Frequência um conjunto de duas equações algébricas que definem todo o desempenho do circuito. Por exemplo, um
diporto pode ser caracterizado através de uma matriz de admitâncias
13 Bobinas
Acopladas e
Transformadores
(14.1)
14 Diportos
Eléctricos
15 Amplificador a qual pressupõe serem independentes as variáveis V1 e V2 e dependentes as correntes I1 e I2 nos portos.
Operacional
16 Transferidor de As duas equações algébricas em (14.1) definem um modelo eléctrico equivalente de um diporto (Figura
Tensão e Corrente 14.3). Outros pares de variáveis independentes conduzem a outras matrizes e outros modelos eléctricos
APÊNDICE-A equivalentes, sendo característica de todos eles o possuírem apenas quatro coeficientes e quatro



APÊNDICE-B componentes, respectivamente.

Figura 14.3 Modelo eléctrico equivalente de um diporto


15 Aplificador Operacional

Amplificador Operacional

Na parte final do capítulo anterior desenvolveram-se dois modelos eléctricos simplificados para os
amplificadores de tensão e de corrente sem realimentação. Os modelos consideravam três elementos
apenas: duas impedâncias, uma de entrada e outra de saída, e uma fonte de tensão ou de corrente
dependente. Na Figura 15.1.a redesenha-se o modelo eléctrico do amplificador de tensão então obtido.

Figura 15.1 Amplificador de tensão: não ideal (a) e ideal (b)

A ligação de um amplificador a uma fonte de sinal e a uma carga envolve dois divisores de tensão que
reduzem o ganho máximo obtenível. Referindo ao esquema eléctrico da Figura 15.1.b, verifica-se que a
construção de uma cadeia de amplificação optimizada passa pelo recurso a amplificadores de tensão que
gozem, pelo menos, das seguintes duas propriedades: impedância de entrada infinita, e impedância de saída
nula. Se a estas duas propriedades se juntarem um ganho de tensão infinito, a não dependência do mesmo
com a frequência e a possibilidade de aplicar na entrada e obter na saída quaisquer valores de tensão, então
obtém-se aquilo que vulgarmente se designa por amplificador operacional ideal, ou AmpOp.

Apesar deste conjunto idealizado de propriedades, é um facto que o AmpOp ideal constitui uma boa
aproximação do desempenho eléctrico de uma vasta gama de circuitos integrados utilizados na prática.
Com efeito, existem no mercado AmpOps cujo ganho ascende a 106, e cujas resistências de entrada e de

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_15/ampop.htm (1 of 2)06-06-2005 12:35:51

15 Aplificador Operacional

saída são, respectivamente, várias dezenas a centenas de MΩ e algumas unidades ou décimas de ohm.

Os elevados ganho e resistência de entrada do AmpOp estão na origem do designado curto-circuito virtual
entre nós, que em alguns casos particulares implementa uma massa virtual. Este operador possibilita a
realização de amplificadores de tensão cujo ganho depende apenas do cociente entre duas resistências,
amplificadores soma e diferença de sinais, circuitos integradores e diferenciadores de sinal, filtros,
conversores corrente-tensão e tensão-corrente, conversores de impedâncias, circuitos rectificadores de sinal,
comparadores de tensão, etc.. Não é exagero afirmar que, na actualidade, o AmpOp constituiu o paradigma
dominante no projecto de circuitos electrónicos analógicos.

Os amplificadores operacionais são constituídos por múltiplos componentes electrónicos e passivos,
nomeadamente transístores, resistências e condensadores. No entanto, neste texto limita-se o estudo do
AmpOp à identificação e utilização prática das propriedades dos seus terminais de acesso, deixando para
um manual posterior o estudo detalhado da sua estrutura interna.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_15/ampop.htm (2 of 2)06-06-2005 12:35:51


Amplificador
Operacional

Na parte final do capítulo anterior desenvolveram-se dois modelos eléctricos
simplificados para os amplificadores de tensão e de corrente sem realimentação. Os
Sebenta modelos consideravam três elementos apenas: duas impedâncias, uma de entrada e
Multimédia outra de saída, e uma fonte de tensão ou de corrente dependente. Na Figura 15.1.a
1 Grandezas redesenha-se o modelo eléctrico do amplificador de tensão então obtido.
Eléctricas
2 Componentes
Fundamentais dos
3 Resistência
Eléctrica
4 Leis de
Kirchhoff
5 Métodos de
Circuitos
6 Teoremas
Eléctricos
7 Condensador e
8 Bobina e
Indutância
Electromagnética
9 Análise de Figura 15.1 Amplificador de tensão: não ideal (a) e ideal (b)
Ordem A ligação de um amplificador a uma fonte de sinal e a uma carga envolve dois
10 Análise de divisores de tensão que reduzem o ganho máximo obtenível. Referindo ao esquema
eléctrico da Figura 15.1.b, verifica-se que a construção de uma cadeia de amplificação
optimizada passa pelo recurso a amplificadores de tensão que gozem, pelo menos, das
de 2.ª Ordem seguintes duas propriedades: impedância de entrada infinita, e impedância de saída
11 Impedância nula. Se a estas duas propriedades se juntarem um ganho de tensão infinito, a não
Eléctrica dependência do mesmo com a frequência e a possibilidade de aplicar na entrada e
12 Análise da obter na saída quaisquer valores de tensão, então obtém-se aquilo que vulgarmente se
designa por amplificador operacional ideal, ou AmpOp.
13 Bobinas
Apesar deste conjunto idealizado de propriedades, é um facto que o AmpOp ideal
Acopladas e constitui uma boa aproximação do desempenho eléctrico de uma vasta gama de
Transformadores circuitos integrados utilizados na prática. Com efeito, existem no mercado AmpOps
cujo ganho ascende a 106, e cujas resistências de entrada e de saída são,


14 Diportos respectivamente, várias dezenas a centenas de MΩ e algumas unidades ou décimas de
Eléctricos ohm.
15 Amplificador
Operacional Os elevados ganho e resistência de entrada do AmpOp estão na origem do designado
curto-circuito virtual entre nós, que em alguns casos particulares implementa uma
16 Transferidor de
massa virtual. Este operador possibilita a realização de amplificadores de tensão cujo
Tensão e Corrente ganho depende apenas do cociente entre duas resistências, amplificadores soma e
APÊNDICE-A diferença de sinais, circuitos integradores e diferenciadores de sinal, filtros,
APÊNDICE-B conversores corrente-tensão e tensão-corrente, conversores de impedâncias, circuitos
rectificadores de sinal, comparadores de tensão, etc.. Não é exagero afirmar que, na
actualidade, o AmpOp constituiu o paradigma dominante no projecto de circuitos
electrónicos analógicos.

Os amplificadores operacionais são constituídos por múltiplos componentes
electrónicos e passivos, nomeadamente transístores, resistências e condensadores. No
entanto, neste texto limita-se o estudo do AmpOp à identificação e utilização prática
das propriedades dos seus terminais de acesso, deixando para um manual posterior o
estudo detalhado da sua estrutura interna.


16 Transferidor de Tensão-Corrente

Transferidor de Tensão e Corrente

Ao longo dos últimos anos têm vindo a ser introduzidos no mercado alguns blocos operacionais cuja
funcionalidade é distinta daquela característica do AmpOp convencional. De entre estes operacionais
destaca-se o Transferidor de Tensão e Corrente (TTC)1, cuja designação original em literatura anglo-
saxónica é current-conveyor, leia-se transferidor ou transportador de corrente.

O Transferidor de Tensão e Corrente caracteriza-se por um conjunto de propriedades cuja utilidade do
ponto de vista prático não é em nada inferior àquela do AmpOp, senão mesmo superior. O TTC é
basicamente constituído por três portos de acesso, um dos quais é de entrada, outro de entrada ou de saída,
e outro ainda exclusivamente de saída. A aprendizagem das relações existentes entre as tensões e as
correntes nos portos pode por vezes tornar a utilização inicial deste tipo de operacionais relativamente mais
complexa, complexidade que no entanto é rapidamente compensada pela elevada gama de configurações e
aplicações que possibilita. O TTC permite implementar de forma bastante simples conversores tensão e
corrente, amplificadores de tensão e de corrente, seguidores de tensão e de corrente, amplificadores de
instrumentação de tensão e de corrente, somadores de sinais em modo de corrente, integradores e
diferenciadores de tensão e de corrente, filtros activos, conversores de impedâncias, etc. Pode mesmo dizer-
se que o transferidor de tensão e corrente estabelece um paradigma alternativo ao do AmpOp, naturalmente
com as suas vantagens e os seus inconvenientes pontuais.

Os TTCs apresentam duas vantagens principais relativamente aos AmpOps: uma maior funcionalidade,
designadamente devido ao facto de disponibilizarem duas fontes controladas, uma de tensão e outra de
corrente, e a natureza não realimentada da maioria dos circuitos que implementam as funções básicas. Estes
dois factos acarretam um grande número de consequências ao nível prático, designadamente um menor
número de componentes necessários nas montagens e a extrema simplicidade da análise respectiva.

Tal como os AmpOps, os TTCs são construídos à base de transístores de junção bipolar ou de efeito de
campo. As limitações intrínsecas destes dispositivos reflectem-se ao nível das propriedades aos terminais,
atribuindo-lhes assim um conjunto de características não ideais cujo conhecimento é crucial durante as
fases de projecto detalhado e de teste dos circuitos.

Convém também salientar o facto de no mercado existirem transferidores de tensão e corrente cujas
propriedades, número de terminais e designações são por vezes muito diferenciadas. Este facto pode por
vezes conduzir os utilizadores a pensarem tratar-se de blocos distintos, sendo na realidade apenas variantes
bem adaptadas à gama de aplicações visadas. Por exemplo, o TTC apresentado neste capítulo reflecte na
íntegra as propriedades dos integrados comercializados pela empresa LTP-Electronics, designados por
current-conveyor amplifiers, que no entanto apresentam um número de terminais inferior àquele dos
circuitos integrados comercializados pela empresa MAXIM, designados por Wideband Transconductance
Amplifiers. Convém ainda referir o facto de por vezes certas montagens serem passíveis de realização como
uma mas não com outra das variantes comercializadas, facto que de certo modo limita a generalidade das
montagens aqui introduzidas.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_16/tranteco.htm (1 of 2)06-06-2005 12:35:52

16 Transferidor de Tensão-Corrente

1Tradução do autor. À data da realização deste manual não se conheciam outras designações na Língua
Portuguesa

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_16/tranteco.htm (2 of 2)06-06-2005 12:35:52


Transferidor de Tensão
e Corrente

Ao longo dos últimos anos têm vindo a ser introduzidos no mercado alguns blocos
operacionais cuja funcionalidade é distinta daquela característica do AmpOp
Sebenta convencional. De entre estes operacionais destaca-se o Transferidor de Tensão e
Multimédia Corrente (TTC)1, cuja designação original em literatura anglo-saxónica é current-
1 Grandezas conveyor, leia-se transferidor ou transportador de corrente.
Eléctricas
2 Componentes O Transferidor de Tensão e Corrente caracteriza-se por um conjunto de propriedades
Fundamentais dos cuja utilidade do ponto de vista prático não é em nada inferior àquela do AmpOp,
senão mesmo superior. O TTC é basicamente constituído por três portos de acesso,
Circuitos Eléctricos um dos quais é de entrada, outro de entrada ou de saída, e outro ainda exclusivamente
3 Resistência de saída. A aprendizagem das relações existentes entre as tensões e as correntes nos
Eléctrica portos pode por vezes tornar a utilização inicial deste tipo de operacionais
4 Leis de relativamente mais complexa, complexidade que no entanto é rapidamente
compensada pela elevada gama de configurações e aplicações que possibilita. O TTC
Kirchhoff
permite implementar de forma bastante simples conversores tensão e corrente,
5 Métodos de amplificadores de tensão e de corrente, seguidores de tensão e de corrente,
Análise Sistemática de amplificadores de instrumentação de tensão e de corrente, somadores de sinais em
Circuitos modo de corrente, integradores e diferenciadores de tensão e de corrente, filtros
6 Teoremas activos, conversores de impedâncias, etc. Pode mesmo dizer-se que o transferidor de
tensão e corrente estabelece um paradigma alternativo ao do AmpOp, naturalmente
com as suas vantagens e os seus inconvenientes pontuais.
Eléctricos
7 Condensador e Os TTCs apresentam duas vantagens principais relativamente aos AmpOps: uma
Capacidade Eléctrica maior funcionalidade, designadamente devido ao facto de disponibilizarem duas
8 Bobina e fontes controladas, uma de tensão e outra de corrente, e a natureza não realimentada
Indutância da maioria dos circuitos que implementam as funções básicas. Estes dois factos
acarretam um grande número de consequências ao nível prático, designadamente um
Electromagnética
menor número de componentes necessários nas montagens e a extrema simplicidade
9 Análise de da análise respectiva.
Ordem Tal como os AmpOps, os TTCs são construídos à base de transístores de junção
10 Análise de bipolar ou de efeito de campo. As limitações intrínsecas destes dispositivos reflectem-
Circuitos RC, RL e RLC se ao nível das propriedades aos terminais, atribuindo-lhes assim um conjunto de
características não ideais cujo conhecimento é crucial durante as fases de projecto
de 2.ª Ordem detalhado e de teste dos circuitos.
11 Impedância
Eléctrica Convém também salientar o facto de no mercado existirem transferidores de tensão e
12 Análise da corrente cujas propriedades, número de terminais e designações são por vezes muito
Resposta em Frequência diferenciadas. Este facto pode por vezes conduzir os utilizadores a pensarem tratar-se
13 Bobinas de blocos distintos, sendo na realidade apenas variantes bem adaptadas à gama de
aplicações visadas. Por exemplo, o TTC apresentado neste capítulo reflecte na íntegra
Acopladas e as propriedades dos integrados comercializados pela empresa LTP-Electronics,
Transformadores designados por current-conveyor amplifiers, que no entanto apresentam um número
de terminais inferior àquele dos circuitos integrados comercializados pela empresa


14 Diportos MAXIM, designados por Wideband Transconductance Amplifiers. Convém ainda
Eléctricos referir o facto de por vezes certas montagens serem passíveis de realização como uma
15 Amplificador mas não com outra das variantes comercializadas, facto que de certo modo limita a
generalidade das montagens aqui introduzidas.
Operacional
16 Transferidor de
Tensão e Corrente
APÊNDICE-A 1Tradução do autor. À data da realização deste manual não se conheciam outras
APÊNDICE-B designações na Língua Portuguesa


16.1 Transferidor Ideal

16.1 Transferidor Ideal

Um transferidor de tensão e corrente é basicamente um circuito que implementa duas fontes controladas,
uma de tensão controlada por tensão e outra de corrente controlada por corrente (Figura 16.1). Um TTC é
composto por três portos de acesso: um porto de entrada (porto-Y), um porto de entrada ou de saída (porto-
X) e um porto exclusivamente de saída (porto-Z).

Figura 16.1 Transferidor de tensão e corrente

Os portos gozam das seguintes propriedades:

(i) a corrente de entrada no porto-Y é nula, i =0;
y

(ii) a tensão no porto-X segue a tensão aplicada no porto-Y (v =v ), definindo assim um
x y
curto-circuito virtual;

(iii) a corrente no porto-Z é uma cópia daquela presente no porto-X (i =i ), sendo em alguns
z x
casos uma cópia amplificada por um factor k superior à unidade, tipicamente quatro ou oito.

Estas três propriedades resumem-se na seguinte frase: a tensão aplicada ao porto-Y é transferida para o
porto-X, cuja corrente é transferida para o porto-Z. A sequência de controlo entre portos é, portanto, a
seguinte: o porto-Y controla o porto-X e este o porto-Z.

Dado o maior número de fontes controladas implementadas, é de esperar que o transferidor de tensão e
corrente transporte consigo um maior potencial de processamento de sinal quando comparado com o
AmpOp convencional.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_16/tranfeid.htm06-06-2005 12:35:54

16.2 Montagens Básicas


Apesar da enorme variedade de circuitos que se podem realizar com TTCs, é possível distinguir seis
configurações básicas que implementam outras tantas funções do processamento electrónico de sinais: o
seguimento de tensão ou de corrente, a conversão de tensão em corrente ou de corrente em tensão, e a
amplificação de tensão ou de corrente.

16.2.1 Seguidor de Tensão

Considere-se na Figura 16.2 o esquema eléctrico de um seguidor de tensão implementado com base num
TTC.

Figura 16.2 Seguidor de tensão

De acordo com as propriedades estabelecidas para o TTC, a tensão no porto-X segue na íntegra a tensão
aplicada no porto-Y,

(16.1)

exigindo-se apenas que o porto de saída em corrente (Z) se encontre ligado a um nó de baixa impedância
(por exemplo a massa), por forma a garantir um caminho para a corrente por este fornecida.

16.2.2 Seguidor de Corrente

O circuito representado na Figura 16.3 implementa um seguidor de corrente.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_16/montb_16.htm (1 of 5)06-06-2005 12:35:55


Figura 16.3 Seguidor de corrente

As relações entre as tensões e as correntes nos três portos do transferidor são as seguintes:

(16.2)

imposta pela ligação à massa do porto-Y, e

(16.3)

neste caso definida pela fonte de corrente ligada ao porto-X. A extrema simplicidade deste circuito
contrasta com a complexidade da montagem equivalente implementado com base em AmpOps.

16.2.3 Conversor de Tensão em Corrente

Considere-se na Figura 16.4 o esquema eléctrico de um circuito conversor de tensão em corrente.

Figura 16.4 Conversor de tensão em corrente

Neste caso, a tensão é inicialmente transferida do porto-Y para o porto-X, seguidamente é convertida numa
corrente através da resistência externa ligada ao porto-X e, finalmente, é replicada para o porto-Z. Assim,



(16.4)

16.2.4 Conversor de Corrente em Tensão

Um conversor de corrente em tensão implementa-se como se indica na Figura 16.5.

Figura 16.5 Conversor de corrente em tensão

Trata-se apenas de converter para tensão a corrente aplicada na entrada

(16.5)

e seguidamente transferi-la para o porto-X

(16.6)

16.2.5 Amplificador de Corrente

O circuito representado na Figura 16.6 implementa um amplificador de corrente cujo ganho é definido pelo
cociente entre as duas resistências R1 e R2.

Figura 16.6 Amplificador de corrente

A função destes dois componentes externos é a seguinte: a resistência R1 converte para tensão a corrente da
fonte de sinal,



(16.7)

a resistência R2 converte para corrente a tensão transferida do porto-Y para o porto-X

(16.8)

corrente que é finalmente transferida para porto-Z. A simplicidade deste circuito contrasta com a
complexidade do equivalente implementado com base em AmpOps.

16.2.6 Amplificador de Tensão

A realização de um amplificador de tensão exige a utilização de dois transferidores de tensão e corrente
(Figura 16.7): o primeiro para implementar a conversão para corrente do sinal em tensão na entrada, e o
segundo para efectuar a sua reconversão para tensão.

Figura 16.7 Amplificador de tensão

Referindo ao circuito representado na Figura 16.7, verifica-se que a corrente na saída do primeiro
transferidor é

(16.9)

a qual é seguidamente convertida para tensão pela resistência R2 e transferida para o porto-X2 de acordo
com as relações

(16.10)



Como se pode constatar, a realização de um amplificador de tensão com base em TTCs é menos eficiente
que a solução equivalente implementada a partir de ampops. Este resultado deve-se ao facto de o ampop ser
em si um amplificador de tensão, ao contrário do TTC que implementa apenas um seguidor de tensão.


16.3 Circuitos com Transferidores


Para além das montagens básicas introduzidas, o transferidor de tensão e corrente pode ser utilizado numa gama
muito variada de aplicações de processamento de sinais, designadamente amplificadores de instrumentação,
somadores de sinais em modo de corrente, integradores e diferenciadores em modo de corrente ou de tensão,
conversores de impedâncias, filtros activos, etc. De seguida resumem-se algumas das aplicações mais comuns do
transferidor.

16.3.1 Amplificador Diferencial

Na Figura 16.8 apresentam-se dois circuitos que implementam, respectivamente, um conversor de tensão em
corrente e um amplificador de tensão, ambos de instrumentação.

Figura 16.8 Conversor de tensão em corrente (a) e amplificador de tensão de instrumentação (b)

Em qualquer dos dois circuitos a corrente na resistência R1 é dada pelo cociente

(16.11)

a qual de acordo com as propriedades do TTC é transferida para os portos-Z de saída. No caso particular do
amplificador de tensão, Figura 16.8.b, a resistência R2 e o transferidor a jusante implementam, respectivamente, a
conversão corrente-tensão e a transferência respectiva para o porto-X. Quando comparada com a montagem
equivalente realizada a partir de AmpOps convencionais (veja-se o amplificador de instrumentação estudado no
capítulo anterior), constata-se que a alternativa TTC requer um número bastante inferior de componentes
externos.

16.3.2 Somador

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_16/circtran.htm (1 of 8)06-06-2005 12:35:58


A adição de sinais em modo de corrente pode ser efectuada recorrendo a qualquer um dos dois circuitos
representados na Figura 16.9. No primeiro caso adicionam-se as correntes directamente no porto-X de entrada, ao
passo que no segundo se efectua a adição dos fluxos de saída de múltiplos portos-Z. As ligações a tracejado
indicam a possibilidade de os transferidores poderem encontrar-se ligados nas configurações de seguidor de
corrente ou de conversor tensão e corrente, podendo assim efectuar a soma mista de sinais em modo de corrente
e em modo de tensão.

Figura 16.9 Somador

16.3.3 Integradores de Corrente e de Tensão

O transferidor de tensão e corrente permite implementar as funções de integração e de diferenciação em modo de
tensão e em modo de corrente.

Na Figura 16.10 representam-se dois circuitos que implementam as funções de integração em modo de corrente
(a) e em modo de tensão (b).

Figura 16.10 Integradores de corrente (a) e de tensão (b)

No circuito em (a), a tensão aplicada no porto-Y é transferida para o porto-X,



(16.12)

de onde resultam as correntes nos portos-X e -Z

(16.13)

na notação de Laplace, ou então

(16.14)

no domínio do tempo. Ao contrário do integrador com AmpOps, este circuito disponibiliza o resultado sob a
forma de uma corrente.

O circuito alternativo representado na Figura 16.10.b implementa um integrador em modo de tensão. Neste caso,
a tensão na entrada é primeiramente transferida para o porto-X; seguidamente é convertida para o modo de
corrente pela resistência R e transferida para o porto-Z do primeiro TTC

(16.15)

e finalmente é integrada pelo condensador (C) e transferida no modo de tensão para o porto-X do segundo TTC,

(16.16)

No domínio do tempo a expressão (16.16) corresponde à relação integral

(16.17)

16.3.4 Diferenciadores de Corrente e de Tensão

Nas Figuras 16.11.a e 16.11.b representam-se dois circuitos diferenciadores, um de corrente, (a), e outro de
tensão, (b). Considere-se primeiramente o circuito diferenciador de corrente. O fluxo do sinal é o seguinte:
conversão da corrente em tensão pela resistência R; transferência para o porto-X derivação com conversão para o



modo de corrente pelo condensador C; e, finalmente, transferência para o porto-Z de saída.

Figura 16.11 Diferenciadores de corrente (a) e de tensão (b)

Assim,

(16.18)

que no domínio do tempo corresponde a

(16.19)

No que respeita ao circuito diferenciador de tensão, Figura 16.11.b, pode facilmente demonstrar-se que

(16.20)

e

(16.21)

respectivamente na notação de Laplace e no domínio do tempo.

16.3.5 Conversores de Impedâncias

A função de um conversor de impedâncias é alterar o valor nominal aparente de um componente, por exemplo
trocar o sinal de uma resistência ou simular a característica tensão e corrente de uma bobina.

Na Figura 16.12 representam-se dois circuitos que implementam uma resistência negativa.



Figura 16.12 Resistência negativa

No primeiro caso, Figura 16.12.a, a tensão no porto-X é imposta pelo porto-Y ao valor

(16.22)

a qual indica tratar-se de uma resistência negativa,

(16.23)

À semelhança do resultado anterior, é fácil verificar que no caso do circuito representado na Figura 16.12.b

(16.24)

igualdade na qual se inscreve a resistência negativa

(16.25)

O princípio apenas introduzido pode ser utilizado na simulação da característica tensão e corrente de uma bobina.
Considere-se então o circuito representado na Figura 16.13, constituído por três blocos transferidores e diversas
resistências e condensadores.



Figura 16.13 Bobina com um terminal ligado à massa

Uma vez que a impedância de entrada do circuito é dada pelo cociente

(16.26)

verifica-se então que

(16.27)

ou ainda

(16.28)

Do ponto de vista funcional, o circuito representado na Figura 16.13 é equivalente a uma bobina cujo coeficiente
de auto-indução é L=CR1R2, tendo no entanto um dos seus terminais ligado à massa.

16.3.6 Filtros Activos

O transferidor de tensão e corrente permite realizar filtros eléctricos nos modos de corrente, de tensão e misto.
Em face da grande variedade de estruturas de filtros possíveis, esta secção limita-se apenas a indicar algumas das
arquitecturas existentes.

Na Figura 16.14 consideram-se três filtros com funções de transferência variadas: em (a) um filtro passa-alto de
primeira ordem em modo misto de tensão e corrente; em (b) um filtro passa-banda de segunda ordem em modo
de tensão; e, finalmente, em (c) um filtro passa-baixo de segunda ordem em modo de corrente.



Figura 16.14 Filtros activos de 1.ª ordem passa-alto (a), de 2.ª ordem passa-banda (b) e de 2.ª ordem passa-baixo
(c)

No primeiro filtro a função de transferência é

(16.29)

a qual indica tratar-se de um filtro passa-alto com um zero na origem e um pólo à frequência ω =1/RC.
p

A função de transferência do filtro passa-banda (Figura 16.13.b) obtém-se a partir do sistema de equações



(16.30)

as quais resultam da aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes ao nó do condensador C1, ao nó de saída, Vo, e
ao porto-X do transferidor-1, respectivamente. O cociente entre as tensões nos portos de saída e de entrada do
filtro é neste caso

(16.31)

Finalmente, o filtro em modo misto de tensão e corrente representado na Figura 16.14.c apresenta uma função de
transferência do tipo passa-baixo de segunda ordem,

(16.32)


16.4 Parâmetros Reais dos Transferidores


Os transferidores de tensão e corrente reais caracterizam-se por um conjunto de parâmetros que degradam
de forma irreversível o desempenho idealizado. Os parâmetros que do ponto de vista prático mais
interessam os projectistas são as resistências de entrada ou de saída dos três portos de acesso, os
coeficientes de transferência de tensão-tensão e de corrente-corrente entre portos, a frequência máxima de
operação, e as tensões e correntes de desvio e de polarização nos portos.

16.4.1 Erros de Transferência e Resistências de Entrada e de Saída

Na Figura 16.15 apresenta-se um modelo do transferidor de tensão e corrente mais consentâneo com a
realidade.

Figura 16.15 Modelo eléctrico do transferidor de tensão e corrente

De acordo com este modelo, os três portos de acesso caracterizam-se pelos seguintes parâmetros:

(i) a resistência de entrada do porto-Y é finita, tipicamente alguns MΩ;

(ii) a resistência de saída da fonte de tensão controlada no porto-X não é nula, sendo
tipicamente da ordem de algumas décimas a unidades de ohm;

(iii) a resistência de saída da fonte de corrente controlada no porto-Z não é infinita, sendo
mesmo em alguns casos apenas algumas unidades de kΩ;

(iv) os coeficientes de transferência entre portos não são exactamente unitários,
apresentando em geral erros que podem ascender a 1%.

Considere-se então na Figura 16.16 o exemplo de um circuito conversor de tensão em corrente cujo TTC se
caracteriza pelo modelo não ideal apenas introduzido (Figura 16.16.b).

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_16/paratran.htm (1 of 3)06-06-2005 12:35:59



De acordo com este pressuposto, a função de transferência do circuito é afectado por múltiplos erros,
designadamente:

(i) um erro de acoplamento entre a fonte de sinal e o porto-Y;

(ii) um erro induzido pela resistência de saída do porto-X;

(iii) um erro induzido pelo divisor de corrente no porto-Z;

(iv) erros de transferência entre portos, nomeadamente entre o porto-Y e o porto-X, e entre
este e o porto-Z.

Tendo em conta o esquema eléctrico representado na Figura 16.16.b, pode facilmente demonstrar-se que o
cociente entre a corrente na carga e a tensão na entrada é

(16.33)

o qual naturalmente difere do valor ideal 1/R1. Admitindo valores típicos para os parâmetros do



transferidor, por exemplo R =100 kΩ, R =10 Ω, R =1 MΩ e ε =ε =0.01, em conjunto com uma
iy ox oz x y
resistência de conversão R1=1 kΩ, uma fonte de sinal de 600 Ω e uma carga de 600 Ω, obtém-se

mS (16.34)

em contraste com valor ideal de 1 mS. O erro de conversão resulta da ordem de 2.5%.

16.4.2 Erros de Desvio e de Polarização

O desempenho dos transferidores de tensão e corrente é também limitado por um conjunto de parâmetros
conhecidos como erros de desvio e de polarização. Os erros de desvio são geralmente aleatórios de
integrado para integrado e dependem do melhor ou pior emparelhamento entre os transístores no seu
interior. Os TTC são em geral dotados de um terminal de ajuste do erro de desvio. Os erros de desvio tanto
podem ser de corrente como de tensão. Por exemplo, existem transferidores de tensão e corrente que
debitam uma corrente de desvio da ordem dos 30 µA no porto-Z quando se impõe a igualdade v =v =0, e
x y
apresentam uma corrente nula quando entre os portos-Y e -X se aplica uma tensão de alguns mV. No
primeiro caso trata-se da corrente de desvio do porto-Z, ao passo que no segundo se trata da tensão de
desvio entre os portos-Y e -X.

Ao contrário dos anteriores, os erros de polarização devem-se essencialmente ao facto de os transístores
bipolares exigirem uma corrente não nula na base. Como tal, a principal consequência deste facto é a
presença de uma corrente não nula no porto-Y, independentemente da existência ou não de sinal aplicado.
Em alguns dos integrados existentes no mercado estas correntes podem atingir as dezenas de µA.

16.4.3 Largura de Banda

A largura de banda é o principal parâmetro que limita o desempenho em frequência dos TTC. A largura de
banda neste tipo de operacionais é em geral especificada através da frequência a partir da qual os
coeficientes de transferência entre portos se reduzem a 1/√ 2 (-3 dB) do seu valor máximo. De acordo com
esta definição, existem no mercado transferidores de tensão e corrente cuja largura de banda ascende a
várias centenas de MHz, tipicamente 100 a 250 MHz.


Sumário

Sumário

O transferidor de tensão e corrente constitui um bloco operacional alternativo ao AmpOp. O transferidor
ideal implementa duas fontes controladas: uma de tensão controlada por tensão e outra de corrente
controlada por corrente. Dado o maior número de fontes controladas implementadas, o transferidor de
tensão e corrente apresenta-se como um bloco operacional cuja versatilidade é comparável, senão mesmo
superior, à do AmpOp.

O transferidor permite realizar conversores de tensão em corrente e de corrente em tensão, amplificadores
de tensão e de corrente, seguidores de tensão e de corrente, amplificadores de instrumentação de tensão e de
corrente, somadores, integradores e diferenciadores em modo de tensão e em modo de corrente, filtros,
conversores de impedâncias, etc.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_16/sumar_16.htm06-06-2005 12:36:00



*16.1 Considere os circuitos representados na Figura E16.1. No caso representado em:

(a) determine a relação entre a corrente i e a tensão e a corrente v e i
o s s

(b) determine a relação entre a corrente v e as tensões v 1, v 2 … v no
o s s sk

(c) determine a relação entre a corrente i e a palavra digital inscrita nos bit b1, b2, b3 e b4.
o

(d) determine a relação entre a corrente i e a tensão v .
o s

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_16/exapl_16.htm (1 of 5)06-06-2005 12:36:01


Figura E16.1

*16.2 Considere os dois circuitos representados na Figura E16.2. Mostre que entre as tensões v e v e entre as
o s
correntes i e i existe uma relação de integração.
o s

Figura E16.2

*16.3 Mostre que entre as tensões v e v e entre as correntes i e i nos circuitos representados na Figura E16.3
o s o s
existe uma relação de diferenciação.

Figura E16.3



*16.4 Mostre que do ponto de vista dos terminais de entrada indicados o circuito representado na Figura E16.4
implementa um conversor negativo de impedâncias, isto é, Z =-Z.
i

Figura E16.4

*16.5 Considere os dois circuitos representados na Figura E16.5: (a) mostre que as impedâncias de entrada
indicadas (Z ) são dadas pelas expressões Z =-Z1Z2/Z3 e Z =Z1Z2/Z3 respectivamente; (b) mostre que no caso em
i i i
que Z1=R1, Z2=R2 e Z3=1/sC os dois circuitos implementam bobinas cujos valores nominais são,
respectivamente, L=-R1R2C e L=R1R2C; (c) mostre que no caso em que Z1=1/sC, Z2=R2 e Z3=R3 os dois
circuitos implementam resistências cujo valor nominal depende do quadrado da frequência angular.



Figura E16.5

*16.6 Mostre que no circuito da Figura E16.6 a função de transferência V (s)/V (s) implementa um filtro passa-
o s
baixo de segunda ordem.

Figura E16.6

*16.7 A empresa MAXIM comercializa dois circuitos integrados designados por wideband transconductance
amplifiers que na prática implementam funções semelhantes às do transferidor de tensão-corrente introduzidos ao
longo deste capítulo. Nas Figuras E16.7.a e E16.7.b indicam-se os símbolos e as relações entre as variáveis
tensão e corrente eléctrica aos terminais do circuito. De acordo com estes pressupostos, determine para cada um
dos circuitos representados nas Figuras E16.7.c a E.16.7.g qual a função implementada e a relação ou função de
transferência entre as grandezas indicadas.



Figura E16.7


APÊNDICE-A

APÊNDICE-A

Código de Identificação de Resistências

A informação relativa ao valor nominal e à tolerância de uma resistência discreta encontra-se regra geral
gravada no invólucro sob a forma de números, bandas ou pontos coloridos. No entanto, de todos estes três
sistemas alternativos o das bandas coloridas é aquele de maior divulgação entre os fabricantes de
componentes, em particular nas resistências de aglomerado de grafite, vulgo de carvão.

O código de cores varia conforme as resistências sejam normais ou de precisão: as resistências normais são
codificadas com quatro bandas, ao passo que as de precisão são codificadas com base num código de cinco
bandas. O significado de cada banda é indicado nas Tabelas A3.1 e A3.2. Convém notar que a mesma cor
pode ter significados diferentes consoante a resistência seja de precisão ou normal.

Nas resistências normais, o significado de cada banda é o seguinte:

q a 1ª e a 2ª bandas indicam os dois primeiros algarismos do valor nominal da resistência, N1 e N2;
q a 3ª banda indica o factor multiplicativo do valor nominal da resistência, que pode ser 10-2, 10-1, 1,
10, 100, . . ., 109;
q a 4ª banda indica a tolerância do valor nominal da resistência, a qual pode tomar valores típicos de
1%, 2%, 5%, 10% e 20%.

COR 1ª BANDA 2ª BANDA 3ª BANDA 4ª BANDA
preto - 0 1 -
castanho 1 1 10 ± 1%
vermelho 2 2 102 ± 2%
laranja 3 3 103 -
amarelo 4 4 104 -
verde 5 5 105 -
azul 6 6 106 -
violeta 7 7 107 -
cinzento 8 8 - -
branco 9 9 - -
prata - - 10-2 ± 5%
ouro - - 10-1 ± 10%

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/apend_a/apend_a.htm (1 of 4)06-06-2005 12:36:02

APÊNDICE-A

- - - - ± 20%

Tabela A3.1 Código de cores das resistências normais (4 bandas)

Na Figura A3.1 apresenta-se o exemplo de uma resistência normal cujas bandas apresentam as seguintes
cores:

1ª banda: verde (5)

2ª banda: azul (6)

3ª banda: vermelho (2 => 102)

4ª banda: dourado (10%)

Figura A3.1 Resistência de carvão de normal

Estas bandas codificam a informação relativa a uma resistência de 5,6 kΩ e 10% de tolerância, portanto
com um valor nominal compreendido entre 5,04 kΩ e 6,16 kΩ.

COR 1ª BANDA 2ª BANDA 3ª BANDA 4ª BANDA 5ª BANDA
preto - 0 0 1 -
castanho 1 1 1 10 ± 1%
vermelho 2 2 2 102 ± 2%
laranja 3 3 3 103 -
amarelo 4 4 4 104 -
verde 5 5 5 105 ± 0.5%
azul 6 6 6 106 -
violeta 7 7 7 107 -
cinzento 8 8 8 - -
branco 9 9 9 - -


APÊNDICE-A

prata - - - 10-2 -
ouro - - - 10-1 ± 5%
- - - - - -

Tabela A3.2 Código de cores das resistências de precisão (5 bandas)

Nas resistências de precisão o significado de cada uma das cinco bandas é o seguinte:

q a 1ª, 2ª e 3ª bandas indicam os três primeiros algarismos do valor nominal da resistência, N1, N2 e
N3, respectivamente;
q a 4ª banda indica o factor multiplicativo do valor nominal da resistência, que pode ser 10-2, 10-1, 1,
10, 100, . . ., 109;
q a 5ª banda indica a tolerância do valor nominal da resistência, que neste caso pode ser 0.5%, 1%,
2% e 5%.

Na Figura A.3.2 apresenta-se o exemplo de uma resistência de precisão cujas bandas apresentam as
seguintes cores:

1ª banda: castanho (1)

2ª banda: preto (0)


4ª banda: castanho (1 => 101)


Figura A3.2 Resistência de carvão de precisão normal

Trata-se assim de uma resistência de 1 kΩ e 5% de tolerância.

Na Tabela A3.3 indica-se a gama completa dos valores nominais estandardizados para as resistências de
carvão. A chave para a interpretação da tabela é a seguinte:


APÊNDICE-A

(i) a gama com tolerância de 5% existe para todos os valores indicados;

(ii) a gama com tolerância de 10% só existe para os valores sublinhados;

(iii) a gama com tolerância de 20% só existe para os valores a cheio.

OHMS KILO OHMS MEGA OHMS
0.1 1.0 10 100 1.0 10 100 1.0 10
0.11 1.1 11 110 1.1 11 110 1.1 11
0.12 1.2 12 120 1.2 12 120 1.2 12
0.13 1.3 13 130 1.3 13 130 1.3 13
0.15 1.3 13 130 1.3 13 130 1.3 13
0.16 1.6 16 160 1.6 16 160 1.6 16
0.18 1.8 18 180 1.8 18 180 1.8 18
0.20 2.0 20 200 2.0 20 200 2.0 20
0.22 2.2 22 220 2.2 22 220 2.2 22
0.24 2.4 24 240 2.4 24 240 2.4 -
0.27 2.7 27 270 2.7 27 270 2.7 -
0.30 3.0 30 300 3.0 30 300 3.0 -
0.33 3.3 33 330 3.3 33 330 3.3 -
0.36 3.6 36 360 3.6 36 360 3.6 -
0.39 3.9 39 390 3.9 39 390 3.9 -
0.43 4.3 43 430 4.3 43 430 4.3 -
0.47 4.7 47 470 4.7 47 470 4.7 -
0.51 5.1 51 510 5.1 51 510 5.1 -
0.56 5.6 56 560 5.6 56 560 5.6 -
0.62 6.2 62 620 6.2 62 620 6.2 -
0.68 6.8 68 680 6.8 68 680 6.8 -
0.75 7.5 75 750 7.5 75 750 7.5 -
0.82 8.2 82 820 8.2 82 820 8.2 -
0.91 9.1 91 910 9.1 91 910 9.1 -

Tabela A3.3 Gama completa de resistências de carvão



APÊNDICE-A

Código de Identificação de Resistências
Sebenta
Multimédia A informação relativa ao valor nominal e à tolerância de uma resistência discreta
encontra-se regra geral gravada no invólucro sob a forma de números, bandas ou
1 Grandezas pontos coloridos. No entanto, de todos estes três sistemas alternativos o das bandas
Eléctricas coloridas é aquele de maior divulgação entre os fabricantes de componentes, em
2 Componentes particular nas resistências de aglomerado de grafite, vulgo de carvão.
Fundamentais dos
Circuitos Eléctricos O código de cores varia conforme as resistências sejam normais ou de precisão: as
3 Resistência resistências normais são codificadas com quatro bandas, ao passo que as de precisão
são codificadas com base num código de cinco bandas. O significado de cada banda é
Eléctrica indicado nas Tabelas A3.1 e A3.2. Convém notar que a mesma cor pode ter
4 Leis de significados diferentes consoante a resistência seja de precisão ou normal.
Kirchhoff
5 Métodos de Nas resistências normais, o significado de cada banda é o seguinte:
Circuitos q a 1ª e a 2ª bandas indicam os dois primeiros algarismos do valor nominal da
resistência, N1 e N2;
6 Teoremas
q a 3ª banda indica o factor multiplicativo do valor nominal da resistência, que
pode ser 10-2, 10-1, 1, 10, 100, . . ., 109;
Eléctricos q a 4ª banda indica a tolerância do valor nominal da resistência, a qual pode
7 Condensador e tomar valores típicos de 1%, 2%, 5%, 10% e 20%.
8 Bobina e COR 1ª BANDA 2ª BANDA 3ª BANDA 4ª BANDA
Indutância
preto - 0 1 -
Electromagnética
castanho 1 1 10 ± 1%
9 Análise de
Circuitos RC e RL de 1.ª vermelho 2 2 102 ± 2%
Ordem laranja 3 3 103 -
10 Análise de amarelo 4 4 104 -
verde 5 5 105 -
de 2.ª Ordem
11 Impedância azul 6 6 106 -
Eléctrica violeta 7 7 107 -
12 Análise da cinzento 8 8 - -
Resposta em Frequência branco 9 9 - -
13 Bobinas
prata - - 10-2 ± 5%
Acopladas e
ouro - - 10-1 ± 10%
Transformadores

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14 Diportos - - - - ± 20%
Eléctricos
15 Amplificador Tabela A3.1 Código de cores das resistências normais (4 bandas)
Operacional
16 Transferidor de Na Figura A3.1 apresenta-se o exemplo de uma resistência normal cujas bandas
Tensão e Corrente apresentam as seguintes cores:
APÊNDICE-A
APÊNDICE-B 1ª banda: verde (5)

2ª banda: azul (6)

3ª banda: vermelho (2 => 102)


Figura A3.1 Resistência de carvão de normal

Estas bandas codificam a informação relativa a uma resistência de 5,6 kΩ e 10% de
tolerância, portanto com um valor nominal compreendido entre 5,04 kΩ e 6,16 kΩ.

COR 1ª BANDA 2ª BANDA 3ª BANDA 4ª BANDA 5ª BANDA
preto - 0 0 1 -
castanho 1 1 1 10 ± 1%
vermelho 2 2 2 102 ± 2%
laranja 3 3 3 103 -
amarelo 4 4 4 104 -
verde 5 5 5 105 ± 0.5%
azul 6 6 6 106 -
violeta 7 7 7 107 -
cinzento 8 8 8 - -
branco 9 9 9 - -
prata - - - 10-2 -
ouro - - - 10-1 ± 5%



- - - - - -

Tabela A3.2 Código de cores das resistências de precisão (5 bandas)

Nas resistências de precisão o significado de cada uma das cinco bandas é o seguinte:

q a 1ª, 2ª e 3ª bandas indicam os três primeiros algarismos do valor nominal da
resistência, N1, N2 e N3, respectivamente;
q a 4ª banda indica o factor multiplicativo do valor nominal da resistência, que
pode ser 10-2, 10-1, 1, 10, 100, . . ., 109;
q a 5ª banda indica a tolerância do valor nominal da resistência, que neste caso
pode ser 0.5%, 1%, 2% e 5%.

Na Figura A.3.2 apresenta-se o exemplo de uma resistência de precisão cujas bandas
apresentam as seguintes cores:

1ª banda: castanho (1)



4ª banda: castanho (1 => 101)


Figura A3.2 Resistência de carvão de precisão normal

Trata-se assim de uma resistência de 1 kΩ e 5% de tolerância.

Na Tabela A3.3 indica-se a gama completa dos valores nominais estandardizados para
as resistências de carvão. A chave para a interpretação da tabela é a seguinte:

(i) a gama com tolerância de 5% existe para todos os valores indicados;

(ii) a gama com tolerância de 10% só existe para os valores
sublinhados;



(iii) a gama com tolerância de 20% só existe para os valores a cheio.

OHMS KILO OHMS MEGA OHMS
0.1 1.0 10 100 1.0 10 100 1.0 10
0.11 1.1 11 110 1.1 11 110 1.1 11
0.12 1.2 12 120 1.2 12 120 1.2 12
0.13 1.3 13 130 1.3 13 130 1.3 13
0.15 1.3 13 130 1.3 13 130 1.3 13
0.16 1.6 16 160 1.6 16 160 1.6 16
0.18 1.8 18 180 1.8 18 180 1.8 18
0.20 2.0 20 200 2.0 20 200 2.0 20
0.22 2.2 22 220 2.2 22 220 2.2 22
0.24 2.4 24 240 2.4 24 240 2.4 -
0.27 2.7 27 270 2.7 27 270 2.7 -
0.30 3.0 30 300 3.0 30 300 3.0 -
0.33 3.3 33 330 3.3 33 330 3.3 -
0.36 3.6 36 360 3.6 36 360 3.6 -
0.39 3.9 39 390 3.9 39 390 3.9 -
0.43 4.3 43 430 4.3 43 430 4.3 -
0.47 4.7 47 470 4.7 47 470 4.7 -
0.51 5.1 51 510 5.1 51 510 5.1 -
0.56 5.6 56 560 5.6 56 560 5.6 -
0.62 6.2 62 620 6.2 62 620 6.2 -
0.68 6.8 68 680 6.8 68 680 6.8 -
0.75 7.5 75 750 7.5 75 750 7.5 -
0.82 8.2 82 820 8.2 82 820 8.2 -
0.91 9.1 91 910 9.1 91 910 9.1 -

Tabela A3.3 Gama completa de resistências de carvão


APÊNDICE-B

APÊNDICE-B

Matrizes e Determinantes

B.1 Matrizes

Uma matriz é um agregado de números, coeficientes ou funções dispostos em linhas e colunas

(B.1)

os quais são designados por elementos da matriz e representados por a . Os índices i e j indicam,
ij
respectivamente, a linha e a coluna em que o elemento a se encontra na matriz.
ij

Uma matriz com m linhas e n colunas é dita rectangular de ordem (m*n), ao passo que uma matriz na qual
m=n é dita quadrada. Uma matriz com uma só coluna é designada por vector coluna

(B.2)

e uma matriz com uma só linha é designada por vector linha

(B.3)

As matrizes cujos elementos verificam a igualdade a =a são designadas por simétricas.
ij ji

As matrizes da mesma ordem podem ser somadas ou subtraídas elemento a elemento

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/apend_b/apend_b.htm (1 of 6)06-06-2005 12:36:06

APÊNDICE-B

(B.4)

operações que verificam seja a propriedade da comutatividade

A+B=B+A (B.5)

seja a da associatividade

(A + B) + C = A + (B + C) (B.6)

O produto de matrizes só é possível nos casos em que estas verificam a relação entre ordens

C(m*n) = A(m*r) * B(r*n) (B.7)

isto é, a matriz A possui o mesmo número de colunas que o número de linhas da matriz B, tendo a matriz
produto, C, um número de linhas e de colunas igual a, respectivamente, o número de linhas da matriz A e o
número de colunas da matriz B. O produto de duas matrizes efectua-se de acordo com a seguinte regra:

(B.8)

é equivalente a

p = a11x + a12y + a13z (B.9)
q = a21x + a22y + a23z (B.10)
r = a31x + a32y + a33z (B.11)

B.2 Determinantes

Um determinante é um agregado de números, coeficientes ou funções dispostos em linhas e colunas e é
utilizado na resolução de sistemas de equações,


APÊNDICE-B

(B.12)

Por exemplo, os determinantes das matrizes de ordem (2*2) e (3*3) são dados por

(B.13)

e por

(B.14)

respectivamente. Em geral, a expressão do determinante de uma matriz (n*n) é obtido a partir do cálculo
dos cofactores e dos menores. O menor m é o determinante de uma matriz à qual foram retiradas a linha i e
ij
a coluna j. Por exemplo, no caso do determinante de uma matriz (3*3), os menores m11, m12 e m13 são
dados por

(B.15)


APÊNDICE-B

(B.16)

(B.17)

respectivamente. Por outro lado, os cofactores C são dados por
ij

(i+j)
C = (-1) m (B.18)
ij ij

A regra de cálculo do determinante de uma matriz (n*n) é

(B.19)

em que j é uma qualquer das n colunas da matriz. Por exemplo, no caso de uma matriz (3*3)

∆ = a11c11 + a21c21 + a31c31

(B.20)
= a11 ( a22a33 - a32a23)(-1)2 + a21(a12a33 - a32a13)(-1)3 + a31(a12a23 - a22a13)(-1)4

Um sistema de n equações a n variáveis


APÊNDICE-B

v 1 = a11i1 + a12i2 + . . . + a1 i
s nn

v 2 = a21i1 + a22i2 + . . . + a2 i
s nn

(B.21)
... ... ... ...

v = a 1i1 + a 2i2 + . . . + a i
sn n n nn n

pode ser representado com base numa relação matricial

(B.22)

As expressões das soluções i do sistema são dadas pela regra de Cramer
i

(B.23)

em que ∆ representa o determinante da matriz quando a coluna i é substituída pelo vector coluna [v ]. Por
i s
exemplo, considerando o caso particular de um sistema de três equações, as soluções i1, i2 e i3 são dadas por

(B.24)


APÊNDICE-B

(B.25)

(B.26)

respectivamente.



APÊNDICE-B

Matrizes e Determinantes
Sebenta
Multimédia B.1 Matrizes
1 Grandezas
Uma matriz é um agregado de números, coeficientes ou funções dispostos em linhas e colunas
Eléctricas
2 Componentes
Fundamentais dos
3 Resistência (B.1)
Eléctrica
4 Leis de
Kirchhoff
5 Métodos de os quais são designados por elementos da matriz e representados por a . Os índices i e j
ij
Análise Sistemática de indicam, respectivamente, a linha e a coluna em que o elemento a se encontra na matriz.
ij
Circuitos
6 Teoremas Uma matriz com m linhas e n colunas é dita rectangular de ordem (m*n), ao passo que uma
Básicos dos Circuitos matriz na qual m=n é dita quadrada. Uma matriz com uma só coluna é designada por vector
Eléctricos coluna
7 Condensador e
8 Bobina e
Indutância (B.2)
Electromagnética
9 Análise de
Ordem e uma matriz com uma só linha é designada por vector linha
10 Análise de
(B.3)
de 2.ª Ordem
11 Impedância
Eléctrica As matrizes cujos elementos verificam a igualdade a =a são designadas por simétricas.
ij ji
12 Análise da
Resposta em Frequência As matrizes da mesma ordem podem ser somadas ou subtraídas elemento a elemento
13 Bobinas
Acopladas e
Transformadores (B.4)
14 Diportos
Eléctricos
15 Amplificador operações que verificam seja a propriedade da comutatividade

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Operacional
A+B=B+A (B.5)
16 Transferidor de
Tensão e Corrente
seja a da associatividade
APÊNDICE-A
APÊNDICE-B
(A + B) + C = A + (B + C) (B.6)

O produto de matrizes só é possível nos casos em que estas verificam a relação entre ordens

C(m*n) = A(m*r) * B(r*n) (B.7)

isto é, a matriz A possui o mesmo número de colunas que o número de linhas da matriz B,
tendo a matriz produto, C, um número de linhas e de colunas igual a, respectivamente, o
número de linhas da matriz A e o número de colunas da matriz B. O produto de duas matrizes
efectua-se de acordo com a seguinte regra:

(B.8)

é equivalente a

p = a11x + a12y + a13z (B.9)
q = a21x + a22y + a23z (B.10)
r = a31x + a32y + a33z (B.11)

B.2 Determinantes

Um determinante é um agregado de números, coeficientes ou funções dispostos em linhas e
colunas e é utilizado na resolução de sistemas de equações,

(B.12)

Por exemplo, os determinantes das matrizes de ordem (2*2) e (3*3) são dados por

(B.13)



e por

(B.14)

respectivamente. Em geral, a expressão do determinante de uma matriz (n*n) é obtido a partir
do cálculo dos cofactores e dos menores. O menor m é o determinante de uma matriz à qual
ij
foram retiradas a linha i e a coluna j. Por exemplo, no caso do determinante de uma matriz
(3*3), os menores m11, m12 e m13 são dados por

(B.15)

(B.16)

(B.17)

respectivamente. Por outro lado, os cofactores C são dados por
ij

(i+j)
C = (-1) m (B.18)
ij ij

A regra de cálculo do determinante de uma matriz (n*n) é

(B.19)



em que j é uma qualquer das n colunas da matriz. Por exemplo, no caso de uma matriz (3*3)

∆ = a11c11 + a21c21 + a31c31

= a11 ( a22a33 - a32a23)(-1)2 + a21(a12a33 - a32a13)(-1)3 + a31(a12a23 - (B.20)
a22a13 )(-1)4

Um sistema de n equações a n variáveis

v 1 = a11i1 + a12i2 + . . . + a1 i
s nn

v 2 = a21i1 + a22i2 + . . . + a2 i
s nn

(B.21)
... ... ... ...

v = a 1i1 + a 2i2 + . . . + a i
sn n n nn n

pode ser representado com base numa relação matricial

(B.22)

As expressões das soluções i do sistema são dadas pela regra de Cramer
i

(B.23)

em que ∆ representa o determinante da matriz quando a coluna i é substituída pelo vector
i
coluna [v ]. Por exemplo, considerando o caso particular de um sistema de três equações, as
s
soluções i1, i2 e i3 são dadas por



(B.24)

(B.25)

(B.26)

respectivamente.


15.1 AmpOp Ideal

15.1 AmpOp Ideal

O AmpOp ideal constitui um modelo simplificado de um amplo conjunto de amplificadores de tensão
actualmente existentes no mercado. Caracteriza-se pelas seguintes quatro propriedades (Figura 15.2):

(i) impedância de entrada infinita;

(ii) impedância de saída nula;

(iii) ganho de tensão infinito;

(iv) ausência de qualquer limitação em frequência e em amplitude.

Figura 15.2 AmpOp ideal

A principal consequência do conjunto de propriedades apenas enunciado é, na prática, a possibilidade de
estabelecer um curto-circuito virtual entre os dois terminais de entrada do AmpOp. Com efeito, a existência
de uma tensão finita na saída só é compatível com um ganho infinito desde que a diferença de potencial
entre os dois terminais de entrada seja nula. A natureza virtual deste curto-circuito deve-se à coexistência
de uma igualdade entre tensões sem ligação física entre terminais. Na Figura 15.3 ilustra-se o significado
prático de um curto-circuito virtual.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_15/ampopid.htm (1 of 2)06-06-2005 12:36:08

15.1 AmpOp Ideal

Figura 15.3 Curto-circuito e massa virtual

Por exemplo, no caso da montagem em (a) a relação entre as tensões nos nós é

(15.1)

isto é, a tensão na saída do AmpOp segue a da fonte de sinal aplicada na entrada. Por outro lado, no caso da
montagem representada em (b) verifica-se que

(15.2)

ou seja, que o terminal negativo do amplificador se encontra ao nível da massa, sem no entanto se encontrar
fisicamente ligado a ela. Diz-se então que o terminal negativo do amplificador operacional constitui uma
massa virtual.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_15/ampopid.htm (2 of 2)06-06-2005 12:36:08



O AmpOp é vulgarmente utilizado em duas configurações básicas: a montagem inversora e a montagem
não-inversora. Os circuitos estudados neste capítulo constituem todos eles ou variações ou combinações
destas duas configurações básicas.

No que respeita às metodologias de análise de circuitos com AmpOps, existem basicamente as seguintes
duas alternativas:

(i) uma que assume a presença de um curto-circuito virtual entre os dois terminais de
entrada do AmpOp (em conjunto com correntes nulas de entrada);

(ii) e uma outra que considera o AmpOp como uma fonte de tensão controlada por tensão e
utiliza as metodologias convencionais de análise de circuitos.

Adiante se verá que a primeira metodologia é de mais simples aplicação aos circuitos com AmpOps ideais,
ao contrário da segunda, que se destina essencialmente à análise de circuitos com AmpOps reais, neste caso
com limitações em ganho, frequência, e impedâncias de entrada e de saída.

15.2.1 Montagem Inversora

Considere-se na Figura 15.4.a o esquema eléctrico da montagem inversora do AmpOp.

Figura 15.4 Montagem inversora

Tendo em conta o facto da existência de um curto-circuito virtual entre os dois terminais de entrada, o que
+ - - +
implica a igualdade v =v =0, e ainda o facto de as correntes nos nós de entrada serem nulas, i =i =0,



verifica-se então que

(15.3)

e que, portanto,

(15.4)

Como tal, o ganho de tensão da montagem é dado por

(15.5)

o qual é apenas função do cociente entre os valores das resistências R2 e R1.

O método alternativo de análise consiste em substituir o AmpOp por uma fonte de tensão dependente com
ganho finito (Figura 15.4.b). Neste caso trata-se de aplicar um dos métodos de análise introduzidos ao
longo deste livro, por exemplo resolver o sistema de equações

(15.6)

que equivale a

(15.7)

de cuja resolução resulta o ganho

(15.8)



cujo limite quando o ganho do AmpOp tende para infinito é

(15.9)

15.2.2 Montagem Não-Inversora

Considere-se na Figura 15.5.a a montagem não-inversora do AmpOp.

Figura 15.5 Montagem não-inversora

A existência de um curto-circuito virtual entre os nós de entrada do amplificador permite escrever a
igualdade entre as três tensões

(15.10)

que em conjunto com a equação do divisor resistivo na saída

(15.11)

conduz à relação de ganho



(15.12)

O ganho de tensão desta montagem é positivo, superior à unidade e, mais uma vez, dependente apenas do
cociente entre os valores das resistências R1 e R2.

Pode facilmente demonstrar-se que a aplicação do método alternativo de análise conduz à expressão
(Figura 15.5.b)

(15.13)

cujo limite quando o ganho do AmpOp tende para infinito coincide com a relação (15.12) apenas derivada.


15.3 Circuitos com AmpOps


As montagens inversora e não-inversora são utilizadas numa infinidade de aplicações de processamento de sinal,
designadamente de amplificação, filtragem, rectificação de sinais, conversão e simulação de impedâncias,
conversão tensão-corrente e corrente-tensão, etc. De seguida estudam-se algumas aplicações que permitem
ilustrar o enorme potencial prático do amplificador operacional de tensão.

15.3.1 Seguidor de Tensão

O circuito seguidor de tensão constitui uma das aplicações mais comuns do amplificador operacional (Figura
15.6; na literatura anglo-saxónica este circuito é designado por buffer, cuja tradução para a Língua Portuguesa é
circuito amortecedor ou tampão).

Figura 15.6 Circuito seguidor de tensão

O seguidor de tensão implementa um ganho unitário

(15.14)

entre a entrada e a saída, resultado que à primeira vista poderia parecer destituído de aplicação prática.

Na Figura 15.7 apresentam-se dois circuitos que ilustram a utilidade prática do seguidor de tensão: em (a) a carga
encontra-se ligada directamente à fonte, cuja resistência interna introduz um divisor resistivo, ao passo que em
(b) a fonte e a carga são intercaladas de um seguidor de tensão.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_15/circampo.htm (1 of 14)06-06-2005 12:36:14


Figura 15.7 Aplicações do circuito seguidor de tensão

Identificam-se as seguintes diferenças entre estes dois circuitos: no primeiro caso a tensão na carga é inferior
àquela disponibilizada pela fonte,

(15.15)

e é a fonte de sinal quem fornece a potência à carga. Pelo contrário, no caso do circuito em (b) verifica-se a
igualdade

(15.16)

designadamente como resultado do ganho infinito e das impedâncias de entrada infinita e de saída nula do
amplificador operacional. Para além do mais, neste caso é o amplificador operacional e não a fonte de sinal quem
fornece potência à carga. Estas características justificam os títulos de circuito seguidor de tensão, isolador ou
tampão.

O circuito seguidor de tensão pode ser encarado como caso limite da montagem não-inversora estudada
anteriormente. Com efeito, e como se indica na Figura 15.6.b, os dois circuitos coincidem quando a resistência
R1 é feita tender para infinito, situação durante a qual o valor da resistência R é irrelevante, excepto quando
2
infinito, dado ser nula a corrente respectiva.

15.3.2 Somador Inversor

A montagem inversora pode ser utilizada para implementar a soma pesada de sinais eléctricos (Figura 15.8).



Figura 15.8 Somador inversor

A massa virtual do AmpOp implementa a soma das correntesfornecidas por cada uma das fontes de sinal,

(15.17)

e a resistência R converte-as na tensão

(15.18)

Uma das aplicações mais interessantes do somador na Figura 15.8 é a realização de um conversor digital-
analógico. Com efeito, se se admitir que as fontes de sinal v valem 1 V ou 0 V consoante o valor lógico dos bit
i
de uma palavra digital, e as resistências R se encontram pesadas binariamente em função da ordem do bit na
i
k-
palavra, por exemplo R1=R, R2=R/2, R3=R/4... R =R/2 1, então a expressão da tensão na saída do AmpOp é
k

(15.19)

Por exemplo, as palavras digitais 10011 e 00001 (em decimal 19 e 1, respectivamente) conduzem aos valores da
tensão na saída



V (15.20)

e

V (15.21)

respectivamente. Naturalmente que se pode sempre dimensionar o valor da resistência R de modo a redefinir a
escala de amplitudes da tensão na saída.

15.3.3 Amplificador Inversor

Uma das limitações da montagem inversora simples é a dificuldade de na prática construir amplificadores com,
simultaneamente, elevados ganho e resistência de entrada (reveja-se a Figura 15.4). Na montagem inversora
simples, a especificação de um ganho de tensão elevado, -R2/R1, convida a estabelecer um valor nominal
relativamente pequeno para a resistência R , ao passo que a exigência de uma elevada resistência de entrada,
1
dada por

(15.22)

recomenda exactamente o oposto. Um modo de obviar a esta limitação é a utilização do circuito representado na
Figura 15.9, cuja análise se pode efectuar nos seguintes passos:

Figura 15.9 Amplificador inversor de elevados ganho e resistência de entrada

determinação da corrente que incide na massa virtual



(15.23)

determinação da tensão v
x

(15.24)

obtenção da expressão da corrente nas resistências R3 e R ,
4

(15.25)

e

(15.26)

respectivamente, e, finalmente, determinação da tensão no nó de saída do AmpOp

(15.27)

Da relação (15.27) resulta a expressão do ganho da montagem

(15.28)

na qual se inscreve a possibilidade de obter, simultaneamente, ganho e resistência de entrada elevados.

15.3.4 Amplificador da Diferença

A utilização conjunta das montagens inversora e não-inversora permite realizar um circuito que implementa a
amplificação da diferença entre dois sinais (Figura 15.10.a).



Figura 15.10 Amplificador da diferença

A aplicação do teorema da sobreposição das fontes permite identificar as seguintes duas contribuições para a
tensão na saída do AmpOp (Figuras 15.10.b e 15.10.c): a parcela

(15.29)

a qual basicamente coincide com a expressão da montagem não-inversora afectada do divisor resistivo
implementado pelas resistências R1 e R2 na entrada, e a parcela



(15.30)

relativa à montagem inversora implementada pelas resistências R3 e R4 sobre o sinal v2 (note-se que, neste caso,
as resistências ligadas ao nó positivo do AmpOp não alteram em nada o funcionamento da montagem inversora).

De acordo com as expressões (15.29) e (15.30), a tensão na saída é

(15.31)

que no caso particular em que se verifica a igualdade entre os cocientes R4/R3 e R2/R1 se simplifica para

(15.32)

15.3.5 Amplificador de Instrumentação

O principal inconveniente do amplificador diferença é o compromisso necessário entre o ganho de tensão e a
resistência de entrada vista por cada uma das fontes de sinal. Uma alternativa a este circuito é o amplificador de
instrumentação representado na Figura 15.11, neste caso constituído por dois amplificadores não inversores
(AmpOps-1 e -2) e um amplificador diferença (AmpOp-3). Neste caso, a resistência de entrada vista por cada
uma das duas fontes é infinita (coincidem ambas com a resistência de entrada dos terminais positivos dos
AmpOps-1 e -2), ao passo que, como se verá de seguida, o ganho de tensão é dado pelo produto de dois cocientes
entre resistências.



Figura 15.11 Amplificador de instrumentação

A análise deste circuito pode ser efectuada em três passos:

(i) determinação das tensões nos nós negativos dos AmpOps-1 e -2;

(ii) obtenção das expressões das tensões nos respectivos nós de saída;

(iii) aplicação da expressão do amplificador diferença para determinar a tensão na saída da
montagem.

Assim, verifica-se que:

(15.33)

nos terminais negativo e positivo do AmpOp-1;

(15.34)

nos terminais negativo e positivo do AmpOp-2; as correntes nas resistência R e R são, nos sentidos indicados,
x



(15.35)

a corrente nas resistências R conduz às tensões nas saídas dos AmpOps-1 e -2
x

(15.36)

e

(15.37)

respectivamente, cuja diferença

(15.38)

é aplicada ao amplificador implementado pelo AmpOp-3. Assim, admitindo que as resistências no amplificador
diferença verificam a igualdade R4/R3=R2/R1 (ver as expressões derivadas anteriormente para o amplificador
diferença), obtém-se

(15.39)

relação na qual se inscreve o ganho diferencial

(15.40)

15.3.6 Filtros Activos

O princípio de funcionamento das montagens inversora e não inversora é generalizável aos circuitos com
impedâncias, em lugar de apenas resistências. Considere-se a título de exemplo a montagem inversora
representada na Figura 15.12, neste caso constituída por um AmpOpe por duas impedâncias, Z1 e Z2 (admite-se a
representação das impedâncias na notação de Laplace).



Figura 15.12 Montagem inversora

A função de transferência entre a fonte de sinal e a saída do AmpOp é neste caso

(15.41)

cuja particularização para s=jω conduz à resposta em frequência do ganho de tensão da montagem.

Dois casos particulares da montagem inversora são os circuitos integrador e diferenciador representados nas
Figuras 15.13.

Figura 15.13 Circuitos integrador (a) e diferenciador (b)

O circuito em (a), designado por integrador de Miller, caracteriza-se pela função de transferência

(15.42)

à qual, no domínio do tempo, corresponde a relação



(15.43)

Na realidade, uma vez que a corrente fornecida pela fonte de sinal

(15.44)

é integrada pelo condensador, a tensão aos terminais deste é

(15.45)

No que respeita ao circuito diferenciador representado na Figura 15.13.b, a função de transferência é

(15.46)

à qual no domínio do tempo corresponde a relação

(15.47)

Em geral, os amplificadores operacionais em conjunto com resistências e condensadores permitem implementar
funções de transferência que na prática constituem filtros. Esta alternativa de construção de filtros é vulgarmente
designada por técnica RC-Activa, devido ao facto de se utilizarem apenas resistências, condensadores e
amplificadores operacionais, e nunca bobinas. Na Figura 15.14 apresentam-se dois filtros RC-activos.



Figura 15.14 Integrador com limitação do ganho em d.c. (a) e filtro passa-baixo de 2ªordem de Sallen & Key (b)

No primeiro caso trata-se de um circuito integrador com limitação do ganho em d.c., cuja função de transferência
é

(15.48)

enquanto no segundo estamos em presença de um filtro passa-baixo de 2.ª ordem, vulgarmente designado por
biquadrática de Sallen & Key. Neste último caso, a função de transferência obtém-se a partir do sistema de
equações

(15.49)

cuja primeira equação resulta da aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes ao nó-X, e a segunda do divisor de
impedâncias e do seguidor de tensão implementados pela resistência R2, pelo condensador C2 e pelo AmpOp. O
cociente entre as tensões na saída do AmpOp e da fonte de sinal é

(15.50)

ou ainda

(15.51)

em que

(15.52)

e



(15.53)

15.3.7 Conversores de Impedâncias e de Tensão-Corrente

Na Figura 15.15 representa-se um circuito que implementa uma resistência negativa. De acordo com o teorema
de Miller, o valor nominal de uma resistência pode ser alterado através do recurso a fontes dependentes, em
particular através do recurso a amplificadores de tensão.

Figura 15.15 Conversor de impedâncias

Como se ilustra na Figura 15.15.a, a resistência à direita da fonte de sinal é dada por R =R/(1-k), em que k é o
M
ganho de tensão da fonte controlada. Referindo agora ao circuito representado na Figura 15.15.b, verifica-se que
a resistência R se encontra ligada entre a entrada e a saída do amplificador não-inversor, portanto que o seu valor
aparente é

(15.54)

No caso em que R2=R1, (11.54) simplifica-se para

(15.55)



Para finalizar a gama de aplicações ilustrativas das potencialidades do AmpOp, na Figura 15.16.c apresenta-se
um circuito que implementa um conversor tensão-corrente. O objectivo é implementar uma fonte de corrente a
partir de uma fonte de tensão, ou seja, construir um circuito que impõe a corrente numa carga independentemente
do valor nominal respectivo.


Referindo-nos aos esquemas representados nas Figuras 15.16.a e 15.16.b, constata-se que a realização de uma
fonte de corrente passa pela implementação de uma resistência negativa, por exemplo através do recurso ao
conversor de impedâncias da Figura 15.15. Com efeito, a aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes ao nó de
saída da fonte permite concluir que a corrente na carga é independente do valor nominal respectivo, ou seja, que
o circuito externo à carga se comporta como uma fonte de corrente de valor

(15.56)


15.4 Parâmetros Reais dos AmpOps


O desempenho real dos circuitos com amplificadores operacionais é degradado por um conjunto de não
idealidades inerentes à estrutura interna e aos dispositivos constituintes dos próprios AmpOps. No entanto, dado o
elevado número de parâmetros vulgarmente utilizados para caracterizar os AmpOps, este capítulo limita-se a
apresentar aqueles cujos efeitos negativos sobre o desempenho dos circuitos é mais notório, designadamente:

(i) ganho finito;

(ii) largura de banda finita;

(iii) taxa de inflexão máxima da tensão na saída;

(iv) resistências de entrada (finita) e de saída (não nula);

(v) ganho de modo comum;

(vi) tensões de saturação;

(vii) tensão de desvio (offset);

(viii) correntes de desvio.

15.4.1 Ganho e Largura de Banda

O ganho de tensão é um dos principais parâmetros que caracterizam o desempenho dos AmpOps reais. O ganho
finito tem como consequência a necessidade de uma diferença de tensão não nula entre os terminais positivo e
negativo da entrada do AmpOp, deixando, portanto, de constituir um curto-circuito virtual. Assim, a uma tensão
+ -
(v ) na saída do AmpOp corresponde uma tensão diferencial (v -v )=v /A na entrada, que para valores comuns do
o o
ganho, como por exemplo A=105 ou mesmo A=106, é da ordem de grandeza das unidades ou dezenas de µV.

A análise dos efeitos do ganho finito é efectuada com base no segundo dos métodos introduzidos no início deste
capítulo, que basicamente consiste na substituição do AmpOp por uma fonte de tensão controlada.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_15/parampop.htm (1 of 15)06-06-2005 12:36:18


Figura 15.17 Efeito do ganho finito do AmpOp

Por exemplo, no caso da montagem não-inversora representada na Figura 15.17

(15.57)

cuja resolução permite obter a expressão do ganho

(15.58)

em que

(15.59)

define o erro de ganho (esta aproximação é válida para A>>1). O erro é inversamente proporcional ao ganho do
AmpOp, e directamente proporcional a ganho da montagem em condições ideais.

Para além do ganho finito, os AmpOps reais são também caracterizados por uma resposta em frequência de tipo
passa-baixo. Esta limitação do desempenho é vulgarmente designada por largura de banda finita, sendo o seu
significado prático a redução com a frequência do ganho intrínseco do amplificador. A natureza finita da largura



de banda é consequência dos condensadores e das resistências intrínsecas e parasitas inerentes aos transístores e
interligações.

O desempenho em frequência de um AmpOp pode, em primeira aproximação, ser modelizado por uma função de
transferência do tipo passa-baixo de 1.ª ordem (veja-se na Figura 15.18 o diagrama de Bode assintótico da
amplitude da resposta em frequência)

(15.60)

em que A define o ganho em baixa frequência e ω a frequência do pólo (o ganho em baixa frequência é
p
vulgarmente designado por ganho d.c.). A expressão (15.60) indica que o ganho do AmpOp vale A só até à
frequência ω , que na prática são algumas unidades, dezenas, centenas ou milhares de hertz, e que a partir daí o
p
ganho decresce a um ritmo constante de -20dB por década. O parâmetro ω é designado por frequência de
u
transição, frequência de ganho unitário ou ainda produto ganho-largura de banda do AmpOp, e basicamente
define a frequência a partir da qual o mesmo deixa de se comportar como um amplificador e passa a implementar
um simples atenuador de tensão. A designação produto ganho largura de banda deve-se ao facto de o produto do
ganho em baixa frequência pela largura de banda (a frequência do pólo) coincidir exactamente com a frequência
de transição.

Figura 15.18 Diagrama de Bode de amplitude da resposta em frequência do ganho diferencial de um AmpOp

A análise dos efeitos da largura de banda finita do AmpOp nas montagens baseia-se numa metodologia
semelhante àquela utilizada anteriormente para o ganho finito. Por exemplo, se se admitir que na montagem não-
inversora da Figura 15.17 o AmpOp se caracteriza pela função de transferência em (15.60), então a resolução do
sistema de equações



(15.61)

permite obter a expressão da função de transferência do ganho de tensão

(15.62)

a qual, admitindo que se verifica a relação A>>(1+R2/R1), se simplifica para

(15.63)

A função de transferência (15.63) indica que a montagem não-inversora se caracteriza por um ganho em baixa
frequência coincidente com aquele ideal, apresentando no entanto um pólo à frequência ω A/(1+R2/R1) e uma
p
frequência de ganho unitário ω =ω A, esta última coincidente com aquela característica do AmpOp quando
u p
considerado isoladamente. Como é patente nas duas curvas representadas na Figura 15.19, a montagem não
inversora opera uma troca entre o ganho do AmpOp e a largura de banda do amplificador.



Figura 15.19 esquema eléctrico e diagrama de Bode de amplitude da resposta em frequência da montagem não-
inversora

15.4.2 Taxa de Inflexão

Define-se taxa de inflexão como o ritmo máximo de variação da tensão na saída de um AmpOp (na literatura
anglo-saxónica a taxa de inflexão máxima designa-se slew-rate, cuja sigla SR se adopta neste livro). A taxa de
inflexão é uma característica associada à topologia do amplificador e às correntes utilizadas internamente na
polarização, reflectindo basicamente o ritmo a que estas fornecem e retiram carga dos condensadores parasitas e
de compensação da resposta em frequência.

O significado prático da taxa de inflexão máxima de um AmpOp pode ser facilmente compreendido recorrendo ao
circuito seguidor de tensão da Figura 15.20.a. Admita-se então que o AmpOp se caracteriza por uma função de
transferência com um só pólo e que os restantes parâmetros são todos ideais, designadamente as resistências de
entrada e de saída.



Figura 15.20 Taxa de inflexão máxima

Tendo por base este modelo, pode facilmente demonstrar-se que a função de transferência do ganho de tensão da
montagem se caracteriza por um pólo à frequência de transição do AmpOp

(15.64)

Do ponto de vista da função de transferência, e naturalmente da dinâmica temporal respectiva, o circuito seguidor
de tensão comporta-se exactamente da mesma maneira que o circuito RC representado na Figura 15.20.b, neste
caso admitindo que se verifica a igualdade entre as constantes de tempo RC e 1/ω . Ambos os circuitos se
u
caracterizam por uma resposta ao escalão do tipo exponencial (Figura 15.20.c)

(15.65)

em que V representa a amplitude do sinal aplicado e τ a constante de tempo do circuito. No entanto, a tensão na
saída do seguidor de tensão pode sofrer os efeitos da taxa de inflexão máxima do AmpOp, Figura 15.20.d, e
apresentar uma dinâmica muito distinta daquela esperada para o circuito RC. No AmpOp, a taxa de inflexão
máxima (o declive máximo) da tensão na saída encontra-se limitada superiormente



V/µs, volt por micro-segundo (15.66)

Outra das consequências da taxa de inflexão máxima é a imposição de um limite à frequência máxima dos sinais
processáveis sem distorção. Por exemplo, se o sinal aplicado for do tipo sinusoidal, de amplitude V e frequência
angular ω (Figura 15.21), então a igualdade

(15.67)

permite determinar a frequência limite a partir da qual a saída do AmpOp não acompanha devidamente o sinal
aplicado na entrada,

(15.68)

Figura 15.21 Taxa de inflexão

15.4.3 Resistências de Entrada e de Saída

Para além do ganho e da largura de banda finita, os AmpOps reais apresentam também uma resistência de entrada
finita e uma resistência de saída não nula. Por exemplo, é comum encontrar AmpOps cuja resistência de entrada é
da ordem das dezenas, centenas ou até mesmo milhares de MΩ, e cuja resistência de saída pode variar entre as
dezenas e as décimas de ohm. Na Figura 15.22 apresenta-se o modelo eléctrico de um AmpOp com ganho finito e
resistências de entrada e de saída.



Figura 15.22 Modelo eléctrico do AmpOp

Considere-se então o circuito seguidor de tensão representado na Figura 15.23 e admita-se que o AmpOp se
caracteriza pelo modelo eléctrico apenas introduzido.

Figura 15.23 Efeito das resistências de entrada e de saída do AmpOp no seguidor de tensão

Referindo ao esquema eléctrico representado na Figura 15.23.b, verifica-se que a resolução do sistema de
equações

(15.69)

permite obter a expressão do ganho de tensão entre a entrada e a saída do seguidor



(15.70)

No entanto, admitindo que se verificam as relações R >>R , R <<R e R <<R , a expressão (15.70) simplifica-se
i s o o i
para

(15.71)

a qual, naturalmente, não inclui os efeitos das resistência de entrada e de saída, ou ainda

(15.72)

admitindo neste caso que se verifica A>>1.

A expressão (15.70) merece alguns comentários relativos ao conceito de realimentação. Durante o estudo dos
diportos amplificadores verificou-se que as resistências de entrada e de saída afectavam o ganho do circuito
através de dois divisores resistivos: um a montante, devido ao acoplamento entre a fonte e o amplificador, e outro
a jusante associado ao acoplamento entre o amplificador e a carga. No entanto, no presente caso constata-se que a
expressão do ganho da montagem é mais complexa que a então derivada, em particular devido à impossibilidade
de separar os factores relativos aos dois acoplamentos apenas referidos. Este facto deve-se à existência de uma
realimentação das variáveis do porto de saída para o porto de entrada, que é responsável pela troca entre o elevado
ganho de tensão do AmpOp e o ganho unitário da montagem seguidora de tensão. A realimentação acarreta,
assim, diversas consequências ao nível das montagens:

(i) a troca entre o elevado ganho de tensão do AmpOp e a possibilidade de definir o ganho da
montagem através do cociente entre duas resistências;

(ii) a troca entre o elevado ganho de tensão do AmpOp e uma maior largura banda da montagem;

(iii) a troca entre o ganho do AmpOp e uma mais elevada resistência de entrada da montagem (a
ver adiante);

(iv) e, ainda, a troca entre o ganho do AmpOp e uma menor resistência de saída da montagem (a
ver adiante).

Considere-se então a resistência de entrada da montagem seguidora de tensão representada na Figura 15.23.



Admitindo que a saída do amplificador se encontra em aberto (R=∞ ), e que R =0, pode facilmente demonstrar-se
s
que

(15.73)

ou seja, que a resistência de entrada da montagem é aproximadamente A vezes superior à resistência de entrada do
AmpOp. Por outro lado, no que respeita à resistência de saída da montagem (Figura 15.21) verifica-se que

(15.74)

admitindo que neste caso é nula a resistência interna da fonte v . O resultado (15.74) indica que a resistência de
s
saída da montagem é reduzida de um factor cuja ordem de grandeza é o ganho do próprio AmpOp (o tópico da
teoria da realimentação será retomado nas disciplinas de electrónica).

15.4.4 Ganho de Modo Comum

Na prática, a tensão de saída de um amplificador operacional depende do nível médio, ou de modo comum, do
sinal aplicado nas entradas. Esta dependência, designada Ganho de Modo Comum, indica basicamente que a
tensão na saída é uma função não apenas da diferença de potencial entre os terminais positivo e negativo da
entrada, mas também do nível médio comum a ambos.

Considerem-se os dois AmpOps representados na Figura 15.24, e admita-se que em ambos os casos a tensão
diferencial é nula, (v+ - v-)=0, mas que os níveis comuns aos terminais são não nulos e distintos, v 1¹ v 2¹ 0. Ao
mc mc
contrário do que seria de prever com base no modelo do AmpOp até agora considerado, em qualquer dos casos a
tensão na saída dos dois circuitos não é nula, e muito menos idêntica. Esta variação da tensão na saída deve-se ao
facto de o amplificador na realidade se caracterizar por uma relação do tipo

(15.75)

em que A , v ev representam, respectivamente, o ganho de modo comum, a tensão de modo comum na
mc mc md
entrada, (v++v-)/2, e a tensão
diferencial entre os terminais positivo e negativo, (v+-v-). Naturalmente, é sempre
desejável que o AmpOp se caracterize por uma elevada disparidade entre os valores dos ganhos diferencial (A) e
de modo comum (A ), isto é, se caracterize por um rácio A/A tão elevado quanto possível. Na prática,
mc mc
caracteriza-se um AmpOp através do rácio A/A , em vez de referir o ganho de modo comum, que se expressa em
mc
decibell,



(15.76)

e se designa Rácio de Rejeição de Modo Comum (do ingl. Common Mode Rejection Ratio, cuja sigla se adopta
neste manual). Hoje em dia comercializam-se AmpOps cujo CMRR pode variar entre os 75 e os 140 dB,
consoante a referência e o fabricante.

Figura 15.24 Ganho de modo comum de um AmpOp

15.4.5 Tensões de Saturação

O funcionamento linear de um amplificador operacional é garantido apenas numa gama limitada de tensões na
saída, preestabelecida seja durante a sua utilização, através das tensões de alimentação utilizadas, seja durante a
fase de projecto do circuito. Como se indica na Figura 15.25, a relação entre as tensões na saída e nas entradas de
um AmpOp é linear apenas na gama compreendida entre as tensões de saturação TS- e TS+, limitada superior e
inferiormente pelas tensões de alimentação, V e V . Como se disse já, a gama de tensões permitida é uma
ss cc
função da arquitectura do amplificador e das tensões de alimentação, sendo em geral da ordem de 80 a 90% da
gama definida pelas tensões de alimentação. Na prática, a transição entre as regiões de funcionamento linear e de
saturação não é abrupta, verificando-se sim uma degradação gradual do ganho do AmpOp à medida que a tensão
na saída se aproxima dos limites definidos por TS- e TS+ (ver a curva a tracejado na Figura 15.25). A utilização
plena da gama de tensões disponível tem consequências ao nível da distorção harmónica (ver no Capítulo 2 a
secção relativa a este tópico).



Figura 15.25 Tensões de saturação de um AmpOp

Um outra limitação do AmpOp relacionada com a tensão de alimentação e a estrutura interna do amplificador, é a
gama de modo comum permitida ao sinal na entrada. Este parâmetro indica quais os limites mínimo e máximo
entre os quais se deve situar o nível de modo comum das tensões na entrada, sob pena de degradar de forma
significativa o desempenho do circuito. A gama de modo comum é em geral inferior (em alguns casos é idêntica)
àquela definida pelas tensões de alimentação, podendo também ser não simétrica relativamente a V e V ,
cc ss

15.4.6 Tensão de Desvio (offset)

Define-se tensão de desvio de um AmpOp como a diferença de potencial necessária entre os terminais de entrada
para anular a saída. Considere-se o AmpOp da Figura 15.26.a, cujos terminais de entrada se assumem curto-
circuitados (v+-v-=0). Nestas condições, e por razões que se prendem com a estrutura interna do AmpOp e com o
desemparelhamento inexorável entre as características dos seus componentes internos (resistências e transístores
essencialmente), na prática a tensão na saída do AmpOp não é nula, apresentado um desvio ∆v 0. Pode anular-se
o¹
este desvio através da aplicação de uma tensão de correcção entre os terminais de entrada (Figura 15.26.b), de
amplitude (- ∆v /A), cujo módulo se designa por tensão de desvio (é mais habitual a designação tensão de offset,
o
do original em Língua Inglesa).

Na Figura 15.26.c representa-se o modelo equivalente de um AmpOp com tensão de desvio não nula, a qual é
considerada através da fonte de tensão constante com amplitude V = ∆v /A. Hoje em dia comercializam-se
os o
AmpOps cuja tensão de desvio pode ser tão elevada como algumas unidades ou dezenas de milivolt, ou tão baixa
quanto alguns micro-volt. Note-se, no entanto, que a tensão de desvio varia de componente para componente,
sendo apenas indicado no catálogo os valores mínimo, típico e máximo com que o utilizador deve contar.



Figura 15.26 Tensão de desvio do AmpOp (a) e (b); modelo equivalente (c)

Na prática a tensão de desvio do AmpOp conduz a uma degradação do desempenho dos circuitos em que é
utilizado, podendo mesmo em certos casos ser responsável pelo seu não funcionamento. A título de exemplo,
considerem-se os dois circuitos representados na Figura 15.27, em (a) uma montagem inversora e em (b) um
circuito integrador.

Figura 15.27 Efeito da tensão de desvio; (a) montagem inversora e (b) circuito integrador

Pode facilmente verificar-se que em (a) a tensão na saída é dada por

(15.77)

e que em (b) é



(15.78)

No primeiro caso o erro na tensão na saída é constante, de amplitude (1+R2/R1)V , erro que por si só pode
os
conduzir à saturação do AmpOp, caso o ganho (1+R2/R1) seja muito elevado. Pelo contrário, no caso do circuito
integrador a tensão de desvio é integrada no tempo, conduzindo assim inexoravelmente à saturação da tensão na
saída do AmpOp. Na prática coloca-se uma resistência (R ) em paralelo com o condensador de integração,
am
obtendo assim um integrador com amortecimento, válido apenas para as frequências que verificam a relação f>
(2π R C)-1.
am

Convém ainda salientar que na prática os amplificadores operacionais dispõem de um terminal de compensação
da tensão de desvio. O utilizador pode assim corrigir externamente o erro desvio, necessitando apenas de alguns
componentes adicionais, como sejam resistências e potenciómetros.

15.4.7 Correntes de Polarização

Independentemente do facto de os amplificadores operacionais apresentarem uma resistência de entrada não
infinita, característica que se associa apenas aos sinais dinâmicos aplicados, a natureza própria dos transístores
obriga à existência de correntes não nulas através dos terminais de entrada, I + e I -, designadas correntes de
B B
polarização, as quais, por acção do desemparelhamento inexorável entre componentes, são, também, distintas
entre si (estas correntes associam-se à corrente na base dos transístores bipolares, e às correstes de fuga ou de
saturação inversa nos transístores de efeito de campo). Na Figura 15.28 apresenta-se um modelo equivalente do
AmpOp que contempla a existência destas duas correntes.

Figura 15.28 Efeito das correntes de polarização

Na prática, nos catálogos os fabricantes indicam seja o valor médio das duas correntes,

(15.79)

que se designa corrente de entrada de polarização, seja a diferença

(15.80)

que se designa corrente de desvio. Consoante os AmpOps sejam de precisão ou de uso geral, assim estas correntes
podem tomar valores entre as poucas décimas de pico-ampere e as várias centenas de nano-ampere, no primeiro
caso devido essencialmente à utilização de transístores de efeito de campo.

Figura 15.29 Efeito das correntes de polarização

Tal como a tensão de desvio. A existência de correntes de polarização no AmpOp conduz a uma degradação do
desempenho dos circuitos, podendo também ser responsáveis pelo seu não funcionamento. A título de exemplo,



considere-se a montagem inversora da Figura 15.29, por cujos terminais de entrada fluem as correntes I + e I -.
B B
Dada a ligação à massa do terminal positivo do AmpOp, a corrente I + não causa qualquer variação do potencial
B
da massa virtual. Nestas condições, a tensão na saída do AmpOp é afectada por um erro,

(15.81)

que apesar do valor reduzido da corrente I - na maioria dos AmpOps comercializados, pode representar, nos
B
casos em que a resistência R2 é elevada, uma tensão significativa. Na prática, a existência das correntes de
polarização obriga à utilização de componentes externos adicionais, tipicamente resistências, como forma de
compensar os erros de tensão induzidos na saída.


15.5 Tipos de Amplificadores Operacionais

15.5 Tipos de Amplificadores Operacionais

O amplificador operacional é sem dúvida um dos componentes mais utilizados em circuitos e sistemas
analógicos. A simplicidade de utilização, as elevadas funcionalidade e desempenho e o enorme mercado
conduziram as empresas fabricantes ao desenvolvimento de uma gama variadíssima de componentes
alternativos, visando essencialmente satisfazer de forma abrangente os requisitos particulares das diversas
aplicações possíveis. Não querendo, nem podendo, ser exaustivo na sua classificação, pode no entanto
dizer-se que hoje em dia existem largas centenas de componentes distintos, agrupados pelos fabricantes em
classes de aplicações cujo número ascende, também ele, a uma a duas dezenas. Uma classificação grosseira
permite-nos distinguir quatro classes principais de aplicações:

q processamento de sinal, incluindo a própria amplificação;
q amplificação de instrumentação, essencialmente em sistemas de condicionamento e digitalização de
sinais provenientes de sensores;
q seguimento de tensão (os buffers), em que se incluem as aplicações de ataque a linhas ou cabos
coaxiais, de isolamento entre circuitos, de amostragem e retenção de sinais, etc.;
q comparação de tensão.

Por exemplo, a empresa Texas Instruments distingue no seu catálogo duas grandes classes de componentes
– amplificadores operacionais e comparadores de tensão – identificando depois na primeira oito subclasses,
designadamente de (1) precisão, (2) de uma só tensão de alimentação, (3) de elevada gama de sinal
(coincidente com as tensões de alimentação), (4) de baixo ruído, (5) de baixa tensão de alimentação,
tipicamente 3 V, (6) de alta frequência, (7) de baixo consumo de potência e (8) de elevada temperatura,
num total de mais de trezentos componentes distintos (incluindo as variedades com 1, 2 ou 4 componentes
no mesmo encapsulamento). Um outro exemplo, o catálogo da empresa Precision Monolithics Inc.
distingue três grandes classes de componentes – amplificadores operacionais e seguidores de tensão
(buffers), amplificadores de instrumentação, e comparadores de tensão – prosseguindo depois com uma
classificação mais fina das diversas variantes.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_15/tipampop.htm06-06-2005 12:36:18

Sumário

Sumário

O amplificador operacional, abreviadamente AmpOp, é um dos componentes electrónicos mais versáteis
actualmente ao dispor dos projectistas de circuitos. O AmpOp é basicamente um diporto cuja excelência
dos parâmetros o fazem assemelhar a um amplificador de tensão ideal.

O AmpOp ideal constitui uma modelização simplificada dos amplificadores reais actualmente existentes no
mercado. O AmpOp ideal caracteriza-se pelos seguintes parâmetros: ganho de tensão infinito, resistência de
entrada infinita, resistência de saída nula e inexistência de qualquer limitação em frequência ou amplitude.
O AmpOp ideal encontra-se na origem dos operadores curto-circuito virtual e massa virtual.

Com base no AmpOp podem construir-se amplificadores de tensão cujo ganho é apenas função do cociente
entre resistências, amplificadores soma e diferença, circuitos integradores e diferenciadores, filtros,
conversores corrente-tensão e tensão-corrente, conversores de impedâncias, rectificadores de sinal,
comparadores de tensão, etc.

Na prática o desempenho dos AmpOps é degradado por um conjunto de não idealidades inerentes à
estrutura interna e ao tipo de dispositivos electrónicos utilizados na sua construção. As limitações mais
relevantes são o ganho e a largura de banda finita, a taxa de inflexão máxima da tensão na saída, os valores
não infinito e não nulo das resistências de entrada e de saída, respectivamente, o ganho de modo comum, as
tensões de saturação na saída e a gama de modo comum do sinal na entrada, a tensão de desvio e as
correntes de polarização.




*15.1 Determine a expressão da tensão v nos circuitos da Figura E15.1.
o



Figura E15.1

*15.2 Os dois circuitos representados na Figura E15.2 implementam ambos um conversor tensão-corrente. Determine
a expressão da corrente I em função da tensão V aplicada.
s



Figura E15.2

15.3 Determine o ganho de corrente i/i no circuito representado na Figura E15.3.
s

Figura E15.3

*15.4 Os dois circuitos representados na Figura E15.4 implementam ambos um conversor digital-analógico de quatro
bit. Os bits das palavras digitais, b3b2b1b0, controlam os interruptores indicados e fazem corresponder na saída do
circuito uma tensão cuja amplitude reflecte, numa outra escala, o número inteiro codificado. Explique o
funcionamento de cada um dos circuitos e determine a expressão da tensão v em função dos valores ´0´ ou ´1´ dos
o
bits das palavras digitais.



Figura E15.4

-4t
15.5 Considere o circuito RLC-activo representado na Figura E15.5. Admitindo que vs(t)=e u(t), i (0)=0 e v (0)=4
L C
V, determine a expressão das repostas natural e forçada da tensão v (t).
o



Figura E15.5

15.6 Considere o circuito RC-activo representado na Figura E15.6. Admitindo que v (t)=u(t)cos(1000t), v 1(0)=v 2(0)
S C C
=0, C1=1µF, C2=125 nF, R1=1 kΩ e R2=R3=2 kΩ, determine a expressão das repostas natural e forçada da tensão v
o
(t).

Figura E15.6

*15.7 Admitindo que V =1∠ 0º, determine o fasor da tensão na saída do AmpOp nos circuitos representados na Figura
s
E15.7.



Figura E15.7

*15.8 Determine a expressão da função de transferência H(s)=V (s)/V (s) para cada um dos circuitos representados na
o S
Figura E15.8.



Figura E15.8


14.1 Diportos

14.1 Diportos

14.1.1 Definições

Um diporto é um circuito eléctrico com dois portos de acesso ao exterior (Figura 14.1). Um circuito constitui um
diporto e os seus terminais portos quando se verificam em simultâneo as seguintes condições:

(i) o circuito contém apenas impedâncias e fontes dependentes (quando o circuito possui no seu
seio fontes independentes, de tensão ou de corrente, então os terminais de ligação destas àquele
devem ser considerados como portos adicionais de acesso ao circuito);

(ii) as correntes de entrada e de saída nos portos são iguais, prevendo assim a ligação destes a
fontes de sinal ou circuitos representados sob a forma de um equivalente de Thévenin ou de
Norton.

Uma vez que por definição um diporto é um circuito que não contém no seu seio fontes independentes, a sua
acção resume-se ao processamento das grandezas eléctricas impostas a partir do exterior. Por conseguinte, das
quatro grandezas V1, I1, V2 e I2, duas são independentes (são impostas pelo exterior ao circuito) e as outras duas
são dependentes (constituem a reacção do diporto aos estímulos aplicados do exterior).

14.1.2 Modelos Eléctricos Equivalentes

Na Tabela 14.1 indicam-se as seis alternativas possíveis em matéria de variáveis independentes e dependentes.
Por exemplo, no segundo caso as variáveis independentes são as tensões nos dois portos, V1 e V2, sendo
dependentes as correntes respectivas, I1 e I2. As variáveis independentes e dependentes relacionam-se entre si
através de uma matriz cujos coeficientes têm a dimensão de admitância,

(14.2)

Portanto,

(14.3)

a que corresponde o modelo eléctrico equivalente da Figura 14.3. Na Tabela 14.1 indicam-se as equações e os
caracteres utilizados na representação das matrizes e dos coeficientes respectivos.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_14/diportos.htm (1 of 10)06-06-2005 12:36:27

14.1 Diportos

VARIAVEIS VARIÁVEIS EQUAÇÕES
MATRIZ
INDEPENDENTES DEPENDENTES ALGÉBRICAS

I 1 ; I2 V1 ; V 2

V 1 ; V2 I 1 ; I2

V 1 ; I2 I1 ; V2

I1 ; V 2 V1 ; I 2

V 1 ; I1 V2 ; I 2

V 2 ; I2 V1 ; I 1

Tabela 14.1 Caracterização de diportos

As seis descrições alternativas de um diporto são convertíveis entre si. Por exemplo, a manipulação algébrica do
sistema de equações (14.3) permite obter os coeficientes da matriz de impedâncias de circuito aberto do diporto

(14.4)

cujas variáveis independentes e dependentes são, respectivamente, as correntes e as tensões nos portos. Na Tabela
14.2 resumem-se as regras de conversão entre descrições alternativas de um diporto.


14.1 Diportos

Tabela 14.2 Tabela de conversão de coeficientes

Os coeficientes da matriz característica de um diporto, por exemplo os coeficientes da matriz de admitâncias,
podem ser determinados recorrendo ao cálculo dos cocientes

(14.5)

(14.6)

(14.7)

e

(14.8)

os quais correspondem às configurações da Figura 14.4. Por exemplo, o coeficiente Y11 da matriz coincide com a
admitância de entrada do porto-1 quando os terminais do porto-2 se encontram em curto-circuito (a tensão V2 é
zero), e vice-versa para o coeficiente Y22.


14.1 Diportos

Figura 14.4 Cálculo dos coeficientes da matriz de admitâncias de curto-circuito de um diporto

14.1.3 Exemplos de Aplicação

Considere-se o circuito resistivo representado na Figura 14.5.a, relativamente ao qual se pretende determinar os
coeficientes da matriz de impedâncias de circuito aberto. As equações que caracterizam o diporto são neste caso

(14.9)

cujas variáveis independentes e dependentes são, respectivamente, as correntes I1 e I2 e as tensões V1 e V2. Nas
Figuras 14.5.c a 14.5.d representam-se as quatro configurações de cálculo dos coeficientes Z da matriz.
ij


14.1 Diportos

Figura 14.5 Determinação dos coeficientes da matriz de impedâncias de um diporto

Assim,

(14.10)

(14.11)

(14.12)

e


14.1 Diportos

(14.13)

respectivamente. Na Figura 14.5.b representa-se o modelo eléctrico equivalente do diporto, neste caso construído
à base de resistências e de fontes de tensão dependentes.

Considere-se agora o circuito resistivo representado na Figura 14.6.a, relativamente ao qual se pretende
determinar os coeficientes da matriz de admitâncias de curto-circuito, isto é, caracterizá-lo com base nas
seguintes duas equações algébricas

(14.14)

Figura 14.6 Determinação dos coeficientes da matriz de admitâncias de um diporto


14.1 Diportos

As configurações de cálculo dos coeficientes da matriz encontram-se representadas nas Figuras 14.6.c a 14.6.f, as
quais correspondem sempre ao cancelamento de uma das duas tensões nos portos. Assim,

(14.15)

(14.16)

(14.17)

e

(14.18)

respectivamente. Como se indica na Figura 14.6.b, o modelo eléctrico equivalente do diporto é composto por
admitâncias e fontes de corrente dependentes. Convém desde já salientar o facto de os diportos sem fontes
dependentes apresentarem sempre matrizes de impedâncias ou de admitâncias simétricas.

Na Figura 14.7.a apresenta-se um circuito que se pretende caracterizar com base numa matriz de parâmetros
híbridos (as variáveis independentes são a corrente no porto-1, à esquerda, e a tensão no porto-2, à direita).


14.1 Diportos

Figura 14.7 Determinação dos coeficientes da matriz híbrida de um diporto

Uma vez que as duas equações algébricas características do diporto são

(14.19)

então as configurações das Figuras 14.7.c e 14.7.d permitem obter

(14.20)

(14.21)

(14.22)

e


14.1 Diportos

(14.23)

respectivamente.

Com o circuito representado na Figura 14.8 pretende-se exemplificar o cálculo dos coeficientes da matriz de
transmissão de um diporto.

Figura 14.8 Determinação dos coeficientes da matriz de transmissão de um diporto

As variáveis independentes são, neste caso, a corrente e a tensão no porto-2 (à direita), isto é,


14.1 Diportos

(14.24)

Pode facilmente demonstrar-se que recorrendo às quatro configurações de cálculo indicadas nas Figuras 14.8.b a
14.8.e se obtém, respectivamente,

(14.25)

(14.26)

(14.27)

e

(14.28)


14.2 Associação de Diportos


14.2.1 Associações em Série, em Paralelo, em Cascata e em Modo Híbrido

A descrição de um circuito com base numa matriz simplifica a análise das associações em série, em
paralelo, em cascata ou em série-paralelo de diportos. Como se verá de seguida, as vantagens deste
formalismo são assaz notórias no caso da associação em cascata de diportos, como é o caso das cadeias de
amplificadores.

Considerem-se então dois diportos associados em paralelo (Figura 14.9).

Figura 14.9 Associação de dois diportos em paralelo

Uma vez que os diportos A e B apresentam as mesmas variáveis independentes nos dois portos,
designadamente,

(14.29)

e que as correntes nos portos do diporto total são dadas pela soma das correntes parciais em cada um dos
dois diportos

(14.30)

conclui-se então que, tendo em conta (14.29) e as relações matriciais parciais de cada diporto,

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_14/assodipo.htm (1 of 6)06-06-2005 12:36:30


(14.31)

isto é, que a matriz do diporto total é dada pela soma das matrizes de admitâncias dos diportos associados

(14.32)

Na Figura 14.10 considera-se a associação em série de dois diportos.

Figura 14.10 Associação de dois diportos em série

Neste caso, as variáveis comuns aos dois diportos são as correntes nos portos, I1 e I2 na figura, enquanto as
variáveis tensão de porto total resultam da soma das tensões parciais nos diportos A e B. Se se admitir que
cada um dos dois diportos se encontra caracterizado pela matriz de impedâncias respectiva, então

(14.33)

ou seja

(14.34)

Uma associação que se revela de particular interesse na análise de amplificadores, é a ligação em cascata de
diportos (Figura 14.11). Este tipo de associação caracteriza-se pelas igualdades



(14.35)

designadamente entre as tensões e as correntes no porto comum aos dois diportos. Admitindo que ambos os
diportos se encontram caracterizados pela matriz de transmissão respectiva, então

(14.36)

para o primeiro diporto, ou seja

(14.37)

ou ainda

(14.38)

O diporto total é neste caso caracterizado por uma matriz que, à parte alguns sinais, é dada pelo produto das
matrizes de transmissão parciais de cada um dos circuitos.

Figura 14.11 Associação de dois diportos em cascata


Considere-se na Figura 14.12.a um circuito resistivo composto por dois portos de acesso ao exterior.
Pretende-se identificar neste circuito a associação em paralelo de dois diportos e obter, por adição de
matrizes parciais, a matriz de admitâncias respectiva.



Figura 14.12 Associação de dois diportos em paralelo

Neste circuito pode identificar-se, por exemplo, a associação em paralelo dos dois diportos indicados na
Figura 14.12.b. As admitâncias de curto-circuito de cada um dos dois diportos são calculadas com base nas
expressões 14.5 a 14.8, que em conjunto definem as matrizes de admitâncias

(14.39)

e

(14.40)

A matriz de admitâncias total é dada pela soma

(14.41)



Considere-se agora o circuito da Figura 14.13.a, no seio do qual se pretende identificar a associação em
cascata de dois diportos e obter a matriz de transmissão respectiva por multiplicação das matrizes parciais.

Figura 14.13 Associação de dois diportos em cascata

Neste caso, podem identificar-se no circuito os dois diportos representados em 14.13.b, cujas matrizes de
transmissão respectivas são

(14.42)

e

(14.43)



A matriz de transmissão total é então dada pelo produto

(14.44)


14.3 Diportos Amplificadores


Considere-se um diporto caracterizado por uma matriz híbrida (g )
ij

(14.45)

em conjunto com o seu modelo eléctrico equivalente, representado na Figura 14.14.a. Admita-se agora que a
função do circuito é amplificar ou simplesmente transferir a variável independente do porto-1 (de entrada) para
o porto-2 (de saída), mas não o contrário, isto é, transferir informação de volta do porto de saída para o porto de
entrada. Analisando o modelo equivalente do diporto (Figura 14.14.a), verifica-se que:

(i) a tensão no porto de saída (V2) é uma função da própria corrente (I2) e da tensão no porto de
entrada (V1), o que dentro de alguns limites é razoável que aconteça num amplificador de
tensão;

(ii) a corrente na entrada é uma função da corrente na saída e, como consequência, da carga a
ele ligada.

Por conseguinte, um diporto é bidireccional quando os coeficientes g12 e g21 são não nulos, e unidireccional
quando apenas um deles é nulo.

Figura 14.14 Amplificador com realimentação (a) e sem realimentação (b)

Considere-se agora na Figura 14.14.b um diporto amplificador sem coeficiente de realimentação do porto de
saída para o porto de entrada. De acordo com as conclusões anteriores, as eventuais cargas ligadas ao porto-2
não exercem influência sobre as variáveis tensão e corrente no porto de entrada, e o diporto no seu conjunto
comporta-se como um amplificador de tensão com impedância de entrada 1/g11, impedância de saída g22 e
ganho de tensão g21.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_14/dipoampl.htm (1 of 8)06-06-2005 12:36:32


14.3.1 Impedâncias de Entrada e de Saída

Considere-se na Figura 14.15.a o modelo de coeficientes híbridos hij de um diporto, à saída do qual se admite
ligada uma carga genérica Z.

Figura 14.15 Modelo de parâmetros híbridos (h) de um diporto; com coeficiente de realimentação (a) e sem
coeficiente de realimentação (b)

Admita-se ainda que se pretende determinar as impedâncias de entrada (pelo porto-1) e de saída (pelo porto-2)
nas condições em que a matriz do diporto não apresenta, num primeiro caso, e apresenta, num segundo caso,
um valor nulo para o coeficiente de realimentação da saída para a entrada. Tendo em conta as equações
algébricas características do diporto,

(14.46)

e a equação da carga, V2=-I2Z, a impedância de entrada do circuito (diporto e carga) é dada por

(14.47)

no caso em que existe realimentação interna no diporto, e por

(14.48)

no caso em que h12=0. No primeiro caso, a impedância de entrada é uma função dos quatro coeficientes da
matriz e da carga colocada a jusante do diporto, variando assim em função desta, ao passo que no segundo caso
é apenas função do coeficiente h11.

No que respeita à impedância de saída do diporto, Z , verifica-se que
o



(14.49)

quando o coeficiente de realimentação do diporto é não nulo (h12≠ 0), e simplesmente

(14.50)

quando h12=0. Por exemplo, no primeiro caso a impedância de saída do porto seria, também, uma função da
impedância de saída da fonte de sinal eventualmente ligada na entrada, mas no segundo caso jamais o seria.

14.3.2 Ganhos de Tensão e de Corrente

O ganho de tensão é um dos parâmetros mais utilizados na caracterização dos diportos do tipo amplificador. É
comum distinguirem-se os três ganhos de tensão:

(i) o ganho de tensão intrínseco do diporto, A , calculado com a saída do mesmo em aberto;
V

(ii) o ganho de tensão com a saída em carga, A ;
VC

(iii) o ganho de tensão total do circuito constituído pela fonte de tensão a montante, pelo diporto
e pela carga a jusante, A .
VT

Na Figura 14.16.a representa-se o circuito de referência utilizado no cálculo destes três ganhos de tensão,
considerando a situação mais comum de um diporto amplificador sem realimentação.



Figura 14.16 Amplificador de tensão: modelo de parâmetros híbridos (a) e modelo simplificado baseado nos
parâmetros impedância de entrada, impedância de saída e ganho de tensão intrínseco (b)

São os seguintes os ganhos de tensão intrínseco, em carga e da ligação em cascata da fonte de sinal ao diporto e
à carga (Y=1/Z):

(14.51)

(14.52)

(14.53)

Constata-se assim que o ganho intrínseco (A ) representa o máximo ganho obtenível com o diporto, sendo os
V
restantes dois parâmetros inexoravelmente inferiores. O ganho do circuito coincide com o ganho intrínseco do



diporto apenas quando a impedância de entrada do diporto é infinita e a de saída nula.

Ao conjunto de parâmetros impedância de entrada, Z , impedância de saída, Z , e ganho de tensão intrínseco,
i o
A , corresponde o modelo simplificado do amplificador de tensão representado na Figura 14.16.b (adiante se
V
verá que este coincide com o modelo eléctrico simplificado do amplificador operacional de tensão, a introduzir
no Capítulo 15). Identificam-se três factores na expressão do ganho total (14.53): o ganho intrínseco do
amplificador, e os coeficientes de acoplamento da fonte de sinal ao amplificador e deste à carga.

Tal como para o ganho de tensão, é comum distinguirem-se nos diportos amplificadores de corrente três
parâmetros de ganho de corrente essencialmente distintos (Figura 14.17.a):

(i) o ganho de corrente intrínseco do diporto, A , calculado com a saída do mesmo em curto-
I
circuito;

(ii) o ganho de corrente com a saída em carga, A ;
IC

(iii) e o ganho de tensão total do circuito constituído pela fonte de tensão a montante, pelo
diporto e pela carga a jusante, A .
IT

Com base no esquema eléctrico representado na Figura 14.17.a, pode facilmente verificar-se que

(14.54)

(14.55)

(14.56)

O ganho intrínseco (A ) representa o máximo ganho de corrente obtenível com o diporto. Os restantes dois
I
parâmetros são-lhe sempre inferiores em magnitude, mais uma vez devido aos divisores de corrente
introduzidos no acoplamento da fonte de sinal ao diporto e deste à carga. Por outro lado, ao conjunto de
parâmetros impedância de entrada, Z , impedância de saída, Z , e ganho de corrente intrínseco, A , corresponde
i o I
o modelo do amplificador de corrente representado na Figura 14.17.b.



Figura 14.17 Amplificador de corrente: modelo de parâmetros híbridos (a) e modelo simplificado baseado nos
parâmetros impedância de entrada, impedância de saída e ganho de corrente intrínseco

14.3.3 Associação de Amplificadores em Cascata

A caracterização de um diporto amplificador por intermédio do modelo simplificado representado na Figura
14.16.b manifesta-se de particular interesse na análise de cadeias de amplificadores constituídas por múltiplos
diportos ligados em cascata. Considere-se então o circuito da Figura 14.18, constituído por dois amplificadores
de tensão em cascata e por uma fonte de sinal a montante e uma carga a jusante.



Figura 14.18 Associação em cascata de dois diportos amplificadores de tensão

O ganho de tensão total da montagem é dado pela expressão (Figura 14.18.b)

(14.57)

a qual é uma função dos ganhos intrínsecos dos amplificadores, mas também dos divisores de tensão na entrada
e na saída de cada diporto. Os coeficientes de acoplamento entre a fonte de sinal e o primeiro diporto, entre o
primeiro e o segundo, e entre este e a carga são unitários apenas quando se verificam as seguintes condições:

(i) a impedância de entrada do diporto é infinita, ou então a impedância de saída da fonte de
sinal é nula;

(ii) a impedância de saída do diporto-1 é nula ou a impedância de entrada do diporto-2 é infinita;

(iii) a impedância de saída do diporto-2 é nula ou a impedância da carga é infinita.

Quando estas condições não se verificam em simultâneo, o ganho da cadeia de amplificação é sempre inferior
ao produto dos ganhos intrínsecos de cada um dos diportos constituintes.



Pode então concluir-se que um diporto amplificador de tensão ideal caracteriza-se pelas seguintes propriedades:

(i) impedância de entrada infinita, permitindo maximizar o coeficiente de acoplamento com a
fonte de sinal a montante;

(ii) impedância de saída nula, maximizando o coeficiente de acoplamento com a carga a jusante.


Sumário

Sumário

Um diporto é um circuito com quatro terminais organizados em dois portos de acesso. A cada porto
encontram-se associadas duas variáveis, uma tensão e uma corrente.

Um diporto é descrito por um sistema de duas equações algébricas. Destas equações podem obter-se as
seguintes seis matrizes alternativas: matriz de impedâncias, matriz de admitâncias, matrizes híbridas de tipo
h ou de tipo g, e matrizes de transmissão e de transmissão inversa.

As associações de diportos em série, em paralelo, em modo misto paralelo-série e em cascata podem ser
analisadas recorrendo às matrizes parciais características dos diportos.

Os diportos sem coeficiente de realimentação constituem uma classe particular das redes de quatro
terminais. Nestes casos faz especial sentido determinar os parâmetros ganho de tensão, ganho de corrente, e
impedâncias de entrada e de saída.




*14.1 Para cada um dos circuitos representados na Figura E14.1, determine (admita ω=106 rad/s):

(a) os coeficientes da matriz de impedâncias;

(b) os coeficientes da matriz de admitâncias;

(c) os coeficientes da matriz híbrida h;

(d) os coeficientes da matriz de transmissão.

Figura E14.1



14.2 Considere o circuito da Figura E14.2. Identifique no circuito a associação em paralelo de dois diportos
e determine a matriz característica total por adição das matrizes parciais respectivas.

Figura E14.2

14.3 Determine o esquema eléctrico do diporto cuja matriz de admitâncias é

.

Figura E14.3

*14.4 Considere o circuito representado na Figura E14.4. Associe em paralelo, em série e em cascata dois
destes diportos e determine a matriz característica que mais convenha ao tipo de associação.

Figura E14.4

*14.5 Considere o diporto amplificador de tensão representado na Figura E14.5. Determine:

(a) o ganho de tensão e as impedâncias de entrada e de saída respectivas;

(b) desenhe o modelo eléctrico equivalente do amplificador de tensão resultante;



(c) associe em cascata dois destes amplificadores e determine o ganho de tensão intrínseco
da associação.

Figura E14.5

14.6 Considere o diporto amplificador de corrente representado na Figura E14.6. Determine:

(a) o ganho de corrente e as impedâncias de entrada e de saída respectivas;

(b) desenhe o modelo eléctrico equivalente do amplificador de corrente resultante;

(c) associe em cascata dois destes amplificadores e determine o ganho de corrente intrínseco
dessa associação.

Figura E14.6


13.1 Bobinas Acopladas


13.1.1 Coeficiente de Indução Mútua

Considerem-se as duas bobinas acopladas magneticamente representadas na Figura 13.3.a e admitam-se as
seguintes condições de funcionamento:

(i) aos terminais da bobina-1 encontra-se aplicada uma fonte de tensão, v1(t), da qual resulta
uma corrente eléctrica i1(t) no enrolamento e um fluxo magnético Φ1(t) no núcleo. A
bobina-1 é constituída por N1 espiras e caracteriza-se por um coeficiente de auto-indução L1;

(ii) a bobina-2 é constituída por N2 espiras, caracteriza-se por um coeficiente de auto-
indução L2 e os seus terminais encontram-se em aberto. A corrente na bobina-2 e o fluxo
magnético gerado são ambos nulos;

(iii) apenas uma parte Φ12(t) do fluxo magnético gerado pela bobina-1 atravessa as espiras
da bobina-2, sendo o cociente

(13.1)

designado por coeficiente de acoplamento magnético entre enrolamentos.

Figura 13.3 Fenómeno da indução mútua

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_13/bobiacop.htm (1 of 7)06-06-2005 12:36:36


A Lei de Faraday estabelece que a força electro-motriz induzida aos terminais da bobina-1 é, no sentido
indicado,

(13.2)

aqui expressa em função do fluxo magnético no núcleo e do número de espiras da bobina, ou então

(13.3)

neste caso expressa em função da corrente na bobina e do respectivo coeficiente de auto-indução. Das
relações (13.2) e (13.3) resulta a igualdade

(13.4)

A Lei de Faraday estabelece, também, que a força electro-motriz induzida aos terminais da bobina-2 é, no
sentido indicado,

(13.5)

em que Φ12(t) representa a porção do fluxo magnético gerado pela bobina-1 que atravessa as espiras da
bobina-2. Substituindo as relações (13.1) e (13.4) na expressão (13.5), obtém-se

(13.6)

em que se define

H, henry (13.7)

como o coeficiente de indução mútua entre as duas bobinas acopladas.



Considere-se agora o caso oposto em que a fonte de tensão é aplicada aos terminais da bobina-2 e a bobina-
1 é deixada em aberto (Figura 13.3.b). Trocando as siglas 1->2 e 2->1 nas expressões (13.2) a (13.7),
obtém-se

(13.8)

e

(13.9)

respectivamente para as forças electro-motrizes induzidas nas bobinas-2 e -1, das quais resulta uma nova
expressão para o coeficiente de indução mútua

(13.10)

A igualdade entre os coeficientes de indução mútua M12 e M21 permite obter as relações

(13.11)

e

(13.12)

entre o número de espiras nos enrolamentos (N1 e N2), os coeficientes de auto-indução (L1 e L2), o
coeficiente de acoplamento magnético (k) e o coeficiente de indução mútua (M).

13.1.2 Associação de Bobinas Acopladas

Considerem-se as duas bobinas acopladas magneticamente representadas na Figura 13.4, e admita-se que
ambas são percorridas pela mesma corrente, i(t), e que os sentidos dos enrolamentos são concordantes em
(a) e discordantes em (b).



Figura 13.4 Associação em série de bobinas acopladas magneticamente

A concordância ou discordância entre os sentidos dos enrolamentos representa-se com base num conjunto
de pontos colocados num dos extremos das bobinas. Se os sentidos das correntes nas duas bobinas forem
positivos do ponto para a outra extremidade (ou então da outra extremidade para o ponto), os fluxos
magnéticos gerados no núcleo comum serão concordantes e o acoplamento dito positivo (vejam-se os casos
das Figuras 13.5.a e 13.5.b). Pelo contrário, se os sentidos das correntes forem contrários entre si, tendo
sempre como referência a extremidade onde se localiza o ponto, então os fluxos gerados são discordantes,
subtraem-se no núcleo e o acoplamento entre as bobinas é dito negativo (vejam-se os casos representados
nas Figuras 13.5.c e 13.5.d).

Figura 13.5 Fluxos magnéticos gerados por bobinas acopladas

Retomem-se então as duas bobinas acopladas magneticamente representadas na Figura 13.4. Uma vez que
ambos os enrolamentos são percorridos por uma corrente, então ambas as bobinas são sede de fluxo
magnético e de força electro-motriz induzida. Por exemplo, no caso representado na Figura 13.4.a as forças
electro-motrizes induzidas aos terminais das bobinas-1 e -2 são, respectivamente,



(13.13)

e

(13.14)

das quais resultam a força electro-motriz total

(13.15)

e a indutância total do conjunto de bobinas acopladas e associadas em série

(13.16)

Pode facilmente demonstrar-se que no caso em que os enrolamentos das bobinas apresentam sentidos
discordantes, como é o caso representado na Figura 13.4.b, a indutância total do conjunto é expressa pela
soma das seguintes três parcelas

(13.17)

Em particular, se o acoplamento magnético entre as bobinas for perfeito, k=1, e as bobinas iguais, então L
-
=0 (esta é uma das técnicas utilizadas na construção de resistências bobinadas).

13.1.3 Modelo Eléctrico Equivalente

O comportamento electromagnético de um conjunto de bobinas acopladas pode ser modelizado com base
apenas em elementos eléctricos. Por exemplo, o comportamento electromagnético das duas bobinas
acopladas representadas na Figura 13.6.a é descrito pelas duas equações de malha

(13.18)



Figura 13.6 Modelo eléctrico equivalente de duas bobinas acopladas magneticamente

que no caso particular do regime forçado sinusoidal se podem representar como

(13.19)

Na Figura 13.6.b representa-se o modelo eléctrico correspondente ao sistema de equações (13.19).

Admita-se agora que aos terminais da bobina-2 se liga uma impedância cuja natureza é capacitiva, Z=(R-
jX), conforme à Figura 13.7.

Figura 13.7 Reflexão de impedâncias entre bobinas acopladas

Neste caso, para além das equações em (13.19) o circuito deve também verificar a igualdade

(13.20)

cuja resolução conjunta conduz à expressão da impedância vista dos terminais da bobina-1



(13.21)

A parcela Z em (13.21) designa-se por impedância acoplada e representa a reflexão para os terminais da
refl
bobina-1 da indutância da bobina-2 e dos componentes a ela ligados (neste caso a carga Z). Multiplicando e
dividindo este termo pelo conjugado do denominador, obtém-se

(13.22)

ou ainda

(13.23)

É o seguinte o significado de cada uma das parcelas na expressão (13.23): a primeira representa a
indutância da própria bobina-1, e as segunda e terceira representam, respectivamente, as reflexões para o
lado da bobina-1 dos componentes indutivos, capacitivos e resistivos localizadas do lado da bobina-2. Por
exemplo, à frequência de ressonância da parte do circuito do lado da bobina-2, isto é quando X=ωL , a
2
impedância acoplada é resistiva pura

(13.24)


13.2 Transformador Ideal


Na Figura 13.8 representam-se duas bobinas acopladas através de um núcleo de elevada permeabilidade
magnética. Admita-se ainda que as duas bobinas e o núcleo verificam as seguintes quatro propriedades:

(i) resistência eléctrica dos enrolamentos nula;

(ii) acoplamento magnético entre bobinas perfeito (k=1);

(iii) material constituinte do núcleo sem histerese;

(iv) perdas no núcleo nulas (por efeito das correntes de Foucault).

Figura 13.8 Transformador ideal

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_13/transfid.htm (1 of 6)06-06-2005 12:36:38


Este conjunto de bobinas acopladas é vulgarmente designado por transformador ideal, atribuindo-se às
bobinas -1 e -2 os nomes de enrolamento primário e secundário, respectivamente. As Leis de Faraday, de
Lenz e de Ohm estabelecem a existência e os sentidos das forças electro-motrizes induzidas e das correntes
indicados na figura. Em particular:

(i) a Lei de Lenz estabelece que a força electro-motriz e a corrente induzidas no secundário
são tais, que as linhas de força aí geradas contrariam o fluxo magnético estabelecido pelo
primário;

(ii) a Lei de Faraday estabelece a existência de forças electro-motrizes induzidas no
primário e no secundário (os fenómenos da indução electromagnética e da indução mútua);

(iii) a Lei de Ohm estabelece a presença de uma corrente no secundário, caso aos terminais
deste se encontre ligada uma impedância.

Na Figura 13.8.b representa-se um esquema simplificado do transformador ideal (note-se que a localização
do ponto nas bobinas e os sentidos das correntes são tais, que verificam o enunciado da Lei de Lenz).

13.2.1 Transformador Ideal em Vazio

Admita-se agora que os terminais do secundário se encontram em aberto, i (t)=0 na Fig.13.8, e que a tensão
2
aplicada ao primário, v (t), é de tipo sinusoidal. A corrente no primário apresenta uma forma também
1
sinusoidal

(13.25)

designada por corrente de magnetização do núcleo, à qual se encontra associada um fluxo magnético

(13.26)

em fase com a corrente respectiva. As forças electro-motrizes induzidas aos terminais do primário e do
secundário são dadas pelas expressões (nos sentidos indicados)

(13.27)

e



(13.28)

respectivamente. Ambas as forças electro-motrizes induzidas encontram-se avançadas de π/2 radianos
relativamente à corrente de magnetização e ao fluxo magnético gerado pelo primário. O cociente entre as
forças electro-motrizes induzidas no primário e no secundário

(13.29)

designa-se por relação de transformação do transformador.

13.2.2 Transformador Ideal em Carga

Admita-se agora que aos terminais do secundário se liga uma carga genérica, Z. Nestas condições, a força
electro-motriz induzida no secundário é responsável pela seguinte conjunto de acontecimentos:

(i) a força electro-motriz induzida no secundário conduz à presença de uma corrente através
da carga (a Lei de Ohm), que circula através do enrolamento do secundário e gera um fluxo
magnético de sentido contrário àquele previamente estabelecido pela corrente de
magnetização;

(ii) o fluxo magnético no núcleo decresce, a força electro-motriz induzida no primário reduz-
se (o que equivale a dizer que enfraquece a oposição à passagem de corrente no primário), e
o desequilíbrio temporário entre tensão aplicada e força electro-motriz induzida resulta num
aumento da corrente no primário;

(iii) o aumento da corrente no primário repõe o fluxo magnético no seu valor inicial,
Φ=Φ10, instalando-se de novo o equilíbrio no transformador.

Portanto, atinge-se o equilíbrio quando se repõe a igualdade

(13.30)

ou seja, quando o fluxo gerado pela corrente no secundário é integralmente compensado pelo acréscimo
verificado no primário

(13.31)

A igualdade (13.31) pode também ser escrita em função das correntes no primário e no secundário (tendo



em conta os sentidos indicados)

(13.32)

com base na qual se pode definir o cociente

(13.33)

entre a amplitude da corrente no secundário e o acréscimo verificado na corrente no primário. Todavia, na
prática verifica-se que a corrente total no primário

(13.34)

se pode aproximar por

(13.35)

ou seja, que a relação (13.33) se pode rescrever na forma

(13.36)

A relação de transformação das correntes é inversa daquela das forças electro-motrizes induzidas.

13.2.3 Modelo Eléctrico Equivalente

Na Figura 13.9 apresenta-se o modelo eléctrico do transformador ideal.



Figura 13.9 Modelo eléctrico do transformador ideal

Constata-se assim que é o primário que impõe a tensão no secundário, designadamente através da relação
entre o número de espiras respectivas (admite-se a notação fasorial),

(13.37)

mas que, pelo contrário, é o secundário que impõe a corrente no primário

(13.38)

naturalmente em função do cociente entre o número de espiras e da carga àquele ligada.

O transformador ideal apresenta um conjunto de propriedades cujo interesse prático ultrapassa em muito o
das simples bobinas acopladas. Por exemplo:

(i) as impedâncias são reflectidas do secundário para o primário de acordo com a relação

(13.39)

(ii) representada na Figura 13.10. Ao contrário das bobinas acopladas estudadas
anteriormente, o transformador ideal é imune às indutâncias das bobinas do primário e do
secundário;

Figura 13.10 Reflexão de impedâncias no transformador ideal



(iii) as potências fornecidas pela fonte de tensão ao primário e pelo secundário à carga são
idênticas, designadamente

(13.40)

(iv) à semelhança de qualquer conjunto de bobinas acopladas, o transformador ideal permite
implementar o isolamento galvânico entre partes de um mesmo circuito. Uma das
aplicações mais comuns do transformador é a implementação prática do isolamento
eléctrico (mas não funcional) entre duas partes de um mesmo circuito, permitindo atribuir-
lhes nós de referência distintos.


13.3 Tipos e Aplicações dos Transformadores


Os transformadores são utilizados num conjunto muito variado de aplicações de processamento de
informação e de energia. De entre estas destacam-se a elevação e a redução da tensão ou do número de
fases em redes de transporte e distribuição de energia eléctrica, a redução da tensão e da corrente em
instrumentos de medida, a adaptação de impedâncias e a sintonia de filtros RLC em aplicações audio, de
rádio frequência e de frequência intermédia, o armazenamento de energia em conversores d.c.-d.c., o
isolamento galvânico (estudado na secção anterior), etc.

13.3.1 Auto-Transformador

Um auto-transformador é um transformador cujos enrolamentos primário e secundário coincidem
parcialmente. Conforme se ilustra na Figura 13.11, os acessos ao primário e ao secundário são coincidentes
ou com as extremidades ou com pontos intermédios do enrolamento, sendo um dos terminais do primário
sempre coincidente com um dos do secundário. O auto-transformador é do tipo redutor quando o número
de espiras do secundário é inferior ao do primário (Figura 13.11.a), e do tipo elevador no caso contrário
(Figura 13.11.b).

Figura 13.11 Auto-transformador redutor (a) e elevador (b)

Em qualquer dos casos, a relação de transformação é dada pelo cociente entre o número de espiras

(13.41)

Uma das consequências da coincidência parcial entre os enrolamentos do primário e do secundário é a
perda de isolamento galvânico entre as bobinas. No entanto, o auto-transformador apresenta um vasto
conjunto de vantagens face aos transformadores comuns, designadamente no que respeita ao seu custo (um
único enrolamento e, em certos casos, com condutores de menor secção), ao volume, à queda de tensão e ao
rendimento (menores perdas nos enrolamentos). Os auto-transformadores são vulgarmente utilizados na

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_13/tiaptran.htm (1 of 7)06-06-2005 12:36:40


elevação e na redução da tensão em redes de distribuição de energia eléctrica, na sintonia e adaptação entre
antenas e pré-amplificadores em receptores de telecomunicações.

13.3.2 Transformadores com Múltiplos Enrolamentos

Os transformadores podem ser construídos com múltiplos enrolamentos primários ou secundários. Os
enrolamentos encontram-se acoplados uns aos outros através de um núcleo magnético comum, sendo em
geral todos eles sede de fluxo magnético e de força electro-motriz induzida.

Na Figura 13.12 apresentam-se diversas ligações alternativas de um transformador com dois enrolamentos
secundários. Por exemplo, no caso representado em (b) os enrolamentos do secundário são utilizados em
circuitos isolados do ponto de vista galvânico, nos casos considerados em (c) e (d) os enrolamentos são
ligados em série um com o outro, resultando, respectivamente, na adição e na subtracção das forças electro-
motrizes respectivas, e, finalmente, nos casos ilustrados em (e) e (f) os enrolamentos partilham um nó de
referência comum, portanto constituindo circuitos não isolados do ponto de vista galvânico.



Figura 13.12 Transformadores com múltiplos enrolamentos secundários

O transformador com ponto médio representado na Figura 13.12.e é vulgarmente utilizado na rectificação
de sinais sinusoidais e na geração de sinais diferenciais (sinais com amplitudes idênticas mas sinais
contrários). Com efeito, no caso particular em que os dois enrolamentos do secundário são idênticos,
N2=N3, verifica-se que

(13.42)

No que respeita à reflexão das impedâncias dos dois secundários para o primário (v. exemplo da Figura
13.12.b), a igualdade entre as potências aparentes fornecidas pela fonte ao primário e pelos secundários às
cargas respectivas

(13.43)

ou seja,

(13.44)

conduz, em conjunto com a relações V2=(N2/N1)V1 e V3=(N3/N1)V1, à expressão



(13.45)

indicativa de que do ponto de vista do primário as impedâncias são primeiramente reflectidas e
seguidamente associadas em paralelo.

13.3.3 Transformadores de Medida

Os transformadores de medida destinam-se a efectuar a redução das grandezas tensão ou corrente eléctrica
em redes de transporte e distribuição de energia eléctrica, designadamente para efeitos da sua medição ou
detecção segura em aparelhos de reduzidas dimensões e relativa precisão. Exemplos da utilização deste tipo
de transformadores são os aparelhos de medida da tensão, corrente e potência eléctrica em redes de energia,
os fasímetros, os frequencímetros e os relés de protecção, os contadores de energia eléctrica, a inserção de
sinais de elevada frequência nas linhas de transporte, designadamente para efeitos de comunicação entre
centrais, subestações e, talvez no futuro, a telecontagem da energia consumida pelos utentes.

Os transformadores de medida podem ser de dois tipos básicos:

(i) de tensão, tendo por objectivo a redução das altas tensões presentes nas linhas e permitir
o seu encaminhamento para os locais frequentados pelos operadores e a sua leitura em
voltímetros comuns (Figura 13.13.a);

(ii) e de corrente, por razões essencialmente idênticas às anteriores (Figura 13.13.b).

Figura 13.13 Transformadores de medida de tensão (a) e de corrente (b)



A utilização de transformadores de medida permite atingir três objectivos principais do processo de
medição de grandezas eléctricas de elevado valor absoluto:

(i) garantir o isolamento galvânico entre a rede de alta tensão ou corrente e o circuito de
medida, protegendo os operadores e permitindo que os aparelhos de medida sejam
colocados em locais comuns;

(ii) evitar as interferências electromagnéticas associadas às correntes eléctricas elevadas
presentes na linha; e,

(iii) efectuar as medições em escalas reduzidas, recorrendo a aparelhos comuns.

A ligação de um transformador de medida de corrente efectua-se colocando em série a linha e o
enrolamento que constitui o primário do transformador. Como se ilustra na Figura 13.14

Figura 13.14 Pinça amperimétrica

um modo de evitar a interrupção da linha consiste na utilização de uma pinça amperimétrica, a qual abraça
o condutor cuja corrente se pretende medir. Esta solução engenhosa e simples permite que o primário do
transformador seja constituído pelo próprio fio condutor, cujas linhas de força circulares percorrem o
núcleo magnético no qual se encontra enrolada a bobina do secundário (com um elevado número de
espiras).

13.3.4 Transformadores de Sinal

Os transformadores de sinal são utilizados em dois tipos principais de aplicações:

(i) na transformação de resistências em aplicações audio, como é o caso da adaptação entre
as resistências de saída de um amplificador audio e de entrada de um alto-falante;

(ii) e na adaptação de impedâncias em amplificadores sintonizados de frequência intermédia



e rádio-frequência em receptores de telecomunicações.

Na Figura 13.15 apresenta-se um exemplo típico da utilização de um transformador de sinal em aplicações
audio. O transformador implementa a adaptação entre as resistências de saída do amplificador (R ) e de
s
entrada do alto-falante (R ), esta última tipicamente da ordem de algumas unidades a dezenas de ohm.
af

Figura 13.15 Transformador de sinal

O projecto da relação de transformação de acordo com a relação

(13.46)

garante a máxima transferência de potência eléctrica entre o amplificador e o alto-falante.

As bobinas acopladas e os auto-transformadores são vulgarmente utilizados em aplicações de rádio
frequência e frequência intermédia, visando dois objectivos principais do projecto de um amplificador
sintonizado: utilizar os coeficientes de auto-indução dos enrolamentos para, em conjunto com
condensadores criteriosamente dimensionados, filtrar em tipo passa-banda os sinais a processar; utilizar o
coeficiente de indução mútua entre enrolamentos para efectuar transformações de impedâncias,
implementando a máxima transferência de potência entre fontes de sinal (antenas, pré-amplificadores) e
receptores (pré-amplificadores ou amplificadores).

13.3.5 Transformadores de Potência

Os transformadores de potência visam essencialmente a elevação ou redução da tensão de transporte,
distribuição e de consumo em redes de energia eléctrica. As vantagens da utilização de transformadores
elevadores e redutores de tensão nas redes de transporte e distribuição de energia eléctrica são basicamente
duas: redução das perdas por efeito de Joule, e redução da secção, do peso e do custo das linhas de
transporte.

Os transformadores de potência são caracterizados por um conjunto variado de parâmetros, salientando-se
entre eles a potência aparente nominal, e a tensão e a corrente nominais nos dois enrolamentos. A título de
exemplo, é comum existirem nas redes de distribuição de energia eléctrica transformadores com as



seguintes características: 20 kVA de potência aparente, tensões nominais de 6000 V e 230 V nos
enrolamentos primário e secundário, e correntes nominais de 3.44 A e 87 A; ou então 200 kVA, 1000 V -
400 V e 11.55 A-288.7A; ou ainda 630 kVA e 20 kV - 400 V; 10 MVA e 30 kV - 6 kV; 47 MVA; 125
MVA; 300 MVA, etc.

Para além destas características, nos transformadores de potência assumem também particular relevo as
questões relacionadas com as perdas por efeito de Joule nos enrolamentos e no núcleo (estas últimas
associadas às correntes de Foucault) e com o rendimento, e naturalmente com os sistemas mecânicos de
arrefecimento (a seco, em banho de óleo, forçado ou não, etc.).

Uma segunda classe de aplicações dos transformadores de potência é a conversão do número de fases da
tensão. Por exemplo, a montagem criteriosa dos enrolamentos no núcleo permite efectuar as conversões
entre redes de transporte trifásicas e de consumo monofásicas ou bifásicas, entre redes trifásicas e
hexafásicas ou dodecafásicas, etc.




O fenómeno da indução electromagnética, e em particular da indução mútua entre bobinas, é amplamente
utilizado para implementar sensores ou transdutores de grandezas não-eléctricas em grandezas eléctricas.
Fabricam-se transdutores deste tipo que medem o deslocamento, a posição, a velocidade, a aceleração, a
força, o torque, a pressão, entre outras grandezas, uns designados relutivos e outros electromagnéticos.
Como se verá adiante, a diferença entre estas duas classes de transdutores reside mais na forma como o
fluxo magnético é desenvolvido, cuja variação uma ou várias bobinas acopladas devem detectar sob a
forma de uma força electro-motriz induzida, e menos no fenómeno subjacente ao seu funcionamento.

Figura 13.16 Alguns transformadores actualmente existentes no mercado

Os sensores ditos relutivos associam a variação na grandeza não-eléctrica a uma variação nos coeficientes
de indução mútua entre uma bobina primária e um ou vários enrolamentos secundários. A bobina primária
é excitada com uma corrente eléctrica sinusoidal (a qual desenvolve um fluxo magnético sinusoidal no
núcleo), sendo a grandeza não-eléctrica detectada através da medição da variação na amplitude, ou da
diferença entre as forças electro-motrizes induzidas nas bobinas que constituem o secundário.

Na Figura 13.17 apresenta-se o esquema simplificado de um dos transdutores relutivos mais comuns -
designado LVDT, do inglês Linear Variable Differential Transformer. Um LVDT é basicamente um
transformador com ponto médio (também designado diferencial; ver Figura 13.12 no ponto 13.3.2 deste
capítulo). A principal diferença reside no facto de o núcleo magnético ser móvel e se encontrar fixo ao
objecto cujo deslocamento se pretende medir. Neste sensor, a variação da posição do núcleo altera os
coeficientes de indução mútua entre os enrolamentos primário e secundário, tendo como consequência a
alteração da diferença entre as forças electro-motrizes induzidas nos dois enrolamentos secundários. Este
transdutor caracteriza-se por uma relativa linearidade entre a diferença de potencial medida na saída e o
deslocamento operado sobre o núcleo magnético. Esta classe de transdutores, com algumas variantes, é
utilizada quer na medição do deslocamento, da velocidade e da aceleração de objectos, quer na medição da
força exercida.

Figura 13.17 Sensor relutivo de deslocamento (designado LVDT, do ingl. linear variable differential
transformer)

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Tal como os relutivos, os transdutores electromagnéticos associam a variação numa grandeza não-eléctrica
a uma variação na força electro-motriz induzida aos terminais de uma ou mais bobinas. No entanto, e ao
contrário daqueles, os sensores electromagnéticos não são excitados por qualquer corrente eléctrica,
limitando-se a detectar as variações no fluxo magnético desenvolvido por exemplo por um íman.

Na Figura 13.18 indica-se o exemplo de um sensor de velocidade de tipo electromagnético, designado
transdutor linear de velocidade. Este dispositivo consiste basicamente numa bobina cujo núcleo é um íman
móvel, responsável pelo fluxo magnético que atravessa as espiras da bobina fixa. Ao movimento do íman
encontra-se associada uma variação no fluxo magnético total que atravessa as espiras da bobina, sendo
assim induzida uma força electro-motriz aos terminais respectivos. A diferença de potencial é tanto mais
elevada quanto maior for o ritmo de variação do fluxo magnético, portanto crescente com a velocidade de
deslocamento do íman.

Figura 13.18 Sensor electromagnético de velocidade

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Sumário

Sumário

O modelo eléctrico de duas bobinas acopladas é composto por dois parâmetros: o coeficiente de
acoplamento, o qual é adimensional e contém a informação relativa à melhor ou pior ligação magnética
entre as bobinas, e o coeficiente de indução mútua. À semelhança do coeficiente de auto-indução, o
coeficiente de indução mútua relaciona as variações da corrente numa bobina com a força electro-motriz
induzida na outra, com a qual se encontra acoplada. A unidade do coeficiente de indução mútua é o henry
(H).

O transformador é um dispositivo electromagnético constituído por duas bobinas acopladas através de um
núcleo magnético de elevada permeabilidade magnética. O princípio de funcionamento do transformador
baseia-se no fenómeno da indução electromagnética, e em particular da indução electromagnética mútua
entre bobinas. A principal função de um transformador é elevar ou reduzir as amplitudes da tensão ou da
corrente entre as bobinas do primário e do secundário. O transformador caracteriza-se pela relação de
transformação de tensão entre o primário e o secundário, rT=N2/N1.

Os transformadores são utilizados numa gama muito variada de aplicações de processamento de
informação e de energia eléctrica. Salientam-se, entre outras, a elevação e a redução da tensão e do número
de fases em redes de transporte e distribuição de energia eléctrica, a redução da tensão ou da corrente em
instrumentos de medida, a adaptação de impedâncias em amplificadores sintonizados em aplicações de
rádio-frequência e frequência intermédia, a adaptação de resistências em aplicações audio, ou simplesmente
o isolamento galvânico entre partes de um mesmo circuito eléctrico.

Para além de outros, é possível identificar os seguintes tipos de transformadores: auto-transformadores,
transformadores com múltiplos enrolamentos no secundário, transformadores com ponto médio,
transformadores de medida ou de protecção, transformadores de sinal e transformadores de potência.

Existem diversos sensores que exploram o fenómeno da indução mútua entre bobinas, ou electromagnética.
Estes transdutores são designados relutivos e electromagnéticos, e são utilizados na medição de grandezas
não-eléctricas, tais como deslocamento, velocidade, aceleração, binário, força, pressão, etc.




*13.1 Determine a indutância equivalente das bobinas acopladas representadas na Figura E13.1.

Figura E13.1

13.2 Determine o fasor da tensão V no circuito representado na Figura E13.2.
C

Figura E13.2

13.3 Considere o circuito representado na Figura E13.3:

(a) desenhe o modelo eléctrico equivalente do circuito;

(b) determine o cociente entre os fasores V2 e V1;

(c) determine a impedância de entrada do circuito, Z1=V1/I1.



Figura E13.3

*13.4 Considere o circuito representado na Figura E13.4. Determine a relação entre o número de espiras do
transformador necessária para garantir a máxima transferência de potência entre a fonte de sinal e a carga.

Figura E13.4

13.5 Determine os fasores das correntes e das tensões V1, I1, V2 e I2 nos circuitos representados na Figura
E13.5

Figura E13.5

*13.6 Determine a relação entre o número de espiras no primário e no secundário do auto-transformador
representado na Figura E13.6



Figura E13.6

*13.7 Determine a relação de transformação do transformador representado na Figura E13.7, de modo a
garantir a máxima transferência de potência entre a fonte de sinal e a carga de 4 Ω.

Figura E13.7

13.8 Considere o transformador com dois primários representado na Figura E13.8. Determine:

(a) a tensão e a corrente na carga;

(b) a impedância de entrada vista dos terminais do primário (terminais a-b).

Figura E13.8

13.9 Considere o transformador com dois secundários representado na Figura E13.9. Determine:

(a) a tensão e a corrente nas cargas;



(b) a impedância de entrada vista dos terminais do primário.

Figura E13.9


Fotografias de Sensores Relutivos e Electromagnéticos

Fotografias de Sensores Relutivos e
Electromagnéticos

Transformador de Alta Transformador Audio Transformador de Tensão
Frequência (elevada performance; dois 50Hz ou 60Hz
(impulsos; utilizado nos circuitos de enrolamentos primários e 2VA (2 saídas de 6 V e 0.165 A)
disparo de tiristores e triacs) secundários) Dois enrolamentos primários
Tensão Máx.: 2.8 kV (proof voltage) Dois enrolamentos secundários
Corrente Máx. Saída: 200 mA
Largura de Banda: 3 kHz a 1 MHz

Transformador de Tensão Transformador de Isolamento
Toroidal Utilizado em aparelhos de
230V-240V; 50Hz-60Hz telecomunicações (modems)
15VA (2 saídas de 6 V e 1.25 A)
Dois enrolamentos secundários

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12.1 Resposta em Frequência


12.1.1 Circuito RC

Considere-se o circuito RC de 1.ª ordem representado na Figura 12.1 e admita-se que o fasor da fonte de
tensão sinusoidal é V =V∠ 0.
s

Figura 12.1 Circuito RC de 1.ª ordem

A aplicação da regra do divisor de tensão ao circuito permite obter o fasor da tensão aos terminais do
condensador

(12.1)

a partir do qual se pode definir o cociente entre fasores

(12.2)

designado por resposta em frequência.

A resposta em frequência, H(jω), é uma função da frequência e dos parâmetros do circuito, definindo em
geral um número complexo cuja representação se pode efectuar seja no formato rectangular, com parte real
e parte imaginária, seja no formato polar, com amplitude e fase. Por exemplo, no formato polar

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(12.3)

em que H(ω) e φ(ω) representam, respectivamente, a amplitude e a fase da função complexa H(jω). Por
exemplo, no caso do circuito RC considerado anteriormente

(12.4)

e

(12.5)

em que se define ω =1/RC.
p

Um exemplo alternativo é a resposta em frequência do cociente entre os fasores da tensão aos terminais da
resistência e da fonte de sinal

(12.6)

onde se inscrevem as funções amplitude e fase da resposta em frequência, respectivamente,

(12.7)

e



(12.8)

Na Figura 12.2 representam-se os diagramas de amplitude e de fase da resposta em frequência definida
pelas expressões (12.4) e (12.5).

Figura 12.2 Diagramas de amplitude (a) e de fase (b) da resposta em frequência (lineares)

Assim:

(i) à frequência angular ω=0 rad/s a amplitude da resposta em frequência é unitária e a fase
é nula;

(ii) à frequência angular ω=ω rad/s a amplitude decresce de um factor de 1/√ 2, ao passo
p
que a fase vale -π/4 radianos;

no limite quando ω → ∞ a amplitude tende para zero e a fase para -π/2 radianos.

Conclui-se, assim, que os diagramas de amplitude e de fase da resposta em frequência dão uma indicação
do modo como os sinais são transferidos entre os componentes (ou nós) considerados, em particular
informação relativa à atenuação ou amplificação da amplitude e ao atraso ou avanço da fase da sinusóide.
Recorrendo ao exemplo considerado na Figura 12.2, verifica-se que os sinais sinusoidais cuja frequência
angular verifica a relação ω<<ω são transferidos quase na íntegra entre a fonte e os terminais do
p
condensador (na amplitude e na fase), ao passo que aqueles que verificam a relação ω>>ω são atenuados
p



e sofrem um atraso de fase crescente. Como tal, este circuito constitui um filtro de tipo passa-baixo,
deixando passar os sinais de baixa frequência e atenuando os de alta frequência.

12.1.2 Diagramas de Bode

Os diagramas de Bode de amplitude e de fase são representações em escala logarítmica das funções
introduzidas na secção anterior. Para além do mais, a amplitude da resposta em frequência é

escalada de acordo com a expressão

dB, decibell (12.9)

A vantagem da utilização de escalas logarítmicas, na variável ω e na amplitude, é a de permitir representar
no mesmo gráfico gamas de frequência e valores de amplitude cujas ordens de grandeza são muito
distintas. Com efeito, é comum representar no mesmo diagrama gamas de frequência que diferem de 5,
6, ... até 10 ordens de grandeza (décadas), em simultâneo com gamas de amplitude que variam de cinco a
seis ordens de grandeza, isto é, variam de 100 a 120 dB. Na tabela 12.1 resume-se a conversão entre
unidades lineares e dB. Por exemplo, uma relação de 10 equivale a 20 dB, uma relação de 100 equivale a
40 dB, 1/10 equivale a -20 dB, 2 equivale a 6 dB, 4 equivale a 12, etc.

LINEAR dB LINEAR dB LINEAR dB
1 0 1 0 5=10/2 20-6=14
10 20 2 6 50=100/2 40-6=34
100 40 4 12 20=2*10 20+6=26
1000 60 8 18 40=10*4 20+12=32
1/10 -20 1/2 -6 25=5*5 14+14=28
1/100 -40 1/4 -12 16=4*4 12+12=24
1/1000 -60 1/8 -18 - -
√ 10 10 √ 2 3 - -
√ 1000 30 √ 8 9 - -
1/√ 10 -10 1/√ 2 -3 - -
1/√ 1000 -30 1/√ 8 -9 - -

Tabela 12.1 Tabela de conversão entre unidades lineares e decibell (dB)

Na Figura 12.3 representam-se os diagramas de Bode de amplitude e de fase da resposta em frequência em
(12.4) e (12.5). Os pontos notáveis são agora ω=0 rad/s, amplitude 0 dB e fase nula; ω=ω , amplitude -3
p
dB e fase -π/4 radianos; e no limite, quando ω → ∞, uma amplitude de -∞ dB e uma fase de -π/2 radianos.



Figura 12.3 Diagramas de Bode de amplitude (a) e de fase (b)

Duas aproximações de grande utilidade na representação da amplitude e da fase da resposta em frequência
são os designados diagramas de Bode assintóticos. Considerem-se então as expressões (12.4) e (12.5),
respectivamente

(12.10)

para a amplitude da resposta em frequência, e

(12.11)

para a fase. Por exemplo, no caso da amplitude verifica-se que

(12.12)



expressão que para ω<<ω se pode aproximar por
p

(12.13)

definindo uma assíntota horizontal, e para ω>>ω por
p

(12.14)

definindo neste caso uma assíntota com declive -20 dB por década da frequência angular, ou então -6 dB
por oitava. Na Figura 12.3 representa-se o diagrama de Bode de amplitude definido pelas assíntotas (12.13)
e (12.14).

Considere-se agora a fase da resposta em frequência definida pela expressão (12.11). Neste caso verifica-se
que para ω<ω /10
p

radianos (12.15)

que para ω=ω
p

radianos (12.16)

e que para ω>10ω
p

radianos (12.17)

A fase varia de -π/2 radianos em duas décadas de frequência, centradas na frequência ωp, portanto com um
declive de -π/4 radianos por década. Na Figura 12.3.b representa-se o diagrama de Bode de fase definido
pelas assíntotas (12.15)-(12.17).



Figura 12.4 Diagramas de Bode de amplitude (a) e de fase (b) assintóticos

A principal vantagem dos diagramas de Bode assintóticos é o permitirem representar de forma quase
imediata a amplitude e fase da resposta em frequência. A representação da amplitude em escala logarítmica
converte o produto e o cociente de factores em somas e subtracções, respectivamente, portanto na soma
gráfica das assíntotas respectivas. Por exemplo, no caso da resposta em frequência do cociente entre os
fasores das tensões aos terminais da resistência e da fonte, Figura 12.1 e expressões (12.7) e (12.8), verifica-
se que o diagrama de Bode de amplitude resulta da soma de duas parcelas



(12.18)

das quais se conhece já as assíntotas relativas à segunda parcela. À primeira parcela

(12.19)

corresponde uma única assíntota com declive 20 dB/década, da qual se sabe, também, que para ω=ω a
p
amplitude vale 0 dB. Na Figura 12.4.a representam-se as assíntotas de cada uma das parcelas em (12.18),
em conjunto com a solução obtida por adição gráfica das assíntotas. A resposta em frequência é, neste caso,
de tipo passa-alto.

Considere-se agora a expressão da fase da resposta em frequência. A fase do produto (cociente) entre
números complexos é por si só dada pela soma (diferença) das fases respectivas (eq.(12.8))

(12.20)

Na Figura 12.4.b representam-se as assíntotas de cada um dos termos em (12.20), em conjunto com a
solução obtida por adição gráfica das assíntotas.

12.1.3 Exemplo de Aplicação

Considere-se o circuito RC representado na Figura 12.5.a, relativamente ao qual se pretende determinar e
representar graficamente os diagramas de Bode de amplitude e de fase assintóticos da resposta em
frequência do cociente entre os fasores V e V .
s



Figura 12.5 Diagramas de Bode de amplitude e de fase assintóticos



A aplicação da regra do divisor de tensão permite obter a resposta em frequência

(12.21)

em que ω =1/R2C e ω =1/(R1+ R2)C. A amplitude e a fase da resposta em frequência são expressas pelo
z p
cociente

(12.22)

e pela diferença

(12.23)

respectivamente. O diagrama de Bode de amplitude resulta da diferença entre as seguintes duas parcelas

(12.24)

cujas assíntotas se encontram representadas na Figura 12.5.d. A existência de dois patamares na amplitude
da resposta em frequência, designadamente para as baixas e para as altas frequências, explicam-se a partir
das Figuras 12.5.b e 12.5.c: à frequência angular ω=0 radianos o condensador apresenta uma impedância
infinita, que conduz à igualdade V=V , ao passo que no limite, quando a frequência angular tende para
s
infinito, a impedância do condensador tende para zero e transforma o circuito num divisor resistivo puro.
Neste caso, o cociente entre as amplitudes é dado por 20log10[R2/( R2+ R1)]=-40 dB.

No que respeita à fase da resposta em frequência, trata-se de adicionar graficamente as assíntotas
correspondentes às duas parcelas em (12.23). A fase do termo no numerador varia de π/2 radianos em duas



décadas centradas em ω , enquanto o termo no denominador varia de -π/2 radianos nas duas décadas
z
centradas em ω . Na Figura 12.5.e representa-se o diagrama de Bode de fase assintótico.
p


12.2 Circuitos Ressonantes


12.2.1 Circuito Ressonante Série

Considere-se o circuito RLC representado na Figura 12.6.a, cuja fonte de sinal se admite ser de tipo
sinusoidal (V =V∠ 0º).
s

Figura 12.6 Circuitos ressonantes série (a) e paralelo (b)

O fasor da corrente no circuito é dado pelo cociente

(12.25)

em que X =ωL e X =1/ωC. A corrente no circuito é máxima quando se verifica a igualdade X =X , isto é,
L C L C
quando

(12.26)

ou, ainda,

(12.27)

designada por frequência de ressonância. A esta frequência verifica-se a igualdade

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_12/circress.htm (1 of 11)06-06-2005 12:36:50


(12.28)

a qual implica uma diferença de fase nula entre os fasores da tensão e da corrente no circuito.

Considerem-se os fasores das tensões aos terminais de cada um dos componentes (R, L e C) à frequência de
ressonância,

(12.29)

(12.30)

e

(12.31)

em que

(12.32)

define o factor de qualidade do circuito. O somatório dos fasores das tensões aos terminais do condensador
e da bobina é, por definição de ressonância, nulo

(12.33)

apesar de a tensão aos terminais de cada um em separado poder atingir amplitudes muito superiores à da
própria fonte de sinal. Por exemplo, se ao circuito representado na Figura 12.6.a se atribuírem os valores
V=1V, R=10Ω, L=1mH e C=1nF, portanto Q =100, então à frequência ω=106 rad/s a amplitude da tensão
s
aos terminais dos componentes L e C atinge valores tão elevados quanto 100 V.

Um outro aspecto a ter em conta na ressonância é a dissipação e as trocas de energia que ocorrem nos e
entre os componentes do circuito. Considerando ainda o circuito RLC-série da Figura 12.6.a, constata-se
que a potência média dissipada pela resistência na ressonância é



mW (12.34)

e que as potências reactivas médias acumuladas na bobina e no condensador são, respectivamente,

VAr (12.35)

e

VAr (12.36)

ambas Q vezes superiores à potência dissipada por efeito de Joule na resistência. Pode também dizer-se
s
que o factor de qualidade de um circuito é o cociente entre a potência média acumulada nos elementos
reactivos e a potência média dissipada por efeito de Joule no componente resistivo (na ressonância)

(12.37)

Na ressonância, o condensador e a bobina trocam entre si as energias acumuladas, e não com a fonte.

Considere-se ainda o circuito RLC-série em conjunto com a expressão do fasor da corrente respectiva

(12.38)

A corrente no circuito é máxima à frequência de ressonância (X =X ), e tende para zero nos limites quando
L C
a frequência se aproxima de zero ou de infinito. Como se indica na Figura 12.7, este comportamento em
frequência indica tratar-se de um filtro passa-banda centrado na frequência de ressonância. Designam-se
por frequências de corte do filtro os valores de ω para os quais a amplitude da resposta em frequência
decresce de um factor de √ 2 relativamente ao valor máximo (na figura indicadas pelas siglas ω1 e ω2), e
por largura de banda a diferença

(12.39)



Figura 12.7 Resposta em frequência de um circuito RLC-série ressonante

As frequências de corte ocorrem quando se verifica a igualdade

(12.40)

ou seja

(12.41)

A frequência de corte ω2 ocorre quando

(12.42)

isto é,

(12.43)

Por outro lado,



(12.44)

que em conjunto com (12.42) conduz à largura de banda

(12.45)

A frequência de ressonância e as frequências de corte verificam a igualdade

(12.46)

Na Figura 12.8 ilustra-se o efeito da variação dos parâmetros R, L e C sobre a selectividade da resposta em
frequência do circuito ressonante série. No primeiro caso, Figura 12.8.a, mantêm-se fixas a capacidade do
condensador e a indutância da bobina e varia-se o valor da resistência, isto é, mantém-se fixa a frequência
central da banda de passagem e varia-se o factor de qualidade, a largura de banda e o valor da corrente na
resistência. No segundo caso, representado em 12.8.b, varia-se o cociente L/C e mantêm-se fixos os valores
do produto LC e da resistência, ou seja, mantêm-se fixos a frequência de ressonância e o valor máximo da
corrente na resistência, e varia-se o factor de qualidade e a largura de banda respectiva.

Figura 12.8 Efeito dos parâmetros do circuito sobre a selectividade da resposta em frequência

Um outro aspecto característico do circuito ressonante série é a amplitude da resposta em frequência das
funções de transferência da entrada para os terminais da resistência, do condensador e da bobina. Por



exemplo, no caso da tensão aos terminais da resistência obtém-se

(12.47)

a qual coincide na forma com a resposta em frequência da corrente. Pelo contrário, nos casos das tensões
aos terminais do condensador e da bobina, obtém-se, respectivamente,

(12.48)

e

(12.49)

Como se pode verificar na Figura 12.9.a., os valores máximos das tensões aos terminais do condensador e
da bobina não ocorrem exactamente à frequência de ressonância. No entanto, e como se indica na Figura
12.9.b, quando o factor de qualidade é superior a 10, as frequências de máximo são praticamente
coincidentes com a frequência de ressonância do circuito. Por outro lado, verifica-se ainda que:

(i) da entrada para os terminais da resistência a resposta em frequência é de tipo passa-
banda;

(ii) da entrada para os terminais do condensador, é de tipo passa-baixo;

(iii) e da entrada para os terminais da bobina, é de tipo passa-alto.



Figura 12.9 Comparação das respostas em frequência das tensões aos terminais da resistência, do
condensador e da bobina

12.2.2 Circuito Ressonante Paralelo

Considere-se agora o circuito RLC-paralelo representado na Figura 12.10, aos terminais do qual se admite



aplicada uma fonte de corrente sinusoidal cujo fasor é I=I∠ 0.

Figura 12.10 Circuito RLC-paralelo ressonante

Este circuito apresenta um conjunto de características em tudo semelhantes às do circuito RLC-série,
designadamente no que respeita à frequência de ressonância, ao factor de qualidade, à resposta em
frequência e à largura de banda. Por exemplo, a admitância do circuito

(12.50)

caracteriza-se pela frequência de ressonância

(12.51)

à qual a impedância do circuito é máxima. Pode facilmente demonstrar-se que o factor de qualidade e a
largura de banda são expressos por

(12.52)

e por

(12.53)

respectivamente, ao passo que as frequências de corte do filtro passa-banda correspondente são

(12.54)



Na prática, a análise do circuito RLC-paralelo deve ter em conta a resistência de perdas do enrolamento da
bobina, R , conforme se indica na Figura 12.11.a. Apesar de esta topologia ser aparentemente distinta
L
daquela considerada anteriormente, podem facilmente calcular-se os valores da bobina e da resistência
equivalente que o reconduzem à rede paralela anterior (Figura 12.11.b).

Figura 12.11 Circuito RLC-paralelo ressonante com resistência de perdas na bobina

Assim, uma vez que

(12.55)

a multiplicação do numerador e do denominador pelo complexo conjugado (R-jωL) conduz ao resultado

(12.56)

Note-se, no entanto, que a resistência equivalente de perdas é uma função da frequência angular, e que a
indutância equivalente é uma função da resistência de perdas. O circuito equivalente representado na Figura
12.11.b apresenta duas frequências características essencialmente distintas: a frequência de ressonância, à
qual a parte imaginária da admitância do circuito é nula e a frequência de admitância mínima. Estas duas
frequências não coincidem necessariamente, pois neste circuito a resistência e a indutância equivalentes são
ambas uma função da frequência. A frequência de ressonância é tal que verifica a igualdade

(12.57)



portanto

(12.58)

ou ainda

(12.59)

A frequência de máxima impedância do circuito é obtida igualando a zero a derivada da expressão (12.57)
que, após simplificação, conduz a

(12.60)

portanto, à conclusão de que ω >ω .
r Zmax

O factor de qualidade deste circuito é dado pelo cociente da resistência pela impedância da bobina
equivalente (ou da capacidade) à frequência de ressonância (ver Figura 12.11.b)

(12.61)

Contudo, na maior parte dos casos práticos verifica-se que R <<R e, portanto,
Leq s

(12.62)

coincide com o factor de qualidade da própria bobina.

Na Tabela 12.2 resumem-se as principais equações que caracterizam os circuitos ressonantes série, paralelo
ideal e paralelo real.



RLC-PARALELO RLC-PARALELO
RLC-SÉRIE
(ideal) (real)
FREQUÊNCIA
RESSONÂNCIA
(ω )
r

FREQUÊNCIA MÁX.
IMPEDÂNCIA
(ω )
Zmax

FACTOR
QUALIDADE
(Q)
LARGURA
BANDA
(LB)

Tabela 12.2 Equações características dos circuitos ressonantes série, paralelo ideal e paralelo real


12.3 Notação de Laplace


12.3.1 Função de Transferência

Considere-se o circuito RL na Figura 12.12.a e admita-se que a fonte de sinal é sinusoidal.

Figura 12.12 Circuito RL no domínio do tempo (a), em notação fasorial (b) e na notação de Laplace (c)

A aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões ao circuito permite escrever, no domínio do tempo,

(12.63)

e em notação fasorial (Figura 12.12.b)

(12.64)

Por exemplo, em notação fasorial pode definir-se a resposta em frequência

(12.65)

que, neste caso, expressa a admitância do circuito vista a partir dos terminais da fonte. Contudo, a aplicação da
transformada de Laplace à igualdade (12.63), admitindo condições iniciais nulas (Figura 12.12.c), permite
escrever

(12.66)

em que s=σ+jω define uma variável no plano complexo. O cociente

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_12/notalapl.htm (1 of 13)06-06-2005 12:36:55


(12.67)

designa-se por função de transferência entre as variáveis tensão na entrada e corrente no circuito.

A relação entre a resposta em frequência e a função de transferência é

(12.68)

isto é, a resposta em frequência coincide com a função de transferência calculada sobre o eixo imaginário
(recorde-se que s é uma variável complexa). Esta igualdade permite escrever as impedâncias dos elementos
resistência e bobina na notação de Laplace

(12.69)

podendo facilmente demonstrar-se que no caso do condensador se obtém

(12.70)

Na Tabela 12.3 indicam-se as características da resistência, do condensador e da bobina no domínio do tempo,
em notação fasorial e na notação de Laplace.

DOMÍNIO NOTAÇÃO NOTAÇÃO IMPEDÂNCIA
COMPONENTE
TEMPO FASORIAL LAPLACE FAS./LAPLA.
resistência v(t)=R.i(t) V=RI V(s)=RI(s) R

condensador I=jωCV I(s)=sCV(s)

bobina V=jωLI V(s)=sLI(s) jωL sL

Tabela 12.3 Características dos elementos resistência, condensador e bobina

As funções de transferência são em geral definidas por um cociente de dois polinómios



(12.71)

que, por sua vez, podem ser escritos na forma de um produto de factores

(12.72)

As raízes dos polinómios no numerador (-z ) e no denominador (-p ) designam-se por zeros e pólos da função
i i
da transferência, respectivamente, raízes que dependem dos parâmetros do circuito e são, no caso geral,
números complexos.

Considerem-se então os três circuitos representados nas Figuras 12.13.a, 12.13.b e 12.13.c.



Figura 12.13 Diagrama de pólos e zeros

No primeiro caso, Figura 12.13.a, a função de transferência entre as variáveis V (s) e V (s) é expressa pelo
s C
cociente

(12.73)

e apresenta um pólo real negativo em -1/RC. Por outro lado, no caso do circuito RLC representado na Figura
12.13.b, a função de transferência entre a fonte de sinal e a tensão aos terminais do condensador é dada pelo
cociente

(12.74)

cuja representação na forma de um produto de factores é

(12.75)

em que

(12.76)

Os pólos em (12.76) podem ser reais, negativos e distintos (Q<0.5); reais, negativos e iguais (Q=0.5); ou ainda
complexos conjugados (Q>0.5). Finalmente, no caso do circuito da Figura 12.13.c, a função de transferência
entre os terminais da fonte de sinal e os terminais da resistência e da bobina é



(12.77)

ou seja,

(12.78)

em que z1=0, z2=R/L=ω /Q e p1 e p2 são dados pela expressão (12.76) anterior. Neste caso, e como indicado
o
na Figura 12.13.c, a função de transferência é composta por dois zeros, um dos quais na origem, e dois pólos,
neste caso considerados como reais, negativos e distintos (Q<0.5).

Uma das vantagens da notação de Laplace, e em particular da escrita da função de transferência na forma de
um produto de factores, é a possibilidade de a partir do diagrama de pólos e zeros ser possível identificar o
andamento da amplitude e da fase da resposta em frequência correspondente. Considere-se então a função de
transferência

(12.79)

neste caso com um zero real negativo e dois pólos complexos conjugados (Figura 12.14.a). A resposta em
frequência coincide com a função de transferência calculada sobre o eixo imaginário

(12.80)

cuja representação em formato polar é

(12.81)

Como se vê nas Figuras 12.14.b a 12.14.g, a amplitude e a fase podem ser identificadas com as amplitudes e os
ângulos (com o eixo real positivo) dos segmentos que unem os pólos e os zeros ao ponto no eixo imaginário
correspondente à frequência angular. Por exemplo, nas Figuras 12.14.b e 12.14.c representam-se as amplitudes
e os ângulos dos vectores correspondentes à frequência angular ω=0 rad/s; nas Figuras 12.14.d e 12.14.e



considera-se a frequência angular ω=1 rad/s; e nas Figuras 12.14.f e 12.14.g considera-se o limite quando a
frequência angular tende para infinito. Constata-se, assim, que a fase na origem (ω=0 rad/s) é nula e tende para
-π/2 radianos no limite sempre que a frequência angular tende para infinito.

Figura 12.14 Determinação gráfica da amplitude e da fase da resposta em frequência

12.3.2 Diagramas de Bode Canónicos



Considere-se a função de transferência

(12.82)

definida pelo cociente entre dois polinómios na variável s, um de ordem-N (numerador) e outro de ordem-D
(denominador). Nos sistemas estáveis as raízes podem ser:

(i) zeros reais, negativos, nulos ou positivos, ou então complexos conjugados;

(ii) pólos reais, negativos ou nulos, ou então complexos conjugadas com parte real negativa (os
pólos com parte real positiva encontram-se associados a sistemas instáveis).

A forma factorizada de uma função de transferência é, portanto,

(12.83)

em que o termo K define uma constante, os índices R e R definem o número de zeros e de pólos na
ND oz op
origem, R e R indicam o número de zeros e pólos reais e, finalmente, C e C representam o número de pares
z p z p
de zeros e de pólos complexos conjugados, respectivamente. Existem, portanto, sete tipos de factores cujos
diagramas de Bode assintóticos interessa identificar:

(i) constantes;

(ii) zeros na origem;

(iii) pólos na origem;

(iv) zeros reais, negativos ou positivos;

(v) pólos reais negativos;

(vi) zeros complexos conjugados;

(vii) pólos complexos conjugados com parte real negativa.

Factores Constantes: os diagramas de Bode de amplitude e de fase dos factores constantes são constituídos



por assíntotas horizontais de valor

(12.84)

no caso da amplitude, e de valor

(12.85)

no caso da fase.

Figura 12.15 Factores constantes

Zeros e Pólos na Origem: os zeros na origem caracterizam-se por uma assíntota oblíqua cujo declive é 20dB
por década e por pólo,

(12.86)

às quais pertence o ponto ω=1 rad/sec, 0 dB. Pelo contrário, os pólos na origem caracterizam-se por uma
assíntota oblíqua com declive negativo,

(12.87)

Os diagramas de fase dos zeros e dos pólos na origem são constituídos por assíntotas horizontais, no primeiro
caso de valor Ro ∗π/2 radianos e no segundo de -R ∗π/2 radianos.
z op



Figura 12.16 Zeros e pólos na origem

Zeros e Pólos reais: as assíntotas dos diagramas de Bode de amplitude e de fase dos pólos e dos zeros reais
foram determinadas na Secção 12.1.2. Por exemplo, no caso dos zeros

dB (12.88)

para frequências inferiores ao módulo do zero, e

dB/década (12.89)

para frequências superiores. No caso dos pólos

dB (12.90)

e

dB/década (12.91)

respectivamente para frequências inferiores e superiores ao módulo do pólo (Figura 12.17.b). A fase varia de



π/2 radianos em torno da frequência do zero ou do pólo.

Figura 12.17 Zeros reais positivos e negativos (a) e pólos reais negativos (b)

Zeros e Pólos Complexos Conjugados: Nas funções de transferência com coeficientes reais, os zeros e os
pólos complexos são sempre conjugados dois a dois. Considere-se então o par de zeros complexos conjugados

(12.92)

em que Q e ωo são, respectivamente, o factor de qualidade e a frequência natural (os sinais + e - aplicam-se aos
zeros complexos conjugados com parte real positiva e negativa, respectivamente). A resposta em frequência é,
neste caso,

(12.93)



em que x=ω/ω define a frequência angular normalizada a ω . De (12.93) resultam
o o

(12.94)

e

(12.95)

respectivamente para a amplitude e para a fase. Na expressão da amplitude identificam-se as seguintes duas
assíntotas:

(12.96)

para x<<1, e

(12.97)

isto é, 40 dB por década para x>>1 (ver Figura 12.18.a). No que respeita à fase, as assíntotas são

(12.98)

para x<<1, e

(12.99)

para x>>1.



Figura 12.18 Par de zeros (a) e de pólos (b) complexos conjugados

As assíntotas constituem uma boa aproximação dos diagramas de Bode apenas nos casos em que x>>1 ou
x<<1, ou então quando o factor de qualidade é próximo de ½. Como se indica na Figura 12.19, para factores de
qualidade muito distintos de ½, o diagrama de Bode de amplitude difere substancialmente das assíntotas junto à
frequência normalizada x=1, apresentando em particular sobre-atenuações (zeros) ou sobre-elevações (pólos).
No diagrama de fase, factores de qualidade elevados conduzem a transições abruptas de amplitude π radianos
junto ao valor de x=1, enquanto factores de qualidade inferiores a ½ conduzem a transições relativamente lentas.



Figura 12.19 Par de zeros (a) e de pólos (b) complexos conjugados

Simulador da Resposta em Frequência de Circuitos


12.4 Filtros Eléctricos


Um filtro tem como função seleccionar, rejeitar ou igualizar uma ou várias gamas de frequência de um sinal
eléctrico. Os filtros constituem uma das aplicações mais comuns da electrónica, sendo amplamente utilizados na
aquisição e processamento de sinais audio, vídeo e de dados, em sistemas de alimentação, de telecomunicações,
de controlo, etc.

Nesta disciplina introduzem-se duas das principais técnicas de realização de filtros eléctricos: a técnica passiva,
que utiliza essencialmente resistências, condensadores, bobinas e transformadores; e a técnica activa. Esta última
técnica faz referência a dispositivos electrónicos como o amplificador operacional de tensão e o transferidor de
corrente, e será abordada nos Capítulos 15 e 16. Convém desde já salientar que existem diversas técnicas
alternativas às duas referidas, como sejam a digital e as técnicas amostradas dos condensadores e das correntes
comutadas.

Os filtros eléctricos podem ser de cinco tipos básicos (ver Figura 12.20): passa-baixo (a), passa-alto (b), passa-
banda (c), rejeita-banda (d) e passa-tudo. É comum distinguirem-se os seguintes parâmetros e gamas de
frequência na característica de selectividade de um filtro:

(i) a banda de passagem, que define a gama de frequências a seleccionar;

(ii) a banda de rejeição, que define a gama de frequências a rejeitar;

(iii) as bandas de transição entre bandas de passagem e bandas de atenuação;

(iv) a variação máxima na banda de passagem;

(v) a atenuação mínima garantida na banda de rejeição.

É com base nestes cinco parâmetros que geralmente se especifica a característica de selectividade de um filtro
eléctrico.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_12/filtelec.htm (1 of 15)06-06-2005 12:36:58


Figura 12.20 Filtros eléctricos

12.4.1 Filtros Passa-Baixo

Os circuitos RC e RL da Figura 12.21 implementam ambos um filtro passa-baixo de 1.ª ordem.



Figura 12.21 Filtros RC e RL passa-baixo de 1.ª ordem

As funções de transferência são formalmente idênticas, designadamente

(12.100)

no caso do circuito RC, e

(12.101)

no caso do circuito RL. As bandas de passagem e de transição-atenuação estão compreendidas entre zero e ω e
p
ω e infinito, respectivamente, sendo a variação máxima da amplitude na banda de passagem de -3 dB.
p

Na Figura 12.22 representam-se dois filtros passa-baixo com atenuação limitada na banda de rejeição.



Figura 12.22 Filtros passa-baixo com atenuação limitada

A função de transferência é constituída por um pólo e por um zero, designadamente

(12.102)

no circuito RC, e

(12.103)

no circuito RL. Como se verifica no diagrama de Bode de amplitude assintótico, estes dois filtros definem
explicitamente uma banda de transição e uma banda de rejeição na qual a atenuação máxima obtida é
aproximadamente constante. A banda de transição é uma função da separação entre o pólo e o zero, enquanto a
atenuação na banda de rejeição é uma função do cociente entre ambos.

A Figura 12.23 mostra um filtro passa-baixo de 2.ª ordem constituído por uma malha RLC-série.



Figura 12.23 Filtro RLC passa-baixo de 2.ª ordem

Neste caso a função de transferência possui dois pólos,

(12.104)

os quais imprimem uma atenuação crescente com a frequência, ao ritmo de 40 dB por década, e introduzem uma
variação máxima na banda de passagem que é uma função do factor de qualidade dos pólos (Figura 12.23).

12.4.2 Filtros Passa-Alto

Os circuitos RC e RL representados na Figura 12.24 implementam ambos uma função de transferência de tipo
passa-alto de 1.ª ordem



Figura 12.24 Filtros RC e RL passa-alto de 1.ª ordem

(12.105)

em que ω =ω =1/RC no circuito RC e ω =ω =R/L no circuito RL. Neste caso, as bandas de passagem e de
z p z p
atenuação-transição encontram-se compreendidas entre ω=ω e infinito e ω=0 e ω=ω , respectivamente, sendo a
p p
atenuação crescente para frequências decrescentes. Por outro lado, a variação máxima da amplitude na banda de
passagem é de -3 dB.

Os dois filtros passa-alto representados na Fig.12.25 impõem um limite à atenuação máxima na banda de rejeição.



Figura 12.25 Filtro passa-alto de 1.ª ordem com atenuação limitada

As funções de transferência respectivas possuem um zero na origem e um pólo real,

(12.106)

no caso do circuito RC, e

(12.107)

no caso do circuito RL.

Finalmente, na Figura 12.26 considera-se um filtro passa-alto de 2.ª ordem.



Figura 12.26 Filtro RLC passa-alto de 2.ª ordem

A função de transferência respectiva é

(12.108)

12.4.3 Filtros Passa-Banda

Na Figura 12.27 consideram-se dois filtros passa-banda constituídos pela cascata de um passa-alto e de um passa-
baixo de 1ª ordem.



Figura 12.27 Filtros RC e RL passa-banda de 1.ª ordem

Por exemplo, em (a) a função de transferência é

(12.109)

que para R1<<R2 e C1>>C2 se simplifica para



(12.110)

O zero na origem e o pólo ω definem o limite inferior da banda de passagem do filtro, enquanto o segundo
p1
pólo, ω 2, define o limite superior respectivo (Figura 12.27.c). Pode facilmente demonstrar-se que o circuito RL-
p
LR da Figura 12.27.b apresenta uma função de transferência

(12.111)

aproximação que é válida quando L1R1>>L1R2 e L2R2>>L1R2.

Na Figura 12.28 consideram-se dois filtros passa-banda de 1ª ordem alternativos às topologias em cascata
anteriores. Em ambos os filtros, a amplitude da resposta em frequência é unitária em ω=1/√ LC, frequência à qual
a bobina e o condensador se anulam mutuamente. Por outro lado, para frequências angulares superiores ou
inferiores à frequência de ressonância, o divisor de impedâncias constituído pela resistência e pela malha LC
apresenta valores sempre inferiores à unidade, sendo mesmo nulos para ω=0 e para ω=∞ . Este comportamento
em frequência permite associar o circuito a um filtro passa-banda centrado na frequência de ressonância.



Figura 12.28 Filtros RLC passa-banda de 1.ª ordem

As funções de transferência destes dois filtros são formalmente idênticas, designadamente

(12.112)



em (a), e

(12.113)

em (b).

12.4.4 Filtros Rejeita-Banda

A função de um filtro rejeita-banda é atenuar uma ou várias gamas de frequências limitadas, seja superior seja
inferiormente. Nas Figuras 12.29 e 12.30 ilustram-se os dois princípios com base nos quais se podem realizar
filtros do tipo rejeita-banda. No primeiro caso, Figura 12.29, trata-se de estabelecer dois caminhos alternativos
entre o terminal de entrada e o terminal de saída do filtro, um deles de tipo passa-alto e o outro de tipo passa-
baixo. Os sinais localizados entre as frequências de corte do filtro passa-baixo e do filtro passa-alto são rejeitados
por ambos os caminhos.

Figura 12.29 Filtro rejeita-banda (por associação em paralelo de filtros passa-alto e passa-baixo)

No segundo caso, Figura 12.30, explora-se o facto de o somatório das funções de transferência da entrada para os
terminais dos diversos componentes do circuito ser obrigatoriamente unitário.



Figura 12.30 Filtro rejeita-banda (complementar de um filtro passa-banda)

Como se ilustra na Figura 12.30.b, dado que a função de transferência da entrada para os terminais da resistência
é de tipo passa-banda

(12.114)

então a sua complementar

(12.115)

deve necessariamente ser de tipo rejeita-banda, uma vez que ambas devem verificar a igualdade

(12.116)

Na Figura 12.31 considera-se um filtro rejeita-banda constituído pelo paralelo de um filtro passa-baixo (L e R ) e
pb
um filtro passa-alto (C e R ). Este circuito particular pode ser redesenhado como na Figura 12.31.b, esquema no
pa
qual se identifica uma das malhas RLC ressonantes estudadas anteriormente.



Figura 12.31 Filtro rejeita-banda

Estes dois filtros rejeita-banda de 1.ª ordem caracterizam-se pela função de transferência

(12.117)

com R=R // R . A função de transferência (12.117) apresenta dois zeros imaginários puros no numerador, os
pb pa
quais para ω=ω anulam a amplitude da resposta em frequência (Figura 12.31.c).
ο


Sumário

Sumário

Designa-se por análise da resposta em frequência o estudo do cociente entre dois fasores em função da
frequência. A representação em formato polar conduz a expressões para a amplitude e para a fase da
resposta em frequência, cujas representações em escala logarítmica se designam diagramas de Bode. O
decibell (dB) de amplitude é dado por 20log10 da amplitude da resposta em frequência.

À frequência de ressonância, os circuitos apresentam um comportamento semelhante ao de uma rede
resistiva pura, e os fasores da tensão e da corrente encontram-se em fase. A ressonância caracteriza-se pelas
frequência de ressonância, factor de qualidade e largura de banda.

Uma função de transferência é uma função complexa definida pelo cociente entre as transformadas de
Laplace de duas variáveis de um circuito. O cálculo da função de transferência sobre o eixo imaginário
coincide com a resposta em frequência do cociente entre os dois fasores respectivos. As raízes dos
polinómios do numerador e do denominador de uma função de transferência designam-se por zeros e pólos,
respectivamente. A representação gráfica no plano complexo dos pólos e dos zeros designa-se por diagrama
de pólos e zeros.

Os filtros eléctricos são circuitos cuja função é a selecção, rejeição ou igualização de uma ou várias gamas
de frequência de um sinal eléctrico. Os filtros podem ser de cinco tipos básicos: passa-baixo, passa-alto,
passa-banda, rejeita-banda e passa-tudo.




*12.1 Represente os diagramas de pólos e zeros e as assíntotas dos diagramas de Bode de amplitude e de fase
da resposta em frequência de cada uma das seguintes funções de transferência:

(a) com a=103 rad/s

(b)

(c) com ω1=106 rad/s

(d)

(e)

(f)

*12.2 Para cada um dos circuitos representados na Figura E12.2, determine a função de transferência
definida pelo cociente H(s)=V(s)/V (s). Determine também as expressões da amplitude e da fase da resposta
s
em frequência e represente os diagramas de Bode assintóticos respectivos.



Figura E12.2

12.3 Para cada um dos circuitos representados na Figura E12.3, determine a função de transferência
respectiva, represente o diagrama de pólos-zeros e indique o tipo de filtro que implementam.



Figura E12.3

*12.4 Considere os diagramas de Bode de amplitude e de fase da Figura E12.4. Calcule os valores das
frequências dos zeros e dos pólos e determine a respectiva função de transferência.



Figura E12.4


Simulador da Resposta em Frequência de Circuitos

Simulador da Resposta em
Frequência de Circuitos

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/applets/rlcrf/rlcrf.htm06-06-2005 12:37:00

11.1 Fasor e Impedância


11.1.1 Números Complexos e Sinais Sinusoidais

Os números complexos podem ser representados em dois formatos básicos (Figura 11.1): no formato
rectangular

P = a + jb (11.1)

em que a e b definem as coordenadas rectangulares do ponto no plano, e no formato polar

P = P∠ θ (11.2)

cuja representação em notação exponencial é

jθ (11.3)
P = Pe

e em que P eθ definem, respectivamente, o módulo e o ângulo com a horizontal do segmento que une o
ponto com a origem. A conversão entre estes dois formatos baseia-se nas regras

Figura 11.1 Representação de um número complexo nos formatos rectangular (a) e polar (b)

(11.4)

e

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_11/fasorimp.htm (1 of 9)06-06-2005 12:37:05


(11.5)

Os sinais sinusoidais são caracterizados por uma amplitude, uma frequência angular e uma fase na origem.
Por exemplo, o sinal

v(t) = Vcos(ωt+θ) (11.6)

define uma tensão eléctrica sinusoidal de amplitude máxima V, frequência angular ω e fase na origem θ.
Por outro lado, as funções cos(x) e sin(x) podem ser expressas em notação exponencial

(11.7)

e

(11.8)

respectivamente, podendo as exponenciais complexas expressar-se nas formas

(11.9)

e

(11.10)

Uma notação alternativa para as funções cos(x) e sin(x) consiste na utilização dos operadores Real de e
Imaginário de. Neste caso,

(11.11)

e



(11.12)

Os operadores Real de e Imaginário de gozam das seguintes propriedades:

(11.13)

relativamente ao operador derivada, e

(11.14)

relativamente ao operador adição.

Admita-se então que se pretende derivar o resultado da soma de duas funções sinusoidais, por exemplo

(11.15)

Recorrendo à notação estabelecida anteriormente, e sabendo que sin(x)=cos(x-π/2), obtém-se

(11.16)

que após aplicação sucessiva das propriedades enunciadas em (11.13) e (11.14) se simplifica para

(11.17)

ou seja,

(11.18)

ou ainda



(11.19)

como seria de esperar por resolução directa de (11.15). De acordo com este resultado, o tratamento de uma
equação com funções sinusoidais pode ser efectuada recorrendo à função exponencial complexa, bastando
para tal aplicar o seguinte procedimento:

(i) escreve-se a equação com base apenas na função cos(x);

j
(ii) converte-se a equação para a notação exponencial, efectuando a conversão cos(x) → e
(x);

(iii) trata-se a equação na notação exponencial;

(iv) converte-se o resultado da notação exponencial à forma inicial, através do operador
Real de.

11.1.2 Fasor

Considere-se a função exponencial complexa

(11.20)

em conjunto com a sua representação no plano complexo (Figura 11.2.a). Nos instantes t=t a exponencial
i
complexa vale

(11.21)

valores que se repetem com uma periodicidade T=2π/ω. A periodicidade da função em (11.20) indica que o
segmento que une o centro do plano complexo aos pontos sobre a circunferência de raio A roda com uma
velocidade angular de ω rad/s. No entanto, se se considerar um novo referencial que roda no sentido anti-
horário com uma velocidade angular ω, então nesse plano obtém-se (Figura 11.2.b)

(11.22)

grandeza que é complexa, designada por fasor e representada pelas formas

(11.23)



ou

(11.24)

Figura 11.2 Conceito de fasor

A importância da notação fasorial na análise do regime forçado sinusoidal deve-se ao facto de nos circuitos
lineares excitados por fontes sinusoidais as tensões e as correntes em todos os nós e componentes do
circuito serem também sinusoidais e com a mesma frequência angular. As metodologias de análise e de
representação das grandezas podem, portanto, ser abreviadas, de modo a conterem apenas a informação
relativa à amplitude e à fase na origem, relegando para segundo plano aquela relativa à frequência angular
(e ao tempo) que, como se disse, é comum a todo o circuito. No entanto, a informação relativa à dinâmica
temporal pode sempre ser recuperada, por exemplo através da sequência de operações

(11.25)

11.1.3 Impedância Eléctrica

Considere-se a resistência representada na Figura 11.3.a, em conjunto com a Lei de Ohm correspondente

(11.26)

e admita-se que a corrente é sinusoidal, i(t)=Icos(ωt+θ). De acordo com (11.26), a tensão aos terminais da
resistência é também sinusoidal

(11.27)

e apresenta uma fase na origem idêntica à da corrente. A representação da Lei de Ohm em notação



exponencial

(11.28)

permite escrever a relação fasorial

(11.29)

Figura 11.3 Impedância eléctrica da resistência

a qual, basicamente, indica que os fasores da corrente e da tensão na resistência se encontram relacionados
pelo parâmetro resistência eléctrica. Como se indica na Figura 11.3.b, e dada a natureza real do parâmetro
R, os fasores da tensão e da corrente na resistência encontram-se em fase. Designa--se por impedância
eléctrica da resistência o cociente entre os fasores da tensão e da corrente (Figura 11.3.c)

Ω, ohm (11.30)

Considere-se agora o condensador representado na Figura 11.4, cuja característica tensão-corrente é
expressa pela derivada

(11.31)

e admita-se ainda que a tensão aplicada é sinusoidal, v(t)=Vcos(ωt+θ). Neste caso, a representação em
notação exponencial



(11.32)

permite escrever a relação fasorial entre a tensão e a corrente

(11.33)

a qual indica que no condensador o fasor da corrente se encontra avançado de π/2 radianos relativamente ao
fasor da tensão (Figura 11.4.b). A impedância eléctrica do condensador é um número imaginário puro
(Figura 11.4.b)

Ω, ohm (11.34)

cujo módulo é inversamente proporcional à frequência angular da sinusóide sob análise.

Figura 11.4 Impedância eléctrica do condensador

Por analogia com os resultados anteriores, verifica-se que a característica tensão-corrente da bobina (Figura
11.5)

(11.35)

conduz à relação fasorial



(11.36)

de onde se obtém a expressão da impedância eléctrica

Ω, ohm (11.37)

A relação (11.37) indica que o fasor da tensão na bobina se encontra avançada de π/2 radianos
relativamente à corrente.

Figura 11.5 Impedância eléctrica da bobina

Considere-se o circuito RL representado na Figura 11.6.a e admita-se que a tensão aplicada é sinusoidal.
Neste caso,

(11.38)

isto é,

(11.39)

e a impedância do conjunto é

(11.40)



A impedância eléctrica de um componente ou de um conjunto de componentes é um número complexo cuja
representação no formato polar é

(Figuras 11.6.b), em que Z e ϕ representam o módulo e a fase, respectivamente, ao passo que no formato
rectangular é

(Figura 11.6.c), em que R e X representam, respectivamente, as partes real e imaginária (esta última é
vulgarmente designada por reatância). O inverso da impedância designa-se por admitância eléctrica, cuja
unidade é o siemens (S).

Figura 11.6 Circuito RL (a) e representação em coordenadas rectangulares (b) e polares (c) da impedância
eléctrica

Na Tabela 11.1 resumem-se as características tensão-corrente no domínio do tempo, as relações fasoriais,
as impedâncias e as admitâncias eléctricas dos componentes resistência, condensador e bobina.

DOMÍNIO NOTAÇÃO IMPEDÂNCIA ADMITÂNCIA
COMPONENTE
TEMPO FASORIAL (Ω) (S)
resistência v(t)=Ri(t) V=RI R G

condensador I=jωCV jωC

bobina V=jωLI jωL

Tabela 11.1 Resistência, condensador e bobina


11.2 Leis de Kirchhoff em Notação Fasorial


A validade das Leis de Kirchhoff estende-se à análise em notação fasorial do regime forçado sinusoidal. Por
exemplo, o somatório dos fasores de tensão ao longo de um caminho fechado satisfaz a igualdade (Figura 11.7.
a)

(11.41)

o mesmo se verificando com o somatório dos fasores das correntes incidentes num qualquer nó de um circuito
(Figura 11.7.b)

(11.42)

A aplicação conjunta das Leis de Kirchhoff e das relações fasoriais da resistência, do condensador e da
bobina, permitem obter para as impedâncias exactamente as mesmas regras de associação em série e em
paralelo estabelecidas no Capítulo 4, no âmbito dos circuitos resistivos puros. Por exemplo, no circuito da
Figura 11.7.a verifica-se que

Figura 11.7 Leis de Kirchhoff em notação fasorial

(11.43)

ou seja,

(11.44)

igualdade na qual se inscreve a expressão da associação em série de impedâncias

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_11/lekinofa.htm (1 of 3)06-06-2005 12:37:07


(11.45)

Por outro lado, a aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes ao circuito da Figura 11.7.b permite obter
sucessivamente

(11.46)

e

(11.47)

igualdades nas quais se inscreve a expressão da associação em paralelo de admitâncias

(11.48)

ou seja,

(11.49)

Pode ainda demonstrar-se que as regras dos divisores de tensão e de corrente, estudados no Capítulo 4, são
transponíveis para a análise fasorial do regime forçado sinusoidal. Por exemplo, e referindo aos dois circuitos
representados em 11.8, verifica-se que

(11.50)

no caso do divisor de tensão em (a), e

(11.51)

no caso do divisor de corrente em (b).



Figura 11.8 Divisores de tensão (a) e de corrente (b) em notação fasorial


11.3 Métodos de Análise em Notação Fasorial


Os métodos de análise de circuitos são generalizáveis à análise fasorial do regime forçado sinusoidal. Os
procedimentos de aplicação dos métodos dos nós e das malhas coincidem na forma com aqueles
estabelecidos no Capítulo 5. São válidas todas as considerações relativas à construção da matriz do circuito
e dos vectores coluna das variáveis e das fontes independentes, para além, naturalmente, dos diversos casos
particulares que permitem identificar a priori o número de equações linearmente independentes e a
dimensão da relação matricial a resolver. Em vez de repetir os dois métodos alternativos, e naturalmente
todos os seus casos particulares, optou-se por desenvolver dois exemplos de aplicação cuja resolução ilustra
as diferenças existentes na parte numérica da obtenção dos resultados.

Considere-se então o circuito representado na Figura 11.9, com duas fontes de tensão sinusoidais de igual
frequência angular, V 1 e V 2, e três impedâncias, Z1, Z2 e Z3, todas elas especificadas no formato polar.
s s
Pretende-se determinar o fasor da corrente na impedância Z1, no sentido indicado na figura.

Figura 11.9 Método das malhas em notação fasorial (as fases estão especificadas em grau)

De acordo com o procedimento estabelecido no Capítulo 5, a aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões às
malhas-1 e -2 permite escrever a relação matricial

(11.52)

cujas variáveis são os fasores das correntes nas malhas-1 e -2. A aplicação da regra de Cramer permite
obter a expressão do fasor da corrente I1

(11.53)

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_11/meannofa.htm (1 of 3)06-06-2005 12:37:08


a qual, por substituição dos valores indicados na Figura 11.9, conduz ao valor (a fase é especificada em
radianos)

I1 = 49.2 ∠ 0.098 mA (11.54)

ou seja

i1(t) = 49.2 cos(ωt+0.098) mA (11.55)

Considere-se agora o circuito representado na Figura 11.10, no qual se indicam os valores da capacidade,
da indutância, das resistências e da frequência angular da sinusóide imposta pela fonte de corrente.
Pretende-se determinar o fasor da tensão V 1 aos terminais do condensador.
C

A aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes aos nós-1 e -2 do circuito permite escrever a relação matricial

(11.56)

cujas variáveis são os fasores das tensões nos nós-1 e -2. A aplicação da regra de Cramer permite obter a
expressão do fasor da tensão V1

(11.57)

cuja solução numérica é

V1=1 ∠ -0.927 (11.58)

No domínio do tempo, a tensão aos terminais do condensador toma então a forma

v1(t)= cos(10000t-0.927) (11.59)



Figura 11.10 Método dos nós em notação fasorial


11.4 Teoremas Básicos em Notação Fasorial


11.4.1 Transformação de Fonte

Uma fonte de tensão sinusoidal não ideal, expressa por um fasor de tensão (V ) e por uma impedância (Z ), pode
s s
ser transformada numa fonte de corrente sinusoidal por aplicação da transformação

(11.60)

e

(11.61)

Figura 11.11 Transformação de fonte em notação fasorial

Na Figura 11.12 representam-se alguns exemplos de fontes às quais se aplicou o teorema da transformação de
fonte.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_11/tebanofa.htm (1 of 10)06-06-2005 12:37:11


Figura 11.12 Transformação de fonte em notação fasorial

Por exemplo, no caso (b) verifica-se que

(11.62)

e que

(11.63)

em que θ representa a fase na origem da fonte de tensão e ϕ o ângulo do número complexo representativo da
s s
impedância da fonte.

11.4.2 Teorema de Thévenin e Equivalente de Norton

A metodologia de cálculo dos equivalentes de Thévenin e de Norton fasoriais baseia-se num conjunto de
procedimentos em tudo semelhantes aos estabelecidos no Capítulo 6, para os circuitos resistivos puros. Na
Figura 11.13 apresentam-se diversos circuitos que exemplificam a metodologia de cálculo dos equivalentes de



Thévenin e de Norton em notação fasorial.



Figura 11.13 Equivalentes de Thévenin e de Norton em notação fasorial

No circuito da Figura 11.13.a, o fasor da tensão de Thévenin coincide com a tensão em aberto medida entre os
terminais a-b,

(11.64)

ao passo que a impedância de Thévenin é expressa por

(11.65)

No caso de 11.13.b, a fonte de corrente de Norton é

(11.66)

e a impedância

(11.67)

Finalmente, nos circuitos de 11.13.c e 11.13.d obtêm-se, respectivamente, os equivalentes de Thévenin

(11.68)

(11.69)

e

(11.70)

11.4.3 Teorema da Sobreposição das Fontes

A generalização do teorema da sobreposição das fontes à análise fasorial do regime forçado sinusoidal - ou seja,



a adição dos fasores associados a fontes sinusoidais distintas - só pode efectuar-se nos casos em que se verifique
uma mesma frequência angular. Na Figura 11.14 visualiza-se a causa desta limitação da aplicação do teorema
da sobreposição das fontes: os fasores associados a frequências angulares distintas reportam-se a planos
complexos distintos, em particular devido à diferente velocidade angular com que cada plano é suposto girar.
Por outro lado, frequências angulares distintas conduzem a valores também distintos para as impedâncias dos
elementos condensador e bobina, devendo as contribuições de cada uma das fontes reportar-se aos seus
parâmetros próprios.

Figura 11.14 Fasores de sinais sinusoidais com frequências angulares distintas

Considere-se então o circuito representado na Figura 11.15.a e admita-se que as duas fontes independentes
sinusoidais se caracterizam pela mesma frequência angular.



Figura 11.15 Teorema da sobreposição das fontes (fontes sinusoidais com idêntica frequência angular)

De acordo com o teorema da sobreposição das fontes (em notação fasorial), o fasor da tensão V2 é expresso pelo
somatório

(11.71)

em que (Figura 11.15.b)

(11.72)

e (Figura 11.15.c)

(11.73)

ou seja,

(11.74)

O fasor em (11.74) corresponde à expressão no domínio do tempo

(11.75)

Considere-se agora o circuito da Figura 11.16.a e admita-se que as duas fontes de sinal são sinusoidais, mas
apresentam frequências angulares distintas, ω1≠ ω2.



Figura 11.16 Teorema da sobreposição das fontes (fontes sinusoidais com frequências angulares distintas)

As consequências desta diferença são basicamente duas:

(i) as impedâncias dos componentes do circuito diferem consoante a fonte considerada;

(ii) os fasores relativos a cada uma das fontes não podem ser adicionados entre si, sendo
necessário convertê-los primeiramente para o domínio do tempo.

Assim, no caso da fonte Vs (Figura 11.16.b) o fasor da tensão V2 é

(11.76)

subjacente ao qual se encontra a frequência ω1=1000 rad/s, ao passo que no caso da fonte I (Figura 11.16.c) o
s
fasor é

(11.77)



em que ω2=10000 rad/s. No domínio do tempo a tensão v2(t) é expressa por

(11.78)

um resultado distinto daquele obtido em (11.75).

11.4.4 Teorema de Millman

A generalização do teorema de Millman é consequência da validade da transformação de fonte no regime
forçado sinusoidal. Como a Figura 11.17 indica visualmente, a aplicação sucessiva da transformação de fonte
permite associar e simplificar tanto a associação em paralelo de fontes de tensão não ideais, como a associação
em série de fontes de corrente. A informação contida nas figuras é suficiente para constatar a igualdade na
forma entre o teorema de Millman em notação fasorial e no domínio do tempo.



Figura 11.17 Teorema de Millman

11.4.5 Teorema de Miller

Considere-se o circuito da Figura 11.18, relativamente ao qual se pretende determinar a impedância equivalente
à direita dos terminais a-b.

Figura 11.18 Teorema de Miller



A particularidade deste circuito consiste no facto de a impedância Z se encontrar ligada a dois terminais entre os
quais existe uma relação de ganho, conseguido pela fonte dependente -aV . A aplicação da Lei de Kirchhoff das
x
tensões à única malha do circuito permite escrever a igualdade

(11.79)

na qual se inscreve a impedância à direita dos terminais a-b

(11.80)

A relação (11.80) indica que a impedância Z é dividida pelo factor (1+a), indicativo da tensão que na realidade
se encontra aplicada aos terminais.

Um resultado de particular interesse inscrito na relação (11.80) é o designado efeito de Miller sobre a
capacidade dos condensadores. Como se indica na Figura 11.19, nos casos em que a impedância Z é definida
por um condensador, Z=(jωC)-1, o valor aparente da capacidade é amplificado de um factor (1+a)

(11.81)

O efeito de Miller é amplamente utilizado na compensação da resposta em frequência de amplificadores
operacionais e na redução do efeito de injecção do sinal de relógio em circuitos amostradores-retentores de sinal.

Figura 11.19 Efeito de Miller sobre a capacidade de um condensador


11.5 Potência

11.5 Potência

11.5.1 Potência nos Elementos R, C e L

Considere-se o circuito representado na Figura 11.20 e admita-se que o fasor da fonte de tensão é V =V∠ 0.
s

Figura 11.20 Potência dissipada numa resistência no regime forçado sinusoidal

Dada a natureza real da resistência, o fasor da corrente no circuito encontra-se em fase com o da tensão

(11.82)

Em valores instantâneos,

(11.83)

e

(11.84)

que em conjunto conduzem à expressão da potência instantânea

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_11/potencia.htm (1 of 9)06-06-2005 12:37:14

11.5 Potência

(11.85)

Uma vez que a potência instantânea é periódica no tempo, e em particular com período duplo daqueles
característicos da corrente e da tensão (Figura 11.21.b), o valor médio respectivo é dado pelo integral

(11.86)

ou seja,

(11.87)

ou ainda

(11.88)

A potência média dissipada numa resistência pode ainda ser expressa em função do valor eficaz da tensão ou
da corrente (também designado valor rms, do inglês root mean square)

(11.89)

valor que no caso dos sinais sinusoidais é dado por

(11.90)

Considere-se agora o circuito da Figura 11.21, cujos fasores da tensão e da corrente se encontram desfasados
de π/2 radianos,

(11.91)


11.5 Potência

ou seja,

(11.92)

e

(11.93)

respectivamente. A potência instantânea fornecida ao condensador (Figura 11.21.b) é expressa pelo produto

(11.94)

cujo valor médio no tempo é nulo,

(11.95)

O resultado em (11.105) indica que o condensador não dissipa energia eléctrica, pelo contrário é um elemento
capaz de armazenar e restituir energia à fonte de alimentação. É facilmente demonstrável que a potência média
dissipada numa bobina é identicamente nula.

Figura 11.21 Potência acumulada num condensador no regime forçado sinusoidal

11.5.2 Potência nos Circuitos RC e RL

Considere-se o circuito RC da Figura 11.22, relativamente ao qual se pretende determinar as potências
instantânea e média fornecida pela fonte.


11.5 Potência

Figura 11.22 Potência dissipada num circuito RC

De acordo com a metodologia estabelecida anteriormente, o fasor da corrente no circuito é expresso pelo
cociente

(11.96)

em que ϕ=artg(-1/ωRC). As expressões da tensão e da corrente no domínio do tempo são, respectivamente,

(11.97)

e

(11.98)

A potência instantânea fornecida ao circuito pela fonte é expressa pelo produto

(11.99)

ou ainda


11.5 Potência

(11.100)

cujo valor médio no tempo é

(11.101)

ou

(11.102)

ou ainda

(11.103)

em que Z define o módulo da impedância do conjunto RC. Observando o triângulo das impedâncias da Figura
11.22.b verifica-se que

(11.104)

isto é, que a potência fornecida pela fonte ao circuito coincide na íntegra com aquela dissipada na resistência

(11.105)

O resultado expresso por (11.105) concorda com a conclusão obtida anteriormente para as potências médias
dissipadas pelos elementos resistência e condensador. A potência fornecida pela fonte é, assim, composta por
duas parcelas:

(i) uma parcela relativa à energia dissipada por efeito de Joule na resistência, que constitui um
processo irreversível;


11.5 Potência

(ii) e outra parcela, alternadamente acumulada e restituída pelo condensador à fonte. Estas
trocas de energia contribuem apenas para aumentar a amplitude máxima da corrente no circuito.

Pode facilmente demonstrar-se que a potência fornecida por uma fonte a um circuito RL coincide com aquela
estabelecida em (11.105).

11.5.3 Potências Activa, Reactiva e Aparente

Considere-se o circuito representado em 11.23.a, constituído por uma fonte de tensão sinusoidal e uma
impedância Z=R+jX (Figuras 11.23 a e b).

Figura 11.23 Potências aparente, activa e reactiva

Admita-se ainda que a parte imaginária da impedância é positiva (hipótese que equivale a considerar a carga
como um circuito RL), que o fasor da tensão aplicada é

(11.106)

e que, portanto, o fasor da corrente no circuito é (Figura 11.23.c)


11.5 Potência

(11.107)

O produto

VA, volt-ampere (11.108)

define a potência aparentemente fornecida ao circuito pela fonte, potência que inclui seja a fracção dissipada
na parte resistiva da impedância, seja a parte trocada com a parte imaginária. Por outro lado, designa-se por
potência reactiva o produto

VAr, volt-ampere reactivo (11.109)

que representa a potência alternadamente trocada entre a fonte de tensão e o elemento acumulador de energia.
As potências aparente, reactiva e activa (activa no sentido de potência dissipada por efeito de Joule sobre as
resistências) definem o triângulo das potências representado na Figura 11.23.d. As potências activa e reactiva
definem os catetos do triângulo, em direcções perpendiculares entre si, ao passo que a hipotenusa do mesmo
define a potência aparente. O cociente entre a potência dissipada por efeito de Joule e a potência aparente

(11.110)

é designado por factor de potência da carga e constitui uma medida da eficácia com que a potência é
transferida da fonte para a carga. Quando o factor de potência é inferior à unidade, a corrente no circuito
encontra-se acima do valor estritamente necessário para transferir a potência que na realidade se transfere,
ocorrendo perdas de energia desnecessárias por efeito de Joule sobre as linhas de distribuição.

A correcção do factor de potência é uma das tarefas que mais preocupa as companhias distribuidoras de
energia eléctrica. Com efeito, os consumidores de energia eléctrica, sejam eles os motores das fábricas, os
electrodomésticos nas casas etc., conduzem em geral a impedâncias com carácter indutivo, isto é, a cargas cuja
parte imaginária é positiva. Nestes casos, o factor de potência pode ser aumentado introduzindo, em paralelo
com a carga, um condensador de compensação, conduzindo assim à redução da parte reactiva da potência.

11.5.4 Teorema da Máxima Transferência de Potência

No âmbito dos circuitos resistivos puros, constatou-se que a máxima transferência de potência entre uma fonte
e uma carga ocorre quando estas se encontram adaptadas, isto é, quando a carga e a resistência de saída da
fonte apresentam valores idênticos. Este teorema pode ser generalizado ao âmbito da análise fasorial do


11.5 Potência

regime forçado sinusoidal, concluindo-se neste caso que a máxima transferência de potência ocorre quando as
impedâncias da fonte e da carga são complexas conjugadas.

Considere-se então o circuito representado na Figura 11.24, constituído por uma fonte de tensão sinusoidal
com impedância de saída Z =R +jX , e por uma carga complexa, Z=R+jX.
s s s

Figura 11.24 Teorema da máxima transferência de potência

O fasor da corrente no circuito é dado pelo cociente

(11.111)

cujo módulo é

(11.112)

De acordo com os resultados obtidos na secção anterior, o valor médio da potência activa (de Joule)
efectivamente dissipada pela carga é

(11.113)

Independentemente das partes resistivas da impedância de saída da fonte e da carga, R e R respectivamente,
s
ambas positivas, o máximo da transferência de potência ocorre certamente quando

(11.114)

dado que estas podem ser positivas (as bobinas) ou negativas (os condensadores). Neste caso, a expressão da
potência média em (11.113) simplifica-se para


11.5 Potência

(11.115)

expressão que coincide na forma com aquela obtida anteriormente no âmbito da análise dos circuitos resistivos
puros. A determinação do máximo de (11.115) conduz então ao resultado

(11.116)

o qual, em conjunto com (11.114), permite escrever a condição de máxima transferência de potência

(11.117)

Na Figura 11.25 ilustra-se o significado prático da adaptação de impedâncias entre fonte e carga: a igualdade
X=-X equivale a cancelar a parte reactiva do conjunto de impedâncias formado pela fonte e pela carga, ou
s
seja, a reconduzir o circuito à forma encontrada na análise das redes resistivas puras (Figura 11.25.b).
Convém, no entanto, salientar o facto de a adaptação de impedâncias se verificar apenas para uma frequência
angular bem definida. Significa isto que a escolha da impedância de carga deve ser feita em função da
frequência para a qual se pretende maximizar a transferência de potência.

Figura 11.25 Adaptação de impedâncias


Sumário

Sumário

O regime forçado sinusoidal estuda as relações existentes entre as amplitudes e as fases das variáveis tensão
e corrente eléctrica nos circuitos excitados exclusivamente por fontes sinusoidais.

O fasor é uma entidade complexa que compila a informação relativa à amplitude e à fase na origem de uma
sinusóide de tensão ou corrente, ao passo que a impedância eléctrica é o número complexo resultante do
cociente entre os fasores de tensão e corrente num componente. Os elementos resistência, condensador e
bobina apresentam impedâncias dadas por R, jωL e 1/jωC, respectivamente, sendo nos dois últimos casos
uma função da frequência angular sob análise.

As Leis de Kirchhoff das tensões e das correntes, as regras de associação série e paralelo de impedâncias e
as regras dos divisores de tensão e de corrente são generalizáveis à análise fasorial do regime forçado
sinusoidal. O mesmo sucede com os métodos das malhas e dos nós, e os teoremas da transformação de
fonte, de Thévenin, de Norton, da sobreposição das fontes, de Millman e de Miller.

Apenas a resistência é responsável pela dissipação de energia (o efeito de Joule). Os elementos
condensador e bobina acumulam e restituem energia às fontes.

A máxima transferência de potência entre uma fonte e uma carga complexa ocorre quando a carga e a
impedância de saída da fonte são complexas conjugadas. Esta situação é designada por adaptação de
impedâncias.




*11.1 Admitindo que a relação entre a corrente e a tensão num componente é dada por:

(a) v(t)= 10 cos(10000t) e i(t)= 0.01 cos(10000t);

(b) v(t)= 10 cos(10000t+π/2) e i(t)= 0.01 cos(10000t);

(c) v(t)= 10 cos(10000t+π/2) e i(t)= 0.01 cos(10000t+π).

Indique qual o tipo de elemento em questão.

*11.2 Considere as seguintes expressões das tensões eléctricas v1(t) e v2(t) aos terminais de dois elementos de
um circuito:

(a) v1(t)=10cos(10000t) e v2(t)=10cos(10000t+π/2);

(b) v1(t)=10cos(t+π/3) e v2(t)=10cos(t+π/2).

Em cada um dos casos determine a expressão da tensão v(t)=v1(t)+v2(t), recorrendo à notação fasorial.

*11.3 Efectue os seguintes cálculos:

(a) (b)

*11.4 Determine o valor do módulo, da fase, da parte real e da parte imaginária das impedâncias e admitâncias
representadas na Figura E11.4. Em qualquer dos casos, considere uma frequência f=1000 Hz.

Figura E11.4



11.5 Considere o circuito representado na Figura E11.5. Determine os valores numéricos dos seguintes fasores e
impedâncias:

(a) a impedância vista à direita dos terminais da fonte;

(b) o fasor da corrente fornecida pela fonte de tensão.

Figura E11.5

*11.6 Considere o circuito representado na Figura E11.6. Por aplicação do método dos nós, determine o fasor da
tensão aos terminais do condensador. Estabeleça também a expressão da tensão no domínio do tempo.

Figura E11.6

*11.7 Considere o circuito representado na Figura E11.7. Determine a expressão da corrente i(t) na resistência R.

Figura E11.7

11.8 Considere os circuitos representados na Figura 11.8. Por aplicação do método dos nós ou das malhas,
obtenha a relação matricial relativa às tensões e às correntes nos diversos nós e elementos do circuito.



Figura E11.8



*11.9 Determine os equivalentes de Thévenin e Norton dos circuitos representados na Figura E11.9.

Figura E11.9

*11.10 Por aplicação do teorema da sobreposição das fontes, determine a expressão da tensão v (t) indicada no
o
circuito representado na Figura E11.10. Admita que:

(a) ω1=ω2=1000 rad/s;

(b) ω1=1000 rad/s e ω2=500 rad/s.

Figura E11.10



11.11 Considere os circuitos representados na Fig.E.11.11. Determine o valor da indutância (L) e da resistência
(R) para as quais se verifica a máxima transferência de potência entre a fonte e a carga RL.

Figura E11.11

11.12 Considere o circuito representado na Figura E11.12. Determine:

(a) a potência instantânea transferida para cada elemento;

(b) a potência média dissipada por cada elemento;

(c) a potência activa, aparente e reactiva fornecida pela fonte.

Figura E11.12

Desenhe o respectivo triângulo das potências.


10.1 Topologias Básicas


Um circuito é de 2.ª ordem quando contém dois elementos armazenadores de energia irredutíveis entre si
(dois condensadores, duas bobinas ou um condensador e uma bobina). Dois elementos são irredutíveis entre
si quando se não podem associar ou em série ou em paralelo. Na Figura 10.1 apresentam-se alguns circuitos
com múltiplos condensadores e bobinas, uns de 1.ª e outros de 2.ª ordem. Por exemplo, apesar de os
circuitos energia, as dinâmicas RC e RL representados nas Figuras 10.1.b e 10.1.c conterem múltiplos
elementos armazenadores de respectivas são ainda governadas por equações diferenciais de 1ª ordem. Pelo
contrário, os circuitos representados nas Figuras.10.1.d, 10.1.e, 10.1.f e 10.1.g são todos de 2.ª ordem, uns
porque são constituídos por um condensador e uma bobina, e outros porque são constituídos por
condensadores ou bobinas irredutíveis entre si por associação em série ou em paralelo.

Figura 10.1 Circuitos de 1.ª e de 2.ª ordem

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_10/topobasi.htm (1 of 2)06-06-2005 12:37:17


Independentemente da complexidade aparente da sua topologia, qualquer circuito RC, RL ou RLC de 2.ª
ordem pode sempre ser redesenhado numa das três configurações básicas ilustradas na Figura 10.2. O bloco
central define um subcircuito constituído unicamente por resistências e fontes de tensão ou de corrente,
bloco que se encontra ligado nos seus dois portos de acesso a dois elementos armazenadores de energia. A
representação de um circuito nesta forma permite simplificar a formulação das equações diferenciais que
governam a dinâmica temporal respectiva, vantagem que adiante se verá ser particularmente notória na
aplicação do método das variáveis de estado. A título de exemplo, na Figura 10.3 redesenham-se os
esquemas eléctricos dos quatro circuitos de 2.ª ordem representados na Figura 10.1.

Figura 10.2 Circuito RC (a), RL (b) e RLC (c) de 2.ª ordem

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_10/topobasi.htm (2 of 2)06-06-2005 12:37:17

10.2 Formulação das Equações


Existem duas alternativas para a representação das equações que governam o funcionamento de um circuito de 2.ª
ordem:

(i) representação na forma de uma equação diferencial linear escalar de 2.ª ordem

(10.1)

2
em que α e ω são duas constantes designadas por coeficiente de amortecimento e frequência
o
angular de oscilação, f(t) representa o termo forçado pelas fontes independentes do circuito e x(t)
define a variável (tensão ou corrente) cuja dinâmica se pretende estabelecer;

(ii) representação na forma de um sistema de equações diferenciais de 1.ª ordem,

(10.2)

designadas no conjunto por equações de estado do circuito. Neste caso, x1(t) e x2(t) representam as
variáveis associadas à energia nos elementos condensador e bobina, respectivamente a tensão e a
corrente, f1(t) e f2(t) constituem o vector dos termos forçados pelas fontes independentes no
circuito e, finalmente, a matriz A representa a topologia do circuito considerado. A forma (10.2)
transporta consigo o potencial da simulação numérica da dinâmica temporal de um circuito.

As equações (10.1) e (10.2) podem ser obtidas por intermédio de três métodos alternativos: o método da
substituição, o método do operador-s e o método das variáveis de estado. De seguida exemplifica-se a aplicação
de cada um destes métodos alternativos a diversos circuitos de 2ª ordem.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_10/formequa.htm (1 of 13)06-06-2005 12:37:22


Figura 10.3 Representações simplificadas de quatro circuitos de 2.ª ordem

10.2.1 Método da Substituição

O método da substituição é geralmente utilizado na análise de circuitos de reduzida complexidade. Dois exemplos
de circuitos deste tipo são as redes representadas na Figura 10.4.



Figura 10.4 Aplicação do método da substituição

Considere-se então o circuito RLC-série sem fontes independentes representado na Figura 10.4.a. A aplicação da
Lei de Kirchhoff das tensões à malha do circuito permite escrever a igualdade

v (t) + v (t) + v (t) = 0 (10.3)
R L C

a qual, em conjunto com as características tensão-corrente dos componentes, se pode reescrever como

(10.4)

em que i(t) e v (t) definem, respectivamente, a corrente na bobina (e no condensador) e a tensão no condensador.
C
No entanto, por substituição da característica tensão-corrente do condensador, i(t)=Cdv (t)/dt, obtém-se
C

(10.5)

ou ainda

(10.6)

Caso o objectivo da análise consistisse na determinação da equação diferencial que governa a corrente na bobina,
i (t), então a passagem entre as equações (10.4) e (10.5) deveria ter sido efectuada recorrendo à característica
L
inversa do condensador,

(10.7)



isto é, através da escrita de (10.4) na forma (i =i =i)
L C

(10.8)

Neste caso, a aplicação do operador derivada às partes esquerda e direita da igualdade (10.8)

(10.9)

conduz à equação diferencial de 2.ª ordem

(10.10)

cuja forma é idêntica àquela estabelecida anteriormente para a tensão aos terminais do condensador.

De acordo com o exemplo anterior, podem identificar-se neste método os seguintes passos:

(i) obtenção de uma equação que contém as variáveis relativas aos dois elementos armazenadores
de energia, designadamente a tensão aos terminais do condensador e a corrente na bobina;

(ii) substituição da variável não desejada, neste caso recorrendo às características tensão-corrente
do condensador ou da bobina;

(iii) quando necessário, derivação de ambos os termos da equação diferencial de modo a obter uma
equação diferencial de 2.ª ordem.

Considere-se agora o circuito RLC-paralelo representado na Figura 10.4.b e admita-se que se pretende determinar
a equação diferencial que governa a tensão aos terminais do condensador, v (t). A aplicação da Lei de Kirchhoff
C
das correntes ao nó-X permite escrever a igualdade

(10.11)

ou seja,

(10.12)



Neste caso, a substituição da característica tensão-corrente da bobina

(10.13)

permite rescrever (10.12) na forma

(10.14)

que, após derivação, conduz à equação diferencial de 2.ª ordem

(10.15)

10.2.2 Método do Operador-s

O método do operador-s pode ser aplicado a dois níveis essencialmente distintos: ao nível do sistema de equações
resultante da aplicação do método dos nós ou das malhas, ou directamente ao nível das características tensão-
corrente dos elementos condensador e bobina.

Considere-se o circuito RLC representado na Figura 10.5.a, relativamente ao qual se pretende determinar a
equação diferencial que governa a tensão aos terminais do condensador, v (t).
C

Figura 10.5 Aplicação do método do operador-s

A análise deste circuito pode ser feita com base no método das malhas, útil por exemplo para determinar as
correntes no condensador e na bobina, ou por intermédio do método dos nós (Figura 10.5.b). Neste último caso, a
aplicação sucessiva da Lei de Kirchhoff das correntes aos nós-1 e -2 do circuito permite escrever as igualdades



(10.16)

que, por substituição das relações v1(t)=v (t)=Ldi (t)/dt e v2(t)=v (t), conduzem ao sistema de duas equações
L L C
diferenciais de 1.ª ordem

(10.17)

O método do operador-s consiste basicamente em substituir o operador derivada por uma variável algébrica

(10.18)

seguido da resolução do sistema de equações e da reconversão da variável algébrica no operador derivada de
acordo com a regra

(10.19)

No caso particular do sistema de equações diferenciais de 1.ª ordem, expresso em (10.17),

(10.20)

cuja representação sob a forma matricial é

(10.21)

A resolução do sistema de equações em ordem à variável v conduz à expressão
C



(10.22)

ou seja,

(10.23)

Assim, a reconversão da variável algébrica no operador derivada conduz à equação diferencial de 2ª ordem

(10.24)

cuja forma canónica é

(10.25)

De acordo com o exemplo anterior, podem identificar-se no método do operador-s os seguintes cinco passos:

(i) obtenção de um sistema de equações diferenciais em função da tensão no condensador, da
corrente na bobina e das respectivas derivadas;

(ii) conversão do operador derivada numa variável algébrica, d/dt→ s;

(iii) resolução do sistema de equações algébricas em ordem à variável desejada;

(iv) rearranjo da expressão na forma xD(s) =N(s), em que x representa a variável desejada;

(v) e, finalmente, reconversão da variável algébrica s no operador derivada de acordo com a regra
k→ k k
s d /dt .

Uma metodologia alternativa à apenas descrita consiste em converter o operador derivada na variável algébrica
directamente ao nível das características tensão-corrente dos elementos condensador e bobina. Com efeito, uma
vez que

(10.26)

e



(10.27)

pode efectuar-se directamente a conversão

(10.28)

e

(10.29)

Como se indica nas Figura 10.6.b e 10.6.c, estas relações são tais que os elementos condensador e bobina podem
ser encarados como ´resistências´ cujo valor é 1/sC e sL, respectivamente, podendo a partir de então ser aplicados
os mesmos métodos de análise considerados durante o estudo dos circuitos resistivos puros (em capítulos
posteriores ver-se-á que estes parâmetros coincidem com as impedâncias dos elementos escritas na forma de
Laplace).

Figura 10.6 Aplicação do método do operador-s

Por exemplo, a aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes aos nós-1 e -2 do circuito representado na Figura 10.6.
c permite escrever o sistema de equações (v2=v )
C



(10.30)

cuja resolução em ordem à variável v2=v conduz à expressão
C

(10.31)

ou ainda

(10.32)

a qual coincide com aquela obtida em (10.22). A obtenção da equação diferencial de 2.ª ordem a partir de (10.32)
baseia-se nos mesmos passos estabelecidos anteriormente.

10.2.3 Método das Variáveis de Estado

O método das variáveis de estado tem como finalidade a obtenção de um sistema de equações diferenciais de 1.ª
ordem, uma por cada condensador e bobina irredutível existente no circuito. As variáveis de estado de um circuito
coincidem com as grandezas associadas à energia armazenada nos condensadores e nas bobinas, respectivamente
a tensão e a corrente eléctricas. Apesar da sua importância para a simulação numérica de circuitos eléctricos, as
equações de estado de um circuito podem sempre ser condensadas numa única equação diferencial, cuja ordem
coincide com o número de equações diferenciais de 1.ª ordem contidas no sistema.

Considere-se o circuito RC de 2.ª ordem representado na Figura 10.7.a, constituído por dois condensadores
irredutíveis entre si.



Figura 10.7 Aplicação do método das equações de estado

As variáveis de estado do circuito são, por definição, as tensões aos terminais dos condensadores C1 e C2,
respectivamente v 1(t) e v 2(t). Apesar de não ser estritamente necessário para a aplicação do método, aconselha-
C C
se sempre o redesenhar do circuito pondo em evidência a ligação dos dois elementos armazenadores de energia a
um diporto constituído unicamente por resistências e fontes de tensão ou de corrente (Figura 10.7.b). Uma vez que
as variáveis de estado são ambas tensões, opta-se por aplicar a Lei de Kirchhoff das correntes aos nós de ligação
dos condensadores ao diporto (nós-1 e -2). No presente caso obtêm-se as duas equações

(10.33)

que, por substituição da característica do condensador, se podem reescrever na

(10.34)

cujas forma canónica e representação sob a forma matricial são



(10.35)

e

(10.36)

respectivamente.

Podem fazer-se as seguintes considerações relativamente à relação matricial (10.36):

(i) as variáveis de estado, , as respectivas derivadas, , as fontes
independentes e a topologia do circuito encontram-se compiladas em vectores e matrizes distintas;

(ii) as derivadas das variáveis de estado, entenda-se o ritmo de variação no tempo das variáveis de
estado, são dadas em cada instante pelo valor actual das próprias variáveis de estado adicionadas
dos efeitos das fontes independentes do circuito.

O ponto (ii) justifica a grande importância dada às equações de estado na simulação numérica em computador de
circuitos eléctricos. Esta formulação indica que se num dado instante de tempo (to) forem conhecidas as condições
iniciais das variáveis de estado do circuito, no presente caso as tensões v (to) e v (to), então as derivadas
C1 C2
expressas pela relação matricial (10.36) permitem calcular numericamente as variáveis de estado num instante de
tempo imediatamente seguinte, t1=to+∆t, através da aproximação

(10.37)

A iteração deste procedimento permite determinar a evolução no tempo das variáveis de estado.

As equações de estado expressas por (10.36) permitem obter uma equação diferencial escalar de 2.ª ordem. Por
exemplo, por conversão do operador derivada (em ordem ao tempo) numa variável algébrica obtém-se



(10.38)

que, após re-arranjo dos seus termos, permite escrever a relação matricial

(10.39)

cuja forma é semelhante àquela obtida por aplicação do método do operador-s. Por exemplo, a resolução deste
sistema de equações em ordem à variável v conduz ao cociente de polinómios na variável-s
C1

(10.40)

ou seja,

(10.41)

que, após reconversão da variável algébrica no operador derivada, conduz à equação diferencial de 2.ª ordem



(10.42)


10.3 Solução Natural


10.3.1 Soluções Naturais Alternativas

A solução de uma equação diferencial com termo forçado nulo

(10.43)

cujo polinómio característico e raízes respectivas são, respectivamente,

(10.44)

e

(10.45)

designa-se por solução natural. Esta estabelece a dinâmica temporal de um circuito excitado unicamente pelas energias armazenadas nos
condensadores e nas bobinas que o constituem.

As raízes em (10.45) podem ser de quatro tipos essencialmente distintos: reais e distintas (α >ωo); reais e iguais (α =ωo); complexas
conjugadas(α <ωo); ou imaginárias puras (α =0).

(a) sobre-amortecida

(b) criticamente amortecida

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_10/solna_10.htm (1 of 9)06-06-2005 12:37:26


(c) sub-amortecida

(d) oscilatória

Figura 10.8 Soluções naturais alternativas

Por conseguinte, a solução natural da equação diferencial pode apresentar uma de quatro formas básicas, a saber (ver Figura 10.8):

(i) sobre-amortecida (α >ωo), assim designada por resultar do somatório de duas exponenciais reais negativas (Figura
10.8.a),

(10.46)

em que , e A1 e A2 são duas constantes a determinar por imposição das condições inicial e de
continuidade;

(ii) criticamente amortecida (α =ωo), neste caso definida pelo produto de uma exponencial real negativa por uma função
linear (Figura 10.8.b),

(10.47)

(iii) sub-amortecida (α <ωo), constituída em particular pelo somatório de duas exponenciais complexas conjugadas
(Figura 10.8.c),

(10.48)

(iv) oscilatória (α=0), dada pelo somatório de duas exponenciais imaginárias puras (Figura 10.8.d),



(10.49)

e à qual correspondem oscilações sinusoidais de frequência ω .
ο

A distinção entre as diversas soluções alternativas pode ser efectuada com base apenas no cociente

(10.50)

designado por factor de qualidade. De acordo com esta definição, as quatro soluções alternativas caracterizam-se pelos seguintes factores
de qualidade:

(i) sobre-amortecida: α >ωο ⇔ 0<Q<0.5;

(ii) criticamente-amortecida: α =ωο ⇔ Q=0.5;

(iii) sub-amortecida: α <ωο ⇔ Q>0.5;

(iv) oscilatória: α=0 ⇔ Q=∞ .

10.3.2 Solução Sobre-amortecida

Considere-se o circuito RLC-série representado na Figura 10.9,

Figura 10.9 Solução natural sobre-amortecida

em conjunto com as equações diferenciais de 2.ª ordem que governam a tensão aos terminais do condensador, v (t), e a corrente na
C
bobina, i (t),
L



(10.51)

e

(10.52)

respectivamente. Admita-se ainda que o factor de qualidade do circuito é inferior a 1/2,

(10.53)

isto é, que as raízes do polinómio característico são reais, negativas e distintas

(10.54)

A dinâmica da tensão aos terminais do condensador tem a forma

(10.55)

cujas constantes A1 e A2 são determinadas por imposição das condições inicial e de continuidade das energias armazenadas no
condensador e na bobina,

(10.56)

ou seja,

(10.57)

Na Figura 10.9 representa-se a solução natural sobre-amortecida de um circuito RLC-série (as duas curvas ilustradas referem-se a valores
distintos do factor de qualidade, admitindo sempre nula a corrente inicial na bobina, i (0)=0).
L

Simulador da Solução Natural de Circuitos RLC-série

10.3.3 Solução Criticamente Amortecida



Considere-se de novo o circuito RLC-série e admita-se que os parâmetros R, L e C são tais que o factor de qualidade do circuito é Q=1/2,
ou seja,

(10.58)

As raízes do polinómio característico são reais, negativas e iguais,

(10.59)

e a tensão aos terminais do condensador é

(10.60)

cujas constantes A1 e A2 verificam as relações

(10.61)

de onde resultam as igualdades

(10.62)

Na Figura 10.10 representa-se a solução natural de um circuito RLC-série criticamente amortecido (as curvas representadas referem-se a

pares distintos de condições iniciais, ).



Figura 10.10 Solução natural criticamente amortecida


10.3.4 Solução Sub-amortecida

A solução natural sub-amortecida caracteriza-se pela relação α <ωo, portanto Q>0.5,

(10.63)

à qual correspondem as raízes complexas conjugadas

(10.64)

Considerando o mesmo circuito RLC-série dos exemplos anteriores, verifica-se então que a tensão aos terminais do condensador é
expressa por

(10.65)

ou, em alternativa,

(10.66)

em que A1 e A2, ou A3 e θ, se obtêm a partir das condições iniciais no condensador e na bobina. Conforme se ilustra na Figura 10.11, a
solução (10.66) apresenta oscilações de frequência angular ω =(ωo2-α2)1/2.
d



Figura 10.11 Solução natural sub-amortecida

As condições inicial e de continuidade da energia armazenada no condensador e na bobina permitem determinar as constantes A1 e A2
em (10.65) ou, em alternativa, as constantes A3 e θ em (10.66). Por exemplo, as constantes A3 e θ obtém-se a partir do sistema de
equações

(10.67)

cuja solução é

(10.68)


10.3.5 Solução Oscilatória

No regime oscilatório as raízes do polinómio característico da equação diferencial são imaginárias puras

(10.69)

verificando-se em particular R=0, α=0 e Q=∞ . A solução é expressa pelo somatório de duas exponenciais complexas

(10.70)

que também se podem escrever na forma

(10.71)

Por exemplo, no caso das constantes A3 e θ, verifica-se que



(10.72)

de onde resultam

(10.73)

Na Figura 10.12 representam-se duas soluções oscilatórias possíveis, correspondentes a condições iniciais distintas.

Figura 10.12 Solução natural oscilatória

A solução oscilatória apresenta diversas particularidades cuja importância convém desde já referir: as oscilações mantêm-se com
amplitude constante ao longo de um intervalo de tempo indefinido, o que permite classificar este circuito como um oscilador sinusoidal;
a energia é trocada entre o condensador e a bobina. Com efeito, se se calcular a corrente na bobina,

(10.74)

verifica-se que a energia armazenada no condensador

(10.75)

e a energia armazenada na bobina



(10.76)

somam um valor constante

(10.77)

Os pontos de máximo da energia armazenada no condensador coincidem com os pontos de mínimo (zero) da energia acumulada na
bobina, e vice-versa.



10.4 Solução Forçada


Os circuitos de 2.ª ordem com fontes independentes são governados por equações diferenciais com termo
forçado

(10.78)

A solução é composta por duas parcelas

(10.79)

em que x (t) e x (t) definem, respectivamente, a solução natural e a solução forçada pelas fontes
n f
independentes. A solução forçada por si só verifica a equação diferencial (10.78) e é independente das
condições inicial e de continuidade. Na Tabela 10.1 indicam-se as soluções forçadas mais comuns na
análise de circuitos eléctricos.

TERMO FORÇADO f(t) SOLUÇÃO FORÇADA xf(t)
K B
Kcos(ωt) B cos(ωt) + B sin(ωt)
c s
-at -at
Ke Be
Kt B2t + B1

Kt2 B3t2 + B2t + B1

Tabela 10.1 Soluções forçadas mais comuns na análise de circuitos eléctricos

10.4.1 Solução Forçada Constante

Considere-se o circuito RLC na Figura 10.13.a e admita-se que a fonte de corrente independente tem a
forma de um degrau com origem em t=0, i (t)=I .u(t). Admita-se ainda que as condições iniciais do circuito
s s
são v (0) e i (0), e que se pretende determinar a expressão da tensão aos terminais do condensador para t>0.
C L

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_10/solfo_10.htm (1 of 7)06-06-2005 12:37:28


Figura 10.13 Regime forçado constante

Considere-se primeiramente o regime natural do circuito, cuja equação diferencial é (Figura 10.13.b)

(10.80)

e em que α, ωo e Q são, respectivamente,

(10.81)

(10.82)

e

(10.83)



A solução natural é neste caso criticamente amortecida,

t>0 (10.84)

em que A1 e A2 são duas constantes.

Considere-se agora o regime forçado do circuito (Figuras 10.13.a ou 10.13.c). A equação diferencial com
termo forçado é neste caso

(10.85)

cuja solução é

t>0 (10.86)

com B constante. A solução (10.86) deve, por si só, verificar a equação diferencial (10.85),

(10.87)

ou seja,

(10.88)

A solução completa do circuito é então dada pela soma das soluções natural, (10.84), e forçada, (10.88),

t>0 (10.89)

cujas constantes A1 e A2 são tais que

(10.90)



isto é,

(10.91)

Portanto,

t>0 (10.92)

cujo limite quando t → ∞ é RI , e
s

t>0 (10.93)

que neste caso tende para zero quando t → ∞. Estes resultados indicam que a totalidade da corrente
fornecida pela fonte é desviada para a resistência, e que no limite t → ∞ , o circuito se comporta como se os
terminais do condensador e da bobina se encontrassem em aberto e em curto-circuito, respectivamente
(veja-se a Figura 10.13.d).

Na tabela 10.2 expôem-se as soluções completas da tensão aos terminais do condensador nos casos em que
o termo forçado é constante e os valores dos componentes são tais, que a solução natural é sobre-
amortecida, criticamente amortecida e sub-amortecida. Na Figura 10.14 comparam-se diversas soluções
forçadas constantes de um circuito RLC de 2.ª ordem (as condições iniciais no condensador e na bobina são
sempre nulas).

SOLUÇÃO SOLUÇÃO COMPLETA SOLUÇÃO COMPLETA
NATURAL v (t)=v (t) + v (t) v (0)=0 ; i (0)=0
C C-n C-f C L



sobre-
amortecida

criticamente
amortecida

sub-
amortecida

Tabela 10.2 Soluções alternativas de um circuito RLC de 2.ª ordem com termo forçado constante



Figura 10.14 Solução forçada constante

Simulador da Solução Forçada Constante de Circuitos RLC-série

10.4.2 Solução Forçada Sinusoidal

Considere-se novamente o circuito RLC representado na Figura 10.13.a, admitindo desta vez que a fonte de
corrente é de tipo sinusoidal, i (t)=u(t).I cos(ωt). A equação diferencial que rege o funcionamento do
s s
circuito tem um termo forçado sinusoidal

(10.94)

cuja solução completa é (note-se que neste exemplo α =ω )
o

(10.95)

As constantes B e B são tais que
c s

(10.96)

isto é,



(10.97)

A igualdade em (10.97) exige que se verifiquem em simultâneo as relações

(10.98)

cuja resolução conduz às soluções

(10.99)

Finalmente, as constantes A1 e A2 são tais, que a solução completa verifica as condições inicial e de
continuidade da energia armazenada no condensador e na bobina,

(10.100)

de onde resultam

(10.101)

Simulador da Solução Forçada Sinusoidal de Circuitos RLC-série


Sumário

Sumário

Os circuitos RC, RL e RLC de 2.ª ordem são governados por equações diferenciais lineares escalares de 2.ª
ordem. Os circuitos são de 2.ª ordem quando contêm um condensador e uma bobina, ou então dois
condensadores ou duas bobinas irredutíveis entre si.

A equação diferencial de um circuito de 2.ª ordem pode ser obtida por intermédio de três métodos
alternativos: o método da substituição, o método do operador-s e o método das variáveis de estado. A
solução de uma equação diferencial de 2.ª ordem com termo forçado é constituída por duas parcelas: a
solução natural, que define a dinâmica do circuito sujeito apenas à acção das energias armazenadas nos
condensadores e nas bobinas; e a solução forçada pelas fontes independentes. A solução natural de um
circuito de 2.ª ordem pode apresentar uma de quatro formas alternativas: sobre-amortecida, criticamente
amortecida, sub-amortecida e oscilatória. A dinâmica do regime forçado é função da forma dos sinais
aplicados. Deste modo, fontes constantes conduzem a soluções forçadas constantes e fontes sinusoidais
conduzem a soluções forçadas sinusoidais.




*10.1 Considere o circuito RLC representado na Figura E10.1. Indique o tipo de solução natural e
determine a expressão da corrente i(t) para t>0.

Figura E10.1

10.2 Considere o circuito RLC representado na Figura E10.2. Indique o tipo de solução natural e determine
a expressão da tensão v(t) para t>0.

Figura E10.2

10.3 Considere o circuito RL representado na Figura E10.3. Indique o tipo de solução natural e determine a
expressão da corrente i 1(t) para t>0. Admita i 1(0)=i 2(t)=0.
L L L

Figura E10.3

*10.4 Determine a equação diferencial que lhe permite obter a expressão da tensão no condensador, v (t),
C
para t>0.



Figura E10.4

10.5 Determine a equação diferencial que lhe permite obter a expressão da tensão no condensador, v (t),
C1
para t>0.

Figura E10.5

10.6 Determine a equação diferencial que lhe permite obter a expressão de i(t) para t>0.

Figura E10.6

10.7 Determine a equação diferencial que lhe permite obter a expressão da tensão no condensador, v (t),
C
para t>0.

Figura E10.7

*10.8 Considere o circuito RLC de E10.8. Determine a equação diferencial correspondente à tensão v (t)
L
(utilize o método das variáveis de estado).



Figura E10.8

10.9 Considere o circuito RLC representado na Figura E10.9. Determine a equação diferencial que lhe
permite obter a expressão da corrente i (t):
R

(a) pelo método do operador-s ao nível do sistema de equações;

(b) ao nível dos elementos condensador e bobina.

Figura E10.9

10.10 Considere o circuito LC representado na Figura E.10.10, com v (0)=0 e i (0)=Io. Determine a
C L
expressão da corrente i (t) e da tensão v (t), para t>0.
L C

Figura E10.10

*10.11 Determine a expressão da tensão v (t) no circuito em 10.11, para t>0. Admita v (0)=V0 e i (0)=0.
C C L



Figura E10.11



Simulador da Solução Forçada
Constante de Circuitos RLC-série

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10.4 Solução Forçada Í Index Reduzir
Capandice Ampliar
Janela
Janela
AjudaCapítuloTexto
CapítuloTexto
Secção
Sumário
11 9 10.3
Os circuitos de 2.ª ordem com fontes independentes são governados por equações diferenciais com termo
forçado

(10.78)

A solução é composta por duas parcelas

(10.79)

em que x (t) e x (t) definem, respectivamente, a solução natural e a solução forçada pelas fontes
n f
independentes. A solução forçada por si só verifica a equação diferencial (10.78) e é independente das
condições inicial e de continuidade. Na Tabela 10.1 indicam-se as soluções forçadas mais comuns na
análise de circuitos eléctricos.

TERMO FORÇADO f(t) SOLUÇÃO FORÇADA xf(t)
K B
Kcos(ωt) B cos(ωt) + B sin(ωt)
c s
-at -at
Ke Be
Kt B2t + B1

Kt2 B3t2 + B2t + B1

Tabela 10.1 Soluções forçadas mais comuns na análise de circuitos eléctricos


Considere-se o circuito RLC na Figura 10.13.a e admita-se que a fonte de corrente independente tem a
forma de um degrau com origem em t=0, i (t)=I .u(t). Admita-se ainda que as condições iniciais do circuito
s s
são v (0) e i (0), e que se pretende determinar a expressão da tensão aos terminais do condensador para t>0.
C L

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Figura 10.13 Regime forçado constante

Considere-se primeiramente o regime natural do circuito, cuja equação diferencial é (Figura 10.13.b)

(10.80)

e em que α, ωo e Q são, respectivamente,

(10.81)

(10.82)

e

(10.83)



A solução natural é neste caso criticamente amortecida,

t>0 (10.84)

em que A1 e A2 são duas constantes.

Considere-se agora o regime forçado do circuito (Figuras 10.13.a ou 10.13.c). A equação diferencial com
termo forçado é neste caso

(10.85)

cuja solução é

t>0 (10.86)

com B constante. A solução (10.86) deve, por si só, verificar a equação diferencial (10.85),

(10.87)

ou seja,

(10.88)

A solução completa do circuito é então dada pela soma das soluções natural, (10.84), e forçada, (10.88),

t>0 (10.89)

cujas constantes A1 e A2 são tais que

(10.90)



isto é,

(10.91)

Portanto,

t>0 (10.92)

cujo limite quando t → ∞ é RI , e
s

t>0 (10.93)

que neste caso tende para zero quando t → ∞. Estes resultados indicam que a totalidade da corrente
fornecida pela fonte é desviada para a resistência, e que no limite t → ∞ , o circuito se comporta como se os
terminais do condensador e da bobina se encontrassem em aberto e em curto-circuito, respectivamente
(veja-se a Figura 10.13.d).

Na tabela 10.2 expôem-se as soluções completas da tensão aos terminais do condensador nos casos em que
o termo forçado é constante e os valores dos componentes são tais, que a solução natural é sobre-
amortecida, criticamente amortecida e sub-amortecida. Na Figura 10.14 comparam-se diversas soluções
forçadas constantes de um circuito RLC de 2.ª ordem (as condições iniciais no condensador e na bobina são
sempre nulas).

SOLUÇÃO SOLUÇÃO COMPLETA SOLUÇÃO COMPLETA
NATURAL v (t)=v (t) + v (t) v (0)=0 ; i (0)=0
C C-n C-f C L



sobre-
amortecida

criticamente
amortecida

sub-
amortecida

Tabela 10.2 Soluções alternativas de um circuito RLC de 2.ª ordem com termo forçado constante



Figura 10.14 Solução forçada constante



Considere-se novamente o circuito RLC representado na Figura 10.13.a, admitindo desta vez que a fonte de
corrente é de tipo sinusoidal, i (t)=u(t).I cos(ωt). A equação diferencial que rege o funcionamento do
s s
circuito tem um termo forçado sinusoidal

(10.94)

cuja solução completa é (note-se que neste exemplo α =ω )
o

(10.95)

As constantes B e B são tais que
c s

(10.96)

isto é,



(10.97)

A igualdade em (10.97) exige que se verifiquem em simultâneo as relações

(10.98)

cuja resolução conduz às soluções

(10.99)

Finalmente, as constantes A1 e A2 são tais, que a solução completa verifica as condições inicial e de
continuidade da energia armazenada no condensador e na bobina,

(10.100)

de onde resultam

(10.101)




Simulador da Solução Forçada
Sinusoidal de Circuitos RLC-série

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/applets/rlcsfs/rlcsfs.htm06-06-2005 12:37:43


Simulador da Solução Natural de
Circuitos RLC-série

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/applets/rlcsn/rlcsn.htm06-06-2005 12:37:49


10.3 Solução Natural Í Index Reduzir
Capandice Ampliar
Janela
Janela
AjudaCapítuloSecção
CapítuloSecção
Texto
Texto
11 9 10.210.4
10.3.1 Soluções Naturais Alternativas

A solução de uma equação diferencial com termo forçado nulo

(10.43)

cujo polinómio característico e raízes respectivas são, respectivamente,

(10.44)

e

(10.45)

designa-se por solução natural. Esta estabelece a dinâmica temporal de um circuito excitado unicamente pelas energias armazenadas nos
condensadores e nas bobinas que o constituem.

As raízes em (10.45) podem ser de quatro tipos essencialmente distintos: reais e distintas (α >ωo); reais e iguais (α =ωo); complexas
conjugadas(α <ωo); ou imaginárias puras (α =0).

(a) sobre-amortecida

(b) criticamente amortecida

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/applets/rlcsn/....cap_10solna_10.htm (1 of 9)06-06-2005 12:38:16


(c) sub-amortecida

(d) oscilatória

Figura 10.8 Soluções naturais alternativas

Por conseguinte, a solução natural da equação diferencial pode apresentar uma de quatro formas básicas, a saber (ver Figura 10.8):

(i) sobre-amortecida (α >ωo), assim designada por resultar do somatório de duas exponenciais reais negativas (Figura
10.8.a),

(10.46)

em que , e A1 e A2 são duas constantes a determinar por imposição das condições inicial e de
continuidade;

(ii) criticamente amortecida (α =ωo), neste caso definida pelo produto de uma exponencial real negativa por uma função
linear (Figura 10.8.b),

(10.47)

(iii) sub-amortecida (α <ωo), constituída em particular pelo somatório de duas exponenciais complexas conjugadas
(Figura 10.8.c),

(10.48)

(iv) oscilatória (α=0), dada pelo somatório de duas exponenciais imaginárias puras (Figura 10.8.d),



(10.49)

e à qual correspondem oscilações sinusoidais de frequência ω .
ο

A distinção entre as diversas soluções alternativas pode ser efectuada com base apenas no cociente

(10.50)

designado por factor de qualidade. De acordo com esta definição, as quatro soluções alternativas caracterizam-se pelos seguintes factores
de qualidade:

(i) sobre-amortecida: α >ωο ⇔ 0<Q<0.5;

(ii) criticamente-amortecida: α =ωο ⇔ Q=0.5;

(iii) sub-amortecida: α <ωο ⇔ Q>0.5;

(iv) oscilatória: α=0 ⇔ Q=∞ .

10.3.2 Solução Sobre-amortecida

Considere-se o circuito RLC-série representado na Figura 10.9,

Figura 10.9 Solução natural sobre-amortecida

em conjunto com as equações diferenciais de 2.ª ordem que governam a tensão aos terminais do condensador, v (t), e a corrente na
C
bobina, i (t),
L



(10.51)

e

(10.52)

respectivamente. Admita-se ainda que o factor de qualidade do circuito é inferior a 1/2,

(10.53)

isto é, que as raízes do polinómio característico são reais, negativas e distintas

(10.54)

A dinâmica da tensão aos terminais do condensador tem a forma

(10.55)

cujas constantes A1 e A2 são determinadas por imposição das condições inicial e de continuidade das energias armazenadas no
condensador e na bobina,

(10.56)

ou seja,

(10.57)

Na Figura 10.9 representa-se a solução natural sobre-amortecida de um circuito RLC-série (as duas curvas ilustradas referem-se a valores
distintos do factor de qualidade, admitindo sempre nula a corrente inicial na bobina, i (0)=0).
L


10.3.3 Solução Criticamente Amortecida



Considere-se de novo o circuito RLC-série e admita-se que os parâmetros R, L e C são tais que o factor de qualidade do circuito é Q=1/2,
ou seja,

(10.58)

As raízes do polinómio característico são reais, negativas e iguais,

(10.59)

e a tensão aos terminais do condensador é

(10.60)

cujas constantes A1 e A2 verificam as relações

(10.61)

de onde resultam as igualdades

(10.62)

Na Figura 10.10 representa-se a solução natural de um circuito RLC-série criticamente amortecido (as curvas representadas referem-se a

pares distintos de condições iniciais, ).



Figura 10.10 Solução natural criticamente amortecida


10.3.4 Solução Sub-amortecida

A solução natural sub-amortecida caracteriza-se pela relação α <ωo, portanto Q>0.5,

(10.63)

à qual correspondem as raízes complexas conjugadas

(10.64)

Considerando o mesmo circuito RLC-série dos exemplos anteriores, verifica-se então que a tensão aos terminais do condensador é
expressa por

(10.65)

ou, em alternativa,

(10.66)

em que A1 e A2, ou A3 e θ, se obtêm a partir das condições iniciais no condensador e na bobina. Conforme se ilustra na Figura 10.11, a
solução (10.66) apresenta oscilações de frequência angular ω =(ωo2-α2)1/2.
d



Figura 10.11 Solução natural sub-amortecida

As condições inicial e de continuidade da energia armazenada no condensador e na bobina permitem determinar as constantes A1 e A2
em (10.65) ou, em alternativa, as constantes A3 e θ em (10.66). Por exemplo, as constantes A3 e θ obtém-se a partir do sistema de
equações

(10.67)

cuja solução é

(10.68)


10.3.5 Solução Oscilatória

No regime oscilatório as raízes do polinómio característico da equação diferencial são imaginárias puras

(10.69)

verificando-se em particular R=0, α=0 e Q=∞ . A solução é expressa pelo somatório de duas exponenciais complexas

(10.70)

que também se podem escrever na forma

(10.71)

Por exemplo, no caso das constantes A3 e θ, verifica-se que



(10.72)

de onde resultam

(10.73)

Na Figura 10.12 representam-se duas soluções oscilatórias possíveis, correspondentes a condições iniciais distintas.

Figura 10.12 Solução natural oscilatória

A solução oscilatória apresenta diversas particularidades cuja importância convém desde já referir: as oscilações mantêm-se com
amplitude constante ao longo de um intervalo de tempo indefinido, o que permite classificar este circuito como um oscilador sinusoidal;
a energia é trocada entre o condensador e a bobina. Com efeito, se se calcular a corrente na bobina,

(10.74)

verifica-se que a energia armazenada no condensador

(10.75)

e a energia armazenada na bobina



(10.76)

somam um valor constante

(10.77)

Os pontos de máximo da energia armazenada no condensador coincidem com os pontos de mínimo (zero) da energia acumulada na
bobina, e vice-versa.





9.1.1 Circuitos RC e RL

Designa-se por regime, solução ou resposta natural a dinâmica temporal de um circuito excitado pelas
energias armazenadas nos condensadores e nas bobinas que o constituem. Ao contrário dos circuitos
puramente resistivos, nos quais a ausência de fontes independentes determina o valor nulo das correntes e
das tensões no mesmo, os circuitos RC, RL e RLC sem fontes independentes podem apresentar dinâmicas
não nulas como resultado das energias eléctrica e magnética inicialmente armazenadas nos condensadores e
nas bobinas. Abordando o tópico de um outro prisma, pode dizer-se que o regime natural é a dinâmica da
descarga dos condensadores e das bobinas, designadamente através de elementos dissipadores de energia,
como as resistências.

Considere-se o circuito RC representado na Figura 9.1.a

Figura 9.1 Circuitos RC (a) e RL (b) de 1ª ordem

e aplique-se a Lei de Kirchhoff das correntes ao nó X,

i (t) + i (t) = 0 (9.1)
C R

Por substituição das características tensão-corrente dos elementos, i =v /R e i =Cdv /dt, obtém-se a
R R C C
equação diferencial linear de 1.ª ordem

(9.2)

cuja solução determina a dinâmica temporal da tensão e da corrente aos terminais do condensador e da
resistência.



Considere-se agora o circuito RL representado em 9.1.b. A aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões à
malha permite escrever a igualdade

v (t) - v (t) = 0 (9.3)
L R

que, por substituição das características tensão-corrente dos elementos, v =Ri e v =Ldi /dt, conduz à
R R L L
equação diferencial linear de 1.ª ordem

(9.4)

As equações diferenciais (9.2) e (9.4) apresentam a forma comum

(9.5)

em que τ=RC em (9.2) e τ=L/R em (9.4) se designam por constante de tempo do circuito. A equação (9.5) é
vulgarmente designada por equação diferencial homogénea de 1.ª ordem, sendo a sua solução designada
por homogénea, natural ou regime natural do circuito.

9.1.2 Solução Natural

A equação diferencial homogénea em (9.5) pode ser resolvida recorrendo a um de dois métodos
alternativos: por resolução da equação em ordem à variável x(t), ou por aplicação da transformada de
Laplace. Por exemplo, o primeiro método consiste em resolver a equação diferencial em ordem à variável x
(t)

(9.6)

que equivale a

(9.7)

a qual, por integração de ambas as partes,



(9.8)

conduz ao resultado

(9.9)

ou ainda

(9.10)

B
em que A e B são constantes e A=e . Adiante ver-se-á que a constante A é determinada por imposição das
condições inicial e de continuidade da energia armazenada nos elementos bobina ou condensador.
Retomando as equações diferenciais (9.2) e (9.4) e o resultado em (9.10), verifica-se que a dinâmica
temporal da tensão aos terminais do condensador e da corrente na bobina são expressas pela função
exponencial negativa

(9.11)

com τ=RC, e

(9.12)

com τ=L/R, respectivamente. As soluções naturais (9.11) e (9.12) são características intrínsecas dos
circuitos respectivos. Ambas determinam a dinâmica da descarga da energia armazenada no condensador
ou na bobina.

O método de resolução de equações diferenciais por aplicação da transformada de Laplace será introduzido
no Capítulo 10.

9.1.3 Condições Inicial e de Continuidade

A energia armazenada num condensador ou numa bobina é necessariamente uma função contínua no
tempo. Como se concluiu nos Capítulos 7 e 8, a não-verificação da continuidade da energia armazenada nos
condensadores e nas bobinas conduz, respectivamente, a valores de corrente e de tensão de amplitude



infinitamente elevados.

A imposição da condição de continuidade da energia eléctrica armazenada num condensador

(9.13)

equivale a exigir a continuidade da tensão aos terminais respectivos

(9.14)

ao passo que a continuidade da energia magnética armazenada numa bobina

(9.15)

equivale a impor a continuidade da corrente

(9.16)

Considerem-se então os circuitos RC e RL representados na Figura 9.2 e admita-se que são conhecidas a
tensão aos terminais do condensador e a corrente na bobina no instante de tempo t=0, v (t=0)=V e i (t=0)
C o L
=I respectivamente.
o



Figura 9.2 Solução natural de circuitos RC (a) e RL (b) de 1.ª ordem isto é, impõe a igualdade A=V . A
o
dinâmica da descarga do condensador é então expressa pela função exponencial negativa (Figura 9.2.a)

Por exemplo, no caso do circuito RC verifica-se que

(9.17)

e que a condição de continuidade da energia eléctrica armazenada exige que

(9.18)



t>0 (9.19)

Referindo agora o circuito RL representado na Figura 9.2.b, pode facilmente demonstrar-se que a imposição
da continuidade da corrente na bobina em t=0 permite obter a solução (b)

t>0 (9.20)

Como se constata, a constante de tempo do circuito constitui uma medida do tempo necessário para a
extinção do regime natural respectivo. Verifica-se assim que no instante de tempo t=τ as variáveis v (t) ou
C
i (t) se encontram já reduzidas a uma fracção 1/e do seu valor inicial, ao passo que para t=10τ esta fracção
L
é de apenas 4.5*10-5. Enquanto um circuito RC com capacidade do condensador e resistência,
respectivamente, C=1 µF e R=1 MΩ, tem uma constante de tempo t=1 s, o mesmo circuito com C=1 nF e
R=1 kΩ revela uma constante de tempo t=1 µs, portanto, um milhão de vezes inferior. Na Figura 9.3
comparam-se os regimes naturais de um mesmo circuito RC com diferentes constantes de tempo.

Figura 9.3 Solução natural de um circuito RC em função da constante de tempo

9.1.4 Solução Natural Comutada

Considere-se o circuito RC representado em 9.4.a. Admita-se que os interruptores S1 e S2 são colocados em
condução nos instantes de tempo t=0 e t=t1>0, respectivamente, e que a tensão inicial aos terminais do
condensador é v (0)=V .
C o



Figura 9.4 Solução natural comutada

Como é patente em (b), durante o intervalo de tempo 0<t<t1 o circuito coincide com a malha RC estudada
anteriormente, ou seja,

0<t<t1 (9.21)

a qual, dadas as condições inicial e de continuidade

(9.22)

conduz à solução



0<t<t1 (9.23)

Considere-se agora o circuito após a comutação em t=t1 do interruptor S2 (c). Neste caso, a tensão aos
terminais do condensador é dada pela expressão

t > t1 (9.24)

cuja constante de tempo coincide com o produto da capacidade do condensador pela resistência equivalente
vista dos seus terminais, τ2=(R1//R2)C. A imposição das condições inicial e de continuidade da energia
armazenada no condensador em t=t1

(9.25)

permite obter o valor da constante A2

(9.26)

e assim escrever a solução final na forma (Figura 9.4.d)

t > t1 (9.27)

A condição (9.25) e a solução (9.27) permitem retirar as seguintes conclusões relativamente à solução
natural comutada:

(i) a condição inicial da tensão após a comutação do interruptor S2 (Figura 9.4.c) coincide
com o valor final da mesma no circuito prévio à comutação (Figura 9.4.b);

(ii) para t>t1, o condensador descarrega-se com uma constante de tempo diferente daquela
válida durante o intervalo 0<t<t1. Em qualquer dos dois casos, a constante de tempo de
descarga é dada pelo produto da capacidade pela resistência equivalente de Thévenin aos
terminais do condensador.

A Figura 9.4.d ilustra a dinâmica temporal da tensão aos terminais do condensador quando em t=t1=τ1 se



introduz em paralelo com R1 uma resistência de valor nominal R2=R1/10.

9.1.5 Energia Armazenada e Dissipada

Considere-se um circuito RC de 1.ª ordem e admita-se que a tensão inicial aos terminais do condensador é
2
v (0)=V , ou seja, que a energia eléctrica inicialmente armazenada é W =(1/2)CV . Uma vez que a
C o C o
descarga do condensador se processa de acordo com a expressão

t>0 (9.28)

verifica-se que ao longo do tempo existe uma igualdade entre as energias perdida pelo condensador

(9.29)

e dissipada na resistência

(9.30)

e que, em particular, no limite quando t → ∞ , a energia armazenada no condensador é totalmente dissipada
por efeito de Joule na resistência.

É fácil demonstrar que num circuito RL também se verifica uma igualdade entre as energias perdida pela
bobina e dissipada pela resistência, neste caso

(9.31)




Os regimes forçados de maior interesse prático são o constante, ou constante mas sequencialmente comutado, e
o sinusoidal. A análise do regime forçado sinusoidal conduz ao conceito de impedância eléctrica e ao estudo
dos circuitos eléctricos no domínio da frequência (a considerar nos Capítulos 11 e 12).

9.2.1 Circuitos RC e RL

Considere-se o circuito RC (com fonte independente) representado na Figura 9.5.a.

Figura 9.5 Circuitos RC e RL de 1.ª ordem com fontes independentes

A aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões à malha permite escrever a igualdade

v (t) + v (t) = v (t) (9.32)
R C s

a qual, em conjunto com as características tensão-corrente dos componentes, conduz à equação diferencial com
termo forçado

(9.33)

Por outro lado, a aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes ao circuito RL representado na Figura 9.5.b
permite escrever a igualdade

i (t) + i (t) = i (t) (9.34)
R L s

a qual, por sua vez, conduz à equação diferencial com termo forçado



(9.35)

As equações diferenciais (9.33) e (9.35) apresentam a forma comum

(9.36)

em que τ=RC ou τ=L/R, consoante o circuito seja de tipo RC ou RL, respectivamente.

9.2.2 Soluções Natural e Forçada

A equação diferencial (9.36) resolve-se por aplicação do método dos factores de integração. Este método
t/τ
consiste em multiplicar ambas as partes da equação diferencial pelo termo e

(9.37)

e verificar que

(9.38)

ou seja, que (9.36) se pode escrever na forma

(9.39)

Assim, após integração de ambas as partes verifica-se que

(9.40)

ou seja, que

(9.41)



em que A é uma constante de integração a determinar por imposição das condições inicial e de continuidade da
energia armazenada nos elementos condensador ou bobina.

A solução (9.41) contém duas parcelas essencialmente distintas: a parcela

(9.42)

que coincide na forma com a solução da equação diferencial homogénea, atrás designada por solução natural, e
a parcela

(9.43)

que se designa por solução forçada. A forma da parcela (9.43) é geral e define explicitamente a solução forçada
do circuito. Para além do mais, o seu cálculo é independente das condições inicial e de continuidade da energia
armazenada nos condensadores e nas bobinas do circuito.


Considere-se o circuito RC representado na Figura 9.6.a e admita-se que a fonte de tensão v (t) define um sinal
s
em degrau com origem em t=0 e amplitude V , ou seja, v (t)= V .u(t). Admita-se ainda que no instante de
s s s
tempo t=0 a tensão aos terminais do condensador é v (0)=V .
C o



Figura 9.6 Solução forçada constante de um circuito RC

De acordo com estes dados, a solução forçada do circuito é expressa por

t>0 (9.44)

que, em conjunto com a solução natural, conduz à solução completa

t>0 (9.45)

Por outro lado, a imposição das condições inicial e de continuidade

(9.46)

permite obter o valor da constante de integração



t>0 (9.47)

e escrever a solução final (Figura 9.6.b)

t>0 (9.48)

Considere-se agora a expressão da corrente no condensador, i (t). Uma vez que
C

(9.49)

então

t>0 (9.50)

cuja amplitude tende para zero quando t → ∞ . Como se indica na Figura 9.6.c, quando t = ∞ , o circuito
comporta-se como se os terminais do condensador se encontrassem em aberto (i (∞ )=0), situação à qual
C
corresponde a tensão v (∞ )=V . Por conseguinte, a tensão aos terminais do condensador pode ser expressa na
C s
forma

t>0 (9.51)

indicativa de que a dinâmica temporal de um circuito RC (RL) pode ser determinada recorrendo apenas aos
valores inicial e final da tensão (corrente) aos terminais do condensador (bobina). Com efeito, pode concluir-se
que:

(i) nos circuitos RC, o valor final da tensão aos terminais do condensador é dado pela respectiva
tensão em aberto (i =0) (Figura 9.6.c);
C

(ii) nos circuitos RL, o valor final da corrente na bobina é dado pela respectiva corrente de curto-
circuito.


Considere-se o circuito RC figurado em Figura 9.7.a e admita-se que a fonte de sinal é de tipo sinusoidal, v (t)
s
=u(t).V .cos(ωt).
s



Figura 9.7 Solução natural e forçada sinusoidal de um circuito RC: (b) ω=0.1 rad/s, R=1 Ω, C=1 F, v (0)= -1
C
V, v (t) = V .u(t).cos(ωt); (c)ω=1 rad/s, R=1 Ω, C=1 F, v (0)= -1 V, v (t) = V .u(t).cos(ωt)
s s C s s

A equação diferencial característica do circuito é, neste caso,

(9.52)

cuja solução após aplicação do integral (9.41) é

t>0 (9.53)

em que B , B e A são constantes a determinar como adiante se indica. A solução (9.53) pode ainda ser expressa
c s
na forma



(9.54)

em que

(9.55)

As constantes B , B e A podem ser determinadas de dois modos essencialmente distintos:
c s

(i) no caso de B e B , directamente por aplicação do integral (9.41) e, no caso de A, por
c s
imposição à solução total das condições inicial e de continuidade da energia armazenada nos
elementos condensador ou bobina;

(ii) ou então determinar as constantes B e B através da imposição da condição de que a
c s
resposta forçada constitua, por si só, solução da equação diferencial, e determinar a constante A
impondo as condições inicial e de continuidade à solução total já com B e B definidos.
c s

Por exemplo, no caso da segunda metodologia, o cálculo das constantes B e B passa por substituir a solução
c s
forçada na equação diferencial (9.51)

(9.56)

e verificar que a igualdade entre as partes esquerda e direita da mesma conduzem ao sistema de equações

(9.57)

em cuja solução se inscrevem as duas constantes

(9.58)



A substituição das constantes B e B na solução completa permite escrever (a menos da constante A)
c S

(9.59)

ou, em alternativa,

(9.60)

Finalmente, por imposição das condições inicial e de continuidade

(9.61)

obtém-se a expressão da constante A

(9.62)

e a solução final

(9.63)

Nas Figuras 9.7 b e c representam-se as dinâmicas temporais de um circuito RC de 1.ª ordem com condição
inicial distinta de zero e termo forçado sinusoidal (mais propriamente um Coseno). A frequência do sinal
-
forçado é ω = (10RC)-1 em (b) e ω = (RC) 1 em (c). Nesta figura são patentes três características fundamentais
do regime forçado sinusoidal:



(i) após a extinção da solução natural, a tensão aos terminais do condensador segue a forma
sinusoidal da fonte independente, designadamente a mesma frequência;

(ii) existe uma diferença entre as amplitudes das sinusóides aplicada e medida aos terminais do
condensador, que se constata depender da relação entre a frequência da sinusóide e os
parâmetros R e C do circuito;

(iii) existe uma diferença de fase entre as sinusóides aplicada e medida aos terminais do
condensador, que mais uma vez se constata ser uma função da relação entre a frequência da
sinusóide e os parâmetros R e C do circuito.

Adiante se verá que estas três características constituem o ponto de partida para a análise dos circuitos no
domínio da frequência.


9.3 Teorema da Sobreposição das Fontes


A validade do teorema da sobreposição das fontes estende-se à análise da dinâmica temporal dos circuitos
RC, RL e RLC. Este teorema afirma que a dinâmica de um circuito com condensadores, bobinas e múltiplas
fontes independentes pode ser determinada calculando uma a uma a resposta forçada devida a cada fonte
considerada isoladamente. Por exemplo, a solução de um circuito RC ou RL com N fontes independentes é
composta por (N+1) parcelas, das quais a primeira é a solução natural do circuito e as restantes N as
respostas forçadas pelas fontes.

Considere-se então o circuito RC com duas fontes independentes, representado na Figura 9.8.a.

Figura 9.8 Teorema da sobreposição das fontes

Admita-se que ambas as fontes são constantes no tempo para t>0, ou seja, v (t)=V .u(t) e i (t)=I .u(t), e que
s s s s
a tensão inicial aos terminais do condensador é v (0)=V . A aplicação do teorema da sobreposição das
C o
fontes a este circuito exige que se apliquem consecutivamente os seguintes quatro passos:

(i) primeiramente, anulam-se as fontes independentes e determina-se a solução natural (9.8.
b);

(ii) seguidamente, anula-se a fonte de corrente e determina-se a solução forçada pela fonte

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_09/teosobfo.htm (1 of 3)06-06-2005 12:38:27


de tensão (por exemplo, coloca-se o condensador em aberto por forma a determinar o valor
final da tensão respectiva, Figura 9.8.c);

(iii) anula-se a fonte de tensão e determina-se a solução forçada pela fonte de corrente
(coloca-se o condensador em aberto por forma a determinar o valor final da tensão
respectiva; Figura 9.8.d);

(iv) determina-se a constante da solução natural, A, neste caso impondo à solução total as
condições inicial e de continuidade da tensão aos terminais do condensador.

A resposta natural do circuito é obtida através do cancelamento de todas as fontes independentes presentes
no circuito (Figura 9.8.b). No caso presente, a constante de tempo é dada pelo produto da capacidade do
condensador pela resistência vista dos seus terminais

τ = R1C (9.65)

e, portanto,

-t/τ
v (t) = Ae (9.66)
C-n

A determinação da resposta forçada pela fonte de tensão, v (t), exige que se cancele a fonte de corrente
s
(Figura 9.8.c). Neste caso,

(9.67)

Pelo contrário, o cálculo da parcela imposta pela fonte de corrente exige que se anule a fonte de tensão
independente (Figura 9.8.d), que neste caso impõe o valor final

(9.68)

A solução total para a tensão aos terminais do condensador é dada pela soma das parcelas (9.66), (9.67) e
(9.68)

(9.69)

à qual a aplicação das condições inicial e de continuidade

(9.70)



conduz ao valor da constante A da solução natural

(9.71)

e à solução final

(9.72)

Mais uma vez se verifica que a solução total (natural mais forçada) de um circuito RC (ou RL) segue a
forma geral

(9.73)

em que, neste caso, v (∞) resulta da aplicação do método da sobreposição das fontes ao circuito.
C





Considere-se o circuito RC representado na Figura 9.9.a e admita-se que os interruptores S1, S2 e S3 comutam
de posição nos instantes de tempo t=0, t=t1 e t=t2, respectivamente. Admita-se ainda que o circuito se encontra
na posição indicada em (a) desde t = (- ∞). Pretende-se determinar as expressões em função do tempo da tensão
e da corrente no condensador.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_09/exemp_94.htm (1 of 11)06-06-2005 12:38:31


Figura 9.9 Exemplo de aplicação-1: descarga de um condensador

Resolução: A corrente no condensador no instante t=0 é nula (Figura 9.10.b) e a tensão respectiva é

(9.74)

O circuito é comutado para a configuração representada na Figura 9.9.c em t=0, após a qual o condensador
inicia a sua descarga através da resistência R2. A tensão aos terminais do condensador é

0<t<t1 (9.75)

e a corrente respectiva

0<t<t1 (9.76)

Após t=t1 o condensador encontra-se em aberto (Figura 9.9.d). A constante de tempo de descarga é neste caso
infinita (R=∞), e a tensão e a corrente são dadas, respectivamente, por

t1<t<t2 (9.77)

e por

t1<t<t2 (9.78)

Para t>t2 a constante de tempo de descarga é τ=R1C (Figura 9.9.e), e

t>t (9.79)
2

e



t>t (9.80)
2

Nas Figuras 9.9 f e g representam-se as expressões da tensão e da corrente no condensador.


Considere-se o circuito RL representado na Figura 9.10.a e admita-se que os interruptores S1 e S2 comutam de
posição nos instantes de tempo t=0 e t=t1, respectivamente. Admita-se ainda que o circuito se encontra na
posição indicada em (a) desde t = (- ∞). Pretende-se determinar as expressões em função do tempo da tensão e
da corrente na bobina.



Figura 9.10 Exemplo de aplicação-2: descarga de uma bobina

Resolução: A corrente na bobina no instante t=0 é definida pelo cociente (Figura 9.10.b)

(9.81)

No instante t=0 o circuito é comutado para a configuração representada na Figura 9.10.c, em cuja sequência a
bobina inicia a sua descarga através da resistência R2. Nesta situação são válidas as expressões

0<t<t1 (9.82)

e

0<t<t1 (9.83)

respectivamente para a corrente e para a tensão na bobina. Em t=t1, os terminais da bobina encontram-se em
curto-circuito (d). Neste caso, a constante de tempo de descarga da bobina é infinitamente elevada (R=0), razão
pela qual se verificam as igualdades

t>t1 (9.84)

e

t>t1 (9.85)

respectivamente, para a corrente e para a tensão na bobina.

Nas Figuras 9.10.e e 9.10.f representam-se as expressões da corrente e da tensão na bobina.


Considere-se o circuito RC da Figura 9.11 e admita-se que o sinal v (t) define um degrau com origem em t=0 e
s



amplitude V . Admita-se ainda que a tensão inicial aos terminais do condensador é v (0)=V >V . Pretende-se
s C o s
estabelecer a expressão da tensão aos terminais do condensador, v (t), para t>0.
C

Figura 9.11 Exemplo de aplicação-3: descarga de um condensador

Resolução: As soluções natural e forçada do circuito podem ser calculadas recorrendo aos diagramas
simplificados representados nas Figuras 9.11.b e 9.11.c, respectivamente. A constante de tempo do circuito é
dada pelo produto (b)

(9.86)

ao passo que o regime forçado é expresso pelo divisor de tensão (c)

(9.87)

A solução completa para a tensão aos terminais do condensador é, então,



(9.88)

cuja representação gráfica em função do tempo se ilustra na Figura 9.11.d.

Este exercício podia ter sido resolvido recorrendo ao método convencional de obtenção da equação diferencial,
de resolução da mesma, e de imposição das condições inicial e de continuidade da tensão aos terminais do
condensador. Por exemplo, a aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes ao nó-X permite escrever a igualdade
(Figura 9.11.a)

(9.89)

a qual, por substituição das características v =v =v e i =Cdv /dt, permite obter a equação diferencial
x C R2 C C

(9.90)

em que τ=(R1//R2)C define a constante de tempo do regime natural do circuito. Após resolução do integral
(9.42) obtêm-se as soluções natural e forçada

(9.91)

e

(9.92)

respectivamente. A constante A é determinada por imposição das condições inicial e de continuidade da tensão
no condensador

(9.93)

da qual resulta



(9.94)

e a solução final

(9.95)


Considere-se o circuito RC da Figura 9.12.a e admita-se que a forma de onda definida pela fonte de tensão v (t)
s
é quadrada, com origem em zero e amplitude 5 V (Figura 9.12.b). Admita-se ainda que a tensão inicial aos
terminais do condensador é v (0)=0 V. Pretende-se determinar e representar a expressão da tensão v (t) nos
c c
seguintes intervalos de tempo:

(i) nos dois primeiros intervalos de tempo de duração ∆T=T/2, nos casos em que T/2>>τ , T/2=τ
e T/2<<τ;

(ii) em dois intervalos de tempo consecutivos para os quais t>>T, nos casos em que T/2>>τ,
T/2=τ e e T/2<<τ.



Figura 9.12 Exemplo de aplicação-4

Resolução: Durante o primeiro intervalo de tempo, 0<t<T/2, a tensão aos terminais do condensador é forçada a
5 V pela fonte de tensão. Como tal, a tensão aos terminais do condensador varia de acordo com a expressão

0<t<T/2 (9.96)

em que τ=RC. Nos casos em que T/2>>τ verifica-se que (Figura 9.12.c)

(9.97)

resultado que indica que a tensão atinge praticamente o valor de 5 V imposto pela fonte. Por outro lado, no caso
de igualdade T/2=τ (Figura 9.12.d),

(9.98)



e a tensão atinge um valor que é apenas aproximadamente 2/3 do valor imposto pela fonte. Finalmente, quando
T/2<<τ, pode efectuar-se a aproximação da exponencial pela sua derivada na origem

(9.99)

e admitir que no intervalo de tempo 0<t<T/2 o crescimento da tensão é aproximadamente linear:

0<t<T/2 (9.100)

isto é, que em t=T/2 se verifica a igualdade (Figura 9.12.e)

(9.101)

Considere-se agora o circuito durante o intervalo de tempo T/2<t<T. Neste caso o termo forçado é nulo e

T/2<t<T (9.102)

A constante A é determinada com base na condição inicial em t=T/2. Por exemplo, no caso em que T/2>>τ, a
condição inicial é v (t=T/2)=5 V e (Figura 9.12.c)
C

T/2<t<T (9.103)

isto é,

(9.104)

Por outro lado, havendo igualdade T/2=τ, a condição inicial é v (t=T/2)=5(1-1/e) e, portanto,
c

T/2<t<T (9.105)

ou seja (Figura 9.12.d),



(9.106)

Finalmente, sempre que T/2<<τ, a condição inicial é v (t=T/2) ≈ 5T/(2RC), ou seja, (Figura 9.12.e)
C

T/2<t<T (9.107)

isto é,

(9.108)

As expressões (9.106) e (9.108) indicam que o ponto de partida para o próximo troço ascendente (T<t<3T/2) é
superior àquele verificado em t=0. Troços ascendentes e descendentes consecutivos tendem inicialmente a
deslocar-se no sentido vertical, atingindo todavia um regime de equilíbrio durante o qual os troços ascendentes
e descendentes se equivalem. Como se verá de seguida, as oscilações da tensão v (t) tendem a efectuar-se em
C
torno da tensão média de 2.5 V.

Considere-se agora o caso de dois intervalos de tempo consecutivos tais que t>>T e τ=T/2 (Figura 9.12.g).
Quando o equilíbrio é atingido, os troços exponenciais ascendentes e descendentes encontram-se
compreendidos entre dois valores limite designados por V e V . Podem então escrever-se as expressões
sup inf

nT<t<(n+1/2)T (9.109)

e

(n+1/2)T<t<(n+1)T (9.110)

respectivamente para os troços ascendentes e descendentes. Uma vez que no fim de cada um dos troços se
verificam as igualdades

(9.111)



e

(9.112)

podem facilmente obter-se os valores de V eV
sup inf

(9.113)

cujo valor médio é, como se previu anteriormente, 2.5 V.

Recorrendo a um procedimento semelhante ao apenas utilizado, pode demonstrar-se que no caso em que
T/2<<τ os valores superior, inferior e médio dos troços são, aproximadamente,

(9.114)

Na Figura 9.12.h representa-se a forma de onda correspondente à expressão (9.114).


Sumário

Sumário

O condensador e a bobina introduzem as equações diferenciais no seio da análise dos circuitos eléctricos. A
dinâmica temporal de um circuito RC ou RL é descrita por uma equação diferencial linear de 1.ª ordem,
cuja solução é composta por duas parcelas: a solução natural e a solução forçada.

A solução natural estabelece a dinâmica do circuito na ausência de fontes independentes. Indica o modo
como a energia armazenada nos condensadores e nas bobinas se dissipa por efeito de Joule nas resistências
do circuito. O esvaimento das tensões e das correntes nos circuitos RC e RL tem sempre a forma de uma
exponencial negativa, Ae-t/τ.

A solução forçada de um circuito RC ou RL de 1.ª ordem é uma função da dinâmica das fontes
independentes em presença no circuito. Por exemplo, fontes independentes constantes conduzem a soluções
forçadas constantes e fontes independentes sinusoidais conduzem a soluções forçadas também sinusoidais.

A validade do teorema da sobreposição das fontes estende-se à análise dos circuitos RC e RL. A solução de
um circuito com N fontes independentes é constituída por (N+1) parcelas, das quais a primeira define o
regime natural e as restantes N as contribuições das N fontes independentes. A parcela relativa ao regime
natural é calculada anulando a totalidade das fontes independentes presentes no circuito, em particular
efectuando o curto-circuito das fontes de tensão e deixando em aberto as fontes de corrente. As restantes N
parcelas são calculadas introduzindo uma a uma e isoladamente as fontes independentes.




*9.1 Considere o circuito RC da Figura E9.1 e admita que em t=0 o circuito já superou o regime transitório
correspondente à posição do interruptor indicada. Determine a expressão da tensão v (t) após a comutação
x
do interruptor em t=0.

Figura E9.1

*9.2 Considere o circuito RL representado na Figura E9.2. Determine a expressão da tensão v (t) após
x
comutação em t=0 dos interruptores.

Figura E9.2

*9.3 Considere o circuito RL da Figura E9.3. Determine a expressão da tensão v (t) e da corrente i (t) para
x x
t>0 (V é uma fonte de tensão constante).
s

Figura E9.3



9.4 Considere o circuito RC representado em E.9.4. Determine a expressão da tensão e da corrente no
condensador para t>0 (I é uma fonte de corrente constante).
s

Figura E9.4

9.5 Considere o circuito RC representado na Figura E9.5. Determine a expressão da tensão e da corrente na
resistência R, para t>0 (V é uma fonte de tensão constante).
s

Figura E9.5

9.6 Considere o circuito RL representado na Figura E9.6. Determine a expressão da corrente i (t) para t>0
L
(V é uma fonte de tensão constante).
s

Figura E9.6

9.7 Determine a expressão das correntes i 1(t) e i 2(t) no circuito da Figura E9.7 (I é uma fonte de corrente
L L s
constante).



Figura E9.7

*9.8 Determine a expressão da tensão v (t) indicada na Figura E9.8 (V é uma fonte de tensão constante;
x s
não utilize o teorema da sobreposição das fontes).

Figura E9.8

9.9 Determine a expressão da corrente i (t) indicada na Figura E9.9 (V e I são fontes constantes).
L si s

Figura E9.9

9.10 Determine a expressão da tensão v (t) indicada em E9.10.
C

Figura E9.10



9.11 Determine a expressão da tensão v (t) representada na Figura E9.11. Admita v (0)=0 V.
C C

Figura E9.11

9.12 Determine a expressão da tensão v (t) indicada na Figura E9.12.
C

Figura E9.12

*9.13 Determine a expressão da tensão v (t) indicada na Figura E.9.13. Admita v (0)=5 V.
C C

Figura E9.13

*9.14 Uma lâmpada de néon encontra-se acesa ou apagada consoante os valores da corrente e da tensão
eléctrica aos seus terminais. A lâmpada acende quando a tensão aos terminais supera o limiar de 50 V, e
apaga-se quando a corrente na mesma desce abaixo de 10 mA. Os modelos equivalentes da lâmpada
apagada e acesa são, respectivamente, o circuito aberto e uma resistência de valor 1 kΩ (Figura E9.14).
Com base nestes dados, determine:

(a) a expressão da tensão e da corrente indicadas na figura;

(b) a frequência de comutação da lâmpada.



Figura E9.14

9.15 Com base no teorema da sobreposição das fontes, determine a expressão da tensão v (t) indicada na
x
Figura E9.8.

9.16 Com base no teorema da sobreposição das fontes, determine a expressão da corrente i (t) em E9.9.
L

9.17 Com base no teorema da sobreposição das fontes, determine a expressão da tensão v (t) representada
C
na Figura E9.12.


8.1 Grandezas Magnéticas


8.1.1 Força e Campo Magnético

A força magnética tem origem no movimento das cargas eléctricas. Considerem-se os dois fios condutores
paralelos e imersos no espaço vazio representados na Figura 8.1, e admita-se que o comprimento (l) é muito
superior à distância respectiva (l>>d), que a secção é infinitesimal (r<<d) e que ambos são percorridos por
correntes eléctricas lentamente variáveis no tempo, i1 e i2.

Figura 8.1 Força magnética exercida entre dois fluxos de corrente eléctrica

Nestas condições, entre os dois fios condutores estabelece-se uma força de índole magnética cuja
intensidade é

N, newton (8.3)

e em que µ =4π10-7 Wb/Am (weber/ampére-metro) define a constante universal designada por
o
permeabilidade magnética do vazio. A força é tanto maior quanto mais longos e próximos se encontrarem
os condutores ou, em alternativa, quanto mais elevadas forem as correntes que os percorrem. A direcção da
força magnética e a da corrente eléctrica são perpendiculares entre si, sendo de repulsão o sentido da força
no caso de fluxos discordantes (Figura 8.1.a), e de atracção no caso inverso (Figura 8.1.b). Convém lembrar
que a ausência de corrente em qualquer dos dois fios condutores determina a ausência da força magnética.
Por conseguinte, cargas eléctricas em repouso são transparentes do ponto de vista do campo magnético, isto
é, não geram nem são afectadas pelo campo magnético.

Se se considerar a acção exercida pela corrente i sobre o condutor-2, por exemplo por unidade de
1
comprimento e normalizada relativamente à corrente i2, obtém-se

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_08/grandmag.htm (1 of 13)06-06-2005 12:38:38


(8.4)

em que se define

A/m, ampére por metro (8.5)

como a intensidade do campo magnético criado pelo condutor-1. Note-se que, neste caso, a intensidade da
força magnética se pode expressar em função do campo

(8.6)

Verifica-se assim que, à parte a constante µ , a relação (8.6) tem uma forma semelhante àquela relativa à
o
força eléctrica exposta no Capítulo 1.

A corrente, a força e o campo magnético são grandezas vectoriais com intensidade, direcção e sentido.
Estes três vectores são perpendiculares entre si, podendo em particular o vector força ser expresso pelo
produto vectorial externo

(8.7)

Na Figura 8.2 representam-se as direcções e os sentidos das três grandezas em (8.7). O campo magnético
tem uma direcção que em cada ponto do espaço é tangencial à circunferência cujo centro é o condutor,
sendo o sentido obtido a partir da conhecida Lei do Saca-Rolhas. O campo magnético e as linhas de força
coincidem na direcção respectiva, verificando-se serem circulares em torno do condutor.

Figura 8.2 Vectores corrente eléctrica, campo e força magnética

Uma expressão de grande utilidade no estudo do campo e da força magnética é a designada Lei de Biot-



Savart. Esta lei estabelece a intensidade, a direcção e o sentido do campo magnético criado num qualquer
ponto do espaço pela porção infinitesimal de um fio condutor (dL) percorrido por uma corrente eléctrica.
Como se indica na Figura 8.3.a,

Figura 8.3 Campo magnético gerado por um fluxo de corrente

a porção dL do condutor, que neste caso é o versor da direcção da corrente, gera no ponto P um campo
magnético

(8.8)

em que ar define o versor da direcção do segmento que une a porção infinitesimal de corrente com o ponto
P. A intensidade do campo pode ainda ser expressa na forma

(8.9)

em que α define o ângulo entre os versores dL e ar. No entanto, uma vez que as correntes eléctricas
circulam em caminhos fechados, o valor total do campo gerado num ponto P é sempre dado pelo integral
(cfr. Figura 8.3.b)

(8.10)

Na Figura 8.4 ilustram-se diversos caminhos fechados de corrente vulgarmente utilizados na realização de
bobinas: a espira (a), a bobina com N espiras e núcleo cilíndrico (b) e a bobina com N espiras e núcleo
toroidal (c).



Figura 8.4 Espira (a), e bobinas com núcleo cilíndrico (b) e toroidal (c)

Por exemplo, no caso da espira o integral em (8.10) conduz à intensidade do campo magnético

(8.11)

em qualquer dos pontos localizados sobre o eixo respectivo, sendo em particular para x=0

(8.12)

Em ambos os casos o campo é perpendicular ao plano da espira.

No caso da bobina com núcleo cilíndrico, N espiras e comprimento l (Figura 8.4.b), a intensidade do campo
magnético no interior do núcleo é aproximadamente dada pela expressão



(8.13)

e é tanto mais válida quanto mais afastados das extremidades e próximos do eixo do núcleo se localizarem
os pontos de cálculo do integral. A direcção do campo no interior do núcleo coincide com o eixo do
cilindro.

Finalmente, pode demonstrar-se que na bobina toroidal representada na Figura 8.4.c a intensidade do
campo magnético é aproximadamente expressa por

(8.14)

em que r define o raio médio da circunferência formada pelo toro. Neste caso, o campo magnético é
toro
circular ao longo do núcleo do toro.

8.1.2 Fluxo e Densidade de Fluxo Magnético

Define-se como densidade de fluxo magnético o produto da permeabilidade magnética do meio pelo vector
campo magnético

T, tesla (8.15)

Ao contrário do campo magnético, que como se viu é uma grandeza independente da natureza do material
no qual se encontra imerso o fluxo de corrente, a densidade de fluxo define uma grandeza cuja intensidade
se encontra intimamente relacionada com as propriedades magnéticas do material, em particular a sua
permeabilidade às linhas de fluxo. Com efeito, existem materiais cujas correntes ao nível atómico e spin
dos electrões contribuem, também, para a criação de linhas de força magnéticas, isto é, para aumentar
sobremaneira a intensidade do campo relativamente àquele típico do espaço vazio. Em geral, a densidade
de fluxo magnético é expressa pelo produto

(8.16)

na qual o termo µ define uma constante designada por permeabilidade magnética relativa do material.
r
Retomando a Figura 8.1 em conjunto com a equação (8.6), que como se viu estabelece a relação entre a
força e o campo magnético, verifica-se que na totalidade dos fios paralelos a intensidade da força pode
também ser expressa com base na relação



(8.17)

neste caso em função da densidade do fluxo magnético no meio no qual se encontram imersos os fluxos de
corrente. A intensidade da força é, portanto, uma função crescente da permeabilidade magnética relativa do
material, coeficiente que em certos casos pode atingir valores de várias dezenas de milhar de unidades.

A grandeza densidade de fluxo magnético é dual da grandeza densidade de fluxo eléctrico, estabelecida no
Capítulo 7. No entanto, se se analisarem as expressões das forças magnética e eléctrica, verifica-se que a
permeabilidade relativa (µ >1) dos materiais reforça a força magnética exercida entre dois fluxos de
r
corrente eléctrica, relativamente ao caso do vazio, ao passo que a permitividade relativa (ε >1) tende a
r
atenuar, isto é, a blindar a força eléctrica exercida entre cargas eléctricas. No entanto, e como se verá
adiante, a permeabilidade relativa do meio actua no sentido de aumentar a indutância de uma bobina (µ
r
>1), do mesmo modo que a permitividade relativa o faz relativamente à capacidade de um condensador.

Conforme se indica na Figura 8.5, define-se fluxo magnético (Φ) como a quantidade de linhas de força que
atravessam perpendicularmente uma dada superfície S.

Figura 8.5 Fluxo e densidade de fluxo magnético

De acordo com esta definição, a relação entre fluxo e densidade de fluxo é

Wb, weber (8.18)

a qual, no caso particular em que as linhas de fluxo são perpendiculares à superfície de integração, conduz
ao resultado

(8.19)



8.1.3 Materiais Magnéticos

As fontes de fluxo magnético nos materiais são essencialmente três: movimento orbital dos electrões em
torno do núcleo; spin dos electrões e spin nuclear. O efeito causado por cada uma destas três fontes, em
particular as duas primeiras, é a razão de ser da classificação dos materiais em cinco classes essencialmente
distintas: materiais diamagnéticos, paramagnéticos, ferromagnéticos, antiferromagnéticos e ferrimagnéticos
(os materiais diamagnéticos, paramagnéticos e anti-ferromagnéticos são também designados por não
magnéticos).

Os materiais diamagnéticos contribuem para a redução da amplitude do campo magnético aplicado
externamente. Nestes materiais verifica-se que por si só os campos criados pelo movimento orbital e pelo
spin dos electrões se cancelam mutuamente ao nível de cada átomo, mas que a intervenção de um campo
magnético exterior provoca um desequilíbrio que atrofia o campo magnético resultante, em particular
devido à acção do spin. Os materiais deste tipo apresentam permeabilidades magnéticas relativas inferiores
à unidade, sendo exemplos típicos o hidrogénio, o hélio, o cobre, o ouro, o silício, o germânio e a grafite.

Os materiais paramagnéticos caracterizam-se pelo não cancelamento ao nível do átomo dos campos
magnéticos associados ao movimento orbital e ao spin dos electrões. Cada átomo é responsável pela
geração de um campo magnético, apesar de no seu conjunto o material apresentar um fluxo nulo como
resultado das orientações aleatórias das contribuições individuais. No entanto, na sequência da aplicação de
um campo magnético exterior, os campos individuais orientam-se em sentidos concordantes, conduzindo a
um aumento relativo do fluxo magnético no interior do material. Entre os materiais deste tipo encontram-se
o potássio, o oxigénio, o tungsténio, etc.

A não compensação do spin dos electrões é a principal fonte de linhas de fluxo nos materiais
ferromagnéticos. Nestes materiais, as forças inter-atómicas conduzem a uma orientação comum dos campos
magnéticos em volumes relativamente extensos, designados por domínios magnéticos, mas que devido às
respectivas orientações aleatórias somam um campo magnético resultante nulo. No entanto, a aplicação de
um campo magnético exterior imprime orientações concordantes aos domínios constituintes do material,
podendo ser globalmente responsáveis por acréscimos fabulosos do campo magnético no interior do
material. Por outro lado, quando o campo magnético aplicado é suspenso, os diversos domínios adoptam
orientações aleatórias distintas das iniciais, podendo contribuir complexivamente para a criação de um
campo magnético remanescente não nulo. Este fenómeno conduz ao designado ciclo de histerese do
material. Entre os materiais ferromagnéticos mais comuns encontram-se o ferro, o níquel, o cobalto, etc.

Os materiais antiferromagnéticos caracterizam-se por um cancelamento inter-átomos adjacentes do campo
magnético. Os materiais deste tipo são fracamente afectados pela presença de um campo magnético
aplicado.

Nos materiais ferrimagnéticos o alinhamento antiparalelo entre átomos adjacentes não conduz ao
cancelamento do campo magnético resultante ao nível microscópico. A aplicação de um campo magnético
exterior imprime uma orientação concordante entre as múltiplas contribuições individuais, conduzindo no
conjunto a aumentos significativos do campo magnético no interior do material. Os materiais desta classe
são vulgarmente designados por ferrites, encontrando-se entre as mais comuns as ferrites de níquel, cobalto,
manganésio, magnésio, etc. Apesar de em geral apresentarem permeabilidades relativas inferiores aos



materiais ferromagnéticos, as ferrites distinguem-se pela baixíssima condutividade eléctrica, que lhes
permite reduzir significativamente as perdas por efeito de Joule associadas às correntes parasitas de
Foucault.

8.1.4 Indutância

A indutância (L) é o parâmetro que relaciona a corrente eléctrica com o fluxo magnético gerado

(8.20)

cuja unidade é o henry, H.

Considerem-se novamente os dois fios condutores paralelos representados na Figura 8.1, repetidos na
Figura 8.6 para facilitar a sua consulta.

Figura 8.6 Indutância de dois condutores paralelos

Admita-se então que os condutores são percorridos por correntes eléctricas com sentidos opostos e
intensidade idêntica, i =i =i. Nestas condições, a intensidade do campo magnético gerado por qualquer um
1 2
dos dois condutores num ponto P do plano (no plano definido pelos dois condutores) é dada pela expressão

(8.21)

em que x define a distância entre o condutor-1 ou -2 e o ponto. Tendo em conta os sentidos opostos
1 ou 2
das correntes, o integral da densidade do fluxo magnético no plano conduz ao resultado (por unidade de
comprimento dos condutores e admitindo µ =1)
r



(8.22)

relação na qual se inscreve a indutância por unidade de comprimento

H/m, henry por metro (8.23)

Este procedimento pode ser adoptado para calcular a indutância de qualquer estrutura de correntes
eléctricas. Por exemplo, a aplicação deste procedimento ao cabo coaxial da Figura 8.7 conduz à indutância
por unidade de comprimento (µ =1)
r

(8.24)

Figura 8.7 Indutância de um cabo coaxial

Nos dois casos considerados, calculou-se o integral da densidade de fluxo magnético em superfícies
convencionais, como sejam, por exemplo, o plano definido pelos dois condutores paralelos (Figura 8.6) e o
plano no qual se inscreve o diâmetro dos condutores concêntricos característicos do cabo coaxial. No
entanto, no caso das bobinas com N espiras e núcleo cilíndrico ou toroidal, a superfície de integração do
fluxo magnético deve ser aquela definida pelas N espiras, isto é, uma superfície N vezes superior àquela
definida pela espira individual (Figura 8.8).



Figura 8.8 Indutância de uma bobina com N espiras

Como se verá de seguida, o parâmetro indutância é fundamental no estabelecimento da relação entre a
corrente eléctrica num condutor e a tensão induzida aos terminais por intermédio do fenómeno da indução
electromagnética. Por esta razão, é importante determinar não o fluxo magnético em si, mas o fluxo em
todas as superfícies que possam vir a ser sede do fenómeno atrás referido (apesar de serem as mesmas
linhas de força que atravessam todas as superfícies). Raciocinando nestes termos, pode demonstrar-se que o
fluxo magnético que atravessa as N espiras da bobina representada na Figura 8.8 se relaciona com a
corrente na mesma através da relação (l é o comprimento do núcleo sobre o qual existem espiras)

(8.25)

isto é, que a indutância respectiva é

(8.26)

O coeficiente k é idealmente unitário (l>>r), sendo em geral inferior à unidade e dependente do valor
particular do cociente l/r.

8.1.5 Fenómeno da Indução Electromagnética

A indução electromagnética é o fenómeno através do qual se geram tensões e correntes eléctricas a partir
das variações na intensidade do fluxo magnético. Como se indica na Figura 8.9, existe indução de uma
tensão eléctrica aos terminais de um condutor quando:

(i) o condutor se move cortando as linhas de fluxo do campo magnético (a);

(ii) uma espira (ou N espiras) se move num campo constante no tempo mas variável no
espaço (conforme se indica em (b), o fluxo que atravessa a espira varia em função da
posição);



(iii) o condutor (ou a espira, ou as N espiras) se encontra imóvel mas o fluxo apresenta
variações temporais (c);

(iv) o condutor se encontra imóvel, mas imerso num fluxo variável no tempo gerado pela
sua própria corrente (d).

Considere-se o caso relativamente simples do fio condutor representado na Figura 8.9.a, movendo-se em
direcção perpendicular às linhas do fluxo magnético. Existindo no seio do condutor cargas eléctricas livres
(electrões), o seu transporte em conjunto com o condutor corresponde, para todos os efeitos, à presença de
uma corrente no sentido contrário ao do deslocamento. Como tal, o produto externo do campo pela corrente
conduz a uma força magnética no sentido indicado na figura, a qual desloca e acumula as cargas eléctricas
negativas num dos extremos do fio condutor (deixando a extremidade oposta vazia de electrões, isto é,
carregada positivamente). O acumular de cargas opostas nas duas extremidades do fio condutor equivale ao
estabelecimento de uma tensão eléctrica, designada por força electro-motriz induzida (f.e.m.).



Figura 8.9 Fenómeno da indução electromagnética

A situação (iv) (Figura 8.9.d) indica que o fluxo magnético gerado por um qualquer fluxo de corrente
variável no tempo induz aos terminais da sua própria estrutura uma tensão eléctrica. A Lei de Faraday
estabelece que a intensidade da força electro-motriz induzida é

(8.27)

8.1.6 Coeficientes de Auto-Indução e de Indução Mútua

No caso de uma bobina com N espiras a intensidade da tensão eléctrica induzida aos próprios terminais é
expressa pela relação (Figura 8.10.a)

(8.28)

a qual tendo em conta (8.20) se pode escrever na forma



(8.29)

Figura 8.10 Coeficiente de auto-indução de uma bobina (a) e de indução mútua entre bobinas (b)

O parâmetro L é neste caso mais propriamente designado por coeficiente de auto-indução da bobina.

Considere-se agora uma segunda bobina que partilha algum do fluxo gerado pela bobina anterior (Figura
8.10.b). Neste caso, aos terminais da segunda bobina é induzida uma tensão eléctrica de intensidade

(8.30)

em que N é o número de espiras da segunda bobina e k é um coeficiente inferior à unidade representativo
2
da percentagem do fluxo magnético gerado pela bobina-1 e que atravessa a segunda bobina. O factor M é
designado por coeficiente de indução mútua, estabelecendo assim a relação entre as variações da corrente
na primeira bobina e a tensão induzida na segunda.

O tópico da indução mútua entre bobinas será tratado com pormenor no Capítulo 13, no âmbito do estudo
do transformador eléctrico.


8.2 Características Tensão-Corrente

8.2 Característica Tensão-Corrente

8.2.1 Características v(i) e i(v)

O coeficiente de auto-indução relaciona a tensão aos terminais de uma bobina com as variações na corrente
respectiva

(8.31)

Uma análise sumária da característica (8.31) permite concluir que:

(i) as correntes constantes no tempo não induzem qualquer tensão aos terminais da bobina;

(ii) as correntes variáveis no tempo, mas com derivada finita, induzem tensões finitas;

(iii) as correntes sinusoidais induzem tensões também sinusoidais;

(iv) as variações infinitamente rápidas da corrente induzem picos de tensão com amplitude
infinita.

A integração de ambas as partes da relação (8.31) permite identificar a bobina como um elemento
integrador da tensão eléctrica

t>t (8.32)
o

em que i(t ) define o valor inicial da corrente na bobina.
o

8.2.2 Energia Magnética Armazenada

A energia magnética armazenada numa bobina é dada pelo integral no tempo da potência fornecida

(8.33)

No entanto, por substituição de (8.31) em (8.33)

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_08/carateco.htm (1 of 2)06-06-2005 12:38:39

8.2 Características Tensão-Corrente

(8.34)

que após aplicação do método de substituição para integrais conduz ao resultado

(8.35)

Por exemplo, admitindo que em t=-∞ a bobina se encontrava descarregada, i(-∞ )=0,

(8.36)

Convém ter presente que a bobina é um elemento que armazena energia sob a forma de um campo
magnético.

A equação (8.36) indica que a energia armazenada numa bobina é uma função crescente da corrente
eléctrica. Assim, sendo que as variações na corrente, e portanto no fluxo magnético e na energia, resultam
do integral da tensão aplicada aos terminais da mesma, então aquelas variáveis devem necessariamente ser
funções contínuas no tempo. As variações em degrau só são possíveis nos casos em que a amplitude da
tensão atinge valores infinitamente elevados, como é o caso da função delta de Dirac. Assim, a valores
finitos da tensão aplicada correspondem as condições de continuidade nas variáveis

+ - (8.37)
i(t ) = i(t )
+ -
Φ (t ) = Φ (t ) (8.38)

e

+ - (8.39)
w(t ) = w(t )

respectivamente para a corrente eléctrica, para o fluxo magnético e para a energia magnética armazenada.


8.3 Associação de Bobinas


8.3.1 Associação em Série

Considerem-se as k bobinas associadas em série representadas na Figura 8.11.a.

Figura 8.11 Associação de bobinas em série

A aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões à malha permite escrever a igualdade

(8.40)

a qual, em conjunto com a característica tensão-corrente da bobina

(8.41)

conduz à relação

(8.42)

em que

(8.43)

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_08/assocbob.htm (1 of 3)06-06-2005 12:38:40


define o coeficiente de auto-indução equivalente série.

8.3.2 Associação em Paralelo

Considerem-se as k bobinas associadas em paralelo da Figura 8.12.a.

Figura 8.12 Associação de bobinas em paralelo

A aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes permite escrever a igualdade

(8.44)

a qual, em conjunto com a característica tensão-corrente da bobina (na forma integral)

(8.45)

equivale a

(8.46)

ou ainda

(8.47)



em que

(8.48)

define o coeficiente de auto-indução da bobina equivalente paralelo (Figura 8.12.b).


8.4 Divisores Indutivos de Tensão e de Corrente


Considerem-se as duas bobinas associadas em série representadas em 8.13.a.

Figura 8.13 Divisores indutivos de tensão (a) e de corrente (b)

A aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões à malha permite escrever

(8.49)

que equivale a

(8.50)

Tendo em conta (8.50), a tensão na bobina L1 pode ser expressa na forma

(8.51)

a qual indica que à maior das bobinas corresponde a maior das quedas de tensão.

Considerem-se agora as duas bobinas associadas em paralelo representadas na Figura 8.13.b. Recorrendo à
Lei de Kirchhoff das correntes e à característica tensão-corrente da bobina, pode demonstrar-se que a
corrente na bobina L1 é dada por

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_08/diviindu.htm (1 of 2)06-06-2005 12:38:41


(8.52)

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8.5 Tipos de Bobinas


As bobinas são geralmente classificadas com base num conjunto relativamente amplo de parâmetros: o
valor nominal; a tolerância do valor nominal; o tipo de material constituinte do núcleo; a resistência do
enrolamento (d.c.); a corrente máxima; o factor de qualidade; a frequência de ressonância própria; etc.

No que respeita ao material do núcleo, as bobinas podem ser de quatro tipos essencialmente distintos: com
núcleo de ar; com núcleo de ferro; com núcleo de pó de metal; e com núcleo de ferrite.

As bobinas com núcleo de ar consistem basicamente no enrolamento de um fio condutor num suporte de
material não magnético, como o plástico ou a fibra de vidro. O material e a espessura do fio condutor
diferem consoante o tipo de aplicação da bobina. Em baixas frequências utiliza-se fio de cobre isolado por
um verniz, mas em aplicações de alta frequência é comum utilizar-se técnicas especiais de enrolamento dos
fios condutores, em particular com vista a reduzir as consequências negativas do efeito pelicular. A
dimensão das bobinas com núcleo de ar pode variar entre a fracção e a centena de espiras, em geral
enroladas em camadas sobrepostas. É também usual impregnar as bobinas com um material isolador
resistente aos agentes químicos presentes no ar, como a humidade, garantindo-se-lhes, também, uma maior
resistência mecânica.

O objectivo da utilização de um núcleo magnético numa bobina é o aumento do respectivo coeficiente de
auto-indução. Como se referiu ao longo deste capítulo, o coeficiente de auto-indução de uma bobina é uma
função crescente do número de espiras (ao quadrado, note-se) e da permeabilidade magnética do meio em
que são induzidas as linhas de fluxo, podendo esta última ser largamente amplificada, com recurso a
materiais como o ferro, o ferro-silício, o ferro-níquel e as ferrites de níquel, cobalto, manganésio e
magnésio.

É comum agrupar os núcleos magnéticos em três classes: de ferro maciço (raros) ou laminado, de pó
metálico e de ferrite. A minimização das correntes de Foucault orienta a escolha entre as diversas
alternativas. A variação continuada da magnetização do núcleo induz no mesmo um fluxo de correntes
eléctricas parasitas, sobretudo em alta frequência, às quais se encontra associado o fenómeno da dissipação
de calor por efeito de Joule. A redução destas correntes passou inicialmente pela aplicação de núcleos de
chapa laminada, que ao se encontrarem isoladas umas das outras interrompem e reduzem a dimensão dos
caminhos percorridos pelas correntes. As alternativas à solução laminada são a utilização de um núcleo de
pó metálico de dimensões micrométricas, aglutinado e comprimido com um material sintético isolador, ou
então recorre-se às designadas ferrites. As ferrites são basicamente cristais mistos que apresentam,
simultaneamente, elevadas permeabilidade magnética relativa e resistividade eléctrica. As soluções mais
comuns são as ferrites de níquel, de cobalto, de manganésio e de magnésio.

Figura 8.14 Algumas bobinas disponíveis

É comum caracterizar as bobinas com o seguinte conjunto de parâmetros técnicos:

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_08/tiposbob.htm (1 of 2)06-06-2005 12:38:41


(i) valor nominal do coeficiente de auto-indução;

(ii) tolerância do valor nominal;

(iii) resistência do enrolamento (d.c.);

(iv) corrente máxima;

(v) frequência de ressonância intrínseca;

(vi) factor de qualidade às frequências de referência;

(vii) resistência de isolamento entre as espiras;

(viii) coeficiente de temperatura;

(ix) gama de variação do valor nominal (em bobinas com núcleo móvel);

(x) gama de frequências recomendada, em particular devido ao efeito pelicular e às
capacidades parasitas entre espiras.

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8.6 Sensores Indutivos

8.6 Sensores Indutivos

Os sensores ou transdutores indutivos associam a variação de uma grandeza não eléctrica a uma alteração
da indutância ou coeficiente de auto-indução de uma bobina. Apesar de a indutância de uma bobina ser uma
função da permeabilidade magnética do núcleo e da forma e dimensões físicas respectivas, é a primeira
destas variáveis que geralmente se utiliza para detectar as variações nas grandezas a medir. A variação da
indutância é uma consequência da variação do fluxo magnético total gerado pela corrente eléctrica na
bobina, seja devido à variação da posição do núcleo no interior, seja devido à variação da distância entre
aquela e um objecto externo constituído por uma material de elevada permeabilidade magnética.

Hoje em dia existe uma relativa variedade de sensores indutivos, principalmente de deslocamento, de
proximidade e de pressão. Na Figura 8.15 consideram-se os exemplos de dois transdutores indutivos de
deslocamento e de proximidade. O sensor em (a) é constituído por uma bobina cujo núcleo magnético é
móvel e se encontra fisicamente ligado ao objecto cujo movimento ou posição se pretende medir. O
deslocamento do núcleo altera o fluxo magnético total desenvolvido, neste caso por variação da relação
entre o número de espiras enroladas sobre o núcleo magnético e sobre o ar. Um outro exemplo de sensor
indutivo é o detector de proximidade ilustrado na Figura 8.15.b. Neste caso, a indutância da bobina é
alterada por efeito da aproximação ou afastamento do objecto cuja proximidade se pretende detectar,
objecto que regra geral é constituído por um material de elevada permeabilidade magnética. A maior ou
menor proximidade do objecto tem consequências sobre o fluxo magnético total desenvolvido pela corrente
na bobina, que equivale ao coeficiente de auto-indução respectivo.

Figura 8.15 Sensores indutivos de deslocamento (a) e de proximidade (b)

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_08/sensindu.htm06-06-2005 12:38:42

Sumário

Sumário

A bobina é um componente de circuito cuja função é armazenar energia sob a forma de campo magnético.
O coeficiente de auto-indução (ou indutância) de uma bobina é o parâmetro que relaciona as variações na
corrente com a tensão induzida aos seus terminais. A indutância é uma função do número de espiras, das
dimensões físicas da bobina e da permeabilidade magnética do núcleo. A unidade da indutância é o henry
(H).

Os materiais podem ser diamagnéticos, paramagnéticos, ferromagnéticos, ferrimagnéticos e
antiferromagnéticos. Os materiais como o ferro, o ferro-silício e o ferro-níquel (ferromagnéticos) e as
ferrites de níquel, cobalto, manganésio, magnésio (ferrimagnéticos) apresentam elevados valores de
permeabilidade magnética relativa.

A corrente e a tensão aos terminais de uma bobina relacionam-se por uma derivada.

É comum classificar as bobinas consoante a gama de frequências a que se destinam, a corrente e a energia
magnética máxima permitida, o tipo de material constituinte do núcleo, a possibilidade de variar ou
sintonizar o coeficiente de auto-indução, e a utilização de mecanismos de blindagem do fluxo magnético.
Existem bobinas com núcleo de ar, de ferro maciço ou laminado, de pó de metal aglutinado com um
material isolador e de ferrite. As principais características técnicas das bobinas são o valor nominal, a
tolerância, a gama de variação possível para a indutância, a gama de frequências e o factor de qualidade, a
resistência de isolamento entre espiras e o coeficiente de temperatura.




8.1 Determine o ritmo de variação do fluxo magnético (dΦ(t)/dt) numa bobina com N=10 espiras e a cujos
terminais é induzida uma tensão de 5 V.

8.2 Determine a indutância dos seguintes condutores:

(a) dois fios condutores paralelos com 10 m de comprimento, 1 cm de separação e 1 mm de
raio;

(b) um cabo coaxial com 10 m de comprimento, 1 mm de raio interno e 5 mm de raio
externo;

(c) uma bobina cilíndrica com 100 espiras, núcleo com raio de 1 cm e comprimento de 10
cm (k=1).

8.3 Considere uma bobina de indutância L=1 µH cuja corrente inicial é i(t )=10 mA. Admitindo a forma de
o
onda da tensão representada na Figura E8.3, determine:

(a) a corrente na bobina entre t=5 ms e t=10 ms;

(b) a energia magnética armazenada na bobina em t=0 ms, t=5 ms e t=10 ms.

Figura E8.3

8.4 Considere uma bobina de 1 mH cuja corrente varia como indicado na Figura E.8.4. Desenhe a forma de
onda da tensão e da energia magnética armazenada na bobina.



Figura E8.4

8.5 Considere uma bobina de indutância 1µH cuja tensão aplicada varia como na Figura E.8.5. Admitindo
uma corrente inicial na bobina de i(t )=10 mA, desenhe a forma de onda da corrente e da energia
o
magnética armazenada.

Figura E8.5

8.6 A corrente numa bobina cresce linearmente de zero até 5 A num intervalo de tempo de 1 ms. Sabendo
que o coeficiente de auto-indução da bobina são 2 mH, determine o valor da tensão induzida aos terminais
da mesma.

*8.7 Determine o coeficiente de auto-indução equivalente de três bobinas de valores 10 mH, 5 mH e 1 mH
associadas:

(a) em série;

(b) em paralelo.

*8.8 Para cada circuito representado na Figura E8.8, determine o valor da indutância equivalente aos
terminais a-b.



Figura E8.8

*8.9 Para cada circuito em E.8.9 determine o valor da tensão entre os terminais a-b.

Figura E8.9

*8.10 Para cada circuito representado na Figura E.8.10, determine o valor da corrente i indicada.
x



Figura E8.10


Fotografias de Tipos de Bobinas


Bobina com Núcleo de Ferrite Bobina com Núcleo de Ferrite Bobina com Núcleo de Ferrite
(100 µH) (RF Choke; 1 mH) (RF Choke; 1 µH)
Tolerância: ± 10% Tolerância: ± 10% Tolerância: ± 10%
resistência d.c.: 2.5 Ω resistência d.c.: 30 Ω resistência d.c.: 0.04 Ω
Corrente Máx.: 400 mA Corrente Máx.: 100 mA Corrente Máx.: 2.7 A
Factor Qualidade: 100 @ 1 MHz Factor Qualidade: 85 @ 800 kHz Factor Qualidade: 45 @ 15 MHz
freq. Ressonância: 5.5 MHz freq. Ressonância: 3 MHz freq. Ressonância: 190 MHz

Bobina Núcleo de Ferrite Bobina com Núcleo de Ferrite Bobina com Núcleo de Ferrite
(1 mH) (RF Choke; 100 mH) (RF Choke; 100 µH)
resistência d.c.: 4 Ω Resistência d.c.: 82 Ω Resistência d.c.: 2 Ω
Corrente Máx.: 210 mA Corrente Máx.: 5 mA Corrente Máx.: 200 mA
Factor Qualid.: 150 @ 150 kHz Factor Qualid.: 100 @ 50 kHz Factor Qualid.: 60 @ 796 kHz
freq. Ressonância: 1.8 MHz Freq. Ressonância: 90 kHz Freq. Ressonância: 6.1 MHz

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_08/foto_085.htm (1 of 2)06-06-2005 12:38:46


Bobinas Híbridas de Filme Fino Suporte para enrolamento de
(2.7 nH) bobina com Núcleo de Ferrite
Tolerância: ± 0.5%
Resistência d.c.: 0.08 Ω
Corrente Máx.: 1 A
Factor Qualid.: 42 @ 450 MHz
Freq. Ressonância: 10 GHz


7.1 Capacidade Eléctrica


Nesta secção introduzem-se as grandezas e constantes eléctricas necessárias à compreensão do conceito de
capacidade eléctrica. Estas grandezas são o fluxo eléctrico (Ψ), a densidade de fluxo eléctrico (D), a
permitividade eléctrica do vazio (ε ) e a constante dieléctrica dos materiais (ε ).
o r

Considerem-se duas cargas pontuais Q e -Q (Figura 7.1), positiva e negativa respectivamente, e imersas no
espaço vazio. Sabe-se já que a amplitude da força eléctrica de atracção entre as cargas é dada pela expressão

(7.3)

em que ε =8.85419*10-12 F/m define a permitividade eléctrica do vazio. A intensidade do campo eléctrico
o
criado pela carga Q à distância r é expressa por

(7.4)

de direcção radial e sentido divergente.

Por analogia com a teoria do campo magnético, associa-se o fluxo eléctrico às linhas de força que irradiam
ou convergem num corpo carregado electricamente.

Figura 7.1 Fluxo eléctrico

O fluxo eléctrico gerado por uma carga eléctrica de valor Q é, por definição,

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_07/capaelec.htm (1 of 7)06-06-2005 12:38:48


C, coulomb (7.5)

e irradia das cargas positivas e converge nas cargas negativas. Por outro lado, define-se densidade de fluxo
eléctrico por unidade de área ao cociente

C/m2, coulomb por metro quadrado (7.6)

medida do quanto densas são as linhas de força numa determinada região do espaço. Por exemplo, no caso
da carga Q representada na Figura 7.1.a, a densidade do fluxo eléctrico na superfície esférica de raio r em
2
torno da carga, de área A=4πr , é

(7.7)

portanto, proporcional à intensidade do campo eléctrico e à permitividade do meio.

Figura 7.2 Condensador de placas paralelas

Considere-se agora na Figura 7.2.a o caso de duas placas com área A, paralelas e separadas por um espaço
vazio de espessura d. Ambas as placas se encontram carregadas electricamente, uma com cargas positivas,
Q, e a outra com cargas negativas, -Q, o que significa que todas as linhas de fluxo irradiantes de uma
convergem na outra. De acordo com a definição, o fluxo eléctrico estabelecido entre as placas é

(7.8)



o qual corresponde à densidade de fluxo

(7.9)

admitindo que a dimensão das placas é muito superior à distância entre elas, A>>d, e que, portanto, as
linhas de força são aproximadamente paralelas. O campo eléctrico no espaço entre placas é neste caso
uniforme e dado pelo cociente

(7.10)

A expressão da densidade de fluxo eléctrico, (7.9), em conjunto com as relações (7.7), (7.8) e (7.10),
permitem expressar a carga nas placas em função da tensão eléctrica respectiva

(7.11)

ou seja,

(7.12)

em que

F, farad (7.13)

define a capacidade eléctrica do condensador.



Figura 7.3 Símbolos alternativos do condensador

Duas quaisquer superfícies condutoras isoladas electricamente definem um condensador. Como se
exemplifica na Figura 7.4.a, dois condutores coaxiais isolados electricamente definem um condensador de
capacidade eléctrica

(7.14)

em que l, r er definem, respectivamente, o comprimento e o raio dos condutores externo e interno,
ext int
enquanto dois condutores paralelos e extensos (Figura 7.4.b) implementam um condensador cuja
capacidade eléctrica é

(7.15)

em que r e d definem, respectivamente, o raio e a distância entre condutores.

Figura 7.4 Capacidade eléctrica de um cabo coaxial (a) e de dois fios condutores paralelos (b)

Na derivação da expressão da capacidade eléctrica admitiu-se sempre que as placas do condensador se
encontravam imersas no espaço vazio. Nos casos em que o espaço compreendido entre as placas é ocupado
por um material com propriedades dieléctricas, como a mica, alguns plásticos, algumas cerâmicas, etc., a
permitividade relativa do meio é superior à unidade e deve ser considerada na expressão da capacidade
eléctrica. Com efeito, a capacidade eléctrica de um condensador de placas paralelas é dada pela expressão
genérica



(7.16)

em que ε define a permitividade relativa ou constante dieléctrica do meio. Na Tabela 7.1 indicam-se as
r
constantes dieléctricas características de alguns materiais isoladores, como o ar, o papel parafinado, a mica,
o plástico, a água destilada, etc. Alguns materiais dieléctricos permitem aumentar de forma drástica a
capacidade eléctrica de um condensador, e o consequente armazenamento de quantidades significativas de
carga eléctrica sem que para tal se desenvolvam tensões elevadas aos seus terminais.

A constante dieléctrica é uma medida do campo eléctrico de oposição (di=oposição) induzido no material
pelo campo eléctrico aplicado. Apesar de os materiais isoladores serem constituídos por átomos ou
moléculas às quais dificilmente se subtraem electrões para suportar o fenómeno da condução eléctrica, a
aplicação de um campo eléctrico a um material com propriedades dieléctricas provoca a deformação das
órbitas electrónicas em torno do núcleo e conduz à criação de tantos dipólos eléctricos quantos os átomos
ou moléculas deformados. O alinhamento dos dipólos eléctricos induzidos é designado por fenómeno de
polarização do dieléctrico (Figura 7.5), o qual se encontra na origem de um campo eléctrico de sentido
contrário àquele aplicado externamente. Como se indica nas Figuras 7.5.a e 7.5.b, os dipólos induzidos
anulam-se reciprocamente no interior do dieléctrico, deixando no entanto um conjunto de cargas negativas
e positivas acumuladas junto às placas positiva e negativa, respectivamente.

MATERIAL εr MATERIAL εr
vácuo 1 porcelana 6
ar 1.0006 alumina 8.1~9.5
teflon 2 titanatos 50~10000
papel parafi. 2.5 Silício fund. 3.8
plástico 3 pyrex 5.1
papel 4~6 polistireno 2.5~2.6
óleo 4 água dest. 80
mica 3~7

Tabela 7.1 Constante dieléctrica de diversos materiais

Uma das interpretações possíveis do efeito causado pelo dieléctrico consiste em equacionar a tensão entre
as placas, a carga acumulada e o campo eléctrico no seio do material.

Considerem-se dois condensadores idênticos na forma mas distintos no material do dieléctrico, por
exemplo um com dieléctrico de vazio e outro com dieléctrico de mica. Admita-se ainda que se fixa a tensão
entre as placas, V, ou seja, que se impõe no dieléctrico um campo eléctrico resultante E=V/d. De acordo
com o fenómeno do campo eléctrico induzido (de oposição), no caso do condensador de mica o campo
eléctrico pré-estabelecido pelas cargas nas placas deve ser superior àquele que na realidade existe no seio



do dieléctrico, uma vez que o campo de oposição actuou reduzindo-o. Por conseguinte, a carga nas placas,
responsável pelo campo pré-estabelecido, deve ser também ela superior àquela característica do
condensador com dieléctrico de vazio. Deste modo, as consequências da existência de um dieléctrico são
basicamente duas:

(i) para a mesma tensão aplicada, a carga acumulada nas placas do condensador de mica é
superior;

(ii) para a mesma carga acumulada, a tensão entre os terminais do condensador de mica é
inferior.

De acordo com o enunciado (i),

(7.17)

ou seja

(7.18)

de onde se pode expressar a permitividade relativa da mica na forma

(7.19)

O efeito causado pelo dieléctrico pode ainda interpretar-se de uma outra maneira:

(i) no condensador de vazio, o fluxo eléctrico é inteiramente gerado nas cargas positivas e
converge nas cargas negativas, localizadas nas placas;

(ii) no condensador de mica, os dipólos induzidos constituem fontes adicionais de fluxo
eléctrico, que no seio do dieléctrico têm sentido contrário àquele pré-estabelecido a partir
das placas.

É a compensação do fluxo de oposição que induz a acumulação de uma maior quantidade de carga nas
placas do condensador de mica, por forma a garantir a mesma tensão entre as placas.



Figura 7.5 Campo eléctrico de oposição induzido no dieléctrico de um condensador




7.2.1 Características i(v) e v(i)

A capacidade eléctrica equaciona as grandezas tensão e carga eléctrica acumulada num condensador

q(t) = Cv(t) (7.20)

As variações na carga acumulada definem a corrente nos terminais de acesso

(7.21)

expressão que é vulgarmente designada por característica tensão-corrente do condensador. Uma análise
sumária da característica (7.21) permite concluir que:

(i) a tensões constantes correspondem correntes nulas;

(ii) a tensões variáveis no tempo, mas com derivada finita, correspondem correntes finitas;

(iii) a tensões sinusoidais correspondem correntes também sinusoidais;

(iv) a variações infinitamente rápidas da tensão correspondem picos de corrente de
amplitude infinita.

Na Figura 7.6 apresenta-se uma interpretação qualitativa da característica tensão-corrente do condensador.
Admita-se que no instante t=0 são nulas a tensão, a carga acumulada e a variação da carga (a corrente) nos
terminais de um condensador (a). Admita-se ainda que a partir de t=0 se injecta no mesmo uma corrente
eléctrica (cargas), positiva no sentido indicado em (b), isto é, que da placa esquerda se retiram electrões
(acumulando aí cargas positivas) e que à placa da direita se fornecem electrões.



Figura 7.6 Corrente eléctrica num condensador

Como se indica em (c), do ponto de vista dos terminais de acesso ao exterior, o condensador comporta-se
como um elemento através do qual circula uma corrente, independentemente do facto de o dieléctrico ser
ou não isolador. A existência de um movimento de cargas nos terminais de acesso às placas não reflecte a
presença de uma corrente eléctrica através do dieléctrico, mas sim a acumulação e remoção de cargas nas
placas esquerda e direita. Naturalmente que a existência ou não de uma corrente eléctrica se reflecte na
existência ou não de uma variação na quantidade de carga acumulada e na respectiva tensão entre placas.

O condensador pode ainda ser encarado como elemento integrador de corrente. Com efeito, a integração de
ambos os termos de (7.21) conduz à relação integral

t>t (7.22)
o

em que v(t ) define o valor inicial da tensão aos terminais do condensador.
o

7.2.2 Energia Eléctrica Armazenada

A energia eléctrica armazenada num condensador é dada pelo integral no tempo da potência fornecida

(7.23)

No entanto, por substituição de (7.21)

(7.24)

que por aplicação do método de substituição para integrais permite obter



(7.25)

ou seja

(7.26)

Por exemplo, admitindo que em t=-∞ o condensador se encontrava descarregado, v(-∞ )=0,

(7.27)

ou, por substituição da relação q(t)=Cv(t),

(7.28)

Convém notar que o condensador armazena mas não dissipa energia.

Uma vez que a carga acumulada num condensador resulta do integral da corrente, então as variáveis carga,
tensão e energia devem necessariamente ser uma função contínua no tempo (as variações em degrau só
seriam possíveis caso a corrente atingisse valores infinitamente elevados). Valores finitos da corrente
eléctrica têm como consequência as condições de continuidade

(7.29)

(7.30)

e

(7.31)

em qualquer instante de tempo, respectivamente para a carga acumulada, para a tensão entre placas e para a
energia armazenada.




Exemplo-1: Considere-se o circuito e o sinal representados na Figura 7.7, e admita-se que em t=0 o
condensador se encontra descarregado. Pretende-se determinar e representar graficamente, em função do
tempo, a tensão aos terminais do condensador.

Figura 7.7 Exemplo de aplicação: variáveis corrente e tensão eléctrica num condensador

Resolução: A aplicação da forma integral da característica tensão-corrente do condensador permite
escrever a tensão aos terminais na seguinte forma:

t<0

0<t<1

1<t<2

2<t<3

3<t<4



t>3

cuja representação gráfica se ilustra em 7.7.c. A correntes positivas, nulas e negativas correspondem,
respectivamente, tensões crescentes, constantes e decrescentes no tempo.

Exemplo-2: Considerem-se o circuito e a forma de onda da fonte de corrente representados na Figura 7.8.a,
e admita-se que a tensão inicial aos terminais do condensador é v(t=0)=1 V. Pretende-se determinar e
representar graficamente, em função do tempo, as variáveis tensão, carga e energia armazenada no
condensador.

Figura 7.8 Exemplo de aplicação-2: corrente, carga, tensão e energia eléctrica num condensador



Resolução: À tensão inicial de 1 V correspondem a carga

e a energia

A carga acumulada em função do tempo é dada pelo integral da corrente

que resulta na forma de onda triangular representada em 7.8.c. A tensão aos terminais do condensador é
expressa pelo cociente

cuja forma coincide com aquela da carga (Figura 7.8.d). Finalmente, a energia armazenada no condensador
obtém-se a partir do produto

que no presente caso toma a forma de um sinal periódico constituído por arcos de uma equação quadrática
(Figura 7.8.e).


7.3 Associação de Condensadores



Considerem-se os k condensadores associados em paralelo da Figura 7.9.a.

Figura 7.9 Associação de condensadores em paralelo

A Lei de Kirchhoff das correntes

(7.32)

em conjunto com a característica tensão-corrente

(7.33)

permitem escrever a igualdade

(7.34)

ou seja,

(7.34)

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_07/assoccon.htm (1 of 3)06-06-2005 12:38:52


em que

(7.35)

define a expressão da associação em paralelo de condensadores (Figura 7.9.b).


Considere-se a associação em série de condensadores da Figura 7.10.a.

Figura 7.10 Associação de condensadores em série

A Lei de Kirchhoff das tensões

(7.36)

em conjunto com a característica tensão-corrente do condensador

(7.37)

permitem escrever a igualdade

(7.38)



que após simplificação conduz à relação

(7.39)

em que

(7.40)

define a expressão da associação em série de condensadores (Figura 7.10.b).


7.4 Divisores Capacitivos de Corrente e de Tensão


Considerem-se dois condensadores associados em paralelo (Figura 7.11.a).

Figura 7.11 Divisores capacitivos de corrente (a) e de tensão (b)

A aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes a um dos nós comuns aos dois condensadores permite
escrever a igualdade

(7.41)

que equivale a

(7.42)

Tendo em conta (7.42), a corrente no condensador C1 pode expressar-se na forma

(7.43)

a qual basicamente indica que pelo maior dos condensadores flui o maior dos fluxos de corrente. Este
resultado é oposto àquele estabelecido anteriormente para o divisor resistivo de corrente.

Considerem-se agora dois condensadores associados em série (Figura 7.11.b). Neste caso, pode facilmente

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_07/divicapa.htm (1 of 2)06-06-2005 12:38:52


demonstrar-se que a queda de tensão aos terminais do condensador C1 é dada pela expressão

(7.44)

que mais uma vez constitui um resultado oposto àquele estabelecido anteriormente para o divisor resistivo
de tensão.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_07/divicapa.htm (2 of 2)06-06-2005 12:38:52

7.5 Tipos de Condensadores


Tal como as resistências, os condensadores podem ser agrupados em três classes principais, a saber:
condensadores discretos, condensadores híbridos e condensadores integrados. Nesta disciplina dá-se
particular atenção ao estudo dos condensadores de tipo discreto e híbrido, deixando-se a cargo de
disciplinas posteriores a consideração das alternativas possíveis em matéria de condensadores integrados.

Os condensadores discretos podem ser fixos ou variáveis. A capacidade dos condensadores fixos é pré-
estabelecida durante o processo de fabrico, garantindo-se em geral uma determinada precisão no seu valor
nominal. Já a capacidade dos condensadores variáveis pode ser alterada ou ajustada pelo utilizador em
função das suas necessidades, sendo em geral utilizados na sintonia fina de circuitos. Os mecanismos de
ajuste da capacidade eléctrica são basicamente a variação das propriedades do dieléctrico, da superfície e da
distância entre placas.

No que respeita ao material do dieléctrico e dos eléctrodos, é comum encontrarem-se no mercado as
seguintes variedades de condensadores: dieléctrico de mica, papel, plástico, cerâmica, e electrolíticos de
alumínio ou de tântalo (líquido ou sólido), e eléctrodos de metal depositado ou em folha, tipicamente de
alumínio, de cobre ou de prata. Cada alternativa apresenta vantagens e inconvenientes, designadamente no
que respeita à gama de valores nominais comercializados, à tolerância, tensão máxima de trabalho,
coeficiente de temperatura, linearidade, resistência do dieléctrico, indutância parasita e respectivo
comportamento em frequência. A escolha do tipo de condensador adequado para cada aplicação pode
determinar a qualidade do desempenho de um circuito.

7.5.1 Condensadores de Mica

Os condensadores de mica são constituídos por um dieléctrico deste material interposto entre duas placas de
um material bom condutor (Figura 7.12.a). As placas de metal e de mica são empilhadas e intercaladas
umas nas outras (b), constituindo as folhas de metal pares e ímpares da pilha um e outro dos eléctrodos. Os
eléctrodos são em geral folhas de alumínio coladas sobre o dieléctrico, ou simplesmente um banho de prata
depositado sobre a superfície do mesmo. Os condensadores de mica são vulgarmente encapsulados num
invólucro de plástico moldado, o que confere resistência mecânica ao componente e isola os eléctrodos do
contacto com o exterior. É comum os condensadores de mica existirem em gamas compreendidas entre o
picofarad e as dezenas de nanofarad, apresentarem tolerâncias relativamente baixas (0.5 a 1%) e suportarem
tensões na gama compreendida entre os 100 V e as várias dezenas de milhar de volt. Em geral, os
condensadores de mica apresentam excelentes características técnicas, designadamente no que respeita à
estabilidade com a temperatura (~100 ppm/ºK) e à resistência de isolamento (vários GΩ), sendo
vulgarmente utilizados em aplicações de rádio-frequência.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_07/tiposcon.htm (1 of 6)06-06-2005 12:38:53


Figura 7.12 Aspectos tecnológicos da construção de um condensador de mica

7.5.2 Condensadores de Película ou Folha

Os condensadores de película consistem em pilhas de folhas de material dieléctrico intercaladas por
eléctrodos metálicos. Os materiais dieléctricos mais utilizados são o papel, o poliester, o policarbonato, o
polistireno, o polipropileno e o poliphenilenesulfito, cada um deles visando uma gama de aplicações muito
bem definida. Por exemplo, os condensadores com dieléctrico de poliester são recomendados para
aplicações gerais de baixa tensão e frequência (acoplamento capacitivo, acumulação de carga, supressão de
interferências, filtragem, temporização, etc.), ao passo que os de policarbonato são utilizados em aplicações
automóveis, portanto em ambientes de elevada temperatura, existindo no entanto também versões para
aplicações de filtragem, circuitos amostradores e retentores, etc. Os condensadores de poliphenilenesulfito
são geralmente utilizados em montagem superficial (SMD, não encapsulados), em aplicações de sintonia de
equipamentos de telecomunicações, os de papel são utilizados na supressão de interferências nas redes de
distribuição de energia eléctrica, os de polipropileno utilizam-se em aplicações de alta frequência e tensão,
etc. Os condensadores de película existem em gamas de valores nominais muito variadas, por exemplo
entre as centenas de picofarad e as dezenas de microfarad, para tolerâncias compreendidas entre 1 e 20%, e
para tensões máximas na gama das dezenas, passando pelas centenas e até ao milhar de volt.

7.5.3 Condensadores Cerâmicos

Os condensadores cerâmicos são construídos a partir da deposição ou colagem de um metal bom condutor
sobre uma cerâmica de elevada constante dieléctrica. Os condensadores de placa são constituídos por uma
folha cerâmica em cuja superfície se encontram colados os eléctrodos, em geral de cobre ou de prata,
enquanto os condensadores multicamada são formados por sucessivas folhas de material cerâmico em cuja
superfície se encontra depositado um metal bom condutor, tipicamente o paládio ou a platina (Figura 7.13.)
Os condensadores multicamada destinam-se em geral a aplicações de montagem superficial, apresentando
por isso dimensões típicas da ordem do milímetro.



Figura 7.13 Condensadores cerâmicos: de placa (a) e multi-camada (b)

É comum distinguirem-se duas classes de condensadores cerâmicos:

(i) condensadores da classe-1, com constantes dieléctricas relativamente baixas (algumas
unidades a centenas) mas de boa qualidade, designadamente no que respeita à resistência do
dieléctrico e à dependência da capacidade com a temperatura (utilizados essencialmente na
construção de osciladores e filtros);

(ii) condensadores da classe-2, de elevada constante dieléctrica (algumas centenas a
milhares de unidades) mas de piores características técnicas e utilizados essencialmente em
aplicações gerais de acoplamento de sinais.

A título de exemplo, a empresa Philips comercializa condensadores cerâmicos de placas e multi-camada
cujas constantes dieléctricas são ε >2000, 5000 ou 14000, da classe-2, e ε =6~250 da classe-1. Por
r r
exemplo, os condensadores da classe-2 apresentam valores nominais compreendidos entre as décimas do
picofarad e o microfarad, tolerâncias compreendidas entre os -20 e os 80%, e tensões máximas de trabalho
entre 63 e 500 V. Por outro lado, os condensadores da classe-1 cobrem a gama de capacidades
compreendidas entre 0.47 e 270 pF, suportam tensões máximas típicas de 100 ou 500 V, e apresentam
tolerâncias relativamente baixas, tipicamente 2%. Convém ainda salientar o facto de existirem
condensadores cerâmicos para aplicações gerais de baixa frequência (receptores TV, gravadores vídeo, etc.)
e para microondas (comunicações via satélite, telefone móvel, etc.).

7.5.4 Condensadores Electrolíticos

Existem dois tipos principais de condensadores electrolíticos: de alumínio e de tântalo, em ambos os casos
nas variantes sólida e líquida. Os condensadores electrolíticos baseiam o seu princípio de funcionamento na
criação de um dieléctrico de espessura micrométrica directamente na superfície de contacto entre dois
materiais condutores. Por exemplo, os condensadores electrolíticos de alumínio líquido são construídos a
partir de um conjunto de folhas de alumínio enroladas e intercaladas com um papel fino, absorvente e
banhado num electrólito. O conjunto electrólito-alumínio é inicialmente um bom condutor, propriedade que
sofre alteração após a aplicação de uma tensão entre o terminal de alumínio e o electrólito. A aplicação de



uma tensão constante entre as duas placas do condensador conduz à formação de uma finíssima camada de
óxido de alumínio na superfície de contacto entre o alumínio e o electrólito (de aproximadamente 0.1 µm de
espessura), processo durante o qual a função do electrólito consiste basicamente em fornecer oxigénio para
a reacção química em curso. É a camada de óxido de alumínio criada na superfície de contacto entre o
alumínio e o electrólito que constitui o dieléctrico do condensador.

Os condensadores electrolíticos são componentes cujos terminais são geralmente polarizados (hoje em dia
existem condensadores electrolíticos não polarizados). Para além do valor nominal da capacidade e da
tensão máxima de trabalho, os condensadores electrolíticos contêm na superfície externa uma indicação do
terminal positivo (ou negativo) da tensão. As condições de funcionamento devem garantir sempre uma
tensão positiva entre os terminais positivo e negativo do condensador. Aplicação de uma tensão negativa
pode conduzir à degradação irreversível das suas propriedades, podendo mesmo explodir. Os
condensadores electrolíticos apresentam valores de capacidade geralmente elevados, tipicamente entre as
décimas do microfarad e do farad, reduzidas tensões máximas de trabalho, geralmente inferior a 100 V,
resistência de isolamento do dieléctrico da ordem dos MΩ (que é um valor baixo), tolerâncias elevadas
(podendo mesmo atingir 100%) e coeficientes de temperatura relativamente elevados.

Os condensadores de tântalo, tal como os electrolíticos de alumínio, baseiam o seu funcionamento no
crescimento de um dieléctrico de óxido fino entre um material condutor e um electrólito. Estes
condensadores são construídos a partir de um pó de tântalo comprimido e aquecido de modo a formar um
bloco de material de elevada porosidade. O material é posteriormente imerso numa solução ácida, que
conduz à formação de uma fina película de óxido de manganésio envolvente da elevada superfície de
contacto. Seguidamente, adiciona-se um electrólito que estabelece o contacto negativo do condensador.
Estes condensadores são componentes polarizados, característica geralmente indicada na cápsula do mesmo
através de um conjunto de sinais.

Apesar de existirem condensadores da tântalo de elevada capacidade, tipicamente entre 2.2 e 100 µF, estes
apresentam dimensões relativamente pequenas quando comparadas com as dos condensadores electrolíticos
de alumínio. As características técnicas são bastante semelhantes às dos condensadores de alumínio,
nomeadamente algumas dezenas de volt de máxima tensão de trabalho, tolerâncias que podem atingir 50%,
coeficientes de temperatura superiores ao milhar de p.p.m./ºK, e resistência de isolamento do dieléctrico de
apenas alguns MΩ.

Os condensadores electrolíticos são utilizados em variadíssimas aplicações: fontes de alimentação,
equipamento industrial, de telecomunicações e automóvel (motores), acoplamento, filtragem,
temporizadores, etc.

7.5.5 Condensadores Híbridos

Os condensadores de filme espesso e de filme fino são utilizados na realização de circuitos híbridos
discreto-integrados. Estes condensadores são construídos por deposição de uma película de material
dieléctrico entre dois eléctrodos condutores, tudo sobre um substrato isolante de alumina, magnesia,
quartzo, vidro ou safira. Os materiais dieléctricos mais utilizados são o titanato de bário (ε =1000~3000), os
r
titanatos de magnésio e de zinco, o óxido de titânio (ε =12~160), no caso dos condensadores de filme
r



espesso; e monóxido de silício, o dióxido de silício, o pentóxido de tântalo (ε =4~25), no caso dos de filme
r
fino. Em face das aplicações a que se destinam estes condensadores são de dimensão relativamente
reduzida, da ordem do milímetro.

7.5.6 Condensadores Variáveis

A capacidade de um condensador pode ser alterada por intermédio de dois mecanismos básicos: variação da
espessura do dieléctrico; ou deslocamento da superfície das placas frente a frente. Os condensadores
variáveis são utilizados no ajuste fino do desempenho dos circuitos, tipicamente processado pelo fabricante
durante a fase de teste, e na sintonia dos circuitos. Os condensadores de ajuste fino são vulgarmente
designados por trimmers, podendo ser de pressão, de disco, tubulares ou de placas. Os trimmers são
geralmente de relativa pequena capacidade, da ordem das unidades às dezenas de picofarad, e cobrem
tipicamente uma gama 1 a 10 do seu valor nominal. Na Figura 7.14 ilustram-se alguns condensadores
variáveis actualmente existentes no mercado.

Figura 7.14 Alguns condensadores do tipo discreto actualmente disponíveis

7.5.7 Características Técnicas dos Condensadores

A utilização de condensadores em circuitos cuja qualidade e precisão do desempenho são factor primordial,
deve ser acompanhada de precauções no que respeita às características técnicas:

(i) a gama de capacidades coberta;

(ii) a tolerância do valor nominal;

(iii) a tensão máxima de trabalho, cuja superação pode conduzir à destruição do
condensador por perfuração do dieléctrico e ao estabelecimento de um curto-circuito entre
os eléctrodos;

(iv) a corrente de fugas pelo dieléctrico, também especificada através da resistência de
isolamento do mesmo;

(v) os efeitos da temperatura, designadamente o coeficiente de temperatura e a gama de
temperaturas de trabalho recomendada;

(vi) a indutância parasita e a respectiva frequência de ressonância;

(vii) a resistência dos terminais de acesso às placas;

(viii) a polarização ou não das placas, como sucede com os condensadores electrolíticos.

Em geral, este tipo de informação (e muito mais) encontra-se explicitada nos catálogos dos componentes,



sob a forma de tabelas ou de gráficos.

COR 1º DIGITO 2º DIGITO FACTOR (µF) Vmáx (V)
preto 0 0 1 10
castanho 1 1 - 1.6
vermelho 2 2 - 4
laranja 3 3 - 40
amarelo 4 4 - 6.3
verde 5 5 - 16
azul 6 6 - -
violeta 7 7 10-3 -
cinzento 8 8 10-2 25
branco 9 9 10-1 2.5

Figura 7.15 Código de identificação do valor nominal da capacidade e da tensão máxima de trabalho de um
condensador electrolítico de tântalo sólido (Philips)

7.5.8 Códigos de Identificação de Condensadores

É comum o valor nominal e algumas características técnicas dos condensadores serem impressos no
invólucro, mediante um código de letras, cores ou simplesmente de símbolos geométricos. No caso dos
condensadores electrolíticos de alumínio, de dimensões relativamente elevadas, é comum encontrar-se
impresso em algarismos e símbolos convencionais tanto o valor nominal da capacidade, como a tensão
máxima de trabalho e a polaridade dos terminais. Já os condensadores cerâmicos, de tântalo, poliester, etc.,
cujas dimensões são bastante reduzidas, é comum encontrar-se as características técnicas impressas com
base em códigos de letras, números ou cores. Na Figura 7.15 apresenta-se um condensador electrolítico de
tântalo sólido cujos valores nominais da capacidade e da tensão máxima de trabalho são impressos com
base num código de cores, bandas e símbolos geométricos.




Um sensor ou transdutor capacitivo é um condensador que exibe uma variação do valor nominal da
capacidade em função de uma grandeza não eléctrica. Uma vez que um condensador consiste basicamente
num conjunto de duas placas condutoras separadas por um dieléctrico, as variações no valor nominal da
capacidade podem ser provocadas por redução da área frente a frente e da separação entre as placas, ou por
variação da constante dieléctrica do material.

Os sensores capacitivos permitem medir com grande precisão um grande número de grandezas físicas, tais
como a posição, o deslocamento, a velocidade e a aceleração linear ou angular de um objecto; a humidade,
a concentração de gases e o nível de líquidos ou sólidos; a força, o torque, a pressão e a temperatura; mas
também detectar a proximidade de objectos, a presença de água e de pessoas, etc.

Hoje em dia existe uma grande variedade de aplicações que utilizam sensores capacitivos, de forma discreta
ou integrada. Por exemplo, são bastante comuns os sensores capacitivos de pressão, (caso dos microfones),
de aceleração, de fluxo de gases ou líquidos, de humidade, de compostos químicos como o monóxido de
carbono, dióxido de carbono, azoto, de temperatura, de vácuo, de nível de líquidos, de força, de
deslocamento, etc., uns detectando as variações na espessura do dieléctrico, outros na constante dieléctrica.
A detecção da variação da capacidade é geralmente efectuada através da medição da carga acumulada, por
exemplo através da aplicação de uma tensão constante, ou então indirectamente através da variação da
frequência de oscilação ou da forma de onda à saída de um circuito, do qual o sensor é parte integrante. Na
Figuras 7.16 apresentam-se os esquemas simplificados de alguns dos sensores capacitivos mais
vulgarmente utilizados.

Em 7.16.a considera-se o caso de um sensor capacitivo de deslocamento. Neste sensor os dois eléctrodos
são fixos e estão separados por uma película fina de um material cuja constante dieléctrica é superior à
unidade (ε >1), que se pode deslocar lateralmente em conjunto com o objecto cujo movimento se pretende
r
medir. O deslocamento da película altera a proporção entre as partes dos eléctrodos separadas por ar e pela
película de material dieléctrico, que se traduz numa variação linear da constante dieléctrica do conjunto e,
em consequência, da capacidade do condensador. Na prática existem diversas variantes deste princípio
básico, utilizadas por exemplo na construção de transdutores em rotores e estatores de motores.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_07/senscapa.htm (1 of 2)06-06-2005 12:38:54


Figura 7.16 Sensores capacitivos de deslocamento (a), de humidade (b) e de som (c)

Na Figura 7.16.b ilustra-se o esquema de princípio de um sensor capacitivo de humidade (designado sensor
higrométrico), o qual basicamente explora a dependência da constante dieléctrica de alguns materiais com o
teor de água no ar ambiente. O dieléctrico é neste caso constituído por uma película fina de um material
simultaneamente isolador e higroscópico o qual, dada a natureza porosa de um dos dieléctricos, se encontra
em contacto com o ambiente cuja humidade relativa se pretende medir.

O microfone de electrete constitui uma das aplicações mais comuns dos sensores capacitivos de pressão,
neste caso particular designados transdutores de som. Como se ilustra na Figura 7.16.c, os microfones deste
tipo são basicamente constituídos por um diafragma que vibra em função da frequência e da amplitude das
ondas sonoras incidentes (constituindo um dos eléctrodos do condensador), uma película fina de um
material permanentemente polarizado (de elevada constante dieléctrica), e um segundo eléctrodo metálico e
fixo. A vibração do diafragma induz uma variação na capacidade do condensador, que é posteriormente
processado e amplificado electronicamente.

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A capacidade de um condensador pode medir-se com um medidor-LCR, da designação em língua inglesa
LCR-meter. O medidor-LCR é um instrumento que permite medir a capacidade, a indutância e a resistência
eléctrica de um componente. Existem medidores-LCR portáteis de uso geral e de precisão para aplicações
laboratoriais, sendo na maior parte dos casos de tipo digital. No entanto, hoje em dia os multímetros
incluem já um medidor de capacidades, em conjunto com as funções de amperímetro, voltímetro e
ohmímetro.

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Sumário

Sumário

O condensador armazena cargas eléctricas. A capacidade eléctrica relaciona a tensão com a carga
armazenada, e é uma função da constante dieléctrica, e das dimensões físicas e da separação entre os
eléctrodos. A unidade de capacidade é o farad.

A corrente e a tensão eléctrica num condensador relacionam-se por uma derivada.

Existem três tipos básicos de condensadores: discretos, híbridos e integrados. Os condensadores discretos
mais comuns possuem um dieléctrico de mica, película (papel, plástico, etc.), cerâmica ou electrólitos de
alumínio ou de tântalo. Existem em gamas pré-estabelecidas e apresentam um conjunto de características
técnicas a considerar durante o dimensionamento dos circuitos: tolerância do valor nominal, tensão máxima
de trabalho, corrente de fuga pelo dieléctrico, variações com a temperatura, indutância, resistência parasita,
polaridade dos terminais, entre outras.

Existem sensores capacitivos de pressão, de fluxo de gases ou líquidos, de aceleração, de temperatura, de
vácuo, de nível de líquidos, de força, de deslocamento, de agentes químicos como a humidade, o monóxido
de carbono, etc.





7.1 Considere um condensador de placas paralelas com as seguintes características: eléctrodos com 10 cm2
de área, dieléctrico com 0.1 mm de espessura, carga acumulada Q=2*10-9 C e tensão entre eléctrodos
V=10 V. Determine a intensidade do campo eléctrico (E), o fluxo eléctrico (ψ), a capacidade (C) e a
constante dieléctrica do meio (ε ).
r

7.2 Determine a capacidade de um condensador de placas paralelas cuja área e espessura do dieléctrico são
A=10 cm2 e d=0.1 mm, respectivamente, e:

(a) dieléctrico de ar;

(b) dieléctrico com constante dieléctrica ε =75.
r

(c) Determine a tensão aos terminais de cada um destes dois condensadores, no caso em que
a carga acumulada é Q=1 nC.

7.3 Considere um condensador de papel parafinado com as seguintes características: A=0.08 m2 e d=0.2
mm. Admitindo uma tensão de 200 V entre os eléctrodos, determine:

(a) a intensidade do campo eléctrico no seio do dieléctrico;

(b) a carga acumulada no condensador;

(c) a capacidade eléctrica do condensador.

7.4 Duas folhas de alumínio de 15m * 1m encontram-se enroladas uma na outra, tendo no meio uma folha
de plástico de 0.5mm de espessura e constante dieléctrica ε =3. Determine a capacidade eléctrica do
r
condensador e a carga acumulada quando a tensão aplicada é V=5 V.

Característica i(v) e v(i) do Condensador

7.5 Considere um condensador cuja capacidade e tensão inicial entre eléctrodos são, respectivamente 2.2
µF e v(t )=10 V. Admitindo para a corrente a forma de onda indicada na Figura E7.5, determine:
o

(a) a tensão aos terminais do condensador em t=5 ms e t=10 ms;



(b) a energia eléctrica armazenada no condensador em t=0 ms, t=5 ms e t=10 ms.

Figura E7.5

7.6 Considere um condensador de 1 mF cuja tensão aos terminais varia como se indica na Figura E7.6.
Desenhe a forma de onda da corrente e da energia eléctrica armazenada no condensador.

Figura E7.6

7.7 Considere um condensador de 1 mF cuja corrente varia como na Figura E7.7. Admitindo uma tensão
inicial no condensador de 10 V, desenhe a forma de onda da tensão e da energia eléctrica armazenada no
condensador.

Figura E7.7



7.8 O flash de uma máquina fotográfica possui um condensador de 1 mF que é carregado à tensão de 100
V. Determine a carga e a energia eléctrica armazenadas no condensador. Admitindo que o disparo do flash
corresponde a descarregar o condensador e que esta descarga se efectua durante um intervalo de tempo de
apenas 1 ms, calcule o valor médio da corrente.

Associação de Condensadores

*7.9 Determine o valor da capacidade equivalente aos terminais a-b de cada um dos circuitos da Figura
E7.9.

Figura E7.9

*7.10 Determine o valor da tensão v em cada um dos circuitos da Figura E7.10, admitindo todos os
ab
condensadores inicialmente descarregados.

Figura E7.10

*7.11 Para cada um dos circuitos de E7.11, determine o valor da corrente i indicada.
x



Figura E7.11


Fotografias de Tipos de Condensadores


Condensador de Mica (eléctrodos Condensador de Polystyrene Condensador de Polypropilene
de banho de prata) (película) (película)
Tolerância: ± 0.5 pF Tolerância: ± 1% Tolerância: ± 20%
1% (>56 pF) Coef. Temp.: -125 ± 60 ppm/ºC Coef. Temp.: -200 ppm/ºC
Tensão Máx.: 500 V d.c. Resistência Isol.: 100 GΩ Resistência Isol.: 100 GΩ
Gama Temp.: -40 ºC a 85 ºC Tensão Máx.: 1000 V d.c.
Gama Temp.: -55 ºC a 100 ºC

Condensador de Policarbonato Condensador de Papel Condensador de Polypropilene
(película) Tolerância: ± 20% (película)
Tolerância: ± 5% Tensão Máx.: 250 V a.c. 630 V d.c. Tolerância: ± 20%
Coef. Temp.: ± 100 ppm/ºC Coef. Temp.: -200 ppm/ºC
Gama Temp.: -55 ºC a 125 ºC Resistência Isol.: 100 GΩ
Tensão Máx.: 1000 V d.c.



Condensador de Policarbonato Condensador de Polyester Condensador de Polyester
(película) (película) (película)
Resistência Isol.: 100 GΩ Resistência Isol.: 30 GΩ Resistência Isol.: 30 GΩ
Tensão Máx.: 100 a 400 V

Condensador de Polyester Condensador Cerâmico (Placa) Condensador Cerâmico
(película) Tolerância: 0.25 pF (<10pF) ± 2% (Multicamada)
Tolerância: ± 10% (≥ 10 pF) Tolerância: ± 10%
Resistência Isol.: 10 GΩ Resistência Isol.: 10 GΩ Coef. Temp.: ± 20%
Tensão Máx.: 63 V Tensão Máx.: 100 a 400 V Gama Temp.: -55 ºC a 125 ºC
Gama Temp.: -40 ºC a 85 ºC Resistência Isol.: > 100 GΩ

Condensador Cerâmico Condensador Electrolítico Condensador Electrolítico
Tolerância: - 20% (alumínio; polarizado) (alumínio; não-polarizado)
Resistência Isol.: 10 GΩ Tolerância: ± 20% (≥ 10 pF) Tolerância: ± 20%
Tensão Máx.: 35 V (esq.) 63 V Tensão Máx.: 6.3 V
(dto.) Iperdas: I=0.03*C*V
Iperdas: 3 µA ou I=0.01*C*V (o Gama Temp.: -40 ºC a 85 ºC
maior valor)



Condensador Electrolítico (tântalo Condensador Electrolítico Condensador Electrolítico (tântalo
sólido seco; polarizado) (alumínio; polarizado; montagem sólido; polarizado; montagem
Tolerância: ± 20% superficial) superficial)
Tensão Máx.: 35 V Tolerância: ± 20% Tolerância: ± 10%
Iperdas: 1 µA ou I=0.02*C*V (o Tensão Máx.: 50 V (esq.) 10 V Tensão Máx.: 16 V
maior valor) (dto.) Iperdas: 0.5 µA
Gama Temp.: -55 ºC a 85 ºC Iperdas: 3 µA ou I=0.01*C*V (o Gama Temp.: -55 ºC a 85 ºC
maior valor)

Condensador de Sulfito de Condensador Variável de
Polyphenylene (película; Polypropylene
montagem superficial) 1 volta: 2 pF a 10 pF
Tolerância: ± 2% Dimensão: 5 mm
Tensão Máx.: 50 V (d.c.) Tensão Máx.: 100 V d.c
Resist. Isol.: 3GΩ Gama Temp.: -40 ºC a 70 ºC


6.1 Teorema da Sobreposição de Fontes


Os métodos dos nós e das malhas conduzem a uma relação matricial constituída por três factores principais: o vector
coluna das variáveis do circuito, a matriz característica que contém a informação relativa às resistências e às fontes
dependentes e, finalmente, o vector coluna das fontes independentes. Este formato é indicativo de que as variáveis do
circuito são uma função das diversas fontes independentes, podendo em geral escrever-se na forma

(6.1)

em que os coeficientes a e b são constantes e dependem apenas das resistências e das fontes dependentes,
i j
contabilizadas na matriz característica do circuito. Na expressão (6.1) inscreve-se um método alternativo para a
análise de circuitos, designado por método da sobreposição das fontes. Na realidade, esta expressão indica que as
variáveis do circuito podem ser obtidas por intermédio da sobreposição (somatório) dos efeitos causados por cada
uma das fontes independentes.

Considere-se então o circuito representado na Figura 6.1.a, constituído por duas fontes independentes, uma de tensão,
v , e outra de corrente, i .
s s

Figura 6.1 Método da sobreposição das fontes

É fácil mostrar que a tensão aos terminais da resistência R se pode escrever na forma
3

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(6.2)

caso particular da forma genérica expressa por (6.1). Pode então dizer-se que a expressão (6.2) resulta da aplicação
sucessiva dos seguintes três passos ao circuito representado na Figura 6.1.a:

Passo 1: cancelamento da fonte de corrente e determinação do efeito causado pela fonte de tensão (Figura 6.1.b; note-
se que cancelar uma fonte de corrente equivale a deixar em aberto os seus dois terminais, conforme se indica na
Figura 6.2). A aplicação da regra do divisor de tensão permite identificar a contribuição da fonte de tensão

(6.3)

Passo 2: cancelamento da fonte de tensão e determinação do efeito causado pela fonte de corrente (Figura 6.1.c;
cancelar uma fonte de tensão equivale a curto-circuitar os seus dois terminais, conforme se vê na Figura 6.2). Neste
caso, a aplicação da regra do divisor de corrente, em conjunto com a Lei de Ohm, permitem identificar a contribuição
da fonte de corrente

(6.4)

Passo 3: adição dos efeitos causados por cada uma das fontes independentes, que se confirma coincidir com a
expressão indicada anteriormente em (6.2).

Figura 6.2 Cancelamento de fontes independentes



Uma outra conclusão que se inscreve na relação matricial característica de um circuito é o facto de as fontes
dependentes serem contabilizadas como se de resistências se tratassem, isto é, não contribuem com parcelas
adicionais para o somatório. Na Figura 6.3.a considera-se um circuito com diversas fontes independentes e
dependentes, relativamente ao qual se pretende determinar a expressão da corrente i indicada.
x

Figura 6.3 Exemplo de aplicação do método da sobreposição das fontes

Analisando separadamente os dois circuitos representados em 6.3 b e c, facilmente se verifica que

(6.5)

e que

(6.6)

respectivamente, para os efeitos causados pela fonte de tensão e pela fonte de corrente. A expressão da corrente total
é, assim,



(6.7)


6.2 Teorema de Thévenin


O teorema de Thévenin afirma que, do ponto de vista de um qualquer par de terminais, um circuito linear pode
sempre ser substituído por uma fonte de tensão com resistência interna. Como se verifica na Figura 6.4, quando
o objectivo da análise de um circuito se resume a identificar a corrente, a tensão ou a potência a jusante de um
par de terminais, então o teorema de Thévenin indica que todo o circuito a montante pode ser reduzido a dois
elementos apenas, constituindo globalmente uma fonte de tensão com resistência interna. O conjunto de
componentes v e R é designado por equivalente de Thévenin do circuito.
Th Th

Figura 6.4 Teorema de Thévenin

A metodologia de cálculo do equivalente de Thévenin difere consoante o tipo de fontes em presença no circuito.
É comum distinguirem-se circuitos com fontes independentes (Caso 1); circuitos com fontes independentes e
dependentes (Caso 2); e circuitos com fontes dependentes (Caso 3).

Caso 1: Equivalente de Thévenin de um Circuito com Fontes Independentes

Considere-se o circuito representado na Figura 6.5.a, relativamente ao qual se pretende determinar o equivalente
de Thévenin do subcircuito à esquerda dos terminais a e b indicados.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_06/thevenin.htm (1 of 4)06-06-2005 12:39:01


Figura 6.5 Equivalente de Thévenin de um circuito com fontes independentes

O equivalente de Thévenin calcula-se nos seguintes dois passos (para além da identificação dos terminais e do
sentido relativamente ao qual se pretende obter o equivalente):

(i) obtenção da tensão em aberto (Figura 6.5.b),

(6.8)

(ii) e determinação da resistência equivalente vista dos terminais de saída, quando se anulam
todas as fontes independentes no circuito (Figura 6.5.c),

(6.9)

Caso 2: Equivalente de Thévenin de um Circuito com Fontes Independentes e Dependentes

Considere-se o circuito da Figura 6.6.a, integrando fontes independentes e dependentes de tensão.



Figura 6.6 Equivalente de Thévenin de um circuito com fontes independentes e dependentes

O cálculo é composto por três passos:

(i) determinação da tensão em aberto (Figura 6.6.b),

(6.10)

(ii) determinação da corrente de curto-circuito entre os terminais especificados (Figura 6.6.c);

(iii) e cálculo da resistência equivalente de Thévenin através do cociente entre a tensão em aberto
e a corrente de curto-circuito,

(6.11)



(6.12)

Caso 3: Equivalente de Thévenin de um Circuito com Fontes Dependentes

O equivalente de Thévenin de um circuito com fontes dependentes caracteriza-se pelo valor nulo da tensão
equivalente respectiva. A metodologia de cálculo da resistência equivalente exige que se aplique do exterior uma
tensão (ou uma corrente), se meça a corrente absorvida (a tensão gerada aos terminais) e se efectue o cociente
entre ambas. No caso da resistência equivalente do circuito representado na Figura 6.7.a:

(i) aplica-se uma corrente ao circuito, i , e mede-se a tensão aos terminais, v (Figura 6.7.b). Em
x x
alternativa, pode aplicar-se uma tensão aos terminais especificados, v , e medir a corrente
x
absorvida pelo circuito (Figura 6.7.c);

(ii) e determina-se a resistência equivalente de Thévenin através do cociente

(6.13)

Figura 6.7 Equivalente de Thévenin de um circuito com fontes dependentes


6.3 Equivalente de Norton


A transformação de fonte indica que uma fonte de tensão com resistência interna não nula pode ser
substituída por uma fonte de corrente com resistência interna não infinita. Como se indica na Figura 6.8, esta
transformação permite redesenhar o circuito equivalente de Thévenin com base numa fonte de corrente,
designada por equivalente de Norton. Por conseguinte, este equivalente pode ser obtido através de dois
processos essencialmente distintos: de forma directa ou por intermédio do cálculo do equivalente de
Thévenin seguido da transformação de fonte.

Figura 6.8 Equivalente de Norton

Caso 1: Equivalente de Norton de um Circuito com Fontes Independentes

O cálculo do equivalente de Norton de um circuito com fontes independentes baseia-se num conjunto de
procedimentos semelhantes àqueles estabelecidos anteriormente para o equivalente de Thévenin. Tomando
como exemplo o circuito representado na Figura 6.9,

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_06/norton.htm (1 of 5)06-06-2005 12:39:03


Figura 6.9 Equivalente de Norton de um circuito com fontes independentes

num primeiro momento determina-se a corrente de curto-circuito entre os terminais especificados (Figura 6.9.
b)

(6.14)

e num segundo a resistência vista dos terminais de saída (Figura 6.9.c)

(6.15)

admitindo nulas todas as fontes independentes. Se se compararem as expressões (6.14) e (6.15) com aquelas
relativas ao equivalente de Thévenin, calculado em (6.7) e (6.8), verifica-se que, e como previsto pela
transformação de fonte,

(6.16)



e

(6.17)

Caso 2: Equivalente de Norton de um Circuito com Fontes Independentes e Dependentes

A determinação do equivalente de Norton de um circuito com fontes independentes e dependentes exige que
se calculem a tensão de circuito aberto e a corrente de curto-circuito entre os terminais especificados.
Tomando como exemplo o circuito representado na Figura 6.10,

Figura 6.10 Equivalente de Norton de um circuito com fontes independentes e dependentes

obtém-se

(6.18)

para a fonte de corrente equivalente (Figura 6.10.b), e



(6.19)

para a resistência, em que

(6.20)

define a tensão de circuito aberto entre os terminais especificados (Figura 6.10.c). É fácil verificar que os
resultados (6.18) e (6.19) coincidem com aqueles obtidos por aplicação da transformação de fonte ao
equivalente de Thévenin expresso por (6.10) e (6.12).

Caso 3: Equivalente de Norton de um Circuito com Fontes Dependentes

Considere-se o circuito representado na Figura 6.11.a, constituído apenas por fontes dependentes e
resistências.

Figura 6.11 Equivalente de Norton de um circuito com fontes dependentes

O equivalente de Norton de um circuito deste tipo consiste numa resistência apenas, sendo, por conseguinte,



formalmente idêntico ao equivalente de Thévenin. A resistência equivalente obtém-se através do cociente
entre a tensão e a corrente aos terminais de uma fonte aplicada aos terminais especificados, como se indica
nas Figuras 6.11 b e c,

(6.21)


6.4 Teroema da Máxima Transferência de Potência

6.4 Teorema da Máxima Transferência de Potência

Considere-se o circuito da Figura 6.12.a, com uma carga resistiva, R, e uma fonte de tensão com resistência
interna (note-se que a fonte de tensão pode representar o equivalente de Thévenin de um circuito mais
complexo). Admita-se ainda que este circuito representa a ligação de um amplificador (a fonte de tensão
com resistência interna) a uma coluna sonora ou a uma antena (a resistência de carga), e que o objectivo do
mesmo é maximizar a transferência de potência eléctrica entre a fonte e a carga. Antes de passar à
determinação das condições necessárias para a maximização da transferência de potência, vamos considerar
os casos limite indicados em 6.12 b e c, representativos das situações de carga infinita e nula,
respectivamente.

Figura 6.12 Casos limite da transferência de potência entre uma fonte e uma carga

No caso em que a resistência de carga é infinita, a tensão na carga é máxima, v=v , mas a corrente e a
Th
potência fornecidas são nulas. Pelo contrário, no caso em que a resistência de carga é nula, a tensão e a
corrente na carga são nula e máxima respectivamente, sendo por isso também nula a potência aí depositada.
Por conseguinte, a maximização da potência transferida para a carga não passa pela maximização nem da
tensão nem da corrente na mesma.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_06/maxtrpot.htm (1 of 3)06-06-2005 12:39:04


Considere-se então a potência fornecida à carga pela fonte,

(6.22)

a qual tendo em conta a expressão da corrente e da tensão na mesma se pode escrever na forma

(6.23)

ou ainda

(6.24)

Sendo a potência fornecida à carga nula nos limites R=0 e R=∞, mas positiva para qualquer outro valor,
conclui-se que o máximo da potência transferida ocorre quando se verifica a igualdade

(6.25)

isto é, quando

(6.26)

ou

(6.27)

ou ainda

(6.28)

A máxima transferência de potência entre uma fonte e uma carga ocorre quando se verifica a paridade entre
esta e a resistência interna da fonte.


6.5 Teorema de Millman


O teorema de Millman estabelece as regras de associação em paralelo e em série de fontes de tensão e de
corrente, respectivamente. Este tópico foi abordado no Capítulo 4, tendo-se então tratado apenas o caso
elementar da associação em série e em paralelo de conjuntos de duas fontes.

Considerem-se agora as fontes de tensão associadas em paralelo (Figura 6.13.a). O teorema de Millman
estabelece que o conjunto destas fontes pode ser substituído por uma fonte de tensão com resistência
interna, cujos parâmetros são dados pelas expressões

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Figura 6.13 Teorema de Millman: associação em paralelo de fontes de tensão (a) e associação em série de
fontes de corrente (b)

(6.29)

e



(6.30)

Este resultado encontra-se demonstrado de forma gráfica na Figura.6.13.a.

A associação em série de fontes de corrente rege-se pelo dual do teorema de Millman, demonstrado na
Figura 6.13.b. Neste caso, a amplitude da fonte de corrente e a resistência interna respectiva são dadas pelas
expressões

(6.31)

e

(6.32)


6.6 Teorema de Miller

6.6 Teorema de Miller

Considere-se o circuito representado na Figura 6.14, cuja particularidade reside no facto de a resistência R
se encontrar ligada entre dois nós de tensões postas em relacão por uma fonte dependente.

Figura 6.14 Teorema de Miller

A aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões ao circuito permite escrever a igualdade

(6.33)

a partir da qual se obtém a relação

(6.34)

entre a tensão aplicada e a corrente fornecida ao circuito. A expressão (6.34) indica que a resistência
aparente do circuito é (1+a) vezes inferior ao valor real do elemento resistivo utilizado. Este efeito é
vulgarmente designado por efeito de Miller.

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Sumário

Sumário

Neste capítulo introduziram-se alguns dos principais teoremas dos circuitos eléctricos. Designadamente, os
teoremas da sobreposição das fontes, de Thévenin, de Norton, da máxima transferência de potência, de
Millman e de Miller.

O teorema da sobreposição das fontes afirma que a tensão ou corrente num qualquer elemento de um
circuito linear e bilateral pode ser determinada a partir da soma das contribuições devidas a cada uma das
fontes independentes, isoladamente consideradas.

O teorema de Thévenin afirma que, do ponto de vista de um par de terminais um circuito pode ser
substituído por uma fonte de tensão com resistência interna. Quando o objectivo da análise se resume a
identificar a corrente, a tensão ou a potência fornecidas a jusante de um par de terminais de um circuito, o
teorema de Thévenin prevê que todo o circuito a montante possa ser condensado numa fonte de tensão (v )
Th
e numa resistência (R ). A fonte (v , R ) é designada por equivalente de Thévenin do circuito aos
Th Th Th
terminais especificados.

O teorema de Norton é dual do teorema de Thévenin; do ponto de vista de um qualquer par dos seus
terminais, um circuito pode sempre ser substituído por uma fonte de corrente com resistência interna.

O teorema da máxima transferência de potência conclui que se maximiza a potência depositada numa carga
resistiva quando se verifica a igualdade entre as resistências da carga e interna da fonte.

O teorema de Millman estabelece as regras de associação em paralelo e em série de fontes de tensão e de
corrente, respectivamente.

O teorema de Miller conclui que é possível atenuar o valor aparente de uma resistência através da utilização
de fontes dependentes.




Teorema da Sobreposição das Fontes

*6.1 Recorrendo ao teorema da sobreposição das fontes, determine o valor das correntes e das tensões indicadas
em cada um dos circuitos da Figura E6.1.



Figura E6.1

Teorema de Thévenin e Equivalente de Norton

*6.2 Considerando os circuitos representados na Figura E6.2, determine o equivalente de Thévenin aos
terminais a e b indicados.



Figura E6.2

6.3 Determine o equivalente de Thévenin aos terminais a e b indicados nos circuitos da Figura E6.3.



Figura E6.3

6.4 Considere os circuitos representados na Figura E6.4. Determine o equivalente de Norton aos terminais a e b
indicados.

Figura E6.4

*6.5 Considere os circuitos da Figura E6.5. Determine o equivalente de Norton aos terminais a e b indicados.

Figura E6.5

Teorema da Máxima Transferência de Potência

*6.6 Para cada circuito representado na Figura E6.6, determine:

(a) o valor da resistência R que maximiza a transferência de potência a partir da(s) fonte(s);



(b) o valor da máxima potência susceptível de ser transferida.

Figura E6.6

Teorema de Millman

*6.7 Utilizando o resultado do teorema de Millman, determine o valor da fonte de corrente e de tensão
equivalente aos terminais da resistência R.



Figura E6.7

Teorema de Miller

*6.8 Determine o valor aparente da resistência R no circuito da Figura E6.8.

Figura E6.8


5.1 Método dos Nós


O método dos nós permite obter a tensão em cada um dos (N-1) nós de um circuito (o N-ésimo nó é definido
pela referência, cuja tensão se conhece à partida ou se admite ser 0 V). As (N-1) variáveis são obtidas por
resolução de um sistema de (N-1) equações algébricas linearmente independentes, cuja obtenção se resume à
aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões aos nós do circuito.

O método dos nós consiste na aplicação consecutiva dos seguintes quatro passos:

(i) determinação do número total de nós do circuito (N), escolha de um nó de referência e
atribuição de um sentido positivo para a corrente em cada um dos ramos. O sentido arbitrado
não deve necessariamente ser coincidente com o sentido real da corrente no circuito;

(ii) aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes a cada um dos (N-1) nós do circuito;

(iii) substituição da característica tensão-corrente dos componentes ligados aos nós;

(iv) resolução do sistema de equações para obtenção das tensões nos (N-1) nós do circuito.

Esta metodologia é válida para qualquer circuito com fontes independentes e dependentes.


Considere-se um circuito constituído apenas por resistências e fontes de corrente independentes (Figura 5.2).

Figura 5.2 Método dos nós: circuito com fontes de corrente independentes

Pretende-se analisar o circuito através do método dos nós.

Passo 1: uma vez que o circuito possui três nós (N=3), conclui-se que são necessárias (N-1)=2 equações para a
sua resolução (é comum definir-se a referência como sendo o nó no qual incide o maior número de ramos). Os
sentidos arbitrados para as correntes em cada um dos ramos encontram-se indicados na própria figura.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_05/metnos.htm (1 of 14)06-06-2005 12:39:13


Passo 2: a aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes aos nós-1 e -2 do circuito permite escrever as seguintes
equações:

nó-1 (5.1)

nó-2 (5.2)

Passo 3: a substituição da Lei de Ohm nos termos relativos às correntes nas resistências permite rescrever as
equações (5.1) e (5.2) na forma

nó-1 (5.3)

nó-2 (5.4)

que, em conjunto, definem um sistema de equações algébricas cuja representação matricial é

(5.5)

Passo 4: a resolução do sistema de equações (5.5) permite obter as expressões das tensões nos nós-1 e -2,

(5.6)

e

(5.7)

respectivamente. Uma vez conhecidas as tensões v1 e v2, podem então determinar-se as correntes nas três
resistências, designadamente através das relações

(5.8)

(5.9)

e



(5.10)

Considere-se agora o circuito representado na Figura 5.3, o qual é composto por diversas fontes de corrente
independentes.

Figura 5.3 Exemplo de aplicação do método dos nós

A aplicação sistemática dos preceitos do método permite obter os seguintes resultados:

Passo 1: uma vez que o circuito contém quatro nós (N=4), são necessárias (N-1)=3 equações linearmente
independentes para a sua resolução.

Passos 2 e 3: a aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes aos nós-1, -2 e -3 permite obter, após substituição
da Lei de Ohm nos termos relativos às resistências, as equações algébricas

nó-1 (5.11)

nó-2 (5.12)

nó-3 (5.13)

que, em conjunto, definem um sistema de três equações algébricas cuja representação matricial é

(5.14)



Passo 4: a aplicação da regra de Cramer à relação matricial (5.14) permitir obter as expressões das tensões nos
três nós do circuito (ver Apêndice-B), designadamente

(5.15)

(5.16)

e

(5.17)

em que ∆ define o determinante da matriz [G], e ∆1, ∆2 e ∆3 definem os determinantes da matriz [G] quando a
primeira, a segunda e a terceira colunas, respectivamente, são substituídas pelo vector das fontes de corrente
independentes, [i ]. Por exemplo, a expressão da tensão no nó-1 (expressão (5.15)) resulta da expansão do
s
cociente entre determinantes

(5.18)

Os exemplos de aplicação apenas considerados permitem derivar um conjunto de regras de construção
sistemática da relação matricial característica de um circuito. Verifica-se assim que na relação matricial:

(i) as variáveis do circuito definem um vector coluna (do qual se exclui o nó de referência);

(5.19)

(ii) as fontes independentes se agrupam num vector coluna



(5.20)

cujos termos são dados pelo somatório das fontes independentes incidentes no nó
correspondente;

(iii) as resistências se agrupam numa matriz quadrada,

(5.21)

designada por matriz de condutâncias do circuito. Os elementos da diagonal principal da matriz
(G ) são dados pelo somatório das condutâncias ligadas ao nó-j, enquanto os restantes
jj
elementos (G com i≠ j) são dados pela soma das condutâncias ligadas entre os nós i e j,
ij
afectados de um sinal negativo. A matriz é simétrica sempre que os circuitos integrem apenas
fontes independentes.


A presença de fontes de tensão num circuito tem como principal consequência a redução do número de
equações linearmente independentes cuja obtenção exige a aplicação da LKC. A razão desta redução é simples:
as fontes de tensão definem por si só ou a tensão ou a relação entre as tensões em dois nós. Por conseguinte, é
comum distinguir três tipos de ligação das fontes de tensão: ligadas ao nó de referência (Caso 1); ligadas entre
dois nós distintos da referência (Caso 2); e ligadas em série com uma resistência, definindo em conjunto uma
fonte com resistência interna (Caso 3).

Caso 1: Fontes de Tensão Independentes Ligadas ao Nó de Referência

Considere-se o circuito representado na Figura 5.4, o qual integra uma fonte de tensão independente. A análise
do circuito visa obter as expressões das tensões nos nós-1 e -2, que na secção anterior resultavam da aplicação
da LKC aos nós referidos. No entanto, no caso presente verifica-se que a tensão no nó-1 é definida de forma
explícita pela fonte de tensão v , não constituindo, portanto, uma variável a determinar por aplicação da LKC.
s



Figura 5.4 Método dos nós (Caso 1)

Com efeito, para cada um dos dois nós do circuito podem obter-se as equações

nó-1 (5.22)

portanto já resolvida, e

nó-2 (5.23)

a qual, por substituição de (5.22), permite obter a equação algébrica

(5.24)

na qual se inscreve a expressão da tensão no nó-2

(5.25)

Identificam-se assim as seguintes alterações relativamente ao método introduzido anteriormente:

(i) a dimensão da relação matricial é reduzida de uma unidade;

(ii) o vector das fontes independentes integra o efeito da fonte de tensão, conforme indica o
termo G2v em (5.24).
s

Caso 2: Fontes de Tensão Independentes Ligadas entre dois Nós Distintos da Referência

Na Figura 5.5 considera-se o caso de um circuito que possui uma fonte de tensão ligada entre dois nós distintos
da referência.




Este facto indicia uma relação entre as tensões respectivas,

(5.26)

e, portanto, entre as equações eventualmente obtidas por aplicação da LKC. Os nós-2 e -3 definem aquilo que
vulgarmente se designa por super-nó ou nó generalizado.

Arbitrando a tensão no nó-2 como a incógnita a resolver, verifica-se que

(5.27)

no nó-1, e

(5.28)

no super-nó-2-3. Portanto, é válida a relação matricial

(5.29)

Caso 3: Fontes de Tensão com Resistência Interna

Considere-se na Figura 5.6.a um circuito com uma fonte de tensão com resistência interna.




Sendo o circuito de quatro nós, designadamente a referência e os nós-1, -2 e -3, e inclui uma fonte de tensão, à
partida seria necessário aplicar duas vezes a LKC. No entanto, existem aqui dois modos de reduzir a ordem da
relação matricial:

(i) constatar que o nó-3 se enquadra no Caso-1 estudado anteriormente;

(ii) transformar a fonte de tensão v e a resistência R4 numa fonte de corrente com resistência
s
interna (Figura 5.6.b).

A segunda alternativa reduz automaticamente o número total de nós do circuito.

Uma vez que o circuito transformado contém apenas fontes de corrente independentes, é fácil verificar que a
relação matricial respectiva é dada por

(5.30)

Considere-se na Figura 5.7.a um circuito que integra simultaneamente fontes de corrente e de tensão
independentes. Tendo o circuito quatro nós, à partida seria necessário aplicar três vezes a LKC, designadamente
aos nós-1, -2 e -3. No entanto, este circuito apresenta como particularidades:

(i) a tensão no nó-1 é definida directamente pela fonte v 1 (Caso-1);
s

(ii) a tensão no nó-3 é definida directamente pela fonte v 2 (Caso-1);
s

(iii) o nó-3 pode ser eliminado por transformação da fonte de tensão v 2 e da resistência R4
s
numa fonte de corrente com resistência interna (Figura 5.7.b).



Figura 5.7 Exemplo de aplicação do método dos nós

De acordo com as simplificações em (i) e (iii), a análise do circuito resume-se à aplicação da LKC ao nó-2,

(5.31)

equação na qual se inscreve a expressão da tensão respectiva

(5.32)

Caso fosse necessário determinar as tensões nos nós-1 e -3, então

(5.33)

e

(5.34)


A inserção de fontes dependentes nos circuitos acarreta apenas alterações ao nível da matriz de condutâncias.
Tais alterações devem-se essencialmente ao facto de as fontes dependentes serem uma função da tensão entre
nós ou da corrente num elemento - portanto, uma função das próprias variáveis do circuito.

Na Figura 5.8.a considera-se um circuito que inclui uma fonte de corrente controlada pela tensão aos terminais
de uma resistência. A aplicação do método dos nós a este circuito baseia-se em dois passos:



Figura 5.8 Método dos nós: circuito com fonte de corrente dependente

Passo 1: inicialmente anulam-se todas as fontes dependentes (Figura 5.8.b) e aplica-se o método tal como
introduzido ao longo das secções anteriores. Uma vez que este circuito não possui fontes de tensão, a inspecção
do mesmo permite obter directamente a relação matricial

(5.35)

Passo 2: seguidamente introduzem-se os efeitos devidos às fontes dependentes. Uma vez que no presente caso
a fonte dependente se encontra ligada apenas ao nó-1, só a equação relativa a este nó deve ser redefinida. Assim,

(5.36)

ou seja

(5.37)

A inspecção da relação (5.37) permite constatar que o efeito devido à fonte dependente incorpora a matriz [G],
mais concretamente na linha correspondente ao nó e nas colunas relativas às variáveis que a controlam.




A análise de circuitos com fontes de tensão dependentes integra aspectos comuns às metodologias estabelecidas
anteriormente para os circuitos com fontes de tensão independentes e fontes de corrente dependentes: cada
fonte de tensão dependente reduz de uma unidade o número de nós aos quais é necessário aplicar a LKC, mas
os seus efeitos incorporam apenas a matriz [G]. Tal como para o caso dos circuitos com fontes independentes,
podem distinguir-se três tipos de ligação das fontes de tensão dependentes: fontes ligadas ao nó de referência
(Caso 1); fontes ligadas entre dois nós distintos da referência (Caso 2); e fontes de tensão ligadas em série com
uma resistência, definindo no conjunto uma fonte de tensão com resistência interna (Caso 3).

Caso 1: Fontes de Tensão Dependentes Ligadas ao Nó de Referência

Considere-se o circuito da Figura 5.9.a, o qual possui no seu seio uma fonte de tensão controlada pela corrente
na resistência R2, aqui designada por i2.

Figura 5.9 Método dos nós: circuito com fonte de tensão dependente (Caso 1)

Uma vez que o circuito possui quatro nós, em princípio seria necessário aplicar três vezes a LKC. Identificam-
se as seguintes duas particularidades: a fonte de tensão v e a resistência R1 podem ser transformadas numa
s
fonte de corrente com resistência interna, o que permitirá eliminar o nó-3 (Figura 5.9.b); e a fonte dependente
estabelece uma relação entre a tensão no nó-2 e as variáveis que a controlam, neste caso

(5.38)

A análise do circuito resume-se, assim, à aplicação da LKC ao nó-1,

(5.39)

a qual tendo em atenção (5.38) se simplifica para

(5.40)

ou seja



(5.41)

A relação (5.40) indica que os efeitos da fonte de tensão dependente se fazem sentir na matriz [G], para além,
muito naturalmente, da redução operada sobre o número de aplicações da LKC.

Caso 2: Fontes de Tensão Dependentes Ligadas Entre Dois Nós Distintos da Referência

Na Figura 5.10 considera-se o caso de um circuito que integra uma fonte de tensão dependente. Esta fonte
estabelece uma relação entre as tensões nos nós-1 e-2, definindo em conjunto um super-nó, facto que permite
reduzir para um o número total de aplicações da LKC necessárias.

Figura 5.10 Método dos nós: circuito com fonte de tensão dependente entre dois nós distintos da referência
(Caso 2)

A análise do circuito resume-se, então, à aplicação da LKC ao super-nó 1-2,

(5.42)

que após substituição das relações

(5.43)

e

(5.44)

ou seja

(5.45)



se pode rescrever

(5.46)

ou ainda

(5.47)

Caso 3: Fontes de Tensão Dependentes com Resistência Interna

O circuito figurado em 5.11.a é composto por quatro nós, dos quais um coincide com a referência.

Figura 5.11 Método dos nós: inclusão de fontes de tensão dependentes com resistência interna (Caso 3)

Aparentemente seria necessário aplicar três vezes a LKC, designadamente aos nós-1, -2 e -3, deste modo
obtendo um sistema de três equações a três incógnitas. No entanto, os nós-2 e -3 podem ser eliminados através
da associação em série das resistências R2 e R3, seguida da transformação de fonte do conjunto resistências e
fonte de tensão dependente (Figura 5.11.b). O circuito simplificado coincide na forma com um dos casos
considerados anteriormente, sendo em particular válido

(5.48)

da qual resulta a expressão da tensão no nó-1



(5.49)




Nesta secção exemplifica-se a aplicação do método dos nós a circuitos que integram fontes de tensão e de
corrente independentes e dependentes.


Considere-se o circuito com fontes independentes e dependentes representado na Figura 5.12. Pretende-se
determinar as tensões nos nós do circuito por aplicação do método dos nós.


Resolução: Sendo o circuito constituído por quatro nós, em princípio o método dos nós exigiria a obtenção
de três equações por aplicação da LKC (o nó-4 foi escolhido como referência, de acordo com o critério da
maximização do número de ramos incidentes). No entanto, identifica-se neste circuito a existência de uma
fonte de tensão independente ligada entre o nó-3 e a referência, o que permite reduzir para dois o número
de aplicações da LKC; e a presença de uma fonte de corrente dependente.

Deste modo, a aplicação da LKC ao nó-1 permite obter a equação algébrica

(5.50)

a qual tendo em conta a igualdade

(5.51)

se pode rescrever na forma



(5.52)

Por outro lado, a aplicação da LKC ao nó-2 permite obter

(5.53)

que após substituição da igualdade v3=-v se pode rescrever na forma
s

(5.54)

As equações (5.52) e (5.54) definem a relação matricial

(5.55)

cuja resolução permite obter as expressões das tensões nos nós-1 e -2 do circuito.


Na Figura 5.13 considera-se um circuito cujas tensões nos nós se pretende sejam determinadas por
aplicação do método dos nós.

Figura 5.13 Exemplo de aplicação 2

Resolução: Neste circuito identificam-se dois casos particulares: fonte de tensão dependente ligada entre o
nó-4 e a referência, o que permite reduzir para três as aplicações da LKC, e fonte de corrente dependente. A
análise do circuito passa, portanto, pela obtenção das equações relativas aos nós-1, -2 e -3.



Assim, no nó-1

(5.56)

no nó-2

(5.57)

e no nó-3

(5.58)

as quais, em conjunto, definem um sistema de equações de representação matricial

(5.59)




Este método permite obter a corrente em cada uma das malhas de um circuito. Uma malha é um caminho
fechado cuja particularidade reside no facto de não conter no seu interior outro caminho também fechado. Na
Figura 5.14 dão-se exemplos de caminhos fechados que constituem malhas, (a), e de caminhos que não
constituem malhas, (b). De acordo com esta definição, uma malha é um caminho cuja representação gráfica não
exige a intersecção de qualquer dos ramos do circuito.

Figura 5.14 Malhas (a) e caminhos fechados que não constituem malhas (b)

Como se afirmou anteriormente, o método das malhas permite obter as correntes em todas as malhas de um
circuito. As correntes nas malhas não coincidem necessariamente com as correntes nos componentes do
circuito, podendo no entanto ser obtidas por adição ou subtracção daquelas. No circuito representado na Figura
5.14.a, por exemplo, verifica-se que a corrente na resistência R4, no sentido indicado, é dada pela diferença entre
as correntes nas malhas-2 -3, designadamente i4=(i2-i3).

A análise de um circuito com M malhas exige a obtenção e a resolução de M equações linearmente
independentes. As equações resultam da aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões às malhas do circuito, que
após substituição das características tensão-corrente dos componentes permitem obter um sistema de M
equações a M incógnitas.

A aplicação do método das malhas baseia-se em quatro passos principais, a saber:

(i) determinação do número total de malhas do circuito e atribuição de um sentido às correntes
respectivas;

(ii) aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões a cada uma das malhas;

(iii) substituição da característica tensão-corrente dos componentes ao longo da malha;

(iv) resolução do sistema de equações.

À semelhança do método dos nós, nesta sebenta optou-se por apresentar o método das malhas considerando

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_05/metmal.htm (1 of 13)06-06-2005 12:39:20


quatro tipos básicos de circuitos: com fontes de tensão independentes apenas; com fontes de tensão e de corrente
independentes; com fontes independentes e de tensão dependentes; e, finalmente, com os quatro tipos de fontes
possíveis.


Na Figura 5.15 apresenta-se um circuito resistivo com uma fonte de tensão independente.

Figura 5.15 Método dos malhas

De acordo com os preceitos introduzidos anteriormente, a análise deste circuito com base no método das malhas
segue os seguintes quatro passos:

Passo 1: o circuito possui duas malhas, M=2, e a sua resolução exige a obtenção de duas equações algébricas
linearmente independentes. Os sentidos atribuídos às correntes nas malhas encontram-se indicados na própria
figura.

Passo 2: a aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões às malhas-1 e -2 permite obter as seguintes duas equações
algébricas:

malha-1 (5.60)

malha-2 (5.61)

Passo 3: a substituição das características tensão-corrente das resistências permite rescrever as equações (5.60)
e (5.61) na seguinte forma:

malha-1 (5.62)

malha-2 (5.63)

Em conjunto (5.62) e (5.63) definem um sistema de duas equações algébricas cuja representação matricial é

(5.64)



Passo 4: A resolução do sistema de equações (5.64) permite obter as seguintes expressões para as correntes nas
duas malhas:

(5.65)

na primeira malha, e

(5.66)

na segunda. As correntes nos diversos componentes do circuito podem agora ser determinadas em função das
expressões (5.65) e (5.66). Por exemplo, as correntes nas resistência R1, R2 e R3 são

(5.67)

(5.68)

e

(5.69)

respectivamente.

Considere-se agora o circuito representado na Figura 5.16, com três fontes de tensão independentes localizadas
em outras tantas malhas. Repetindo a sequência de quatro passos do método das malhas, verifica-se que:

Figura 5.16 Método das malhas

Passo 1: o circuito possui três malhas, M=3, o que indica ser necessária a obtenção de três equações algébricas
linearmente independentes para a sua resolução. O sentido atribuído às correntes nas malhas encontram-se
indicados na figura.



Passos 2 e 3: a aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões às malhas-1, -2 e -3, e após substituição da Lei de
Ohm nos termos relativos às resistências, permite obter as seguintes três equações algébricas:

malha-1 (5.70)

malha-2 (5.71)

malha-3 (5.72)

Em conjunto (5.70), (5.71) e (5.72) definem um sistema de três equações algébricas de representação matricial

(5.73)

Passo 4: a resolução do sistema (5.73) através da regra de Cramer permite obter as seguintes expressões para as
correntes nas malha

(5.74)

(5.75)

e

(5.76)

em que ∆ define o determinante da matriz [R], e ∆ , ∆ e ∆ definem, respectivamente, os determinantes da
1 2 3
matriz [R] quando a primeira, a segunda e a terceira colunas são substituídas, respectivamente, pelo vector das
fontes de tensão independentes, [v ]. Por exemplo, a expressão da corrente na malha-1 resulta da expansão do
s
cociente entre determinantes



(5.77)

Os dois exemplos considerados permitem derivar as regras de construção sistemática da relação matricial:

(i) as variáveis do circuito definem um vector coluna

(5.78)

(ii) as fontes independentes agrupam-se num vector coluna

(5.79)

cujos termos são dados pela soma das fontes independentes ao longo das malhas respectivas

(iii) as resistências agrupam-se numa matriz quadrada

(5.80)

designada por matriz de resistências do circuito. Os elementos da diagonal principal da matriz



(R ) são dados pelo somatório das resistências ao longo da malha j, enquanto os restantes
jj
elementos (R com i≠ j) resultam da adição das resistências comuns às malhas i e j, afectada de
ij
um sinal negativo. A matriz é simétrica sempre que os circuitos integrem apenas fontes
independentes.


A presença de fontes de corrente num circuito tem como principal consequência a redução do número de
equações linearmente independentes cuja obtenção exige a aplicação da LKT. A razão desta redução é simples:
uma fonte de corrente define a corrente numa malha ou a relação entre as correntes em duas malhas. Por
conseguinte, é comum distinguir três tipos de ligação das fontes de corrente: pertencentes a uma só malha (Caso
1); comuns a duas malhas (Caso 2); e ligadas em paralelo com uma resistência, definindo, juntas, uma fonte
com resistência interna (Caso 3).

Caso 1: Fontes de Corrente Independentes Pertencentes a Uma Só Malha

Considere-se na Figura 5.17 um circuito que integra no seu seio uma fonte de corrente independente,
pertencente a uma só malha.

Figura 5.17 Método das malhas: circuito com fonte de corrente independente (Caso 1)

A resolução do circuito pelo método das malhas passa pela obtenção das correntes nas malhas-1 e -2, que na
secção anterior resultavam da aplicação da LKT. No entanto, neste caso a corrente na malha-2 é definida
directamente pela própria fonte de corrente independente, i , não constituindo, portanto, uma variável do
s
método. Com efeito, para cada uma das duas malhas do circuito podem escrever-se as igualdades

malha-1 (5.81)

e

malha-2 (5.82)

esta última já resolvida. Assim, e após substituição de (5.82) em (5.81), obtém-se a expressão da corrente na
malha-1



(5.83)

Caso 2: Fontes de Corrente Independentes Comuns a Duas Malhas

Na Figura 5.18 considera-se um circuito com uma fonte de corrente comum a duas malhas (malhas-2 e -3).

Figura 5.18 Método das malhas: circuito com fonte de corrente independente (Caso 2)

Esta particularidade indica existir uma relação entre as correntes i2 e i3, designadamente

(5.84)

As malhas-2 e 3 definem uma super-malha. O método das malhas resume-se à aplicação da LKT à malha-1 e à
super-malha-2-3 (indicada a tracejado na Figura 5.18), respectivamente

(5.85)

e

(5.86)

a qual, tendo em conta (5.84), se pode escrever na forma

(5.87)

As equações algébricas (5.85) e (5.85) definem um sistema de equações cuja representação matricial é

(5.88)



Caso 3: Fontes de Corrente com Resistência Interna

Considere-se agora o circuito representado na Figura 5.19.a, neste caso integrando numa das suas malhas uma
fonte de corrente com uma resistência em paralelo. De acordo com as regras da transformação de fonte, este
conjunto de elementos pode ser substituído por uma fonte de tensão com uma resistência em série, facto que
reduz directamente para um o número total de malhas do circuito (Figura 5.19.b).

Figura 5.19 Método das malhas: circuito com fonte de corrente com resistência interna (Caso 3)

Por isso, a aplicação da LKT à malha permite obter a expressão da corrente

(5.89)

Na Figura 5.20 considera-se um circuito que integra uma fonte de corrente independente ligada nas condições
anteriormente definidas. O circuito possui três malhas (M=3), mas apresenta a particularidade de as malhas-1 e -
3 definirem uma super-malha (Caso-2).

Figura 5.20 Exemplo de aplicação do método das malhas

Assim, uma vez que



(5.90)

a equação da super-malha,

(5.91)

e a da malha-2,

(5.92)

permitem obter o sistema de duas equações algébricas

(5.93)


As fontes dependentes acarretam alterações na matriz de resistências. Este resultado deve-se ao facto de as
fontes dependentes poderem ser expressas em função das correntes nas malhas.

Considere-se o circuito representado na Figura 5.21.a, tendo uma fonte de tensão controlada.

Figura 5.21 Método das malhas: circuito com de fonte de tensão dependente

Uma das sequências possíveis para a aplicação do método das malhas é a seguinte:

Passo 1: anulam-se as fontes dependentes (Figura 5.21.b) e analisa-se o circuito de acordo com os preceitos
introduzidos nas secções anteriores. Obtém-se



(5.94)

Passo 2: seguidamente introduzem-se os efeitos devidos às fontes dependentes. Uma vez que a fonte
dependente pertence apenas à malha-3, apenas esta equação deve ser rescrita. Assim,

que, substituída em (5.94), conduz a

(5.95)

Como se pode constatar em (5.95), a inclusão da fonte dependente no circuito acarreta apenas alterações na
matriz [R], mais concretamente na linha correspondente à malha e nas colunas relativas às variáveis que a
controlam.


A análise de circuitos com fontes de corrente dependentes integra aspectos comuns às metodologias
estabelecidas anteriormente para os circuitos com fontes de corrente independentes e fontes de tensão
dependentes: cada fonte de corrente dependente reduz de uma unidade o número de malhas às quais é necessário
aplicar a LKT, mas os seus efeitos integram apenas a matriz [R]. Tal como nas fontes independentes, temos três
tipos de ligação das fontes de corrente dependentes: fontes numa só malha (Caso 1); fontes comuns a duas
malhas (Caso 2); e fontes ligadas em paralelo com uma resistência (Caso 3).

Caso 1: Fontes de Corrente Dependentes Pertencentes a Uma Só Malha

Considere-se o circuito figurado em 5.22, possuindo uma fonte de corrente controlada no seio de uma das suas
malhas.



Figura 5.22 Método das malhas: circuito com fonte de corrente dependente (Caso 1)

A inspecção do circuito permite constatar que a corrente na malha-4 se encontra relacionada com a da malha-1,
designadamente

(5.96)

não constituindo, portanto, uma das variáveis do método. Por conseguinte, a aplicação da LKT às malhas-1, -2 e
-3 permite obter três equações algébricas

malha-1 (5.97)

malha-2 (5.98)

malha-3 (5.99)

nas quais se substituíram já as expressões relativas às fontes dependentes. O sistema definido pelas equações
(5.97) a (5.99) pode então representar-se na forma matricial

(5.100)

Caso 2: Fontes de Corrente Dependentes Comuns a Duas Malhas

No circuito representado na Figura 5.23, as correntes nas malhas-2 e -3 encontram-se relacionadas

(5.101)



Figura 5.23 Método das malhas: circuito com fonte de corrente dependente (Caso 2)

Por conseguinte, a aplicação do método passa pela obtenção das equações algébricas relativas às malhas 1, 2, 3
e 4, respectivamente

(5.102)

(5.103)

(5.104)

cuja representação matricial é

(5.105)

Caso 3: Fontes de Corrente com Resistência Interna

O circuito representado na Figura 5.24.a possui uma fonte de corrente dependente em paralelo com uma
resistência. Estes dois elementos podem ser convertidos numa fonte de tensão com resistência interna, o que
desde logo permite reduzir para três o total de malhas do circuito (Figura 5.24.b). O circuito possui ainda uma
outra fonte de corrente com resistência interna, definida pelos elementos i e R1, que em princípio permitia
s
eliminar da análise mais outra malha. No entanto, sendo que a corrente no elemento R1 coincide com a variável
de controlo da fonte de tensão dependente, é aconselhável reduzir o número de aplicações da LKT através da
super-malha-1-3.



Figura 5.24 Método das malhas: circuito com fonte de corrente com resistência interna (Caso 3)

Como resultado destas simplificações, podem obter-se as duas equações algébricas do circuito, designadamente

(5.106)

a partir da super-malha 1-3, e

(5.107)

a partir da malha-2. Neste caso, a relação matricial característica do circuito é

(5.108)





Recorrendo ao método das malhas, analise o circuito representado na Figura 5.25.


Resolução: O circuito tem cinco malhas, mas apresenta as seguintes particularidades:

(i) uma fonte de corrente (i ), em paralelo com uma resistência (R2);
s

(ii) uma fonte de corrente dependente (gv ), em paralelo com uma resistência (R3).
x

Conforme a Figura 5.25.b, estas duas particularidades permitem eliminar duas malhas do circuito. Pode então
demonstrar-se que a relação matricial característica do circuito simplificado é neste caso dada por

(5.109)

cuja resolução permite obter as expressões das tensões nas malhas-1, -2 e -3 do circuito.




De acordo com o método das malhas, analise o circuito da Figura 5.26.a.


Resolução: O circuito é constituído por quatro malhas e apresenta como particularidades: uma fonte de
corrente comum a duas malhas (i ), que permite definir uma super-malha; ou, em alternativa, uma fonte de
s
corrente com uma resistência em paralelo (i e R1). Optando por transformar a fonte de corrente e a
s
resistência numa fonte de tensão com resistência interna (Figura 5.26.b), é fácil verificar que as três equações
algébricas linearmente independentes do circuito são

(5.110)


Sumário

Sumário

Existem dois métodos principais de análise sistemática de circuitos eléctricos: o método dos nós e o método
das malhas. O método dos nós permite obter as tensões em todos os nós do circuito, enquanto o método das
malhas o faz relativamente às correntes nas malhas.

Ambos os métodos consistem na obtenção e na resolução de um conjunto de equações linearmente
independentes. No caso do método dos nós, as equações são obtidas por intermédio da aplicação da Lei de
Kirchhoff das correntes aos nós do circuito, seguida da substituição da Lei de Ohm nos termos relativos aos
componentes resistivos. Pelo contrário, o método das malhas consiste na aplicação da Lei de Kirchhoff das
tensões às malhas do circuito, seguida mais uma vez da substituição da Lei de Ohm nos termos relativos
aos componentes resistivos. Ambos os métodos se desdobram num conjunto amplo de casos particulares,
conforme o tipo de fontes independentes e dependentes presentes no circuito.




Método dos Nós

5.1 Obtenha o sistema de equações algébricas que lhe permite determinar as expressões das tensões em todos
os nós dos circuitos da Figura E5.1.

Figura E5.1

Método das Malhas



*5.2 Obtenha o sistema de equações algébricas que lhe permite determinar as expressões das correntes em
todos os elementos dos circuitos da Figura E5.2.



Figura E5.2


4.1 Leis de Kirchhoff


4.1.1 Lei de Kirchhoff das Tensões

A Lei de Kirchhoff das tensões (LKT) estabelece que é nulo o somatório das quedas e elevações de tensão ao
longo de um caminho fechado de um circuito eléctrico

(4.1)

Nos circuitos representados na Figura 4.1 existem os seguintes caminhos fechados: o caminho ao longo dos
nós (a, b, c, d, e, f, a), em 4.1.a, e os caminhos ao longo dos nós (a, b, c, d, e, a), (b, c, d, e, b) e (a, b, e, a) em
4.1.b.

Figura 4.1 Lei de Kirchhoff das tensões

Por exemplo, para o caminho (a, b, c, d, e, a) é válida a igualdade

(4.2)

ou então

(4.3)

A relação (4.3) indica que são iguais os somatórios das quedas e das elevações de tensão ao longo de um
caminho fechado.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_04/leiskirc.htm (1 of 3)06-06-2005 12:39:25


4.1.2 Lei de Kirchhoff das Correntes

A Lei de Kirchhoff das correntes (LKC) estabelece que é nulo o somatório das correntes incidentes em
qualquer nó de um circuito eléctrico (Figura 4.2.a)

(4.4)

Figura 4.2 Lei de Kirchhoff das correntes

Um nó é um ponto de união entre dois ou mais componentes de um circuito, ou entre um componente e a
massa. Nos circuitos representados na Figura 4.2 existem os seguintes nós: nós a, b, c e o nó da massa, em 4.2.
b, e os nós a, b, c e d em 4.2.c. A aplicação da LKC ao nó b do circuito em 4.2.c conduz à igualdade

(4.5)

ou então

(4.6)

A relação (4.6) indica que em qualquer nó de um circuito são idênticos os somatórios das correntes incidentes



e divergentes.


4.2 Associação de Resistências



Dois componentes de um circuito encontram-se associados em série quando um dos seus terminais é comum
e ambos são percorridos pela mesma corrente eléctrica. No circuito representado na Figura 4.3.a os elementos
R1 e R2 encontram-se associados em série, não sucedendo o mesmo com as resistências R1 e R2 do circuito
representado em 4.3.b.

Figura 4.3 Associação de resistências

Considere-se então o circuito representado na Figura 4.4, constituído por uma fonte de tensão e um conjunto
de resistências associadas em série.

Figura 4.4 Associação em série de resistências

A aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões permite escrever a igualdade

(4.7)

a qual, em conjunto com a Lei de Ohm e a igualdade i =i, permite obter
i

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_04/assocres.htm (1 of 6)06-06-2005 12:39:27


(4.8)

em que

(4.9)

define a resistência equivalente série.


Dois componentes de um circuito encontram-se associados em paralelo quando os nós aos quais se
encontram ligados são comuns e, portanto, a tensão aos terminais é idêntica. No circuito eléctrico
representado na Figura 4.5.a, os componentes R1 e R2 encontram-se associados em paralelo, o mesmo já não
sucedendo com as resistências R1 e R2 em (b).

Figura 4.5 Associação de resistências

Considere-se então o circuito representado na Figura 4.6.

Figura 4.6 Associação em paralelo de resistências

A aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes ao nó comum a todos os componentes permite escrever a



igualdade

(4.10)

a qual, em conjunto com a Lei de Ohm e a igualdade v =v, permite obter a relação
i

(4.11)

em que

(4.12)

define a condutância equivalente da associação em paralelo considerada. No entanto, uma vez que G =1/R , a
p p
resistência equivalente do paralelo pode ser expressa na forma

(4.13)

As relações (4.12) e (4.13) indicam que a associação em paralelo de resistências conduz a um componente
equivalente cujo valor nominal é sempre inferior ao menor de entre eles. Por exemplo, a associação em
paralelo de duas resistências iguais é equivalente a um componente com metade do valor nominal (Figura 4.7.
a)

(4.14)

ao passo que a associação em paralelo de k resistências iguais equivale a um componente cujo valor nominal
é (Figura 4.7.b)

(4.15)



Figura 4.7 Casos particulares da associação em paralelo de resistências

Por outro lado, no caso particular em que os valores nominais das resistências diferem de uma ou mais ordens
de grandeza, como na Figura 4.7.c, pode aproximar-se o paralelo pela menor das resistências

R ≈R (4.16)
p

Na maior parte das aplicações práticas, a regra da associação em paralelo é aplicada isolada ou
consecutivamente a conjuntos de duas, três ou mais resistências. Da expressão (4.13) resulta que as
associações em paralelo de duas e três resistências são, respectivamente,

(4.17)

e



(4.18)

4.2.3 Associação Série-Paralelo

A grande maioria dos circuitos é composto por associações mistas série-paralelo de componentes. Considere-
se a título de exemplo o circuito representado na Figura 4.8.a, constituído por oito resistências. Admitindo
que o objectivo da análise é determinar a corrente fornecida pela fonte de alimentação ao circuito, pode então
proceder-se às simplificações sucessivas representadas nas Figuras 4.8 b a d: primeiro substituem-se as
resistências R7 e R8 pelo respectivo equivalente série (Figura 4.8.b); depois associa-se o resultado em paralelo
com a resistência R6 e seguidamente em série com a resistência R5 (Figura.4.8.c); e assim sucessivamente até
ao resultado final ilustrado na Figura 4.8.d,

(4.19)



Figura 4.8 Associação mista série-paralelo de resistências

Após esta simplificação preliminar do circuito, pode então calcular-se a corrente fornecida pela fonte

(4.20)


4.3 Divisores de Tensão e de Corrente


4.3.1 Divisor de Tensão

Considere-se o circuito representado na Figura 4.9.a, constituído por uma cadeia de resistências ligadas em
série com uma fonte de tensão.

Figura 4.9 Divisores de tensão (a) e de corrente (b)

A queda de tensão aos terminais de cada uma das resistências é dada por

(4.21)

com j=1,2, . . . k, e em que i define a corrente comum a todas as resistências,

(4.22)

Substituindo (4.22) em (4.21), obtém-se

(4.23)

para a tensão aos terminais de cada uma das resistências, expressão que é designada por regra do divisor de
tensão. No caso de duas resistências apenas, a expressão do divisor de tensão toma a forma particular

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_04/diviteco.htm (1 of 4)06-06-2005 12:39:29


(4.24)

para a tensão aos terminais da resistência R1, e

(4.25)

para a tensão aos terminais da resistência R2. Por outro lado, a relação entre as quedas de tensão aos
terminais das duas resistências coincide com o cociente entre os valores nominais respectivos,

(4.26)

4.3.2 Divisor de Corrente

Considere-se o circuito representado na Figura 4.9.b, constituído por um conjunto de resistências ligadas
em paralelo com uma fonte de corrente. A corrente em cada uma das resistências é dada por

(4.27)

com j=1,2, . . . k, e em que v define a tensão comum a todas elas

(4.28)

Substituindo (4.28) em (4.27), obtém-se a expressão da corrente em cada um dos componentes

(4.29)

que neste caso se designa por regra do divisor de corrente. No caso de duas resistências, a expressão do
divisor de corrente toma a forma particular



(4.30)

ou ainda

(4.31)

Por outro lado, a relação entre as correntes em duas resistências associadas em paralelo é dada por

(4.32)

ou ainda

(4.33)

4.3.3 Curto-circuito e Circuito Aberto

Os conceitos de circuito aberto e curto-circuito podem ser entendidos como casos limite do divisor de
tensão e de corrente, respectivamente. Considerem-se então as duas redes eléctricas representadas nas
Figuras 4.10 a e b, no primeiro caso representativo de um circuito aberto e no segundo de um curto-circuito.



Figura 4.10 Circuito aberto (a) e curto-circuito (b)

Em (a), a queda de tensão entre os dois nós em aberto é

(4.34)

a qual coincide com a tensão disponibilizada pela fonte.

No curto-circuito (b), a corrente entre os dois nós interligados coincide com a corrente disponibilizada pela
fonte de corrente

(4.35)


4.4 Resistência Interna das Fontes


4.4.1 Fonte de Tensão

As fontes de tensão apresentam em geral uma resistência de saída não nula (Figura 4.11.a). A principal
consequência deste facto é a dependência da tensão relativamente à resistência de entrada do circuito
(Figura 4.11.b)

(4.36)

ou, o que é o mesmo, relativamente à corrente por este absorvida

(4.37)

O desvio de tensão é nulo quando a resistência interna da fonte é nula ou quando a carga coincide com um
circuito em aberto. A expressão (4.37) e o gráfico correspondente (Figura 4.11.c) designam-se por recta de
carga da fonte.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_04/resintfo.htm (1 of 3)06-06-2005 12:39:30


Figura 4.11 Fonte de tensão com resistência interna não nula (a), ligação de uma fonte a uma carga (b) e
recta de carga correspondente (c)

4.4.2 Fonte de Corrente

As fontes de corrente apresentam em geral uma resistência de saída não infinita (Figura 4.12.a). Neste caso,
a corrente na carga é dada por (Figura 4.12.b)

(4.38)

a qual é sempre inferior àquela especificada, i . A corrente na carga
s

(4.39)

é tanto mais próxima do valor ideal quanto menor for a tensão desenvolvida pelo circuito (4.12.c)



Figura 4.12 Fonte de corrente com resistência interna não infinita (a), ligação de uma fonte a uma carga (b)
e recta de carga correspondente (c)


4.5 Transformação de Fonte


O teorema da transformação permite converter fontes de tensão com resistência interna em fontes de
corrente. Considerem-se os dois circuitos representados na Figura 4.13, ambos compostos por um mesmo
subcircuito e uma fonte, de tensão em (a) e de corrente em (b). Para que o desempenho do subcircuito seja
idêntico nos dois casos, é necessário que o par de variáveis (v,i) seja comum a ambos os circuitos, tornando
irrelevante o tipo de fonte responsável pelo seu estabelecimento.

Figura 4.13 Transformação de fonte

Uma vez que as Leis de Kirchhoff permitem escrever

(4.40)

e

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_04/transfon.htm (1 of 2)06-06-2005 12:39:31


(4.41)

ou seja

(4.42)

respectivamente em (a) e em (b), as regras de conversão entre fontes de tensão e de corrente são (Figura
4.13.c)

(4.43)

e

(4.44)

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_04/transfon.htm (2 of 2)06-06-2005 12:39:31

4.6 Associação de Fontes


4.6.1 Associação de Fontes de Tensão

A associação em série de fontes de tensão permite aumentar a diferença de potencial disponibilizada para
efeitos de alimentação de um circuito. Um exemplo da associação em série de fontes é a utilização de
múltiplas pilhas para alimentar aparelhos electrodomésticos, lanternas, rádios portáteis, etc. Com efeito, é
comum associarem-se em série quatro pilhas de 1.5 V (correctamente associadas) para definir uma fonte de
alimentação de 6 V.

A tensão disponível aos terminais de uma associação em série de fontes de tensão é dada pela soma das
tensões parciais. Como se indica nas Figuras 4.14.a e 4.14.b, a adição dos valores nominais das tensões
deve ter em conta a polaridade da ligação: polaridades concordantes adicionam-se (a), e polaridades
discordantes subtraem-se (b). Por outro lado, no caso das fontes de tensão com resistência interna não nula,
como na Figura 4.14.c, o valor da resistência interna resultante é dado pela soma das resistências internas
de cada uma das fontes. A associação em série conduz, por conseguinte, a uma fonte cuja resistência interna
é superior àquela característica de cada uma, considerada isoladamente.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_04/assocfon.htm (1 of 4)06-06-2005 12:39:32


Figura 4.14 Associação em série de fontes de tensão

A associação em paralelo de fontes de tensão é uma operação cuja realização prática necessita de alguns
cuidados. Esta recomendação é particularmente verdadeira nos casos em que as fontes de tensão apresentam
valores nominais bastante diferenciados e resistências internas reduzidas. Como se ilustra na Figura 4.15.a,
no caso particular em que as fontes de tensão são ideais e apresentam valores nominais distintos, a sua
ligação em paralelo define uma malha cuja solução é apenas compatível com a circulação de uma corrente
de valor infinito. Na realidade, a corrente entre as fontes é sempre limitada pelas respectivas resistências
internas (Figura 4.15.b), valor que pode ser bastante elevado se estas não dispuserem de mecanismos de
protecção.

Figura 4.15 Associação em paralelo de fontes de tensão

A associação em paralelo de fontes de tensão é o objecto do Teorema de Millman, a introduzir no Capítulo
6. De acordo com as regras estabelecidas para a transformação de fonte, o circuito representado na Figura
4.15.b pode ser sucessivamente transformado nos circuitos equivalentes representados em (c) e (d). Na
primeira transformação, Figura 4.15.c, substitui-se cada uma das fontes de tensão pela respectiva fonte de
corrente equivalente, efectuando-se depois, sucessivamente, as associações em paralelo das fontes de
corrente e das resistências internas, e a transformação inversa numa fonte de tensão com resistência interna.
É facilmente demonstrável que os parâmetros da fonte de tensão resultante são



(4.45)

e

(4.46)

respectivamente para o valor nominal da tensão e para a resistência interna.

4.6.2 Associação de Fontes de Corrente

A associação em paralelo de fontes de corrente rege-se por um conjunto de regras semelhante àquele
estabelecido para a associação em série de fontes de tensão. Neste caso, a corrente colocada aos terminais
de uma associação em paralelo é dada pela soma das correntes parciais (Figura 4.16.a e 4.16.b), que
naturalmente deve ter em conta as polaridades respectivas. No caso das fontes de corrente reais, Figura 4.16.
c, o valor da resistência interna é dada pelo paralelo das resistências internas parciais, o que torna a fonte de
corrente mais acentuadamente não ideal.

Figura 4.16 Associação em paralelo de fontes de corrente

A associação em série de fontes de corrente ideais com valores nominais distintos conduz a uma



indeterminação no nó de interligação, devido à não verificação da Lei de Kirchhoff das correntes. Como se
indica na Figura 4.17.a, no nó comum às duas fontes deve verificar-se sempre a igualdade i -i =0, ou, o que
1 2
é o mesmo, i1=i2.

Figura 4.17 Associação em série de fontes de corrente

A imposição de correntes distintas pelas duas fontes só é compatível com uma tensão de valor infinito no
nó respectivo. Pelo contrário, e como se indica através da sequência de transformações representadas em
4.17.b, a associação em série de fontes de corrente reais pode ser reduzida a uma única fonte equivalente
cujos parâmetros são (o Teorema de Millman)

(4.47)

e

(4.48)





Considere-se o circuito representado na Figura 4.18, relativamente ao qual se pretende determinar o valor
da resistência equivalente série, o valor da corrente no circuito e a queda de tensão aos terminais da
resistência R3.


Resolução: O valor da resistência equivalente, R , pode ser determinado directamente a partir da regra de
S
associação série de resistências. Assim,

A aplicação da LKT permite escrever a igualdade

ou seja

A

Por outro lado, a aplicação da regra do divisor de tensão permite determinar a tensão aos terminais da
resistência R3



V


Considere-se o circuito representado na Figura 4.19. Pretende-se determinar o valor das quedas de tensão
aos terminais da fonte de alimentação e das resistências R2 e R3, e o valor da corrente no circuito.


Resolução: Uma vez que a queda de tensão aos terminais da resistência R1 é

V

então

V

Por outro lado, uma vez que

e



então

V

e

V

A corrente no circuito é

A


Com base nos dados indicados na Figura 4.20, determine as tensões aos terminais da resistência R4 e da
fonte de corrente, e a relação entre as correntes nas resistências R3 e R4.


Resolução: A tensão aos terminais da resistência R4 é dada pelo produto da corrente i pelo paralelo das
s
resistências R3 e R4



V

Por outro lado, a tensão aos terminais da fonte de corrente pode ser obtida a partir do produto da resistência
equivalente pela corrente debitada pela fonte

V

Finalmente, a relação entre as correntes nas resistências R3 e R4 coincide com o cociente entre as
condutâncias respectivas


Considere-se o circuito da Figura 4.21. Determine a tensão aos terminais da resistência R5 e a corrente na
resistência R4.


Resolução: Uma vez que um dos terminais da resistência R5 se encontra em aberto, a corrente respectiva é
nula e

Por outro lado, dado que a resistência R4 se encontra em paralelo com um curto-circuito, então a corrente
respectiva é nula,




Determine o valor da tensão v nos três circuitos representados na Figura 4.22.


Resolução: Dado que nos três circuitos os terminais a e b se encontram em aberto, a corrente fornecida
pela fonte de tensão é nula. No primeiro circuito

ou seja

V

No segundo circuito

que conduz à tensão

V

Finalmente, no terceiro circuito



ou seja

V


Sumário

Sumário

As Leis de Kirchhoff regem a associação de componentes eléctricos. Estas afirmam como nulos seja o
somatório das quedas e elevações de tensão ao longo de um caminho fechado, seja o somatório das
correntes incidentes e divergentes num nó de um circuito.

A aplicação conjunta das Leis de Kirchhoff e de Ohm conduz a um sistema de equações cuja resolução
permite obter as tensões e as correntes em todos os componentes e nós de um circuito. Estas três leis
permitem ainda fixar um conjunto de regras de extrema utilidade na análise e na simplificação de circuitos
eléctricos: as regras de associação em série e em paralelo de resistências; as regras dos divisores de tensão e
de corrente; o circuito aberto e o curto-circuito; a transformação de fonte; e as regras de associação de
fontes de tensão e de corrente em série e em paralelo.




Leis de Kirchhoff

*4.1 Determine o valor da tensão v em cada um dos circuitos representados na Figura E4.1.

Figura E4.1

*4.2 Determine os valores da corrente i e da tensão v1 indicadas na Figura E4.2.

Figura E4.2

4.3 Determine os valores das tensões, correntes e resistência não indicadas explicitamente nos circuitos da Figura
E4.3.



Figura E4.3

*4.4 Determine o valor das correntes não indicadas explicitamente nos circuitos da Figura E4.4.

Figura E4.4

*4.5 Determine o valor das correntes não indicadas explicitamente nos circuitos da Figura E4.5.

Figura E4.5

Associações de Resistências

4.6 Considerando o circuito representado na Figura E.4.6, responda às seguintes questões:

(a) i=i5=i6?;

(b) se i=2 A e i1=0.5 A, qual o valor de i2?;

(c) i1+i2=i3+i4?;

(d) se v1=6 V e v =10 V, qual o valor de v3?;
s

(e) determine a expressão da resistência total equivalente do circuito.



Figura E4.6

*4.7 Determine o valor da resistência equivalente e das correntes e tensões i1,i2, i3 e v no circuito representado na
Figura E4.7.

Figura E4.7

*4.8 Determine o valor das correntes e tensões i1, i2, i3, i4, v1 e v2 no circuito da Figura E4.8.

Figura E4.8

4.9 Determine o valor das correntes e tensões i1, i2 i3, v 1 e v2 no circuito da Figura E4.9.



Figura E4.9

4.10 Considere o circuito representado na Figura E4.10. Determine o valor da corrente i e da tensão v indicadas.

Figura E4.10

Divisores de Tensão e de Corrente

4.11 Por aplicação da regra do divisor de tensão, determine o valor da tensão v indicada no circuito representado
na Figura E4.11.

Figura E4.11

4.12 Determine o valor das resistências R1, R2, R3 e R4 no circuito da Figura E4.12.



Figura E4.12

*4.13 Determine o valor das resistências R1, R2 e R3 no circuito da Figura E4.13, admitindo que v2= 3v1 e v3=
4v2.

Figura E4.13

*4.14 Por aplicação da regra do divisor de corrente, determine o valor das correntes indicadas nos circuitos da
Figura E4.14.



Figura E4.14

4.15 Considere o circuito da Figura E4.15. Dimensione o valor da resistência R de modo a obter i2= 4i1.

Figura E4.15

4.16 Considere o circuito da Figura E4.16. Determine o valor das correntes e das tensões indicadas.

Figura E4.16



Resistência Interna das Fontes

*4.17 Admita que uma fonte de tensão de 60 V fornece uma corrente de 1 A a uma carga resistiva de 50 Ω.
Determine o valor da resistência interna da fonte, a expressão da recta de carga e o rendimento da fonte.

4.18 Determine a resistência interna de uma fonte de corrente de 2 A que debita uma corrente de 1.99 A quando
ligada a uma carga de 100 Ω.

Transformação de Fonte

*4.19 Efectue a transformação de fonte em cada um dos circuitos da Figura E4.19.

Figura E4.19

4.20 Efectue as associações de fontes representadas na Figura E4.20.



Figura E4.20


3.1 Lei de Ohm

3.1 Lei de Ohm

O fluxo ordenado de cargas eléctricas através de um material, activado pela aplicação de uma diferença de
potencial, é limitado pela estrutura interna do mesmo.

Antes de derivar a expressão que relaciona resistência eléctrica e parâmetros físicos, talvez seja conveniente
explorar um pouco mais a analogia existente entre os sistemas mecânicos e os circuitos eléctricos.

Considere-se então uma massa em queda sob a acção de um campo gravitacional constante, num primeiro
caso num espaço sem atmosfera e num segundo num espaço com atmosfera. Admita-se ainda que
inicialmente o corpo se encontra a uma altitude h, isto é, que possui uma energia potencial E =mgh e
P-ini
uma energia cinética E =0. Nestas condições, a força actuante sobre a massa é F=mg, a intensidade do
C-ini
campo gravítico é E=g e, já agora, a diferenca de potencial gravítico é V=gh. A força e o campo são
constantes ao longo de toda a trajectória do corpo, sendo o potencial gravítico tanto mais elevado quanto
maior for a altitude inicial do corpo. Ao longo da queda, o corpo troca energia potencial por energia
cinética. A troca entre energias verifica a relação

(3.3)

em que xe v definem a posição e a velocidade entretanto adquiridas pelo corpo. A velocidade do corpo é
expressa por

m/s, metro por segundo (3.4)

admitindo naturalmente que se verifica sempre v<<c, em que c define a velocidade da luz. No espaço sem
atmosfera o corpo atinge a velocidade máxima para x=h, ou seja, quando E =0.
P

No caso em que o corpo se move num espaço com atmosfera, portanto com atrito, a troca de energia
potencial por energia cinética faz-se com perdas. Outra consequência da força de atrito é o facto de, a partir
de uma determinado instante, o corpo se deslocar com uma velocidade constante, designada velocidade
limite. A partir desse instante efectua-se uma troca integral entre energia potencial e calor, e o ritmo de
troca de energia na unidade de tempo é constante.

Considere-se agora o circuito eléctrico representado na Figura 3.1.

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3.1 Lei de Ohm

Figura 3.1 Resistência eléctrica

Admita-se que a diferença de potencial aos terminais da bateria é V e que a intensidade do campo eléctrico
ao longo do fio condutor é constante

(3.5)

Tal como o corpo em queda livre, as cargas negativas perdem energia potencial ao dirigirem-se do terminal
negativo para o terminal positivo da bateria (energia convertida em energia cinética e calor). As cargas
eléctricas atravessam o fio condutor com uma velocidade constante, basicamente fixada no valor médio das
velocidades atingidas nos intervalos entre colisões com os átomos.

Admita-se que o material é caracterizado por uma densidade de electrões livres por unidade de volume,

n = número de electrões por metro cúbico (3.6)

ou que a densidade de carga livre por metro cúbico é q=ne (valor absoluto). Por exemplo, os materiais
condutores são caracterizados por possuírem uma elevada densidade de electrões livres, que lhes permite
suportar o mecanismo da condução eléctrica, ao passo que os materiais isoladores são caracterizados por
valores bastante reduzidos deste mesmo parâmetro. Por outro lado, cada par material-tipo de carga
caracteriza-se por uma relação velocidade-campo

(3.7)

em que µ se designa por mobilidade das cargas em questão. Este parâmetro é em geral uma função do tipo
de carga, da temperatura e do tipo de material. A quantidade de carga que na unidade de tempo atravessa a
superfície perpendicular ao fluxo é (Figura 3.2)

(3.8)


3.1 Lei de Ohm

Figura 3.2 Corrente eléctrica

a qual, tendo em conta a relação (3.7), permite escrever

(3.9)

em que

S/m, siemens por metro (3.10)

se designa condutividade eléctrica do material, ou ainda

(3.11)

em que

S, siemens (3.12)

se diz condutância eléctrica do condutor. Expressando a tensão em função da corrente, obtém-se

(3.13)

e

(3.14)


3.1 Lei de Ohm

em que

Ω.m, ohm-metro (3.15)

se designa por resistividade eléctrica do material e

Ω, ohm (3.16)

por resistência eléctrica do condutor. As expressões (3.9), (3,13) e (3.14) são indistintamente designadas
por Lei de Ohm.

De acordo com a expressão (3.16), a resistência eléctrica de um condutor é directamente proporcional ao
seu comprimento, e inversamente proporcional à sua secção, à densidade e à mobilidade das cargas
eléctricas livres existentes no seu seio. Na Figura 3.3 ilustram-se alguns casos da relação existente entre a
resistência eléctrica e o comprimento, a secção e a resistividade, enquanto na Tabela 3.1 se apresentam os
valores da resistividade eléctrica de alguns materiais condutores, semicondutores e isoladores, medidos à
temperatura de referência de 20 ºC.

Figura 3.3 Resistência eléctrica de fios condutores com comprimentos, secções e resistividades variadas

MATERIAL RESISTIVIDADE (@ 20ºC)
prata 1.645*10-8 Ω.m


3.1 Lei de Ohm

cobre 1.723*10-8 Ω.m
ouro 2.443*10-8 Ω.m
alumínio 2.825*10-8 Ω.m
tungsténio 5.485*10-8 Ω.m
níquel 7.811*10-8 Ω.m
ferro 1.229*10-7 Ω.m
constantan 4.899*10-7 Ω.m
nicrómio 9.972*10-7 Ω.m
carbono 3.5*10-5 Ω.m
silício 2.3*103 Ω.m
polystirene ~ 1016 Ω.m

Tabela 3.1 Resistividade eléctrica de diversos materiais condutores, semicondutores e isoladores (a 20 ºC)

A Lei de Ohm permite três interpretações distintas:

(i) para uma determinada tensão aplicada, a corrente é inversamente proporcional à
resistência eléctrica do elemento;

(ii) para uma determinada corrente aplicada, a tensão desenvolvida aos terminais do
elemento é proporcional à resistência;

(iii) a resistência de um elemento é dada pelo cociente entre a tensão e a corrente aos seus
terminais.

Por exemplo, no caso dos circuitos representados na Figura 3.4 verifica-se que em (b) a corrente na
resistência é dada por I=V/R=5 A, que em (c) a tensão aos terminais da resistência é V=RI=5 V e que em
(d) o valor da resistência é R=V/I=10 Ω.

Figura 3.4 Símbolo da resistência e Lei de Ohm


3.1 Lei de Ohm

A representação gráfica da Lei de Ohm consiste numa recta com ordenada nula na origem e declive
coincidente com o parâmetro R (ou G) (Figura 3.5). Apesar de elementar e evidente, é importante associar
esta relação linear tensão-corrente à presença de um elemento do tipo resistência, mesmo em dispositivos
electrónicos relativamente complexos como o transístor. Num dos seus modos de funcionamento, por
exemplo, o transístor apresenta uma relação tensão-corrente semelhante àquela indicada na Figura 3.5, o
que indica, portanto, que nessa mesma zona o transístor é, para todos os efeitos, uma resistência.

Figura 3.5 Lei de Ohm


3.2 Lei de Joule

3.2 Lei de Joule

A potência eléctrica dissipada numa resistência é dada pelo produto da tensão pela corrente (neste caso
adopta-se a representação dos valores instantâneos das grandezas)

W, watt (3.17)

No entanto, por substituição da Lei de Ohm,

(3.18)

ou ainda

(3.19)

todas elas indistintamente associadas ao enunciado da Lei de Joule. Na Figura 3.6 representam-se
graficamente as expressões (3.18) e (3.19).

Figura 3.6 Potência dissipada numa resistência

A energia eléctrica dissipada numa resistência é dada pelo produto da potência pelo intervalo de tempo

2
w = Ri ∆t J, joule (3.20)

No entanto, a unidade de energia eléctrica utilizada nas redes de produção, transporte e consumo de energia
eléctrica é o watt-hora (Wh) ou, então, um dos seus múltiplos como o kWh, o MWh, ou mesmo o GWh. A
regra de conversão entre watt-hora e joule é

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_03/leijoule.htm (1 of 2)06-06-2005 12:39:40

3.2 Lei de Joule

(3.21)

A quantidade expressa pelas relações (3.17) a (3.19), na unidade de tempo, ou (3.18) ao longo do tempo, é
dissipada sob a forma calor. Como tal, um dos parâmetros de uma resistência é a sua capacidade de dissipar
convenientemente o calor gerado por efeito de Joule. O desrespeito desta característica pode comprometer a
funcionalidade da resistência. Com efeito, o fusível é um dispositivo que explora as consequências do
efeito de Joule, o qual, como se indica na Figura 3.7, tem por objectivo limitar a potência fornecida a um
determinado circuito eléctrico. Neste caso, quando a corrente absorvida pelo circuito supera um valor limite
pré-estabelecido, I , o calor gerado por efeito de Joule é suficiente para fundir o filamento e interromper
max
o fornecimento de corrente ao circuito. Existem fusíveis para diversos tipos de aplicações: de valor máximo
de corrente, de actuação rápida (sensíveis aos picos de corrente) ou lenta (sensíveis ao valor médio da
corrente), etc. A programação das memórias ROM constitui uma das aplicações mais interessantes do
princípio de funcionamento do fusível. Neste caso, os fusíveis são constituídos por uma fita de alumínio
depositada na superfície da pastilha de silício, fusíveis que são posteriormente fundidos, ou não, de acordo
com o código a programar na memória.

Figura 3.7 Fusível

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3.3 Tipos de Resistências


Em função da tecnologia subjacente à sua construção e das aplicações visadas, as resistências podem ser
agrupadas em três classes principais:

(i) resistências discretas, utilizadas para construir circuitos com componentes discretos em
placas de circuito impresso ou de montagem;

(ii) resistências híbridas, utilizadas na construção de circuitos híbridos discreto-integrados;

(iii) resistências integradas, neste caso com dimensões micrométricas e utilizadas na
realização de circuitos integrados em tecnologia de silício.

Este livro limita-se a estudar os grupos de resistências discretas e híbridas, deixando a cargo da disciplina
Electrónica dos Sistemas Integrados a apresentação das múltiplas alternativas em matéria de resistências
integradas.

Para além da tecnologia subjacente à sua construção, é comum classificar as resistências discretas em fixas,
ajustáveis e variáveis. O valor nominal de uma resistência fixa é pré-estabelecido durante o processo de
fabricação da mesma, ao passo que aquele relativo às resistências ajustáveis e variáveis pode ser alterado
pelo utilizador. A distinção entre resistência ajustável e variável é mínima. Esta depende essencialmente da
aplicação a que se destinam: as resistências ajustáveis são normalmente inacessíveis ao utilizador comum e
são utilizadas no ajuste fino do desempenho dos circuitos, que em regra é feito imediatamente após a sua
produção, ao passo que, pelo contrário, as resistências variáveis destinam-se a ser acessíveis ao utilizador
comum e são usadas, por exemplo, no controlo do volume de som de um rádio, do brilho ou do contraste de
um aparelho de televisão, etc.

Apesar da sua enorme variedade, as resistências discretas mais utilizadas na prática são as seguintes:

(i) as de carvão, na realidade de pasta de aglomerados de grafite;

(ii) as de película ou camada fina de material metálico ou de carvão;

(iii) as de fio metálico bobinado.

Para além das diferenças tecnológicas de construção, é comum utilizarem-se adjectivos como: resistências
de montagem superficial (resistências de pequenas dimensões para montagem superficial sobre a placa de
circuito impresso), redes ou agregados de resistências (encapsuladas em invólucros semelhantes aos dos
circuitos integrados), resistências de potência, etc.

3.3.1 Resistências de Carvão

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As resistências de carvão são construídas a partir de uma massa homogénea de grafite misturada com um
elemento aglutinador. A massa é prensada com o formato desejado, encapsulada num invólucro isolante de
material plástico e ligada ao exterior através de um material bom condutor. Na Figura 3.8 ilustram-se
alguns detalhes relativos à construção deste tipo de resistências.

Figura 3.8 Aspectos tecnológicos da construção de uma resistência de carvão

O valor nominal de uma resistência de carvão é uma função das dimensões físicas e da percentagem, maior
ou menor, de grafite utilizada no aglomerado (mais grafite é igual a menor resistência). As resistências de
carvão existem numa gama muito variada de valores, designadamente no intervalo compreendido entre 2.7
Ω e 22 MΩ, e para diversos valores da potência máxima dissipável, tipicamente ¼ W, ½ W, 1 W e 2 W.

3.3.2 Resistências de Película ou Camada Fina

As resistências de película fina são construídas a partir da deposição de uma finíssima camada de carvão ou
metal resistivo (níquel-crómio, óxido de estanho, etc.) sobre um corpo cilíndrico de material isolante. Nas
resistências de menor valor absoluto, tipicamente inferiores a 10 kΩ, o material resistivo é depositado sob a
forma de uma camada contínua que une os respectivos terminais de acesso (Figura 3.9.a), ao passo que nas
de maior valor se adopta a solução de construir uma espiral de filme em torno do corpo cilíndrico (Figura
3.9.b). Em qualquer dos casos, a composição e a espessura da camada determinam o valor nominal da
resistência eléctrica implementada. O corpo da resistência é constituído por um material isolante, em geral
um material vítreo ou cerâmico, sendo o conjunto protegido do exterior através de uma tinta isolante. As
resistências de película fina existem numa gama de valores nominais e de máxima potência dissipável
muito variada. Por exemplo, as resistências de filme fino de carvão existem para os valores estandardizados
de 1/10 W, ¼ W, 1/3 W, ½ W, 2/3 W, 1 W, 3/2 W e 2 W.

Figura 3.9 Aspectos tecnológicos da construção de uma resistência de película ou camada fina



3.3.3 Resistências Bobinadas

As resistências bobinadas são construídas a partir do enrolamento de um fio metálico resistivo em torno de
um núcleo cilíndrico de material isolante (Figura 3.10.a). O material resistivo mais utilizado é o constantan,
que consiste basicamente numa liga metálica de níquel, cobre e manganésio. Em alguns casos, as
extremidades do fio bobinado são ligadas a braçadeiras que permitem a ligação e a fixação da resistência ao
circuito. No que respeita ao isolamento, as resistências bobinadas podem ser esmaltadas, vitrificadas ou
cimentadas, sendo em geral o conjunto protegido mecanicamente do exterior por um invólucro de material
cerâmico selado com silicone (Figura 3.10.b). As resistências de fio bobinado são comercializadas em
gamas de valores nominais inferiores a 100 kΩ, cobrindo no entanto uma gama de máxima potência
dissipável razoavelmente elevada (tipicamente até uma a duas dezenas de watt). Existem resistências
bobinadas cujas dimensões vão desde alguns milímetros até vários centímetros.

Figura 3.10 Aspectos tecnológicos da construção de uma resistência de fio bobinado

3.3.4 Resistências Híbridas de Filme Espesso e de Filme Fino

As resistências de filme espesso e de filme fino são utilizadas na realização de circuitos híbridos discreto-
integrados. As resistências deste tipo são construídas por deposição de uma fita de material resistivo sobre
um substrato isolante (alumina, magnesia, quartzo, vidro, safira, etc.), fitas cuja espessura é da ordem das
dezenas de µm na tecnologia de filme espesso e inferior ao µm (até algumas dezenas de angstrom) no caso
das tecnologias de filme fino. Os materiais resistivos mais utilizados são os compostos de ruténio, irídio, e
rénio, no caso das resistências de filme espesso, e o níquel crómio, o nitrato de tântalo e o dióxido de
estanho no caso das de filme fino. Em face das aplicações a que se destinam, a dimensão deste tipo de
resistências é relativamente reduzida (da ordem do milímetro), intermédia entre aquelas características dos
componentes discretos e integrados. Existem também resistências de filme espesso encapsuladas em
suportes semelhantes aos utilizados para os circuitos integrados, disponibilizando neste caso um conjunto
variado de resistências independentes ou com terminais comuns.

Na Figura 3.11 ilustra-se um conjunto variado de resistências fixas actualmente existentes no mercado.

Figura 3.11 Algumas resistências fixas actualmente existentes no mercado



3.3.5 Resistências Ajustáveis e Variáveis

As resistências ajustáveis e variáveis, também designadas por reóstatos, potenciómetros ou, em adaptação
da designação em língua inglesa, trimmers, são utilizadas em aplicações nas quais se exige a afinação ou a
variação continuada do valor nominal de uma resistência. Exemplos da aplicação de resistências variáveis
são o controlo do volume de som de um rádio, o controlo do brilho ou contraste de um monitor TV, o ajuste
do período de oscilação em circuitos temporizadores, etc. Na Figura 3.12 representa-se o símbolo, o
esquema de ligações e um croqui do mecanismo de controlo utilizado. Existem resistências com controlo
por tubo rotativo, manípulo ou ranhura, com escala linear ou logarítmica, simples ou em tandem,
multivoltas ou de volta única, de carvão ou de metal, encapsuladas ou desprotegidas, etc. Na base da Figura
3.12 encontrará algumas das soluções actualmente comercializadas.

Figura 3.12 Algumas resistências variáveis e ajustáveis actualmente disponíveis

3.3.6 Características Técnicas das Resistências

A selecção e utilização de resistências em circuitos nos quais a precisão é um dos factores decisivos do
desempenho, deve ser acompanhada de precauções técnicas, quanto:

(i) à tolerância do valor nominal e à sua estabilidade em função das condições de
armazenamento e de funcionamento (por exemplo, as resistências mais estáveis são as de fio
bobinado, seguindo-se-lhes, por ordem, as de película fina metálica, de carvão e as
aglomeradas);



(ii) à potência máxima dissipável;

(iii) ao coeficiente de temperatura;

(iv) à tensão máxima aos terminais;

(v) ao ruído de fundo;

(vi) à gama de frequências recomendada, fora da qual se tornam significativas as
capacidades e as indutâncias parasitas associadas, seja ao corpo, seja aos terminais de
acesso;

(vii) à linearidade.

A não consideração de algumas destas características, em particular a tolerância, a máxima potência
dissipável e o coeficiente de temperatura, pode conduzir a desempenhos bastante diferentes daqueles
previstos no projecto.


3.4 Varístores

3.4 Varístores

O varístor, em inglês VDR, voltage dependent resistor, é uma resistência cujo valor nominal é uma função
da própria tensão aplicada aos terminais (Figura 3.13 a e b). A elevada não linearidade do varístor é
vulgarmente utilizada na eliminação de picos de tensão introduzidos nas linhas de alimentação durante as
operações de ligação e desactivação de aparelhos, descargas atmosféricas, accionamento de termostatos,
fundição de fusíveis, etc. Os varístores são em geral ligados em paralelo com o circuito cuja protecção
garantem. Quando um transitório ocorre, o valor nominal da resistência reduz-se drasticamente, absorvendo
assim os eventuais picos de corrente que, caso contrário, seriam injectados no circuito. Os varístores
encontram aplicação em computadores, televisores, automóveis, brinquedos, etc. Um dos materiais
vulgarmente utilizados na construção dos varístores é o óxido de zinco (ZnO), o qual apresenta uma
característica tensão-corrente cuja forma é (Figura 3.13.b)

(3.22)

em que C e β são duas constantes características do material. Por exemplo, um varístor cujos parâmetros C
e β valem, respectivamente, 230 e 0.035, apresenta aos seus terminais uma tensão de 230 V quando a
corrente é 1 mA, e 270 V quando a corrente ascende a 100 A. Na Figura 3.13.c apresenta-se um circuito
que exemplifica a função de um varístor na protecção de um circuito.

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3.4 Varístores

Figura 3.13 Símbolo (a), características tensão-corrente típicas de um varistor (b), exemplo
de aplicação (c) e fotografia de um varístor comercializado

Admita-se que em condições normais a tensão aos terminais da fonte de alimentação é

β
V = V + V = RI + CI
s R o

mas que em condições anormais apresenta um pico de amplitude ∆V tal, que
s

β β
V +DV = R(I + ∆I) + C(I + ∆I) ≈ R(I + ∆I) + CI
s s

No entanto, uma vez que β <<1

β
V +∆V ≈ R(I + ∆I) + CI
s s

e o pico de tensão é quase na íntegra absorvido pela resistência R, protegendo assim o circuito a jusante.


3.4 Varístores


3.5 Efeitos da Temperatura


A resistividade eléctrica de um material é uma função da temperatura. A função é crescente ou decrescente
conforme os materiais sejam isoladores, semicondutores ou condutores, dependendo em particular da maior
ou menor variação dos parâmetros mobilidade, µ e densidade de cargas livres, n. A condutividade de um
material pode em geral escrever-se

σ (T) = 1/ρ (T) = n(T)µ (T)e (3.23)

Associados ao aumento da temperatura encontram-se, em geral, dois efeitos: o aumento da energia cinética
dos electrões, que eleva a densidade de electrões livres disponíveis para suportar o fenómeno da condução
eléctrica, e o aumento da agitação térmica dos átomos, que, pelo contrário, reduz a mobilidade das cargas
eléctricas. É a preponderância de um ou outro destes mecanismos que conduz à diferença de
comportamentos manifestada pelos materiais isoladores, semicondutores e condutores. Em geral, pode
dizer-se que:

(i) a resistividade dos materiais condutores aumenta com a temperatura, designadamente
devido à degradação da mobilidade e ao não significativo aumento do número de electrões
livres disponíveis para a condução (nestes materiais a densidade de cargas livres é, por si só,
bastante elevada à temperatura ambiente). Com efeito, metais como a platina, o ouro, o
alumínio e o cobre apresentam coeficientes de temperatura positivos;

(ii) a resistividade dos materiais isoladores e semicondutores diminui com a temperatura,
devido à preponderância do aumento do número de cargas livres sobre a degradação da
mobilidade. Materiais semicondutores como o silício e o germânio, ou isoladores como o
óxido de silício, apresentam coeficientes de temperatura negativos.

A dependência da resistividade com a temperatura é vulgarmente especificada através de dois parâmetros
alternativos (mas equivalentes): o coeficiente de variação relativa

K-1, kelvin-1 (3.24)

expresso em kelvin-1, e em que R20 representa o valor nominal da resistência medido à temperatura de
referência de 20 ºC, ou então a sensibilidade da mesma expressa em ppm/K (partes-por-milhão por grau
kelvin). Por exemplo, um elemento cuja resistência a 20 ºC e coeficiente de temperatura são,
respectivamente, R20 e α20, apresenta a uma temperatura T um valor
A

R = R20 [1 + α20(T -20)] (3.25)
A

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Por outro lado, quando a dependência é especificada em ppm/K, a expressão da resistência em função da
temperatura é dada por

R=R [1 + ppm*10-6(T - T )] (3.26)
nom A ref

em que R define o valor nominal da resistência à temperatura de referência, T .
nom ref

MATERIAL COEFICIENTE TEMPERATURA (α 20)
prata 3.8*10-3
cobre 3.93*10-3
ouro 3.4*10-3
alumínio 3.91*10-3
tungsténio 5*10-3
níquel 6*10-3
ferro 5.5*10-3
nicrómio 4.4*10-4
constantan 8*10-6

Tabela 3.2 Coeficiente de temperatura de diversos materiais

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3.6 Sensores Resistivos


3.6.1 Termo-resistências e Termístores

As termo-resistências e os termístores são resistências que exibem uma variação do valor nominal em
função da temperatura. A distinção entre termo-resistência e termístor (ou termistência) prende-se com o
tipo de material utilizado na sua construção. Assim,

(i) as termo-resistências, que em língua inglesa se designam por resistance temperature
detectors, RTD, utilizam materiais condutores como a platina, o cobre ou o níquel;

(ii) e os termístores (ingl. thermal resistors) utilizam misturas de cerâmicas de óxidos
semicondutores, como o manganésio, o níquel, o cobalto, o cobre, o ferro, o titânio, etc., no
caso das resistências com coeficiente de temperatura negativo (negative temperature
coefficient, NTC), e de titanato de bário, no caso das PTC (positive temperature coefficient).

Outros termos vulgarmente utilizados na classificação dos termistores são os seguintes: silístor, para
designar os termístores do tipo PTC de relativa linearidade, e termístor comutado (switched-type), para
indicar os termístores que manifestam um aumento brusco no valor nominal da resistência a partir de uma
temperatura pré-estabelecida.

As termo-resistências e os termístores são amplamente utilizados como sondas de temperatura em
aplicações industriais, em aparelhagem médica, em electrodomésticos, em instrumentação para
investigação científica, no sector automóvel, em telecomunicações, em aplicações militares, etc. Em
algumas aplicações destinam-se a medir valores absolutos de temperatura razoáveis, como é o caso das
aplicações médicas, ao passo que noutras, como as aplicações industriais, podem destinar-se a medir
temperaturas de vários milhares de kelvin. Outra distinção importante consiste na precisão da medida de
temperatura a efectuar. Em alguns casos uma precisão de 1 ºC na medição da temperatura é suficiente, ao
passo que noutras se exige uma precisão da ordem da décima ou, até mesmo, da centésima de grau. Por
outro lado, o circuito de revelação do sinal pode ser mais ou menos complexo, por vezes envolvendo
mesmo condicionadores de sinal e placas de aquisição de dados para digitalização da informação e
processamento em computador.

Na Figura 3.14 ilustram-se de forma qualitativa algumas características temperatura-resistência possíveis
para as termo-resistências e os termístores. As termo-resistências de platina são largamente utilizadas em
sondas de temperatura de elevada precisão, em particular devido às elevadas gama e linearidade da
característica. Convém salientar o facto de a grande maioria das termo-resistências e termístores se
caracterizarem por relações acentuadamente não-lineares. Actualmente existem no mercado termístores em
formato de gota, tubo, disco, anilha ou circuito integrado, e com diâmetros que podem variar entre 0.1 mm
e vários centímetros (ver os croquis e as fotografias da Figura 3.14).

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Figura 3.14 Termístores e Termo-resistências

3.6.2 Foto-resistências

As foto-resistências são componentes de circuito cujo valor nominal da resistência eléctrica é função da
intensidade da radiação electromagnética incidente (em língua inglesa são designadas pela sigla LDR, light
dependent resistor). As foto-resistências são geralmente construídas com base em materiais
semicondutores, designadamente silício, germânio, arsénio, telúrio e compostos de cádmio e de chumbo,
todos eles materiais para os quais a densidade de portadores livres na banda de condução é uma função,
entre outras, da intensidade e do comprimento de onda dos fotões incidentes. Em materiais como o silício a
incidência de fotões com comprimento de onda λ=1.1 µm conduz à geração de pares electrão-buraco, isto
é, induz a passagem de electrões da banda de valência para a banda de condução, deixando atrás de si
buracos. Assim, uma vez que a resistividade de um material é uma função decrescente da densidade de
portadores livres disponíveis, neste caso função seja da densidade de electrões livres na banda de condução,
seja da densidade de buracos na banda de valência, conclui-se ser negativo o coeficiente de luminosidade
deste tipo de resistências. Por outro lado, materiais como o germânio e o arsenieto de índio apresentam
maior sensibilidade à radiação de comprimento de onda λ=1.85 µm e λ=3.54 µm, respectivamente, sendo
as diferenças função apenas da maior ou menor amplitude das respectivas bandas proibidas. Actualmente
existem no mercado foto-resistências que cobrem as gamas de radiação electromagnética infra-vermelha,
visível e ultra-violeta.



Figura 3.15 Foto-resistências

As foto-resistências são amplamente utilizadas em aplicações industriais, de instrumentação e militares,
como indicadores de nível em reservatórios de líquidos, sistemas de alarme e de controlo à distância, etc. A
variação da resistividade com a intensidade luminosa segue uma lei aproximadamente exponencial, sendo
comum encontrar foto-resistências cujo valor nominal da resistência eléctrica pode variar de um factor de
100 numa gama de intensidades luminosas compreendidas entre 5 e 104 lux. Na Figura 3.15 ilustram-se o
símbolo e algumas das foto-resistências actualmente existentes no mercado.

3.6.3 Outros Sensores Resistivos

Para além das aplicações apresentadas anteriormente, a resistividade dos materiais pode ser utilizada para
detectar a presença ou a variação de uma quantidade muito variada de grandezas, como sejam o campo
magnético, a pressão ou aceleração, certos agentes químicos como a humidade, o monóxido de carbono, o
fumo de tabaco, etc.

Uma das classes mais importantes de sensores resistivos são as magneto-resistências. Estes sensores são
componentes de circuito nos quais o valor nominal da resistência eléctrica é uma função da intensidade do
campo magnético no qual se encontram imersas. As magneto-resistências baseiam o seu princípio de
funcionamento na interacção existente entre o campo magnético e o fluxo de corrente eléctrica, que se
manifesta através da designada força de Lorentz. As magneto-resistências são utilizadas na construção de
cabeças de leitura de fitas e discos magnéticos, designadamente em aplicações audio, vídeo, memorização
de informação em sistemas de computadores, identificação de padrões em cartões magnéticos,
instrumentação e equipamento de controlo, etc.

Um outro conjunto de sensores resistivos de grande utilidade prática são as piezo-resistências. A piezo-
resistividade é a propriedade dos materiais que caracteriza a dependência da resistividade eléctrica com a
deformação mecânica. Esta propriedade tem como causas, entre outras, a variação da mobilidade e da
densidade de cargas livres nos materiais, sendo esta última devida em particular à dependência da
amplitude da banda proibida com o esforço mecânico. Apesar de a piezo-resistividade ser uma propriedade
comum a todos os materiais, ela é mais notória nos semicondutores como o silício e o germânio, em cujo
caso o coeficiente de variação da resistência eléctrica é, regra geral, negativo. As piezo-resistências são
utilizadas na construção de microfones e de detectores de aceleração, como é o caso dos airbag dos
automóveis e dos sensores de fluxo em condutas de líquidos ou gases. Devido à compatibilidade
tecnológica com a electrónica de silício, os sensores de pressão são passíveis de integração conjunta com os
circuitos electrónicos de revelação e processamento de sinal, permitindo, assim, realizar numa única
pastilha sistemas complexos que incluem as funções de transdução, de revelação e de processamento da
informação.

Existe ainda um vasto conjunto de sensores resistivos designado por químio-resistências. Em todos estes



componentes, a resistividade é uma função da concentração de agentes químicos presentes no ambiente em
que se encontram imersas. As químio-resistências são utilizadas na medição da humidade relativa do ar, em
cujo caso são mais propriamente designadas por higro-resistências, mas também na detecção de gases como
o monóxido de carbono, o hidrogénio, o dióxido de azoto, o etanol, o metano, o fumo de cigarro, etc. As
químio-resistências são em geral construídas a partir da deposição de um óxido metálico num material
inerte como o óxido de silício, mas também a partir de certos cristais orgânicos ou polímeros condutores.
Em geral, este tipo de resistências apresenta um coeficiente de variação negativo.


3.7 Ohmímetro

3.7 Ohmímetro

O ohmímetro é um instrumento que permite medir a resistência eléctrica de um elemento. Os ohmímetros
são regra geral parte integrante de um multímetro, constituindo assim uma das múltiplas funções que
disponibilizam (é comum os multímetros integrarem as funções de ohmímetro, amperímetro e voltímetro,
além de outras funções, relacionadas com o teste de dispositivos electrónicos e a realização de operações
sobre as medidas efectuadas).

Como se indica na Figura 3.16.a, a medição da resistência de um elemento é efectuada colocando em
paralelo o instrumento e o componente. A medição efectuada por um ohmímetro baseia-se na aplicação da
Lei de Ohm: o ohmímetro injecta no elemento uma corrente pré-estabelecida, mede a tensão aos terminais e
efectua o cálculo da resistência. No entanto, para que a medição seja correcta, é necessário que o elemento
a medir se encontre devidamente isolado de outros componentes do circuito, e em particular da massa
através do corpo humano. Deste modo evita-se que o circuito envolvente retire ou injecte no elemento
corrente distinta daquela aplicada pelo ohmímetro. O isolamento eléctrico pode ser obtido de duas maneiras
distintas: desligando o componente em questão do resto do circuito, ou colocando pelo menos um dos seus
terminais no ar (Figura 3.16).

Figura 3.16 Ohmímetro

O ohmímetro também pode ser utilizado na identificação de caminhos em curto-circuito (Figura 3.16.c) ou
em circuito aberto (Figura 3.16.d). Nós em curto-circuito são identificados através da medição de uma
resistência relativamente pequena ou nula entre os pontos inquiridos. A situação oposta corresponde à
medição de resistências elevadíssimas.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_03/ohmimetr.htm06-06-2005 12:39:44

Sumário

Sumário

Define-se resistência eléctrica como a oposição que a matéria oferece à passagem de corrente eléctrica. A
Lei de Ohm estabelece a relação existente entre tensão, corrente e resistência eléctrica. A resistência
eléctrica é uma função da resistividade do material e das dimensões físicas do elemento, sendo a
resistividade inversamente proporcional à densidade de portadores livres e à respectiva mobilidade.

A Lei de Joule estabelece a relação entre potência eléctrica, amplitude da corrente (ou tensão) e resistência
eléctrica.

As resistências podem ser fixas, ajustáveis ou variáveis. No que respeita aos materiais e processos de
fabrico, podem ser de carvão, de película fina, de fio bobinado, de filme espesso ou fino, e integradas.

Existem resistências com uma variação do valor nominal com a tensão, a temperatura, a luminosidade, o
campo magnético, o esforço mecânico, a humidade (em geral a densidade de certos agentes químicos), etc.
Esta dependência é utilizada na realização de sensores resistivos.

A resistência eléctrica mede-se com um ohmímetro.




Lei de Ohm

3.1 Determine a resistência de um fio de cobre cilíndrico cujo comprimento e diâmetro são,
respectivamente, 100 m e 2 mm. Compare com o resultado obtido para fios semelhantes de alumínio, ouro
e carbono.

3.2 Determine a condutividade e a condutância dos fios de cobre, alumínio, ouro e carbono considerados no
problema anterior.

3.3 Determine o diâmetro de um fio de cobre cujo comprimento é 10 km e cuja resistência é 1 Ω.

3.4 Determine a tensão aos terminais de uma resistência de 1 kΩ percorrida por uma corrente constante de
1 mA.

3.5 Determine a corrente que percorre uma resistência de 10 kΩ, cuja tensão aos terminais se sabe ser de 10
V.

3.6 Determine o valor da resistência cuja tensão e corrente aos terminais são, respectivamente, 1 V e 1 mA.

3.7 Determine o valor da corrente que percorre uma resistência cuja condutância e tensão aos terminais são,
respectivamente, 1 µS e 1 V.

Lei de Joule

3.8 Um aquecedor eléctrico absorve uma corrente de 10 A quando lhe é aplicada uma tensão constante de
100 V. Determine a resistência equivalente e a potência dissipada pelo aquecedor.

3.9 Nas condições do exercício anterior, determine a energia eléctrica consumida pelo aquecedor durante
uma hora. Exprima o resultado em joule, Wh e kWh.

3.10 Determine a energia eléctrica dissipada na unidade de tempo por uma resistência de 1 kΩ percorrida
por uma corrente de 1 mA.

3.11 Determine a energia eléctrica dissipada na unidade de tempo por uma resistência de 1 kΩ, cuja tensão
aos terminais é de 5 V.

3.12 Um circuito integrado consome uma potência cujo valor médio no tempo é 10 mW. Admitindo que o
mesmo se encontra alimentado por uma fonte de tensão de 5 V, determine o valor médio da corrente



consumida.

3.13 Um aparelho auricular consome uma corrente cujo valor médio no tempo é 1 µA. Admitindo que este
se encontra alimentado por uma bateria de 1.2 V, determine a duração prevista da mesma se a capacidade
respectiva for de 500 mAh.

Resistências Discretas

3.14 Determine a sequência de cores das barras das seguintes resistências de 10%: 220 Ω, 2.2 kΩ, 22 kΩ,
68 kΩ e 680 kΩ.

3.15 Uma resistência de 1/2 W deve ser utilizada num circuito alimentado a 5 V. Determine qual o valor
mínimo de resistência que pode utilizar.

3.16 Uma fonte de corrente debita 10 mA para uma resistência de 1/4 W. Determine qual o valor máximo
de resistência que pode utilizar.

Varístores, Efeitos da Temperatura e Sensores Resistivos

3.17 Diga o que entende por termo-resistência e termístor. Indique o sinal dos coeficientes de temperatura
de cada um deste dois tipos de sensores. Explique o significado das siglas NTC e PTC.

3.18 Diga o que entende por foto-resistência, magneto-resistência, quimo-resistência e higro-resistência.

3.19 O valor nominal (R20) e o coeficiente de temperatura (α20) de uma resistência são 1 kΩ e 8*10-3 K-1,
respectivamente. Determine o valor da resistência à temperatura TA=200 ºC.

3.20 O coeficiente de temperatura de uma resistência à temperatura T=20 ºC é de 2000 ppm/K. Determine a
variação relativa da resistência à temperatura TA=100 ºC.

Ohmímetro

3.21 Na Figura E.3.21 representa-se o processo de medição do valor nominal de uma resistência. Indique
quais as medições efectuadas correctamente.



Figura E3.21


Fotografias de Sensores Resistivos


Fotografias de Termístores e Termo-resistências

Termístor NTC Termístor NTC Cerâmico Termístor NTC Encapsulado em
380 Ω @ 25ºC e 28 Ω @ 0.3 A 10 kΩ @ 25 ºC +/- 10% vidro
Utilizado na protecção de circuitos Gama Temp.: -30 a 125ºC 10 kΩ @ 25ºC +/- 10%
(limitação de corrente) (utilizados na compensação de Gama Temp.: -55 a 250ºC
temperatura, medidas e controlo (utilizados em electrodomésticos
processos) automóveis, medidas)

Termistência de Liga de níquel, Termístor NTC
cobre, manganésio e ferro (bob.) Dimensão: ~ 1mm
100 Ω @ 0ºC 100 kΩ @ 25ºC
138 Ω @ 100ºC Gama Temp.: -80 a 150ºC
Coef. Temp.: 0.00385 Ω/ºC
Estabilidade: +/- 0.038%
Gama Temp.: -40 a 150ºC



Termístor NTC Termístor PTC Comutado
Dimensão: ~ 1mm Dimensão: ~2 mm
1 kΩ @ 25ºC 100 Ω @ 25ºC
Gama Temp.: -40 a 25ºC 10 kΩ T > 80ºC
Tolerância: +/- 20%

Fotografias de Foto-resistências

Foto-resistência de Sulfito de Foto-resistência de Sulfito de
Cádmio Cádmio
Máxima Sensibilidade: 550 nm Máxima Sensibilidade: 530 nm
20 MΩ (escuro) 1 MΩ (escuro)
20 kΩ ~ 100 kΩ @ 10 Lux 9 kΩ @ 10 Lux
5 kΩ @ 100 Lux 400 Ω @ 1000 Lux
Tensão Máx.: 100 V Tensão Máx.: 320 V
Pot. Máx.: 50 mW Pot. Máx.: 0.25 W @ 25ºC
Gama Temperatura: -60 ºC a 75ºC


Fotografia de Varístores

Fotografia de Varístores

Varístor de óxido de zinco


Fotografias de Tipos de Resistências


Fotografias de Resistências Fixas

Resistência de Carvão Resistência de Carvão Resistência de Carvão
Pot. Máx.: 1/8 W @ 70ºC Pot. Máx.: 1/4 W @ 70ºC Pot. Máx.: 1/2 W @ 70ºC
Tolerância: 5% Tolerância: 5% Tolerância: 5%
Coef. Temp.: -100/-700 ppm/ºC Coef. Temp.: -150/-800 ppm/ºC Coef. Temp.: -150/-850 ppm/ºC
Resist. Isola: 1 GΩ Resist. Isola: 1 GΩ Resist. Isola: 1 GΩ
Tensão Máx.: 250 V Tensão Máx.: 250 V Tensão Máx.: 350 V

Resistência de Carvão Resistência de Carvão Resistência de Película Fina
Pot. Máx.: 1 W @ 70ºC Pot. Máx.: 2 W @ 70ºC Metálica
Tolerância: 5% Tolerância: 5% Pot. Máx.: 1/8 W @ 70ºC
Coef. Temp.: -150/-900 ppm/ºC C. Temp.: -150/-1000 ppm/ºC Tolerância: 0.1%
Resist. Isola: 1 GΩ Resist. Isola: 1 GΩ Coef. Temp.: +/- 15 ppm/ºC



Resistência de Película Fina de Resistência Bobinada de elevada Resistência Bobinada (vitreous
Cermet precisão enamel)
Pot. Máx.: 0.4 W Pot. Máx.: 0.33 W @ 85ºC Pot. Máx.: 6 W @ 70ºC
Tolerância: 5% Tolerância: 0.1% @ 25ºC Tolerância: 5%
Coef. Temp.: +/- 300 ppm/ºC Coef. Temp.: 3 ppm/ºC C. Temp.: +/- 75 ppm/ºC

Resistência Bobinada (com Agregado de 7 Resistências
invólucro cerâmico e núcleo de (individuais)
fibra de vidro) Pot. Máx.: 1/4 W por resist.
Pot. Máx.: 4 W Tolerância: 2%
Tolerância: 5% Coef. Temp.: 250 ppm/ºC
Coef. Temp.: 200~400 ppm/ºC Tensão Máx.: 100 V

Agregado de 4 Resistências Agregado de 8 Resistências
(individuais) (individuais para montagem
Pot. Máx.: 0.2 W por resist. superficial)
Tolerância: 2% Pot. Máx.: 1.28 W por resist.
Coef. Temp.: 250 ppm/ºC Tolerância: 2%
Tensão Máx.: 250 V Coef. Temp.: 100 ppm/ºC
Tensão Máx.: 50 V

Fotografias de Resistências Variáveis e Ajustáveis



Resistência Variável Cermet Resistência Variável de Carvão Resistência Variável de Cermet
Multi-volta Dimensão: 10 mm Dimensão: 12 mm
Dimensão: 10 mm Pot. Máx..: 0.15 W @ 40ºC Pot. Máx..: 1 W @ 85ºC
Pot. Máx..: 0.5 W @ 70ºC Tolerância: 20% Tolerância: 10%
Tolerância: 10% Coef. Temp.: +/- 100 ppm/ºC Coef. Temp.: +/- 150 ppm/ºC
Coef. Temp.: +/- 100 ppm/ºC 1 volta
25 voltas

Resistência Variável de Carvão Resistência Variável de Cermet Resistência Variável de Cermet
Dimensão: 20 mm, linear Dimensão: 4 mm; montagem Dimensão: 2 mm; montagem
Pot. Máx..: 0.4 W @ 40ºC superficial superficial
Tolerância: +/- 20% Pot. Máx..: 0.25 W @ 70ºC Pot. Máx..: 0.15 W @ 70ºC
1 volta Tolerância: 10% Tolerância: 25%
Coef. Temp.: +/- 100 ppm/ºC Coef. Temp.: +/- 250 ppm/ºC
11 voltas


2.1 Circuitos e Componentes Eléctricos


2.1.1 Definições

Um circuito eléctrico consiste na interligação criteriosa de um conjunto de componentes através dos quais
circulam cargas eléctricas. Os circuitos visam a realização de um objectivo pré-determinado, que tanto pode
ser o transporte ou a transformação de energia, como o processamento de informação representada sob a
forma de um sinal eléctrico. No caso dos circuitos que visam o processamento de informação, os sinais
podem constituir uma representação de uma grandeza não eléctrica, como por exemplo a temperatura, a
pressão, a intensidade luminosa, a velocidade, um código, etc.

Figura 2.1 Circuito eléctrico

Na Figura 2.1 ilustra-se um circuito eléctrico constituído por fontes de corrente e de tensão de alimentação
e de sinal, resistências, condensadores, bobinas, transformadores, díodos e transístores. É comum, apesar de
não rigoroso, distinguir os circuitos eléctricos dos electrónicos com base no tipo de componentes utilizados.
Por exemplo, é vulgar referir que um circuito é eléctrico quando integra apenas elementos de tipo passivo,
como a resistência, o condensador, a bobina e o transformador, todos eles elementos que apenas dissipam
ou, no máximo, armazenam energia eléctrica ou magnética, e classificar como circuitos electrónicos
aqueles que integram dispositivos semicondutores, como é o caso do díodo, do transístor, do LED, da
célula foto-voltaica, etc. É também comum designar por dispositivos activos os elementos capazes de
amplificar a energia associada aos sinais, ou seja, que possibilitam a conversão de energia eléctrica bruta
em energia com conteúdo informativo, e passivos os elementos que apenas dissipam energia. No entanto,
alguns autores definem como elementos activos aqueles capazes de fornecer energia, neste caso apenas as
fontes, definindo como passivos todos aqueles que dissipam energia. De acordo com esta definição,
elementos passivos seriam tanto a resistência, a bobina e o condensador, como também o díodo, o
transístor, etc. Na verdade, nenhuma destas definições de circuito eléctrico ou electrónico e de elemento
passivo ou activo é exactamente rigorosa, o que, de resto, não constitui óbice a uma compreensão dos

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tópicos tratados ao longo deste livro. O que verdadeiramente importa é distinguir quais os elementos
fundamentais dos circuitos.

2.1.2 Componentes Fundamentais

Na Figura 2.2 representam-se os símbolos e a designação mais comum dos nove componentes
fundamentais dos circuitos eléctricos. São eles a resistência, o condensador e a bobina, as fontes de tensão e
de corrente independentes e as fontes dependentes. Os elementos resistência, condensador e bobina serão
abordados em pormenor nos Capítulos 3, 7 e 8, respectivamente.

Figura 2.2 Componentes fundamentais dos circuitos eléctricos

As fontes agrupam-se em duas classes essencialmente distintas: fontes independentes, de tensão ou de



corrente, e fontes dependentes. Uma fonte dependente é um elemento cuja tensão ou corrente imposta aos
terminais é controlada pela tensão ou corrente num outro elemento ou nó do circuito. Estas fontes são
essenciais na modelação do comportamento eléctrico de dispositivos electrónicos como os transístores
bipolares e de efeito de campo (a introduzir nas disciplinas de Electrónica).

As fontes de tensão caracterizam-se por duas relações:

v =vei =? (2.1)
AB BA

indicando assim que a fonte impõe a tensão aos seus terminais, mas que, pelo contrário, fornece uma
corrente cujo valor é apenas função do circuito ao qual se encontra ligada. Por exemplo, no caso figurado
em 2.3.a, a fonte de tensão impõe a relação v =5 V, ao passo que a característica tensão-corrente do
AB
elemento resistência estabelece que i=5/R=5 mA.

Figura 2.3 Circuito com fonte de tensão (a) e fonte de corrente (b)

Em complementaridade com a fonte de tensão, as fontes de corrente caracterizam-se pelas seguintes duas
relações:

i =iev =? (2.2)
AB AB

Estas impõem a corrente no circuito e deixam a cargo deste a definição da tensão aos seus terminais. Por
exemplo, e referindo agora ao exemplo representado na Figura 2.3.b, a imposição de uma corrente de 1 A a
uma resistência de 100 Ω conduz a uma tensão de 100 V aos terminais da fonte de corrente (v=Ri).

As fontes controladas podem ser de quatro tipos principais:

(i) de tensão controlada por tensão, FTCT;

(ii) de tensão controlada por corrente, FTCC;



(iii) de corrente controlada por corrente, FCCC;

(iv) de corrente controlada por tensão, FCCT.

O coeficiente de ligação entre as variáveis de controlo e controlada pode ser adimensional, ou ter as
dimensões de ohm (V/A) ou de siemens (A/V). Na Figura 2.4 dão-se exemplos de circuitos que contém no
seu seio fontes de corrente e de tensão controladas. Em cada uma das figuras indica-se a solução para a
tensão e para a corrente aos terminais de cada uma das fontes representadas.

Figura 2.4 Corrente e tensão fornecidas por um conjunto de fontes controladas


2.2 Componentes Lineares e Não-Lineares


2.2.1 Linearidade

Os métodos de análise apresentados ao longo deste livro aplicam-se exclusivamente a circuitos lineares ou
linearizáveis por troços. Um circuito é linear quando todos os elementos utilizados satisfazem
simultaneamente as propriedades da sobreposição e da homogeneidade. Quando a linearidade não é
verificada, pelo menos para determinada gama de valores da tensão e da corrente, procede-se à linearização
dos elementos, ou seja, procede-se à consideração de intervalos de valores dentro dos quais a característica
tensão-corrente de cada um dos elementos pode, sem grande erro, ser aproximada por uma recta com
declive dado pela derivada no ponto central do intervalo. Diz-se então que a característica tensão-corrente
do elemento foi linearizada em torno do ponto considerado. Por exemplo, na análise de circuitos com
transístores, os quais, como se verá, são dispositivos fortemente não-lineares, o ponto intermédio do
intervalo é designado por ponto de funcionamento em repouso, sendo o modelo de cada dispositivo e a
análise do circuito correspondente designadas, respectivamente, por modelo e análise de sinais fracos.

Um elemento goza da propriedade da sobreposição quando a característica tensão-corrente satisfaz, para
todo e qualquer par de valores(i,v), as relações:

se

i1 = g(v1) (2.3)

e

i2 = g(v2) (2.4)

então

g(v1+ v2) = i1+ i2 (2.5)

Por outro lado, um elemento goza da propriedade da homogeneidade quando, para o mesmo conjunto de
pontos (i,v), satisfaz as seguintes relações:

se

i1 = g(v1) (2.6)

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então

g(kv1) = ki1 (2.7)

para todo e qualquer k real. As relações (2.3) a (2.5) indicam que é linear todo e qualquer elemento cuja
te
característica tensão-corrente apresente a forma da equação de uma recta, isto é, i=gv+c ou, em
te
alternativa, v=ri+c .

Na Figura 2.5 representam-se as características tensão-corrente da resistência e do transístor de efeito de
campo, respectivamente. A inspecção das características indica que a resistência é um componente linear, e
que o transístor constitui um dispositivo não-linear. Com efeito, aplicando a definição de linearidade à
resistência verifica-se que v1=Ri1, v2=Ri2 e que (v1+ v2)=(Ri1+ Ri2)=R(i1+ i2), o que demonstra a
propriedade da sobreposição, e ainda que se v1=Ri1 então v2=R(ki1)=kRi1=kv1, igualdade que demonstra a
propriedade da homogeneidade. Pode facilmente demonstrar-se que a característica do transístor

(2.8)

não verifica nem a propriedade da sobreposição, nem a da homogeneidade.

Figura 2.5 Característica tensão-corrente de uma resistência (a) e de um transístor de efeito de campo na
zona de saturação (b)

2.2.2 Distorção Harmónica

O principal efeito causado pela não-linearidade de um componente é a distorção harmónica. Esta encontra-
se presente, por exemplo, quando o volume de som de um amplificador audio é colocado no máximo da sua
escala, fazendo-se sentir, designadamente, através da geração de sinais agudos cuja frequência se encontra
no limite da escala audível. É vulgar a distorção harmónica constituir um dos parâmetros determinantes do



desempenho de um determinado circuito ou sistema electrónico.

Considere-se então a característica tensão-corrente

i = A(v - B)2 (2.9)

em que A e B são duas constantes. Admita-se ainda que a relação (2.9) é válida para valores positivos e
negativos da tensão aplicada, v, e que esta toma a forma sinusoidal

v = V cos(2πft) (2.10)
m

Nestas condições, a corrente no componente é dada por

i = A(V cos(2πft) - B)2 (2.11)
m

que, por aplicação da relação cos2(φ)=(0.5)[1+cos(2φ)], permite efectuar a expansão

i = A(0.5V2 + B)2 - 2ABV cos(2πft) + 0.5AV cos(4πft) (2.12)
m m m

Como se pode verificar em (2.12), a corrente no circuito é constituída por um termo constante, o primeiro,
por um termo à frequência do sinal, o segundo, e por um termo à frequência dupla, o terceiro, designado
por segunda harmónica. A distorção harmónica consiste na relação entre as amplitudes das sinusóides às
frequências 2f e f. A deterioração da qualidade do som na saída do amplificador encontra-se, portanto,
associada à geração de tons espúrios às frequências múltiplas daquela aplicada na entrada. Em geral, os
elementos não-lineares são modelados por polinómios de ordem superior àquela considerada na relação
(2.9), conduzindo assim à geração de harmónicas superiores à segunda, designadamente terceira, quarta, etc.

2.2.3 Ponto de Funcionamento em Repouso

O ponto de funcionamento em repouso (PFR) e a aproximação de sinais fracos constituem os dois passos
principais da análise de um circuito com componentes não-lineares.

Considere-se o elemento não-linear representado na Figura 2.6, e admita-se que aos terminais do mesmo se
aplica uma tensão

v=V+v (2.13)
sf

em que V define uma tensão constante de amplitude razoavelmente elevada, designada por tensão de
polarização, e vsf um sinal de amplitude relativamente pequena comparada com V, designado por sinal



fraco. Como se indica na própria figura, à excursão fraca v corresponde uma variação i na corrente no
sf sf
componente. Assim,

i=I+i (2.14)
sf

sendo o ponto (V,I) designado por ponto de funcionamento em repouso do circuito. A constatação de que o
sinal v constitui uma pequena variação em torno de uma determinada tensão de polarização, V, permite
sf
aproximar a característica i=g(v) pela sua derivada e escrever

i = gv (2.15)
sf sf

em que g define o declive da característica no PFR considerado. Neste caso, e admitindo sempre que as
variações em torno do PFR são suficientemente fracas, a relação entre i e v é de tipo linear, podendo o
sf sf
respectivo elemento ser substituído por um dos elementos lineares definidos anteriormente. A aproximação
efectuada é designada por aproximação de sinais fracos, sendo o modelo linear resultante designado por
modelo de sinais fracos do dispositivo. Naturalmente que o coeficiente g definido em (2.15) é uma função
do ponto de funcionamento em repouso estabelecido para o elemento.

Figura 2.6 Ponto de funcionamento em repouso e regime de sinais fracos


Sumário

Sumário

Um circuito eléctrico consiste na interligação criteriosa de um conjunto de componentes através dos quais
circulam cargas eléctricas. Os componentes fundamentais dos circuitos eléctricos são a resistência, o
condensador, a bobina e as fontes de tensão e de corrente independentes e dependentes.

Os nossos métodos de análise aplicam-se a redes lineares ou linearizáveis por troços. Os elementos são
lineares quando verificam simultaneamente as propriedades da sobreposição e da homogeneidade. A
principal consequência da não-linearidade de um componente é a distorção harmónica. A linearização de
um elemento não-linear comporta dois passos: determinação do ponto de funcionamento em repouso e
determinação do modelo de sinais fracos.




Circuitos e Componentes Eléctricos

2.1 Desenhe os símbolos e indique a característica tensão-corrente das quatro fontes dependentes.

2.2 Desenhe os símbolos dos elementos resistência, condensador e bobina.

2.3 Determine o valor da corrente nas resistências dos circuitos representados na Figura E2.3.

Figura E2.3

2.4 Para cada um dos circuitos representados na Figura E2.3, determine a potência dissipada nas
resistências. Qual a energia dissipada durante uma hora?

Componentes Lineares e Não-lineares

2.5 Considere as características tensão-corrente representados na Figura E2.5. Quais de entre elas são
lineares?



Figura E2.5

2.6 Considere um dispositivo electrónico cuja característica tensão-corrente é i =K(v -V )2, para
D GS th
v >V , e com K=10-3A/V2 e V =1 V, e ao qual é aplicada uma tensão v =V+v , em que V=2 V define
GS th th GS sf
uma tensão constante e v um sinal sinusoidal de amplitude 1 mV. Determine:
sf

(a) o ponto de funcionamento em repouso do dispositivo;

(b) a expressão do parâmetro que liga as amplitudes fracas v e i ;
sf sf

(c) a amplitude da sinusóide de corrente, i .
sf

vBE/VT
2.7 Considere um dispositivo cuja característica tensão-corrente é i =I (e -1), em que I =10-15 A e
C s s
V =25 mV. Determine a expressão do parâmetro que liga as amplitudes fracas da tensão e da corrente (v ,
T BE
i ).
C

2.8 Considere um elemento cuja característica tensão-corrente aos terminais é v=Ri+α2i2+α3i3, em que
R=1000 Ω e α2=α3=1. Admitindo que a corrente é sinusoidal de amplitude 1 mV e frequência 10 kHz,
determine a amplitude das harmónicas da tensão v às frequências 20 kHz e 30 kHz.


1.1 Carga, Força e Campo Eléctrico


1.1.1 Carga Eléctrica

A carga eléctrica é uma propriedade fundamental da matéria. As partículas elementares detentoras desta
propriedade são o electrão e o protão, ambas constituintes do átomo, localizando-se os protões no núcleo e
os electrões em órbitas envolventes do mesmo. Além dos protões, o núcleo dos átomos é também
constituído por neutrões, neutros do ponto de vista eléctrico.

As cargas eléctricas do protão, do electrão e do neutrão são, respectivamente,

Q = e = 1.6*10-19 C, coulomb (1.1)
p

Q = -e = -1.6*10-19 (1.2)
e

Q =0 (1.3)
n

as massas em repouso são

m ≈ m = 1.672*10-24 g, grama (1.4)
p n

m = 9.11*10-28 (1.5)
e

e os raios, assumindo-as esféricas, são

r ≈ r ≈ r = 2.81*10-15 m, metro (1.6)
p n e

Os valores apresentados em (1.1) a (1.6) indicam que os protões e os neutrões são aproximadamente 2000
vezes mais densos que os electrões.

Os átomos neutros contêm o mesmo número de electrões e de protões. São exemplos de neutralidade
eléctrica o átomo de hidrogénio, que contém um protão e um electrão, o átomo de hélio, que contém dois
protões, dois electrões e dois neutrões, etc. Os átomos não neutros são designados por iões. Um átomo
torna-se num ião negativo quando captura electrões numa das suas órbitas, e positivo quando os perde. Os
protões, os electrões e em geral os iões são as entidades responsáveis pelo fenómeno da força eléctrica.

1.1.2 Força Eléctrica

A Lei de Coulomb estabelece que duas cargas eléctricas pontuais se atraem ou repelem com uma força cuja

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intensidade é

N, newton (1.7)

em que ε define a permitividade do vazio, e Q , Q e r representam, respectivamente, os valores absolutos
0 x y
das cargas eléctricas e a distância entre as mesmas.

A força eléctrica é uma grandeza vectorial com intensidade, direcção e sentido. A direcção coincide com a
recta que une as duas cargas, e o sentido é estabelecido pelo sinal das cargas em presença. A força é de
atracção quando as cargas apresentam sinais contrários, como é o caso da força de atracção existente entre
electrões e protões nos átomos, e de repulsão nos casos contrários. Em geral, num espaço preenchido por
múltiplas cargas pontuais a força eléctrica exercida sobre cada uma delas resulta da soma vectorial de
contribuições parciais. Na Figura 1.1 apresentam-se alguns exemplos elucidativos da intensidade, direcção
e sentido da força exercida entre cargas eléctricas.

Figura 1.1 Força eléctrica exercida por um protão sobre um electrão (a), entre electrões (b) e por múltiplos
electrões sobre um electrão (c) (as cargas positivas e negativas são representadas a branco e a cheio,
respectivamente)

1.1.3 Campo Eléctrico

O campo eléctrico é uma medida da acção que uma carga exerce sobre as cargas eléctricas localizadas no
seu raio de acção. A intensidade do campo eléctrico criado por uma carga pontual é expressa por



V/m, volt por metro (1.8)

a qual, tendo em conta (1.7), permite constatar que

(1.9)

isto é, que a intensidade da força mais não é do que o produto da intensidade do campo criado pela carga
Q , E , multiplicado pelo valor absoluto da carga nele imerso, Q . O campo eléctrico define uma grandeza
x x y
de tipo vectorial. A direcção do vector campo eléctrico criado por uma carga eléctrica pontual é radial.
Cargas positivas têm sentido divergente e cargas negativas têm sentido convergente (Figura 1.2). O produto
indicado em (1.9) é válido ao nível vectorial, ou seja, o vector força eléctrica coincide com o produto do
escalar carga pelo vector campo. Por exemplo, o vector campo eléctrico divergente criado por uma carga
positiva quando multiplicado pelo sinal de uma carga negativa conduz, como se esperava, a um vector força
eléctrica de atracção.

Figura 1.2 Campo eléctrico criado por cargas eléctricas pontuais


1.2 Energia Potencial e Tensão Eléctrica


1.2.1 Energia Potencial Eléctrica

Por definição, energia é a capacidade de realizar trabalho. Realiza-se trabalho quando se desloca uma massa
num campo gravitacional, por exemplo quando se eleva uma massa de 1 kg desde o nível do mar até à
altitude de 10 m, mas também quando se desloca uma carga eléctrica entre dois pontos cujas amplitudes
dos campos eléctricos diferem. Considere-se, a título de exemplo, o caso da queda de uma massa num
campo gravitacional. O trabalho é realizado pelo campo gravitacional e é dado pelo integral ao longo da
trajectória do produto interno entre a força e o deslocamento,

J, joule (1.10)

No caso particular em que a força é constante e a direcção coincidente com o deslocamento, a energia
libertada é expressa pelo produto

(1.11)

em que g, m e h definem, respectivamente, a constante de gravitação terrestre, a massa do corpo e o
deslocamento. De acordo com (1.10), o deslocamento de uma massa no sentido da força (a queda) conduz à
libertação de energia por parte do sistema, ou seja, à realização de um trabalho que se define como
negativo, ao passo que o deslocamento da mesma no sentido contrário ao da força (a elevação) corresponde
ao fornecimento de energia ao sistema e, por definição, à realização de um trabalho positivo.

Considere-se então um átomo de hidrogénio, constituído, como se disse, por um protão e por um electrão.
A força eléctrica entre o protão e o electrão é radial e atractiva, sendo a intensidade respectiva uma função
do raio da órbita. Em face da existência de uma força de atracção entre as duas cargas, o deslocamento do
electrão entre órbitas envolve a realização de um trabalho cujo módulo é

(1.12)

em que r e r definem, respectivamente, os raios das órbitas inicial e final do electrão. O afastamento do
i f
electrão em relação ao núcleo exige o fornecimento de energia ao sistema, ao passo que a aproximação ao
núcleo envolve a libertação de energia.

A definição de energia potencial eléctrica aplica-se a qualquer conjunto de cargas eléctricas sujeitas à acção

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de um campo eléctrico. Se se considerar o caso particular representado na Figura 1.3, em que se admite um
campo eléctrico constante ao longo do fio condutor que une os terminais positivo e negativo, verifica-se
que:

(i) o transporte de um electrão do terminal negativo para o terminal positivo envolve a
libertação de energia, o que permite dizer que o sistema, à partida, dispunha de energia
(eléctrica) armazenada (Figura 1.3.a);

(ii) o transporte de um electrão do terminal positivo para o terminal negativo exige o
fornecimento de energia ao sistema, operação que neste caso corresponde ao
armazenamento de energia potencial (Figura 1.3.b).

Em qualquer destes casos, o trabalho é sempre dado pelo integral da força eléctrica ao longo da trajectória
das cargas eléctricas. Por outro lado, a energia eléctrica em jogo é proporcional à quantidade de cargas
transportadas, ou seja, o transporte de n cargas entre os dois terminais envolve uma energia n-vezes
superior àquela envolvida no transporte de uma única carga eléctrica.

Figura 1.3 Descarga (a) e carga (b) de uma bateria

Um reservatório de cargas eléctricas positivas e negativas fisicamente separadas constitui a fonte de energia
eléctrica vulgarmente designada por bateria. O fornecimento de energia por parte da bateria corresponde ao
deslocamento das cargas eléctricas negativas do terminal negativo para o terminal positivo, ao passo que a
regeneração corresponde à sua separação física.

1.2.2 Tensão Eléctrica

A tensão é uma medida da energia envolvida no transporte de uma carga elementar entre dois pontos de um
campo eléctrico. Existe tensão eléctrica entre dois pontos de um campo sempre que o transporte de carga
entre esses mesmos dois pontos envolve libertação ou absorção de energia eléctrica por parte do sistema.
Retomando o exemplo da Figura 1.3.a, verifica-se que o transporte de uma carga elementar negativa, Q=-e,
corresponde à libertação de uma energia W=eV joule, que o transporte de duas, três … N cargas envolve a
libertação das energias 2 eV, 3 eV … N eV joule. A quantidade V, que coincide com o cociente entre a
energia libertada e a quantidade de carga transportada



V, volt (1.13)

designa-se por tensão eléctrica. É a normalização relativamente à quantidade de carga transportada que
torna a tensão eléctrica numa das duas variáveis operatórias dos circuitos eléctricos. Por outro lado, tendo
em atenção as relações entre trabalho, força e campo eléctrico, verifica-se que

(1.14)

isto é, que a tensão eléctrica mais não é do que o integral do campo eléctrico experimentado pelas cargas
eléctricas no seu transporte entre as posições inicial e final. O transporte de um electrão entre os terminais
negativo e positivo de uma bateria é efectuado no sentido da força, portanto no sentido contrário ao do
campo eléctrico, envolve a libertação de energia (realização de um trabalho negativo) e indica a presença de
uma tensão eléctrica positiva, no sentido do terminal positivo para o terminal negativo.


1.3 Corrente e Potência Eléctrica


1.3.1 Corrente Eléctrica

Define-se corrente média como a quantidade de carga eléctrica que na unidade de tempo atravessa uma
dada superfície

A, ampere (1.15)

e valor instantâneo da mesma à derivada

(1.16)

A relação complementar de (1.16)

(1.17)

permite contabilizar a quantidade de carga que ao longo do tempo atravessou, num dado sentido e desde um
instante de tempo infinitamente longínquo, a superfície em questão.

Por convenção, o sentido positivo da corrente eléctrica coincide com o do movimento das cargas positivas.
Considerando o exemplo representado na Figura 1.3.a, constata-se que o movimento dos electrões do
terminal negativo para o positivo de uma bateria corresponde, por definição, a uma corrente eléctrica no
sentido do terminal positivo para o negativo.

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Figura 1.4 Sentido positivo da corrente eléctrica

1.3.2 Potência Eléctrica

A potência é uma medida do ritmo a que se dissipa ou acumula energia eléctrica. As expressões da potência
média e instantânea são, respectivamente,

W, watt (1.18)

e

(1.19)

podendo também expressar-se a energia em função da potência instantânea através de

(1.20)

Por outro lado, tendo em conta as relações entre trabalho, tensão, carga, tempo e corrente eléctrica, verifica-
se que

(1.21)

ou seja, que a potência mais não é do que o produto da tensão pela corrente eléctrica, as duas variáveis
operatórias dos circuitos eléctricos.



Figura 1.5 Quadro sinóptico das principais grandezas eléctricas




As fontes de tensão e de corrente são componentes essenciais de qualquer circuito eléctrico. As fontes
podem ser agrupadas em duas classes essencialmente distintas:

(i) de alimentação, como é o caso das baterias e dos geradores electromecânicos, cuja
função principal é fornecer energia aos circuitos eléctricos nas formas d.c. ou a.c.;

(ii) e de sinal.

Figura 1.7 Fontes de tensão de alimentação e de sinal

As fontes de sinal existentes no mercado são em geral dotadas da capacidade de gerar um conjunto variado
de formas de onda, em particular de tipo sinusoidal, triangular e rectangular. Estes instrumentos
possibilitam também o controlo da amplitude, da frequência e da fase dos sinais gerados. Na Figura 1.7
ilustram-se algumas das fontes de tensão de alimentação e de sinal existentes.

A tensão eléctrica pode ser gerada a partir de três mecanismos básicos:

(i) reacção química, subjacente ao funcionamento das baterias;

(ii) acção conjunta de uma força mecânica e de um campo magnético, designadamente
através da indução electromagnética, processo que é subjacente ao funcionamento dos
geradores electromecânicos designados por dínamo (d.c.) e alternador (a.c.);

(iii) efeito fotoeléctrico, nomeadamente pela conversão de uma radiação electromagnética
(fotões) em electrões livres, processo que se encontra na base do funcionamento das células
foto-voltaicas vulgarmente designadas por células solares.

A forma e a amplitude de uma tensão eléctrica podem ser alteradas mediante a utilização de dispositivos e
circuitos eléctricos e electrónicos adequados. Por exemplo, uma fonte de tensão de alimentação a.c. pode
ser convertida numa fonte d.c pela intervenção de um circuito rectificador; a amplitude de uma tensão
sinusoidal pode ser aumentada ou diminuída por intermédio de um transformador; a amplitude de uma
fonte de tensão constante pode ser aumentada ou diminuída usando um conversor d.c.-d.c.; a frequência de
oscilação de uma fonte de tensão sinusoidal pode ser alterada com um conversor a.c.-a.c.; etc. Apesar de
constituírem apenas conversores da forma de onda da tensão ou corrente eléctrica, estes aparelhos são
vulgarmente designados por fontes de alimentação. Por exemplo, nas aulas práticas de laboratório utilizar-
se-ão fontes de tensão de alimentação constantes cuja energia provém da rede de distribuição eléctrica, e
em cujo interior se encontra um circuito rectificador de tensão, constituído, entre outros, por um
transformador, uma ponte rectificadora e um estabilizador.

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Na Figura 1.8.a representa-se o símbolo de uma fonte de tensão de alimentação constante. Uma fonte de
tensão fornece energia quando os electrões circulam (pelo exterior) do terminal negativo para o terminal
positivo, isto é, quando a corrente flui do terminal positivo para o terminal negativo. A potência fornecida
ao circuito é positiva quando a corrente abandona a fonte pelo terminal positivo (Figura 1.8.b), e negativa
no caso contrário (Figura 1.8.c). Nas Figuras 1.8.d, 1.8.e e 1.8.f ilustram-se os símbolos utilizados na
representação das fontes de sinal de tensão e de corrente, respectivamente. Os símbolos indicados em (f)
são utilizados para representar a referência da tensão eléctrica.

Figura 1.8 Fonte de tensão de alimentação (a); a fonte fornece energia (b); a fonte acumula energia (c);
fonte de tensão de sinal (d); fonte de corrente (e); símbolos alternativos da referência da tensão eléctrica (f)

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Nas aulas de laboratório das disciplinas de electrónica os alunos vão tomar contacto com dois tipos de
instrumentos de medida de grandezas eléctricas: de grandezas constantes no tempo, como é o caso do
voltímetro, do amperímetro, do wattímetro e do multímetro; e de medição de grandezas variáveis no tempo,
isto é, de sinais eléctricos, como é o caso do osciloscópio.

1.6.1 Voltímetro

O voltímetro é um instrumento de medida da amplitude da tensão eléctrica. É dotado de duas pontas de
prova de acesso ao exterior (Figura 1.9.a), através das quais se pode medir a tensão aos terminais de uma
fonte de tensão constante, entre dois quaisquer pontos de um circuito eléctrico, ou ainda entre um qualquer
ponto e a referência.

A ligação de um voltímetro ao circuito é de tipo paralelo. O mesmo é dizer que durante a medição o
instrumento constitui um caminho paralelo ao elemento ou circuito a diagnosticar. No entanto, um
voltímetro ideal procede à medição da tensão sem absorver qualquer corrente eléctrica (apresenta, por isso,
uma resistência eléctrica de entrada infinita), característica que garante a não interferência do aparelho no
funcionamento do circuito.

No passado, todos os voltímetros eram de tipo analógico. Nos aparelhos deste tipo, a amplitude da tensão é
indicada através da posição de um ponteiro sobre uma escala graduada, cuja selecção condiz com a
amplitude prevista para a tensão. Actualmente existe uma grande variedade de voltímetros analógicos e
digitais, sendo em geral uma das múltiplas funções disponibilizadas pelo multímetro.

http://ltodi.est.ips.pt/lveriss/Sebenta_Online/cap_01/instrume.htm (1 of 3)06-06-2005 12:39:59


Figura 1.9 Voltímetro (a), amperímetro (b) e wattímetro (c)

1.6.2 Amperímetro

O amperímetro é um instrumento de medida da amplitude da corrente eléctrica. Como se indica na Figura
1.9.b, e ao contrário do processo de medição da tensão, a medição de uma corrente eléctrica obriga a que o
instrumento seja percorrido pela grandeza a diagnosticar. Um amperímetro ideal caracteriza-se pela
capacidade de medir a corrente sem incorrer em qualquer queda de tensão entre os seus dois terminais.

1.6.3 Wattímetro

O wattímetro é um instrumento que permite medir a potência eléctrica fornecida ou dissipada por um
elemento. O wattímetro implementa o produto das grandezas tensão e corrente eléctrica no elemento, razão
pela qual a sua ligação ao circuito é feita simultaneamente em série e em paralelo (Figura 1.9.c). Assim,
dois dos terminais são ligados em paralelo com o elemento, efectuando a medição da tensão, e os dois
restantes são interpostos no caminho da corrente. Tal como o voltímetro e o amperímetro, o wattímetro
ideal mede a tensão sem desvio de qualquer fluxo de corrente, e mede a corrente sem introduzir qualquer
queda de tensão aos seus terminais.



1.6.4 Multímetro

O multímetro é um instrumento de medida multifuncional que congrega, entre outras, as funções de
voltímetro e de amperímetro. Actualmente existe no mercado uma enorme variedade de multímetros: de
tipo analógico ou digital; de pequenas (bolso) ou grandes dimensões; de baixa ou elevada precisão; de baixo
ou elevado preço.

Figura 1.10 Multímetros

1.6.5 Osciloscópio

O osciloscópio é um instrumento de medida que permite visualizar em tempo real a amplitude de uma
tensão eléctrica variável no tempo. O osciloscópio é de todos os instrumentos o de maior utilidade e
complexidade, designadamente devido à necessidade de associar à medição a dimensão do tempo (Figura
1.11). Os osciloscópios actualmente existentes no mercado dispõem de diversos canais de leitura
simultânea, em geral dois ou quatro, podendo ser de tipo analógico ou digital. Os osciloscópios digitais são
os de maior funcionalidade, permitindo designadamente somar e subtrair sinais entre canais, calcular
valores médios, máximos e mínimos, determinar períodos e frequências de oscilação dos sinais medidos,
suspender, memorizar e recuperar sinais, imprimir ou transferir para um computador o conteúdo do visor,
etc. Os osciloscópios são dotados de uma ponta de prova por canal, cujos dois terminais devem ser ligados
em paralelo com o elemento cuja tensão aos terminais se pretende medir. Na Figura 1.11 ilustram-se alguns
osciloscópios actualmente comercializados.

Figura 1.11 Osciloscópios


Sumário

Sumário

A Ciência Eléctrica estuda o fenómeno da existência e interacção entre cargas eléctricas. A carga é uma
propriedade fundamental da matéria que se manifesta através de uma força, cuja intensidade é estabelecida
pela Lei de Coulomb.

O estudo da Ciência Eléctrica envolve um conjunto variado de conceitos e grandezas, de entre as quais se
salientam a corrente e a tensão eléctrica. Estas duas grandezas são designadas por variáveis operatórias dos
circuitos eléctricos.

Um sinal eléctrico é uma função matemática representativa da variação temporal de uma grandeza eléctrica.
A grandeza tanto pode ser a tensão eléctrica entre os terminais de uma bateria, como a corrente entre dois
pontos de um circuito, como ainda a carga armazenada, a energia libertada, etc. As formas mais comuns
dos sinais eléctricos são a constante, a sinusoidal, a rectangular, a triangular, o escalão e a exponencial.

As fontes podem ser de tensão ou de corrente, e de alimentação ou de sinal. Uma tensão eléctrica pode ser
gerada a partir de três mecanismos básicos: através de uma reacção química, através do fenómeno da
indução electromagnética e através do efeito foto-eléctrico.

Existem diversos instrumentos de medida das grandezas eléctricas. No âmbito desta disciplina destacam-se
o voltímetro, o amperímetro, o wattímetro, o multímetro e o osciloscópio. O osciloscópio é um instrumento
de medida que permite visualizar em tempo real a amplitude de uma tensão eléctrica variável no tempo.




1.1 Determine o número de cargas eléctricas elementares existentes numa carga de 1 C.

1.2 Considere as cargas eléctricas positivas e negativas representadas na Figura E1.2. Determine a
intensidade da força de atracção ou repulsão existente entre cada par de cargas nos casos em que r=1 m,
r=10 m e r=100 m. Indique também a direcção e o sentido da força eléctrica (εo=8.85419*10-12 F/m).

Figura E1.2

1.3 Determine a intensidade da força eléctrica de atracção existente entre o núcleo de um átomo de
hidrogénio e um electrão em órbita à distância r=0.5*10-10m.

1.4 Represente graficamente e em função da distância a intensidade da força eléctrica existente entre cargas
de valor absoluto 1 µC. Considere o metro como a unidade elementar de representação do eixo das abcissas.

1.5 Determine a intensidade, a direcção e o sentido do campo eléctrico gerado pelo protão do átomo de
hidrogénio à distância da primeira órbita possível para o electrão (r=0.5*10-10 m).

1.6 Determine a intensidade, a direcção e o sentido do campo eléctrico existente nos pontos (X) indicados
na Figura E1.6 (o módulo das cargas positivas e negativas é 1 µC).



Figura E.1.6

Energia Potencial e Tensão Eléctrica

1.7 Sabendo que o transporte de 625*1016 electrões entre dois pontos envolve a dissipação de 1 J,
determine o valor da tensão eléctrica existente entre esses dois pontos.

1.8 Determine o valor da energia eléctrica libertada durante o transporte de uma carga de 1 C entre os dois
terminais de uma bateria de 12 V.

1.9 Considere as fontes de tensão eléctrica representadas na Figura E1.9. Indique quais de entre elas
fornecem energia.

Figura E1.9

1.10 Sabendo que a energia necessária para afastar para o infinito um electrão de um protão é de 1.6*10-18
J, determine qual a distância a que eles se encontram inicialmente (admita as duas partículas inicialmente
em repouso).

Corrente e Potência Eléctrica

1.11 Considere um fio condutor no qual o fluxo de corrente é de 1 mA. Determine a quantidade de carga
que atravessa a sua secção na unidade de tempo.

1.12 A diferença de potencial entre os terminais de uma bateria eléctrica é de 12 V. Se a energia dissipada
durante um intervalo de tempo de 1 ms for 1 J, determine a quantidade de carga, a corrente eléctrica e a
potência eléctrica envolvidas no processo.

1.13 Sabendo que a carga que entra no terminal positivo de uma bateria é dada pela expressão q(t)=10*e-t
µC, determine a expressão e o sentido da corrente eléctrica instantânea.

1.14 Considere uma fonte cuja corrente e tensão instantânea fornecida são dadas pelas expressões i(t)=sin



(ωt) mA e v(t)=12sin(ωt) V, respectivamente. O facto de a corrente de saída da fonte ser positiva e negativa
ao longo do tempo significa que a fonte alternadamente fornece e acumula energia? Justifique a sua
resposta.


Fotografias de Instrumentos de Medida

Fotografias de Instrumentos de Medida

Fotografias de Multímetro

Multímetro de precisão Multímetro analógico Multímetro digital

Fotografias de Osciloscópio

Osciloscópio digital de 4 canais Osciloscópio digital de 2 canais
(lab. IST)


Fotografias de Fontes de Alimentação e de Sinal

Fotografias de Fontes de Alimentação e de Sinal

Fonte de tensão de alimentação Fonte de tensão de alimentação Fonte de tensão de alimentação
(lab. IST) (lab. IST)

Fonte de sinal Fonte de sinal (lab. IST)


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